1 ADOLFO CHAPUZ BENITEZ PRESENTA: MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA parte I Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 2 Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 3 Sobre el autor. Adolfo Chapuz Benítez Lic. En Matemáticas en la Universidad Juárez Autónoma De Tabasco Profesor desde el año 1999 de matemáticas en el Instituto Tecnológico Superior De Comalcalco en Tabasco, México http://www.comoaprendomatematicas.com Dedico este trabajo primeramente a Cristo Jesús, a Él sea toda lo gloria, toda la honra y toda la alabanza. Él es el camino, y la verdad, y la vida Juan 14:6 A mi esposa Guillermina, a mis hijas Dulce y Regina, por quienes me esfuerzo para que tengan una vida llena de bendiciones. A mis padres Felipe y Valentina. Los mejores. A mis hermanos: Nena, Mini, Sandra, Richard, Marbe e Ingrid. Inigualables. A todos mis alumnos. De todo corazón. Esto es para todos. Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 4 Contenido: 1.- Ejemplo General De la Forma x2 a2 2.- Ejemplo General De la Forma x2 a2 3.- Ejemplo General De la Forma a2 x2 4.- Cinco ejemplos diversos Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 5 Introducción. Uno de los métodos de integración clásicos es el llamado Método De Sustitución Trigonométrica. Este se usa para calcular integrales que involucran expresiones del tipo: x2 a2 , x2 a2 a2 x2 donde a es una constante. Para cada una de estas expresiones existe una sustitución específica que nos ayuda a que la raíz cuadrada involucrada desaparezca y la integral que se quiera calcular sea más fácil de encontrar. Además de la sustitución, se le asocia un triángulo que nos va a servir para poder regresar a nuestra variable original. Las sustituciones las usamos de acuerdo a la siguiente tabla: TIPO DE EXPRESION SUSTITUCIÓN ADECUADA x2 a2 x a tan dx a sec2 d x2 a2 x a sec dx a sec tand a2 x2 x asen dx a cos d Antes de empezar con nuestros ejemplos, debo decirte que necesitamos de algunas integrales que vamos a suponer que ya calculamos, éstas se pueden consultar en los ejercicios vistos en la sección de Integrales trigonométricas. Estas integrales son las siguientes: Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 6 I.- secd lnsec tan c II.- cscd lncsc cot c III.IV.- sec d 2 sec tan 2 ln sec tan c 1 3 1 tand lnsec c I.- EJEMPLO GENERAL DE LA FORMA 1.- x2 a2 x 2 a 2 dx Desarrollo: En este caso queremos calcular la integral en forma general porque vamos a trabajar para cualquier valor de a y usamos el primer tipo de sustitución porque es una SUMA de cuadrados. x a tan dx a sec2 d Aquí aprovechamos igual para observar como la raíz cuadrada se cancela de manera automática. De hecho este mismo procedimiento es el que debes aplicar cada vez que quieras resolver una integral de este tipo. Así que pon mucha atención, porque no será necesario repetirlo, sino simplemente aplicar el resultado ya obtenido. Simplificamos x2 a2 x2 a2 : a tan 2 a 2 a 2 tan 2 a 2 a 2 tan 2 1 a 2 sec 2 sec2 a 2 sec 2 a sec 2 2 Conclusión: x a a sec Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 7 Ahora, calculamos la integral: x 2 a 2 dx a seca sec 2 d a 2 sec3 d 1 1 a 2 sec tan ln sec tan c 2 2 x 2 a 2 dx a2 a2 sec tan ln sec tan c 2 2 a2 a2 sec tan ln sec tan c 2 2 Resultado previo. Hasta este punto la integral ya está resuelta, solo debemos regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para esta sustitución x a tan . De aquí, obtenemos tan x opuesto , a adyacente con esto construimos nuestro triángulo rectángulo: x2 a2 Cateto opuesto x a Cateto adyacente Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 8 Observando el triángulo, tenemos que: tan x , cos a a y sec x2 a2 x2 a2 . Ahora sólo basta sustituir en la a integral anterior. x 2 a 2 dx a2 a2 sec tan ln sec tan c 2 2 a 2 x 2 a 2 2 a x a 2 x 2 a 2 x ln c a 2 a a a 2 x x 2 a 2 2 a2 x x 2 a 2 a 2 x 2 a 2 x ln c 2 2 a a2 x2 a2 x ln c 2 a Por lo tanto, tenemos que: x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 x 2 a 2 x ln c 2 2 a Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 9 II.