Brousseau

Guy Brousseau
Universidad de Burdeos I
FUNDAMENTOS Y MÉTODOS DE LA DIDACTICA DE LAS
MATEMÁTICAS
Publicado con el título,
Fondements et méthodes de la didactiques des
mathématiques
en la revista,
Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 7, n. 2, pp. 33115, 1986.
Traducción:
Julia Centeno Pérez
Begoña Melendo Pardos
Jesús Murillo Ramón
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
Índice:
Capítulo 1: Objeto de los estudios en Didáctica
1.1. El saber matemático y la transposición didáctica
1 .2. El trabajo del matemático
1 .3. El trabajo del alumno
1 .4. El trabajo del profesor
1 .5. Algunas cuestiones preliminares ingenuas y fundamentales
Capítulo 2: Fenómenos en Didáctica
2.1. El efecto Topaze y el control de la incertidumbre
2.2. El efecto Jourdain o el malentendido fundamental
2.3. El deslizamiento metacognitívo
2.4. El uso abusivo de la analogía
2.5. El envejecimiento de las situaciones de enseñanza
Capítulo 3: Elementos para una modelización
3.1. Situación didáctica, situación a didáctica
3.2. El contrato didáctico
3.3. Un ejemplo de la devolución de una situación a didáctica
3.4. La epistemología de los profesores
3.5. Ilustración: el efecto Díenes
3.6. Heurística y didáctica
Capítulo 4:Coherencias e incoherencias de la modelización considerada: las paradojas
contrato didáctico
4.1. La paradoja de la devolución de las situaciones
4.2. Las paradojas de la adaptación de las situaciones
4.3.Las paradojas del aprendizaje por adaptación
4.4. La paradoja del comediante
Capítulo 5:Medios y métodos de la modelización de las situaciones didácticas
5.1. Situación fundamental correspondiente a un conocimiento
5.2. La noción de juego
5.3. El juego y la realidad: semejanza y desemejanza
5.4. Aproximación sistémica a las situaciones de enseñanza
Capítulo 6:
Las situaciones a didácticas
6.1 .Los subsistemas fundamentales
6.1.1. Esquemas clásicos
6.1.2. Primera descomposición propuesta
6.1.3. Necesidad del subsistema Medio a didáctico”
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6.1.4. Status de los conceptos matemáticos
6.2.Necesidad de distinguir diversoso tipos de situaciones a didácticas
6.2.1. Las interacciones
6.2.2. Las formas de conocimiento
6.2.3. La evolución de esas formas de conocimiento: el aprendizaje
6.2.4. Los subsistemas del medio
6.3.Primer estudio de los tres tipos de situaciones a didácticas
6.3.1. Esquema de acción
6.3.2. Esquema de la comunicación
6.3.3. Esquenma de la validación explícita
RESUMEN
Este texto es la primera parte de un estudio que trata de presentar los fundamentos y
métodos de la didáctica de las matemáticas.
Se trata de reunir un cierto número de conceptos introducidos desde hace ya algunos
años, y de organizarlos de manera que aparezcan como los elementos de una teoría.
El método de exposición elegido es bastante lento pues hace depender la
introducción de cada concepto nuevo de tres problemáticas distintas.
La primera es la de la pertinencia. Se trata en primer lugar de describir un cierto tipo
de relaciones humanas de tal modo que los conceptos de didáctica aparezcan como
medios útiles para esta descripción. Los ejemplos nuevos que la comunidad de
didácticos acumula desde hace diez años han permitido "mostrar" fenómenos de
didáctica: el envejecimiento, los efectos del contrato, ..., pero estas "observaciones"
aparecen o bien como excesivamente triviales, o como extrañas y singulares, si no se
articulan unas con otras de manera que proporcionen un verdadero método de análisis
de cualquier fenómeno de enseñanza.
Esta lectura surge de una segunda problemática, la de la exhaustividad. Se trata de
hacerlo de tal manera que todos los fenómenos pertinentes puedan ser tomados en
consideración.
La tercera problemática es la de la consistencia; es quizás la más nueva pues, si los
profesores, en el ejercicio de su profesión, utilizan los conceptos pertinentes que tienden
a permitir tratar todos los casos, no aseguran -ni tienen que asegurar- la carga de la
consistencia de estos conceptos.
El capítulo 1 ha esbozado los objetos de estudio de la Didáctica: la descripción y la
explicación de las actividades ligadas a la comunicación de los saberes y las
transformaciones, intencionales o no, de los protagonistas de esta comunicación, así
como las transformaciones del propio saber.
El capítulo 2 examina algunos fenómenos ligados a la actividad de la enseñanza
(efecto "Topaze", efecto "Jourdain", deslizamiento metadidáctico, uso abusivo de la
analogía, envejecimiento de las situaciones). Estos son los fenómenos que se producen
durante las actividades de enseñanza que determinan el campo a teorizar y no la
actividad misma.
El capitulo 3 estudia a continuación cómo reagrupar y jerarquizar la multitud de
condiciones a estudiar. Se trata en primer lugar de simplificar de manera suficiente las
primeras aproximaciones para, de una parte, aislar ciertas categorías de hechos
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
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explicables conjuntamente de manera casi independiente y de otra parte, permitir la
puesta en evidencia de las interacciones esenciales y los procesos.
Este texto realiza una inversión con relación a la tendencia clásica que consiste en
estudiar independientemente los subsistemas del sistema didáctico: el enseñado, el
enseñante, el medio, relativamente a un saber, para a continuación intentar derivar de
estos estudios comportamientos educativos o de aprendizaje.
En el capítulo 3 es el sistema completo el que se toma globalmente como objeto de
estudio y el recorte se hace en hiposistemas que llamamos "situaciones". Este estudio
permite el esclarecimiento, en el capítulo 4, de un cierto número de paradojas que
constituyen, de hecho, piedras de toque de cualquier teorización de los fenómenos
didácticos. Estas paradojas condenan a la didáctica a ser un proceso, una didáctica y no
solamente una interacción de sistemas.
En este momento, aparecen dos vías de estudio: la de las restricciones externas que
pesan sobre este proceso, y el de las restricciones internas. El capítulo 5 se centra en el
estudio de las restricciones internas: se trata de modelizar mediante juegos formales
estas relaciones locales que se establecen entre los protagonistas, después de utilizar
estas modelizaciones para una aproximación sistémica en la cual las cadenas de
acontecimientos necesarios son confrontadas a las cadenas de sucesos observados.
Aunque probablemente sea la más discutible, esta vía nos ha parecido la más útil
actualmente en la perspectiva de una producción efectiva de ingeniería y de métodos de
observación.
El capítulo 6 presenta a continuación los elementos fundamentales del estudio de las
situaciones: los tipos de situaciones a-didácticas (acción, formulación, validación).
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"La didáctica de las matemáticas" estudia las actividades didácticas, es decir, las
actividades que tienen por objeto la enseñanza, evidentemente en lo que tienen de
específicas respecto de las matemáticas.
Los resultados, en este dominio, son cada vez más numerosos, se refieren a los
comportamientos cognitivos de los alumnos, pero también a los tipos de situaciones
puestas en juego para enseñarles y sobre todo los fenómenos a los cuales da lugar la
comunicación del saber. La producción o la mejora de los medios de enseñanza
encuentra en estos resultados más que objetivos o medios de evaluación, encuentra en
ella un apoyo teórico, explicaciones, medios de previsión y de análisis, sugerencias,
incluso dispositivos y métodos.
CAPITULO 1
OBJETO DE LOS ESTUDIOS EN DIDÁCTICA
¿Cuál es el objeto de estos estudios? Incluso un examen muy superficial permitirá
comprender mejor su interés y su necesidad.
1.1 El saber matemático y la transposición didáctica.
El saber constituido se presenta bajo formas diversas, por ejemplo en forma de
preguntas y respuestas. La presentación axiomática es clásica en matemáticas.
Además de las virtudes científicas que se le conocen, parece perfectamente adaptada
a la enseñanza. Permite definir en cada instante los objetos que se estudian con ayuda de
las nociones previamente introducidas para organizar así la adquisición de nuevos
saberes sirviéndose de las adquisiciones anteriores. Proporciona al estudiante y a su
profesor un medio para organizar su actividad y acumular en un mínimo de tiempo un
máximo de “saberes” bastante próximos al “saber erudito”. Evidentemente, debe
completarse con ejemplos y problemas cuyas soluciones exijan la utilización de la teoría
axiomática dada.
Pero esta presentación elimina completamente la historia de los saberes, es decir, la
sucesión de dificultades y preguntas que han provocado la aparición de los conceptos
fundamentales, su empleo para plantear nuevos problemas, la introducción de técnicas y
cuestiones nacidas de los progresos de otros sectores, el rechazo de ciertos puntos de
vista que han resultado falsos o inadecuados, y las innumerables discusiones que han
ocasionado. Esta presentación enmascara el “verdadero” funcionamiento de la ciencia,
imposible de comunicar y de describir fielmente desde el exterior, para poner en su
lugar una génesis ficticia. Para hacer más fácil su enseñanza, aisla ciertas nociones y
propiedades del tejido de actividades en el cual tuvieron su origen, su sentido, su
motivación y su empleo. Las transpone al contexto escolar. Los epistemólogos llaman
transposición didáctica a esta operación. Operación que tiene su utilidad, sus
inconvenientes y su función, incluso para la construcción de la ciencia. Es a la vez
inevitable, necesaria y en un cierto sentido, deplorable, por lo que debe ponérsela bajo
vigilancia.
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1.2 El trabajo del matemático
• Antes de comunicar lo que piensa que ha encontrado, un investigador tiene que
determinarlo: no es fácil distinguir, en el laberinto de las reflexiones, cuáles son
susceptibles de convertirse en un saber nuevo, e interesante para los otros; las
demostraciones obtenidas, pocas veces coinciden con las conjeturas previas; hay que
proponerse toda una reorganización de los conocimientos más próximos, anteriores o
nuevos.
