Cálculo I Tarea 2: Funciones y Conjuntos 1. Sean A, B y C conjuntos

Cálculo I
Tarea 2: Funciones y Conjuntos
1. Sean A, B y C conjuntos cualquiera. Observa que la demostración de las
siguientes propiedades es trivial:
(a) A [ A = A
(b) A \ A = A
(c) A [ B = B [ A
(d) A \ B = B \ A (Conmutatividad)
(e) A [ (B [ C) = (A [ B) [ C
(f) A \ (B \ C) = (A \ B) \ C
(g) A [ ? = A
c
(k) A \ B
(l) Si A
(asociatividad)
(asociatividad)
(h) A \ ? = ?
c
(i) A [ A = U
A
A[B
ByB
(Idempotencia)
(j) A \ A = ?
C, entonces A
(elemento nulo)
(elemento universal)
C (transitividad de la contención).
2. Demuestra las siguientes propiedades, ilustra con un diagrama de Venn lo
que signi…can:
(a) A [ (A \ B) = A
(c) A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C)
c
c
(e) (A [ B) = A \ B
c
(b) A \ (A [ B) = A
(d) A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C)
(f) (A \ B)c = Ac [ B c
3. Demuestra las siguientes proposiciones para A, B, C y D conjuntos cualquiera:
(a) Si A
(b) A
C yB
C yB
(c) A \ B = A
D, entonces A \ B
C si y sólo si A [ B
(A
C \D y A[B
C
C [ D.
B)
(d) A \ (B 4 C) = (A \ B) 4 (A \ C)
(e) Si A 4 B = A 4 C, entonces B = C
4. De…ne que es un conjunto …nito y qué es un conjunto in…nito.
5. Demuestre que si X es …nito, entonces #P X = 2#X .
6. Sean A, B, y C conjuntos, demuestre las siguientes proposiciones:
(a) Si f : A ! B y h : B ! C son inyectivas entonces h f : A ! C es
inyectiva.
(b) Si f : A ! B y h : B ! C son suprayectivas entonces h f : A ! C es
suprayectiva.
(c) Si f : A ! B y h : B ! C son biyectivas entonces h f : A ! C es
biyectiva.
7. Sean A y B dos conjuntos tales que #A = n < m = #B: Demuestre que:
a) Existe f : A ! B inyectiva.
b) Existe g : B ! A suprayectiva
1
8. Demuestra que existe f
A inyectiva.
: A ! B sobre, si y sólo existe g
9. Suponemos que f : A ! B es biyectiva. Sea f
inversa de A.
(a) ¿Quién es el dominio de f
(b) ¿Quién es el dominio de f
f
1
1
1
: B !
: B ! A la función
?¿Quién es f
f
f ? ¿Quién es f
1
1
?
f?
10. Demuestre que si f : A ! B es una función inyectiva y E A, entonces
f 1 (f (E)) = E. Da un ejemplo de una función donde no se cumpla la
igualdad.
11. Demostrar que si una función es suprayectiva y H B, entonces f (f 1 (H)) =
H: Dar un ejemplo de una función (no suprayectiva) donde no se cumpla
la igualdad.
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