matemáticas para todos - Unidad Académica de Matemáticas

EN ESTE BOLETÍN:
MATEMÁTICAS
PARA
TODOS
Educación y Desarrollo,
el Desarrollo,
A. A.
C. C.
Año 10, Número 88, marzo de 2009
E L PRÍNCIPE DE LAS MATEMÁTICAS
En varias ocasiones hemos comentado algunas
biografías
y
anécdotas
de
renombrados
matemáticos, astrónomos, físicos y demás
personajes catalogados como sabios. Algunos de
nuestros lectores califican esto de trivial al
considerar que no aporta nada al aprendizaje de las
matemáticas. Al mismo tiempo, otros han utilizado
dichos artículos para llamar la atención de sus
estudiantes y despertar en ellos su interés por las
aportaciones de estos personajes. Desde nuestra
perspectiva, el conocer la historia de algún sabio
nunca estará de sobra y, si además entendemos el
valor de sus aportaciones, habremos dado un paso
gigante en el aprendizaje de esta ciencia. Hacemos
tal afirmación porque sabemos que nuestros
alumnos sólo aprenden aquello que les interesa, les
gusta y les sirve.
Tomando como justificación este argumento, en
este número hablaremos de uno de los matemáticos
más famosos de nuestra historia: Johann Carl
Friedrich Gauss quien, debido a sus aportaciones,
ganó el apodo de “ El príncipe de la matemáticas”.
Pintura de Johann Carl Friedich Gauss realizada por Christian
Albrecht Jensen (Imagen obtenida de Wikipedia)
Gauss fue un niño prodigio. De hecho, el próximo
30 de abril se celebrarán los 222 años de su
nacimiento en Brunswick (actualmente Alemania).
Fue matemático, astrónomo y físico. Sus principales
El príncipe de las
matemáticas
Teoría de las gráficas
Nuestro campeón habla:
Artículo de José Luis Álvarez
Rebollar
De nuestros lectores
Los problemas del
calendario
aportaciones fueron en los campos de la teoría de
los números, el análisis matemático, el cálculo
diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica.
Se cuentan muchas anécdotas de la infancia de
Gauss, entre ellas destacan las siguientes:
Su padre, de origen humilde, llevaba la
contabilidad de un negocio. Se dice que el niño
Gauss, a los cinco años, era un gran calculista
mental ya que a esa edad, a simple vista, era capaz
de detectar los errores en los libros de su padre.
También se dice que en la escuela era muy inquieto.
Una vez, para mantener entretenido al grupo, la
maestra pidió a sus alumnos que le dijeran cuál era
el resultado de sumar todos los números del 1 al
100. Cuatro minutos después de la pregunta, el
buen Carl pidió la palabra de manera insistente;
cuando habló dijo “ya tengo el resultado: es 5050”.
La maestra le dijo que era imposible que hubiera
obtenido tan pronto el resultado y que explicara
cómo lo había calculado. El niño, ni tardo ni
perezoso, señaló que era fácil. “Sólo multipliqué
101 por 50 y eso da la suma de los primeros 100
números enteros” dijo.
La maestra le pidió más explicaciones a lo que él
respondió: “Si, en lugar de sumar los cien números
uno por uno, sumo los primeros cincuenta números
a los últimos cincuenta, obtengo que el resultado
siempre es 101. Así, si multiplico ese número por
cincuenta, obtengo el resultado de la suma”.
Después pasó al pizarrón y apuntó lo siguiente:
1
2
3
4…….. 47 48 49 50
100 99 98 97………54 53 52 51
101+101+101+101+… +101+101+101+101
=(101)x(50)=5050
“El ruido de las carcajadas pasa. La fuerza de los razonamientos queda.”
Concepción Arenal
Marzo de 2009
1
“No basta saber, se debe también aplicar. No es suficiente querer, se debe también
hacer.”
Johann Wolfgang Goethe
Esta fue la base para determinar la fórmula para
calcular la suma de una serie de números. Esta
fórmula quedo de la siguiente forma:
En donde:
a1 = al primer número de la serie
an = al último número de la serie
n = Número de términos a sumar.
