Problemas de Métodos Matemáticos II TEMES 5 i 6: Programación lineal. Dualidad. 1. Resolver los siguientes programas por el método del sı́mplex: (b) Maximizar z = 30x1 + 20x2 s.a. 3x1 + 6x2 ≤ 54 6x1 + 4x2 ≤ 48 5x1 + 5x2 ≤ 50 x1 , x2 ≥ 0 (c) Maximizar z = x1 + x2 s.a. x1 + 2x2 ≤ 6 x1 + x 2 ≤ 4 x1 , x2 ≥ 0 4. Encontrar la solución o soluciones a los siguientes problemas por el método del sı́mplex: (a) max z = 5x + 9y s.a. y ≤ 5 x + 6y ≤ 31 4x + y ≤ 32 x, y ≥ 0 (b) max z = 2x1 + x2 − 3x3 + 5x4 s.a. x1 + 2x2 + 4x3 − x4 ≤ 6 2x1 + 3x2 − x3 + x4 ≤ 12 x1 + x 3 + x 4 ≤ 4 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 (c) max z = 10x1 + x2 s.a. x1 + 2x2 ≤ 6 2x1 − x2 ≤ 4 5x1 + 3x2 ≤ 15 x1 , x2 ≥ 0 2. Resolver los siguientes programas por el método del sı́mplex: (a) max B(a, b) = 800a + 650b s.a. b ≥ 3a a + b ≤ 500 a, b ≥ 0 3. Resuelvase gráficamente los problemas: (a) Optimizar z = −5x1 − 3x2 s.a. x1 + x2 ≤ 2 5x1 + 2x2 ≤ 10 3x1 + 8x2 ≤ 12 x1 , x2 ≥ 0 1 (a) max B(x, y, z) = 7x + 9y + 9z s.a. x ≤ 5 y≥1 x≥y+z x, y, z ≥ 0 (b) max u = 3x + y + 2z s.a. x + 2y + 3z ≤ 24 2x + 4y + 3z = 36 x, z ≥ 0 5. Resolver el programa: min C(x, y) = −4x − 3y s.a. x ≤ 90 y ≤ 70 x + y ≥ 50 x + y ≤ 130 x, y ≥ 0 6. Resolver el siguiente programa: min C(x, y, z) = 40x + 20y + 30z s.a. 12x + 6y + 9z ≥ 60 8x + 30y + 2z ≤ 25 x, y, z ≥ 0 7. Resolver el siguiente programa por el método del sı́mplex: min C = x1 + 4x2 s.a. x1 + 2x2 ≥ 8 3x1 + 2x2 ≥ 12 x1 , x2 ≥ 0 2 4. Dado el siguiente programa lineal: Dualidad. 1. Dado el siguiente programa lineal: min z = 16x + 10y s.a. x + 3y ≥ 1 2x + y ≥ 10 x, y ≥ 0 se pide: min h = 5x + 3y + z s.a. x + z ≤ 100 x + 2z ≥ 200 − y x−z ≥0 x, y, z ≥ 0 se pide: (a) Resolverlo por el método del sı́mplex. (a) Plantear el programa dual. (b) Resolver los programas primal y dual. 2. Dado el siguiente programa lineal: max z = 3x + y s.a. x + y ≥ 3 −2x + y ≤ 3 4x + y ≤ 9 x, y ≥ 0 se pide: (b) Plantear el programa dual y determinar su solución a partir de la solución del programa primal. 5. Dado el siguiente programa lineal: max h = x + y + z s.a. 2x + y + 2z ≤ 2 4x + 2y + z ≤ 2 x, y, z ≥ 0 se pide: (a) Resolverlo por el método del sı́mplex. (a) Resolverlo gráficamente. (b) Resolverlo por el método del sı́mplex. (c) Plantear el programa dual y determinar su solución a partir de la solución del programa primal. 3. Dado el siguiente programa lineal: (b) Plantear el programa dual y determinar su solución a partir de la solución del programa primal. 6. Una empresa fabrica dos tipos de productos, A y B. Las necesidades de fabricación por unidad de producto vienen dadas por la siguiente tabla: Producto A B Optimizar z = 4x + 3y s.a. 2x + y ≥ 5 −x + 4y ≤ 3 x, y ≥ 0 se pide: (a) Resolverlo gráficamente. (b) Resolverlo por el método del sı́mplex, para el caso de máximo. (c) Plantear el programa dual y determinar su solución a partir de la solución del programa primal. 3 Mano de obra 1 hora 2 horas Madera 3 kg. 2 kg. Plástico 2 kg. – El coste de la mano de obra es de 300 u.m. por hora, el de madera de 20 u.m. por kg. y el de plástico de 80 u.m. por k.g. Si la cantidad disponible diariamente es de 300 kg. de madera, 100 kg. de plástico y 150 horas de mano de obra, se pide: (a) Sabiendo que el precio de venta del producto A es de 820 u.m. por unidad y el del producto B es de 890 u.m. por unidad, obtener 4 las cantidades de cada uno de los productos que maximizan el beneficio diario. (b) Plantear el programa dual. 7. Una empresa tiene dos tipos de procesos productivos: torno y fresadora. Cada uno de estos procesos se utiliza para fabricar tres tipos de productos, A, B, y C. Se dispone de 120 horas semanales de torno y de 260 horas de fresadora, y las necesidades asociadas a cada proceso son las siguientes: Producto A B C Torno 0.10 h 0.25 h – Fresadora 0.20 h 0.30 h 0.40 h Si el beneficio unitario que se obtiene con la venta de los productos A, B, y C es de 3, 5 y 4 u.m., respectivamente, se pide: (a) Obtener cómo debe distribuirse la producción para maximizar el beneficio. (b) Plantear y resolver el programa dual. (c) ¿Se mantendrı́a el óptimo del programa primal si se incrementa el beneficio unitario del producto A en 2 u.m.?. ¿Y si dicho incremento se efectuara con el producto B?. 5