Sean ayb enteros, b diferente de cero

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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Manizales, 17 de Noviembre de 2013
Descomponer las siguientes expresiones algebraicas en fracciones parciales:
8
37  11
 x  1  x2  5x  6 
Después de observar el numerador, se concluye que se podría realizar ésta operación,
quedando la expresión así:
26
 x  1  x 2  5x  6 
Por otro lado se observa que en el denominador existe un polinomio de grado dos que se
podría factorizar:
x2  5x  6   x  3 x  2 
Finalmente la expresión que podíamos representar por fracciones parciales seria:
26
 x  1 x  2  x  3
Doy inicio al procedimiento a la última expresión algebraica racional, con el denominador
completamente factorizado:
26
A
B
C



 x  1 x  2 x  3 x  1 x  2 x  3
Realizo las operaciones algebraicas entre las fracciones planteadas:
A  x  2  x  3  B  x  1 x  3  C  x  1 x  2 
26

 x  1 x  2 x  3
 x  1 x  2  x  3
Procediendo a realizar las multiplicaciones algebraicas enunciadas en el numerador:
x 1
x 1
x 3
x 2
2
2
x
x
x
x
3x 3
2 x 2
2
2
x 4 x 3
x 3x 2
Reemplazando éstos resultados:
A  x 2  5 x  6   B  x 2  4 x  3  C  x 2  3x  2 
26

 x  1 x  2  x  3
 x  1 x  2  x  3
Realizo las multiplicaciones enunciadas en el numerador únicamente. El denominador lo
dejo expresado y no lo toco para nada.
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26
Ax 2  5 Ax  6 A  Bx 2  4 Bx  3B  Cx 2  3Cx  2C

 x  1 x  2 x  3
 x  1 x  2  x  3
Concentro los términos del números en relación al grado de la variable:
26
Ax 2  Bx 2  Cx 2  5 Ax  4 Bx  3Cx  6 A  3B  2C

 x  1 x  2 x  3
 x  1 x  2  x  3
Agrupo por factor común las magnitudes variables por grado de la variable, del mayor
grado al menor grado:
x 2  A  B  C   x  5 A  4B  3C    6 A  3B  2C 
26

 x  1 x  2 x  3
 x  1 x  2  x  3
Con base en la igualdad de éstas dos fracciones, realizo una equivalencia del numerador
en relación a los exponentes de la variable:
 A B C  0

5 A  4 B  3C  0
6 A  3B  2C  26

1
2
3
Utilizo el procedimiento algebraico de eliminación, agrupando de las tres ecuaciones, dos
grupos de dos ecuaciones por grupo:
 5 A  4 B  3C  0  2 
 A  B  C  0  3
5 A  4 B  3C  0
3 A  3B  3C  0
 6 A  3B  2C  26  3
5 A  4 B  3C  0
2 A  B  0 4
18 A  9 B  6C  78
8 A  B  78 5
10 A  8B  6C  0
Aplico el procedimiento de eliminación de la variable B a las ecuaciones 4 y 5
2 A  B  0
A
8 A  B  78
6 A  78
Despejando B de la ecuación 5 .
8 A  B  78
B  78  8 A
B  78  8 13
B  78 104
B  26
78
 13
6
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Habiendo calculado el valor de A y B , reemplazo en la ecuación 1 y obtengo el valor
de C .
A B C  0
C  A  B
C  13   26 
C  13  26
C  13
Reemplazando los valores encontrados en las fracciones parciales:
26
13
26
13



 x  1 x  2 x  3 x  1 x  2 x  3
14 
2 x2  x
 x  1  x  1
2
2
Doy inicio al procedimiento a la última expresión algebraica racional, con el denominador
completamente factorizado:
2 x2  x
 x  1  x  1
2

2
A
 x  1
2

B
C
D


2
 x  1  x  1  x  1
Realizo las operaciones algebraicas entre las fracciones planteadas:
 x  1  x  1
2
2 x2  x
 x  1  x  1
2
2

A  x  1  B  x  1 x  1  C  x  1  D  x  1 x  1
2
2 x2  x
2

2
2
 x  1  x  1
2
2
2
A  x 2  2 x  1  B  x  1  x 2  2 x  1  C  x 2  2 x  1  D  x  1  x 2  2 x  1
 x  1  x  1
2
2
Procediendo a realizar las multiplicaciones algebraicas enunciadas en el numerador:
x 2 2 x 1
x 2 2 x 1
x
3
2 x
2
x 1
x
 x 2 2 x 1
x3  x 2  x 1
Reemplazando éstos resultados:
x
2 x
3
x
3
2
x2
 x2
x 1
x
2 x 1
 x 1
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2 x2  x
 x  1  x  1
2
2

A  x 2  2 x  1  B  x3  x 2  x  1  C  x 2  2 x  1  D  x3  x 2  x  1
 x  1  x  1
2
2
Realizo las multiplicaciones enunciadas en el numerador únicamente. El denominador lo dejo
expresado y no lo toco para nada.
2 x2  x
 x  1  x  1
2
2

Ax 2  2 Ax  A  Bx3  Bx 2  Bx  B  Cx 2  2Cx  C  Dx3  Dx 2  Dx  D
 x  1  x  1
2
2
Concentro los términos del números en relación al grado de la variable:
2 x2  x
 x  1  x  1
2
2

Bx3  Dx3  Ax 2  Bx 2  Cx 2  Dx 2  2 Ax  Bx  2Cx  Dx  A  B  C  D
 x  1  x  1
2
2
Agrupo por factor común las magnitudes variables por grado de la variable, del mayor grado
al menor grado:
x3  B  D   x 2  A  B  C  D   x  2 A  B  2C  D    A  B  C  D 
2 x2  x

2
2
2
2
 x  1  x  1
 x  1  x  1
Con base en la igualdad de éstas dos fracciones, realizo una equivalencia del numerador en
relación a los exponentes de la variable:
BD 0

 A B C  D  2


2 A  B  2C  D  1
 A  B  C  D  0
El método algebraico se haría más largo pero tendría la misma efectividad de los métodos
numéricos actuales. Elijo el método numérico por determinantes de CRAMER. Me asisto de
la herramienta de hoja de cálculo EXCEL para la solución:
A
0
1
2
1
B C D
1 0 1 0
1 1 -1 2
-1 -2 -1 1
-1 1 1 0
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0
1
2
1
1 0 1
1 1 -1
= 16
-1 -2 -1
-1 1 1
0
2
AA=
1
0
1 0 1
1 1 -1
= 12
-1 -2 -1
-1 1 1
A =
12
=
16
3
4
0
1
BB=
2
1
0
2
1
0
0 1
1 -1
= 8
-2 -1
1 1
B =
8
=
16
1
2
0
1
CC=
2
1
1
1
-1
-1
0
2
1
0
1
-1
= 4
-1
1
C =
4
=
16
1
4
0
1
DD=
2
1
1 0
1 1
-1 -2
-1 1
0
2
= -8
1
0
D =
-8
-1
=
16
2
M=
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2 x2  x
 x  1  x  1
2
2

34
 x  1
2

12
14
12


2
 x  1  x  1  x  1