diseño y planificación de explotaciones a cielo abierto mediante

DISEÑO Y PLANIFICACIÓN DE EXPLO TACIONES
A CIELO ABIERTO MEDIANTE ALGORITMOS DE
OPTIMIZACIÓN
Autor: Fernando García Bastante (Universidad de Vigo)
bastante@uvigo.es
Son muchos los factores que intervienen en el diseño y planificación de las
explotaciones mineras, lo que hace de ésta, una formidable y complicada tarea, tal vez
sólo superada, por la propia operación minera.
La geología, la extensión y morfología del yacimiento, la distribución espacial de la
calidad y cantidad de los diferentes materiales, la climatología, la hidrogeología e
hidrología, las características geomecánicas de los materiales, la topografía y su relación
con el depósito, los taludes finales de la excavación, los límites de la concesión minera;
las leyes de corte, las leyes medias y los ratios, los ritmos de producción en mina y en
planta, las horas anuales de trabajo, las productividades, los factores de eficiencia, la
flexibilidad de la operación, el número de frentes de trabajo, su longitud, la separación
entre ellos, el grado de selectividad requerida, la dilución, las necesidades de mezclado;
los posibles métodos y sistemas, el tipo, el tamaño y el número de equipos a emplear,
sus necesidades operativas: altura de los bancos, necesidades de espacio en los frentes
de trabajo, pendientes y dimensiones de las pistas; las infraestructuras necesarias, las
inversiones y los costes, las recuperaciones, las limitaciones económicas y financieras
de la empresa, los mercados, los precios, las incertidumbres...; y por si esto fuera poco,
debemos tener en cuenta las diferentes técnicas con las que modelamos estos factores y
sus interrelaciones y, cómo no, el criterio que prevalecerá a la hora de realizar el diseño
y tomar la decisión final: maximizar el beneficio global, o el valor actualizado neto, o
las reservas, o la vida de la explotación, o minimizar el riesgo de la inversión, etc.
No es de extrañar pues, que no exista ningún algoritmo matemático que sea capaz de
encontrar una solución óptima, al menos, si hablamos de este término en un sentido
totalmente estricto y riguroso. Lo que sí que existen, son algoritmos que, una vez fijados
implícita o explícitamente un conjunto amplio de parámetros, y bajo la supervisión del
diseñador o planificador minero, ofrecen distintas alternativas, que resultarán más o
menos operativas o factibles, en función de la cantidad y calidad de los parámetros de
entrada que el modelo pueda aceptar. La rapidez de repuesta de los ordenadores es un
importante estimulante del uso de estos algoritmos, debido al carácter ciertamente
dinámico de los parámetros de entrada del modelo.
En definitiva, es el técnico el que deberá tomar las decisiones más idóneas, y el
responsable último del diseño y planificación de la explotación, mientras que los
algoritmos son solamente herramientas potentes de trabajo, que ni deciden ni aceptan
responsabilidades, sólo calculan.
No es objetivo de este trabajo, entrar en el debate sobre cuál debe ser el criterio
económico a seguir por la empresa, en la toma de decisiones. Asumiremos que el
sumatorio de flujos de caja descontados o valor actualizado neto (VAN), es el indicador
de rentabilidad de la empresa, y que el objetivo principal de ésta, es maximizarlo (Lane,
1988; Runge, 1998; Lemieux, 2000). La definición de las reservas y de la secuencia de
la explotación se hará conforme a esta premisa.
El empleo de algoritmos necesita de un modelo del yacimiento, en forma de bloques
rectangulares tridimensionales, que a su vez pueden estar formados por varios bloques
menores, y que pueden tener en su interior información muy variada concerniente a sus
dimensiones y coordenadas, al tipo y densidad del material al que representa, leyes o
cantidades de metal(es), taludes de la excavación, costes, recuperaciones, precios, etc.
Para cada bloque, toda esta información se condensa finalmente en: 1) el valor neto del
mismo (VN) o suma de los ingresos menos la suma de los costes imputables a la
extracción de ese único bloque, supuesto que este valor es independiente de la secuencia
de extracción; y 2) un fichero de arcos (S), que representa el conjunto de bloques que
hay que extraer, de acuerdo con los taludes de la excavación, para posibilitar la salida
del bloque considerado.
