INGENÍERIA INFORM´ATICA. PROBLEMAS DE ALGEBRA

INGENÍERIA INFORMÁTICA.
PROBLEMAS DE ALGEBRA
C. Galindo
1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5



2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6
5x3 + 10x4 + 15x6



2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 − 18x6
=
0
= −1
=
5
=
6
2. Calcular la inversa de la matriz siguiente, en función del parámetro a,
indicando para qué valores de a no es inversible.


0 −1 a
 −1 1
1 .
2
1 −2
3. Resolver el siguiente sistema matricial de ecuaciones:
½
3A + 4B = X
5A − 3B = Y,




5
6 18 15
18 10 30 −4
donde X =  28 19 26 −19  y Y =  8 22 24 −22  .
−3 −8 13 16
−5 6 12 17
4. Dada la matriz

0
bd
 −ae
0
M =
 af −bf
−ef −df

−ce bc
ce ac 
,
0
ab 
−de 0
hallar M 2 sabiendo que bcef + acdf + abde = −1.
1
5. Encontrar todas las matrices reales de orden 2 tales que A2 = A.
6. Sea I la matriz identidad 4 × 4

0
 0

 0
0
y A la matriz

1 0 0
0 1 0 
.
0 0 1 
0 0 0
Calcular (I + A)12 y el valor de su determinante.
7. Calcular la matriz An , sabiendo que


1 1/n 1/n
0 .
A= 0 1
0 0
1
µ
¶
a b
Hacer el mismo cálculo con A =
.
0 c
8. Una matriz A cuadrada de orden n con coeficientes en R se dice
simétrica si At = A, se dice antisimétrica si At = −A. Probar que
si A es un matriz cuadrada de orden r cualquiera, se tiene que A + At
es simétrica y que A − At es antisimétrica. Poner ejemplos.
9. Sean S(n) (A(n), respectiv.) el conjunto de matrices simétricas (antisimétricas, respect.). Probar que Mn×n (R) = S(n) ⊕ A(n). Y también
que para toda matriz A cuadrada de orden n, se tiene
A=
A + At A − At
+
.
2
2
10. Sea A una matriz de orden n cuadrada e inversible sobre R. Probar:
(a) Si B, C ∈ Mn×n (R) y BA = CA, entonces B = C.
(b) Si B, C ∈ Mn×n (R) y AB = AC, entonces B = C.
(c) Si A, BMn×n (R) y AB = BA, se tiene que (A + B)2 = A2 + B 2 +
2AB.
11. ¿Para qué valores de a ∈ R, la matriz


1 −1 a
1 
A =  −1 1
2
1 −1
es inversible? Calcular la inversa para dichos valores.
2
12. Hallar todas las matrices reales 2 × 2 tales que sus
(a) cuadrados son la matriz nula.
(b) sus cubos son la matriz nula.
(c) sus cuadrados son la matriz identidad.
13. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones, indı́quese su compatibilidad y, si existe, su solución.
(a)

x + 2z + 3t



4x + y + z + 2t
5x + y + 3z + 5t



3x + y − z − t
=
=
=
=
0
1
1
1
(b)

