FACULT A D DE HUMA NIDAD ES Y CIE NC IA S D E LA EDU

FACULTAD DE HUMANIDADES Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD DE JAÉN
Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación
Trabajo Fin de Grado
Conocimientos lógicos,
geométricos y espaciales en
Educación Infantil
Alumno: Lorena Aguilera Cervera
Tutor:
Prof. D. Francisco Javier García García
Dpto:
Matemáticas
Junio, 2014
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN. ................................................................................................................... 2
2. MARCO TEÓRICO: APRENDIZAJE MATEMÁTICO EN LA EDUCACIÓN
INFANTIL. ............................................................................................................................... 4
3. PROBLEMA ABORDADO EN EL TFG: LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA DE
CONOCIMIENTOS LÓGICOS, GEOMÉTRICOS Y ESPACIALES EN LA
EDUCACIÓN INFANTIL. ...................................................................................................... 8
4. UN MODELO EPISTEMOLÓGICO DE REFERENCIA: LOS CONOCIMIENTOS
LÓGICOS, GEOMÉTRICOS Y ESPACIALES EN LA EDUCACIÓN INFANTIL........ 9
5. UN MODELO DIDÁCTICO DE REFERENCIA: LA TEORÍA DE SITUACIONES
DIDÁCTICAS......................................................................................................................... 13
6. EL SABER A ENSEÑAR: ANÁLISIS DEL CURRÍCULO. ............................................. 14
7. EL SABER A ENSEÑAR: ANÁLISIS DE UNA EDITORIAL ......................................... 17
7.1. Categorías: tipos y subtipos de tareas ............................................................. 17
7.2 Clasificación y análisis de materiales curriculares: libro de texto ................ 19
CONOCIMIENTOS ESPACIALES ................................................................................... 19
CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS .............................................................................. 23
DISCRIMINACIÓN, SELECCIÓN, CLASIFICACIÓN .................................................... 26
SERIACIONES .................................................................................................................. 27
CENTRACIÓN Y DECANTACIÓN .................................................................................. 30
8. PROPUESTA PARA UNA CONSTRUCCIÓN FUNCIONAL DE CONOCIMIENTOS
LÓGICOS Y ESPACIALES EN LA EDUCACIÓN INFANTIL ...................................... 30
9. SÍNTESIS Y CONCLUSIONES ........................................................................................... 33
10. BIBLIOGRAFÍA. ................................................................................................................... 37
ANEXOS……………………………………………………………………………………………………………………………………… 40
1
RESUMEN
Este trabajo se articula en torno al problema de la transposición didáctica de
conocimientos lógicos, geométricos y espaciales en la Educación Infantil. En el mismo, se
abordan algunas etapas de este problema. Se comienza introduciendo brevemente ciertas ideas
sobre el aprendizaje matemático en la Educación Infantil y sobre la Teoría de la
Transposición Didáctica. A partir de ellas, se formula el problema abordado y se procede a su
estudio. En primer lugar, se fija de manera explícita el punto de vista que se adopta como
observadores del sistema didáctico. Para ello, y desde la dependencia mutua entre lo
matemático y lo didáctico, se describe cómo entendemos el saber matemático en juego
(modelo epistemológico de referencia) así como su reconstrucción en la Escuela Infantil
(modelo didáctico de referencia). En segundo lugar, se analiza cómo los saberes que se han
considerado se presentan en el currículo escolar y en los programas oficiales. En tercer lugar,
se seleccionan los libros de una editorial y se lleva a cabo un análisis de la actividad
matemática que se proponen en relación con los conocimientos lógicos, geométricos y
espaciales. Posteriormente, se formulan categorías de tipos y subtipos de problemas presentes
en dichos textos y se lleva a cabo un estudio cuantitativo de la presencia de los mismos en los
textos analizados. En cuarto lugar, se esboza una propuesta para una construcción funcional y
con sentido de conocimientos lógicos y espaciales en la Escuela Infantil. Y por último, se
concluye con algunas reflexiones finales sobre las carencias y las debilidades de la
construcción de los conocimientos lógicos, geométricos y espaciales en la Escuela Infantil a
través de los textos propuestos por la editorial.
Palabras clave: conocimientos lógicos, conocimientos geométricos, conocimientos
espaciales, transposición didáctica, educación infantil.
1. INTRODUCCIÓN.
La educación tiene una función muy importante en la sociedad, ya que a través de ella
se consigue la realización del ser humano como tal. A nivel social, capacita para dominar el
mundo actual con sus innegables complejidades y, a nivel personal propicia el desarrollo de
las capacidades de todo individuo al máximo de sus propias posibilidades.
En el sistema educativo, la Educación Infantil es un periodo que se ha incorporado
más recientemente. Surgió con finalidad asistencial como consecuencia de los cambios que
experimentaba la sociedad con la incorporación de la mujer al mundo laboral. Sin embargo,
numerosas investigaciones posteriores en diversas áreas de conocimiento han demostrado
cómo este período se hace crucial para desarrollos posteriores (Ruesga, 2003).
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Por ello, la formación temprana del pensamiento lógico-matemático es de vital
importancia en los procesos de razonamiento superior necesarios para desenvolverse en el
entorno. Y hay constancia de que el éxito en las etapas educativas posteriores depende en
gran medida de un buen asentamiento de las estructuras cognitivas del individuo en los
primeros niveles. Además, la consolidación de las bases del razonamiento matemático exige
una educación en consonancia con las características psicológicas del niño para el desarrollo
de sus capacidades (Leiva, 2006).
Cuando los niños/as acceden a la escuela por primera vez, ya han experimentado
situaciones en las que se desarrolla su conocimiento lógico-matemático, ya que éste comienza
con los primeros esquemas perceptivos y motores para la manipulación de los objetos. Es por
ello que la presencia de matemáticas se encuentra presente desde los inicios de todo ser
humano, pero es necesario guiar y propiciar las situaciones didácticas más idóneas para que el
rendimiento de los niños/as sea el mejor posible.
Las matemáticas se hayan presentes desde las primeras experiencias de la infancia, ya
que son necesarias para ordenar, establecer relaciones, situar en el espacio y el tiempo los
objetos que les rodean y constituir su entorno. Esto ha generado que las últimas
investigaciones cedan protagonismo a la enseñanza de procesos matemáticos frente la
adquisición exclusiva de contenidos matemáticos. Niss (2002) expone que una mirada
focalizada en los contenidos se centra exclusivamente en la adquisición de símbolos y de
técnicas, y no tanto en su uso significativo. Esta metodología puede ser útil para lograr un
excelente rendimiento matemático en la escuela, pero esto no supone alcanzar la capacidad
necesaria para aplicar dichos conocimientos a la vida cotidiana. En esta línea, Guzmán (2001,
p. 9) afirma que “en nuestro mundo científico e intelectual tan rápidamente mutante vale
mucho más proveerse de procesos de pensamiento útiles que de contenidos que rápidamente
se convierten en ideas inertes…”
Reconocida la importancia educativa de las matemáticas desde los primeros años de
vida y las constantes reflexiones e indagaciones acerca del mejor método para la adquisición
de estos aprendizajes, se ha planteado este trabajo fin de grado, que pretende indagar en
profundidad sobre el actual sistema educativo en torno a conocimientos lógicos, geométricos
y espaciales. Para ello, se llevará a cabo un estudio empírico sobre el material que se haya
vigente en Educación Infantil de la editorial “Santillana”.
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2. MARCO TEÓRICO: APRENDIZAJE MATEMÁTICO EN LA EDUCACIÓN
INFANTIL.
En el desarrollo de este trabajo resulta fundamental entender cómo se realiza el
aprendizaje matemático de los alumnos/as de Educación Infantil, para ello se describen dos
modelos teóricos que ayudarán a la comprensión, y proporcionarán herramientas de análisis
didáctico, útiles para identificar y explicar fenómenos característicos de la enseñanza y
aprendizaje en este nivel educativo.
Actualmente, se pueden observar dos concepciones muy distintas de lo que significa,
para un profesor/a, que su alumnado “aprenda matemáticas” en esta etapa. Ante una misma
situación didáctica, podremos encontrar el docente que interviene como poseedor/a del saber
matemático, y los alumnos/as aplican los conocimientos y consignas que se les da. O por el
contrario, se encuentra el profesional que no menciona el “saber” en ningún momento, sino
que pone al alumnado ante una situación que les permitirá construir con sentido y
funcionalidad un determinado conocimiento matemático.
Durante mucho tiempo ha existido la creencia de que se nacía con una predisposición
innata hacia las Matemáticas, que en último término conducía a distinguir entre sujetos
“capaces” para las matemáticas frente a los “no capaces”. Pero hoy día se ha demostrado que
hacer Matemáticas es una actividad eminentemente humana, cercana, necesaria,
comprensible. Se trata de una actividad personal y colectiva que facilita la convivencia. Un
sujeto debe producir, crear, construir con sentido el conocimiento matemático para que
aprenda significativamente. Estas actividades, han de diseñarse bajo un control
epistemológico y didáctico riguroso. El profesorado debe saber dar razones del porqué las
propone y justificar las propuestas educativas con razones didácticas científicas (Ruiz
Higueras, 2013).
Para facilitar el estudio de los aspectos relacionados con el aprendizaje del alumnado,
se establece una relación de complementariedad entre la Didáctica de las Matemáticas y el
dominio de la psicología, ya que “la aproximación psicológica es un instrumento
indispensable para establecer el modelo del funcionamiento cognitivo del sujeto en relación
con el saber” (Ricco, 1995, p. 159).
A continuación, se presentan dos modelos teóricos sobre el aprendizaje matemático
(empirismo y constructivismo), que
ofrecen marcos de referencia para interpretar
comportamientos del alumnado, así como las intervenciones y decisiones del profesorado,
permitiendo elaborar un criterio objetivo sobre cuál método resulta más eficaz e idóneo para
la enseñanza- aprendizaje de estos conocimientos.
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El Empirismo es una concepción de aprendizaje que está presente en la mayoría del
profesorado: “el alumno aprende lo que el profesor explica en clase y no aprende nada de
aquello que no explica”. Esta concepción sostiene que la experiencia es la única forma de
conocimiento. El discurso del maestro/a se registra en el alumno/a, considerado incapaz de
crear conocimientos por sí mismo. Su aprendizaje es entendido como un “transvase” de los
saberes que el maestro/a le proporciona, limitándose el alumnado a recibir bien los
contenidos.
Este modelo suele apoyarse en lo que se conoce como presentaciones ostensivas en la
enseñanza, que consisten en presentar al alumno/a el contenido a estudiar de forma coherente
y organizada, (normalmente, a través de una imagen) pero ocultando el proceso de
descubrimiento que permite comprender la naturaleza del conocimiento en cuestión. “La
ostensión es el procedimiento privilegiado para la introducción precoz de las nociones
matemáticas” (Brousseau, 1994, p.112).
Numerosos estudios avalan que para la construcción significativa de conocimientos
matemáticos, el alumnado debe resolver problemas, y superar incertidumbres, desconciertos,
dudas, errores, etc. Sin embargo, en el modelo empirista se postula, tanto para docentes como
alumnos, que está prohibido equivocarse, y que el error está relacionado con el fracaso, puesto
que impide lograr el éxito en la tarea (Ruiz Higueras, 2005a).
Por el contrario, el modelo constructivista considera que el sujeto elabora de forma
activa sus conocimientos, y que debe realizar una actividad propia para aprender
determinados conocimientos. En el desarrollo de esta teoría existe una idea fundamental:
Aprender matemáticas significa construir matemáticas. Y para ello, se apoya en cuatro
hipótesis, que se esbozan a continuación a partir de Ruiz Higueras (2013):