El problema de determinación del hueco óptimo (aquél cuyo VAN es máximo), es en
realidad un problema de determinación de la secuencia óptima de explotación, que
como ya hemos mencionado, no somos capaces de resolver actualmente. Para ilustrar la
gran dificultad de su resolución, acompañamos una formulación del mismo, en términos
de programación lineal, presentada por Caccetta (2000):
T
N
(
)
N
Maximizar Z = ∑∑ c it −1 − cit x it −1 +∑ ciT xiT
t = 2 i =1
i =1
Sujeto a las siguientes restriccio nes :
∑t x
i∈O
i
∑ t (x
i∈O
= m1
1
i
i
t
i
)
− x it −1 = m t , t = 2,3..., T
l 0t ≤ m t ≤ u0t , t = 1,2,..., T
∑t x
i
≤ u w1
1
i
i∈W
∑ t (x
i
i∈W
t
i
)
− x it −1 ≤ u wt , t = 2,3..., T
x it −1 ≤ x it , t = 2,3..., T
x it ≤ x tj , t = 1,2,..., T ; j ∈ S i ; i = 1,2,..., N
x it = 0,1 , t = 1,2,..., T ; i = 1,2,..., N
Siendo N el número total de bloques del depósito; T el número de periodos sobre el que
se planifica la explotación; cit el valor neto, que resulta de extraer el bloque i en el
periodo t, actualizado; xit una variable que toma el valor 1 si el bloque i es extraído entre
los periodos de 1 a t, y 0 en caso contrario; O es el conjunto de bloques de mineral; W
es el conjunto de bloques de estéril; ti es el tonelaje del bloque i; Si es el conjunto de
bloques que deben ser extraídos antes del bloque i; mt es el mineral extraído en el
periodo t; uwt es la cantidad máxima de estéril a extraer en el periodo t; l0t y u0t son las
cantidades de mineral a extraer en el periodo t (mínima y máxima, respectivamente).
Esta formulación plantea la búsqueda de N vectores (xi) de T componentes (ceros y
unos), que maximizan el sumatorio de valores netos actualizados, sujeto a las
restricciones de capacidad de mina y planta (las cinco primeras restricciones), y a los
taludes de la operación (séptima restricción). El orden de magnitud de N es 105, y el de
T es 10, con lo cual, el del número de incógnitas NT será 106. El número de
restricciones lineales es aproximadamente N(T+d), siendo d el número medio de
bloques de los conos Si.
El sistema ni se puede resolver, ni hace una formulación completa del problema (no
tiene en cuenta la posibilidad de entrada de diferentes minerales a planta, o la de
mezclado, o los requerimientos de espacio de la operación minera, introduce una ley de
corte a priori, etc.). Los diferentes intentos de enfrentarse directamente al problema,
mediante técnicas de programación lineal o de programación dinámica, o mediante la
aplicación de algoritmos de inteligencia artificial (redes neuronales o simulación), sólo
han conseguido, hasta el momento, la resolución de forma eficiente, de casos muy
sencillos.
Ya que no se pueden abordar los problemas reales de forma directa, la línea que se ha
seguido ha sido trabajar subdividiendo aquellos, en otros más sencillos, secuenciales e
iterativos.
Con el conjunto de todos los pares VN-S, se puede abordar, en primer lugar, el
problema de búsqueda de los límites del hueco minero óptimo, si modificamos su
significado inicial y lo definimos como el contorno que encierra el volumen de material,
cuyo sumatorio de valores netos es máximo, cumpliendo los requisitos de los taludes
máximos de la operación.
