13 criterio para la fusión de los sólidos

FES. Criterio para la fusión de los sólidos
La fusión de los sólidos cristalinos era uno de los resultados experimentales no explicables
dentro del modelo estático.
Veremos en este apartado como la teoría de vibraciones reticulares puede dar cuenta de la
formula de Lindemman, que estima la temperatura de fusión de cualquier sólido en función
de distancias características internas del mismo.
Criterio de Lindemann para la fusión de los sólidos (1910): Un sólido se funde cuando la
amplitud de oscilación de los átomos supera una cierta fracción (del orden del 1/4) de la
distancia entre átomos vecinos
Se puede explorar esta idea dentro del moldeo de vibraciones reticulares (en la
aproximación armónica) que acabamos de desarrollar. Para ello debemos determinar la
amplitud promedio de las vibraciones atómicas ul en función de la temperatura del
sólido.
FES. Criterio para la fusión de los sólidos
Partimos de la ecuación para
ul y pasamos a coordenadas
normales.
1
∗
´
1
´
1
´
∗
Calculamos el desplazamiento
cuadrático de un átomo y
promediamos a todos ellos
Introducimos ahora la transformación a los operadores de creación y aniquilación
FES. Criterio para la fusión de los sólidos
Teniendo en cuenta:
Se obtiene:
Como el fenómeno de fusión de los sólidos se produce a elevada temperatura admitiremos
que la energía térmica de todos los modos se puede asumir que es KT
Calculamos el valor promedio de ∑
pasando a integrales:
Se usa el modelo de
Debye suponiendo
tres modos de
vibración
degenerados
FES. Criterio para la fusión de los sólidos
Se establece la
relación entre qD y le
volumen de la
celdilla y
determinamos el
desplazamiento
promedio cuadrático
de los átomos que es
proporcional a la
temperatura.
La ecuación
predice un
incremento de la
amplitud de los
desplazamientos
atómicos con el
incremento de la
temperatura
FES. Criterio para la fusión de los sólidos
Para llegar a la formula
de Lindeman definimos
su parámetro y lo
calculamos en términos
microscópicos.
Introducimos en
las ecuaciones el
radio atómico.
FES. Criterio para la fusión de los sólidos
Suponiendo que la fusión se
produce cuando el
parámetro de Lindemann
alcanza una valor del orden
de 1/16 se puede despajar
la temperatura de fusión de
la ecuación para llegar a la
formula de Lindemann que
nos dice que la temeperatra
de fusión esta controlada
por la temperatura de
Debye, la masa atómica y el
radio atómico.
Esta ecuación (deducida
empíricamente) predice la
temperatura fusión de los
cristales