1ª Hipótesis: El aprendizaje se apoya en la acción. La “acción” en matemáticas, se
trata de anticipar la acción concreta, esto conlleva elaborar una solución sin la
utilización de objetos reales, bien porque no se encuentran al alcance, o bien porque
son muy numerosos y resulta de gran dificultad su manipulación. La acción sobre
objetos reales se produce normalmente para llevar a cabo una constatación, mientras
que la acción definida en matemáticas, se sitúa al nivel de una anticipación, incluso
cuando no se utiliza un procedimiento experto. Esta forma de entender la acción, no
supone la exclusión de las manipulaciones, puesto que permiten apropiarse del
problema y son un medio idóneo para validar soluciones en este nivel. Se propone
para la iniciación de la construcción del conocimiento matemático efectuar acciones
concretas, hacerlas efectivas sobre objetos reales y probar la validez o invalidez de los
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procedimientos manipulando dichos objetos. Cuando la estrategia de base se hace
costosísima, se verán obligados a buscar otra, y al pasar de la estrategia de base a la
nueva habrán logrado construir un nuevo conocimiento y llevado a cabo un
aprendizaje.

2ª Hipótesis: La adquisición, organización e integración de los conocimientos del
alumno/a pasa por estados transitorios de equilibrio y desequilibrio, en el curso de los
cuales los conocimientos anteriores se ponen en duda. Si este equilibrio es superado,
los nuevos conocimientos se van integrando con los anteriores, a través de procesos de
asimilación y acomodación. En el desarrollo de una situación didáctica, cuando los
niños/as comparan sus producciones con la situación real o el modelo, si confirman
que no coinciden y que han cometido errores, sufrirán un fuerte desequilibrio. Pero, de
esta circunstancia surgirán preguntas, incertidumbres, hipótesis o debates que hacen
del error un elemento necesario para construir conocimientos. En esta hipótesis, el
aprendizaje se concibe como un proceso de reconstrucción de un equilibrio entre el
sujeto y el medio (situación-problema).

3ª Hipótesis: Se conoce en contra de los conocimientos anteriores. Se apoya en la
necesidad de los aprendizajes previos del alumnado para construir nuevos
conocimientos. Se aprende partir de, y también en contra de, lo que ya se sabe. Los
nuevos conocimientos se conciben modificando los anteriores y no por acumulación
sobre los que ya existen. Este proceso genera obstáculos en el aprendizaje de las
matemáticas que son necesarios como afirma Brousseau (1998, p. 120): “la utilización
y la destrucción de los conocimientos precedentes forman parte del acto de aprender”.

