π π π π π π π

PROBLEMAS CON APLICACIONES EN CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Al acelerar un automóvil después del arranque, recorre 0.60t 2 m en t seg. Halle la
velocidad v al tiempo t y determine el instante en el cual v=15m/seg.
x(t ) = ∫ v(t )dt = t +
x(0) = 0 =
c=−
1
cos(2π t ) + c
2π
1
+c
2π
1
2π
x(t ) = t +
1
1
cos(2π t ) −
2π
2π
Un balón pateado verticalmente hacia arriba alcanza una altura h = 14.7t − 4.9t 2
pies después de t seg. Hallar la razón de incremento de altura al tiempo t; al tiempo t=1
seg.; t=2 seg.
El balón se mueve en una recta vertical y recorre la distancia h por tanto la razón dada es
dh
dt
asi
h = 14.7t − 4.9t 2
dh
= 14.7 − 9.8t
dt
para
dh
= 4.9m / seg
dt
dh
t=2
= −4.9m / seg
dt
t =1
Calcule aproximadamente el volumen neto de una bomba esférica de un radio
interior de 10cm y un espesor de 2mm.
Para una esfera sólida de radio r v =
4π 3
r
3
dv
= 4π r 2
dr
dv = 4π r 2 dr
como r = 10 dr = 0.2
 2
dv = 4π (10 2 )   = 80π
 10 
cm3
Una ciudad tiene forma de cuadrado de x kms. De lado. A causa del crecimiento
1
% .
de la población y la construcción de suburbios, x esta creciendo a razón de km / ano
2
Hallar la razón de incremento del área urbaa cuando ocupa 36 km 2 .
La razón del crecimiento del lado es x, así la razón de crecimiento es el área dada por
A = x2
Por regla de la cadena
dA dA dx
dx
=
= 2x
dt dx dt
dt
dx 1
como
=
dt 2
dA
1
= 2x = x
dt
2
cuando A = 36
x 2 = 36
x=6
dA
%
= 6km / ano
dt
Determine el área A(x) limitada por la parábola y = x 2 y el eje x, desde el origen
hasta la vertical que pasa por x. aquí x =0.
A(x) denota el área buscada
A′ ( x ) = f ( x ) = x 2
Una función que satisface la ecuación es
x3
A ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ x 2 dx = = c (1)
3
Así A(x) representa el área bajo la parábola.
El área es cero en el origen A(0)=0.
Sustituyendo en (1)
A(0)=0+C
C=0
Así
A( x) =
1 3
x
3
Se levanta un saco de cemento de 50kg. Hasta un muro de 15m. de alto. A medida
que sube el bulto, se va derramando 1kg. De cemento por m de ascenso. A través de un
roto imprevisto. Calcule el trabajo realizado para izar el saco hasta el tope.
A una altura z sobre el suelo el bulto pesa (50-z) kg. El trabajo para subir en ese punto el
bulto en un subintervalo ∆z es ∆w=(50-z) ∆z km/h. El trabajo total es la suma de todos
estos elementos desde z=0 hasta z=15.
15

z2 
225
W = ∫ ( 50 − z ) dz =  50 z −  = 750 −
= 637.5kg ⋅ m
0
2 0
2

Partiendo del reposo, un carro de carreras se acelera a 2m/seg^2 calcule su
velocidad media durante los primeros 60 seg, cuando se toma el promedio con respecto al
tiempo.
15
Al tiempo t, v=2t m/seg. Puesto que
∫
v=
60
dv
=2=a
dt
60
vdt
1 60
1 2
60 2
=
2
tdt
=
t
=
= 60
60 − 0 60 ∫0
60 0
60
La velocidad media es 60 m/seg.
0
Busque el área entre y = 1 + x 4 e y = 15 + x en el intervalo 0 ≤ x ≤ 2
Esta área es la diferencia de dos áreas, la primera bajo la curva y = 1 + x 4 y la segunda
bajo y = 15 + x . Designamos A1 ( x) y A2 ( x) las funciones de área entre las curvas y A(x)
la función de área entre las curvas, así.
A( x) = A2 ( x) − A1 ( x)
dA( x) dA2 ( x) dA1 ( x)
=
−
dx
dx
dx
dA( x)
= 15 + x − (1 + x 4 ) = 14 + x − x 4
dx
x2 x5
A( x) = ∫ (14 + x − x 4 )dx = 14 x + − + c
2 5
para x = 0
A(0) = 0 = c
A( x) = 14 x +
asi
x2 x5
−
2 5
A(2) = 14(2) +
2 2 25
32
3
− = 28 + 2 −
= 23
2 5
5
5
Así el área pedida es 23
3
unidades cuadradas.
5
Una partícula se mueve en el eje x con una aceleración en algún tiempo t dada por
a(t)=6t-18. en el tiempo t=0 la velocidad de la partícula es v(0)=24, y el tiempo t=1 esta
posición es x(1)=20.
a) escribe una expresión para la velocidad v(t) de la partícula en un tiempo t.
b) encuentra la distancia total del recorrido de la partícula de t=1 a t=3.
a)
v(t ) = ∫ a(t )dt = ∫ (6t − 18)dt = 3t 2 − 18t + c
v(0) = 24 = c
v(t ) = 3t 2 − 18t + 24
b)
3
dis tan cia = ∫ v(t ) dt
1
2
3
= ∫ v(t )dt − ∫ v(t )dt = 6
1
2
Una partícula se mueve en el eje x con una velocidad y un tiempo t≥0 dada por
v(t ) = 1 − sin(2π t )
a) encuentra la aceleración a(t) de la partícula en un tiempo t.
b) encuentra la posición de la partícula x(t) en un tiempo t si x(0)=0.
a)
a (t ) = v′(t ) = −2π cos(2π t )
b)
1
x(t ) = ∫ v(t )dt = t +
cos(2π t ) + c
2π
1
x(0) = 0 =
+c
2π
1
c=−
2π
1
1
x(t ) = t +
cos(2π t ) −
2π
2π