Modulación Digital - Universidad Nacional de Quilmes

DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES
Roque Sáenz Peña 352 – (B1876BXD) Bernal – Buenos Aires – Argentina
TEORÍA DE LAS TELECOMUNICACIONES
MODULACIÓN DIGITAL I
Para qué modular. La modulación digital es un proceso mediante el cual se transforman
los símbolos digitales en formas de onda adecuadas para la transmisión sobre el canal de
comunicación. Ya hemos visto la modulación en banda base, en donde las formas de onda son
pulsos. La modulación pasabanda es un proceso mediante el cual la señal digital modula una
sinusoide llamada comúnmente onda portadora o simplemente portadora. Para el caso de las
transmisiones de radio, por ejemplo, la señal portadora se convierte apropiadamente en un
campo electromagnético que se propaga a través del aire.
Ahora bien, cabe preguntarse para qué modular una señal que está en banda base para
que sea posible una radiotransmisión. La respuesta está en que la transmisión de campos
electromagnéticos a través del espacio se realiza por medio de antenas. Para que haya un
acoplamiento eficiente de energía electromagnética en el espacio, las dimensiones de la
apertura de la antena debe ser comparable a la longitud de onda que se va a transmitir. La
longitud de onda λ es igual a c/f, donde c es la velocidad de la luz en el vacío (3 x 108 m/s). Si
tuviésemos que transmitir una señal de banda base de frecuencia f = 3000 Hz la longitud de
onda resultaría λ = 105 m. Entonces, para transmitir eficientemente una señal de 3 KHz a
través del espacio, sin usar modulación o portadora, se necesitaría una antena con una
apertura de unos 100.000 metros, cosa que, indudablemente, es impracticable.
Ahora, si esta señal de banda base la modulamos sobre una portadora de alta
frecuencia, por ejemplo 30 GHz, las dimensiones de la antena se hacen mucho más pequeñas.
Por supuesto que el tema de modulación y uso de antenas es mucho más complejo, pero este
es el fundamento por el cual se debe modular una señal. Desde luego que hay distintos tipos
de antenas y distintos tipos de modulaciones. Para el caso de comunicaciones satelitales, el
tamaño de las antenas parabólicas no sólo depende de la longitud de onda transmitida sino
que también de la ganancia que deba tener la antena y de la potencia con la que transmite el
satélite. Para el caso de la transmisión de TV por aire, hay ciertos modelos de antenas que
constan de 5 varillas. Cada varilla tiene una longitud distinta y está asignada a un canal de TV
diferente (el 2, 7, 9, 11 y 13) y por supuesto la longitud de cada varilla está asociada a la
longitud de onda con la que transmite cada emisora.
Además, la modulación ofrece otra ventaja. Se trata del multiplexado en frecuencia o
múltiplex por división de frecuencia, mecanismo mediante el cual se pueden transmitir varias
señales provenientes de distintas fuentes y todas por el mismo canal, usando cada fuente una
frecuencia portadora distinta. Volviendo al ejemplo de los canales de TV, o también las
emisoras de radio AM y FM, cada emisora utiliza el mismo canal de comunicación (el aire) pero
cada una transmite con una portadora distinta para no interferirse con la otra. Este tipo de
multiplexado también se usa en las comunicaciones telefónicas (en los enlaces troncales).
Interpretación geométrica de señales
Para comprender mejor el comportamiento de las señales moduladas pasabanda que
están afectadas por una fuente de ruido blanco Gaussiano, es útil darle una interpretación
geométrica a dichas señales. Esto permite comprender mejor el funcionamiento del detector
del receptor. La idea es representar vectorialmente al conjunto de señales moduladas a
Modulación digital I
1
transmitir. Luego, podrá concluirse que esta representación también es válida para el caso de
señales pasabajo.