4ª Hipótesis: Los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo social
pueden facilitar la adquisición de conocimientos. El aprendizaje se produce en el
medio social donde abundan las interacciones, tanto horizontales (niño-niño) como
verticales (niño-adulto). En palabras de Vygotsky, es importante considerar lo que un
individuo puede hacer con la ayuda de otros (Ruiz Higueras, 2005a).
Como consecuencia de las cuatro hipótesis anteriores, se desarrolla un modelo de
aprendizaje constructivista en Matemáticas: el aprendizaje por adaptación al medio,
Brousseau (1998, p. 59) “El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de
contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad
humana. Este saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas
que son la prueba del aprendizaje”.
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En este modelo, el profesorado debe propiciar situaciones que el alumnado pueda
vivir, que provoquen problemas matemáticos en los que los alumnos/as puedan desarrollar la
actividad de creación matemática y el conocimiento a enseñar se presente como la solución
óptima para dichos problemas y sea construible por ellos mismos.
Brousseau ha desarrollado una serie de trabajos en los que se aborda todo un dominio
de situaciones didácticas válidas para la Escuela Infantil, que permiten establecer una relación
óptima entre los saberes lógicos, las actividades de acción, formulación y validación (véase el
siguiente apartado), y el desarrollo del lenguaje y del pensamiento natural.
Las situaciones de aprendizaje constructivista por adaptación al medio, se deben
caracterizar por:
-
Estar construidas alrededor de situaciones a-didácticas cuya resolución supone
poner en funcionamiento el conocimiento deseado.
-
Llevar a cabo la devolución al alumnado de la responsabilidad en la resolución del
problema.
-
Validar las acciones por la propia situación o por ellos mismos.
-
Permitir al alumnado hacer muchas tentativas a partir de las informaciones
aportadas por las retroacciones de la situación (“medio”).
Durante el curso escolar o al finalizar la situación a-didáctica, el profesorado se
responsabilizará de la institucionalización de los conocimientos construidos por el alumnado.
Para crear las condiciones idóneas que permitan al alumnado construir y elaborar su
aprendizaje es necesario realizar todo un proceso de enseñanza. La Didáctica de las
Matemáticas se interesa en estudiar el sistema de adaptaciones y restricciones que debe sufrir
un saber formalizado científicamente hasta llegar a convertirse en un saber adaptado a la
enseñanza escolar. Para que un saber científico pueda ser enseñado se llevan a cabo sobre el
mismo numerosas transformaciones que se definen con el término “Transposición didáctica”.
La Didáctica de las Matemáticas estudia todo el complejo sistema de restricciones y
adaptaciones que debe sufrir un saber formalizado científicamente para lograr convertirse en
un saber adaptado a la enseñanza escolar. Por lo general, la sociedad determina el saber
científico que se debe enseñar porque lo considera de gran utilidad social, y será el docente
quien deba crear las condiciones necesarias para que el alumno/a construya un determinado
saber.
La “noosfera” se trata del conjunto de personas dentro de la sociedad que piensan y
deciden sobre los contenidos y métodos de enseñanza, es donde se procede a la selección de
elementos del saber científico que serán sometidos al trabajo de transposición. Este se
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denomina trabajo externo y se haya en oposición al trabajo interno que es el desarrollado
dentro del sistema de enseñanza después de introducir oficialmente nuevos elementos del
saber. El proceso de transposición didáctica se puede representar como recoge el siguiente
esquema:
Figura 1. Proceso de transposición didáctica.
Los saberes matemáticos han de ser transformados para organizarlos, secuenciarlos,
temporalizarlos y dividirlos en cursos. Toda esta transformación constituye la primera etapa
del proceso de transposición, pero el docente suele intervenir fundamentalmente en la segunda
etapa, transformando el conocimiento para que sea posible su enseñanza a un determinado
nivel (Ruiz Higueras, 2013).
3. PROBLEMA ABORDADO EN EL TFG: LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA
DE CONOCIMIENTOS LÓGICOS, GEOMÉTRICOS Y ESPACIALES EN LA
EDUCACIÓN INFANTIL.
En este trabajo se ha llevado a cabo un análisis profundo sobre la enseñanza de
conocimientos lógicos, geométricos y espaciales en Educación Infantil, para ello no solo se ha
realizado un estudio epistemológico y una revisión de artículos que incluyan el tema.
También, se ha incluido el estudio empírico del material de una editorial dedicada a este
ámbito para observar y registrar cómo se produce actualmente la enseñanza de estos aspectos
en la escuela. Se ha comprobado tarea por tarea qué contenidos presenta, cómo se trabajan,
qué conocimientos y técnicas pondría en práctica el alumnado, qué errores u obstáculos puede
crear en los niños/as la metodología empleada a la hora de presentar la actividad, así como si
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hay presencia de carencias en el desarrollo global del material, etc. En definitiva un estudio
amplio sobre cómo se llevan a cabo alguna de las fases del proceso de trasposición didáctica
de estos saberes para que puedan ser aprendidos por el alumnado de esta etapa educativa.
4. UN
MODELO
EPISTEMOLÓGICO
DE
REFERENCIA:
LOS
CONOCIMIENTOS LÓGICOS, GEOMÉTRICOS Y ESPACIALES EN LA
EDUCACIÓN INFANTIL.
La lógica clásica fue desarrollada para establecer las bases del razonamiento y para
construir un fundamento teórico de las matemáticas y otras ciencias deductivas. “Se trata de
una disciplina matemática cuyo objeto es el estudio de los tipos de argumentos lógicos y de
su validez”. (Orús, 1992, p. 39)
Un amplio repertorio de trabajos e investigaciones han contribuido a constituir la
denominada “lógica formal” que contiene las leyes del pensamiento humano o pensamiento
natural. Aunque no se puede obviar la gran distancia que existe entre el lenguaje de la lógica
formal y el de la lógica natural. La lógica natural es componente del sistema cognitivo de todo
sujeto y habitualmente se nombra como prelógica al nivel más inferior de esta lógica. El
razonamiento lógico junto con la lógica es necesario para la construcción de cualquier
conocimiento.
En numerosas situaciones se recurre a razonar con lógica para resolver problemas o
situaciones y se trata de encontrar la solución aplicando criterios que permitan establecer
relaciones lógicas entre los “hechos” relatados y las posibles conclusiones que de ellos se
deriven.
Es habitual que los docentes de infantil se encuentren con multitud de errores debidos
a la falta de razonamiento lógico. Y esto se debe a que los niños/as en esta etapa, tienen un
razonamiento con caracteres prelógicos causados por las limitaciones de su desarrollo
genético. Por esta razón, se deben diseñar situaciones de enseñanza-aprendizaje que permitan
al alumnado desarrollar conocimientos lógicos y evolucionar superando
determinados
obstáculos ontogenéticos propios de esta edad.
Las actividades lógicas se inician, con el estudio de las propiedades de los objetos, la
constitución de colecciones y su simbolización. Por ello, construir una colección a partir de
una lista, crear una lista para recordar una colección o bien para comunicar su contenido y
elaborar símbolos para designar objetos son actividades que potencian y favorecen el
desarrollo del pensamiento lógico en el alumnado de Educación Infantil.
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Para que una lista sea eficaz, requiere que a todos y a cada uno de los objetos de la
colección se les asigne uno y solo un símbolo (aplicación biyectiva), la cual no es espontánea
y supone un verdadero aprendizaje.
También es importante potenciar las relaciones entre dos o más objetos, personas o
situaciones, a través de conexiones que se establecen mentalmente. Las relaciones que
permiten comparar elementos de un conjunto dos a dos reciben el nombre de relaciones
binarias, podrán presentar diferentes propiedades y llegar a propiciar relaciones de
equivalencia. De manera que cuando el niño/a establece relaciones de equivalencia está
desarrollando la clasificación, que se logra a partir de experiencias que permitan observar las
semejanzas y las diferencias entre los objetos y actuar en consecuencia, es decir, distinguir
objetos en razón de sus similitudes y de sus diferencias.
Clasificar, seleccionar y/o discriminar son actividades útiles tanto socialmente como
matemáticamente y entre ellas existe una determinada relación. La actividad de clasificación
implica llevar a cabo una selección y una discriminación atendiendo a ciertos criterios. Desde
el punto de vista matemático clasificar los elementos de un conjunto es realizar una partición
de este conjunto, lo que supone fraccionar este conjunto en subconjuntos disjuntos dos a dos.
Por seleccionar se entiende escoger por medio de una selección, elegir entre muchos, separar
del resto; y discriminar se trata de separar, segregar, diferenciar una cosa de otra.
Otro tipo de relaciones que se pueden establecer, son las relaciones de orden,
nombradas con el término “seriación” suponen ordenar un conjunto de objetos según un
determinado criterio y constituyen otro de los conocimientos fundamentales para esta edad.
Este tipo de actividades pueden interpretarse espacialmente o temporalmente, dependiendo si
se trata de objetos ubicados unos a continuación de otros con un determinado criterio o bien
sucesos que han transcurrido a través del tiempo.
Para un desarrollo íntegro del conocimiento lógico, es necesario crear situaciones en
las que el alumnado pueda y deba formular proposiciones (enunciados declarativos) y
comprobar si son verdaderos o falsos.
Por otro lado, se comenta la importancia de trabajar procesos de centración y
decantación, ya que son operaciones lógicas que afectan a la significación de los operadores
lógicos, principalmente a la conjunción lógica, ya que para que un niño pueda conectar,
mediante la conjunción “y”, varias características de un objeto, es preciso que, en primer
lugar, sea capaz de reconocerlas sobre dicho objeto, aislarlas unas de otras y establecer entre
ellas conexiones lógicas. La centración muestra la capacidad para centrarse en una sola
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característica de un objeto y la decantación, la capacidad de seleccionar, en una colección de
objetos, los que reúnan determinada característica.
Se han esbozado algunos de los conocimientos lógicos más importantes en Educación
Infantil, no obstante en Ruiz Higueras (2005b) se puede encontrar una descripción más
detallada de los mismos.
Los conocimientos espaciales los posee cada alumno/a desde los primeros niveles de
la escolaridad, constituyen una base importante para la posterior construcción de la geometría,
pero los conocimientos espaciales y los conocimientos geométricos tienen caracteres
diferentes: cada niño dispone de conocimientos espaciales mucho antes de aprender
conocimientos geométricos, ya que la geometría debe enseñarse para existir.
El dominio de planos, mapas, dibujos técnicos, dibujos geométricos, comporta grandes
dificultades y todos estos elementos contienen informaciones de naturaleza espacial.
En términos generales, y constatado en investigaciones, como las de Berthelot y Salin
(1992, 1993) y Gálvez (1985), los conocimientos espaciales útiles se excluyen casi
sistemáticamente de los programas de enseñanza de las matemáticas. En este sentido, es
interesante destacar que, el término “conocimientos espaciales” no apareció en los programas
escolares hasta que no se divulgaron las investigaciones piagetinas sobre la construcción del
espacio por el niño.
Desde la infancia, tanto en la vida escolar como en la extraescolar se necesitan
manejar relaciones espaciales, por ejemplo, relaciones de vecindad, distancia, posiciones,
relativas, etc. Acciones como ubicarse en el espacio o en el entorno próximo, también
requieren la necesidad de aprender a utilizar un vocabulario que le permita diferenciar
ubicaciones relativas a un referencial.
Tanto Gálvez (1985) como Berthelot y Salin (1992) postulan que es posible, en el
contexto escolar, generar situaciones en las que los alumnos/as se planteen problemas
relativos al espacio que, en principio, tratarán de resolver, basándose en sus concepciones
espontáneas, pero en las que, posteriormente, los saberes geométricos aparecerán como los
mejores instrumentos de control y de anticipación de los problemas espaciales.
Los saberes geométricos aparecerán como instrumentos de control y de anticipación
de los problemas espaciales, construidos por los propios alumnos y bajo las restricciones de la
propia situación. (Gálvez, 1985).
Se pueden identificar tres elementos esenciales en el desarrollo de los conocimientos
espaciales: la orientación, la organización y la estructuración. Es posible la inclusión de
problemas espaciales que permiten introducir al alumnado en la práctica geométrica: describir
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objetos, reproducir objetos, transformar objetos, determinar la posición de los objetos,
reconocer espacios de vida y/o espacios de desplazamiento o interpretar, codificar, y
descodificar relaciones espaciales y geométricas comprendiendo las representaciones
realizadas en el plano (microespacio) de espacios de vida, desplazamientos, recorridos, etc.
realizados en el mesoespacio y/o macroespacio. Y, recíprocamente, codificar mediante un
plano (microespacio) los recorridos efectuados en el mesoespacio y/o macroespacio.