• También es necesario suprimir todas las reflexiones inútiles, la huella de los errores
cometidos y los caminos erráticos. Es necesario esconder las razones que han conducido
en una determinada dirección y las condiciones personales que han presidido el éxito,
problematizar hábilmente ciertos logros, incluso los más triviales, evitando, a la vez, las
trivialidades... Es necesario además encontrar la teoría más general en la que los
resultados sigan siendo válidos... De esta manera, el productor de saber despersonaliza,
descontextualiza y destemporaliza lo más posible sus resultados.
• Este trabajo es indispensable para que el lector pueda tener conocimiento de estos
resultados y se convenza de su validez sin necesidad de hacer el mismo recorrido para
su descubrimiento, beneficiándose sin embargo de las posibilidades que ofrece su
utilización.
• Otros lectores transforman a su vez estos resultados, los reformulan, los aplican y
los generalizan, según sus necesidades. Los destruyen si se presenta la ocasión, bien
identificándolos con los saberes ya conocidos, bien incluyéndolos en resultados más
generales, bien olvidándolos simplemente... e incluso demostrando que son falsos. De
esta forma la organización de los conocimientos depende, desde su origen, de las
exigencias que su trasmisión impone al autor. Esta no cesa, a su vez, de ser modificada
por los mismos motivos, hasta el punto de que su sentido cambia profundamente: la
transposición didáctica se desarrolla en gran parte en la comunidad científica y se
prosigue en los medios cultos (más exactamente, en la noosfera). El funcionamiento de
esta comunidad se basa en las relaciones generadas por un compromiso e implicación
personales y contextuales ligados a las cuestiones matemáticas y el rechazo de este
compromiso a la hora de producir un texto de saber lo más objetivo posible.
1.3 El trabajo del alumno
El trabajo intelectual del alumno debe ser, en cienos momentos, comparable a esta
actividad científica. Saber matemáticas, no es solamente aprender definiciones y
teoremas, para reconocer el momento de utilizarlos y aplicarlos; sabemos que hacer
matemáticas implica ocuparse de problemas. Sólo se hacen matemáticas cuando nos
ocupamos de problemas, pero se olvida a veces que resolver un problema no es más que
una parte del trabajo; encontrar buenas preguntas es tan importante como encontrar
soluciones. Una buena reproducción por el alumno de una actividad científica exigiría
que intervenga, que formule, que pruebe, que construya modelos, lenguajes, conceptos,
teorías, que los intercambie con otros, que reconozca los que están conformes con la
cultura, que tome los que le son útiles, etc.
Para hacer posible una actividad de este tipo, el profesor debe imaginar y proponer
a los alumnos situaciones que ellos puedan vivir y en las cuales los conocimientos
aparecerán como la solución óptima a los problemas propuestos, solución que el alumno
puede descubrir.
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1.4. El trabajo del profesor
El trabajo del profesor es en cierta medida inverso al del investigador, debe
producir una recontextualización y una repersonalización de los conocimientos. Estos
van a convertirse en conocimientos del alumno, es decir una respuesta natural, en unas
condiciones relativamente particulares, condiciones indispensables para que tengan un
sentido para él. Cada conocimiento debe surgir de la adaptación a una situación
específica, pues no se crea el concepto de probabilidad en el mismo tipo de contexto y
de relaciones con el medio que en los que se inventa o utiliza la aritmética o el álgebra.
• El profesor debe pues simular en su clase una micro sociedad científica si quiere
que los conocimientos sean medios económicos adecuados para proponer buenas
preguntas y para zanjar debates, si quiere que los lenguajes sean medios para dominar
situaciones de formulación y las demostraciones sean pruebas.
• Pero debe dar también a sus alumnos los medios para encontrar, en esta historia
particular que les ha hecho vivir, lo que es el saber cultural y comunicable que ha
querido enseñarles; los alumnos a su vez deben redescontextualizar y redespersonalizar
su saber y esto de tal modo que identifiquen su producción con el saber que impera en la
comunidad científica y cultural de su época.
• Por supuesto, se trata de una simulación que no es la “verdadera” actividad
científica, como tampoco el saber presentado de forma axiomática constituye el
“verdadero” saber.
1.5. Algunas cuestiones preliminares “ingenuas” y fundamentales
Esta forma de tratar la comunicación del saber parece bastante clásica. Requiere por
tanto algunas observaciones y plantea preguntas interesantes.
• En primer lugar se acentúan mucho en ella todas las actividades sociales y
culturales que condicionan la creación, el ejercicio y la comunicación del saber y de los
conocimientos.
• El enfoque clásico considera como central la actividad cognitiva del sujeto, que, en
primer lugar, debe ser descrita y comprendida de forma relativamente independiente.
Supone después, al menos implícitamente, que los conocimientos sobre el
conocimiento, necesarios para la enseñanza, deben establecerse también de manera
independiente, por ejemplo, por la matemática y la epistemología. Ocurre lo mismo con
los conocimientos sobre las relaciones sociales especificas de la educación, etc. El
enfoque clásico consiste, por tanto, en obtener consecuencias para la enseñanza de estos
saberes preliminares, haciéndolo directamente, es decir, con el único apoyo de
reflexiones “ingenuas”.
• Se trata de algo más que un matiz. ¿Los saberes importados de disciplinas
fundamentales permiten por sí mismos, sin modificaciones e independientemente los
unos de los otros, explicar fenómenos de enseñanza y producir de forma controlada las
modificaciones deseadas? ¿Por el contrario, es necesario, crear conceptos nuevos, un
campo de conocimientos y métodos cercanos (próximos a dichas disciplinas), para
estudiar las situaciones didácticas?
• Una de las hipótesis fundamentales de la didáctica consiste en afirmar que sólo el
estudio global de las situaciones que presiden las manifestaciones de un saber, permite
elegir y articular los conocimientos de orígenes diferentes, necesarios para comprender
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las actividades cognitivas del sujeto, así como el conocimiento que él utiliza y la forma
en que lo modifica.
• Una segunda hipótesis, más fuerte, consiste en decir que un primer estudio de las
situaciones (didácticas) debiera finalmente permitir derivar o modificar los conceptos
necesarios actualmente importados de otros campos científicos:
• ¿Existe una “variedad didáctica” de los conceptos de sentido, memoria, estructura,
decimal, etc, desconocida en lingüística, en psicología o en matemáticas?
• La enseñanza se concibe también como un proyecto social: que un alumno se
apropie de un saber constituido o en vías de constitución. Este punto de vista vuelve a
poner en el centro de las preocupaciones de la enseñanza los debates culturales y
políticos sobre el saber, pero tratándolos más bien como objetos de estudio que forman
parte de las situaciones que como preliminares filosóficos.
¿El aprendizaje no es esencialmente un acto individual? ¿Es necesario situarlo en un
contexto tan amplio para comprenderlo? ¿La enseñanza individual no es una especie de
condición óptima que sólo ciertas condiciones económicas impiden realizar?.
• Admitiendo incluso que algunos saberes sobre las situaciones de puesta en marcha,
de apropiación y de enseñanza de conocimientos, pueden jugar un cierto papel técnico,
como medio para la enseñanza, queda una cuestión importante: una vez que estos
saberes se han elevado al rango de objetos culturales, ¿no perturbarán profundamente la
comunicación e incluso quizás la construcción del saber?. Esto último está basado,
como hemos visto, en el rechazo y el olvido de las circunstancias que lo han provocado.
• ¿Por qué la posesión del saber, junto a una formación humanística, un poco de
sentido común y por supuesto a cualidades pedagógicas que ninguna enseñanza sabría
verdaderamente desarrollar, no sería suficiente para todos los profesores, con todos los
alumnos, como lo es para algunos?
Nos podemos preguntar en qué medida esta referencia al funcionamiento de la
investigación es realmente necesaria y pertinente para el estudio del aprendizaje y sobre
todo de la enseñanza. ¿Hasta qué punto hay una semejanza y en qué condiciones?.
Parece que para responder a estas cuestiones es indispensable una buena teoría
epistemológica acompañada de una buena ingeniería didáctica.
La didáctica estudia la comunicación de los saberes y tiende a teorizar su objeto de
estudio, pero no puede responder a este desafío más que con las siguientes condiciones:
- Poner en evidencia fenómenos específicos que parecen explicados por los
conceptos originales que propone,
- Indicar los métodos de pruebas específicas que utiliza para ello.
Estas dos condiciones son indispensables para que la didáctica de las matemáticas
pueda conocer de forma científica su objeto de estudio y permitir así acciones
controladas sobre la enseñanza.
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CAPITULO II
FENOMENOS DE DIDACTICA
Algunos fenómenos ligados al control de la transposición didáctica han podido ser
puestos en evidencia en marcos muy diferentes: el mismo fenómeno puede regir la
intimidad de una lección particular o afectar a toda una comunidad durante
generaciones.
• Identificar estos fenómenos viene a ser construir un “modelo” de los protagonistas
presentes, de las relaciones y de las obligaciones que los unen, y mostrar que el juego de
estas obligaciones produce muchos efectos en el desarrollo observado.
• En un texto relativamente corto es más cómodo tomar ejemplos ya conocidos de
los lectores, que exponer en su complejidad los casos realmente tratados.