- EJEMPLO GENERAL DE LA FORMA x2 a2 Desarrollo: x a sec dx a sec tand Simplificamos x2 a2 x2 a2 : a sec 2 a 2 a 2 sec 2 a 2 a 2 sec 2 1 a 2 tan 2 tan 2 a 2 tan 2 a tan 2 2 Conclusión: x a a tan Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 10 Ahora, calculamos la integral, sustituyendo lo que acabamos de obtener: x 2 a 2 dx a tan a sec tan d a 2 tan 2 secd a 2 sec 2 1 secd a 2 sec3 d a 2 secd 1 1 a 2 sec tan ln sec tan a 2 ln sec tan c 2 2 a2 a2 sec tan ln sec tan a 2 ln sec tan c 2 2 a2 a2 sec tan ln sec tan c 2 2 Tenemos el resultado provisional de la integral en términos de x 2 a 2 dx a2 a2 sec tan ln sec tan c 2 2 Resultado previo. Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 11 Hasta este punto la integral ya está resuelta en términos de , solo debemos regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para esta sustitución x a sec . De aquí, obtenemos sec x hipotenusa , a adyacente con esto construimos nuestro triángulo rectángulo: Cateto opuesto x x2 a2 a Cateto adyacente Observando el triángulo, tenemos que: sec x opuesto , tan a adyacente x 2 a 2 dx x2 a2 . Ahora sólo basta sustituir en a a2 a2 sec tan ln sec tan c 2 2 , Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 12 x 2 a 2 dx a 2 x x 2 a 2 2 a a 2 2 a2 x ln x a 2 a a 1 a2 x x2 a2 x x 2 a 2 ln 2 2 a c x 2 a 2 dx 1 a2 x x2 a2 x x 2 a 2 ln 2 2 a c c Conclusión: Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 13 III.- EJEMPLO GENERAL DE LA FORMA a2 x2 Desarrollo: x asen dx a cos d Simplificamos a2 x2 : a 2 x 2 a 2 asen a 2 a 2 sen 2 a 2 1 sen 2 a 2 cos 2 2 cos 2 a 2 cos 2 a cos 2 2 Conclusión: a x a cos Ahora calculamos la integral: Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 14 a 2 x 2 dx a cos a cos d a 2 cos 2 d 1 1 a 2 cos(2 ) d 2 2 1 1 a 2 d a 2 cos(2 )d 2 2 a2 a2 1 sen2 c 2 2 2 a2 a2 sen2 c 2 4 a2 a2 2 sen cos c 2 4 a2 a2 sen cos c 2 2 Tenemos el resultado provisional de la integral en términos de Resultado previo. a2 a2 a x dx sen cos c 2 2 2 2 Hasta este punto la integral ya está resuelta en términos de , solo debemos regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para esta sustitución x asen . De aquí, obtenemos sen x opuesto , a hipotenusa con esto construimos nuestro triángulo rectángulo: Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 15 a x Cateto opuesto a2 x2 Cateto adyacente Observando el triángulo, tenemos que: x a sen x a, cos adyacente a2 x2 . Ahora sólo basta sustituir en: Hipotenusa a sen1 a 2 x 2 dx a2 a2 sen cos c 2 2 a 2 x 2 dx 2 2 2 a2 x a x a x sen 1 c 2 a a 2 a a2 x x 2 sen 1 a x2 c 2 a 2 Y finalmente tenemos: a2 x x 2 a x dx sen1 a x2 c 2 a 2 2 Todos Los Derechos Reservados 2 www.comoaprendomatematicas.com 16 Ejemplos diversos: NOTA: EN ESTOS EJEMPLOS VAMOS A USAR LAS SIGUENTES EXPRESIONES QUE HEMOS OBTENIDO ANTERIORMENTE PARA AHORRAR UN POCO DE ESPACIO Y TIEMPO EN LAS EXPLICACIONES. 1. x 2 a 2 a sec 2. x 2 a 2 a tan 3. a 2 x 2 a cos 1.- x2 3 dx x Desarrollo: Primero identificamos el valor de a : a2 3 a 3 . x 3 tan y dx 3 sec2 d .Entonces recordemos que hemos obtenido con anterioridad la siguiente expresión: x 2 a 2 a sec , así que sólo vamos a sustituir el valor de a : Tenemos que x2 3 3 sec y debemos sustituir en la integral. Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 17 x2 3 3 sec dx 3 sec2 d x 3 tan sec3 3 d tan sec2 sec 3 d tan 3 tan 1sec d 3 tan sec sec d 2 tan 1 sec cos 1 cos sen tan cos sen sen cos 2 tan csc tan 2 sec sec 3 d 3 d tan tan 3 tan sec d 3 csc d x2 3 dx 3 tan sec d 3 ln csc cot c x Simplificamos el integrando de la primera integral: tan sec sen 1 sen cos cos cos 2 u cos du send Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 18 Ahora usamos cambio de variable. x2 3 du dx 3 2 3 ln csc cot c x u 3 u 2 du 3 ln csc cot c u 1 3 ln csc cot c 3 1 3 3 ln csc cot c u 3 3 ln csc cot c cos x2 3 3 dx 3 ln csc cot c x cos Resultado previo. Ahora regresamos a la variable x, nos basamos en la sustitución con que empezamos x 3 tan tan x opuesto : 3 adyacente x2 3 Cateto opuesto x 3 Cateto adyacente Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 19 Observando el triángulo, tenemos que: tan cos 3 x sen , cot x 3 3 x2 3 , sec x x2 3 , csc x2 3 . x x2 3 Ahora sólo basta sustituir en la integral anterior. 