Supongamos un espacio ortogonal N-dimensional caracterizado por un conjunto de N
funciones linealmente independientes {ψj(t)}, llamadas funciones base o funciones
generadoras. Cualquier función arbitraria perteneciente a este espacio N dimensional puede
ser generada como combinación lineal de las funciones generadoras. Las funciones
generadoras deben satisfacer las siguientes condiciones:
T
∫ψ
0
j (t )ψ k (t )dt
= K j δ jk
0 ≤ t ≤ T ; j, k = 1,....N
1 para j = k
0 para otro caso
δ jk = 
(1)
(2)
δjk se llama función delta Kronecker. Cuando Kj es distinto de cero entonces el espacio
de señal se llama ortogonal. Y en particular, cuando las funciones generadoras están
normalizadas, esto es, cuando Kj = 1 el espacio se llama ortonormal. La principal condición
para la ortogonalidad se puede establecer de la siguiente manera: Cada función ψj(t) del
conjunto de funciones generadoras, debe ser independiente de los otros miembros del
conjunto. Cada ψj(t) no debe interferir con los otros miembros del conjunto en el proceso de
detección. Desde el punto de vista geométrico, todos los ψj(t) son mutuamente
perpendiculares. Si por ejemplo N = 3 entonces resultan tres ejes ψ1(t), ψ2(t) y ψ3(t)
mutuamente perpendiculares. Si ψj(t) representa una forma de onda correspondiente a una
tensión o a una corriente, asociada a una carga resistiva de 1Ω, entonces la energía disipada
en dicha carga, expresada en Joules, como consecuencia de la aplicación de ψj(t), durante T
segundos, es:
Ej =
vale 1.
T
∫
0
ψ 2j (t )dt = K j
(3)
Este resultado se desprende de las ecuaciones (1) y (2), de donde se deduce que δjk
La razón por la que se le da un enfoque geométrico a las señales, representándolas
dentro de un espacio de señal ortogonal, es que la distancia Euclideana, fundamental para el
proceso de detección, se formula muy fácilmente dentro de este esquema. Aún así, si las
formas de onda no forman un conjunto ortogonal, sí pueden ser representadas como una
combinación lineal de un conjunto ortogonal. Puede demostrarse que cualquier conjunto finito
de formas de onda {si(t)} (i = 1,...., M), donde cada miembro del conjunto es físicamente
realizable y de duración T, puede ser expresado como una combinación lineal de N formas de
onda ortogonales ψ1(t), ψ2(t),..., ψN(t), donde N ≤ M:
s1 (t ) = a11ψ 1 (t ) + a12ψ 2 (t ) + L + a1Nψ N (t )
s2 (t ) = a21ψ 1 (t ) + a22ψ 2 (t ) + L + a2Nψ N (t )
M
s M (t ) = aM1ψ 1 (t ) + aM 2ψ 2 (t ) + L + aMNψ N (t )
Estas relaciones se pueden escribir con la siguiente notación:
N
si (t ) =
∑ a ψ (t )
ij
j
i = 1,.....M;
N≤M
(4)
j =1
donde
2
Modulación digital I
aij =
1
Kj
T
∫ s (t )ψ (t )dt
i
i = 1,.....M;
j
0 ≤ t ≤ T;
j = 1,.....N
(5)
0
El coeficiente aij es el componente de ψj(t) de la señal si(t). Geométricamente, aij es la
proyección de si(t) sobre el vector generador ψj(t).
La forma del conjunto {ψj(t)} no está especificada y se elige convenientemente,
dependiendo de la forma de onda de las señales. El conjunto de señales {si(t)} puede ser visto
como un conjunto de vectores {si} = {ai1, ai2,....., aiN}. Por ejemplo, si N = 3, podríamos
representar al vector sm correspondiente a la forma de onda
s m (t ) = am1ψ 1 (t ) + am2ψ 2 (t ) + am3ψ 3 (t )
como un punto dentro del espacio Euclideano tridimensional, cuyas coordenadas son
(am1, am2, am3).