2.1. El efecto “Topaze” y el control de la incertidumbre
La primera escena del célebre “Topaze” de Marcel Pagnol ilustra uno de los procesos
fundamentales: Topaze hace un dictado a un mal alumno. No pudiendo aceptar muchos
errores demasiado graves y no pudiendo tampoco dar directamente la ortografía pedida,
sugiere la respuesta disimulándola bajo códigos didácticos cada vez más transparentes:
“... des moutons étaient reunis dans un parc...”, en primer lugar se trata para el alumno
de un problema de ortografía y de gramática, “... des moutonsses étai-hunt...” ¡ el
problema ha cambiado completamente! Ante los repetidos fracasos Topaze mendiga una
muestra de adhesión y negocia a la baja las condiciones en las cuales el alumno acabará
poniendo una “s”. Se adivina que podría continuar exigiendo la repetición de la regla y
después hacerla copiar un cierto número de veces. El fracaso completo del acto de
enseñanza viene representado por una simple orden: pongan una “s” a “moutons”: el
profesor ha terminado por tomar a su cargo lo esencial del trabajo.
La respuesta que debe dar el alumno está determinada de antemano, el maestro elige
las preguntas a las cuales puede darse esta respuesta. Evidentemente los conocimientos
necesarios para producir estas respuestas cambian también su significado. Eligiendo
cada vez cuestiones más fáciles, trata de obtener el significado máximo para un máximo
de alumnos. Si los conocimientos pretendidos desaparecen completamente: es cl “efecto
Topare”. La conservación del sentido mediante cambios de preguntas supone el control
de los conocimientos de los maestros en la disciplina enseñada, pero la elección de las
situaciones de aprendizaje y su gestión habitualmente dejadas al “sentido común” de los
profesores, es actualmente objeto de activas investigaciones tanto teóricas como de
ingeniería didáctica.
2.2. El efecto “Jourdain” o el malentendido fundamental
El efecto “Jourdain” -llamado así refiriéndose a la escena de “El burgués
gentilhombre” donde el maestro de filosofía descubre a Jourdain la prosa y las vocaleses una forma de efecto Topaze.
El profesor, para evitar el debate sobre un conocimiento con el alumno y una
eventual constatación de fracaso, reconoce indicios de un cierto conocimiento en los
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comportamientos o en las respuestas del alumno, a pesar de que estén motivados por
causas y significaciones triviales.
Toda la comicidad de la escena está basada en el ridículo de esta sacralización
repetida de las actividades familiares en un discurso erudito.
Ejemplo: El alumno al que se le proponían manipulaciones un poco extrañas con
botes de yogures o cromos de colores oía que le decían: “acabas de descubrir un grupo
de Klein”.
• De forma menos llamativa, el deseo de insertar el conocimiento a través de
actividades familiares puede conducir al profesor a sustituir la problemática verdadera y
específica, por otra, por ejemplo metafórica o metonímica y que no da un sentido
correcto de la situación. A menudo las dos problemáticas están presentes, yuxtapuestas,
y el profesor intenta obtener el “mejor” compromiso.
• Ciertos métodos pedagógicos centrados en las preocupaciones del niño provocan
con frecuencia este efecto, pero la reforma de los años sesenta y el uso de las estructuras
matemáticas que proponía, han sido también evidentemente una poderosa iniciación a
este juego.
• Al mismo tiempo, la ideología estructuralista ofrecía una justificación
epistemológica. Se trata entonces de un doble efecto “Jourdain”: el primero, a nivel de
algunas relaciones del alumno con el profesor, el alumno trata un ejemplo y el maestro
ve en él su estructura. El segundo se refiere a las relaciones de los “didactas” o de los
matemáticos con el profesor. Los primeros aplican una justificación filosófica y
científica sobre la práctica del segundo y la sacralizan, el reconocimiento de la
estructura se convierte en actividad científica.
2.3. El deslizamiento metacognitivo
Cuando una actividad de enseñanza ha fracasado, el profesor quizás intente
justificarse, y para continuar su acción, toma sus propias explicaciones y sus medios
heurísticos como objetos de estudio en lugar del verdadero conocimiento matemático.
• Este efecto puede repetirse muchas veces, implicar a toda una comunidad y
constituir un verdadero proceso que se escapa del control de sus actores. El ejemplo más
sorprendente es probablemente el que concierne al uso de gráficos usado en los años 60
para enseñar las estructuras, método al que se ha asociado el nombre de G. Papy.
• Al final de los años 30, la teoría de conjuntos deja su función científica inicial para
convertirse en medio de enseñanza con el fin de satisfacer la necesidad que tienen los
profesores de una metamatemática y de un formalismo fundamental. Por ello se ven
obligados a invitar a los alumnos a un control semántico de esta teoría (llamada
entonces “ingenua”. Para evitar los errores, no es suficiente aplicar axiomas, hay que
saber de qué se habla y conocer las paradojas, sujetas a ciertos usos, para evitarlas. Un
tal control difiere bastante del control matemático habitual, más “sintáctico”. Este uso,
ya didáctico, de la teoría de conjuntos hará posible para las otras teorías, una exposición
axiomática cuya negociación será más clásica.
• Este medio de enseñanza se convierte en objeto de enseñanza para niños cada vez
más jóvenes. El control semántico se confía a un modelo que viene de Euler1 2 y que se
1
2
Cartas a una princesa de Alemania.
Círculos de Euler. Diagramas de Venn, “patatas” de Papy.
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refiere a grafos diversos. El “modelo” no es en realidad un modelo correcto, no permite
el control esperado y provoca dificultades de enseñanza. A causa de estas dificultades,
este “medio” se convierte a su vez en objeto de enseñanza y se recarga de convenciones,
de lenguajes específicos a su vez enseñados y explicados en cada etapa de difusión. En
este proceso, cuantos más comentarios y convenios produce la actividad de enseñanza,
menos pueden los alumnos controlar las situaciones que se les proponen.
• Es el efecto del llamado “deslizamiento metacognitivo”. Sería ingenuo creer que el
sentido común hubiera permitido librarse de las consecuencias bastante extravagantes a
las que este proceso ha conducido. La fuerza de los efectos didácticos es incontenible en
cuanto que el profesor no puede sustraerse a la obligación de enseñar cueste lo que
cueste. Cuanto más numeroso es el público comprometido en la negociación más difícil
se hace un control “ingenuo” del proceso.
Por otra parte el sentido común, como cualquier otro factor de corrección, no puede
jugar otro papel en los procesos sociales, sin la mediación de una estructura social
adecuada. Existen pruebas de que este tipo de “errores” no es efecto de la estupidez, ni
en la mayor parte de los casos de la ignorancia de la disciplina matemática; lo es más o
menos en la medida “en que la enfermedad es imputable a errores de comportamiento” si se permite utilizar una metáfora atrevida.
2.4. El uso abusivo de la analogía
La analogía es un excelente medio heurístico cuando se utiliza bajo el control del que
la usa. Pero su utilización en la relación didáctica hace de ella un peligroso medio de
producir efectos “Topaze”. Sin embargo es una práctica habitual: si los alumnos han
fracasado en su aprendizaje, hay que darles una nueva oportunidad sobre el mismo
tema. Ellos lo saben. Incluso si el profesor disimula el hecho de que el nuevo problema
se parece al anterior, los alumnos buscarán - es legítimo- los parecidos para trasladar -ya
preparada- la solución que se les ha dado. Esta respuesta no significa que la encuentren
idónea para la cuestión planteada, sino solamente que han reconocido en algunos
indicios, quizá completamente externos y no controlados, que el profesor quería que
produjeran esa respuesta.
• Los alumnos obtienen la solución por una lectura de las indicaciones didácticas y
no por una implicación personal en el problema. Y tienen interés en ello porque después
de varios fracasos con problemas parecidos, aunque no identificados ni reconocidos, el
profesor se apoyará en estas analogías continuamente repetidas, para reprochar al
alumno su insistencia en no dar la respuesta correcta (este efecto es utilizado por R.
Devos en su sketch de los dos extremos de una madera). “¡Hace ya tiempo que os lo he
dicho!”.
2.5. El envejecimiento de las situaciones de enseñanza
El profesor encuentra dificultades para reproducir la misma lección, aunque se trate
de alumnos distintos: la reproducción exacta de lo que ha dicho o hecho anteriormente
no tiene el mismo efecto y ocurre con frecuencia que los resultados son peores, y quizás
también, en consecuencia, experimenta una cierta reticencia a esta reproducción. Siente
una necesidad fuerte de cambiar al menos la formulación de su exposición o de sus
instrucciones, de los ejemplos, de los ejercicios y si es posible de la estructura misma de
la lección. Estos efectos aumentan con el número de reproducciones y son tanto más
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frecuentes cuanto que las lecciones comprenden más interacciones entre el profesor y el
alumno: las lecciones que comprenden una exposición seguida de ejercicios o una
simple instrucción seguida de una situación de aprendizaje, que no exigen la
intervención del profesor, envejecen con mayor lentitud. Este efecto ha sido observado
directamente en la escuela Jules Michelet de Talence, en numerosos casos en los que los
maestros estaban empeñados en reproducir una lección determinada. Pero los esfuerzos
de renovación intentados por los enseñantes en los casos en los que son libres en su
trabajo, son también un índice seguro y fácilmente observable.
Este fenómeno, como los precedentes, puede ser observado a nivel de una clase pero
también en el conjunto del sistema educativo y entre otros participantes: los programas
y las instrucciones ministeriales (o los curricula en otros países) son casi el único medio
de hacer explícitas las exigencias didácticas del cuerpo social para con los profesores y
el medio de ponerse de acuerdo para el reparto de las tareas entre ellos.
Teniendo en cuenta la complejidad de los mecanismos que se deben controlar, estos
textos generalmente bastante cortos y que deben dejar abierto lo esencial de las
cuestiones pertinentes, resultan completamente inadecuados. Sus modificaciones
periódicas son insignificantes si se las compara entre ellas o se las compara con la
importancia que parecen concederles los profesores y la administración. Desde 1890 los
textos para la escuela primaria sólo ofrecen diferencias mínimas en lo esencial y no
difieren más que en matices.
