Primer Parcial Álgebra Lineal Javier Elizondo I. Sean V = M2×2 (F ), ) ) ( ! ( ! 0 a a b y W2 = ∈ V a, b ∈ F . W1 = ∈ V a, b, c ∈ F −a b c a Probar que W1 , W2 son subespacios de V , y encuentre la dimensiones de W1 , W2 , W1 + W2 y W1 ∩ W2 . Solución: Para demostrar que W1 es un espacio vectorial es suficiente probar que la suma de dos elementos de W1 está en W1 , y que el producto escalar por(un elemen!) ( de un!) d e a b yw= to en W1 está en W1 . Similarmente con W2 . Sean v = f d c a ( !) a+d b+e elementos de W1 . Entonces, la suma es de la forma w + v = , que f +c a+d claramente está en W1 ya que los elementos de la diagonal son iguales. Ahora bien, un elemento de la intersección se obtiene igualando dos matrices, una en W1 y otra en W2 ası́!tenemos que!un elemento de la intersección está dado por la igualdad siguiente a b 0 d = . Entonces, la solución es de la forma a = 0, b = d, c = −d, a = e c a −d e ( ! ) 0 b Es decir W1 ∩ W2 = b ∈ R . Por lo tanto, dim(W1 ∩ W2 ) = 1. Ahora −b 0 bien, es claro que la dimensión de W1 es 3 y la dimensión de W2 es igual a 2. Por lo tanto, dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2 ) = 3 + 2 − 1 = 4. II. Encuentre una base para el siguiente subespacio de F 5 V2 = {(a1 , a2 , a3 , a4 .a5 ) ∈ F 5 | a2 = a3 = a4 y a1 + a5 = 0}. Solución: Sólo hay que observar que si fijamos el valor de a1 y de a2 las demás coordenadas quedan determinadas. Es decir, la dimensión del espacio V2 es igual a 2, y una base queda dada por a1 = 0, a2 = 1 y a1 = 1, a2 = 0. Es decir v1 = (0, 1, 1, 1, 0) y v2 = (1, 0, 0, 0, 1) es una base para V2 . Claramente este conjunto es linealmente independiente y genera a V2 . III. Construya tres subespacios vectoriales M, N1 y N2 de un espacio vectorial V tal que M ⊕N1 = M ⊕N2 = V pero N1 6= N2 . ¿Cuál es el significado geométrico que corresponde a esta situación? Solución: Sea V = R2 , y M = {λ·(1, 0) | λ ∈ R}. Consideremos N1 = {α·(0, 1) | α ∈ R} y N2 = {γ·(1, 1) | γ ∈ R}. Es fácil probar que M ⊕N1 = M ⊕N2 = V . Geométricamente, lo que estamos considerando es la descomposición de R2 como la suma del eje x y el eje y, por un lado, y por otro, la suma del eje x y de la recta y = x. IV. Sean x, y, u y v vectores en R4 . Sean M y N subespacios generados por {x, y} y {u, v} respectivamente. Diga si R4 = M ⊕ N, donde x = (−1, 1, 1, 0), y = (0, 1, −1, 1), u = (1, 0, 0, 0), v = (0, 0, 0, 1, ). Solución: Primero observemos que M = {(−α, α + β, α − β, β) | α, β ∈ R} y N = {(γ, 0, 0, δ) | γ, δ ∈ R}. Ası́ que un vector está en M ∩ N si y sólo si el vector satisface que α = β y α = −β, por lo tanto, α = β = 0, esto implica que −α = γ = 0 = β = δ. Es decir, M ∩ N = {(0, 0, 0, 0)}. Por lo tanto, R4 = M ⊕ N.