La orientación de los vectores de señal describe la relación entre ellos (respecto a su
fase), y la amplitud de cada vector es una medida proporcional a la energía de la señal,
transmitida durante la duración de símbolo T. En general, una vez que ha sido adoptado el
conjunto de N funciones ortogonales, cada una de las señales transmitidas si(t) queda
determinada por un vector formado por los coeficientes de si(t):
s i = (ai1 , ai 2 , K , aiN )
i = 1, K , M
(6)
o bien, utilizando un formato más convencional:
ai1 


a
s i =  i2 
M 


aiN 
(7)
El vector si comúnmente se llama vector de señal. Esta noción de espacio Euclideano de
2 ó 3 dimensiones puede extenderse conceptualmente a un espacio de cualquier dimensión N.
De esta manera, un conjunto de M vectores de señal se puede definir como M puntos dentro
de un espacio Euclideano de dimensión N, formado por N ejes perpendiculares ψi. Obviamente
que, mentalmente, no es posible imaginar un espacio de dimensión mayor a 3, pero nada
impide que se pueda representar tal espacio como un conjunto de números escritos en un
papel.
Dentro de un espacio de dimensión N podemos definir longitudes de vectores y ángulos
entre vectores. La longitud o norma de un vector de señal si es indicada por la notación s i .
El cuadrado de la longitud de un vector si es definido como el producto interno de si con sí
mismo (también llamado producto escalar). Por ejemplo, para N = 2 la norma del vector sería:
si
2
= (s i , s i ) =
2
∑a
2
ij
(8)
j =1
donde aij son las componentes o elementos del vector si. Recordemos que el producto
escalar entre dos vectores se define como:
(s i , s j ) =
(
s i ⋅ s j ⋅ cos s i , s j
)
(9)
De aquí se desprende que el coseno del ángulo entre los dos vectores es:
Modulación digital I
3
(
(s i , s j )
)
cos s i , s j =
(10)
si ⋅ s j
De estas ecuaciones se desprende que dos vectores son ortogonales o perpendiculares
si su producto interno es cero.
Emplearemos la notación vectorial {s} o {s(t)} para el desarrollo del análisis. Un típico
problema de detección, visto desde el punto de vista geométrico, se puede ver de la siguiente
manera. Los vectores sj y sk representan prototipos o señales de referencia pertenecientes a
un conjunto de M señales, {si(t)}. El receptor conoce, a priori, la ubicación de cada prototipo
dentro del espacio de señal. Durante la transmisión de una señal, la misma es perturbada por
el ruido, de tal manera que el vector recibido es en realidad una versión desplazada del vector
prototipo original (por ejemplo s + n, donde n es el vector de ruido). Como el ruido tiene una
distribución Gaussiana entonces la distribución de los posibles vectores recibidos puede
representarse como una suerte de “nube” alrededor del extremo del vector prototipo. La nube
es más densa en las cercanías del extremo del vector y se hace más dispersa a medida que se
aparta de él. Un vector representado por r es el vector de señal recibido, durante el tiempo de
símbolo T. La tarea del detector es decidir qué tan cerca está r de los vectores prototipo. Si
está más cerca de sj o de sk o de algún otro vector perteneciente al conjunto de M vectores.
En definitiva, lo que el detector tiene que hacer es “medir una distancia”. Es decir, cuál de los
prototipos o señales de referencia está más cerca, en términos de distancia, del vector recibido
r. Aquel que esté más cerca será por el cual el detector se va a decidir como señal recibida.
Para el análisis de los esquemas de detección o demodulación se usa este concepto de
distancia.
