Trigonometría - Colegio Ntra. Sra. del Pilar

TRIGONOMETRÍA
4ESO
A = 90º
B + C = 90º
A + B + C = 180º
b
a
c
cos B =
a
sen B =
c
a
b
cos C =
a
sen C =
sen B = cos C
cos B = sen C
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
a) sen2
b) tg


=
+ cos2

b
=> tg
c
=1

b
sen
= a => tg  =
c
cos 
a
c) cos2  + sen2  =1 
1
cos 2 
sen 2
1
+
=
 1 + tg2 
2
2
cos 
cos 
cos 2 
=
1
cos 2 
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TRIGONOMETRÍA
4ESO
EJERCICIOS
1. Si sen  =0.6; hallar el coseno y la tangente.
SOLUCIÓN:
 + cos2  = 1; cos2  = 1 - sen2 
cos2  = 0.64  cos  = 0.64 = 0.8
sen
0 .6
tg  =
 tg  =
= 0.75
cos 
0 .8
sen2
2. tg

= 1 – 0.62= 1 – 0.36 = 0.64
= 1.6; calcular el seno y el coseno.
SOLUCIÓN:
1.6 =
sen
cos 

sen2
+ cos2
cos2  =
sen
; (1.6 cos  )2 = sen2  ; 2.56 cos2  = sen2

= 1  2.56 cos2  + cos2
1
3.56
1
; cos  =
3.56
 = 1.6 cos 
 sen
=
 = 0.85
1
3.56


= 1; cos2  (2.56 + 1) = 1
= 0.53
____
3. Sea el triángulo rectángulo
^
ABC donde la hipotenusa es a=5; y C =37;
^
calcular: b, c,
B.
SOLUCIÓN:
B = 90 – 37 = 53º
sen 53 =
cos 53 =
4. tg
=
c
5
b
5
 c = sen 53 * 5 = 4
 b = cos 53 * 5 = 3
4
; hallar el seno y el coseno.
3
SOLUCIÓN:
1
cos 2 
tg

=
4 9 16 25
9
3
=
+
=
 cos2  =
; cos  =
3 9 6 9
25
5
sen
3 4 4
 sen  = tg  * cos  =
* 
cos 
5 3 5
=1+
Simplificar:
a.
b.
2
sen3  + sen
 * cos2 
sen  ( sen2  + cos2  ) = sen  * 1 = sen 
cos3  + cos2  * sen  + cos  * sen2  + sen3 
cos2  (cos  + sen  ) + sen2  (cos  + sen  ) =
(cos  + sen  )(cos2  + sen2  ) = (cos  + sen  )
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TRIGONOMETRÍA
5.
4ESO
Demostrar:
sen2  - cos2  = sen2  - cos2 
a/
sen2  + cos2  = sen2  + cos2   1 = 1
sen  cos 
tg
=
;
2
2
cos   sen 
1  tg 
b/
sen  cos 
sen / cos 
=
cos 2   sen 2
sen  cos 2  cos 2   sen 2
;
=
;
sen
1  tg 2
1  tg 2
cos 2   sen 2
1-tg  =
=1-tg2 
2
cos 
Desarrollar:
2
6.
7.
1
;
tg 
a/
sen 
b/
sen
sen  cos 
=
= cos 
sen / cos 
sen 
cos 2 
;
1  sen
cos 2 
1  sen 2 (1  sen )  (1  sen )
=
=
= 1+sen 
1  sen
1  sen
1  sen

a/ ¿Puede ser el seno de un ángulo mayor que 1? ¿Y menor? ¿Y el coseno?
¿Y la tangente?
cateto  opuesto
, donde la hipotenusa es siempre mayor que los catetos;
hipotenusa
luego el seno estará entre cero y 1, al igual que el coseno. Por el contrario, la
sen
tangente es: tg  
, por lo que puede valor más de 1 si sen  > cos 
cos 
sen  =
sen  =2  cos  ; hallar el seno, el coseno y la tangente.
8.
sen2  + cos2  = 1  sen2  =1- cos2   sen  = 1 cos 2 
1 cos 2  = 2  cos  ; 1-cos2  = 4  cos 2  ; 5  cos 2  = 1   cos  =
sen  =2  cos  ; sen  = 2 *
tg  =
3
1
5
=
1
5
2
5
sen
2/ 5
=
=2
cos 
1/ 5
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TRIGONOMETRÍA
9.
4ESO
Dado este triángulo, conocidos sus dos catetos, de valor 3 y a, hallar su
altura h.
Hay dos maneras de hacerlo.
La primera, simplemente por medio del cálculo del
área.
A=
b  a 3 4 12
=
= =6
2
2
2
Por Pitágoras: L= 32  42 =5
También el área es:
L  h 5 h
12
=
= 6  12=5  h  h=
2
2
5
La segunda forma de resolverlo es por trigonometría: sen  =
entonces:
10.
4 h
12
=  12 = 5  h  h=
5 3
5
Si cos  = 0.707; hallar el coseno y la tangente.
sen  = 1 cos 2  = 1 0.5 =
tg  =
11.
4
h
; y también: sen  = ;
5
3
0.5 = 0.707
sen
0.707
=
=1
cos 
0.707
Tenemos un pentágono inscrito en una circunferencia de radio 8.
r=8.
Calcular la longitud del lado del pentágono L.
Primero, calculamos el ángulo a  a=
360
=36
10
L
L
sen  = 2  sen  =
 L = 16  sen  L = 16  sen36
16
8
4
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