Todos estos problemas varían sustancialmente dependiendo del tamaño del espacio:
microespacio, mesoespacio o macroespacio.
Según Salin (2004) es necesario tener en cuenta dos condiciones para construir
situaciones para la enseñanza de conocimientos espaciales y geométricos:
-
Plantear situaciones en las cuales, los conocimientos espaciales y geométricos tengan
funcionalidad, es decir, que sirvan realmente para solucionar una verdadera dificultad,
un verdadero problema ante el que se encuentren los niños/as.
-
Diseñarlas como situaciones a-didácticas, que puedan ofrecer respuestas a las acciones
(estrategias) que los niños ponen en funcionamiento para resolverlas, es decir que sean
autovalidantes.
Los niños, desde muy pequeños, transforman los objetos que tienen a su alrededor, en
ocasiones estirándolos o encogiéndolos, en otras observando sus sombras proyectadas sobre
una superficie o bien cambiándolos de lugar. Desde estas edades, comienzan a representar
gráficamente objetos y relaciones en su entorno a través del dibujo. Un dibujo también puede
ser considerado como una transformación de ciertos objetos de su alrededor: de la realidad al
papel. En todas estas acciones subyace la noción de transformación geométrica.
Por ejemplo, cada vez que vemos nuestra imagen reflejada ante un espejo está
operando una transformación geométrica que, para cada “punto” de nuestra imagen, asigna un
nuevo “punto” en la imagen que vemos en el espejo.
Investigaciones de Piaget y posteriores han puesto en evidencia que desde la infancia,
se pueden distinguir propiedades invariantes en las trasformaciones que operan en el entorno
más cercano. De hecho, las primeras nociones espaciales que se construyen corresponden a
invariantes topológicos, que luego irán evolucionando hacia invariantes proyectivos y
euclidianos, sin que esta progresión tenga que ser necesariamente lineal. (Ruiz Higueras,
2013).
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5. UN
MODELO
DIDÁCTICO
DE
REFERENCIA:
LA
TEORÍA
DE
SITUACIONES DIDÁCTICAS.
La Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) es producción original de Brousseau, fue
iniciada en un momento en que la visión dominante sobre la enseñanza y el aprendizaje de la
matemática era una visión cognitiva, muy influenciada por la epistemología piagetiana.
Propuso un enfoque que permite comprender las interacciones sociales entre alumnos,
docentes y saberes matemáticos que se dan en una clase y condicionan lo que los alumnos
aprenden y cómo lo aprenden (Brousseau, 2007).
En los inicios las situaciones didácticas eran situaciones para enseñar sin considerar el
rol del profesor. Para enseñar un conocimiento determinado se utilizan “medios” (textos,
materiales, etc.). La ingeniería didáctica era encargada de estudiar y producir dichos medios.
Actualmente, la situación es un entorno del alumnado diseñado y manipulado por el docente,
que la considera como una herramienta (Brousseau, 2007).
La TSD es una teoría sobre los procesos de enseñanza - aprendizaje del conocimiento
matemático con una clara marca constructivista en la cual se considera que el aprendizaje
matemático se produce como resultado de la resolución de problemas.
Brousseau, afirma que saber Matemáticas no es solamente saber conceptos,
definiciones y teoremas para aplicarlos en determinadas ocasiones, es también “resolver
problemas”. En este sentido se convierten en una actividad estructurada, en la que se pueden
separar diferentes fases: acción, formulación, validación e institucionalización.
Sobre el profesor/a recae la labor de imaginar y proponer al alumnado situaciones
matemáticas que puedan vivir, que provoquen el surgimiento de problemas matemáticos cuya
solución óptima se encuentre en un conocimiento construible por el alumnado y que se desea
transmitir. Es decir, a través del problema el alumno/a busca la solución y construye su propio
conocimiento, no es el profesorado quien lo ofrece para que sea aplicado. Desde esta
concepción, tiene una particular importancia la elaboración y el estudio del medio.
Estos conocimientos se construyen a partir de situaciones a-didácticas: situaciones que
permiten al alumnado enfrentarse de manera autónoma a la resolución del problema, y
diseñadas del manera que “el medio” devuelva información a los alumnos sobre el resultado
de sus acciones. De esta forma, se establece un “diálogo” entre el alumno y la situación, a
partir del cual se produce la adquisición de conocimientos.
En este contexto, la noción de variable didáctica es fundamental. Una variable
didáctica es un elemento de la situación que puede ser modificado por el maestro/a y que, al
hacerlo, provoca cambios tales en “el medio” que implican un cambio de estrategias en los
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niños. A veces es porque las estrategias anteriores son costosas o ineficaces, en otras
ocasiones porque son simplemente erróneas.
Cada conocimiento matemático se caracteriza por una familia de situaciones adidácticas específicas de dicho conocimiento. A este conjunto de situaciones a-didácticas se le
denomina “situación fundamental”, término que reúne un conjunto mínimo de situaciones adidácticas con sus respectivas variables didácticas, que suponen un amplio repertorio de
problemas permitiendo la representación adecuada de un conocimiento matemático concreto.
Una situación matemática es específica de un conocimiento matemático concreto si
cumple las dos condiciones siguientes:
- Es comunicable sin utilizar dicho conocimiento.
- La estrategia óptima que permite resolver el problema planteado es el conocimiento
matemático que se desea que el alumno construya.
En el marco de la TSD, se afirma que el aprendizaje de un conocimiento matemático
específico tiene lugar si el alumno/a se ha adaptado a todas las situaciones a-didácticas que
forman parte de una situación fundamental. Esta adaptación se hace notar por un cambio de
estrategia en el alumnado que le lleva a desarrollar la estrategia óptima de manera perdurable
en el tiempo.
Para finalizar el proceso de aprendizaje es necesario que haga funcionar dicho
conocimiento en sus relaciones con cierto medio a-didáctico, ya que la situación a-didáctica
es únicamente una parte de la situación más amplia que Brousseau denominó “situación
didáctica”, y que comprende las relaciones establecidas entre el alumnado, el medio y el
profesorado, con el objetivo de que los alumnos/as aprendan un conocimiento matemático
concreto.
La situación didáctica consiste en una serie de intervenciones del profesorado
(principalmente devoluciones e institucionalizaciones) sobre el par alumno-medio destinadas
a hacer funcionar las situaciones a-didácticas y los aprendizajes que ellas provocan. (Ruiz
Higueras, 2013).
6. EL SABER A ENSEÑAR: ANÁLISIS DEL CURRÍCULO.
En estos momentos supone un gran desafío para el profesorado de matemáticas de los
niveles iniciales enfrentarse a los problemas derivados del aprendizaje de las matemáticas, ya
que el incremento del fracaso escolar en esta área ha llegado a alcanzar cifras muy elevadas.
Para ello, se han realizado reformas educativas y cambios curriculares, exigidas por las
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necesidades de la sociedad para ofrecer al alumnado una formación que le permita
desenvolverse en el mundo actual. Los estudios más recientes han influido en la nueva
configuración del currículo, con cambios en contenidos y docencia requeridos por los avances
tecnológicos.
El currículo en esta materia, detalla qué matemáticas necesitan conocer los alumnos,
cómo deben alcanzar estos objetivos curriculares, qué deben hacer los profesores/as para
conseguir que su alumnado desarrolle el conocimiento y el contexto en el que tiene lugar el
proceso de enseñanza-aprendizaje.
Las matemáticas siempre han formado parte de los currículos de las enseñanzas
elementales y nunca ha sido cuestionada su importancia, ya que además contribuye en los
aprendizajes de otras áreas, proporcionando herramientas y técnicas de gran utilidad.
En la actualidad, se encuentra vigente la Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para
la mejora de la calidad educativa (LOMCE), pero el ámbito de Educación Infantil no se ha
visto alterado y la nueva ley remite a la anterior. Por lo tanto la Educación Infantil se apoya en
el marco de referencia de la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (BOE, 2006),
que establece en su Capítulo I, artículo 13 los objetivos generales para esta etapa educativa. Y
la posterior Orden ECI/2960/2007, de 19 de diciembre, por la que se establece el currículo y
se regula la ordenación de la Educación Infantil (BOE, 2007), concretamente, el Real Decreto
1630/2006, establece las enseñanzas mínimas del Segundo ciclo de Educación Infantil y
concreta las áreas de este ciclo en su artículo 6.1:
- Conocimiento de sí mismo y autonomía personal.
- Conocimiento del entorno.
- Lenguajes: Comunicación y representación.
Este nuevo planteamiento curricular implica partir de un enfoque mucho más
globalizado que no se limite a los contenidos de una única área, sino trabajar de forma
integrada, explorando como se potencian y usándolos sin prejuicios. Además, trata de ayudar,
a través de los procesos de pensamiento matemático, a gestionar el conocimiento, las
habilidades y las emociones para conseguir un objetivo más cercano a situaciones funcionales
y en contextos de vida cotidiana que a su uso académico.
El conocimiento lógico-matemático queda incluido dentro del área de conocimiento
del entorno. Esta área se refiere al conocimiento del entorno como realidad donde se integran,
las dimensiones física, natural, social y cultural, que componen el medio cotidiano del
alumnado.
15
Los objetivos que se corresponden de esta área con los conocimientos a tratar son:
- Observar y explorar de forma activa su entorno físico, natural y social, desarrollar
el sentido de pertenencia al mismo, mostrando interés por su conocimiento, y
desenvolverse en él con cierta seguridad y autonomía.
- Indagar el medio físico manipulando algunos de sus elementos, identificando sus
características y desarrollando la capacidad de actuar y producir transformaciones
en ellos.
- Representar atributos de elementos y colecciones, y establecer relaciones de
agrupamientos, clasificación, orden y cuantificación, iniciándose en las habilidades
matemáticas.
En esta área se encuentran los contenidos estructurados en tres bloques:
1. Medio físico: elementos relaciones y medidas.
2. Acercamiento a la naturaleza.
3. Vida en sociedad y cultura.
Los contenidos que se tratan en este TFG quedan recogidos en el “Bloque 1: Medio
físico: elementos, relaciones y medidas”. Concretamente vienen definidos de la siguiente
forma:
- Percepción de semejanzas y diferencias entre los objetos. Discriminación de
algunos atributos de objetos y materias.
- Estimación intuitiva y medida del tiempo. Ubicación temporal de actividades de la
vida cotidiana. Detección de regularidades temporales, como ciclo o frecuencia.
- Situación de sí mismo y de los objetos en el espacio. Posiciones relativas.
Identificación de formas planas y tridimensionales en elementos del entorno.
Exploración de algunos cuerpos geométricos elementales. Nociones topológicas
básicas (abierto, cerrado, dentro, fuera, cerca, lejos, interior, exterior…) y
realización de desplazamientos orientados.
En el currículo escolar los conocimientos espaciales que permiten capacitar al niño/a
para dominar el entorno espacial han quedado absorbidos por la geometría. Muchas personas
consideran de mayor importancia las destrezas numéricas, cuando realmente la probabilidad
de enfrentarse a problemas espaciales es mayor que la de encontrarse ante problemas
numéricos.
En los últimos años, se ha observado un avance muy notorio en cuanto a la inclusión
de conocimientos espaciales en los programas escolares, sin embargo, en los manuales
escolares, estos conocimientos se reducen, en su gran mayoría, a una iniciación a la
16
geometría. Muchos profesores demuestran que apenas se trabajan problemas en el espacio
“real”, sino que la mayoría tratan sobre: nombrar figuras, memorizar fórmulas, calcular áreas,
volúmenes, etc., es decir, sobre conocimientos geométricos.
7. EL SABER A ENSEÑAR: ANÁLISIS DE UNA EDITORIAL
La elaboración de este trabajo se apoya en el análisis del contenido que aparece para
segundo ciclo de educación infantil en el material de la editorial “Santillana”, concretamente
en la colección “Mica y sus amigos”.
Cada curso se compone de una carpeta por trimestre, es decir, tres carpetas diferentes
por trimestre del año escolar. En la primera carpeta de cada curso, se añade una guía de salud.
Cada carpeta contiene: tres unidades didácticas que incluyen un cuento por unidad, un
boletín de Evaluación Trimestral, un documento de información y actividades para realizar
con los padres y madres, láminas de plástica, pegatinas y gomets para sus fichas
correspondientes y CD con los audios oportunos.
A continuación, mediante el análisis empírico del contenido de la editorial mencionada
y a partir del estudio epistemológico acerca de la construcción de conocimientos lógicos,
geométricos y espaciales en Educación Infantil que hemos realizado en secciones precedentes,
se desarrolla en el primer apartado la propuesta de las categorías establecidas en este trabajo
para el análisis del material y sus correspondientes tareas y subtareas. Seguidamente, en el
segundo apartado, se encuentra de manera más detallada el análisis empírico del material, con
ejemplos ilustrados que apoyan las tareas definidas y las técnicas que se requieren por parte
del alumnado para realizar las actividades propuestas por la editorial.
7.1. Categorías: tipos y subtipos de tareas
CONOCIMIENTOS ESPACIALES