Energía de la forma de onda
La energía normalizada Ei asociada con la forma de onda si(t), durante el intervalo de
símbolo T, puede expresarse en términos de las componentes ortogonales de si(t):
T
∫
s i2 (t )dt =
Ei =
∫ ∑a ψ
Ei =
0
T
0
ij
0
Ei =
k
N

aijψ j (t ) dt

∑a
ik ψ k (t )dt
(11)
(12)
k
T
∫ψ
j (t )ψ k (t )dt
0
∑∑a
ij aik K j δ jk
j
Ei =
j
j (t )
ij aik
j
2



∫ ∑
j
∑∑a
Ei =
T
(13)
(14)
k
∑a
2
ij K j
i = 1, K , M
j =1
(15)
Esta última ecuación es un caso especial del Teorema de Parseval que relaciona la
integral del cuadrado de si(t) con la suma de los cuadrados de la serie de coeficientes
ortogonales. Si se usan funciones ortonormales (esto es, Kj = 1) la energía normalizada sobre
una duración de símbolo T viene dada por:
N
Ei =
∑a
2
ij
(16)
j =1
4
Modulación digital I
Una manera más práctica de comprender el desarrollo de ecuaciones (11) a (16) es
viendo un ejemplo, suponiendo que N = 3. En este caso si(t) es:
s i (t ) = ai1ψ 1 + ai 2ψ 2 + ai 3ψ 3
Elevando al cuadrado en ambos miembros queda:
s i2 (t ) = ai21ψ 12 + ai22ψ 22 + ai23ψ 32 + 2ai1 ai 2ψ 1ψ 2 + 2ai1 ai 3ψ iψ 3 + 2ai 2 ai 3ψ 2ψ 3
Si se integra entre 0 y T en ambos miembros, los 3 últimos términos de la derecha dan
cero porque resultan ser ortogonales, quedando entonces:
T
∫
0
T
∫
0
T
∫
s i2 (t )dt =
0
s i2 (t )dt = ai21
ai21ψ 12 dt +
T
∫
0
T
∫
ai22ψ 22 dt +
0
ψ 12 dt + ai22
T
∫
0
T
∫
0
ψ 22 dt + ai23
ai23ψ 32 dt
T
∫
0
ψ 32 dt
Y como cada integral del miembro derecho da uno, finalmente queda:
T
∫
0
s i2 (t )dt = ai21 + ai22 + ai23
T
∫
0
s i2 (t )dt =
3
∑a
2
ij
j =1
3
Ei =
∑a
2
ij
j =1
Por último, volviendo a la (16), si todas las señales si(t) del conjunto de señales tienen
la misma energía entonces queda:
N
E =
∑a
2
ij
para todo i
(17)
j =1
Volviendo a la representación en el plano vectorial, esta última ecuación muestra que la
energía de la señal es igual al cuadrado de la longitud del vector si,.
Para el caso de un par de señales si(t) y sk(t), representadas por sus correspondientes
vectores si y sk, similarmente se puede demostrar que:
si − sk
2
N
=
∑ (a
ij
− akj
j =1
)2 = ∫0 [si (t ) − sk (t )]2 dt
T
(14)
Método de ortogonalización de Gram-Schmidt
Este método permite encontrar el conjunto de funciones ortonormales {ψ i (t )} para un
dado conjunto arbitrario de señales
{si (t )},
de manera tal que M señales si(t) puedan
representarse como combinación lineal de N funciones ψi(t), con N ≤ M.