 −3x + y + 2z + 4t + 3v = 1
x−y+v
= 1

−x + z + 2t + 2v
= 0
14. De los siguientes subconjuntos de R4 , indicar cuales son s.v. y, en caso
afirmativo, dar una base de los mismos.
(a) E1 := {(x1 , x2 , x3 , x4 )|x1 + x2 = 1}.
(b) E2 := {(x1 , x2 , x3 , x4 )|x1 + x2 = x3 + x4 }.
(c) E3 := {(x1 , x2 , x3 , x4 )|x2 − x3 = 0}.
(d) E4 := {(x1 , x2 , x3 , x4 )|x1 ∈ Q}.
15. Considérese el conjunto A = Aplic(R, R). Probar que es un espacio
vectorial sobre el cuerpo R. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son
subespacios vectoriales de A?
(a) {f ∈ A|f (x2 ) = f (x)2 }.
(b) {f ∈ A|f (0) = f (1)}.
(c) {f ∈ A|f (x2 ) = f (x)2 }.
(d) {f ∈ A|f (−1) = 0}.
(e) {f ∈ A|f es continua}.
(f) {f ∈ A|f es una función continua en todo R}.
3
(g) {f ∈ A|f es derivable hasta el orden r y la r-ésima derivada es continua}.
16. ¿Es el siguiente subconjunto del espacio vectorial A del problema anterior libre? {f (x) = e2x , g(x) = x2 , h(x) = x}.
17. Calcular a, b ∈ R tales que
(a) (1, a, 5) ∈ L({(1, 2, 3), (1, 1, 1)}) en R3 .
(b) (1, b, 2, 0) ∈ L({(1, 1, 4, 0), (0, 2, 0, −1), (1, 1, 0, 2)}) en R4 .
18. Se consideran en R4 los vectores v1 = (1, 0, 0, −1), v2 = (2, 1, 1, 0),
v3 = (1, 1, 1, 1), v4 = (1, 2, 3, 4) y v5 = (0, 1, 2, 3). Determinar un subconjunto maximal E de entre ellos que sea libre y establecer relaciones
de dependencia entre los que no pertenezcan a E y los de E.
19. Demostrar que si los vectores {v1 , v2 , . . . , vn } de un e.v. V son l.i.,
entonces también lo son {v1 , v+ v2 , . . . , v1 + v2 + · · · + vn }.
20. Hallar la intersección y la suma de los subespacios vectoriales engendrados por los sistemas de vectores de R3 : {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} y
{(1, 2, 3), (0, 0, 1)}.
21. Consideremos el producto cartesiano E1 × E2 de dos e.v. Demuéstrese
que el subconjunto del producto anterior E1 × {0} := {(x, 0)/x ∈ E}
que representaremos E10 es un subespacio de E1 × E2 . Pruébese que
E1 ∼
= E10 .
22. Pruébese que ningún subcuerpo de un cuerpo K diferente de K es un
s.v. del e.v. K. En particular, R no es s.v. de C.
23. Consideramos en R2 el subespacio vectorial F = {(x, y) ∈ R2 |x = y}.
Obsérvese que todo vector de F es combinación lineal del sistema de
vectores {(1, 0), (0, 1)} pero que F 6= L({(1, 0), (0, 1)}).
24. En las condiciones del ejercicio 21, si E20 = {0} × E2 , demostrar que
E1 × E2 = E10 ⊕ E20 .
25. Si E1 y E2 son dos e.v. de dimensión finita. ¿Cuál es la dimensión de
E1 × E2 ?
26. ¿Son isomorfos los e.v. sobre el cuerpo R: R2 y R3 ?
27. Busquese una base del subespacio vectorial de R, F del ejercicio 23 y
amplı́ese a una base de R2 .
4
28. Considérense los s.v. de R3 F = {(x, y, z) ∈ R3 |x = 0} y G =
{(x, y, z) ∈ R3 |z = 0}. Pruébese que {(0, 0, 1), (0, 1, 0)} y {(1, 0, 0), (1, 1, 0)}
son bases de F y G respectivamente, pero que la reunión de los cuatro
vectores no es una base de R3 . ¿Es F ⊕ G igual a R3 ?
29. Sea V un e.v., L un s.v. de V y u ∈ V . Definimos u+L = {u+v|v ∈ L}.
Se pide:
(a) Demostrar que u + L es un subespacio de V si, y sólo si, u ∈ L.
(b) Demostrar que si L1 ⊆ L2 , u, v ∈ V , se cumple u + L1 ⊆ v + L2
o bien (u + L1 ) ∩ (v + L2 ) = ∅.
30. Se considera el anillo de polinomios en una variable X y grado menor
o igual que n, R[X], con coeficientes en R con estructura de R-espacio
vectorial.
(a) Probar que B = {X i }0≤i≤n es una base de R[X].
(b) Si a es un número real, probar que el conjunto de polinomios
Ba = {(X − a)i }0≤i≤n es una base de R[X].
(c) Escribir las coordenadas de los vectores de B en función de los
de Ba .
(d) ¿Qué puede decirse si se suprime la hipótesis del grado?
31. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y x, y, z tres vectores
de V linealmente independientes. Se consideran los vectores u = ax +
(l − a)y; v = ay + (l − a)z; w = az + (l − a)x.
(a) Demostrar que si el cuerpo K es el de los números reales, entonces
u, v, w son linealmente independientes para todo a número real.
(b) Si K es el cuerpo de los complejos, ¿Hallar a para que u, v, w sean
linealmente independientes?
32. Si {v1 , v2 , v3 } es una base de R3 , ¿Es base alguno de los siguientes
conjuntos: {v1 − v2 − 2v3 , v1 − v2 − v3 , v1 + v3 }, {v1 + v2 − 3v3 , v1 −
3v2 − v3 , v2 + v3 }?
33. Dado el conjunto de vectores de R3 , {(x, x, x), (1, x, x), (1, 1, 1 + x)},
¿Para qué valores de x dicho conjunto es una base de R3 ?
34. Dar una base del subespacio vectorial de R5

