TEMA 3 Elementos de la teoría de los conjuntos.*

TEMA
3
Elementos de la teoría de los
conjuntos.*
• Conjuntos.
Un conjunto es cualquier colección, bien definida, de objetos llamadas elementos o miembros del conjunto.
Una manera de describir un conjunto es poner los elementos entre llaves en forma de lista (no importa el orden). Así, el
conjunto de las tres primeras letras del alfabeto se puede escribir: {a, b, c}. Esta forma de descripción se llama por extensión.
Cuando el conjunto tiene infinitos elementos o no es conveniente describirlo enumerando cada uno de ellos, se suele describir
especificando una propiedad de los elementos del mismo (por comprensión). Por ejemplo, el conjunto que contiene todas las letras
de la palabra “acceso” puede indicarse por: {x|x es una letra en la palabra “acceso”}. O el conjunto de los números
reales “menores que 3” se puede escribir así: {x ∈ R |x < 3}.
El símbolo | denota la expresión, “tal que”.
Se utilizan las letras mayúsculas, como A, B, C, ... para representar conjuntos, y minúsculas para los
elementos.
Dado un conjunto A, se escribe x ∈ A, si x es un elemento de A; se lee x pertenece a A ; y x ∉ A, indica que x no
pertenece a A.
Sean A y B dos conjuntos se dice que A es un subconjunto de B o que A esta contenido en B si todos
los elementos de A son también elementos de B, esto es:
Si x ∈ A entonces x ∈ B, y se escribe: A ⊂ B ( o bien B ⊃ A)
En una acepción más amplia se admite que un conjunto A está incluido en otro B, siempre que A no tenga elementos
que no tenga B.
Evidentemente todo conjunto es subconjunto de sí mismo ( A ⊂ A )
Dos conjuntos A y B son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.
Propiedad: A = B ⇔ A ⊂ B y B ⊂ A
Dos conjuntos que carecen de elementos comunes se llaman disjuntos.
Los conjuntos se representan graficamente por medio de lineas curvas cerradas, llamados diagramas de Venn.
Se denomina conjunto vacío aquel que no contiene ningún elemento y se denota por φ . Evidentemente φ ⊂ A
para todo A (puesto que el conjunto φ no tiene ningún elemento que no tenga A)
Un conjunto es finito si tiene n elementos distintos para algún número natural n o dicho de otra forma si sus
elementos se pueden contar. En este caso, a n se le llama el cardinal de A y se denota por |A|. Por ejemplo, si A={3, 4, 5,
7, 8}, entonces |A|=5.
Cuando se trabaja con una familia de conjuntos, hay que tener en cuenta que existe un conjunto universal U
(que puede variar en cada familia), tal que cualquier otro conjunto A que se mencione, se puede considerar, si no se dice otra cosa,
que es subconjunto de U. Por ejemplo, en el caso de estar trabajando con números naturales el conjunto universal es N.
Si A es un conjunto, entonces al conjunto de todos los subconjuntos de A se le denomina conjunto de partes de A
y se indica por P(A). Por ejemplo, si A={a ,b, c}, entonces el conjunto de partes de A es el conjunto P(A)= {∅, {a}, {b},
{c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Luego el cardinal de A, |A|= 3, y el de partes de A, |P(A)|=23=8.
La forma de no olvidar ninguno es empezar por los subconjuntos de 0 elementos, luego los de uno, los de dos, etc. Para formar los
de dos se toma cada subconjunto de un elemento y se les van añadiendo sucesivamente cada uno de los que le siguen.
El cardinal de P(A), |P(A)| es siempre 2|A|.
1
• Operaciones con conjuntos.
Si A y B son dos subconjuntos de un conjunto universal U, se define su unión como el conjunto formado por todos
los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos y se indica por A∪B.