No haremos una demostración exhaustiva del método. Pero mostraremos un ejemplo
para el caso de tres señales s1(t), s2(t) y s3(t) y se verá que el procedimiento es extensible a
Modulación digital I
5
cualquier número de funciones. Entonces, escribimos las tres señales, en forma genérica,
como combinación lineal de tres funciones generadoras. La idea es encontrar dichas funciones
generadoras como así también los correspondientes coeficientes aij:
s1 (t ) = a11ψ 1 (t ) + a12ψ 2 (t ) + a13ψ 3 (t )
s2 (t ) = a21ψ 1 (t ) + a22ψ 2 (t ) + a23ψ 3 (t )
(18)
s3 (t ) = a31ψ 1 (t ) + a32ψ 2 (t ) + a33ψ 3 (t )
Ahora, de la primera ecuación de (18), tomamos arbitrariamente a12 y a13 = 0. Con esto
estamos forzando a que s1(t) sea colineal con ψ1(t). Luego, multiplicando por s1(t) en ambos
miembros de dicha ecuación e integrando entre 0 y T, nos queda:
T
∫
0
T
∫
s12 (t )dt = a11 s1 (t )ψ 1 (t )dt
(19)
0
2
a11
=
∴
T
∫
0
s12 (t )dt
(20)
Como s1(t) es conocido, se puede obtener entonces a11 y luego obtener ψ1(t):
ψ 1 (t ) =
s1 (t )
a11
(21)
Ahora, para la segunda ecuación de (18) tomamos a23 = 0. Tenemos entonces:
s2 (t ) = a21ψ 1 (t ) + a22ψ 2 (t )
(22)
Multiplicando ambos miembros de (22) por ψ1(t) e integrando entre 0 y T:
T
∫
0
tanto,
s2 (t )ψ 1 (t )dt = a21
T
∫
0
T
∫
ψ 12 (t )dt + a22 ψ 1 (t )ψ 2 dt
(23)
0
La primera integral de la derecha de (23) es igual a 1 y la segunda es igual a 0, por lo
a21 =
T
∫s
0
2 (t )ψ 1 (t )dt
(24)
que es posible calcular, ya que s2(t) y ψ1(t) son conocidos. Ahora continuamos, con el
cálculo de a22. Para ello, en (22) multiplicamos ambos miembros por s2(t) e integramos entre 0
y T:
T
∫
0
T
T
∫
∫
s22 (t )dt = a21 s2 (t )ψ 1 (t )dt + a22 s2 (t )ψ 2 (t )dt
0
(25)
0
Teniendo en cuenta que el miembro izquierdo de (25) representa la energía de la señal
s2(t), nos queda:
2
2
E 2 = a21
+ a22
(26)
de donde podemos despejar a22:
a22 =
2
E 2 − a21
(27)
Con todos estos datos conseguidos podemos obtener finalmente de (22) ψ2(t):
6
Modulación digital I
ψ 2 (t ) =
s2 (t ) − a21ψ 1 (t )
a22
(28)
Por último, la última ecuación de (18) la escribimos completa:
s3 (t ) = a31ψ 1 (t ) + a32ψ 2 (t ) + a33ψ 3 (t )
(29)
Multiplicando ambos miembros de (29) por ψ1(t), integrando entre 0 y T, y descartando
los términos que se anulan, tenemos:
T
∫ s (t )ψ (t )dt = a
0
3
1
(30)
31
que es posible resolver dado que s3(t) y ψ1(t) son conocidos. Ahora multiplicamos
ambos miembros de (29) por ψ2(t). Descartando los términos que se anulan queda:
T
∫ s (t )ψ
0
3
2 (t )dt
(31)
= a32
que también es posible calcular dado que s3(t) y ψ2(t) son conocidos. Ahora
multiplicamos ambos miembros de (29) por s3(t) e integramos entre 0 y T. Entonces
obtenemos:
T
∫
0
s32(t )dt = a31
T
T
T
∫ s (t )ψ (t )dt + a ∫ s (t )ψ (t )dt + a ∫ s (t )ψ (t )dt
0
3
1
32
0
3
2
2
2
2
E3 = a31
+ a32
+ a33
33
0
3
3
(32)
(33)
Por lo tanto:
a33 =
2
2
E3 − a31
− a32
(34)
Y ya terminando, calculamos ψ3(t) despejando de (29):
ψ 3 (t ) =
s3 (t ) − a31ψ 1 (t ) − a32ψ 2 (t )
a33
(35)
Si bien aquí se ha descripto el proceso para el caso de tres señales, el procedimiento
continúa del mismo modo en caso que de haya más señales. Si alguna señal es combinación
lineal de otras dos entonces algunos coeficientes aij serán cero. En ese caso, el número de
funciones generadoras ψ(t) será igual a N < M.
En la Figura 1 se ve un ejemplo de 3 señales, s1(t), s2(t) y s3(t) y las bases que las
generan, ψ1(t) yψ2(t). Por simple inspección visual se puede verificar que:
s1 (t ) = ψ 1 (t ) − 2ψ 2 (t )
s2 (t ) = ψ 1 (t ) + ψ 2 (t )
s3 (t ) = 2ψ 1 (t ) − ψ 2 (t )
Modulación digital I
7
Figura 1. (a) Conjunto arbitrario de señales. (b) Funciones ortogonales.