Π1. Encontrar y comunicar la posición de objetos o elementos en una configuración
espacial teniendo en cuenta referentes externos (mesa, alfombra, maestra, etc.).

Π2. Reconocer, describir y dibujar objetos en contextos determinados.
 Π2.1. Dibujar objetos en espacios delimitados.
 Π2.2. Reconocer y dibujar objetos para que sean igual al modelo.
 Π2.3. Reconocer objetos en una colección de representaciones que comparten
algunas características, para identificar los que son iguales.
17
 Π2.4. Completar puzles.

Π3. Interpretar/organizar trayectos o laberintos.

Π4.Identificar y relacionar diferentes visiones espaciales de un mismo objeto
(visualización espacial).

Π5. Reproducir objetos o recorridos sobre una cuadrícula.
 Π5.1. Describir un recorrido sobre cuadrícula siguiendo un código establecido.
 Π5.2 Reproducir figuras sobre una cuadricula.
CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS

Π6. Establecer asociaciones (correspondencias) entre figuras geométricas y objetos
similares en forma, aunque con distintos tamaños. (Transformaciones Proyectivas).
 Π6.1. Dado un dibujo con diferentes figuras geométricas espaciales asociar (por
coloreo, pegando gomettes, etc.) aquellas que son similares.
 Π6.2. Dado un sistema de codificación forma-color, establecer asociaciones para
completar un dibujo.

Π7. Dada una figura geométrica plana que sirve de modelo, reproducir (por copiado)
figuras similares.
 Π7.1. Dado el modelo y algunas líneas continuas a modo de guía, completar
para formar figuras geométricas iguales al modelo ofrecido.
 Π7.2. Dada una figura geométrica en línea discontinua, producir figuras
similares repasando los trazos del modelo ofrecido.

Π8. Identificar figuras complementarias.

Π9. Completar una figura aplicando simetría.
DISCRIMINACIÓN, SELECCIÓN, CLASIFICACIÓN

Π10. Identificar/discriminar y seleccionar objetos en una colección dada, siguiendo
el/los criterio/s establecido/s.

Π11. Clasificar objetos en diferentes contextos.
 Π11.1. Clasificar elementos de una colección atendiendo a una cualidad que
viene dada.
 Π11.2. Clasificar objetos en una tabla de doble entrada siguiendo un criterio de
clasificación multiplicativo.
18
SERIACIONES

Π12. Producir y completar series con la presencia de un modelo de referencia, o sin
modelo.
 Π12.1. Completar series algorítmicas, dada la secuencia generatriz, sin modelo
previo completo.
 Π12.2. Completar series algorítmicas con modelo de referencia visible.
 Π12.3. Producir series no algorítmicas con modelo de referencia presente.

Π13. Ordenar series temporales.

Π14. Reproducir una configuración geométrica, con un modelo de referencia visible.
CENTRACIÓN Y DECANTACIÓN

Π15. Identificar semejanzas/diferencias en dos escenas.
7.2 Clasificación y análisis de materiales curriculares: libro de texto
CONOCIMIENTOS ESPACIALES

Π1. Encontrar y comunicar la posición de objetos o elementos en una configuración
espacial teniendo en cuenta referentes externos (mesa, alfombra, maestra, etc.).
-
Técnica: movilizar relaciones topológicas (del tipo delante de, detrás de, junto
a, entre, dentro de, entre otras).
Figura 2. Ejemplo de tarea Π1:
Coloca a Mica y Pato para que estén junto a los otros niños/as.

Π2. Reconocer, describir y dibujar objetos en contextos determinados.
 Π2.1. Dibujar objetos en espacios delimitados.
19
-
Técnica: Poner en funcionamiento relaciones topológicas (dentro, fuera,
interior, exterior, frontera, abierto, cerrado) en contextos claramente definidos.
Figura 3. Ejemplo de tarea Π2.1: Dibújate dentro del marco.
 Π2.2. Reconocer y dibujar objetos para que sean igual al modelo.
-
Técnica: movilizar relaciones topológicas (del tipo arriba/debajo, a un lado/ a
otro lado, junto a, entre dentro de).
Figura 4. Ejemplos de tarea Π2.2 :
Completa las caras como en el modelo. Completa las casetas para que todas sean iguales.
 Π2.3. Reconocer objetos en una colección de representaciones que comparten
algunas características, para identificar los que son iguales.
-
Técnica: operar centraciones y decantaciones, atendiendo criterios topológicos
(lateralidad, arriba/abajo, dentro/fuera…) y/o geométricos (forma).
20
Figura 5. Ejemplos de tarea Π2.3:
Rodea, respectivamente los guardias o niños/as que están en la misma posición que el modelo.
 Π2.4. Completar puzles.
-
Técnica: recortar y pegar en los huecos libres las piezas correspondientes para
formar la escena o dibujo, poniendo en funcionamiento relaciones topológicas
(al lado de, encima de, debajo de, junto a, entre).
Figura 6. Ejemplos de tarea Π2.4:
Recorta y pega las imágenes para formar la escena.

Π3. Interpretar/organizar trayectos o laberintos.
-
Técnica: poner en funcionamiento relaciones topológicas de continuidad y
dentro/fuera.
21
Figura 7. Ejemplos de tarea Π3:
Traza el camino que corresponde a su cartel. Traza el camino para que cada personaje se proteja del frio.

Π4. Identificar y relacionar diferentes visiones espaciales de un mismo objeto
(visualización espacial).
-
Técnica: realizar centraciones y decantaciones, atendiendo a criterios
topológicos (lateralidad, arriba/abajo, enfrente de, y/o geométricos (forma).
Figura 8. Ejemplos de tarea Π4:
Une cada niño/a con quien corresponde. Colorea igual las casillas que corresponden al mismo niño/a.

Π5. Reproducir objetos o recorridos sobre una cuadrícula.
 Π5.1. Describir un recorrido sobre cuadrícula siguiendo un código establecido.
-
Técnica: interpretar códigos y establecer relaciones topológicas (arriba/abajo,
izquierda/ derecha, avanzar/retroceder etc.).
22
Figura 9. Ejemplo de tarea Π5.1:
Leva el coche sobre la cuadrícula hasta la cochera siguiendo las indicaciones.
 Π5.2. Reproducir figuras sobre una cuadricula.
-
Técnica: movilizar relaciones topológicas y métricas.
Figura 10. Ejemplo de tarea Π5.2. :
Completa el dibujo siguiendo la cuadrícula.
CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS

Π6. Establecer asociaciones (correspondencias) entre figuras geométricas y objetos
similares en forma, aunque con distintos tamaños. (Transformaciones Proyectivas).
 Π6.1. Dado un dibujo con diferentes figuras geométricas espaciales asociar (por
coloreo, pegando gomettes, etc.) aquellas que son similares.
-
Técnica: reconocer y distinguir formas geométricas.
23
Figura 11. Ejemplo de tarea Π6.1. :
Termina de colorear las manchas del juguete que tiene forma rectangular.
 Π6.2. Dado un sistema de codificación forma-color, establecer asociaciones para
completar un dibujo.
-
Técnica: operar centraciones/decantaciones, reconocer y distinguir formas
geométricas.
Figura 12. Ejemplo de tarea Π6.2:
Indica cuántas formas geométricas de cada tipo hay.