 2x − y + (4/3)z − t
x + (2/3)z − s

9x − 3y + 6z − 2t − 3s
5
cuyas ecuaciones son
= 0
= 0
= 0.
35. Se considera en R3 el conjunto W = {(x, y, z)|x + y − z = 0; x + y + z =
0}.
(a) Comprobar que W es un s.v. de R3 .
(b) Hallar una base de W .
(c) Hallar unas ecuaciones paramétricas y unas generales de W .
(d) Hallar un subespacio complementario de W y unas ecuaciones
generales y paramétricas de él.
(e) Descomponer el vector (1, 2, 1) como suma de vectores de W y
del complementario obtenido en el apartado anterior.
36. Un endomorfismo de un K-espacio vectorial es una aplicación f : V →
V verificando f (u + v) = f (u) + f (v) y f (au) = af (u) para u, v ∈ V
y a ∈ K. Demostrar que el conjunto de vectores {u|f (u) = u} es un
s.v. de V.
37. Pruébese que C con su suma ordinaria y la operación externa: R×C →
C, (a, z) → az, consistente en el producto ordinario de un número real
por un complejo, es un espacio vectorial sobre R. El espacio vectorial
ası́ formado suele representarse por CR para diferenciarlo de C, que
representa el espacio vectorial C sobre sı́ mismo en la forma usual.
38. Sea R[X] el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales.
Pruébese que la aplicación D que envı́a a cada polinomio, en su derivada
formal es un endomorfismo de R[X] y es sobre. ¿Se trata de un automorfismo?
39. Consideremos el espacio vectorial formado por las sucesiones de elementos de un cuerpo K (K es el cuerpo de los números reales o el
de los complejos) y los subespacios C00 y C0 formados por las sucesiones finitas y por las que convergen a 0. Se definen los siguientes
subconjuntos del espacio anterior:
• C formado por las sucesiones que son convergentes.
• L formado por las sucesiones (xn ), tales que la serie
convergente.
P
|xn | es
• A formado por las sucesiones acotadas.
Probar que C, L y A son subespacios vectoriales del espacio de sucesiones anterior. Pruébese que
C00 ⊆ L ⊆ C0 ⊆ C ⊆ A.
6
40. Pruébese que en K[X] ningún sistema finito puede generar todo el
espacio vectorial, o sea que, K[X] no es de dimensión finita.
41. La aplicación pi : K n → K, dada por (x1 , x2 , . . . , xn ) → xi se denomina proyección i-ésima de K n . Hay n de estas proyecciones. Pruébese
que cada una de ellas es lineal y sobre, pero que no es inyectiva cuando
n es mayor o igual que dos.
42. Sea E un espacio vectorial y R una relación de equivalencia sobre E.
Decimos que R es compatible con la estructura de espacio vectorial de
E cuando se satisfacen las dos condiciones siguientes:
• x R y y x0 Ry 0 implica x + x0 R y + y 0 .
• x R y y a ∈ R implica ax R ay.
Suponiendo que R es compatible, demuéstrese que:
(a) x R y y x0 R y 0 implica x − x0 R y − y 0 .
(b) x R x0 si, y sólo si, x − x0 R 0.
(c) La clase 0, definida por el cero de E, es un subespacio vectorial
de E.
(d) x R y si, y sólo si, x − y ∈ [0].
43. Consideremos los espacios vectoriales CR y C. Pruébese que el sistema
de dos vectores {1, i} es una base de CR . Pruébese que todo sistema
libre de C es un sistema libre de CR y compruébese que no es cierto el
recı́proco.
44. En el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales de grado
menor o igual que 2, se considera el subespacio: F = L(1 + 2X, 2 +
X 2 , 3 + 2X + X 2 , 4 + 4X + X 2 ). Calcúlense en la base {1, X, X 2 } del
espacio vectorial anterior las coordenadas de los cuatro polinomios que
generan F . Búsquese una base de F .
45. Se consideran los s.e.v. de R4
W = L({(1, 2, 1, 0), (−1, 1, 1, 1)}), U = L({(2, −1, 0, 1), (1, −1, 3, 7)}).
Obtener una base, dimensión y unas ecuaciones de los espacios W + U
y W ∩ U.
46. En el R-e.v. R4 se consideran los s.e.v. W = {(x, y, z, t)|x − z = 0, t =
2x} y U = {(x, y, z, t)|x = z, t = 0}. Obtener otro s.e.v. que satisfaga:
7
• dim H = 2.
• dim(H ∩ W ) = 1.
• dim(H ∩ U ) = 1.
47. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensiones 2 y 3 respectivamente. Sean B1 = {v1 , v2 } y B2 = {w1 , w2 , w3 } dos bases de V y W .
Supongamos que f : V → W es un homomorfismo de e.v. dado por
f (v1 ) = w1 − w2 + w3 y f (v2 ) = w1 + 3w3 . Sean ahora B10 = {v10 , v20 } y
B20 = {w10 , w20 , w30 } nuevas bases dadas por v10 = v1 + v2 ; v20 = 2v2 − v1 ;
w10 = w1 + w2 ; w20 = w1 ; w30 = w1 + w2 + w3 . Se pide:
(a) Ecuación matricial de f respecto a las bases B1 B2 .
(b) Ecuación matricial del cambio de base B1 B10 y B2 B20 .
(c) Ecuación matricial de f respecto de las bases B10 B20 .
48. Se consideran en los R-espacios vectoriales R4 y R3 las bases canónicas
{e0i }4i=1 y {ei }3i=1 y el homomorfismo f : R3 → R4 dado por f (e1 ) =
(1, 0, 0, 1); f (e2 ) = (0, −1, 0, 0); f (e3 ) = (−1, 0, 0, −1). Hállese la imagen por f de un vector (x, y, z) de R3 . Calcúlese una base de ker f y
una de imag f .
49. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita. F1 y F2 dos subespacios
vectoriales de E. Consideremos la aplicación lineal f : F1 × F2 → E
dada por f (x, y) = x + y. Probar:
(a) ker f = {(x, −x)|x ∈ F1 ∩ F2 }.
(b) ker f = F1 ∩ F2 .
(c) imag g ∼
= F1 + F2 .
(d) dim F1 + dim F2 = dim(F1 + F2 ) + dim(F1 ∩ F2 ).
(e) f es inyectiva si y sólo si F1 + F2 = F1 ⊕ F2 .
50. Sea A = (aij ) una matriz cuadrada de orden n con coeficientes complejos. Escrı́base Ā = (āij ), donde āij es el complejo conjugado de
aij . Probar (Ā)t = (A)t , esta matriz se llamará adjunta de A y se
escribirá A∗ . Probar que (A∗ )∗ = A. Si A = A∗ , la matriz A se denomina autoadjunta (o hermı́tica). Pruébese que A es autoadjunta si
y sólo si At = Ā. Pruébese que los elementos diagonales de una matriz
autoadjunta son todos reales.
8
51. Sean la aplicaciones lineales f : R2 → R3 y g : R3 → R dadas de la
forma f (x, y) = (x + y, 0, 3y); g(x, y, z) = 2x + y − z. Obtener las
matrices de f y de g en las bases canónicas. Obtener g ◦ f y la matriz
de esta aplicación en las bases canónicas. Comentar el resultado.
52. Para la matriz