La técnica del cono flotante (descrita por Pana, 1965) ha sido la más popular para
obtener el hueco final (Armstrong, 1990; Hustrulid y Kuchta, 1995). Básicamente
consiste en fijar una ley de corte (Armstrong, por ejemplo, refiere la ley de corte en
mina), y buscar desde la superficie del modelo hacia su interior, el primer bloque (o
conjunto de ellos) que la supere. Cuando lo encontremos, se suma el valor neto de todos
los bloques del fichero de arcos que le(s) corresponde. Si el resultado es positivo, se
eliminan todos los bloques implicados, y si no lo es, permanecen. Se continúa la
búsqueda del siguiente bloque y se trabaja de la misma manera, descartando siempre de
los ficheros de arcos, aquellos bloques eliminados con anterioridad (existen diferentes
variantes del algoritmo, por ejemplo Koborov, 1974).
El fijar de antemano como ley de corte la de mina, no implica necesariamente que se
aplique el mismo corte a cada bloque perteneciente al fichero de arcos, así por ejemplo,
Hustrulid y Kuchta, aplican a este conjunto, la ley de corte en planta o ley marginal.
El algoritmo es sencillo y gráfico (ahora es el ordenador el que traza las líneas guía, y en
tres dimensiones), aunque no asegura que la solución sea óptima. Esto es debido a que
el algoritmo no tiene en cuenta la posible cooperación entre bloques de mineral, para
pagar el estéril común a ambos; y a que por razones computacionales, la búsqueda de
bloques es continua (debiera comenzar desde el principio cada vez que se elimina un
conjunto de bloques), lo que puede extender el límite del hueco más allá del óptimo.
La resolución final de este problema surgió de la teoría de grafos (Lerchs y Grossmann,
1965). Cada bloque del modelo representa un nodo del grafo, que a su vez está
conectado con otros nodos mediante arcos (con el mismo significado que el explicado
anteriormente). A cada nodo se le asigna un peso, en nuestro caso el valor neto del nodo
al que representa. El problema se plantea de la siguiente forma: encontrar de entre todos
los posibles subgrafos, aquél cuyo peso asociado (el sumatorio de los pesos de todos los
nodos pertenecientes al subgrafo), sea máximo. En términos de programación lineal
entera tendremos:
Maximizar ∑ bj ∗ xj
j∈V
Donde V representa el conjunto de todos los nodos; bj es el peso del nodo j; xj es una
variable que tiene el valor de 1 si el nodo j está incluido dentro del hueco óptimo, y cero
en el caso contrario. Tendremos que aplicar la restricción de los taludes de la
excavación: xi – xj ≥0, para todos los nodos i, conectados con el nodo j.
El gran logro de Lerchs y Grossmann fue, precisamente, formular este problema,
irresoluble mediante programación lineal debido a los enormes requerimientos
computacionales, como un problema de cierre máximo en la teoría de grafos.
Posteriormente aparecieron algoritmos, que transformaron el planteamiento de la teoría
de grafos a uno equivalente de flujo máximo en teoría de redes, que dan los mismos
resultados que el anterior (Johnson, 1968; Picard, 1976).
El incremento de la potencia de los ordenadores ocurrido en las dos décadas posteriores
al artículo de Lerchs y Grossmann, permitió la aparición en el mercado de Whittle 3-D
(1985), un programa que implementaba el algoritmo en tres dimensiones.
Con la determinación inicial de los límites del hueco minero podemos obtener los
gráficos de leyes de corte-recursos-leyes medias, información que realimentará al
sistema, ya que podrá influir de forma directa en los ritmos de la operación, en los
costes unitarios y en las inversiones (no olvidemos que trabajamos de forma iterativa
según procesamos la información que vamos obteniendo, y por lo tanto, la definición
del hueco final no se realizará hasta que se complete la optimización).
El paso siguiente es la definición de las fases de la explotación, que en la práctica se
resuelve mediante análisis paramétrico (Lerchs y Grossmann, 1965). Esta técnica
consiste en afectar el valor neto de cada bloque con un parámetro λ, de manera que
variando éste convenientemente y aplicando el algoritmo de optimización, se obtienen
contornos sucesivos del hueco, que serán la base de la planificación minera. La idea es
que cada contorno delimitará un hueco con beneficio unitario mayor al que se generará
posteriormente, que lo englobará, de manera que extraeremos sucesivamente material de
mayor a menor valor unitario. Desde el punto de vista de maximizar el VAN esto es lo
que nos interesa, adelantar en lo posible los flujos de caja más elevados.