Π7. Dada una figura geométrica plana que sirve de modelo, reproducir (por copiado)
figuras similares.
 Π7.1. Dado el modelo y algunas líneas continuas a modo de guía, completar
para formar figuras geométricas iguales al modelo ofrecido.
-
Técnica: operar centraciones y decantaciones, utilizar criterios topológicos
(arriba/abajo, lateralidad, etc.).
24
Figura 13. Ejemplo de tarea Π7.1:
Cerrar las formas geométricas para completarlas y decorarlas como el modelo.
 Π7.2. Dada una figura geométrica en línea discontinua, producir figuras
similares repasando los trazos del modelo ofrecido.
-
Técnica: repasar los grafismos para construir las figuras geométricas.
Figura 14. Ejemplo de tarea Π7.2:
Marcar las fotos triangulares repasar los triángulos.

Π8. Identificar figuras complementarias.
-
Técnica: operar centraciones y relaciones topológicas con el fin de investigar
relaciones e identificar diferentes elementos y/o propiedades en las figuras
dadas.
Figura 15. Ejemplo de tarea Π8: Unir las figuras que son complementarias.
25

Π9. Completar una figura aplicando simetría.
-
Técnica: poner en práctica una simetría axial y la conservación de invariantes
euclidianos (distancias relativas y distancia al eje de simetría).
-
Figura 16. Ejemplo de tarea Π9:
Terminar las caras teniendo en cuenta lo que está dibujado
DISCRIMINACIÓN, SELECCIÓN, CLASIFICACIÓN

Π10. Identificar/discriminar y seleccionar objetos en una colección dada, siguiendo
el/los criterio/s establecido/s.
-
Técnica: operar centraciones para analizar cada una de las propiedades y
cualidades de los elementos de las colecciones y decantaciones, en relación con
otras posibles cualidades de los objetos.
Figura 17. Ejemplos de tarea Π10:
Colorea el elemente más grande y rodea el más pequeño. Coloca los gomets en la pizarra adecuada siguiendo el criterio.

Π11. Clasificar objetos en diferentes contextos.

Π11.1. Clasificar elementos de una colección atendiendo a una cualidad que
viene dada.
26
-
Técnica: analizar los objetos a través de centraciones, para identificar la
cualidad dada como criterio de clasificación de otras (separación de predicados
amalgamados), y para agruparlos en la clase que corresponde.
Figura 18. Ejemplos de tarea Π11.1:
Identificar el color de la etiqueta de cada cesto con el color de los alimentos. Coloca las pegatinas según tengan forma
cuadrada o rectangular.
 Π11.2. Clasificar/producir objetos en una tabla de doble entrada siguiendo un
criterio de clasificación multiplicativo.
-
Técnica: operar centraciones y decantaciones para analizar las propiedades de
los objetos y establecer relaciones de equivalencia para clasificarlos atendiendo
a dos variables con sus respectivos valores.
Figura 19. Ejemplo de tarea Π11.2:
Dibuja las formas indicadas en las casillas y coloréalas como corresponde.
SERIACIONES

Π12. Producir y completar series con la presencia de un modelo de referencia, o sin
modelo.
 Π12.1. Completar series algorítmicas, dada la secuencia generatriz, sin modelo
previo completo.
27
-
Técnica: poner en funcionamiento operaciones lógicas (reversibilidad,
transitividad, asignación de carácter dual) y funciones lógicas del tipo “el
siguiente de” y “el anterior de”.
Figura 20. Ejemplo de tarea Π12.1:
Continúa las series en el orden indicado.
 Π12.2 Completar series algorítmicas con modelo de referencia visible.
-
Técnica: establecer correspondencia término a término para reproducir el
modelo.
Figura 21. Ejemplo de tarea Π12.2:
Terminar de colorear las formas de las construcciones como las del modelo.
 Π12.3. Producir series no algorítmicas con modelo de referencia presente.
-
Técnica: proceder mediante una correspondencia término a término para
reproducir el modelo, poniendo en funcionamiento operaciones lógicas de
reversibilidad, transitividad y asignación de carácter dual a todo elemento de la
serie.
28
Figura 22. Ejemplo de tarea Π12.3:
Dibujar y pintar los círculos según el orden que presentan en el ábaco, de arriba hacia abajo.

Π13 Ordenar series temporales.
-
Técnicas: establecer el orden de las imágenes a través de operaciones lógicas
(reversibilidad, transitividad, asignación de carácter dual) del tipo “anterior a”
y “posterior a”.
Figura 23. Ejemplo de tarea Π13:
Ordena las escenas para formar la secuencia.