En el ejemplo de la Figura 1 se muestra un posible conjunto ortogonal generador
aunque no es el único.
Representación de ruido blanco con un sistema de señales ortogonales
El ruido blanco Gaussiano aditivo puede ser representado como una combinación de
funciones ortogonales, del mismo modo que las señales. Para un problema de detección de
señales, el ruido puede ser particionado en dos componentes:
ˆ(t ) + ~
n(t ) = n
n (t )
(36)
donde
ˆ(t ) =
n
N
∑n ψ
j
j (t )
(37)
j =1
se considera que es el ruido dentro del espacio de señal o proyección sobre los ejes
cartesianos. Mientras que
~
ˆ(t )
n (t ) = n(t ) − n
8
(38)
Modulación digital I
se define como el ruido fuera del espacio de señal. Es decir, teóricamente el ruido se
representa sobre un espacio de señal de dimensión infinita, aunque solamente nos interesará
aquellos componentes dentro del espacio vectorial correspondiente a las señales que estamos
tratando.
Para simplificar y no entrar en detalles matemáticos, expresaremos al ruido n(t) por
medio de un vector con sus coeficientes, de igual manera que con las señales:
n = (n1 , n2 , K , nN )
(39)
Coeficiente de correlación – Relación con la distancia
En este esquema de interpretación de señales dentro de un espacio vectorial, es
conveniente definir el coeficiente de correlación entre dos señales si(t) y sj(t). Esta definición
viene dada por:
T
ρ ij =
∫ s (t)s
i
0
(40)
Ei E j
ρ ij =
ρ ij =
j (t )dt
si ⋅ s j
(41)
Ei E j
si ⋅ s j cos θ ij
Ei E j
= cos θ ij
(42)
donde θ ij es el ángulo entre los vectores si y sj.
La distancia euclideana y el coeficiente de correlación se vinculan de la siguiente
manera:
d ij2 = s i − s j
d ij2 =
d ij2 =
T
∫
0
∫ [s
T
0
2
i (t )
s i2 (t )dt +
2
=
∫ [s (t ) − s
T
0
i
]2 dt
(43)
]
(44)
j (t )
− 2s i (t )s j (t ) + s 2j (t ) dt
∫
T
0
T
∫
s 2j (t )dt − 2 s i (t )s j (t )dt
0
d ij2 = E i + E j − 2 E i E j ρ ij
(45)
(46)
y, si como mayoritariamente ocurre, todas las señales tienen igual energía, entonces:
(
d ij2 = 2E − 2Eρ ij = 2E 1 − ρ ij
)
(47)
Por lo tanto, la distancia entre dos señales depende de la energía de dichas señales y
del coeficiente de correlación entre ambas. De (47) es obvio que cuando los vectores
coinciden, ρij = 1 y la distancia es cero, como debe ser. Además, la distancia es mayor cuanto
más negativo es el coeficiente de correlación. El caso extremo se produce cuando ρ = 1. En tal
caso se dice que los vectores son antipodales.
Modulación digital I
9
Entonces, un proceso de detección consiste en determinar cuál de los vectores
prototipos se parece más al vector recibido. Dentro del espacio vectorial habrá 2 ó más
regiones que servirán para establecer las reglas de decisión en función de dónde “caiga” el
vector recibido. La Figura 2 pone de manifiesto esta idea.
Figura 2. Vectores prototipos, distancia entre ambos, vector recibido y regiones de decisión.
Técnicas de modulación digital pasabanda
La modulación pasabanda (tanto analógica como digital), es un proceso mediante el
cual una señal de información es convertida a una forma de onda sinusoidal. En el caso de una
modulación digital, dicha sinusoide de duración T se llama símbolo digital. Una sinusoide tiene
tres características que la pueden distinguir de otras sinusoides: amplitud, frecuencia y fase.