−1 0 1.1
A =  −1 1 2 
0 1 0.9
con coeficientes en R, se considera el homomorfismo f ∈End(R3 ) dado
por A en la base canónica. Hallar:
(a) La imagen por f de un vector (x, y, z) ∈ R3 .
(b) f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )}, siendo {e1 , e2 , e3 } la base canónica de R3 .
(c) Una ecuación paramétrica de imag f
(d) Una base de imag f y de ker f .
(e) Una ecuación implı́cita de ker f .
53. Sea f ∈ Hom(R, R) dado por la matriz
µ
A=
−1 0 1
0 1 2
¶t
.
(a) Probar que f es sobre y que dim ker f = l.
(b) Buscar una base {u, v, w} de R con w ∈ ker f .
(c) Obtener la matriz de f en la base anterior de R3 y la canónica
de R2 .
54. Calcular el rango de la siguiente matriz


1 0 2.1 −1
 2 0
0
2 .
1 0 −2.1 3
55. Obtener el determinante de la siguiente matriz usando la definición


0
1 3 2
 1
2 0 0 


 −1 0 1 0  .
0 −1 2 2
9
56. Sea A una matriz cuadrada real de orden n, probar que det(−A) =
(−1)n det A. Además si A es antisimétrica y n es impar, probar que
det A = 0.
57. Probar que det A = 0, si

1−n
1
1
 1
1
−
n
1

 1
1
1−n

 ..
..
..
 .
.
.
1
1
1
···
···
···
1
1
1
..
.
···
··· 1 − n




.