Π14. Reproducir una configuración geométrica, con un modelo de referencia visible.
-
Técnica: operar estableciendo correspondencia término a término con
relaciones topológicas (debajo de, delante de, detrás de, siguiente, sucesor,
etc.) y operaciones lógicas (reversibilidad, transitividad, asignación de carácter
dual).
29
Figura 24. Ejemplo de tarea Π14:
Dibuja la figura utilizando las formas indicadas.
CENTRACIÓN Y DECANTACIÓN
 Π15 Identificar semejanzas/diferencias en dos escenas.
-
Técnica: realizar centraciones en las características de la escena.
Figura 25. Ejemplo de tarea Π15:
Rodea las tres diferencias entre las escenas.
8. PROPUESTA
PARA
UNA
CONSTRUCCIÓN
FUNCIONAL
DE
CONOCIMIENTOS LÓGICOS Y ESPACIALES EN LA EDUCACIÓN
INFANTIL
En este apartado se presentan algunas propuestas de trabajo para conocimientos
lógicos y espaciales con el alumnado de infantil, propiciando que construyan de forma
significativa su aprendizaje. Se trata de una recreación de la situación diseñada por Péres
(1987), tomada de Ruiz Higueras (2005b).
Situación de aprendizaje: CONSTRUIR UNA LISTA PARA RECORDAR UNA COLECCIÓN.
“EL ARCA DE NOÉ”
Se colocan diferentes elementos en el interior de un barco. Primero, se dejan durante
toda la mañana en la cubierta para que puedan observarlos y se les indicará que al día
siguiente deberán recordarlos.
En un principio se realizarán varias sesiones con cuatro o cinco objetos, pero después
pasaremos de golpe a poner doce objetos para su recuerdo, dejándolos como anteriormente
previamente toda la mañana para que los visualicen. Los objetos serán animales del arca,
algún elemento que represente comida, tripulantes, utensilios de navegación, etc.
-
Conocimientos que los alumnos ponen en funcionamiento para dar solución al
problema: el sentido de la representación, deberá abandonar su actitud de “dibujante”
para pasar a la de “designante” indicando la existencia de un objeto determinado y
preciso, enriquecerá su representación gráfica con la adquisición de repertorio
30
simbólico, deberá establecer la correspondencia término a término, que implica
enumeración y elaborar e interpretar el listado de una colección, también establecerá
un proceso de clasificación.
-
Material necesario: barco con capacidad en su interior para introducir los objetos y
los diversos objetos que utilizaremos (animales del arca, algún elemento que
represente comida, tripulantes, utensilios de navegación, etc.). Por grupos, los objetos
deberán tener características perceptivas similares (cuadrados, circulares…), que
hagan que su designación a través de un trazo sea problemática.
-
Consigna precisa: tendréis a vuestra disposición los objetos toda la mañana pero
mañana debéis reconstruir el contenido del arca y recordar todos los objetos sin verlos
para poder ganar.
-
Variables didácticas de la situación: el número de elementos que contenga el arca, las
familias o colecciones que se formen, si los objetos son más o menos heterogéneos, la
posición espacial de los objetos y permitir o no usar el color para la representación.
Situación de aprendizaje: DISCRIMINAR LOS OBJETOS DE UNA COLECCIÓN EN
RELACIÓN CON UNA PROPIEDAD.
Adaptada de la situación de clasificación de granos, propuesta por Ruiz Higueras
(2005b).
“LA COSTURERA”
Se colocan juntos formando una colección botones de tres categorías, (redondos
amarillos, cuadrados azules y estrellados rosas). Después se colocan cinco cajitas con un
orificio pequeño que permite el paso de los botones, pero de las que no se observa el interior y
que deberán permanecer tapadas durante toda la actividad. Es importante que haya más cajitas
que categorías de botones. Se pedirá que coloquen todos los botones iguales en la misma caja
para ayudar a la costurera que los necesita para colocárselos a tres rebecas y no puedo porque
los tiene desordenados.
-
Conocimientos que los alumnos ponen en funcionamiento para dar solución al
problema: llevarán a cabo actividad matemática que implica enumeración, puesto que
determinarán una secuencia para introducir los botones en las cajitas y reiterarla
constantemente, además será necesario poner en funcionamiento una estrategia de
discriminación para separar los botones en categorías distintas.
-
Material necesario: botones de tres categorías diferentes, cinco cajitas idénticas,
opacas y perforadas con un pequeño orificio por arriba.
31
-
Consigna precisa: debéis colocar todos los botones iguales en la misma cajita para
ayudar a la costurera.
-
Variables didácticas de la situación: el número de categorías presentes para la
discriminación, el número de cajitas o el tipo de elementos que formen la colección.
Situación de aprendizaje: CONSTRUIR UN OBJETO.
“A LA CAMA”
Agrupamos piezas de lego sobre la mesa y en otro extremo colocamos un muñeco. Un niño
que se encuentra en contacto con el muñeco deberá elaborar un mensaje en el que de
indicaciones para que otro compañero que no ve el muñeco construya una cama para el
mismo.
-
Conocimientos que los alumnos ponen en funcionamiento para dar solución al
problema: necesidad de medir, saber expresar la medida de determinados objetos,
necesidad de unificar la unidad de medida tanto en el que emite como el que recibe
mensaje.
-
Material necesario: muñecos y piezas de lego.
-
Consigna precisa: Elabora un mensaje para que tu compañero que no ve el muñeco
pueda construir una cama a su medida.
-
Variables didácticas de la situación: el muñeco que se ponga, el tipo de material que
se use (las construcciones pueden ser de piezas homogéneas o heterogéneas), que haya
que expresarlo oral o escrito.
Situación de aprendizaje: REPRESENTAR UN RECORRIDO.
“ASÍ ME MUEVO”
Realizamos en el patio un circuito con obstáculos (aros, pelotas, picas, zancos) y tras
realizarlo pediremos a los niños que lo representen para poder transmitir la información a
compañeros de otras clases que deseen hacerlo como ellos.
-
Conocimientos que los alumnos ponen en funcionamiento para dar solución al
problema: deberán conservar la cantidad, medir y producir una colección, pasar de un
espacio tridimensional a bidimensional, codificar y descodificar un mensaje, ordenar
de manera que establezcan un sistema de referencia para indicar el comienzo y
trabajarán las transformaciones equiformes, puesto que conservarán la misma forma al
representar.
32
-
Material necesario: todo el necesario para montar el circuito (aros, pelotas, picas,
zancos, etc.).
-
Consigna precisa: Representad el recorrido realizado en el patio para que otro
compañero pueda realizarlo sin problema exactamente igual que vosotros.
-
Variables didácticas de la situación: el número de obstáculos, la posición de los
mismos, la forma que presenten, la presencia o no de sistemas de referencia fáciles de
localizar.
9. SÍNTESIS Y CONCLUSIONES
La finalidad de este trabajo era analizar la metodología actual de enseñanza de
conocimientos lógicos, geométricos y espaciales presentes en educación infantil. Para abordar
esta acción de manera justificada e informada, se han diseñado y elaborado las fases del
presente documento.
En general, a lo largo de la exposición se deduce que la metodología adecuada para
esta etapa educativa sería aquella que trata de implicar al alumnado en contextos relevantes,
que aborda los conocimientos a través de situaciones potencialmente significativas social,
cultural y matemáticamente. Por el contrario, como demuestran las tareas presentes en la
editorial, se deduce que el principal objetivo que pretenden es lo que podría denominarse
“instrucción matemática”. Se propone este término porque las propuestas didácticas de la
editorial, se basan en actividades dirigidas al desarrollo de técnicas, métodos, reglas y
conceptos matemáticos, cuyo objetivo es que los alumnos/as sean capaces de simular y repetir
las técnicas que van aprendiendo a través de fichas, en las que solo existen dos posibles
resultados: correcto o incorrecto. Y el resultado que se pretende lograr es el correcto, por lo
que se espera que todas las láminas o fichas sean iguales, lo que impide la posibilidad de
aportación personal.
Sin embargo, los estudios avalan la necesidad de que los conocimientos matemáticos
sirvan para ser aplicados en contextos de la vida, reales y funcionales. Y para lograrlo, estos
contenidos deben aprenderse en situaciones donde adquieran un significado funcional real,
más allá de la mera técnica. Por ello, en la enseñanza actual falta la inclusión de estas
situaciones descritas anteriormente, ya que vinculadas a las rutinas diarias o a proyectos del
aula, tendrán sentido por ellas mismas y generarán algunos interrogantes que los alumnos/as,
con la ayuda del docente, y con la colaboración de los compañeros/as intentaran resolver, en
33
las que el desarrollo del pensamiento matemático se vincule a procesos de búsqueda y de
resolución en situaciones con sentido y con funcionalidad propia.
Evidentemente, la principal crítica o carencia que se puede presentar sobre el
contenido de esta editorial, es que no propicia este tipo de situaciones. Pero al margen de esta
afirmación y centrándonos en el contenido de los libros de texto que presenta, se exponen las
principales características observadas para obtener una visión más específica de la
composición del mismo y de la presencia de tareas en las distintas categorías y edades del
ciclo de Educación Infantil.
En primer lugar, se destaca que el porcentaje de fichas relativas a los conocimientos
espaciales es bastante elevado, la mayoría desarrolla técnicas de conocimientos topológicos,
pero el aspecto negativo se encuentra en que la totalidad de tareas se proponen en el
microespacio y no se desarrolla el aprendizaje de la importancia de establecer sistemas de
referencia. En cuanto al desarrollo de tareas sobre cuadrícula, que pueden generar importantes
conocimientos topológicos, incluso de proporcionalidad, paralelismo, perpendicularidad, etc.,
solo se hayan dos propuestas y para el nivel de 5 años. De esta manera, se constata que no se
trabajan problemas en el espacio “real”. A continuación, se aporta un gráfico que apoya estos
datos y muestra el análisis cuantitativo llevado a cabo sobre el material educativo de las tareas
relacionadas con conocimientos espaciales por edades.
TAREAS DE CONOCIMIENTOS ESPACIALES
8
7
6
5
4
3
2
1
0
3 AÑOS
4 AÑOS
Π1
Π2.1
Π2.2
5 AÑOS
Π2.3
Π2.4
Π3
Π4
Π5
Figura 26. Gráfico de tareas de conocimientos espaciales por edades.
En relación a conocimientos geométricos señalar que se reducen, en su gran mayoría,
a la identificación, dibujo o repaso del trazo de figuras poligonales elementales: cuadrado,
triángulo, círculo, rectángulo o incluso poliédricas: cubos, prismas, pirámides, etc., aunque en
34
menor medida. No aparecen técnicas basadas en conocimientos como ángulos, rectas,
traslaciones, giros, paralelismo, perpendicularidad, congruencia, etc. Tan solo aparecen cuatro
tareas para dibujar simetrías y no se presentan hasta el nivel de 5 años, como muestra el
siguiente gráfico:
TAREAS DE CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS
5
4
3
2
1
0
3 AÑOS
4 AÑOS
Π6.1
Π6.2
5 AÑOS
Π7.1
Π7.2
Π8
Π9
Figura 27. Gráfico de tareas de conocimientos geométricos por edades.
