ESTOS SON LOS TALLERES QUE LOS MONITORES HAN REALIZADO DURANTE ESTAS SEMANAS. NO SE ENCUENTRAN RESUELTOS PUES SE CONSIDERA INDISPENSABLE QUE EL ALUMNO ASISTA AL MENOS, A UN TALLER POR SEMANA. TALLER Nº5 1. Considerar el P.V.I y′( x) = ln( x + y ) y (2) = 3 Determinar valores de a, b, c y d tales que un teorema de existencia y unicidad, aplicado al rectángulo R = {( x, y ) ∈ R 2 / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } , garantice existencia y unicidad de la solución. Justificar. 2. Considerar el P.V.I x′(t ) = x(t ) + 2tet x(0) = 0 (0.1) Se pide: a. Dar la fórmula de avance de t a t+h para un método de Taylor que utilice los cinco primeros términos de la expansión en serie de Taylor de x(t) alrededor de t. b. Calcular x”(t),x”´(t), x(4)(t). c. Calcular x”(0),x”´(0), x(4)(0). d. Calcular una aproximación de x(0.1) usando la fórmula en a). e. Calcular una aproximación para x”(0.1),x”´(0.1), x(4)(0.1). f. Calcular una aproximación de x(0.2), usando la fórmula en a). (PARA LOS ESTUDIANTES) 3. Resolver el siguiente P.V.I utilizando los métodos vistos en clase. (cos x) y′ + ( senx) y = cos3 x y (0) = 1 para calcular y(0.1), y(0.2) tomando h=0.1 Ejercicio PARA LOS ESTUDIANTES: Calcular el segundo paso de cada método para hallar y(0.2) TALLER Nº6 1. Resolver el siguiente P.V.I Hallar el desplazamiento que sufre una columna en voladizo, cuando está sometida a una fuerza de compresión excéntrica. La función de la variación del momento con respecto al centroide (deformado) M x = P (δ − y ) Por ecuaciones de la elasticidad, se tiene la siguiente ED d2y Mx = dx 2 EI Remplazando el valor de M x d 2 y P (δ − y ) = dx 2 EI Con todas las expresiones anteriores, y recordando que en un apoyo empotrado el valor de la deformación y del ángulo de la deformación son iguales a cero (0), podemos expresar el siguiente P.V.I y ′′ + K 2 y = K 2δ y (0) = 0, y ′(0) = 0 Donde : P K2 = EI Supongamos valores para K y δ así: K=1 y δ=0.03 Por lo tanto el P.V.I que debemos resolver es el siguiente: y ′′ + y = 0.03 y (0) = 0, y ′(0) = 0 Este es un P.V.I de orden superior; la manera que utilizaremos para resolverlo será Ejercicio Calcular la segunda iteración. PARA LOS ESTUDIANTES: Resolver el mismo ejercicio pero usando el método de Taylor tres términos vectorial y RK-4 2. Demostrar que el PVF tiene una única solución x" - (t3 + 5)x - sen t = 0 x(0) = 0; x(1) = 0 3. Aproximar la solución del PVF y" - x y' + 3y = 11x y(1) = 3/2; y(2) = 15 con el método del disparo. Usar tamaño de paso h=1/3, y con el método de Euler TALLER 07 1. Resolver los dos PVF del taller anterior, usando diferencias finitas centradas de orden 2, de tal manera que se obtengan 3 nodos interiores. En el caso del último ejercicio del taller anterior, comparar con lo que se obtuvo por el método del disparo. 2. Considere el PVF parcial: ∂ 2u ∂ 2u ∀( x, y ) ∈ int( R ) 2 + 2 = x2 + y2 ∂x ∂y u ( x, y ) = xy ∀( x, y ) ∈ ∂ ( R ) donde R = {( x, y ) / 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3} Calcular valores aproximados de u(x,y) en los nodos interiores de la malla, usando diferencias finitas centradas de orden dos. TALLER DE REPASO PARCIAL #2 (PVI, PVF, POISSON) 1. Muestre que el PVI: x' (t ) = x(t )cos t + et x(1) = 2 tiene solución única en algún intervalo alrededor de t=1. EJERCICIO: Hallar x(1.2), x(1.4) por los métodos de Taylor de orden dos y RK-2, tomando un tamaño de paso h = 0.2 2. Resolver el PVI: y '−2 y 1 / 2 = 0 y (1) = 4 Usando el método de R-K-4 vectorial autónomo, con h=1 y dos pasos. Exprese claramente el cambio de variable realizado y muestre tanto el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden autónomo, con C.I, equivalente al PVI dado, como su representación vectorial autónoma. 3. Resolver el PVF: y'' + y' - y + x^2 - 2 = 0 y(1)=5; y(3)=17 (a) Muestre que el PVF tiene solución única. (b) Use el método del disparo, junto con el método de Euler, con tamaño de paso h=1. (c) Use diferencias finitas, con h=1. (d) Compare. 4. Resuelva el PVF parcial: u xx ( x, y ) + u yy ( x, y ) = x + y para todo ( x, y ) ∈ int (R ) u ( x, y ) = x 2 − y 2 para todo ( x, y ) ∈ ∂R Donde R es el rectángulo: [0,1] x [1,4]. Tome un tamaño de paso h=1/2, en el eje X , y k=1 en el eje Y. Construya claramente la malla y clasifique los nodos interiores y los nodos de frontera.