INSTITUTO TECNOLÓGICO JUAN BAUTISTA VAZQUEZ Primer año de bachillerato Bachillerato General Unificado Módulo de Lógica Año lectivo 2011 -2012 Elaborado por: Jorge Alvarado Ríos Derechos reservados, prohibida su reproducción Lógica Formal 1 LA LÓGICA FORMAL TEMA I EL OBJETO DE LÓGICA ANTECEDENTES La Lógica es una de las ciencias más antiguas, su creador fue el filósofo griego Aristóteles en el siglo IV antes de Cristo (384 – 382), desde su nacimiento, hasta la actualidad, la Lógica prácticamente no ha sufrido cambios, sigue siendo igual a como la pensó Aristóteles. EL OBJETO DE LA LÓGICA EL OBJETO DE UNA ASIGNATURA HACE REFERENCIA A SU CAMPO DE ACCIÓN, A LAS SITUACIÓNES QUE ESTUDIA, A LAS COSAS QUE SON DE SU INTERÉS Es sabido que cada ciencia tiene un centro de su interés, un objeto, por ejemplo, la Matemática se ocupa de los números, la Física de los fenómenos que ocurren en el mundo material, la biología de los fenómenos o procesos vitales, la Botánica del mundo vegetal, etc. El primer interrogante que tenemos que resolver sería: ¿de qué hechos o fenómenos se ocupa la Lógica?: La respuesta es aparentemente simple: la Lógica se ocupa de los pensamientos. Sin embargo, aquí nos enfrentamos con un primer problema, el pensamiento es un producto psicológico y por lo tanto debería ser objeto de la Psicología más no de la Lógica. Para resolver este problema es necesario que establezcamos una diferencia entre el pensamiento y el pensar; Lógica Formal 2 El pensamiento es el producto que se obtiene luego de un proceso psicológico que es el pensar Ahora bien, a la psicología le interesa el proceso a través del cual se generan los pensamientos, más no los pensamientos en sí mismos. En cambio a la Lógica le interesan los pensamientos exclusivamente considerados en sí mismos como si fueran objetos reales. En otras palabras, a la Lógica no le interesa ni el proceso de pensar ni el sujeto que piensa, porque tanto el pensar como el sujeto que piensa son de interés de la psicología. La Lógica centra su interés en los pensamientos como tales. Observemos en siguiente ejemplo para comprender mejor lo señalado anteriormente: - Mientras caminaba por la playa Alfonsina miraba el mar interminable y el cielo infinito y pensó “ ¡ que pequeños somos los seres humanos !” En esta frase vemos que hay un personaje que mientras camina por la playa, piensa en lo pequeño somos los seres humanos frente a la inmensidad del mundo; es decir tenemos un sujeto que piensa y ese pensamiento se produce en una circunstancia o momento determinado: proceso de pensar. Hasta aquí el pensamiento es de interés de la psicología. Pero nuestro personaje (Alfonsina) emite un pensamiento: “¡que pequeños somos los seres humanos!”, que es el producto del proceso de pensar, este pensamiento es el que le interesa a la lógica. Lógica Formal 3 Repetimos: a la Lógica no le interesa proceso de pensar y del sujeto que piensa, tanto el pensar como el sujeto que piensa pertenecen a la psicología. De esta manera la tarea de la lógica queda circunscrita a los pensamientos, en si mismos. En todo pensamiento vamos a encontrar cinco factores: 1.- Sujeto que piensa 2.- El pensar, que es el proceso psíquico que se desarrolla en un tiempo 3.- Un pensamiento determinado, que es el producto o fruto del pensar 4.- El objeto o situación a la que se refiere el pensamiento 5.- La forma verbal en que se expresa el pensamiento Si analizamos los cinco factores señalados podemos llegar a las siguientes conclusiones: el sujeto pensante (1) y el proceso de pensar (2) son objetos de la psicología. El pensamiento producto del proceso de pensar (3) es objeto de la Lógica. Los objetos o contenidos a los que se refiere el pensamiento (4) son de Lógica Formal 4 interés de diferentes disciplinas, las formas verbales a través de las cuales se expresan los pensamientos (5) son objeto de la gramática. Basándonos en todas estas consideraciones podemos concluir este punto sobre el “objeto de la lógica” diciendo: la lógica estudia los pensamientos en sí, como productos del pensar. Es la ciencia deTEMA los pensamientos. II Lógica Formal 5 TEMA II ELEMENTOS DEL PENSAMIENTO CÓMO ESTÁN CONSTITUIDOS LOS PENSAMIENTOS Cuando pensamos, siempre pensamos en algo: en una persona, en una cosa, en un deseo, en un proyecto, etc. etc. y cuando queremos exteriorizar (sacar fuera) ese algo que pensamos, buscamos la forma expresar ese pensamiento. En este simple acto que realizamos todos los días y todos los instantes están los dos elementos que constituyen los pensamientos; ese algo que pensamos viene a ser la materia del pensamiento, en cambio el modo como expresamos ese algo en lo que hemos pensado es la forma del pensamiento. En todo pensamiento vamos distinguir dos elementos: la Materia, que es el contenido, el objeto a cerca del cual se piensa; y, la Forma que es el conjunto de operaciones mentales que se realizan para expresar un pensamiento. Observemos el siguiente ejemplo MATERIA Cuatro personas piensan en la torre Eiffel Y dicen: Supongamos que cuatro compañeros estamos pensando en la maravillosa obra arquitectónica que es la Torre Eiffel, que se encuentra en París. Esto se constituiría en la materia de nuestro pensamiento Lógica Formal 6 1. ¡ Que hermosa es la Torre Eifel! 2. Es una bella obra la Torra Eifel MATERIA 3. La Torre Eifel es una bella obra arquitectónica FORMA 4. La Torre Eifel en simplemente preciosa Pero, a pesar de que los cuatro piensan en lo mismo, la manera como expresan sus pensamientos es diferente, es decir, en cada uno la forma es distinta a pesar que la materia del pensamiento es la misma Muy importante: materia y forma son principios correlativos, es decir ninguno de ellos puede existir sin el otro; no hay contenido sin forma ni puede haber forma desprovista de contenido. De los dos elementos que conforman el pensamiento (materia y forma) el interés de la Lógica se centra en la forma que adquieren los pensamientos a momento en que son expresados. Conclusión: La Lógica en la ciencia que estudia las formas del pensamiento prescindiendo de su contenido. Lógica Formal 7 TEMA III LOS PRINCIPIOS LOGICOS La coherenciaI es un concepto que está muy ligado a la Lógica, porque esta es una disciplina que exige que haya coherencia, es decir una conexión o unión entre los elementos del pensamiento, así como entre los pensamientos, por ende la coherencia se constituye en una característica de la lógica. Podemos decir que una idea, un