Las modificaciones de los programas constituyen la proyección de los deseos de los
profesores de renovar las situaciones didácticas como respuesta al “envejecimiento” de
sus clases.
La enorme desproporción existente entre un compromiso personal con esta novedad
y la estabilidad sorprendente de las prácticas de enseñanza, es también un índice de las
restricciones que intervienen en la regularización del envejecimiento: el tiempo de
respuesta a toda modificación del sistema educativo es muy elevado y las retroacciones
muy débiles y aleatorias. La mejor garantía contra el desvío es una inercia importante.
Pero la actividad de enseñanza reclama por sí misma una entrega personal intensa del
profesor que no puede mantenerse si no se renueva. La reproducción exige por tanto una
cierta renovación que puede comprometer futuras reproducciones. Al no conocerse los
medios de equilibrio, el sistema tiende a renovarse por factores que no tienen mucha
influencia en el objeto principal de la enseñanza. Y así, las modificaciones del programa
obedecen a procesos semejantes a los de la moda con relación a la ropa.
La cuestión del envejecimiento y el efecto del tiempo didáctico3 plantea una cuestión
esencial para la didáctica: ¿qué es lo que se reproduce realmente durante una lección?
Un profesor que reproduce la misma historia, la misma sucesión de actividades y las
mismas declaraciones por su parte y por parte de los alumnos, ¿ha reproducido el
mismo hecho didáctico? Y, éste, ¿ha producido los mismos efectos desde el punto de
vista del sentido?4
No existe un medio simple para diferenciar una buena reproducción de una lección
-que dé en las mismas condiciones un desarrollo idéntico y también un mismo sentido a
los conocimientos adquiridos por el alumno- de una mala reproducción de esta lección 3
Objeto de investigaciones de Y. Chevallard et A. Mercier.
Esta cuestión se estudia en el articulo “Didáctica de los decimales: la obsolescencia de las
situaciones. Ha sido tratada después por M. Artigue en su tesis sobre la reproductibilidad.
4
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que, en las mismas condiciones, da un desarrollo idéntico pero un sentido diferente a los
conocimientos adquiridos-. En el segundo caso, la semejanza del desarrollo se obtiene
por discretas pero repetidas intervenciones del profesor, que transforman toda la
situación sin afectar aparentemente a su “historia”.
Saber lo que se ha reproducido en una situación de enseñanza es justamente el objeto
de la didáctica, que no es resultado de observación sino de un análisis que se apoya en el
conocimiento de los fenómenos que definen lo que dejan invariante.
CAPITULO III
ELEMENTOS PARA UNA MODELIZACION
Estos diferentes fenómenos se pueden observar tanto en las relaciones particulares
entre dos personas como en las relaciones, mucho más complejas, en las que están
implicados organismos y cientos de personas.
¿Es posible “modelizar” todo un sistema educativo por un sistema “enseñante”
definido por algunas de las relaciones que mantiene con un sistema “enseñado” que
representa centenares de alumnos cuya diversidad parece ser precisamente la primera
fuente de las dificultades de los enseñantes? Es un desafío ineludible del proceso de
teorización. Los problemas que suscitan los enfoques sistémicos en los que este método
se inspira, se estudiarán más adelante.
La forma en que hemos descrito rápidamente estos fenómenos prepara su
modelización. Se trata ahora de identificar las relaciones fundamentales que hay que
retener.
Conviene, sin embargo, abstenerse todavía de una formalización excesiva y
prematura. Una formulación más rigurosa intervendrá en una etapa posterior.
3.1. Situación didáctica. Situación a-didáctica
En la concepción más general de la enseñanza, el saber es una asociación entre
buenas preguntas y buenas respuestas. El enseñante plantea un problema que el alumno
debe resolver, si el alumno responde, muestra así, que sabe; si no, se manifiesta una
necesidad de saber que pide una información, una enseñanza. A priori, todo método que
permita memorizar asociaciones favorables, es aceptable.
La mayéutica socrática limita estas asociaciones a las que el alumno puede efectuar
por sí mismo. Esta restricción tiene por objeto garantizar la comprensión del saber por
el alumno, puesto que él lo produce. Pero ello nos conduce a suponer que el alumno
poseía ya ese saber, ya porque lo tuviera desde siempre (reminiscencia), ya porque lo
haya construido él mismo por su actividad propia y aislada. Todos los procedimientos
en los que el maestro no da él mismo la respuesta, son aceptables para que el alumno
alumbre el saber.
El esquema socrático puede perfeccionarse si se supone que el alumno es capaz de
obtener su propio saber de sus propias experiencias, de sus propias interacciones con su
medio, incluso si este medio no está organizado para los fines del aprendizaje: el
alumno aprende mirando al mundo (hipótesis empírico-sensualista) o haciendo hipótesis
entre las que su experiencia le permite elegir (hipótesis apriorista) o también, en una
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
14
interacción más compleja hecha de asimilaciones y de acomodaciones tales como las
que Piaget ha descrito.
El alumno aprende, adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de
dificultades, de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad humana. Este
saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son la
prueba del aprendizaje.
Este proceso psicogenético piagetiano es lo opuesto al dogmatismo escolástico. Uno
no parece deber nada a la intención didáctica, en tanto que el otro lo debe todo.
Atribuyendo al aprendizaje “natural” lo que se apoya en el arte de enseñar según el
dogmatismo, la teoría de Piaget corre el riesgo de descargar al maestro de toda
responsabilidad didáctica: ¡Esto constituye una paradójica vuelta a un tipo de
empirismo! Pero un medio sin intenciones didácticas es claramente insuficiente para
inducir al alumno en todos los conocimientos culturales que se desea que él adquiera.
La concepción moderna de la enseñanza va por tanto a pedir al maestro que provoque
en el alumno las adaptaciones deseadas, con una elección acertada de los “problemas”
que le propone. Estos problemas, elegidos para que el alumno pueda aceptarlos, deben
hacerle actuar, hablar, reflexionar, evolucionar por sí mismo. Entre el momento en que
el alumno acepta el problema como suyo y aquél en el que produce su respuesta, el
maestro rehúsa intervenir proponiendo los conocimientos que quiere ver aparecer. El
alumno sabe bien que el problema ha sido elegido para hacerle adquirir un
conocimiento nuevo, pero debe saber también que este conocimiento está enteramente
justificado por la lógica interna de la situación y que puede construirlo sin atender a
razones didácticas. No sólo puede, sino que también debe, pues sólo habrá adquirido
verdaderamente este conocimiento cuando él mismo sea capaz de ponerlo en acción, en
situaciones que encontrará fuera de todo contexto de enseñanza, y en ausencia de
cualquier indicación intencional. Tal situación es llamada a-didáctica5.
Cada conocimiento puede caracterizarse por una o más situaciones a-didácticas que
preservan su sentido y que llamaremos situaciones fundamentales. Pero el alumno no
puede resolver de golpe cualquier situación a-didáctica, el maestro le procura entre las
situaciones a-didácticas, aquéllas que están a su alcance. Estas situaciones a-didácticas,
ajustadas a fines didácticos, determinan el conocimiento enseñado en un momento dado
y el sentido particular que este conocimiento va a tomar, debido a las restricciones y
deformaciones aportadas a la situación fundamental.
La situación o el problema elegido por el profesor es una parte esencial de la
siguiente situación más amplia: el maestro busca devolver al alumno una situación adidáctica que provoque en él una interacción lo más independiente y lo más fecunda
posible. Para ello, comunica o se abstiene de comunicar, según el caso, informaciones,
preguntas, métodos de aprendizaje, heurísticas, etc. En consecuencia, el enseñante está
implicado en un juego con el sistema de interacciones del alumno con los problemas
que él le ha planteado. Este juego o esta situación más amplia es la situación didáctica.
El alumno no distingue al principio, en la situación que vive, lo que es de naturaleza
a-didáctica y lo que es de origen didáctico. La situación a-didáctica final de referencia,
la que caracteriza el saber, puede estudiarse de forma teórica. Pero en la situación
5
En el sentido de que desaparece de ella la intención de enseñar. (Es siempre específica del
saber). Una situación pedagógica no específica de un saber no se llamará a-didáctica sino
solamente no didáctica.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
15
didáctica, tanto para el maestro como para el alumno, es una especie de ideal hacia el
que se trata de converger: el enseñante debe sin cesar ayudar al alumno a despojar en
cuanto sea posible la situación de todos los artificios didácticos para dejarle el
conocimiento personal y objetivo.
El contrato didáctico es la regla de juego y la estrategia de la situación didáctica. Es
el medio que tiene el maestro de ponerla en escena. Pero la evolución de la situación
modifica el contrato, que permite entonces obtener situaciones nuevas. De igual forma,
el conocimiento es lo que se expresa por las reglas de la situación a-didáctica y por las
estrategias. La evolución de estas estrategias requiere producciones de conocimientos
que permiten a su vez la concepción de nuevas situaciones a-didácticas.
El contrato didáctico no es un contrato pedagógico general; depende estrechamente
de los conocimientos en juego.
En la didáctica moderna, la enseñanza es la devolución al alumno de una situación adidáctica correcta; el aprendizaje es una adaptación a esta situación. Veremos más
adelante que se pueden concebir estas situaciones como juegos formales y que esta
concepción favorece la comprensión y el dominio de las situaciones de enseñanza.
3.2. El contrato didáctico
Así pues en todas las situaciones didácticas el profesor intenta hacer saber al alumno
lo que quiere que haga. Teóricamente el paso de la información y de la consigna del
profesor a la respuesta esperada, debería exigir por parte del alumno la puesta en acción
del conocimiento buscado, ya sea éste conocido o en vías dc aprendizaje. Sabemos que
el único medio de “hacer” matemáticas es buscar y resolver ciertos problemas
específicos y, a este respecto, plantear nuevas cuestiones. El maestro debe por tanto
efectuar no la comunicación de un conocimiento, sino la devolución de un buen
problema. Si esta devolución se lleva a cabo, el alumno entra en el juego y si acaba por
ganar, el aprendizaje se ha realizado.