A ∪ B={x|x ∈A o x∈B}
Si A y B son dos conjuntos de un conjunto universal U, se define su intersección como el conjunto formado por
todos los elementos que pertenecen tanto a A como a B y se indica por A ∩ B.
A ∩ B={x|x ∈ A y x ∈ B}
El cardinal de la unión viene dado por la fórmula siguiente:
A∪ B = A + B − A∩ B
Ej. Dados los conjuntos A = {2, 4, 6,8} y B = {1, 2,3, 4} . Halla A ∪ B y A ∩ B. Comprueba que se cumple la
fórmula anterior relativa al cardinal de la unión.
A ∪ B = {1, 2,3, 4, 6,8}
A ∩ B = {2, 4}
Como se ve claramente A ∪ B = 6 y A ∩ B = 2 , por lo que se cumple la igualdad:
A ∪ B = A + B − A ∩ B ya que 6 = 4 + 4 – 2
Gráficamente con diagramas de Venn: En la página siguiente se representan gráficamente las operaciones anteriores,
por medio de diagramas de Venn.
A∪B
A∩B
Si A y B son dos conjuntos se define el complementario de B con respecto a A, como el conjunto de todos los
elementos que pertenecen a A pero no a B y se indica por A-B.
Es decir: A – B = {x|x ∈A y x ∉ B}
Ej. Dados los conjuntos A = {2, 4, 6,8} y B = {1, 2,3, 4} . Halla A – B
A − B = {6,8}
Gráficamente con diagramas de Venn:
2
A-B
A
B
Si A es el conjunto universal U, entonces a U-B se le llama el complemento de B y se indica por Bc.
Es decir Bc = {x| x ∉ B} ( No hace falta especificar que x ∈U ya que todos los elementos pertenecen a U por ser
el conjunto universal). Por ejemplo el complemento o complementario de los números pares es el de los impares.
Evidentemente
((B ) )
c C
=B
Gráficamente con diagramas de Venn:
Bc
U
BB
B
Hacer el ejercicio 2 de la página 61 del libro.
Dados dos conjuntos A y B, los pares ordenados de la forma (x, y) con x ∈ A e y ∈ B forman un tercer conjunto
que se designa por A x B y se denomina producto cartesiano de A por B (en este orden). Por ejemplo, si A={1, 2, 3} y
B={a, b}, entonces AxB={(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, c)}
Se puede hallar el producto cartesiano de tres o más conjuntos.
Igualmente se puede hallar el producto cartesiano de un conjunto por sí mismo, en cuyo caso se representa por: AxA =
A2 . Así se puede hablar de R2 , R3 , o Rn .
Evidentemente el cardinal de A x B es: A x B = A  . B 
• Aplicaciones.
Dados dos conjuntos A y B se llama aplicación o función a la terna f = (C, A, B) ,
donde C es un subconjunto de AxB tal que para cada x∈A existe un único y∈B, tal que
(x,y) ∈ C.
Por ejemplo, si A= {a,e,i,o,u} y B={1,2,3,4,...,8,9}, podemos definir una aplicación
tomando un subconjunto C que cumpla lo dicho anteriormente, por ejemplo:
C={(a,2),(e,1),(i,2),(o,3),(u,9)}. (he seleccionado 5 elementos de los 45 que tiene AxB.
En este caso se dice que al elemento a se le hace corresponder el 2, al e el 1, al i el 2, al o el
3 y al u el 9. También se dice que 2 es la imagen de a, que 1 es la imagen de e, que 2 es
también la imagen de i, que 3 es la imagen de o y que 9 es la imagen de u.
Esta notación no es práctica por ello se utiliza la siguiente:
3
f:A
x
B
y = f (x)
y = f(x) equivale a (x,y) ∈ C se lee “y es la imagen de x por f ”.
Así pues y se dice que es la imagen de x y que x es el original o antiimagen de y.