pensamiento, un razonamiento es lógico porque es coherente o viceversa, es coherente porque es lógico Veamos el siguiente ejemplo: - Casa es verde de amiga mi la María Esta frase es incoherente porque no existe conexión o unión lógica entre los elementos que la componen. Pero si escribimos - La casa de mi amiga María es Verde o - Verde es la casa de mi amiga María En los dos casos las proposiciones son coherentes, ¿por qué?, simplemente porque existe una conexión lógica entre los elementos que la conforman. Pero no solo entre los elementos de un pensamiento debe haber coherencia, también se exige coherencia en la relación de unos pensamientos con otros. Veamos el siguiente ejemplo: Coherencia. Conexión, relación o unión de unas cosas con otras - Actitud lógica y consecuente con una posición anterior Microsoft® Encarta® 2006.. Lógica Formal - 8 Algunos políticos de nuestro país son corruptos, por lo tanto, deben ser condecorados como héroes de la Patria Si analizamos estas dos proposiciones encontraremos que no existe la más mínima coherencia, porque no hay una relación lógica entre la primera y la segunda. Lo coherente sería decir, por ejemplo: - Algunos políticos de nuestro país son corruptos, por lo tanto, deben condenados por la sociedad. Se debe tener presente que de unos pensamientos derivan por necesidad otros, no podemos decir: “Esta brillando el sol, por consiguiente va a llover” o “Está lloviendo, salgamos a tomar sol”. En estos dos ejemplos incoherentes apreciamos, que no necesariamente de un pensamiento debe derivarse el otro La coherencia de los pensamientos no se produce al azar, por el contrario, está sujeta a leyes o principios que aseguran la validez de nuestros razonamientos. El hecho de que exista coherencia entre los elementos de un pensamiento y de que un pensamiento se derive de otro, significa que dentro de cada pensamiento y en la relación de un pensamiento con otro, hay una relación lógica que está regida por leyes. Estas leyes del pensamiento se han clasificado en cuatro principios lógicos. a) Principio de identidad El principio de identidad se expresa a través de la fórmula A es A lo que significa que un concepto o una idea es igual a si misma, la palabra identidad indica que una cosa es siempre la misma sin importar los diferentes nombres que se lo apliquen. Observemos los siguientes ejemplos: Bosque - Floresta – Boscaje Burro – Asno – Pollino Lógica Formal 9 Zapato - Calzado - Bota En estos conceptos encontramos que se cumple el principio de identidad, porque son términos sinónimos, es decir, a pesar de que utilizan distintos nombres todos están mencionando a un mismo objeto. Pero el principio de identidad no se cumple únicamente cuando nos referimos a conceptos, también se cumple cuando emitimos un juicio; observemos el siguiente ejemplo: El ser humano es un animal racional En este juicio (o proposición) tenemos un sujeto: ser humano, y un predicado: animal racional. ¿Cómo se produce en este ejemplo el principio de identidad? Pues, simplemente porque el predicado se refiere al mismo objeto que el sujeto, al decir “animal racional” nos estamos refiriendo al “ser humano”, podemos reducirlo a la fórmula A es A. Importante: para que se cumpla el Principio de Identidad es importante tomar en consideración, que el predicado debe expresar alguna cualidad exclusiva del sujeto. Esta es una condición indispensable para que se de el Principio de Identidad Analicemos un ejemplo más El perro es un animal doméstico que ladra En este ejemplo vemos que entre el sujeto y el predicado existe una correspondencia total; es decir, un animal doméstico que ladra, es únicamente el perro, es decir el predicado se identifica plenamente con el sujeto y viceversa. Lógica Formal 10 En definitiva, el principio de identidad es la equivalencia que existe entre un concepto y los caracteres que lo constituyen. CONCEPTO C CARACTERES El ser Humano es Animal racional El Perro es Animal doméstico que ladra b) Principio de contradicción Este principio establece que si hay dos juicios de los cuales el uno afirma y el otro niega la misma cosa, es imposible que ambos sean verdaderos; en este caso si uno es verdadero el otro necesariamente será falso y viceversa si uno es falso el otro será verdadero. Observemos los siguientes juicios: - Azogues es una ciudad ecuatoriana (A es B) - Azogues no es una ciudad ecuatoriana (A no es B) Aquí tenemos dos juicios contradictorios, porque el uno afirma y el otro niega la misma cosa, por lo tanto si uno de los dos es verdadero, lógicamente el otro será falso Importante: si tenemos los juicios A es B y A no es B, es imposible que ambos sean verdaderos a la vez; pues si uno de ellos es verdadero el otro necesariamente será falso. c) El principio de tercero excluido Cuando tenemos dos juicios contradictorios tales como A es B y A no es B, uno de los dos será verdadero y el otro necesariamente sea falso, no existe una tercera posibilidad, es decir hay únicamente dos posibilidades. Observemos el siguiente ejemplo: Lógica Formal 11 - Juan Carlos es un hombre sincero (A es B) - Juan Carlos no es un hombre sincero (A no es B) Uno de estos juicios es necesariamente verdadero y el otro es falso, es decir existen sólo estas dos posibilidades y queda excluida una tercera posibilidad, de ahí el nombre de tercero excluido que se da a este principio. d) Principio de razón suficiente Para nuestro pensamiento sólo son verdaderos aquellos juicios que podemos probar suficientemente basándonos en razones reconocidas como verdaderas. En otras palabras, si afirmamos o negamos algo, tenemos que decir ¿por qué?, para que nuestro juicio sea válido Observemos el siguiente ejemplo - El Tungurahua es un volcán Para que esta afirmación sea verdadera tenemos que dar razones que lo justifiquen el por qué; en el caso del ejemplo pudieran ser las siguientes: - Porque es una elevación geográfica que tiene un cráter - Porque tiene una actividad freática (movimiento interior) permanente - Porque ha erupcionado en varias ocaciones Las razones expuestas fundamentan el juicio expresado con respecto al Tungurahua, es decir se constituyen en “razón suficiente”, así es como funciona este principio. Importante: Si aceptamos como verdadero o como falso un juicio debemos dar las razones por las cuales eso es así, y esas razones deben ser en un número suficiente, para que lleven al convencimiento de la verdad de lo que afirmamos o negamos. Lógica Formal 12 Un último