Lerchs y Grossmann propusieron en su artículo, la variación del valor de cada bloque
del modelo, de bi a (bi-λ) con λ≥0. Esto es equivalente a determinar el contorno del
hueco en el que el beneficio medio de los bloques es igual o mayor que λ. Whittle
Technology Limited introdujo el análisis paramétrico en 1987 con Whittle FOUR-D,
aunque con un enfoque algo distinto.
Los tres parámetros económicos que intervienen en el cálculo del valor neto de un
bloque son: el precio de venta, el coste de planta y el coste de mina. Whittle (1988)
definió el coste en metal de mina, como la cantidad de metal que hemos de vender para
pagar el coste de la extracción de una tonelada de mineral. Llamando b al valor neto de
la tonelada de mineral tendremos:
b = le ∗ η ∗ P − c p − cm
En la que le representa la ley en metal, η el rendimiento global, P el precio unitario de
venta (suponemos descontados los gastos de fundición, afino, comercialización...), cp el
coste de planta y cm el coste de mina, ambos de la tonelada de mineral. Dividiendo la
expresión anterior entre cm :
b
P cp
= le ∗ η ∗
− −1
cm
cm cm
P/cm es la cantidad de estéril que puede pagar la unidad de metal y cp/cm es un ratio
relativamente constante con el tiempo (∓20% según Whittle). Si variamos P/cm
afectándolo con un parámetro λ que varía entre 0 y 1, obtendremos un conjunto de
cortas anidadas, en las que sucesivamente va disminuyendo el valor neto unitario por
unidad de coste minero.
La aplicación de este parámetro directamente sobre las leyes, hace que se penalice más,
en términos absolutos, a aquellas leyes de mayor valor; y el efecto sobre los contornos,
comparado con la parametrización propuesta de Lerchs y Grossmann, es que tienden a
tener ratios menores.
Esto es importante desde el punto de vista del objetivo planteado: maximizar el valor
actualizado neto. Al no tener en cuenta de manera explícita el valor temporal del dinero,
se introduce de manera implícita, ya que, ante dos contornos de igual valor neto
unitario, la parametrización de Whittle escogerá la de menor ratio, o sea, la que tiene
menor coste de desmonte a pagar anticipadamente.
No han sido sólo dos, las direcciones en las que se ha dirigido el análisis paramétrico,
sino que, se han propuesto a lo largo del tiempo, diferentes alternativas a las
mencionadas.
Dagdelen y Francois-Bongarcon (1982), y Francois-Bongarcon y Guibal (1982),
eliminaron todos los parámetros económicos del análisis y propusieron la
parametrización de las reservas, esto es, generar contornos de riqueza, del producto
vendible, decreciente. Ramazan y Dagdelen (1998), introdujeron, con el objetivo de
minimizar el ratio en las fases iniciales, un algoritmo que produce contornos con ratios
crecientes. Lemieux (2000), propone definir inicialmente las fases con el análisis de
Lerchs y Grossmann, y mediante un proceso iterativo, ir redefiniendo éstas, teniendo en
cuenta el ratio de cada fase, mediante la adición de un coste del capital que dependerá
de dicho ratio. Como vemos, el análisis paramétrico en la definición de las fases de la
explotación, continúa todavía en desarrollo.
Una vez definidas las fases, debemos establecer la secuencia de explotación. Los
principales paquetes informáticos utilizan técnicas heurísticas de búsqueda de la mejor
secuencia, aunque hay algunos que utilizan técnicas de programación lineal (con las
limitaciones indicadas anteriormente), o que las combinan con las heurísticas.