Así en el ejemplo anterior se expresaría f(a)=2 , f(e)=1, f(i)=2, f(o)=3 y f(u)=9
Graficamente, con diagramas de Venn (diagrama de flechas o sagital):
f
A
B
1=f(e)
2=f(a)=f(i)
3=f(o)
4
5
6
7
8
9=f(u)
a
e
i
o
u
Al conjunto A se le suele llamar conjunto inicial, mientras que al B se le llama conjunto
final. La x se conoce como variable independiente y la y como variable dependiente.
Resumiendo:
Una aplicación es una relación (o correspondencia) entre dos conjuntos de tal manera
que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo.
Por ejemplo si a cada habitante del planeta le hacemos corresponder su edad, estamos
estableciendo una aplicación, entre el conjunto de los habitantes del planeta y el conjunto
de los números naturales.
Habitualmente, los conjuntos A y B, serán numéricos y a menudo ambos serán
subconjuntos del conjunto de los números reales. La aplicación así establecida le
llamaremos función.
Igualdad de aplicaciones:
Sean f y g dos aplicaciones de A en B, f, g : A→B, diremos que f es igual a g y
escribiremos f=g ⇔ f(x)=g(x) para todo x de A.
Ejemplos de aplicaciones:
1) Sea A un conjunto; llamaremos aplicación identidad de A, a la aplicación de A
en A que asigna a cada elemento de A el mismo elemento; normalmente se suele denotar
por IdA, así se podrá definir la aplicación identidad como IdA(x)=x para todo x de A.
2) Se llama aplicación constante a la aplicación que a todos los elementos del
conjunto A les hace corresponder el mismo elemento de B. Por ejemplo, si a todos los
números reales, les hago corresponder el número 7, estoy estableciendo una aplicación
constante. Se escribe así: f(x) = 7 para todo x ∈ R. También así: y = 7
4
3) La aplicación entre el conjunto N y él mismo, en que a cada elemento le hace
corresponder su cuadrado, es otra aplicación. Se escribiría así: f(x) = x2 o bien y = x2 para
todo x ∈ N
4) La correspondencia entre el conjunto Z y él mismo, que a cada elemento le hace
corresponder su mitad, no es una aplicación, pues habría elementos como los impares, que
no tendrían imagen, pues la mitad de un impar no es entero. Sin embargo si la misma
relación (regla o aplicación) se establece entre el conjunto Z y Q (racionales), si que se trata
de una aplicación o función, puesto que la mitad de cada entero siempre es un número
x
racional. Se expresaría así: f(x) =
para todo x ∈ Z
2
Imagen de un conjunto por una aplicación. Imagen inversa. (Este apartado no es
importante):
Sea f una aplicación de A en B y sea X un subconjunto de A. Se denomina imagen de X por f y se designa por
f(X) al subconjunto de B definido por f(X)= {f(x) ∈ B |x ∈ X}. Con otras palabras, f(X) es el conjunto de las imágenes
de los elementos de X por la aplicación f. Por ejemplo:
Sea la aplicación de los reales en los reales definida por
f ( x) = 2 x 2 + 1
Sea A = {-3,-1,0, 2 ,2,5}
Entonces f(A) = {19,3,1,5,9,51} = {1,3,5,9,19,51}
Sea Y un subconjunto de B. Se denomina imagen inversa de Y por f y se designa por f--1(Y) al subconjunto de
A definido por f--1(Y)= {x ∈A | f(x) ∈Y }. En otras palabras, es el conjunto de elementos de A, cuya imagen cae dentro de
Y.
Resolver el siguiente ejercicio de examen (no ha vuelto a salir desde 1995 y sólo lo han puesto una vez):
Septiembre 95 (10º):
2
Sea la función f definida de Z en Z por f ( z ) = 2 z − 8
Hallar f ({0, − 8})
Tenemos que encontrar los valores de x que cumplan que f(x) = 0 y que f(x) = -8
−1
De la primera igualdad se deduce que 2 z − 8 = 0 y resolviendo salen –2 y 2
2
2 z 2 − 8 = −8 y resolviendo sale 0.