ejemplo: JUICIO - El caballo no es un animal racional - RAZÓN SUFICIENTE (Conocimientos reconocidos como verdaderos) No piensa Carece de conciencia y autoconciencia Actúa sólo por instinto Carece de sentimientos Lógica Formal 13 TEMA IV EL CONCEPTO ¿QUE ENTENDEMOS POR CONCEPTO? Vamos a partir de un ejemplo muy sencillo: - Los días eran alegres y llenos de luz Si prestamos atención a esta oración (o proposición) encontramos que está conformada por palabras: días – eran – alegres – llenos – luz, estas palabras son los elementos constitutivos de esta oración. Pero sabemos que es una oración (o proposición) porque tiene sentido, se han relacionado las palabra entre sí de manera que expresen un pensamiento. Dentro de este pensamiento cada palabra tiene un significado, es decir, constituye un concepto. En base a lo señalado podemos concluir que la oración está formada por palabras, que expresan un pensamiento y que ese pensamiento, a su vez, esta constituido por conceptos IMPORTANTE; Los CONCEPTOS son, pues, los elementos con que construimos nuestros pensamientos. Pero, así como no hablamos con palabras sueltas, tampoco pensamos con conceptos aislados. Si decimos: Pedro, casa, perro, montana, manada, ovejas; son solo palabras, que a su vez representan conceptos, sabemos lo que significan cada una de estas ellas, pero nada más. Pero si tomamos estas mismas palabras o conceptos y los relacionamos, de la siguiente manera: Pedro salió de su casa con su perro para ir a la montaña en Lógica Formal 14 busca de su manada de ovejas, hemos construido una oración, con la que expresamos un pensamiento Es muy importante que consideremos lo siguiente, la forma fundamental del lenguaje es la proposición (oración), es decir, una síntesis entre un sujeto gramatical y un predicado gramatical. De igual modo la forma más típica del pensamiento es el juicio, que es la síntesis dos conceptos, de los cuales uno es el concepto sujeto y otro es el concepto - predicado. Revisemos la siguiente proposición o juicio: - El computador es un aparato electrónico En esta proposición encontramos una síntesis entre un sujeto gramatical: el computador y un predicado gramatical: aparato electrónico. Pero, esta proposición expresa un juicio, en el cual encontramos un concepto sujeto computador, y un concepto predicado: aparato electrónico. Revisemos el mismo ejemplo de una forma esquemática El computador es un aparato electrónico Sujeto gramatical Concepto - sujeto Predicado gramatical Concepto – predicado Conclusión: la forma más elemental del pensamiento es el juicio, que es la síntesis de dos conceptos, un concepto sujeto y un concepto predicado ¿CÓMO SE FORMAN LOS CONCEPTOS? Les invito a hacer una simple reflexión, se han puesto a pensar ¿cuántas palabras tenemos incorporadas a nuestro léxico y las utilizamos todos los días?; ¿se han dado cuenta que no solamente utilizamos esas palabras sino que además Lógica Formal 15 conocemos su significado?. Ahora pensemos cómo se registraron esos conceptos en nuestro cerebro, en qué momento de nuestras vidas aprendimos no solamente el nombre sino el significado de las cosas, y no sólo de las cosas sino de los sentimientos, valores, ideales, etc. Sin mayor esfuerzo somos capaces de establecer la diferencia entre un perro y una montaña, entre lo que es la honestidad y lo que es la corrupción; o entre un pan y un helado. Pero, cómo aprendimos, cómo quedaron registrados esos significados en nuestra memoria. El proceso en realidad es menos complicado de lo que pensamos; prestemos atención al siguiente ejemplo: Cómo se forma en el niño el concepto de “pan”: El niño ve por primera vez un pan y forma en él una imagen visual del objeto “pan”. Pero la experiencia se repite un sinnúmero de veces, grabándose en memoria; de manera que en un momento el niño llega a reconocer visualmente el objeto “pan”. Pero hay que tomar en cuenta que el niño no solo ve el pan, sino también lo toca, lo come, lo huele y oye la palabra pan; de igual manera estas experiencias se repiten un sinnúmero de veces. Entonces el niño puede reconocer el pan no solamente viéndolo sino también gustándolo, tocándolo, etc. Con todo ese conjunto de percepciones parciales el niño forma el concepto “pan”. De manera que cuando el niño escuche la palabra “pan”, la va a asociar con un objeto determinado, que para él tiene características definidas y propias únicamente del objeto pan. Hasta aquí el proceso es aparentemente sencillo, pero lo más común es que el “pan” no siempre tenga la misma forma, el mismo sabor o la misma consistencia, sin embargo para el niño sigue siendo “pan”. ¿Qué es lo que ha pasado?, pues, simplemente en la mente del niño se ha operado un proceso: se han reforzado los Lógica Formal 16 elementos esenciales y se han esfumado o borrado las impresiones accidentales. De las diferentes impresiones del objeto “pan” queda algo así como un esquema formado por los caracteres esenciales de dicho objeto. En el caso del ejemplo, después del proceso que hemos descrito, la idea de “pan” deja de ser una mera representación del objeto “pan”, para convertirse en un concepto válido para cualquier clase de “pan”. Tiene valor universal. EN CONCLUSIÓN: Los conceptos se forman en base a las sensaciones que los objetos o las acciones han generado en nosotros; pero de esas sensaciones sólo tomamos los caracteres esenciales. Por ello se puede definir al concepto como la reunión de los caracteres esenciales de un grupo de representaciones ESTRUCTURA CONCEPTO En la estructuración del concepto la palabra desempeña un papel fundamental porque sirve para dar una designación unitaria a la pluralidad de representaciones. Observemos el siguiente ejemplo: - Animal doméstico perteneciente a la especie canina, que ladra y es considerado el mejor PERRO amigo del hombre Podemos observar que a través de la palabra perro hemos dado una designación unitaria a una pluralidad de representaciones: animal doméstico, especie canina, ladra, mejor amigo del hombre. Una vez formado el concepto éste no puede conservarse si no es con el auxilio de la palabra, puesto que es el único modo de fijar y dar estabilidad al pensamiento. Por ello es que el ser humano ha tenido necesariamente que dar nombre a las Lógica Formal 17 cosas materiales e ideales, la palabra, por consiguiente, se convierte en un soporte del pensamiento. IMPORTANTE: la palabra no es el pensamiento, es sólo un soporte del pensamiento. Sirve para expresar lo que pensamos NATURALEZA DEL CONCEPTO.