• Pero, ¿y si el alumno rehúsa o evita el problema, o no lo resuelve?. El maestro tiene
entonces la obligación social de ayudarle e incluso a veces de justificarse por haber
planteado una cuestión demasiado difícil.
• Entonces se establece una relación que determina -explícitamente en parte pero
sobre todo implícitamente- lo que cada protagonista el enseñante y el enseñado, tiene la
responsabilidad de administrar y de lo que será responsable delante del otro de una
forma u otra. Este sistema de obligaciones recíprocas se parece a un contrato. Lo que
nos interesa aquí es el contrato didáctico, es decir, la parte de este contrato que es
específica del “contenido”: el conocimiento matemático buscado.
Por esta razón no podemos detallar aquí estas obligaciones recíprocas, además lo
importante son las rupturas de contrato. Pero examinaremos algunas consecuencias
inmediatas de ellas:
• El profesor se supone que crea las condiciones suficientes para la apropiación de
conocimientos y debe “reconocer” esta apropiación cuando se produce.
• Se supone que el alumno puede satisfacer estas condiciones.
• La relación didáctica debe “continuar” cueste lo que cueste.
• El profesor asegura así que las adquisiciones anteriores y las condiciones nuevas
dan al alumno la posibilidad de la adquisición.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
16
Si la adquisición no se produce, se abre un proceso al alumno que no ha hecho lo que
se esperaba y también al profesor que no ha hecho lo que tenía que hacer
(implícitamente).
Señalemos que este juego de obligaciones no es exactamente un contrato: primero,
no puede hacerse completamente explícito, desde el momento en que pretende referirse
al resultado de la acción de enseñar. No existen medios conocidos y suficientes para
construir de manera automática saberes nuevos. Tampoco se conocen medios para
obtener que el alumno se apropie de un saber deseado de tal forma que funcionen
siempre y contra todas las dificultades posibles. Y si el contrato no se establece más que
sobre reglas de comportamiento del alumno o del profesor, su respeto escrupuloso
condenará la relación didáctica al fracaso.
Es necesario sin embargo que el profesor acepte la responsabilidad de los resultados
y que asegure al alumno los medios efectivos de la adquisición de conocimientos. Esta
seguridad es falaz pero indispensable para permitir al alumno hacerse responsable. Del
mismo modo, es necesario que el alumno acepte la responsabilidad de resolver los
problemas de los que no se le ha enseñado la solución aunque no vea, a priori, las
opciones que se le proponen y sus consecuencias, y que esté por tanto en un caso
patente de irresponsabilidad jurídica.
Veremos que un contrato de este género, totalmente explícito está condenado al
fracaso. En particular las cláusulas de ruptura y de realización del contrato no pueden
ser descritas con anterioridad. El conocimiento será justamente lo que resolverá la crisis
nacida de estas rupturas que no pueden estar predefinidas. Sin embargo en el momento
de estas rupturas todo pasa como si un contrato implícito uniera al profesor y al alumno:
sorpresa del alumno que no sabe resolver el problema y que se rebela porque el profesor
no le ayuda a ser capaz de resolverlo, sorpresa del profesor que estima sus prestaciones
razonablemente suficientes..., rebelión, negociación, búsqueda de un nuevo contrato que
depende del “nuevo” estado de los saberes... adquiridos y apuntados.
El concepto teórico en didáctica no es pues un contrato (bueno, malo, verdadero o
falso) sino el proceso de búsqueda de un contrato, hipotético. Este proceso es el que
representa las observaciones y el que las debe modelizar y explicar.
3.3. Un ejemplo de la devolución de una situación a-didáctica
En un juego de microordenadores, unos niños (5 años), con un lapicero óptico, deben
conducir uno a uno, conejos a un prado y patos a una charca. Las reglas de la
manipulación no presentan dificultades insalvables a esta edad. Los niños pueden
interpretar que la desaparición y la reaparición de un animal en otro lugar, corresponde
a un desplazamiento. Pero pronto pasa a ser otra cosa más que una manipulación según
una regla: el profesor quiere que el alumno señale todos los conejos uno tras otro y sólo
una vez, antes de dirigirlos hacia el prado, con el fin de desarrollar en él la enumeración
de una colección. La sucesión de las operaciones a efectuar no se da en la consigna, está
a cargo del alumno. La devolución de esta tarea se hace por etapas.
Primera etapa: Acercamiento puramente lúdico
Los alumnos no han comprendido todavía que entre los resultados del juego algunos
son deseables: todos los conejos van al prado y juegan al corro, y otros son no
deseables: los conejos olvidados se ponen rojos y emiten gruñidos. Los niños juegan,
puntean los conejos y están felices de provocar un efecto cualquiera, el que sea.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
17
Segunda etapa: Devolución de una preferencia
Los alumnos han comprendido bien cual es el efecto deseado (por ejemplo, se ha
suprimido todo efecto de falsas manipulaciones) pero atribuyen los resultados, buenos o
malos, a una especie de fatalidad o casualidad.
Esta clase de interpretación es adecuada para numerosos juegos: “la batalla” o los
“caballitos”, el placer nace de la espera de lo que le reserve la suerte, mientras que el
jugador no toma ninguna decisión.
Tercera etapa: Devolución de una responsabilidad y de una causalidad
Para aceptar una responsabilidad en lo que le acontece, el alumno debe considerar lo
que hace como una elección entre diversas posibilidades, y luego considerar una
relación de causalidad entre las decisiones que ha tomado y sus resultados.
En esta etapa, los alumnos pueden, después considerar que el desarrollo del juego
hubiera podido ser diferente. Esto supone que pueden acordarse de algunas de sus
acciones y más precisamente de lo que, en ellas, era pertinente o no.
Esta devolución es delicada: la mayor parte de los niños están dispuestos a aceptar
del maestro la idea de que son responsables del resultado del juego, aunque sean
incapaces de establecer en qué momento hubieran podido obtener un mejor resultado,
con una elección apropiada por su parte. Ahora bien, sólo el conocimiento de esta
relación justificaría la transferencia de responsabilidad.
Si el alumno resuelve con rapidez el problema, el hecho de haber aceptado a priori el
principio de su responsabilidad no ha sido más que un prólogo necesario del
aprendizaje, esto último llega a justificar después su responsabilización, dando al
alumno los medios de asumirla y finalmente de escapar de la culpabilidad.
Pero, para el alumno que no puede salvar la dificultad y relacionar por el
conocimiento su acción a los resultados obtenidos, la responsabilización debe ser
renegociada bajo pena de provocar sentimientos de culpabilidad y de injusticia muy
rápidamente perjudiciales en los aprendizajes posteriores y en la noción misma de
causalidad.
Cuarta etapa: Devolución de la anticipación
La relación entre la decisión y el resultado debe ser considerada antes de la decisión,
el alumno toma a su cargo anticipaciones que excluyen toda intervención oculta. Incluso
si no está del todo dominada, la anticipación es considerada como responsabilidad
cognitiva del jugador y no sólo su responsabilidad social.
Quinta etapa: Devolución de la situación a-didáctica
Para ganar en el juego de los conejos, el alumno debe efectuar la enumeración de una
colección. Pero no es suficiente con que lo haga una vez “por casualidad”. Es necesario
que sepa reproducirlo a voluntad, en circunstancias variadas. Es necesario que sea
consciente de este poder de reproducción y que tenga un conocimiento, al menos
intuitivo, de las condiciones que le permiten buenas posibilidades de éxito. El alumno
debe reconocer los juegos que acaba de aprender. Pero esto que sabe hacer, no le ha sido
nombrado, identificado y sobre todo no le ha sido descrito como un procedimiento
“fijo”. Así, la devolución no se hace sobre el objeto de enseñanza sino sobre las
situaciones que lo caracterizan. Se ha elegido este ejemplo para distinguir bien los
diferentes componentes de la devolución. La enumeración no es un concepto
matemático culturalmente muy importante, interviene en la enseñanza bastante tarde
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
18
con diferentes lenguajes y problemáticas diferentes. Ni el vocabulario ni los
conocimientos formales llegan por tanto a perturbar el objeto de la enseñanza.
El niño, antes de este aprendizaje, había podido “enumerar” las colecciones
desplazando los objetos o señalándolos de forma que siempre tuviera una
materialización cómoda del conjunto que le quedase por enumerar. Pero aquí, debe
efectuar la misma tarea mentalmente, sus representaciones deben extenderse a un
control intelectual mucho más complejo: buscar un primer conejo fácil de situar,
después otro, de tal manera que se acuerde que estos dos han sido ya tomados; buscar
otro bastante próximo a los primeros y formando con ellos una disposición (grupito,
línea) que le permitan no perderles “de vista”, mientras busca un cuarto, que entra a su
vez en la estructura con el fin de no volver a coger un conejo ya tomado y que le
permita saber si quedan todavía.
Esta “tarea”, no puede describirse como un procedimiento ni puede incluso mostrarse
ya que: enumerar una colección ante un niño no le da ninguna idea de los medios de
control que debe adquirir.
En este ejemplo, la devolución de la situación a-didáctica, puede ser observada
independientemente de la devolución del objeto de enseñanza (que no puede hacerse en
este momento). Ni el profesor ni el alumno pueden identificar, a no ser por el éxito de
una tarea compleja, lo que se enseña y lo que se debe conocer o saber.