3 x2 3 3 dx 3 ln csc cot c x cos x2 3 3 3 sec 3 ln c x x 3 x2 3 x2 3 c 3 3 ln x 3 3 x2 3 c x 3 3 ln x 2 3 x2 3 x2 3 2 c dx x 3 3 ln x x Conclusión. Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 20 2.- x 2 25 dx x Desarrollo: Aquí usamos x 5 sec y dx 5 sec tand al sustituir estas expresiones nos ayudan a simplificar la parte que tiene el radical. x 2 25 5 tan .Entonces tenemos lo siguiente: x 2 25 5 tan dx 5 sec tand x 5 sec sec 1 tan 2 2 sec 1 tan 2 2 5 tan 2 d 5 sec 2 1d 5 sec 2 d 5 d 5 tan 5 c x 2 25 dx 5 tan 5 c x Resultado previo. Hasta este punto la integral ya está resuelta, solo debemos regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para esta sustitución con la que iniciamos x 5 sec . Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 21 De aquí, obtenemos sec x hipotenusa , 5 adyacente con esto construimos nuestro triángulo rectángulo: x x 2 25 Cateto opuesto 5 Cateto adyacente Observando el triángulo, tenemos que: sec x x opuesto , arc sec( ) tan 5 5 adyacente x 2 25 dx 5 tan 5 c x x 2 25 dx 5 tan 5 c x 5 x 2 25 . Ahora sólo basta sustituir en 5 x 2 25 x 5arc sec( ) c x 5 Conclusión: x 2 25 x 2 25 dx 5 5arc sec( x / 5) c x x Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 22 3.- 16 x 2 dx x Desarrollo: a 16, a 4 2 x 4sen dx 4 cosd Hemos obtenido previamente que: Así que a 2 x 2 a cos 16 x 2 4 cos . 16 x 2 4 cos 4 cos d dx x 4 sen 4 cos 2 d sen 4 1 sen d 4 1 sen 2 d 4 d sen sen 2 sen 4 cscd 4 sen d 4 ln csc cot 4 cos c 16 x 2 dx 4 ln csc cot 4 cos c x Resultado previo. Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 23 Hasta este punto la integral ya está resuelta en términos de , solo debemos regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para esta sustitución x 4sen . De aquí, obtenemos sen x opuesto , 4 hipotenusa con esto construimos nuestro triángulo rectángulo: 4 x Cateto opuesto 16 x 2 Cateto adyacente Observando el triángulo, tenemos que: x 4, sen cos tan cot csc 1 4 sen x adyacente 16 x 2 Hipotenusa 4 opuesto x adyacente 16 x 2 16 x 2 x Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 24 Ahora sólo basta sustituir en: 16 x 2 dx 4 ln csc cot 4 cos c x 4 16 x 2 16 x 2 dx 4 ln x x x 4 16 x 2 4 ln x 2 4 16 x c 4 16 x 2 c Conclusión: 4 16 x 2 16 x 2 dx 4 ln x x Todos Los Derechos Reservados 16 x 2 c www.comoaprendomatematicas.com 25 Ejemplo 4.- x 3 x4 dx Primero hacemos un cambio de variable: u x , du 2 xdx y transformamos nuestra 2 integral original en términos de u . x 3 x 4 dx 1 2 xdx 2 3 x2 2 1 du 2 3 u2 En este punto es donde aplicamos la sustitución trigonométrica. 2 Desarrollo: a 3, a 3 u 3sen du 3 cos d y x 3 x 3 u2 dx 4 1 2 xdx 2 3 x2 1 du 2 3 u2 1 3 cos d 2 3 cos 1 d 2 2 3 cos 1 du 2 3 u2 1 c 2 Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 26 x 1 dx c 2 3 x Resultado previo. 4 Ahora vamos a regresar a la variable original x: u 3sen sen u 3 u 3 arcsen Pero como u x , entonces 2 x2 arcsen , por lo tanto: 3 x2 1 c dx arcsen 2 3 3 x4 Conclusión. x Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 27 Ejemplo 5.- x2 x 2 100 dx Desarrollo: a 2 100, a 10 x 10 sec x 2 100 sec2 dx 10 sec tand Además: x 2 100 10 tan 100 sec 2 10 sec tan d dx 10 tan x 2 100 x2 100 sec3 d 1 1 100 sec tan ln sec tan c 2 2 x2 x 100 2 dx 100 100 sec tan ln sec tan c 2 2 Resultado previo. Solo debemos regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para esta sustitución con la que iniciamos x 10 sec . Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com 28 De aquí, obtenemos sec x hipotenusa , 10 adyacente con esto construimos nuestro triángulo rectángulo: Cateto opuesto x x 2 100 10 Cateto adyacente Observando el triángulo, tenemos que: sec opuesto x , tan 10 adyacente x2 x 2 100 x 2 100 . Ahora sólo basta sustituir en 10 dx 50 sec tan 50 ln sec tan c 2 x x x 100 dx 50 50 ln 10 10 10 x 2 100 x2 x 2 100 c 10 x x 2 100 1 2 c x x 100 50 ln 2 10 Conclusión x x 2 100 1 2 c dx x x 100 50 ln 2 10 x 2 100 x2 Todos Los Derechos Reservados www.comoaprendomatematicas.com