58. Si a, b, c son números reales el determinante de la matriz


1 a a2
 1 b b2 
1 c c2
vale (c − b)(c − a)(b − a). Probar el resultado anterior y generalizar.
El determinante anterior se denomina de Vandermonde de orden 3.
59. Probar que el endomorfismo de R3 siguiente f (x, y, z) = (y + z, x +
y, x + z) es un automorfismo. Obtener f −1 .
60. Determinar el rango de las siguientes matrices:

−2 0 −1.5 1
 1 −1
0
0
A=
 −1 −1 −1.5 −1
0 2.5
0
−1

1 1 0 ···
 0 1 1 ···


B =  0 0 1 ···
 .. .. ..
 . . . ···
1 0 0 ···

0 a 0
 2 a 0
C=
 0 2 −a
2 0 1
10
0
0
0
..
.
1

















a 4 3
D= 0 b 2 
0 1 1
61. Dados a = (1, −1, 0); b = (0, 1, 2); c = (1, 0, 2) y d = (0, −1, −2)
vectores de R3 , determinar una base de L(a, b, c, d).
62. Dados los sistemas de ecuaciones lineales siguientes, indı́quese su compatibilidad y hállese la solución si existe.
(a)

x + 2z + 3t



4x + y + z + 2t
5x + y + ez + 5t



3x + y − z − t
=
=
=
=
0
1
1
1
(b)

 −3x + y + 2z + 4t + 3v = 1
x−y+v
= 1

−x + z + 2t + 2v
= 0
63. Búsquese una condición del tipo Aa + Bb + Cc = 0, A, B, C números
reales, necesaria y suficiente para que el sistema de coeficientes reales
siguiente sea compatible:

 2x + y = a
−x + y = b

x + 2y = c
64. Se considera la aplicación f : R3 [X] → R2 [X] definida ası́: f (X 3 +
X 2 + X + 1) = X 2 , f (X 2 + 1) = X 2 + X − 1, f (X 2 + X + 1) = −X 2
y f (2X − 1) = X 2 + X + 1.
(a) Justificar que f es una aplicación lineal.
(b) Hallar ker f e Imf .
(c) Dadas las matrices B = {X 3 + X 2 + X + 1, X 2 + 1, X 2 + X +
1, 2X − 1} y B 0 = {X 2 + X + 1, X + 1, 2X − 1} de los espacios
vectoriales R3 [X] y R2 [X] respectivamente. se pide la matriz de
f en las bases canónicas, en las bases B y canónica de R2 [X] y
en las bases B y B 0 .
11
65. Se consideran los endomorfismos f y g de R3 dados por f (x, y, z) =
(x−y, y, z) y por la matriz de g en la base B = {(0, 1, −1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}
que es