Un poco más tarde, las enumeraciones, en tanto que producciones pueden llegar a ser
objetos de estudio para el alumno. Puede reconocer las que son iguales o diferentes, las
que son correctas o las que llevan al fracaso... concebir y comparar métodos... y conocer
-después- el objeto de enseñanza ligado al juego de los conejos. Podrá abordar
problemas de enumeración y de combinatoria más próximos a los problemas científicos
y definir entonces lo que él debe aprender, lo que debe resolver y lo que se le pide que
sepa. Estas devoluciones de objetos de estudio, de objetos de saber y de objetos de
enseñanza, deberían poder interpretarse como devoluciones de situaciones a-didácticas
de otro tipo.
3.4. La epistemología de los profesores
El profesor está obligado a hacer explícito al alumno un método de producción de la
respuesta: cómo responder mediante conocimientos anteriores, cómo comprender,
construir un conocimiento nuevo, cómo” aplicar” las lecciones anteriores, reconocer las
preguntas, cómo aprender, adivinar, resolver, etc. Se refiere así a un funcionamiento
implícito de las matemáticas o a un modelo -como la geometría elemental- construido
para el uso que se hace de él: resolver los conflictos del contrato didáctico.
• Esta “epistemología del profesor” -para uso profesional- debe ser también de hecho
la del alumno y la de sus padres. Debe estar presente en la cultura para permitir que las
justificaciones funcionen y sean aceptadas. El profesor no es libre de cambiarlas a su
antojo. Se comprende que esta epistemología tiene pocas posibilidades de ser
consistente y por lo tanto de servir de base a una teoría didáctica.
• Por lo tanto para enseñar los conocimientos, un profesor debe reorganizarlos con el
fin de que se presten a esta descripción, a esta “epistemología”. Es el inicio del proceso
de modificación de los conocimientos lo que cambia su organización, la importancia
relativa, la presentación, la génesis... en función de las necesidades del contrato
didáctico. A esta transformación la hemos llamado transposición didáctica.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
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Señalemos que a priori, la práctica empírica de la enseñanza de las matemáticas,
cualquiera que sea la calidad científica de los profesores, no les conduce
espontáneamente a construir una simulación correcta de la génesis de las nociones. Por
el contrario, es grande la tentación de economizar el doble trabajo -de
recontextualización y redescontextualización- y de hacer aprender directamente un texto
de saber. Para respetar las otras obligaciones del contrato se proponen problemas a los
alumnos, pero sus soluciones pueden encontrarse por procedimientos que economizan el
conocimiento específico de la noción (como en el ejemplo de la analogía). La solución
está escondida bajo una ficción didáctica conocida por el alumno y que sirve en el
momento de la negociación. Puesto que el maestro debe “probar” al alumno que le era
posible responder y aprender el saber considerado, debe al menos poderle decir “a
priori” el cómo hacerlo. Ciertamente, si la solución está articulada como un texto
matemático, ella misma comprende la justificación científica correcta del resultado,
pero muchos alumnos obtienen “la respuesta no por el razonamiento matemático
deseado”, sino por la decodificación de la convención didáctica.
3.5. Ilustración: el efecto “Dienes”
El estudio de las concepciones de Dienes y de los ecos que despertaron en los
enseñantes en el marco de la reforma de los años 70 son muy significativos a este
respecto [Cf. Maudet y Brousseau].
Por su “proceso psicodinámico”, Dienes propone un proceso de aprendizaje fundado
en el reconocimiento de las semejanzas entre "juegos estructurados” y después sobre la
esquematización y la formalización de estas “generalizaciones” dirigidas.
Se trata de hecho de una descripción y de una sistematización de ciertas prácticas de
enseñanza ya en uso, como la repetición de problemas o ejemplos semejantes para
inducir una respuesta tipo, acompañada de una traducción en términos matemáticos: los
problemas semejantes se convierten en “isomorfos” y una generalización en un “paso al
cociente”. La teoría de conjuntos y las estructuras fundamentales se convierten en el
medio de describir todos los elementos de la situación de enseñanza que, a su vez, los
ilustran perfectamente.
Esta traducción implica una confusión sistemática entre la estructura de la situación
(el juego), la estructura de la tarea, el proceso intelectual, y el conocimiento mismo (en
tanto que estructura matemática). Por lo tanto conduce implícitamente a erigir los
fundamentos de las matemáticas, tales como fueron concebidos en su momento, en un
modelo universal, tanto como medio de descripción y de organización de las
matemáticas (la lógica), como medio de su construcción y de su funcionamiento
(epistemología), como medio de explicar el funcionamiento psicológico del alumno
respecto de ellas (psicología cognitiva), como medio de describir el proceso de
aprendizaje y las etapas de desarrollo de un conocimiento (epistemología genética) y
finalmente como medios didácticos de obtener el aprendizaje.
La epistemología espontánea de los profesores se encuentra así repentinamente
justificada, “sacralizada” por su reformulación en términos “científicos” y puesta de
nuevo milagrosamente de acuerdo con todos los dominios susceptibles de discutirla.
Este hecho fue una de las causas del éxito inicial de las propuestas de Dienes.
Una tal didáctica es independiente de los contenidos. Conduce incluso al profesor a
acentuar las variables no pertinentes de la situación matemática (aquellas que no la
modifican) en detrimento de las condiciones especificas (“principio de variabilidad”). Y
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
20
finalmente esto no es más que un método de presentación de los saberes que favorece su
memorización.
El hecho más evidente en la utilización de este método es el siguiente: sólo los
prosélitos del método son capaces de hacerlo funcionar con éxito. Cualquier utilización
“servil” de los materiales de Dienes conduce a decepciones y a fracasos.
El análisis en términos de contrato didáctico puede proponer una explicación de este
hecho.
El método didáctico de Dienes, apoyándose en el “proceso psicodinámico” no deja
explícitamente al maestro otro papel que el de la elección de los materiales, la
presentación de las fichas, los estímulos usuales... El método debe obrar en virtud de un
proceso interno del sujeto ineluctable una vez que las condiciones de entrada han sido
satisfechas: presentación repetida de juegos estructurados, petición de
esquematización..., etc. De esta forma este método libera al maestro de la
responsabilidad técnica de obtener él mismo el aprendizaje esperado. Puede presentar
sus ejercicios, esperar, ... proporcionar eventualmente las respuestas acompañadas de
una pequeña explicación, enviar a la ficha siguiente, organizar el juego
correspondiente... pero el contrato de enseñanza no le liga más a la evolución del
comportamiento cognitivo que se supone está a cargo del “juego”. Por el contrario, debe
dejar al alumno pensar por sí mismo. Ahora bien, los juegos de Dienes no resultan
satisfactorios con frecuencia porque postulan que las reglas que se proponen al alumno para jugar- son las mismas que las que es necesario enseñarle. ¡La estructura del juego y
la que “es” el saber son idénticas! La comprensión de la regla, condición para actuar,
exige previamente, por parte del alumno, el conocimiento que se pretende enseñarle.
Por tanto, si el maestro enseñara primero la regla, el juego se trasformaría en un
ejercicio. Para evitar esto, intenta hacer adivinar la regla -actividad que no está teorizada
en el proceso psicomatemático-.
Pero la insuficiencia teórica y práctica de los juegos de Dienes no explica sólo que
los fracasos sean observados menos frecuentemente en los prosélitos del método que en
los usuarios conscientes pero no comprometidos. Un profesor que tiene confianza en el
proceso psico-dinámico se contenta con proponer al alumno las fichas y los juegos y
espera que el efecto anunciado, la generalización o la correcta formalización, se
produzca. Se produce mal a causa de la ruptura de la negociación ligada a una
disminución de la presión que ejerce el maestro.
El contrato de enseñanza puede subsistir si el maestro se preocupa de los resultados
cuantitativos del alumno, pero la articulación de los conocimientos y su génesis siguen
siendo ignorados. Por el contrario la acción “militante” de un profesor decidido a
mostrar que el método es eficaz le conduce a restaurar este debate. La insuficiencia de
las situaciones a-didácticas propuestas en lo que concierne a la justificación y a la
significación de los conocimientos deseados no impide al discurso del maestro darles un
sentido y un lugar suficiente para un aprendizaje, pero esto provoca en ciertos casos el
error a nivel de contrato.
Es cierto, sin embargo, que si las situaciones fueran matemáticamente incorrectas
ninguna “devolución” permitiría a los juegos de Dienes producir el conocimiento
anunciado. El problema queda abierto para las “buenas” situaciones. En todos los casos,
los métodos de enseñanza de Dienes permitirían obtener resultados, pero por razones
distintas de las que se exponían en la teoría que les acompañaba.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
21
Este análisis muestra la utilización que puede hacerse de la noción de contrato para
intentar explicar un fenómeno de didáctica ligado a la epistemología de los profesores.
Problema importante: todo método o situación supuesta eficaz mediante cualquier “ley
psicológica” o “didáctica” que libera al profesor de la negociación didáctica ¿produciría
el mismo resultado?
Cuanto más seguro estuviera el profesor de su éxito, gracias a resultados
independientes de su compromiso personal, ¡mayor sería su fracaso...!. Llamamos
efecto Dienes a este fenómeno que muestra la necesidad de integrar las relaciones
maestro-alumno en toda teoría didáctica. Y esta conclusión remite a una cuestión más
difícil: ¿existe una alternativa a la epistemología de los profesores?
3.6. Heurística y didáctica
Es claro que no se conocen las condiciones a la vez necesarias y minimales para dar
el máximo sentido a la actividad del alumno, y sin embargo suficientes para permitirle
satisfacer su contrato. No se conoce una epistemología genética efectiva que permita
economizar estas negociaciones, de tal suerte que el maestro y el alumno
frecuentemente (inconscientemente con toda seguridad) se ven limitados:
- a sustituir el problema que puede llevar al efecto Topace o más fríamente al efecto
Jourdain,
- al uso abusivo de la analogía, al deslizamiento metacognitivo, etc.
