ESTOS SON LOS TALLERES QUE LOS MONITORES HAN

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ESTOS SON LOS TALLERES QUE LOS
MONITORES HAN REALIZADO DURANTE
ESTAS SEMANAS. NO SE ENCUENTRAN
RESUELTOS
PUES
SE
CONSIDERA
INDISPENSABLE QUE EL ALUMNO ASISTA
AL MENOS, A UN TALLER POR SEMANA.
TALLER Nº5
1. Considerar el P.V.I
y′( x) = ln( x + y )
y (2) = 3
Determinar valores de a, b, c y d tales que un teorema de existencia y unicidad, aplicado al
rectángulo R = {( x, y ) ∈ R 2 / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } , garantice existencia y unicidad de la
solución. Justificar.
2.
Considerar el P.V.I
x′(t ) = x(t ) + 2tet
x(0) = 0
(0.1)
Se pide:
a. Dar la fórmula de avance de t a t+h para un método de Taylor que utilice los cinco
primeros términos de la expansión en serie de Taylor de x(t) alrededor de t.
b. Calcular x”(t),x”´(t), x(4)(t).
c. Calcular x”(0),x”´(0), x(4)(0).
d. Calcular una aproximación de x(0.1) usando la fórmula en a).
e. Calcular una aproximación para x”(0.1),x”´(0.1), x(4)(0.1).
f. Calcular una aproximación de x(0.2), usando la fórmula en a). (PARA LOS
ESTUDIANTES)
3.
Resolver el siguiente P.V.I utilizando los métodos vistos en clase.
(cos x) y′ + ( senx) y = cos3 x
y (0) = 1
para calcular y(0.1), y(0.2) tomando h=0.1
Ejercicio PARA LOS ESTUDIANTES: Calcular el segundo paso de cada método para
hallar y(0.2)
TALLER Nº6
1. Resolver el siguiente P.V.I
Hallar el desplazamiento que sufre una columna en voladizo, cuando está sometida a una
fuerza de compresión excéntrica.
La función de la variación del momento con respecto al centroide (deformado)
M x = P (δ − y )
Por ecuaciones de la elasticidad, se tiene la siguiente ED
d2y Mx
=
dx 2
EI
Remplazando el valor de M x
d 2 y P (δ − y )
=
dx 2
EI
Con todas las expresiones anteriores, y recordando que en un apoyo empotrado el valor de
la deformación y del ángulo de la deformación son iguales a cero (0), podemos expresar el
siguiente P.V.I
y ′′ + K 2 y = K 2δ
y (0) = 0, y ′(0) = 0
Donde :
P
K2 =
EI
Supongamos valores para K y δ así: K=1 y δ=0.03
Por lo tanto el P.V.I que debemos resolver es el siguiente:
 y ′′ + y = 0.03

 y (0) = 0, y ′(0) = 0
Este es un P.V.I de orden superior; la manera que utilizaremos para resolverlo será
Ejercicio
Calcular la segunda iteración.
PARA LOS ESTUDIANTES: Resolver el mismo ejercicio pero usando el método de
Taylor tres términos vectorial y RK-4
2. Demostrar que el PVF tiene una única solución
x" - (t3 + 5)x - sen t = 0
x(0) = 0; x(1) = 0
3. Aproximar la solución del PVF
y" - x y' + 3y = 11x
y(1) = 3/2; y(2) = 15
con el método del disparo. Usar tamaño de paso h=1/3, y con el método de Euler
TALLER 07
1. Resolver los dos PVF del taller anterior, usando diferencias finitas centradas de
orden 2, de tal manera que se obtengan 3 nodos interiores. En el caso del
último ejercicio del taller anterior, comparar con lo que se obtuvo por el método
del disparo.
2. Considere el PVF parcial:
∂ 2u ∂ 2u
∀( x, y ) ∈ int( R )
 2 + 2 = x2 + y2
 ∂x
∂y

u ( x, y ) = xy
∀( x, y ) ∈ ∂ ( R )
donde R = {( x, y ) / 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3}
Calcular valores aproximados de u(x,y) en los nodos interiores de la malla,
usando diferencias finitas centradas de orden dos.
TALLER DE REPASO PARCIAL #2 (PVI, PVF, POISSON)
1. Muestre que el PVI:
x' (t ) = x(t )cos t + et
x(1) = 2
tiene solución única en algún intervalo alrededor de t=1.
EJERCICIO: Hallar x(1.2), x(1.4) por los métodos de Taylor de orden dos y
RK-2, tomando un tamaño de paso h = 0.2
2. Resolver el PVI:
y '−2 y 1 / 2 = 0
y (1) = 4
Usando el método de R-K-4 vectorial autónomo, con h=1 y dos pasos.
Exprese claramente el cambio de variable realizado y muestre tanto el sistema de
ecuaciones diferenciales de primer orden autónomo, con C.I, equivalente al PVI
dado, como su representación vectorial autónoma.
3. Resolver el PVF:
y'' + y' - y + x^2 - 2 = 0
y(1)=5; y(3)=17
(a) Muestre que el PVF tiene solución única.
(b) Use el método del disparo, junto con el método de Euler, con tamaño de
paso h=1.
(c) Use diferencias finitas, con h=1.
(d) Compare.
4. Resuelva el PVF parcial:
u xx ( x, y ) + u yy ( x, y ) = x + y para todo ( x, y ) ∈ int (R )
u ( x, y ) = x 2 − y 2 para todo ( x, y ) ∈ ∂R
Donde R es el rectángulo: [0,1] x [1,4].
Tome un tamaño de paso h=1/2, en el eje X , y k=1 en el eje Y.
Construya claramente la malla y clasifique los nodos interiores y los nodos de
frontera.
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