−1
Por tanto f ({0, − 8}) = {− 2,0, 2}
De la segunda se deduce que
• Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva
Se dice que una aplicación f: A→B es inyectiva cuando a cada dos elementos distintos de A le hace corresponder dos
elementos distintos de B, es decir, cuando para x, y ∈ A
f(x)=f(y) implica que x = y
Esto equivale a:
x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y)
Gráficamente para ser inyectiva, no debe suceder lo siguiente:
x
z
y
Ejemplos:
5
La aplicación f: R → R definida por f(x) = 4x + 7 es una aplicación inyectiva puesto que si f(x)=f(y), entonces
4x + 7 = 4y + 7, luego x = y.
2
La aplicación de R en R definida por f ( x ) = x no es inyectiva ya que –2 y 2 son distintos y sin embargo
tienen la misma imagen (4)
Se dice que una aplicación f: A→B es sobreyectiva (o suprayectiva) cuando todo elemento de B tiene al menos un
original en A, es decir, cuando para cada y ∈ B existe al menos un x ∈ A tal que f(x)= y.
Es decir, para que sea suprayectiva, todos los elementos del conjunto final, deben ser imagen de alguno del conjunto inicial ( A
todos les llega flecha)
Ejemplo:
La aplicación de R en R definida por f ( x ) = 4 x + 7 si que es suprayectiva puesto que si tomo un y ∈R,
veamos que existe un x ∈ R, tal que f(x) = y
En efecto, ya que tendremos
4 x + 7 = y y despejando x, queda x =
y−7
que es un número real.
4
Sin embargo la aplicación de R en R definida por f ( x ) = x no es suprayectiva puesto que si tomo un y ∈R, y
2
buscamos un x ∈ R, tal que f(x) = y llegamos a x = y y despejando x, queda x = ± y que para ciertos números,
como son -2, -3, -4, -5, etc. y en general los netativos, no pertenece a R, por lo que los números citados no tienen ningún
elemento en R cuya imagen sean ellos.
2
Se dice que una aplicación f: A→B es biyectiva cuando es simultáneamente inyectiva y sobreyectiva.
La aplicación de R en R definida por
por lo que es biyectiva.
f ( x ) = 4 x + 7 es a la vez inyectiva y suprayectiva como ya hemos visto,
Propiedad: Para poder establecer una aplicación biyectiva entre dos conjunto finitos A y B, se tiene que cumplir que ambos
tengan el mismo cardinal ( es decir el mismo número de elementos)
Composición de aplicaciones (Importante):
Sea f : A→B, g : B→C, se define la aplicación compuesta, (composición de f y g)
denotada por g ° f : A→C, como la aplicación definida por g ° f(x)= g(f(x)) para cada x
∈ A.
Ej: Sean f : R→R y g : R→R las aplicaciones definidas por f(x) = x2, g(x) = x + 5.
Entonces:
g ° f(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2 + 5
También podemos hallar la composición de g y f (f ° g):
f ° g(x) = f(g(x)) = f(x +5) = (x + 5)2= x2 + 10x + 25
Como es se puede observar no coincide el resultado de (g ° f)(x) y el de (f ° g)(x)
Hacer aquí el ejercicio de examen de Junio 97 (t) 7º= Junio 00 (t) 5º
Nota: El concepto de composición de funciones es fundamental en matemáticas, pues a
partir de dos funciones (o más) se pueden obtener otras muchas funciones. (El equipo
docente es consciente de esta importancia y por ello sale a menudo en exámenes)
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También es posible componer tres o más funciones, con una definición similar. Así la
composición de f(x), g(x) y h(x) es otra función que se define de la forma siguiente:
h °g °f (x) = h (g(f(x)))
Veamos el ejemplo de examen de Junio 02 (t) 4º, en el que se pide la composición de tres
funciones:
1
Hallar la composición g D f D g ( x ) , siendo f ( x) =
y g ( x) = 2 x − 5
x +1
g D f D g ( x ) = g ( f ( g ( x ))) , es decir, primero actúa g (x), por lo que hay que hallar su valor,
después actúa f(x) sobre g(x), luego habrá que calcular su valor y finalmente actúa g(x)
sobre lo hallado.