- En el contenido de cada concepto debemos distinguir dos clases de características: 1) caracteres que son indispensables, esenciales, necesarios, sin los cuales no podemos pensar el concepto, 2) los caracteres accidentales, que pueden ser parte del concepto pero no son indispensables. Es decir, cuando pensamos en un concepto, cualquiera sea éste, tenemos que abstraer en nuestra mente sus caracteres esenciales, por ello el concepto tiene una naturaleza abstracta, porque se construye por las características esenciales que hemos abstraído de cierto número de representaciones. Este conjunto de cualidades o notas esenciales, constituyen la esencia de cada concepto. Con el siguiente ejemplo vamos a comprender mejor la expresado Cuando pensamos en el concepto “elefante”, nos viene a la mente un mamífero grande, de la familia de los paquidermos, con una larga trompa y grandes colmillos, y orejas grades en forma de abanico, que vive en la estepaII. Si observamos el conjunto caracteres en los que hemos pensado tenemos: mamífero grande, paquidermo, larga trompa, grandes colmillos, orejas grades en forma de abanicos, vive en la estepa. A pesar de que todos estos caracteres pertenecen al elefante no todos son exclusivos del elefante, ¿por qué?... porque hay muchos animales que son mamíferos grandes que tienen grandes colmillos y que viven en la estepa. Sin embargo, hay caracteres II Estepa llano con poca vegetación y muy extenso Lógica Formal 18 que pertenecen exclusivamente al elefante como: paquidermo, larga trompa, orejas grandes en forma de abanico. Entonces, aquellos que no son exclusivos del elefante son los caracteres accidentales, en cambio los que pertenecen únicamente al elefante son los caracteres esenciales CONCEPTO ELEFANTE CARACTERES ESENCIALES CARACTERES ACCIDENTALES - paquidermo, - mamíferos grande - larga trompa, - grandes colmillos - orejas grandes en forma de - viven en la estepa abanico CLASIFICACIÓN DE LOS CONCEPTOS Para clasificar los conceptos hay que tomar en cuenta las relaciones que puedan establecerse entre ellos, puesto que en nuestros pensamientos los conceptos siempre se presentan íntimamente relacionados entre sí, en una especie de trabazónIII. Estas relaciones entre conceptos pueden ser de tres clases: de identidad, de oposición y de dependencia. DE INDENTIDAD: El término identidad hace relación al hecho de ser iguales es decir de poseer las mismas características. Con relación a la identidad únicamente podemos encontrar dos alternativas, conceptos que sean iguales es decir idénticos y conceptos que sean opuestos, que no tengan ningún punto de identidad sino por el contrario sean dispares. Estas dos posibilidades son las que vamos a analizar a continuación: Conceptos idénticos; observemos con atención los siguientes conceptos: III trabazón. (De trabar). enlace de dos o más cosas que se unen entre sí. || 2 Conexión de una cosa con otra o dependencia que entre sí tienen. Lógica Formal - Cosmos – Mundo – Universo - Perro – Can – Sabueso - Pacto – Convenio - Tratado 19 En cada renglón tenemos tres conceptos pero estos tienen una particularidad, hacen referencia a una misma cosa, únicamente hemos utilizado palabras distintas. En cada grupo, los tres conceptos señalados hacen relación a las mismas características. El siguiente cuadro nos va a permitir entender de mejor manera. CONCEPTOS IDÉNTICOS CARACTERISTICAS - Cosmos – Mundo – Universo - El conjunto de todo cuanto existe - Perro – Can – Sabueso - Animal doméstico que ladra - Pacto – Convenio - Tratado - Acuerdo al que se llega entre dos o más personas En base a lo expuesto podemos definir a los conceptos idénticos diciendo que son aquellos que tienen iguales notas constitutivas o caracteres esenciales, todos los elementos del uno corresponden al otro, exactamente. Son conceptos que se conjugan y forman uno solo, aunque para designarlos hayamos empleado términos diferentes. IMPORTANTE: así como hay conceptos totalmente idénticos, existe la posibilidad de que esta identidad no sea absoluta sino relativa, por ejemplo: robo y hurto, ambos conceptos significan apropiarse de lo ajeno, pero en el caso del robo existe violencia, en cambio en el caso del hurto no hay violencia. Otro ejemplo: los conceptos doberman, rothwiler, galgo, estos conceptos son idénticos porque se refieren a un mismo animal, el perro, pero su identidad es relativa porque son animales de raza diferente. Conceptos dispares: son conceptos heterogéneosIV que no pueden parangonarseV (cotejar, comparar, relacionar), observemos los siguientes ejemplos. - Heterogéneo de diversa naturaleza. Hacer comparación de una cosa con otra IV V árbol – carro – gallina Lógica Formal 20 Entre estos conceptos no hay ninguna relación, es decir no son susceptibles de ser comparados, porque son conceptos que hacen relación a objetos o cosas de distinta naturaleza: el concepto árbol se refiere a un objeto totalmente distinto al objeto carro o al objeto gallina, e igual sucede con estos dos últimos. IMPORTANTE: al igual en estos conceptos también podemos encontrar un grado de relatividad puesto que siempre hay entre ellos algún rasgo o característica común, por ejemplo, jirafa y elefante son conceptos relativamente dispares, puesto que entre ellos existe un rasgo común por el hecho de que ambos hacen relación a animales de las estepas. La equivalencia Otra forma de identidad entre los conceptos es la equivalencia; son conceptos equivalentes aquellos que con diferentes expresiones señalan el mismo objeto, analicemos los siguientes ejemplos: - El puerto principal - La Perla del Pacífico GUAYAQUIL Este es un ejemplo claro de conceptos equivalente, porque hemos utilizado diferentes expresiones para nombrar una misma cosa. DE OPOSICIÓN: El término oposición en lógica se entiende como contrariedad o antagonismo entre dos cosas, es decir los conceptos son contradictorios cuando hay contradicción, oposición o antagonismo entre sus caracteres esenciales. De acuerdo a las posibilidades de oposición los conceptos pueden ser contradictorios y contrarios Lógica Formal 21 Contradictorios: Los conceptos contradictorios son aquellos en los que se produce la negación pura y simple del uno con respecto al otro, analicemos el siguiente ejemplo: - Inteligente Persona que tiene sus capacidades intelectuales muy desarrolladas - No inteligente Persona que no tiene sus capacidades intelectuales muy desarrolladas En estos