En relación a las tareas de discriminación, selección, clasificación, centración y
decantación, se destaca como demuestra el siguiente gráfico que el porcentaje de tareas no es
muy elevado, pero la carencia es menos notoria debido a que estos conocimientos se ponen en
funcionamiento aunque de manera secundaria para resolver tareas de otras categorías.
TAREAS DE DISCRIMINACIÓN, SELECCIÓN Y
CLASIFICACIÓN/ CENTRACIÓN Y DECANTACIÓN
4
3
2
1
0
3 AÑOS
4 AÑOS
Π10
5 AÑOS
Π11.1
Π11.12
Π15
35
Figura 28. Gráfico de tareas de discriminación, selección y decantación/ centración y decantación por edades.
Por último, se refleja el número de tareas presentes en la categoría de seriaciones en la
que todas se limitan como se ha comentado anteriormente a completar de forma mecánica
fichas similares y no trabajan de forma significativa los contenidos.
SERIACIONES
8
7
6
5
4
3
2
1
0
3 AÑOS
4 AÑOS
Π12.1
Π12.2
5 AÑOS
Π12.3
Π13
Π14
Figura 29. Gráfico de tareas de seriación.
Se puede comprobar de manera general a lo largo de este apartado y en mayor
profundidad revisando el documento completo, el esfuerzo realizado para llegar a obtener
estas conclusiones y lograr la finalización del trabajo. Sin duda, requiere gran tiempo y
dedicación la búsqueda de información y análisis del material, pero todo ese proceso permite
aplicar estos conocimientos adquiridos en el trabajo futuro como docente de una forma
profesional, contribuye a la adquisición de competencias, argumentos y técnicas de resolución
de problemas, aumenta la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes para emitir juicios
y reflexiones sobre esta temática. Además, una de sus finalidades es transmitir información
tanto a un público especializado como no especializado y su realización supone la adquisición
de habilidades para emprender estudios con alto grado de autonomía.
Por otro lado, a lo largo de este proceso de creación se observa el valor de saber
promover en el alumnado para un aprendizaje íntegro: la adquisición de hábitos básicos en
torno a la autonomía, la libertad, la curiosidad, la observación, la experimentación, la
imitación, el juego simbólico, la importancia de la interacción con los iguales y con los
adultos y la participación en actividades colectivas. También, a partir de la elaboración de
este documento se aprecia la importancia para el docente de saber informar a otros
profesionales especialistas para abordar la colaboración en el centro sobre el modelo de
36
enseñanza más apropiado, la utilidad de promover y colaborar en acciones dentro y fuera de
la escuela atendiendo a las necesidades de los estudiantes para transmitir seguridad,
tranquilidad y afecto que permita lograr mayor nivel de aprendizaje.
En definitiva, la elaboración de este trabajo supone ayuda para comprender las
matemáticas como un conocimiento sociocultural, para conocer los fundamentos científicos,
matemáticos y tecnológicos del currículo de esta etapa así como las teorías sobre la
adquisición y desarrollo de los aprendizajes correspondientes, para elaborar estrategias
didácticas que permitan desarrollar nociones espaciales, geométricas y de lógica, y por
último, para conocer ejemplos y prácticas innovadoras que puedan ser aplicadas en la
Educación Infantil.
10. BIBLIOGRAFÍA.
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Madrid: Ministerio de Educación y Ciencia.
39
ANEXO TAREAS
CONOCIMIENTOS ESPACIALES
TAREA Π1
3 años
Coloca a Mica y Pato para que estén junto a los otros niños/as.
TAREA Π2
Tarea Π2.1
3 años
4 años
Dibújate dentro del marco.
Dibujarse en el recuadro.
5 años
Dibujarse en el recuadro.
Tarea Π2.2
40
3 años
3 años
Completa las caras como en el modelo.
4 años
Completa las caras como en el modelo.
4 años
Completa las caras.
Dibuja las caras.
4 años
4 años
Completa la cara siguiendo el modelo.
Completa los dibujos como el modelo.
4 años
5 años
Completa siguiendo el modelo.
Completa las casillas siguiendo el modelo.
41
5 años
5 años
Completa siguiendo el modelo.
Completa como el modelo.
5 años
Completa las casillas como el modelo.
Tarea Π2.3
3 años
3 años
Rodea los semáforos distintos al modelo.
Rodea los que están en la misma posición que el modelo.
3 años
Rodea las señales que son iguales al modelo.
3 años
Rodea los que están en la misma posición que el modelo.
42
3 años
3 años
Busca los elementos del lateral.
Colorear los ordenadores que son iguales al modelo.
3 años
4 años
Colorea los símbolos iguales al modelo.
Rodea las mochilas que están en la misma posición que el
modelo.
4 años
Buscar las formas y colorearlas como se indica.
5 años
Rodear la figura que es igual que el modelo.
4 años
Rodear los que están en la misma posición que el modelo.
5 años
Rodear la figura que es igual que el modelo.
43
5 años
5 años
Marca la casilla que es igual que el modelo.
Completa las casillas como el modelo.
5 años
5 años
Une cada animal con su sombra.
Marca la casilla que es igual al modelo.
Tarea Π2.4
3 años
Recortar y ordenar las piezas para formar la escena.
3 años
Recortar y ordenar las piezas para formar la escena.
3 años
Recortar y ordenar las piezas para formar la escena.
3 años
Completar la escena colocando las piezas en su lugar.
44
4 años
Recorta y pega las imágenes para formar la escena.
4 años
Recortar las piezas y completar la escena.
4 años
Recortar las piezas y completar la escena.
5 años
Recortar las piezas y completar la escena.
45
5 años
Completar la escena colocando las piezas en su lugar.
TAREA Π3
3 años
Marca el camino para dejar la carta en el buzón.
3 años
Seguir el camino para ir al lugar adecuado según los
objetos que llevan.
4 años
Traza el camino que corresponde a su cartel.
4 años
Une cada acción con la enfermedad.
46
4 años
4 años
Marca el camino para llegar a las actividades que más te
Indica cómo puede protegerse del frío cada personaje.
gustan.
5 años
Marca el camino que lleva a cada persona a su lugar de trabajo.
TAREA Π4
4 años
4 años
Une cada niño/a con quien corresponde.
Une cada figura con su opuesta.
47
5 años
Colorear las tres casillas que corresponden al mismo niño/a de igual color.
TAREA Π5
Tarea Π5.1
Tarea Π5.2
5 años
5 años
Llevar el coche a la cochera siguiendo las indicaciones.
Completa el dibujo siguiendo la cuadrícula.
Tabla 2. Tareas de conocimientos espaciales.
48
CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS
TAREA Π6
Tarea Π6.1
3 años
3 años
Marca los objetos de forma circular.
Pega gomet en cada esquina del cuadrado grande y colorea
la galleta cuadrada.
3 años
4 años
Colorea el triángulo y marca las etiquetas de los bocadillos
Une cada elemento con su forma.
triangulares.
4 años
4 años
Marca las fotos triangulares.
Colorea las manchas de los juguetes que tienen forma
rectangular.
49
4 años
Colorea la etiqueta del objeto ovalado y repasa los óvalos de la flor.
Tarea Π6.2
3 años
4 años
Indica cuántas formas geométricas de cada tipo hay.
Colorea los cuadrados.
5 años
5 años
Indica cuántas formas geométricas hay de cada clase y
Coloca los rombos según su tamaño para completar el
dibuja una figura utilizando las formas indicadas
cuadro y repasa los rombos.
TAREA Π7
Tarea Π7.1
50
3 años
4 años
Dibuja las líneas que faltan a los triángulos.
Completa las formas y decóralas como en el modelo.
5 años
Completa para formar rombos.
Tarea Π7.2
3 años
4 años
Repasa el trazo de los triángulos.
Repasa el trazo y colorea los cuadrados amarillos y los
círculos verdes.
51
4 años
4 años
Repasa el trazo de los triángulos.
4 años
Repasa el trazo de los rectángulos.
5 años
Repasa el trazo de los óvalos.
Repasa el trazo de los rombos.
TAREA Π8
4 años
5 años
Une las figuras complementarias.
Une las fichas que se complementan y colorealas igual.
TAREA Π9
52
5 años
5 años
Completa la figura.
5 años
Une cada bota con el niño/a al que pertenece.
5 años
Termina de completar las caras teniendo en cuenta lo que
Completa el pelo de los niños según el trazo propuesto.
está dibujado.
Tabla 3. Tareas de conocimientos geométricos.
53
DISCRIMINACIÓN, SELECCIÓN Y CLASIFICACIÓN
TAREA Π10
3 años
4 años
Une con la mochila los elementos que se pueden guardar en
Colorea el elemento más grande y rodea el más pequeño.
ella por su tamaño.
4 años
5 años
Coloca los gomets en la pizarra adecuada.
Tacha las personas que no cumplen las normas indicadas en
los códigos.
5 años
Coloca los gomets que cumplan las características indicadas en los recuadros.
54
TAREA Π11
Tarea Π11.1
3 años
3 años
Identifica el color de la etiqueta de cada cesto con el color
Une los alimentos salados con el círculo verde y los dulces
de cada alimento.
con el rojo.
4 años
5 años
Coloca las pegatinas donde corresponda.
Pega en los conjuntos los gomets en función de su tamaño.
Tarea Π11.2
3 años
4 años
Dibuja las formas indicadas en las casillas y coloréalas
Completa la tabla siguiendo los criterios dados.
como corresponde.
55
4 años
4 años
Completa la tabla según tamaña y color de cada juguete.
Pinta las casillas de la tabla para indicar qué características
tiene cada animal.
5 años
5 años
Colorea las casillas de los sentidos que hay que emplear
Colorea la casilla adecuada según el cuerpo geométrico al
para conocer cómo es cada elemento.
que pertenece cada objeto fotografiado.
5 años
Colorea las casillas para indicar qué come cada animal.
Tabla 4. Tareas de discriminación, selección y clasificación.
56
SERIACIONES
TAREA Π12
Tarea Π12.1
3 años
3 años
Continua la serie.
Continua la serie.
3 años
4 años
Sigue la serie.
Sigue las series.
4 años
4 años
Continuar la serie.
Continuar la serie.
4 años
4 años
Sigue las series.
Continuar la serie.
57
4 años
4 años
Continuar las series.
Completa la serie.
5 años
5 años
Sigue la serie.
Sigue la serie.
5 años
5 años
Completa la serie.
Completa la serie.
Tarea Π12.2
3 años
4 años
Termina de colorear las formas de las construcciones como en
Dibuja las figuras que faltan.
el modelo.
58
5 años
Colorea las composiciones que son igual al modelo.
Tarea Π12.3
3 años
5 años
Pega los gomets según su forma.
Dibuja y pinta los círculos en el orden que se
encuentran en el ábaco, de arriba hacia abajo.
5 años
Dibuja la construcción.
TAREA Π13
59
3 años
Pega las imágenes para hacer la secuencia de unas maracas.
3 años
Recorta y completa la secuencia del nacimiento de un pollo.
4 años
4 años
Recorta las imágenes y ordena la secuencia.
Pega las imágenes para completar el proceso de
crecimiento de los seres vivos.
5 años
5 años
Recorta y pega las escenas ordenadas.
Pega las escenas ordenadas para completar la secuencia.
60
5 años
5 años
Recorta y pega las escenas ordenadas.
Recorta y pega las escenas ordenadas.
5 años
5 años
Recorta y pega las piezas para completar la escena.
Pega las escenas ordenadas.
TAREA Π14
3 años
4 años
Recorta y pega cuadrados para formar flores.
4 años
Completa y colorea los dibujos como el modelo.
5 años
Colorea las figuras según el modelo.
Dibuja la figura utilizando las formas indicadas.
61
5 años
5 años
Dibuja la construcción.
Dibuja la construcción.
Tabla 5. Tareas de seriación.
CENTRACIÓN Y DECANTACIÓN
TAREA Π15
3 años
5 años
Rodea tres diferencias entre las escenas.
Marca diferencias entre noche y día.
Tabla 6. Tareas de centración/decantación.
62