Ahora bien, el profesor al mismo tiempo que los problemas, debe dar los medios para
resolverlos (el saber teórico por ejemplo) y mostrar que los medios ya enseñados,
permitían construir la solución. Por lo tanto debe hacer como si supiera cómo se
fabrican las soluciones de los problemas nuevos partiendo de ciertos saberes
(enseñados). Y un día debe también justificar estos medios: cómo se encuentran, cómo
se reconocen...
¿Presupone su acción una epistemología? ¿Estará obligado a producirlas, a darla?
¿Por qué ha cometido un error el alumno? ¿Cómo puede evitar los errores futuros?
¿Cómo encontrar una solución?
“El algoritmo” constituye un instrumento de desbloqueo y de resolución de
conflictos didácticos, en cuanto que permite momentáneamente un reparto claro de las
responsabilidades. El maestro muestra el algoritmo. El alumno lo aprende y lo “aplica”
correctamente: si no, debe ejercitarse pero su incertidumbre es casi nula. Se le asegura
que existe una clase de situaciones distintas en las que el algoritmo da una solución (el
conflicto volverá a aparecer cuando se trate de elegir un algoritmo para un problema
determinado).
El algoritmo es prácticamente el único medio “oficial” de desbloquear; es decir, que
ha sido el medio de hacer explícitos los métodos de enseñanza que le conciernen. Sirve
de modelo único o casi único para todos los enfoques culturales de la enseñanza.
Debe por lo tanto esperarse que el alumno reciba todas las indicaciones del profesor
de la misma forma: como los medios eficaces para resolver los problemas (tales como
los algoritmos), aunque el profesor deba elegirlos de forma que estos medios provoquen
de nuevo la búsqueda por parte del alumno, le animen, le ayuden pero sin tocar lo
esencial de aquello que debe seguir siendo responsabilidad del alumno. Así se crea un
clima de mal entendimiento entre profesor y alumno en el que: se piden indicaciones de
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
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tipo heurístico- que se dan y se reciben- resultando sugerencias inciertas para el uno,
mientras que para el otro las indicaciones son comparables a los algoritmos o a los
teoremas de matemáticas. Con este Arte de resolver problemas, en el que lo esencial
está fundamentado en la introspección, el maestro quisiera enseñar a su alumno a
buscar; el alumno sin embargo espera algoritmos.
Pero lo que el maestro quisiera presentar al alumno como ocasiones de investigación
típicas no es más que una colección de objetos culturales, de problemas cuyas
soluciones son conocidas y catalogadas por la heurística. El alumno debe por lo tanto
recibirla como saber. En este sentido, como Glaeser señala, “la heurística no puede
enseñarse porque su materia es la parte imprevisible y creativa de toda investigación de
un problema. No se puede dar más que un entrenamiento a la heurística que acostumbre
al alumno a las situaciones de investigación”.
¡Pero entonces el proceso queda bloqueado! El profesor no debería, por ejemplo,
invitar al alumno a hacer uso de las etapas del pensamiento catalogadas por Polya6 y que
él mismo reconoce haber utilizado en sus éxitos matemáticos.
¡Sin embargo, no existe gran peligro en dar en algunas ocasiones informaciones o
consejos...! “Dibujad una figura, introducid la notación apropiada, ¿cuál es la
incógnita?, ¿conocéis algún problema que se relacione con éste?, enunciadlo de forma
distinta, recordad las definiciones...” (Polya, comentarios). Por el contrario, se trata de
costumbres que hay que adquirir.
“Para resolver un problema, debéis sucesivamente: comprender el problema...”
(Polya7). El contrato se desliza; ahora la búsqueda de las informaciones o de las
sugerencias laterales se convierte en un medio didáctico reconocido, que puede ser
exigido a un alumno que pretende buscar y del que se pone en duda la actividad real.
Mientras que el maestro debe por su parte clarificar estos medios, clasificarlos,
identificarlos, definirlos, responder de su eficacia. En consecuencia elegirá los
problemas que permitan ilustrarlos mejor, aplicarlos, hacerlos funcionar a título de
ejemplo. Pero no puede restringir los problemas de matemáticas a aquellos en los que la
aplicación casi automática de un procedimiento anunciado anteriormente da la solución.
El alumno busca entonces cuál es la sugerencia de procedimiento lógico que es la
correcta. El bucle está cerrado, las “heurísticas” se han sustituido se han colocado al
lado de los teoremas y de las teorías entre los medios entre los que se debe elegir para
resolver un problema, pero el problema sigue y el contrato didáctico también.
¿Por qué no buscar heurísticas de segundo orden?
Esta vía, inicia un tipo de deslizamiento (heurístico) recurrente, comparable al
deslizamiento metacognitivo. También es posible identificar un deslizamiento
metamatemático que consiste en sustituir un problema matemático por un debate sobre
la lógica de su solución y en atribuirle todas las causas de los errores.
El proceso que acabamos de describir es una tendencia que resulta naturalmente de
las necesidades del contrato didáctico. Es fácil muchas veces, encontrar ejemplos de ello
en la historia de la enseñanza. También está claro que no hay nada de inevitable: las
reticencias y después las resistencias se hacen cada vez más fuertes a medida que el
deslizamiento se hace importante. Parece que, como para el deslizamiento
metacognitivo, la única fuerza antagonista sea la vigilancia epistemológica.
6
Cf. Polya. “Cómo plantear y resolver problemas”.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
23
Como en las analogías, el uso -ingenuo o sistemático- de las heurísticas es un
excelente medio de investigación de soluciones de problemas (siendo la heurística el
medio por definición y por excelencia) con la condición de que se realice bajo la
responsabilidad exclusiva del que la utiliza. Cualquier crédito que se da a priori a un
método particular es una fuente de decepciones con frecuencia amargas que le
convierten en impropio del contrato didáctico. Con Glaeser podemos llamar
“procedología” “todo el repertorio de recetas probadas” (en los stokcs de problemas
clásicos) que la enseñanza... inculca y que no son teoremas ni metateoremas. La
enseñanza no parece tener por misión explícita inculcar estas recetas y preferimos
admitir que lo hace bajo la presión del contrato didáctico.
Sin embargo, yo propondré extender el término de “procedimientos algorítmicos”
“que aparecen... como subprogramas de una investigación heurística” a todo lo que, en
el contrato didáctico, tiende a jugar el mismo papel, comprendiendo incluso las
heurísticas o las ideas originales, cuando éstas se presentan o utilizan como recetas.
Lo que da valor o lo quita a un procedimiento, es su función y su presentación
didáctica. Más exactamente, la naturaleza del contrato que se liga a propósito del
procedimiento. Como el efecto Dienes (para el maestro), afirmar al alumno que existe
un método automático (o casi) para establecer una familia de resultados, aunque sea
verdad, tiende a descargarle de la responsabilidad fundamental de control de su trabajo
intelectual, bloquea por lo tanto la devolución del problema, lo que hace a menudo
fracasar la actividad (y además permite al alumno contradecir y discutir el método si
quiere).
Me parece necesario subrayar lo que acabamos de mostrar:
- no hay diferencia de naturaleza entre una utilización discreta y legítima de la
“heurística normativa” de Polya, con vistas a la “educación” matemática y una fina
“procedología” de segundo orden. Solamente existe una diferencia de nivel en la
aceptación del deslizamiento bajo la presión del contrato (o para ir hacia el alumno).
- no hay razón para declarar a priori ilegítimo para el maestro dar indicaciones de
esta naturaleza (como lo que hemos llamado “la epistemología de los profesores”), se
puede considerar que ellas son, en ausencia de una auténtica ciencia de la didáctica, una
necesidad profesional inevitable.
Es más importante comprender las condiciones antagónicas que influyen en el
equilibrio entre tendencias opuestas (ninguna información o demasiadas informaciones).
Este análisis plantea la hipótesis siguiente: la heurística pudiera no ser más que una
racionalización fundada sobre la epistemología de los profesores, una invención
didáctica para las necesidades del contrato, recuperada y desarrollada por los
matemáticos a modo de epistemología espontánea.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
24
CAPITULO IV
COHERENCIA E INCOHERENCIA DE LA MODELIZACION
CONSIDERADA: LAS PARADOJAS DEL CONTRATO DIDACTICO
Considerar la enseñanza como la devolución de una situación de aprendizaje por el
profesor al alumno ha permitido identificar algunos fenómenos. El intento de modelizar
esta devolución como la negociación de un contrato, permite en gran parte explicar
estos fenómenos y prever la existencia de otros.
El resultado de este enfoque hará considerar al maestro como un jugador frente a un
sistema formado a su vez por un par de sistemas: el alumno y, digámoslo por el
momento, un “medio” desprovisto de intenciones didácticas con respecto a él.
En el “juego” del alumno con el medio, los conocimientos son la forma de
aprehender las reglas y las estrategias de base, y luego los medios de elaborar
estrategias ganadoras y obtener el resultado buscado.
En el juego del maestro con el sistema alumno-medio, el contrato didáctico es la
forma de establecer las reglas y estrategias de base para adaptarlas después a los
cambios del juego del alumno.
A cada conocimiento, y acaso a cada función ejercida por un conocimiento, deben
corresponder situaciones (problemas) específicas y probablemente contratos didácticos.
La evolución de los jugadores y del juego -contrariamente a los juegos con reglas fijasconduce a cuestionarse sobre los conocimientos y sobre el contrato didáctico.
Esta dialéctica está en la base misma de la constitución de los saberes en tanto en
cuanto ellos articulan lo específico y lo general. Antes de profundizar y sistematizar esta
modelización, es útil examinar su coherencia. Este estudio permitirá precisar también
las funciones o las relaciones que convienen representar (por reglas) y las dificultades
de ejecución.
Este párrafo permitirá exponer con mayor claridad la metodología de la didáctica.
Considerar la enseñanza como la devolución al alumno de la responsabilidad del uso
y de la construcción del saber, conduce a algunas paradojas que es útil señalar.