2 1 0
A =  1 1 0 ,
1 0 0
Calcular
(a) 2f + g y f ◦ g.
(b) La imagen por las funciones anteriores del vector (0, 1, 2) expresado en la base B y de aquel que tiene las mismas coordenadas
en la base canónica.
66. Sea A una matriz cuadrada de orden n con coeficientes números complejos, A = (aij ). A se llama unitaria si cumple una de las cinco
propiedades siguientes:
(a) A∗ A = In , siendo In la matriz identidad n × n y A∗ la adjunta
de A.
(b) AA∗ = In .
(c) A es inversible y A−1 = A∗ .
Pn
Pn
2
(d)
kj = 0.
k=1 |aik | = 1 para todo i, y i 6= j implica
k=1 aik a¯
Pn
Pn
2
(e)
kj = 0.
k=1 |aik | = 1 para todo i, y i 6= j implica
k=1 aki a¯
Probar que las anteriores condiciones son equivalentes. La matriz A
se dice normal si AA∗ = A∗ A.
67. Sea A una matriz cuadrada de orden n con coeficientes números reales,
A = (aij ). A se llama ortogonal si cumple una de las cinco propiedades
siguientes:
(a) At A = In , siendo In la matriz identidad n × n y At la transpuesta
de A.
(b) AAt = In .
(c) A es inversible y A−1 = At .
Pn
Pn
2
(d)
kj = 0.
k=1 (aik ) = 1 para todo i, y i 6= j implica
k=1 aik a¯
Pn
P
n
2
(e)
kj = 0.
k=1 (aik ) = 1 para todo i, y i 6= j implica
k=1 aki a¯
Probar que las anteriores condiciones son equivalentes.
12
68. Sea E un e.v. de dimensión finita, F un s.e.v. de E, Probar:
(a) F es de dimensión finita y dim F ≤ dim E.
(b) Si dim F = dim E, entonces F = E. Además si E = F1 ⊕ F2 ,
entonces probar que dim E = dim F1 + dim F2 .
69. Sea V un e.v. sobre R de dimensión 5. Si B es una base de V y L1 y L2
las variedades lineales que se dan a continuación respecto de B. Hallar
la dimensión, una base y unas ecuaciones implı́citas independientes de
L1 , L2 , L1 ∩ L2 y L1 + L2 .
(a) L1 = L(a, b, c), L2 = L(d, e, f ); a = (1, 2, 0, 1, 0), b = (2, 2, 0, 1, 1),
c = (0, 1, 3, 0, 1), d = (4, 6, 0, 3, 1), e = (2, 1, 1, 3, 1), f = (1, 0, 1, 0, 1).
(b) , L1 = L(a, b, c): a = (1, 1, 2, 2, 0), b = (2, 1, 2, 1, 2), c = (5, 3, 6, 4, 4).
L2 con coordenadas (x, y, z, t, u) viene dado por las ecuaciones

 2x + y − t + 3u = 0
x + 2y + z − u = 0

x + y − 2t + u = 0
(c) L1 y L2 con coordenadas (x, y, z, t, u) dados por los siguientes
sistemas

= 0
 x−z−u
x + y − 2z + t + 2u = 0

2x − y − z − t − 5u = 0
y

= 0
 y+z+u
x − 2z + u
= 0

2x + 2y − 2z + 2t + 4u = 0
70. Calcular



det 


··· n
· · · 2n 

.. 
··· . 
n(n − 1) + 1 n(n − 1) + 2 · · · n2
1
n+1
..
.
2
n+2
..
.
71. Demostrar la siguiente igualdad:

cos a
1
0
 1
2
cos
a
1


1
2 cos a
cos na = det  0
 ..
..
..
 .
.
.
0
0
0
13
···
···
···
0
0
0
..
.
···
· · · 2 cos a







72. Se considera la aplicación f : R3 → R3 dada por f (1, 1, 1) = (1, 1, 0),
f 2 (1, 1, 1) = (1, 0, 0) y f 3 (1, 1, 1) = (0, 1, 1).
(a) Comprobar que f es lineal.
(b) Hallar la matriz de f en las bases canónicas.
(c) Hallar la matriz de f respecto a las bases B 0 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}
y B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)}.
(d) Dar las coordenadas en la base B 0 , del vector (1, 1, 1) expresado
en la base B y de la imagen del mismo.
(e) Decidir si f es mono, epi o iso-morfismo
73. Sea f un endomorfismo de R4 tal que
• f2 = f
• ker f = {(x, y, z, t)|x = z, y = t}
• La unión entre una base D de ker f y los vectores v = (1, 0, −1, 0)
y w = (0, 0, 0, 1) es una base B de R4 .
• imagf = {(x, y, z, t)|x+y = 0, x−t = 0}, donde las coordenadas
se han tomado en la base B.
Se pide
(a) Razonar si R4 = ker f ⊕ imagf .
(b) Si B 0 es el conjunto formado por la base anterior D y v y resulta
que el espacio A generado por B 0 es invariante para f , siendo la
matriz respecto a la base B 0 de la restricción de f a A la siguiente


a 0 0
 0 b 0 ,
0 0 1
calcúlese a y b y la matriz de f en la base B.
74. Demuéstrese que si A es una matriz diagonalizable, entonces A2 lo es
también. Ver que, si además A es inversible, entonces A−1 es también
diagonalizable.
75. ¿Es diagonalizable la matriz real


2 −2 1
A =  1 3 1 ?
0 1 1
14
76. ¿Es diagonalizable la matriz real


−1 −6 2
8 −2 ?
A0 =  3
6 16 −4
77. Si A o A0 son diagonalizables, obténgase dicha diagonal, y la matriz
de cambio de base que la lleva a la diagonal.
78. Sea f el endomorfismo de R3 dado por la matriz


