Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas Grado de Matemáticas Método de Diferencias Finitas Lista de ejercicios: Ecuación del transporte lineal Problema 1. Sean c > 0, y u0 : R → R, 1-periódica. Consideramos el problema ∂t u(x, t) + c ∂x u(x, t) = 0, x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ] (1) u(0, t) = u(1, t), t ∈ (0, T ] (2) u(x, 0) = u0 (x), x ∈ [0, 1]. (3) 1. Escribir la forma matricial del esquema implı́cito centrado para (4). 2. Estudiar la estabilidad del esquema de Lax-Friedrichs en la norma L∞ . 3. Analizar el esquema centrado implı́cito (de Crank-Nicholson) dado por uk+1 = ukj − j cτ k cτ k+1 (u − ukj−1 ) − (u − uk+1 j−1 ). 4h j+1 4h j+1 Problema 2. Sean c > 0 y u0 : R → R una función 1-periódica. Consideramos el problema ∂t u(x, t) + c ∂x u(x, t) = 0, (x, t) ∈ (0, 1) × (0, T ] u(x, t) = u(x + 1, t), u(x, 0) = u0 (x), Sean h = (x, t) ∈ R × (0, T ] x ∈ (0, 1). 1 T yτ= con N, M ∈ N \ {0} y sea N M cτ λ= . h Definimos tk = kτ (k = 0, · · · , M ) y xj = jh (j ∈ Z) y denotamos por ukj una aproximación de la solución exacta u en (xj , tk ). Denotamos también por ı el número complejo que satisface ı2 = −1. Consideramos el esquema de Beam-Warming uk+1 − ukj j τ + λ(1 − λ) k λ(λ − 2) k λ(3 − λ) k uj−2 + uj−1 + uj = 0 2τ τ 2τ con el dato inicial u0j = u0 (xj ) y la condición de contorno ukj+N = ukj , ∀j. 1. Demostrar que si u es suficientemente regular entonces el esquema es consistente de orden dos en tiempo y espacio. 2. Realizar un análisis de Fourier (un método de Von Neumann riguroso) para probar que si el factor de amplificación Ah (p) = λ(λ − 1) (λ − 1)(λ − 2) exp(−4ıπph) + λ(2 − λ) exp(−2ıπph) + 2 2 que se obtiene satisface |Ah (p)| ≤ 1 entonces el método es convergente en la norma k · k2,h : h N X 1/2 (u(xj , tk ) − ukj )2 ≤ CT (h2 + τ 2 ) ∀k = 1, · · · , M, j=1 donde C > 0 es una constante que solo depende de u y de la velocidad de propagación c. 3. En los siguientes pasos buscamos las condiciones bajo las cuales la hipótesis |Ah (p)| ≤ 1 es cierta. (a) Demostrar que exp(2ıπph)Ah (p) = λ(λ − 1) cos(2πph) + λ(2 − λ) − (λ − 1) exp(2ıπph) y deducir que |Ah (p)|2 = (λ−1)2 λ(λ−2) cos2 (2πph)+2λ(2−λ)(λ−1)2 cos(2πph)+λ2 (2−λ)2 +(λ−1)2 . (b) Usar la identidad λ2 (2 − λ)2 + (λ − 1)2 = 1 + (λ − 1)2 λ(λ − 2) para obtener |Ah (p)|2 = 1 − (λ − 1)2 λ(2 − λ)(1 − cos(2πph))2 . (c) Deducir la condición CFL que garantiza que |Ah (p)| ≤ 1.