Facultad de Económicas, Universidad de Castilla-La Mancha 1 MATEMÁTICAS III PARA LA ECONOMÍA MATEMÁTICAS III PARA LA EMPRESA TEMA 2. INTEGRAL DE RIEMANN 1.- Calcular las sumas L(f, P ) y U (f, P ) respecto de la partición P del intervalo [0, 10] en los siguientes casos: 1. P = {0, 1, 9, 10}, f (x) = 6x. 2. P = {0, π, 5, 10}, f (x) = sen(x). 2.1. Comprobar que P = {0, 1, 2, 52 , 3} es una partición de [0, 3] más fina que P 0 = {0, 1, 2, 3}. 2. Dada f (x) = x, comprobar que se cumple la relación 0 L(f, P ) ≤ L(f, P ) ≤ Z 3 f (x) dx ≤ U (f, P ) ≤ U (f, P 0 ), 0 para las particiones P y P 0 definidas en el sub apartado anterior. 3.- Comprobar que las siguientes funciones: 1. f (x) = x2 , 2. f (x) = 1 , x2 +1 3. f (x) = sen(cos(x)), 4. f (x) = 1 si x>0 0 si x≤0 , 5. f (x) = (x + 3)−1 , están acotadas en el intervalo [−1, 2]. 4.- Demostrar que las funciones del ejercicio anterior son integrables Riemann en el intervalo [−1, 2]. 2 5.- Calcular Z b f (x) dx, a en los siguientes casos: 1. a = 0, b = 1, f (x) = 1 2. a = −π, b = π, f (x) = sen(x) 3. a = 0, b = 10, f (x) = x cos(x2 ) 4. a = 0, b = 2, f (x) = (x2 + 2x + 1)−1 . 6.- Demostrar, usando un contraejemplo, que en general no se cumple la desigualdad: Z b |f (x)| dx ≤ | Z a b f (x) dx|. a 7.- En los siguientes casos, encontrar c que hace cierto el teorema del valor medio: ∃c ∈ [a, b] Z tal que b f (x) dx = f (c) (b − a). a 1. a = −1, b = 1, f (x) = x. 2. a = 0, b = 2, f (x) = ex . 3. a = 1, b = 2, f (x) = log(x). 8.- Demostrar, mediante un cambio de variable adecuado, que las áreas sombreadas de la Figura coinciden en extensión. 1.5 1.5 1.25 -2 1.25 1 1 0.75 0.75 0.5 0.5 0.25 0.25 -1 1 2 3 1 4 2 3 4 5 6 -0.25 -0.25 -0.5 -0.5 f (x) = 2x x2 +1 f (x) = 1 x 9.- La probabilidad de que un cierto componente electrónico, cuya vida media es de 500 minutos, dure más de t minutos es 1− Z 0 t 1 −x/500 e dx. 500