Por tanto:


1
 1 
g D f D g ( x ) = g ( f ( g ( x ))) = g ( f (2 x − 5)) = g 
= g
=

 2x − 4 
 (2 x − 5) + 1 
2
2 − 5(2 x − 4) 2 − 10 x + 20 −10 x + 22 −5 x + 11
 1 
= 2. 
−5=
=
=
=
−5=
2x − 4
2x − 4
2x − 4
2x − 4
x−2
 2x − 4 
Resolver los siguientes ejercicios de examen:
Junio 96 (t) 6º
Junio 97 (m) 7º
Junio 98 (m) 6º
Septiembre 00 5º = Septiembre 04 10º
Septiembre 02 5º
Junio 03 (t) 9º= Junio 02 (t) 4º
Junio 05 (m) 5º
Septiembre 05 7º
• Función inversa (importante)
El concepto de función inversa, lo introduzco aquí, de forma completamente diferente al
planteamiento del libro de texto que seguimos. Después veremos que lo que en el libro se
da como definición, aquí es una propiedad.
Dada la función biyectiva:
f:A
x
B
y = f (x)
se llama función inversa de f y se representa por f -1 a la función:
f -1 : B
y
A
x = f -1 (y)
Es decir es una función que cambia el conjunto inicial por el final y el final por el inicial y
que actua de la siguiente manera. Si la función f hace corresponder al elemento x el
elemento y, la inversa f –1 hace corresponder al elemento y el elemento x.
Por ejemplo: Sea la función de R en R definida por f(x) = 2x + 5
La inversa se halla cambiando f(x) por y y despejando la variable x:
7
y = 2x + 5 ⇒ x =
y-5
2
y quedaría poniendo f -1 (y) en lugar de x :
y-5
2
Finalmente se cambia el papel de la x y la y puesto que la variable independiente suele
llamarse x y la dependiente y quedando:
x-5
que es la función inversa de f(x) = 2x + 5
f -1 (x)=
2
Propiedad: Dada la aplicación f : A→ B, se dice que f es invertible si existe su aplicación
inversa. En ese caso se cumple que (f -1 D f)(x)=Id A (x)=x y (f D f -1 )(x)=Id B (x)=x
f -1 (y)=
Veamos con el ejemplo anterior que la inversa cumple estas dos últimas propiedades:
x-5
Tenemos que f(x) = 2x + 5 y f -1 (x)=
2
-1
Hallemos (f D f)(x)=Id A (x)=x
(f
−1
D f ) ( x ) = f −1 ( f ( x ) ) = f −1 ( 2 x + 5 ) =
( 2 x + 5) − 5 = x
2
Como se ve la composición de una función y de su inversa dan la identidad.
Se deja como ejercicio opcional el comprobar con las mismas funciones, que
(f D f -1 )(x)=Id B (x)=x
Resolver los siguientes ejercicios de examen:
Septiembre 99 9º
Junio 02 (m) 10º
Junio 05 (t) 10º
Septiembre 06 5º
* Este tema ha sido pasado a soporte informático por los alumnos José Miguel Sánchez y Jesús Ramil,
basándose en el libro Matemáticas Especiales, de E. Bujalance y otros, editado por la editorial Sanz y
Torres y en las explicaciones dadas en las tutorías presenciales, por el profesor tutor del Centro de la Uned
Alzira-Valencia “Francisco Tomás y Valiente”, José Luis Lombillo, que los ha corregido, completado y
ampliado.
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