Whitlle Four-X (1997), la versión posterior a Four-D, incorporó en 1998 el algoritmo
Milawa, que busca, bien la secuencia con mayor valor actualizado neto, bien la
secuencia que equilibra las capacidades de mina y planta. En función del número de
bancos del hueco final, de las fases de explotación y de los periodos de tiempo que
configuran la vida de la explotación, y teniendo en cuenta los ritmos de producción y las
restricciones geométricas impuestas entre las fases, el algoritmo busca de forma
heurística, secuencias que cumplan con las restricciones anteriores, escogiendo
finalmente la de mayor VAN. El algoritmo no puede garantizar que la solución sea la
mejor posible, especialmente si ésta está en un pico abrupto, aunque en general, si en los
entornos del máximo las variaciones son suaves, el resultado estará cercano al óptimo
buscado.
El último eslabón del proceso general de diseño y planificación, lo constituye la
optimización de las leyes de corte. Los métodos de optimización no parten de una ley de
corte preconcebida por el usuario (Whittle, 1990). Lo que hacen es comparar el valor
neto de cada bloque para cada uno de los destinos posibles (el caso más sencillo es: o
enviar el bloque a planta o enviarlo a escombrera), y escoger aquella cuyo valor neto sea
mayor (o menos negativo). Esto es equivalente a trabajar con la ley marginal o ley de
corte en planta, que es aquella ley capaz de pagar todos los costes derivados del
tratamiento del bloque como reserva, menos el coste de tratar el mismo, como si fuese a
escombrera. O sea:
lc =
cm + c p − c w
η *P
Siendo lc la ley de corte, y cw el coste unitario atribuible al estéril. El resto de los
términos tienen el significado expuesto anteriormente.
Si comparamos esta expresión de la ley de corte, con la propuesta por el profesor Lasky
(1952), en la que el término cw no aparece, deducimos que en un principio, las reservas
totalizadas con los métodos de optimización, serán mayores. Y así sería, si no
contemplásemos la componente temporal del valor del dinero que dictan las teorías que
introducen el coste de oportunidad del capital.
Lane (1988) abordó la tarea de la definición económica de mineral, desde el punto de
vista de maximización del sumatorio de los flujos de caja actualizados (V), producidos
por la operación minera. Partiendo de la hipótesis de que V es función del tiempo (T),
de los recursos (R) y de la política de leyes de corte (Ω:ω1, ω2...), maximizó la
función V con respecto a Ω, y obtuvo que la solución debía cumplir:


dV *
dV *  
= Maxω c(ω , t ) − δV * −
τ 
dR
dT  


Donde V* es el máximo de V; c es el flujo de caja por unidad de recurso, siguiendo la
estrategia ω, durante el tiempo t; δ es el coste del capital y τ el tiempo empleado en
procesar la unidad de recurso.
Según Lane, el término que acompaña a τ es el coste de oportunidad (F), asociado a V*
(el valor de la operación), y afecta al flujo de caja con el coste del capital δ, y con las
condiciones económicas cambiantes a lo largo de la vida de la operación.
La nomenclatura y el modelo económico utilizados por Lane, son:
•
g es la ley de corte a determinar
•
m, h y k son los costes unitarios variables de mina, planta y comercialización,
respectivamente; f es el coste fijo de la operación y F el coste de oportunidad
•
p es el precio unitario de mineral; y es el rendimiento de la operación
•
M, H y K son las capacidades máximas en mina, planta y comercialización
En el caso de estar limitada la operación únicamente por la capacidad de planta, la ley
de corte obtenida con el modelo de Lane es:
f +F
H
g=
( p − k )* y
h+
Suponiendo unas condiciones económicas estables, este resultado sugiere, que el
material procesado deberá pagar al menos, los costes derivados de su tratamiento más el
coste de capital del activo minero V*.
Si comparamos esta ley con la de Lasky, teniendo en cuenta que ahora: cp = h+f/H y
P=(p-k), obtenemos que:
lc c p + cm
=
g c + F
p
H
En los episodios iniciales de la vida de la explotación, los valores de g serán mayores
que lc, y conforme avanza el tiempo, V* disminuye y, por tanto, g, hasta alcanzar el
valor marginal.