Traslademos los datos del problema de Gauss a la
fórmula:
Al sustituir tenemos:
a1 = 1
an = 100
(1 + 100)100 = (101)(50) = 5050
Sn =
n = 100
2
Después de este razonamiento, no es de sorprender
que el niño Gauss fuera recomendado por sus
profesores al duque de Brunswick, quien lo becó
para que realizara sus estudios secundarios y
universitarios.
A los 21 años, Gauss realizó su obra Disquisitiones
Aritmeticae que sirvió para sustentar la teoría de los
números de manera sistemática. Por esas fechas,
calculó también la órbita del asteroide Ceres. A los
31 años fue nombrado director del observatorio de
Göttinegen, en donde pudo profundizar en el
estudio del cálculo diferencial y el cálculo de los
planetas.
En 1823, Gauss publicó su libro Theoria
combinationis observationum erroribus minimis
obnoxiae, destinado al estudio de la estadística, con
el que sentó las bases para el desarrollo de esta
rama de las matemáticas. Después de muchas
aventuras intelectuales, y tras formar a otros
destacados matemáticos, Gauss murió a los 88 años
de edad.
En honor a su destacada labor en el campo de la
física, se incluyó, como medida del campo
magnético, la unidad Gauss dentro el sistema de
medidas Cegesimal, misma que equivale a un
Maxwell por centímetro cuadrado.
Nuestra admiración y reconocimiento al bien
llamado
“Príncipe de las matemáticas”
TEORÍA DE LAS GRÁFICAS
En las matemáticas, existen muchas formas de
plantear y de resolver problemas como pueden ser
2
la solución de sistemas de ecuaciones por el método
gráfico o la aplicación de la geometría euclidiana y
la no euclidiana. No obstante, existe una rama de
las matemáticas en la que los problemas y las
soluciones se representan por medio de gráficas,
ésta es: la teoría de gráficas o teoría de grafos, que
se aplica en una gran cantidad de áreas como la
ingeniería de transito, las rutas aéreas, la economía,
las ciencias sociales, la lingüística, la física, la
logística, la computación y la inteligencia artificial,
entre otras.
Aunque en el campo de las matemáticas no se han
estandarizado las definiciones que se usan dentro
de esta teoría, podemos decir que, de manera
general, una gráfica es un conjunto de nodos
(también llamados vértices) unidos por líneas o
conexiones (por los regular, llamadas aristas).
v1
v8
v1
v2
v3
v5
v6
v2
v4
v7
v6
v5
v4
v3
Fue Euler (1707-1783) quien inició el estudio
sistemático de esta rama de las matemáticas.
Utilizando la teoría de las gráficas, Euler pudo
solucionar un problema aparentemente sencillo: el
de los puentes de la ciudad de Koenigsberg, que
consistía en lo siguiente: En dicha ciudad existen
dos islas unidas entre ellas y, a su vez, con tierra
firme por medio de siete puentes.
Imagen de Wikipedia
La tradición decía que, a quien lograra recorrer los
siete puentes sin pasar dos veces por el mismo, se le
entregarían las llaves de la ciudad y una suma
considerable en oro.
Intente hacerlo usted mismo: recorra los siete
puentes con un lápiz, sin levantarlo y sin que las
MATEMÁTICAS PARA TODOS
“Si la razón hace al hombre, el sentimiento lo conduce.”
Jean Jacques Rousseau
líneas que trace se crucen. ¿Podría haber sido usted
el ganador de los premios que ofrecía el alcalde?
Euler, por medio de la teoría de las gráficas,
encontró la solución a este problema y fue a platicar
con el alcalde…
A continuación, trataremos de dar una breve
introducción a esta teoría:
En cada gráfica existen dos tipos de nodos o
vértices: los pares y los impares. La característica de
los primeros es que a éstos llegan, o de éstos salen,
un número par de aristas y en los impares, como su
nombre lo indica, llegan o salen un número impar
de aristas.
Por ejemplo:
v
1
V1 nodo par
V2 nodo par
V3 nodo par
V4 nodo impar
V5 nodo impar
V6 nodo par
v2
v6
v5
v4
v3
Euler,
tras
muchas
pruebas,
análisis
y
observaciones, logró establecer que:
1) Si en la gráfica hay más de dos nodos impares, la
gráfica no se puede recorrer sin levantar el lápiz o
cruzar las aristas.