dos conceptos el uno es la negación pura y simple del otro Ahora analicemos este otro ejemplo: - Inteligente Persona que tiene sus capacidades intelectuales muy desarrolladas - Tonto Persona que tiene sus capacidades intelectuales disminuidas Estos conceptos también son contradictorios pero en este caso no es que el uno es la negación del otro sino que indica la cualidad opuesta, en otras palabras tonto no sólo es lo contrario de inteligente, sino es además una cualidad positiva diferente. Contrarios: Los conceptos contrarios son los que expresan los extremos de las cualidades que pertenecen a un mismo géneroVI. Observemos con atención los siguientes ejemplos: - blanco – negro - claro – oscuro - bueno – malo Estos son conceptos contrarios porque expresan los extremos, pero si nos damos cuenta son extremos que están dentro de un mismo género: blanco y negro, VI El GENERO Clase o tipo a que pertenecen personas o cosas. Lógica Formal 22 pertenecen al género color; claro y oscuro, pertenecen al género luz; bueno y malo, pertenecen al género de los valores. IMPORTANTE: los conceptos contrarios son complementarios y correlativos, es decir, no puede existir el uno sin el otro, para que haya blanco tiene que haber el negro y viceversa DE DEPENDENCIA: El término dependencia vamos a entenderlo como una subordinación, por ejemplo el concepto caballo es subordinado con respecto al concepto animal. Lo que debemos saber es que los conceptos hacen relación a cosas materiales o ideales que están en relación o dependen de otras. Esta dependencia puede ser por subordinación o por coordinación, es por ello que de acuerdo a su dependencia los conceptos se han clasificado en conceptos subordinados y conceptos coordinados, como veremos a continuación Subordinados: Los conceptos subordinados son los que están contenidos en otros conceptos que los abarcan. Por ejemplo: cuaderno, lápiz, esferográfico, texto, borrador, son conceptos subordinados con respecto al concepto útiles escolares; que vendría a ser el concepto subordinante. MUY IMPORTANTE: los conceptos subordinantes son más extensos y constituyen el género, en cambio los conceptos subordinados constituyen la especie. Depende el concepto con el que se lo relacione para que un concepto sea subordinado o no. Presten atención al siguiente ejemplo: Lógica Formal - 23 Los mamíferos son animales que se gestan en el vientre y se alimentan de la leche materna Vamos a tomar en cuenta únicamente los dos conceptos subrayados: mamíferos y animales; el concepto mamífero es subordinado con respecto a animal; porque el concepto animal abarca al concepto mamífero, es decir es subordinante. Pero, qué pasa si decimos lo siguiente: - El caballo es un animal mamífero. En este caso el concepto mamífero ha dejado de ser subordinado para pasar a ser subordinante porque abarca al concepto caballo, en este caso el concepto caballo es subordinado porque está dentro de un concepto más extenso, que es mamífero. Coordinados: Los conceptos coordinados son aquellos que dependen en igual grado de un concepto común del cual son subordinados; se trata por lo tanto de conceptos de especie que pertenecen al mismo género. Un ejemplo va a dar mayor claridad a lo enunciado. - El perro, el gato, la vaca , el caballo, son animales En este ejemplo tenemos los conceptos perro, gato, vaca, caballo, que dependen en igual grado del concepto animal, es decir, son subordinados (especies) con respecto a este concepto que vendría a ser el género al que pertenecen. Entonces, en este caso perro, gato, vaca, caballo, son conceptos coordinados, todos ellos son especies que pertenecen al mismo género: animal. Otro ejemplo: Lógica Formal 24 ESPECIE - Hombre - Mujer - Niño - Niña - Joven - Adolescente GÉNERO Humano (todos estos son conceptos coordinados) EXTENSIÓN Y COMPRENSIÓN DE LOS CONCEPTOS Se entiende por extensión de un concepto al número de objetos o individuos a los cuales pueda referirse dicho concepto. Por ejemplo si decimos humano nos estamos refiriendo a todos los seres que forman el género humano, esto significa que un concepto puede tener bajo de sí un gran número de otros conceptos: hombre, mujer, niño, niña, muchacho, chica, deportista, artista, etc. Pero si decimos Carlos, nos estamos refiriendo a un solo individuo del género humano. La extensión de un concepto dependerá del número de conceptos que abarque dentro de sí. En el caso del ejemplo anterior humano es un concepto más extenso porque abarca a todos los seres que pertenecen a este género, en cambio Carlos será un concepto menos extenso Otro ejemplo: Volcán Tungurahua Lógica Formal 25 Volcán es un concepto más extenso porque abarca a todos los volcanes, en cambio Tungurahua es menos extenso porque se refiere a un volcán en particular. La comprensión de un concepto depende del número de caracteres que contiene, cuando mayor es el número de caracteres o características su comprensión es menor. Por ejemplo si decimos hombre, podemos estar refiriéndonos genéricamente a la especie humana o a todos los humanos del sexo masculino; es decir es un concepto cuyo nivel de comprensión es muy general. En cambio si decimos Simón Bolívar, el nivel de compresión es mayor porque nos estamos refiriendo a un hombre en particular. Entonces está claro que a mayor extensión menor comprensión y a menor extensión mayor comprensión. CONCLUSIÓN: La extensión y comprensión se encuentran en razón inversa entre sí; es decir, un concepto que tenga mayor extensión tendrá menor comprensión y viceversa, un concepto que tenga menos extensión tendrá mayor comprensión Lógica Formal 26 TEMA V EL JUICIO EL JUICIO COMO UNIDAD DEL PENSAMIENTO Cuando pensamos y cuando expresamos un pensamiento, no emitimos ideas sueltas o conceptos aislados. Las ideas y los conceptos siempre se presentan en una conexión determinada, que garantiza su coherencia, de manera que los conceptos forman una síntesis, una unidad de sentido. Esta unidad de pensamiento en su forma más sencilla es el juicio. El juicio no es una simple conjunción o suma de palabras ya que dentro de sí lleva un significado; es decir nos comunica una idea Observemos el siguiente ejemplo: La camisa es blanca Este es un juicio, si lo analizamos descomponiéndolo encontramos que sus partes más importantes son los conceptos camisa y blanca, pero entre ambos conceptos existe la partícula es que establece la relación entre camisa (sujeto) y blanca (predicado), esta relación quiere decir