4
2
1
0
−1  .
A= 0
−20 −10 −2
Calcúlese el polinomio caracterı́stico de f y sus valores propios. Calcúlese
un vector propio no nulo de R para cada valor propio.
Sea g el endomorfismo de C dado por la matriz A. Calcúlese el polinomio caracterı́stico de g y sus valores propios. Calcúlese un vector
propio no nulo de C para cada valor propio. Obténgase una base de C3
formada por vectores propios de g. Compruébese que en dicha base, g
es diagonal y que su diagonal está formada por los valores propios de
g.
79. Sea f un endomorfismo de R3 , pruébese la equivalencia de las dos
afirmaciones siguientes:
• Los únicos subespacios invariantes de f son los triviales
• f no posee valores propios.
80. Probar que si A es una matriz cuadrada triangular, sus valores propios
son los elementos de la diagonal.
81. Demostrar que la matriz
µ
1 1
0 1
¶
no es diagonalizable ni en R ni en C.
82. Dada la matriz


7
3
1
A =  −10 −4 −2  .
0
0
2
15
Pruébese que es diagonalizable en R y búsquese una matriz 3 × 3 sobre
R, P inversible con A0 = P AP −1 y A0 diagonal. Indı́quese quien es
A0 .
83. Sea A una matriz cuadrada de orden n con elementos en un cuerpo K
y sea λ ∈ K un valor propio de A. Pruébese que n − r es la dimensión
del subespacio propio asociado a λ, V (λ), donde r es el rango de la
matriz A − λI, (I es la matriz identidad de tamaño n).
84. Obtener el polinomio caracterı́stico de las matrices