2) Si en una gráfica hay sólo dos nodos impares, se
podrá encontrar un camino sin levantar el lápiz o
cruzar las aristas, siempre que se inicie el camino en
uno de los nodos impares.
3) Si una gráfica tiene todos sus nodos de tipo par el
camino se puede lograr, no importa en qué nodo se
inicie.
La gráfica que construyó Euler a partir de los
puentes de la ciudad de Koenigsberg es como la
que sigue.
¿Qué le dijo Euler al alcalde?
v1
v2
v4
v3
NUESTRO CAMPEÓN HABLA
En Educación y Desarrollo, A.C., una de nuestras
acciones, aunque modesta, es brindar un apoyo
Marzo de 2009
simbólico durante seis meses a uno de los
campeones de la Olimpiada Mexicana de
Matemáticas. A partir de este año, solicitamos a
nuestro becario que escriba un artículo con la
intención de publicarlo en este boletín. Nuestro
admirado campeón es José Luis Álvarez Rebollar,
quien ganó medalla de oro en la 21 Olimpiada
Mexicana de Matemáticas en 2007. Además, el año
pasado obtuvo medalla de Bronce en la Olimpiada
Iberoamericana de Matemáticas que se celebró en
Salvador de Bahía, Brasil. A continuación
presentamos su interesante artículo.
Creatividad en las matemáticas para
comprenderlas mejor
Soy José Luis Álvarez Rebollar, estudio en la Facultad de
Ciencias Físico-Matemáticas de la Universidad Michoacana
de San Nicolás de Hidalgo en Morelia, Michoacán. Elegí
esta carrera porque me gustan mucho las matemáticas,
además, con mi participación en la Olimpiada de
Matemáticas me di cuenta de que tenía aptitudes para
poderlas estudiar y decidí dedicarme a ellas. Mi
participación en las Olimpiadas de Matemáticas empezó
cuando cursaba el tercer año en la telesecundaria, participé
tres veces en el concurso siendo el último el más exitoso, en
el que representé a México en la Olimpiada Iberoamericana.
Durante este tiempo mi preparación fue constante, me
citaban a cursos de entrenamiento en los cuales nos ponían
a resolver problemas de matemáticas en los que se requería
ingenio, no era indispensable tener conocimientos extensos
en matemáticas, sólo imaginación y creatividad. A mí me
era muy agradable asistir a los entrenamientos porque los
problemas que nos ponían me parecían muy divertidos y
despertaron mi interés por la matemática, ya que no eran
como los de la escuela, que sólo aplicaba una fórmula y ya
quedaban resueltos; en estos problemas había que quedarse
un ratito pensando qué hacer para que salieran, aunque
muchas veces no me salían.
Toda mi participación en las Olimpiadas de Matemáticas se
trató de resolver problemas de este tipo que hacen más
agradable el estudio de las matemáticas, por eso pienso que
en las secundarias y preparatorias deberían poner a los
estudiantes de vez en cuando problemas así, para que no las
vean de mala manera, sino como algo divertido y agradable.
En las escuelas yo creo que deberían de dar varios ejemplos
sencillos de dónde se aplica lo que se está enseñando, ya que
muchas veces los alumnos no ven para qué sirve lo que
están aprendiendo y por lo tanto no le ponen empeño;
también pienso que los maestros no deberían poner a los
alumnos a memorizar tantas fórmulas sin entenderlas
realmente, esto es lo que les da miedo a los estudiantes:
3
“La vida es muy peligrosa. No por las personas que hacen el mal, sino por las
que se sientan a ver lo que pasa.”
Albert Einstein
aprender muchas fórmulas que no saben por qué salen y
luego hacer ejercicios muy complicados donde las aplican;
deberían los alumnos primeramente, entender
completamente lo que se les está enseñando y luego aplicar
los conocimientos en ejemplos sencillos, fáciles de hacer.
También opino que el sistema que maneja la telesecundaria
es muy conveniente, yo estudié en una telesecundaria y
realmente se me hizo muy fácil aprender, todo era muy
gráfico, entendía completamente lo que en el televisor se
veía, me parecía muy divertido estar aprendiendo mientras
veía la televisión y casi no había necesidad de que el maestro
explicara ya que todo quedaba claro con la televisión. Pienso
que en las demás secundarias deberían hacer algo similar, o
apoyarse de algún televisor o algo así porque usando
materiales audiovisuales y la nueva tecnología el
aprendizaje puede ser más divertido y eficiente, y más en
matemáticas porque algunas veces no es tan fácil ver las
cosas y, en cambio, con una animación es más fácil de
entender.