que el objeto camisa tiene la cualidad blanca. La camisa es Concepto sujeto blanca Concepto predicado Acabamos de ver que en el juicio se establece una relación entre conceptos, a través de esta relación siempre se enuncia algo. Aristóteles definió el juicio diciendo que era “un discurso en el cual se afirma o se niega algo”. Lógica Formal 27 Siempre en un juicio, por más complejo y extenso que sea, encontraremos dos miembros y nada más que dos miembros: sujeto y predicado, o sea el objeto a cerca del cual se enuncia algo (sujeto) y el enunciado (predicado) Observemos los siguientes juicios: - Los alumnos son ecuatorianos - Los alumnos del Juan Bautista son ecuatorianos - Los alumnos del cuarto curso del Juan Batista son ecuatorianos en su mayoría - Los alumnos del cuarto curso de ciencias sociales del Juan Bautista son ecuatorianos en su mayoría de la provincia de Cañar - Los alumnos del cuarto curso de ciencias básicas del Juan Bautista son ecuatorianos en su mayoría de la provincia de Cañar, de la ciudad de Azogues. Como podemos apreciar en el ejemplo un mismo juicio se puede expresar de diferentes formas, sin que cambien sus dos miembros (sujeto y predicado). Pero en todo juicio tenemos un elemento fundamental, que hace una labor de enlace, que une los conceptos sujeto y predicado, este elemento es el verbo al que en términos de la lógica se le denomina cópula, precisamente porque permite la relación entre sujeto y predicado. La cópula tiene dos funciones: - La primera función es la de referir, porque da un predicado al sujeto; - la segunda función es la de enunciar, porque permite decir algo sobre el sujeto. Observemos el siguiente ejemplo: Los campos son verdes Los campos son sujeto Cópula Refiere verdes Enuncia verdes Lógica Formal 28 CLASIFICACIÓN DE LOS JUICIOS Los juicios se clasifican de acuerdo a cuatro categorías: según su cantidad, según su cualidad, según su relación y según su modalidad. SEGÚN SU CUALIDAD : los juicios pueden clasificarse en afirmativos y negativos Juicios Afirmativos son aquellos en los que el predicado expresa una cualidad (o señal) del sujeto, es decir cuando el predicado forma parte del sujeto. Por ejemplo: La gallina es ovípara, En este ejemplo el predicado (ovípara) esta afirmando una cualidad del sujeto (gallina). La cualidad ovípara forma parte de gallina. Juicios Negativos, son aquellos en los que el predicado niega alguna cualidad o señal del sujeto, es decir, en los juicios negativos el predicado no forma parte del sujeto. Por ejemplo: La gallina no es mamífero En este caso el predicado mamífero no forma parte del sujeto gallina, esta expresando una negación. SEGÚN LA CANTIDAD: los juicios pueden ser universales y particulares Juicios Universales, son aquellos en los que el predicado se extiende a toda una clase de objetos. Lógica Formal 29 Por ejemplo: Todos los estudiantes del Juan Bautista son ecuatorianos. En este caso el predicado se extiende a toda la clase designada por el sujeto. Juicios Particulares, son aquellos en los que el predicado se extiende solamente a una parte de una clase de objetos. Por ejemplo: Algunos estudiantes del Juan Bautista son de Bilblián. En este juicio el predicado se extiende sólo a una parte de la clase de objetos designados por el sujeto. DE ACUERDO A SU RELACIÓN: los juicios se clasifican en categóricos, disyuntivos e hipotéticos Juicios Categóricos, son aquellos en los que la afirmación es absoluta, sin depender de ninguna otra condición. Por ejemplo: La tierra es un planeta. la afirmación en este caso es absoluta, no admite discusión. Juicios Disyuntivos aquellos en los que el sujeto puede ser determinado de muchas maneras, es decir tener varios predicados, pero puede ser determinado por uno solo de ellos. Por ejemplo: El león es carnívoro o herbívoro Lógica Formal 30 En el caso del ejemplo se presenta una disyuntiva, el león o es carnívoro o es herbívoro, pero no puede ser las dos cosas a la vez. Juicios Hipotéticos Son aquellos en los que la relación que se establece entre el sujeto y el predicado está subordinada a otra relación que es una condición. La primera parte que es una condición es una hipótesis y la segunda es una tesis. Por ejemplo, Si la jirafa come sólo hierba, entonces la jirafa es herbívora. Como podemos observar en la primera parte del juicio se plantea una hipótesis (si la jirafa come sólo hierba); en la segunda parte se propone una tesis (la jirafa es herbívora). Es decir sólo si se cumple la primera la segunda es verdadera. En otras palabras, únicamente si la jirafa come sólo hierba (hipótesis), se podrá decir que la jirafa es herbívora (tesis) DE ACUERDO CON LA MODALIDAD: los juicios pueden ser: problemáticos, asertóricos y apodícticos Juicios Problemáticos son aquellos en los que la relación entre sujeto y predicado se presenta como posible. Obedece a la fórmula “puede ser” Por ejemplo: El cáncer de pulmón puede deberse al cigarrillo. Como se puede apreciar aquí la relación del sujeto con el predicado se presenta como posible, porque no se está afirmando ni negando nada, únicamente se está planteando una posibilidad, es decir se deja plantado un problema, por ello reciben el nombre de problemáticos. Lógica Formal 31 Juicios Asertóricos son aquellos en los que la relación entre el sujeto y el predicado se presenta como una realidad, siendo su fórmula “es” Por ejemplo: El paludismo es transmitido por el mosquito anofeles. El sida no es transmitido por simple contacto físico En el caso de estos dos no existe duda, el predicado afirma o niega algo del sujeto. En el primer juicio se afirma que el anofeles transmite en paludismo; en el segundo juicio se niega que el sida se transmita por simple contacto físico. Pero en ambos casos se esta señalando algo que se sabe que es verdadero. Juicios Apodícticos son aquellos en los que la relación entre el sujeto y el predicado se presenta como una necesidad. Su fórmula es “debe ser “ Por ejemplo: El triángulo debe ser de tres lados y tres ángulos Aquí el predicado expresa una necesidad del sujeto, es decir, para que sea triángulo debe tener tres lados y tres ángulos, necesariamente. Lógica Formal 32 TEMA VI EL RAZONAMIENTO LA DOCTRINA DEL RAZONAMIENTO Cuando expresamos nuestros pensamientos no lo hacemos con juicios aislados, por lo regular un juicio sugiere a otro, estableciéndose entre ellos una relación. Observemos el siguiente ejemplo - El sol está por ocultarse Este es un juicio afirmativo que nos