De esta manera, la modulación pasabanda puede definirse como un proceso en donde se
combinan variaciones de estas tres características (o combinaciones de ellas) según la
información que sea transmitida. La forma general de una onda portadora es:
s(t ) = A(t ) cos θ (t )
donde A(t) es una amplitud que varía con el tiempo y θ(t) es el ángulo que varía con el
tiempo. Se puede escribir
θ (t ) = ω 0 (t ) + φ (t )
de manera tal que
s(t ) = A(t ) cos[ω 0 (t ) + φ (t )]
donde ω0 es la frecuencia de la portadora, en radianes, y φ(t) es la fase. Recordemos
que ω = 2πf.
En estos procesos de modulación, cuando el detector utiliza información de la fase de la
portadora hablamos de detección coherente. Cuando el detector no utiliza información de la
referencia de fase de la portadora entonces la detección se llama no coherente.
10
Modulación digital I
Detección de señales
En virtud de lo visto hasta acá, podemos ver en la Figura 3, que el esquema
detección de señales se puede armar con un grupo de M correladores, con señales
referencia si(t). Cada correlador “calcula” un coeficiente de correlación y posteriormente,
bloque de decisión, elige el coeficiente de correlación más alto, que es el que da la pauta
mayor semejanza entre señales.
de
de
un
de
También se ve en la Figura 3 que se puede construir un esquema similar con N
correladores en donde cada uno tiene como referencia una señal ψi(t). A la salida de cada
correlador se obtiene una señal aij (es decir, la componente o proyección de la señal si(t) sobre
la señal generadora ψj(t)). Posteriormente, cada señal aij entra en un bloque con un circuito
lógico que determina a qué región del espacio vectorial pertenece la señal recibida.
Figura 3. (a) Receptor correlado con señales de referencia si(t). (b) Receptor
correlado con señales de referencia ψi(t).
Señales M-arias ortogonales
Como se dijo ya anteriormente, un conjunto que contiene M señales se llama conjunto
M-ario de señales (binario, cuaternario, etc.). Hay diferentes clases de conjuntos M-arios,
aunque sólo algunos pocos son útiles para propósitos de comunicaciones. Un grupo importante
Modulación digital I
11
de señales M-arias lo forman las señales ortogonales. El requisito para que un conjunto de M
señales sea ortogonal es que el coeficiente de correlación entre cualquier par de señales sea
cero:
ρ ij = 0
(48)
para todo i ≠ j
Normalmente, para este tipo de señales resulta ser N = M, es decir el número de
señales coincide con la dimensión del espacio vectorial. Un posible conjunto de M señales
ortogonales puede formarse con señales proporcionales a las señales base. Por ejemplo:
s i (t ) =
Eψ i (t )
i = 1,2, K , M
(49)
donde se usa el coeficiente E para lograr que cada señal tenga energía E, dado que
las funciones base son de energía unidad. Se ha supuesto que todas las señales tienen igual
energía aunque no necesariamente siempre debe ser así.
Este tipo de señales puede ser pensado como un conjunto en donde todos los vectores
de señal son perpendiculares entre sí (por supuesto, extendiendo este concepto aún para
espacios vectoriales mayores a 3 en donde es imposible imaginar vectores en tal espacio).
Multiple Frecuency Shift Keying (MFSK)
Un tipo común de señales ortogonales son las que están moduladas en frecuencia. Esta
clase de señales consisten en sinusoides de duración T, y en dicho intervalo tienen una
frecuencia elegida de un conjunto de M frecuencias distintas. Matemáticamente estas señales
se representan como:
s i (t ) =
2E
sin(ω i t + φ )
T
0 ≤ t ≤ T i = 1, 2, K , M
(50)
donde ω i es igual a ω 0 + i∆ω , siendo ∆ω la menor diferencia de frecuencia entre dos
señales pertenecientes al conjunto. Para que las señales sean ortogonales se debe cumplir
que:
∆ω = 2π∆f ; debiendo ser ∆f =
1
T
(51)
Este es el mínimo espaciamiento de frecuencias entre señales para que sean
ortogonales. Ya que cada señal perteneciente al conjunto es un pulso sinusoidal, su espectro
de energía es una función sinc centrada en la frecuencia de cada señal. El espectro completo
se forma por la superposición de cada espectro individual, desplazados en frecuencia por una
magnitud 1/T. Normalmente, el ancho de banda para MFSK se define como la diferencia en
frecuencia desde el cero más cercano a la frecuencia más baja hasta el cero más cercano a la
frecuencia más alta.
