12/12/2009 - CiberEsquina - Universidad Nacional Abierta

Prueba Integral
Te
quiero
Lapso 2009-2
739 –1/7
Universidad Nacional Abierta
Matemática V (739)
Vicerrectorado Académico
Cód. Carrera: 236 – 280
Área De Matemática
Fecha: 12 – 12 – 2009
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos del 1 al 10.
OBJ 1 PTA 1
Determine si la serie converge absolutamente, condicionalmente o si diverge.
Solución
Apliquemos el criterio del cociente (Criterio de D’alembert) a la serie
Es decir calculamos
como
entonces la serie converge absolutamente.
OBJ 2 PTA 2
A partir de
, obtener un desarrollo en series de potencia de x, para
Solución
Se tiene que
si sustituimos x por –t nos queda
luego, integramos desde 0 hasta x obtenemos
Elaborado por: José Casella
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Por lo tanto
OBJ 3 PTA 3
Considere la función definida por
.
i) Grafique la extensión periódica
ii) Desarrolle en serie de Fourier la función
Nota: Se considera logrado el objetivo si responde correctamente ambas partes.
Solución
Ver Matemática V (código 739, tomo I) paginas 180-181.
OBJ 4 PTA 4
Dada la función
Determinar si u es armónica y en caso afirmativo halle la armónica conjugada.
Solución
Hallemos las primeras y segundas derivadas parciales de la función u
(2)
sumando (1) y (2) obtenemos
De aquí que la función u es armónica.
De las ecuaciones de Cauchy-Riemann. se tiene
Integrando 3 con respecto a y:
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Para hallar C(x), sustituimos v en la ecuación (4)
Integrando obtenemos C.
.
Sustituyendo este valor en la ecuación (5) obtenemos finalmente:
OBJ 5 PTA 5
Hallar el valor numérico de
a lo largo de la curva
dada por
Solución
Para z = 0 y z = 4+2i sobre C, corresponden t = 0 y t = 2 respectivamente, la integral de línea
correspondiente es:
OBJ 6 PTA 6
Desarrolle en Serie de Laurent
, en la región
.
Solución
Valido para
; es decir
Elaborado por: José Casella
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OBJ 7 PTA 7
Calcule la siguiente integral
Considere
sobre la curva
.
senz
=1 para z = 0.
z
Solución
Sea
;
posee singularidades en
z = i2kπ con k∈Z; z = −i π, pero solo los puntos z = 0, z = i2π
están dentro de C.
Entonces
(*)
Calculemos los residuos en cada uno de los puntos
a) En z = 0 hay un polo simple.
Como
senz
=1 para z = 0,
z
, entonces
=
b)
En z = i2π hay un polo simple
(¡verifícalo!).
(polo simple en
),
sustituyendo en (*) los valores encontrados en a) y b) obtenemos
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OBJ 8 PTA 8
Evalúe usando el teorema de los residuos.
Solución
Tiene polos simples en
Al multiplicar por
, tenemos:
OBJ 9 PTA 9
Usando el teorema de convolución, determine la transformada inversa de
.
Solución
Sea
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OBJ 10 PTA 10
Resuelva, utilizando transformada de Laplace, la siguiente ecuación diferencial
y′′ – 3y′ + 2y = 6e2 t ,
sujeta a las condiciones iniciales: y(0) = 1, y′(0) = 0.
Solución
De las propiedades de la transformada de Laplace y de las condiciones iniciales, tenemos que:
L(y’’) - 3L(y’) + 2L(y) = 6L(e2 t )
t2L(y) - t - 3tL(y) + 3 + 2L(y) =
(t2 - 3t + 2)L(y) =
L(y) =
(t
2
6
t-2
6 + ( t - 3 )( t - 2 )
6
+t-3=
t-2
( t - 2)
- 5t + 12
)
( t - 2 ) ( t 2 - 3t + 2)
=
(t
2
- 5t + 12
)
( t - 2 )( t - 2)( t - 1)
.
Aplicando fracciones parciales en la última igualdad obtenemos:
(t
L(y) =
)
A ( t - 2 )( t - 1) + B ( t - 1) + C ( t - 2 )
B
A
C
=
+
+
=
2
2
2
( t - 1)
( t - 2 ) ( t - 1)
( t - 2 ) ( t - 1) ( t - 2) ( t - 2)
2
- 5t + 12
2
,
de donde por igualdad de fracciones, tenemos:
t2 - 5t + 12 = (A + C)t2 + (- 3A + B - 4C)t + (2A - B + 4C).
Lo anterior nos conduce a plantear y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
A+C=1
- 3A + B - 4C = - 5
2A - B + 4C = 12
Luego de resolver encontramos que la solución del sistema es:
A = - 7,
B=6
y
C = 8.
Por lo tanto:
Elaborado por: José Casella
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L(y) =
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6
-7
8
+
+
.
2
( t - 2) ( t - 2)
( t - 1)
Aplicando transformada inversa a ambos lados de la igualdad anterior, resulta:
⎡ 1 ⎤
⎡ 1 ⎤
⎡ 1 ⎤
2x
x
-1
2x
⎢
⎥ + 8 L -1 ⎢
y = - 7 L -1 ⎢
+
6
L
⎥
⎥ = - 7e + 6 xe + 8 e
2
t
2
t
1
⎢⎣ ( t - 2 ) ⎥⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
FIN MODELO DE PRUEBA
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