está señalando un acontecimiento que va a ocurrir. Pero podemos agregar otro juicio. - Pronto llegará la oscuridad Este es otro juicio afirmativo independiente del anterior en el que también se hace relación a un hecho que está por ocurrir. Pero, si encadenamos estos dos juicios habremos construido un razonamiento: - El sol está por ocultarse, pronto llegará la oscuridad ¿Por qué llamamos a esto un razonamiento?, pues simplemente porque al encadenarlos los juicios pierden su autonomía y el uno pasa a ser consecuencia del otro; es decir, el hecho de que se oculte en sol traerá como consecuencia la llegada de la oscuridad. A estos juicios podemos seguirles sumando otros en una larga cadena, de manera que todos, en conjunto, van a formar parte de un mismo razonamiento, por ejemplo: - El sol está por ocultarse, pronto llegará la oscuridad, debemos preparar unas lámparas y como también habrá mucho frío, procuremos tener a lado una Lógica Formal 33 mantas para abrigarnos; la noche es larga debemos disponernos a pasarlo bien En el ejemplo hemos encadenado nueve juicios y si observamos con atención veremos que el uno es consecuencia del otro y el otro del otro, etc. pero todos están formando parte de un mismo razonamiento Al encadenamiento de los juicios en los que el uno es consecuencia del otro o de los otros es lo que llamamos RAZONAMIENTO Para entender de mejor manera el proceso de encadenamiento de los juicios, que es la condición básica para que exista un razonamiento, podemos simbólicamente representar el proceso, de la siguiente manera: A es igual a B y B es igual a C, luego A es igual a C. veamos el siguiente ejemplo: - Pedro (A) es un futbolista (B) - El futbolista (B) es un atleta (C) - Luego Pedro (A) es un atleta (C) LA INFERENCIA La forma más perfecta y completa de razonamiento es cuando de uno a varios juicios derivamos otro juicio, que viene a ser la conclusión; por ejemplo: - La computadora es un aparato electrónico, por lo tanto necesita corriente eléctrica para funcionar En este ejemplo observamos que del primer juicio se deriva el segundo, que vine a ser una conclusión. De igual manera, de varios juicios también se puede derivar una conclusión. Por ejemplo: Lógica Formal 34 - Los perros son animales domésticos, Lassie es un pero, luego Lassie es un animal doméstico IMPORTANTE: Es preciso hacer notar que no todo enlace de juicios constituye un razonamiento; por ejemplo, si decimos: la montaña es una elevación y el valle es un llano, hemos enlazado dos juicios pero no hemos hecho un raciocinio. Para que haya raciocinio es necesario que un juicio sea la consecuencia del otro. Condiciones para que haya un raciocinio: 1.- Debe haber un orden lógico entre las premisas de modo que primeramente estén las premisas y luego la conclusión. Ejemplo: - Los futbolistas son deportistas - Carlos es futbolista - Luego Carlos es deportista PREMISAS CONCLUSIÓN 2.- El raciocinio debe ser concluyente, es decir que la conclusión debe surgir de las premisas. En el caso del ejemplo la conclusión: Luego Carlos es un deportista, es resultado de las dos premisas anteriores. Clases de inferencia: las inferencias pueden ser de dos clases: inmediatas y mediatas Inferencia inmediata: se produce cuando la conclusión fluye de una sola premisa. Es decir entre el juicio que sirve de premisa y la conclusión no hay un juicio intermedio o intermediario. Ejemplo - Todos las montañas son accidentes geográficos por lo tanto - Algunos accidentes geográficos son montañas PREMISA CONCLUSIÓN Lógica Formal 35 En este ejemplo vemos que el primer juicio funciona como premisa y de él inmediatamente se infiere un segundo que vendría a ser la conclusión, es decir se produce una inferencia inmediata Inferencia mediata: se produce cuando de un juicio se llega a otro mediante el concurso de un tercer juicio que hace de premisa intermedia. Ejemplo: - Todo hortaliza es un vegetal 1ra premisa - El brócoli es una hortaliza Premisa intermedia - Luego, el brócoli es un vegetal CONCLUSIÓN Como observamos en este ejemplo para llegar a la conclusión hemos empleado un juicio que funciona como premisa intermedia. FORMAS DE RAZONAMIENTO Como acabamos de ver el razonamiento lógico consiste esencialmente en inferir de uno o varios juicios otro juicio nuevo que es la conclusión. Dentro de esta operación lógica puede haber dos alternativas, llamadas deducción e inducción. La deducción: un razonamiento deductivo es el que se aplica a un principio conocido (o descubierto) para explicar casos particulares. La deducción consiste en partir de un principio general ya conocido, para inferir de uno particular que vendría a ser una consecuencia. Ejemplo: - Todo mineral es maleable, luego el oro, que es un mineral, es maleable Lógica Formal 36 En este razonamiento observamos que de un principio general conocido se concluye uno particular. Entonces, el razonamiento deductivo es el que va de lo universal a lo particular La inducción: este razonamiento sigue un camino inverso al deductivo parte de premisas particulares que se refieren a hechos observados, para llegar a una conclusión universal o general. - Mis hijos José y Jorge son estudiantes de medicina - Todos mis hijos son estudiantes de medicina. En este ejemplo se produce una inducción, partimos de un hecho particular para llegar a una conclusión de tipo universal. Este tipo de razonamiento es el más empleado por la ciencia, toda ciencia parte de observaciones particulares para en base a ellas proponer principios o leyes de carácter universal. Por ejemplo, Newton observó que los cuerpos pesados indistintamente caían, entonces experimentó en diferentes circunstancias y vio que siempre se repetía este fenómeno y de ahí dedujo la Ley de gravedad, que se enuncia: todo cuerpo más pesado que el aire cae indefectiblemente hacia el centro de la tierra. Es decir paso de la observación de fenómenos particulares a una ley de tipo universal. Lógica Formal 37 TEMA VII EL SILOGISMO QUÉ EL SILOGISMO El silogismo es la forma más perfecta de razonamiento deductivo, se trata de una inferencia mediata, puesto que de un juicio se llega a una conclusión a través de otro juicio que sirve como mediador (juicio intermediario). Por lo tanto el silogismo estará constituido de por tres juicios, relacionados de tal modo que presentados los dos primeros, se sigue necesariamente un tercero. Observemos el siguiente ejemplo - Todo astro que brilla con luz propia es una estrella - el