Señales biortogonales
Otro conjunto importante de señales M-arias lo forman aquellas que no son todas
mutuamente ortogonales (sólo algunos pares de señales son ortogonales). De hecho hay dos
conjuntos de señales. Un conjunto tiene M/2 señales que son mutuamente ortogonales y otro
conjunto tiene otras M/2 señales mutuamente ortogonales. A su vez, ambos conjuntos son
antipodales entre sí. Para formar un conjunto de señales de este tipo, se debe comenzar con
un conjunto de M/2 señales ortogonales y a ellas agregarles las negativas u opuestas de cada
una. Esto da como resultado un conjunto de M señales pero dentro de un espacio de dimensión
M/2. Esto puede tener alguna ventaja en algunas aplicaciones. Una manera de definir señales
12
Modulación digital I
biortogonales es usando funciones base de la manera en que fueron definidas para el caso
ortogonal. En este caso, cada señal base se usa para formar dos señales:
s1 (t ) =
Eψ 1 (t )
s2 (t ) = − Eψ 1 (t )
M
s M − 1 (t ) =
Eψ M / 2 (t )
s M (t ) = − Eψ M / 2 (t )
Un ejemplo de este tipo de señales es QPSK.
Señales antipodales
Como se ha visto en otra oportunidad, las señales antipodales son aquellas señales
opuestas que se representan en un espacio de dimensión 1. Desde el punto de vista de la
probabilidad de error de símbolo, este tipo de señales presentan la mejor performance
ya que, a igual energía de señal, tienen la mayor distancia entre símbolos. Luego sigue,
en orden decreciente de performance, las señales ortogonales.
Señales basadas en funciones en cuadratura
Otra importante clase de señales es aquella originada por sólo dos funciones base,
definidas como:
ψ 1 (t ) =
2
cos(ω 0 t )
T
0≤t ≤ T
(52)
ψ 2 (t ) =
2
sin(ω 0 t )
T
0≤t ≤ T
(53)
Cada señal dentro de este espacio, puede definirse como combinación lineal de las dos
funciones generadoras:
s i (t ) = ai1
2
2
cos(ω 0 t ) + ai 2
sin(ω 0 t )
T
T
(
)
2

s i (t ) =  ai21 + ai22 
T

1/2
cos(ω 0 t + θ i )
(54)
(55)
siendo
ai 2
ai1
(56)
E = ai21 + ai22
(57)
θ i = tan − 1
La energía de la señal viene dada por
por lo tanto, si(t) se puede escribir como:
s i (t ) =
Modulación digital I
2E
cos(ω 0 t + θ i )
T
(58)
13
De aquí se ve que esto describe a un conjunto de señales de igual amplitud pero que
difieren en fase. El coeficiente de correlación entre dos pares de señales pertenecientes a este
conjunto es:
ρ ij =
ρ ij =
2
T
T
1
E
∫ cos(ω
0
T
∫ s (t )s
0t
0
i
j (t )dt
(
)
+ θ i ) cos ω 0 t + θ j dt
y desarrollando matemáticamente se puede demostrar que
ρ ij ≈ cos(θ i − θ j )
(59)
Si las señales están igualmente espaciadas resulta
θi =
2πi
M
(60)
Un conjunto de señales de este tipo es conocido como Multiple Phase Shift Keying
(MPSK). El coeficiente de correlación es:
ρ ij = cos
14
2π (i − j )
M
(61)
Modulación digital I