Lane extiende su trabajo con el cálculo de la ley de corte en el caso de que la capacidad
de producción esté limitada por mina, y también cuando la restricción viene impuesta
por la limitación de puesta en mercado del producto final. Junto con estas tres leyes,
calcula otras tres que resultan de saturar o equilibrar las tres restricciones expuestas, dos
a dos. Éstas se obtienen a partir de la función de distribución de la ley, de manera que, si
por ejemplo queremos saturar la capacidad de mina y la capacidad de planta, deberemos
buscar en la curva la ley de corte en la que la proporción de material que la supera, sea
igual a H/M.
De entre estas seis leyes elegiremos la ley de corte óptima, que será aquella con la que
se obtenga el mayor valor de V, y que satisfaga todas las restricciones impuestas.
En la fase de diseño será muy importante, equilibrar las capacidades de mina y planta,
de manera que ambas se saturen en el entorno del óptimo económico de planta.
Al ser g dependiente de V*, la resolución del problema de calcular la política óptima de
leyes de corte, a lo largo de la vida de la explotación, requiere la utilización de técnicas
de programación dinámica.
Four-X Analyser (Whittle Programming Limited, 2001), incorpora un módulo de
cálculo de la política de leyes, integrado con los módulos de diseño y planificación
(anteriormente introdujo un módulo externo Opti-Cut, 1995, compatible con Four-X).
El esquema de trabajo es el siguiente:
•
Se parte de la secuencia de extracción obtenida anteriormente, agrupando la
información en incrementos o intervalos de un tonelaje determinado. Cada
incremento incorpora las cantidades de los diferentes tipos de rocas según rangos
de calidades.
•
Se calculan las leyes de corte marginales para cada incremento.
•
Se busca la ley de corte en el primer incremento que maximiza el VAN,
manteniendo el resto de leyes constantes.
•
El proceso se repite con los incrementos siguientes, secuencialmente, hasta llegar
al último.
•
Ya que la ley de corte de cada incremento habrá variado, comenzamos de nuevo
la búsqueda de la ley de corte que maximiza el VAN, con el primer incremento, y
así sucesivamente.
•
Iteramos todo el proceso hasta que no podamos mejorar el VAN.
Llegados a este punto, hemos culminado el primero de los ciclos de determinación del:
límite del hueco minero-fases de la explotación-secuencia de operación-leyes de corte.
Ahora debemos introducir el efecto que produce el cambio de las leyes de corte, en el
modelo. De hecho puede ocurrir que las suposiciones y estimaciones realizadas de los
parámetros principales no conserven su validez (costes, selectividad o dilución, por
ejemplo), y el modelo generado no se adecúe a las nuevas circunstancias.
La función de distribución de la ley, su ordenación espacial y las leyes de corte son los
factores que dictarán la cantidad de reservas, su ley media y su disposición espacial, y
en definitiva, serán los determinantes del método, ritmo y secuencia de extracción, o lo
que es lo mismo, de los costes y amortizaciones, y también lo serán, del beneficio de la
operación.
No olvidemos que las reservas deben constituir unos de los activos mineros, y
transcribiendo las palabras de Plá (1994), sobre el concepto de reservas: «deberá ser
rígido y exigente a la hora de ser aceptado». La importancia es capital, ya que el diseño
y la planificación final, está subordinado a su definición.
La repetición cíclica de todo el proceso de evaluación culminará con la selección de una
o varias alternativas viables, sobre las que se aplicará el análisis de sensibilidad a los
parámetros más relevantes, y sobre las que se evaluará el riesgo subjetivo,
generalmente, mediante la simulación de Monte Carlo.
Para terminar este trabajo resaltaremos, que el aprovechamiento de la potencia actual de
los ordenadores mediante el empleo de algoritmos de optimización, en el diseño y
planificación de explotaciones mineras, supone una mayor dedicación y esfuerzo en
estudiar y analizar los resultados que con los métodos manuales, que emplean una gran
cantidad de tiempo en trabajo puramente técnico.
Nota final
Se incluye la referencia del artículo presentado:
Bastante F.G.; Taboada J. y Ordóñez C., 2004. Design and planning for slate mining
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