sol es un astro que brilla con luz propia - luego, el sol es una estrella En el caso del ejemplo observamos que del juicio “todo astro que brilla es una estrella” llegamos al la conclusión: “el sol es una estrella”, con la intervención de un juicio mediador o intermediario, “el sol brilla con luz propia” Elementos del silogismo Si observamos con atención el silogismo veremos que se compone de tres conceptos (o términos) que se encuentran unidos de dos en dos en cada una de las premisas y en la conclusión. Analicemos el ejemplo: en el primer juicio tenemos los conceptos “astro que brilla con luz propia” (sujeto) y “estrella” (predicado); en el segundo juicio (intermedio) tenemos los conceptos “sol” (sujeto) y “astro que brilla con luz propia” (predicado); y, en el tercer juicio (conclusión) tenemos los conceptos “sol” (sujeto) y “estrella” (predicado). Es decir en cada juicio encontramos un término sujeto y un término predicado. Lógica Formal 38 Prestemos atención, según el lugar que ocupen en a conclusión los términos adquieren nombres especiales, se llama término mayor al concepto que es predicado de la conclusión, cuyo símbolo es P; se llama término menor al concepto que es sujeto de la conclusión, cuyo símbolo es S; y, se llama término medio al concepto que a pesar de estar en las premisas, no se encuentra en la conclusión, cuyo símbolo es M. Observemos el siguiente esquema para comprender de mejor manera lo señalado. - Todo astro que brilla con luz propia es una estrella M P - el sol es un astro que brilla con luz propia S M - luego, el sol es una estrella S P En cuanto a los juicios que forman el silogismo, los dos primeros son las premisas y el tercero es la conclusión; de las premisas la una es la premisa mayor, en ella se establece la relación entre el término mayor (P) y el término medio (M). A la segunda premisa se la llama premisa menor, en esta se establece la relación entre el término medio (M) y el término menor (S). Como podemos apreciar en el ejemplo, en las dos premisas entran los tres términos (P, S y M), pero en la conclusión nunca entra el término medio (M) Las reglas del silogismo Para que de las premisas se llegue a una conclusión, es preciso que se cumplan ciertas condiciones, es así como se han fijado ciertas reglas, veremos únicamente las más importantes: 1.- El silogismo debe tener solo tres términos: el medio (M), el mayor (P) y el menor (S), si tienen menos o más de tres términos, ya no existe silogismo Lógica Formal 39 2.- El término medio no debe entrar en la conclusión. La función del término medio es hacer evidente la unión del término mayor (P) con el término menor (S) 3.- De dos premisas afirmativas no se puede inferir una conclusión negativa. Veamos el siguiente ejemplo: Los estudiantes son de Azogues Azogues pertenece a la provincia del Cañar Luego los estudiantes no son de Azuay Esta es una conclusión falsa 4.- De dos premisas negativas no se saca ninguna conclusión Veamos el siguiente ejemplo: Ningún estudiante es de Azuay Azuay no es el Cañar Luego, los estudiantes son del Cañar De igual manera esta también sería una conclusión falsa 5.- De dos premisas particulares no se puede obtener ninguna conclusión Veamos el siguiente ejemplo: Algunas estudiantes son de Biblia Algunos estudiantes son de Déleg De estas dos premisas es imposible obtener una conclusión Lógica Formal 40 Las figuras del silogismo Para definir las figuras del silogismo se toma en cuenta las diferentes combinaciones que resultan de la posición del término medio (M) en las premisas. Entonces, las figuras dependen del lugar que ocupe el término medio (M) en las premisas: unas veces es sujeto, otras es predicado; también puede ser sujeto y predicado en ambas premisas. En base a esta combinación resultan las cuatro figuras del silogismo: 1ª FUGURA Todo gato es un animal doméstico M P Romina es una gata S M Romina es un animal doméstico S P En esta figura el término medio (M) hace de sujeto en la premisa mayor y predicado en la premisa menor. Para quesea válida esta premisa es necesario que la premisa mayor sea universal afirmativa o universal negativa y la premisa menor sea afirmativa. 2ª FUGURA Ningún mentiroso merece confianza P M Todo hombre de bien merece confianza S M Ningún hombre de bien es mentiroso S P Como se ve en la segunda figura el término medio (M) hace de predicado en ambas premisas. La premisa mayor es universal y una de las dos debe ser negativa 3ª FUGURA Algunos corruptos amasan grande fortunas M P Todos los corruptos son malvados M S Algunos malvados amasan grandes fortunas S P Lógica Formal 41 En esta figura el término medio (M) es sujeto en ambas premisas. La premisa mayor es afirmativa y la conclusión es particular 4ª FUGURA Algunos estudiantes descuidados son ociosos M S Ningún estudiante aplicado es descuidado P M Algunos estudiantes ociosos no son aplicados S P En esta figura el término medio (M) hace de sujeto en la premisa mayor y de predicado en la premisa menor, esta es la forma menos común de razonamiento, por ello es que casi nunca se lo utiliza. Los modos del silogismo El aspecto particular que presenta el silogismo según la naturaleza de las tres proposiciones es lo que se llama modo del silogismo. A cada tipo de proposición le asignamos una letra, como sigue: A: universal afirmativa E: universal negativa I: particular afirmativa O: particular negativa Como bien sabemos un silogismo esta constituido de dos premisas y una conclusión, de acuerdo al carácter que tenga cada proposición del silogismo se determinará el modo del silogismo, por ejemplo: Todos los mamíferos son vertebrados (A) Algunos animales acuáticos son mamíferos (I) Luego, algunos vertebrados son animales acuáticos (I) Lógica Formal 42 De la combinación de tres en tres de las cuatro clases de proposiciones (A,E,I,O) se obtienen 64 combinaciones posibles, pero no todas ellas son válidas porque algunas son contrarias a las reglas del silogismo, de estas 64 posibles combinaciones solamente 19 son modos correctos, que son las siguientes: A,A,A - E,A,E - A,I,I - E,I,O - E,E,E – A,E,E – E,I,O – A,O,O – E,I,A – A,A,I – E,A,O – O,A,O – E,I,O – A,I,A – A,A,I – A,E,E, - I,A,I – E,A,O – E,I O. Veamos los siguientes ejemplos: Todas las fieras son carnívoras A Algunos animales son fieras I Algunos animales son carnívoros I Ningún insecto tiene más de tres pares de patas E Algunos parásitos son insectos I Algunos parásitos no tienen más de tres pares de patas O