Por último, quisiera invitar a los alumnos de secundaria y
preparatoria a que se inscriban en este tipo de concursos, ya
que se aprende mucho, se conocen lugares y personas, y dan
una importante herramienta para toda la vida que es: el
aprender a razonar correctamente.
Los comentarios y éxitos de nuestro campeón nos
dan una referencia sobre lo que sí se puede hacer en
la telesecundaria.
DE NUESTROS LECTORES
Queremos agradecer al Prof. Simón Pedro Herrera
Pardo que, como siempre, es el primero en
contestar los problemas del calendario. En este mes
recibimos varios comentarios y recomendaciones,
de ellos queremos reproducir el comunicado de la
Lic. Leonor Hernández García:
“Hola. Primero que nada quiero presentarme: soy Leonor,
Licenciada en Pedagogía y siempre temerosa de las
matemáticas. Gracias a gente como ustedes, que tratan de
aligerarlas y hacernos ver que no son tan complicadas, cada
vez les tengo menos temor y, conforme voy leyendo, me doy
cuenta de que nuestro temor realmente es una muestra de
las lagunas que traemos en la cabeza; muchas veces porque
ningún profesor se encargó de dejarnos claro o de
preocuparse porque entendiéramos algunos conceptos
básicos que, a la larga, se van haciendo como una bola de
nieve que algún día nos derrumba y nos deja sorprendidos
porque no entendemos de qué nos hablan. Hasta pareciera
que las matemáticas fueran otro idioma. Esto, para mí, tiene
sus fundamentos en el constructivismo, en donde
efectivamente cada quien construye su propio conocimiento
pero siempre sobre la base de lo que ya posee, entonces
imagínense como vemos a las matemáticas aquellos que no
tenemos una base sólida. Ahora me queda claro que, para
tratar de que alguien aprenda algo nuevo siempre hay que
averiguar primero qué tanto sabe de lo que se necesita para
entender aquellas novedades y, lo más importante, cómo le
ayudo para que primero cubra esas carencias y entonces sí
esté listo para la nueva experiencia. Espero no haberlos
mareado con mis comentarios, en realidad solo quería
agradecerles el que nos compartan sus materiales. MIL
GRACIAS Y QUE TENGAN EXCELENTE DÍA.”
L OS PROBLEMAS DEL CALENDARIO
Martes 3. Los números de cada uno de los
triángulos están relacionados.
¿Puedes descubrir la relación y decir el
número que falta?
4
5
5
2
5
5
10
4
1
1
5
?
Viernes 6. Si el área del triángulo es 4.5 cm 2 ,
<BAC=90º y AB=3 cm, ¿cuánto mide <BCA?
A
C
B
Lunes 9. Las siguientes sucesiones A y B
contienen ambas al 95:
A: 19, 95, 171, 247…
B: 20, 45, 70, 95,…
¿Cuál es el siguiente número que es común a
ambas?
Matemáticas para todos. Año 10, número 88, marzo de 2009. Periodicidad: diez números al año. Editor
responsable: Alfonso Ramón Bagur. Nº de Certificación de reserva de derechos al uso exclusivo de título:
04-2000-0829110600-106. Certificado de licitud de título: Núm. 11423. Certificado de licitud de contenido:
Núm. 8018. Publicación en formato electrónico elaborado y distribuido por: Educación y Desarrollo, A.C. y
el Instituto de Ingeniería de la UNAM.
E-mail: fdomexia@prodigy.net.mx. Página web: www.educacion.org.mx
Educación y Desarrollo,
AC
4
Consejo Editorial: • Sergio Manuel Alcocer Martínez de Castro • Hugo Balbuena Corro • Radmila
Bulajich Rechtman • Roger Díaz de Cossío • Guillermo Fernández de la Garza • Carlos Lara Esparza
• María Teresa Rojano • Fernando Solana. Tel: 5623-3500 ext. 1208
E-mail:
alfonso@aprendizaje.com.mx
Matemáticas para Todos