2 0 3
A =  0 2 −1 
0 0 2
y


2 0 0
B =  0 2 0 .
0 0 2
¿Son semejantes A y B?
85. Sean F y G dos subespacios de V invariantes para f ∈End (V ). Demostrar que F ∩ G y F + G son también invariantes.
86. Sea V un e.v. Una proyección de V es un endomorfismo p ∈ End (V )
que cumple p ◦ p = p. Probar que si p es una proyección:
(a) Imag p = {x ∈ V p(x) = x}
(b) Para todo x ∈ V , entonces x = p(x) + z con z ∈ ker p.
(c) V = Imag p ⊕ ker p.
(d) Si V tiene dimensión n, entonces existe una base de V en que la
matriz de p es diagonal.
87. Sea f ∈ End (V ) y x ∈ V , probar que las dos condiciones siguientes
son equivalentes:
• x es vector propio.
• El subespacio de V cuya base es {x} es invariante.
88. Siendo A y B matrices cuadradas de orden n sobre un cuerpo K.
Pruébese que tr(A + B) = tr A+ tr B y que tr(λA) = λ tr A. Pero
que en general tr(AB) 6= tr (A) tr (B). Además probar que tr(AB) =
tr (BA).
16
89. Sea f la forma bilineal sobre R3 dada por
f [(x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )] = x1 y1 − x2 y2 + 2x1 y3 .
Construir la matriz de f en la base {a1 , a2 , a3 } dada por a1 = (1, 1, 0); a2 =
(1, 1, 1); a3 = (0, 1, 1). Probad que f no es simétrica encontrando vectores u y v con f (u, v) 6= f (v, u).
90. Sea V un e.v. sobre un cuerpo K, W y W 0 dos subespacios tales que
V = W ⊕ W 0 . Sea f una forma bilineal sobre W y g otra sobre W 0 .
Defı́nase h : V × V → K ası́ h(u, v) = f (u1 , v1 ) + g(u2 , v2 ), donde
u = u1 + u2 y v = v1 + v2 son las descomposiciones relativas a W ⊕ W 0 .
(a) Pruébese que h es una forma bilineal sobre V , cuyas restricciones
a W y W 0 son f y g.
(b) Pruébese que si w ∈ W , w0 ∈ W 0 , entonces h(w, w0 ) = h(w0 , w).
(c) Si construimos una base de V completando una de W . ¿Qué
matriz aparecerá?
91. Sean M y M 0 dos matrices congruentes. Pruébese que M 0 es simétrica
(antisimétrica) si y sólo si lo es M .
92. Sea V un e.v. de dimensión dos. B = {u1 , u2 } una base de V y f una
forma antisimétrica. Sean u = (x1 , x2 ) y v = (y1 , y2 ) en B. Probad
que f (u, v) = λ(x1 y2 − x2 y1 ) siendo λ = f (u1 , u2 ).
93. Sea en R2 la forma bilineal f [(x1 , x2 ), (y1 , y2 )] = x2 y1 + 2x1 y2 . Probad
que f no es simétrica pero que coinciden su núcleo a izquierda y
derecha.
94. Sea f una forma bilineal y simétrica en R2 : f [(x1 , x2 ), (y1 , y2 )] = x1 y1 −
x2 y2 . Considérense los subespacios de R2 , G = {(x1 , x2 )|x2 = 0},
H = {(x1 , x2 )|xl = x2 } y sean g y h las restricciones de f en G y a H
respectivamente. Probad:
• f es no degenerada.
• g es no degenerada.
• h = 0.
95. Sea V un e.v., W un subespacio de V , f una forma bilineal simétrica
definida en V y g la restricción en W , de f . Sea W 0 = {v ∈ V |f (v, w) =
0 para todo w de W }
17
(a) Probad que W es una variedad lineal.
(b) Probad la equivalencia de las dos afirmaciones siguientes:
• W ∩ W 0 = {0}.
• g es no degenerada.
96. Dada la forma cuadrática en R3 ,
q(a1 , a2 , a3 ) = a21 + a1 a2 + a1 a3 − 2a3 a2 .
Obténgase la forma bilineal simétrica asociada y la matriz de q en la
base canónica y en la base {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}.
97. Sea f una forma bilineal no necesariamente simétrica. Sea q : V → K
dada por q(u) = f (u, u).
(a) Probad que q es la forma cuadrática asociada a la forma bilineal
simétrica g dada por g(u, v) = (f (u, v) + f (v, u))/2.
(b) Probad la equivalencia de las afirmaciones siguientes:
• Para todo u, v vectores de V , f (u, v) = (1/4)q(u + v) −
(1/4)q(u − v).
• f es simétrica.
(c) Probad la equivalencia de las aseveraciones siguientes:
• q = 0.
• f es antisimétrica.
98. Probad que la aplicación q : R2 → R, q(x, y) = x2 + 1 no es una forma
cuadrática.
99. En R4 se considera la forma cuadrática q(x1 , x2 , x3 , x4 ) = x21 + x24 +
x1 x2 − 4x3 x4 . Calcúlese la matriz de q en la base canónica. Si
f es la forma polar de q, obténgase f (u, v) para u = (1, 1, 1, 1) y
v=(0, 0, −1, −1), sabiendo que estos últimos vectores están expresados
en la base {1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 1), (0, 0, 2, 3)}.
100. Se considera en R3 la forma cuadrática q(a1 , a2 , a3 ) = 4a1 a2 . Obténgase
la matriz de q en la base canónica de R3 y la de q en la base
{(1/2, 1/2, 0), (1/2, −1/2, 0), (0, 0, 1)}.
Si f es la forma polar de q, calcúlese f (u, v) para u = (2, 2, 0), v =
(0, 2, 2).
18
101. Sea V un e.v. de dimensión n 6= 0, f una forma bilineal. Supongamos que existe una base {v1 , . . . , vn } de V que verifica, para i 6= j,
f (vi , vj ) = 0. Probad que f es simétrica.
102. Considérese en R3 , la forma cuadrática
q(x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 .
Búsquese una base de R3 ortogonal para q y tal que el primer vector
de la base sea (1, 1, 1). Obténgase el rango de q.
103. Sea M una matriz cuadrada de orden n sobre un cuerpo K. Probad
que si existe otra matriz P de orden n inversible tal que P M P t es
diagonal, entonces M es simétrica.
104. Comprobad que la matriz
µ
M=
2 i
i 0
¶
no es diagonalizable, pero existe una matriz P de tamaño 2 × 2 sobre
C inversible tal que P M P t es diagonal.
105. Sea f una forma bilineal simétrica sobre R. Sea (s, t) la signatura de f ,
probad que existen subespacios de V : W1 , W2 y W3 con dim W1 = s;
dim W2 = t y dim W3 = n − s − t tales que W = W1 ⊕ W2 ⊕ W3 ,
satisfaciendo que si 0 6= x ∈ W1 se tiene f (x, x) > 0, si 0 6= x ∈ W2 se
tiene f (x, x) < 0 y que si x ∈ W3 se tiene f (x, x) = 0.
106. Clasificad la forma cuadrática x21 + 4x1 x2 + 3x22 + 2x23 − 2x2 x3 y encontrad una base ortonormal para la misma, ası́ como su matriz de
paso.
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