4.1. La paradoja de la devolución de las situaciones
El profesor debe conseguir que el alumno resuelva los problemas que él le propone
con el fin de constatar y de poder hacer constatar que él ha cumplido con su propia
tarea.
Pero el índice resulta engañoso si el alumno produce su respuesta sin tener que haber
hecho él mismo las opciones que caracterizan el saber correcto y que distinguen este
saber de conocimientos insuficientes. Esto se produce en particular en el caso en el que
el profesor se haya sentido obligado a decir al alumno cómo resolver el problema
propuesto o qué respuesta dar. El alumno que no ha tenido que realizar ni elección, ni
ensayos de métodos, ni modificación de sus propios conocimientos o de sus
convicciones, no ha dado la prueba esperada de la apropiación que se buscaba. Ha dado
una apariencia. El profesor tiene la obligación social de enseñar todo lo que es necesario
a propósito del saber. El alumno -sobre todo cuando ha fracasado- se lo pide.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
25
Así pues cuanto más cede el profesor a las exigencias del alumno y desvela lo que
desea, más dice precisamente al alumno lo que éste debe hacer, más se arriesga a perder
las posibilidades de obtener y constatar objetivamente el aprendizaje al que en realidad
debe apuntar.
Esta es la primera paradoja: no es completamente una contradicción, pero el saber y
el proyecto de enseñar van a progresar enmascarados.
Este contrato didáctico coloca al profesor en una situación paradójica: todo lo que
pretende para hacer que el alumno produzca los comportamientos que espera, tiende a
privar a éste de las condiciones necesarias para la comprensión y el aprendizaje de la
noción buscada: si el maestro dice lo que el alumno quiere, éste no puede ya obtenerlo.
Pero también está el alumno ante una situación paradójica: si acepta que, según el
contrato, el maestro le enseñe los resultados, no los establece él mismo y por lo tanto no
aprende matemáticas, no se las apropia. Si, por el contrario, rechaza toda información
del maestro, entonces la relación didáctica se rompe. Aprender, implica para él, aceptar
la relación didáctica, pero considerada como provisional, y se esfuerza por rechazarla.
Veremos más tarde de qué forma.
4.2. Las paradojas de la adaptación de las situaciones
Admitamos que el sentido de un conocimiento proviene, en gran parte, de que el
alumno lo adquiera adaptándose a las situaciones didácticas que se le proponen
(devueltas).
Admitiremos también que existe, para todo conocimiento, una familia de situaciones,
susceptible de darle un sentido correcto.
En algunos casos, existen algunas situaciones fundamentales accesibles al alumno en
el momento deseado. Estas situaciones fundamentales le permiten fabricar rápidamente
una idea correcta del conocimiento que podrá insertarse, cuando llegue el momento, sin
modificaciones radicales, en la construcción de nuevos conocimientos.
Pero supongamos que existen conocimientos para los cuales las condiciones que
acabamos de citar no se dan: es decir, que no existen situaciones suficientemente
accesibles, suficientemente eficaces y en número suficientemente pequeño como para
permitir, a alumnos de cualquier edad, acceder directamente, por adaptación, a una
forma de saber que se pueda considerar correcta y definitiva. En este caso será preciso
aceptar algunas etapas en el aprendizaje. El saber enseñado por adaptación en la primera
etapa será provisionalmente, no sólo aproximativo, sino en parte falso o inadecuado.
El profesor se encuentra entonces ante nuevas paradojas:
i)
inadaptación a la exactitud
Incluso cuando el saber enseñado durante una primera etapa sea necesario para
abordar una etapa posterior, el profesor puede prever que se le reprochen los errores
tolerados o suscitados en esta primera etapa. Los reproches provendrán tanto de sus
alumnos como de los profesores de los niveles superiores, a no ser que la tradición o la
negociación cultural le disculpen.
En la hipótesis considerada, existe una alternativa: el profesor renuncia a la enseñanza
por adaptación: enseña directamente un saber conforme con las exigencias científicas.
Pero entonces esta hipótesis implica que debe renunciar a dar un sentido a este saber y a
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
26
obtenerlo como respuesta a situaciones de adaptación porque los alumnos lo teñirían de
significaciones falsas.
El profesor tiene que elegir entre enseñar un saber formal y desprovisto de significado
o enseñar un saber más o menos erróneo que será preciso rectificar. Las alternativas
intermedias podrán conjugar los dos inconvenientes e incluso complicarlos.
El alumno a quien se enseña, por una parte, un “saber erudito” y a quien se presenta,
por otra parte, situaciones de referencia inadecuadas, puede constatar toda clase de
contradicciones y de inadaptaciones entre estos dos objetos de enseñanza. Los saberes
que obtiene comprendiendo lo que hace son incluso falsos o distintos de los que se le
quiere enseñar.
Las distinciones que se establecen entre saber teórico y saber práctico puede que no
sean con frecuencia más que una simple consecuencia y una recuperación de esta
dificultad puramente didáctica. Incluso, aquí, el alumno está ante una situación
paradójica; debe comprender y aprender: pero para aprender debe, en cierta manera,
renunciar a comprender, y para comprender, debe arriesgarse a no aprender. Tomar
como objeto de enseñanza el saber y su génesis (verdadera o ficticia), y por lo tanto
enseñar el saber y su significado, no es tampoco una perfecta solución.
ii) Inadaptación a una adaptación posterior.
La memorización de saberes formales, ampliamente despojados de sentido, puede ser
costosa en ejercicios de aprendizaje. Estos últimos no deben introducir demasiado
sentido, lo que aumenta todavía más su dificultad. La representación que el alumno se
hace del saber matemático y de su funcionamiento se encuentra así profundamente
perturbada. Cuanto más ha sido el alumno entrenado en ejercicios formales, más difícil
le es, más tarde, restaurar un funcionamiento fecundo de los conceptos así recibidos.
“La aplicación” de un saber aprendido, ya hecho, se produce mal porque la lógica de la
articulación de las adquisiciones que lo componen es únicamente la del saber mismo y
porque el rol de las situaciones se ha excluido a priori.
Examinemos la elección inversa, la de una comprensión, provisionalmente errónea,
de un saber obtenido por adaptación a problemas que lo introducen. Será necesario
retomar y modificar este saber.
Aparece una nueva paradoja: si los alumnos se han adaptado bien a las situaciones
que se les han propuesto, han comprendido mejor las razones de sus respuestas y las
relaciones de su saber con los problemas, será más difícil después cambiar este saber,
para hacerlo correcto y completo.
Acabamos de mostrar que para ciertos conocimientos, es previsible que el saber será
tanto más difícil de “retomar” y de modificar cuanto que haya sido mejor aprendido,
mejor comprendido y más reforzado en la primera etapa.
Este hecho proviene, sin duda, de razones de orden psicológico: es tanto más difícil
cambiar sus costumbres o sus opiniones cuanto que éstas están más íntimamente ligadas
a actividades más personales, más numerosas y más antiguas.
Pero podría depender también de una razón más directamente epistemológica. La
excesiva adaptación del “saber” a la solución de una situación particular no es
necesariamente un factor favorecedor de la solución de una situación nueva. La
evolución se hace imposible, si existe una diferenciación demasiado fuerte, una
dependencia demasiado grande respecto de los “conocimientos” directos. El primer
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
27
saber se conviene en obstáculo. Algunos de los obstáculos son inevitables y
constitutivos del saber -otros son el resultado de una excesiva implicación didáctica.
Así, en la hipótesis de un saber inaccesible a cualquier alumno por una adaptación
escasa a una situación fundamental bastante correcta, el profesor se encuentra ante una
nueva paradoja.
Si elige una enseñanza formal o por adaptación, cuanto más insiste en el aprendizaje
de los conocimientos intermedios, más se arriesga a contrariar las enseñanzas ulteriores.
Recíprocamente, si renuncia a fijar, a institucionalizar las adquisiciones, incluso
parciales, el alumno no encontrará ningún apoyo en las etapas siguientes. En algunos
casos, cuanto mejor se adapta el alumno a una situación didáctica intermedia, más
inadaptado está para la etapa siguiente.
Es verosímil que sea este fenómeno el que conduce a los profesores de los niveles
superiores a no utilizar las enseñanzas más elementales más que en forma de
procedimiento o de algoritmo y, si es preciso abordar el sentido, a hacerlo en situaciones
con vocabulario y métodos lo más distintos posible de los utilizados en niveles
anteriores.
4.3. Las paradojas del aprendizaje por adaptación
i) Negación del saber
¿Es consistente la hipótesis de que el alumno podría construir su saber por medio de
la adaptación personal a una situación a-didáctica?
En efecto, imaginemos que el profesor haga la devolución al alumno de una fuente de
cuestiones auto controlables7 o de un problema. Si el alumno resuelve el problema,
puede pensar que lo ha hecho mediante la utilización habitual de sus conocimientos
anteriores. El hecho de haber resuelto el problema le parecerá la prueba de que no tenga
nada nuevo que aprender para eso. Incluso si es consciente de haber sustituido una
antigua estrategia y culturalmente identificada, por otra que ha “inventado”, le será
difícil declarar que esta “innovación” es un saber nuevo: ¿qué necesidad hay de
identificarlo puesto que parece que puede ser producido fácilmente cuando es
necesario? ¿Cómo podría una persona aislada distinguir en todas las decisiones
tomadas, las que se pueden desprender de la situación y que podrían servir igualmente
en otras situaciones, de aquéllas que son puramente coyunturales y locales?.
Las condiciones sociales de un aprendizaje por adaptación, rechazando el principio
de la intervención de los conocimientos de una tercera persona para producir la
respuesta, tienden a hacer imposible la identificación de esta respuesta como una
novedad, y por lo tanto como correspondiente a una adquisición de conocimientos.
El alumno ve como insignificante la cuestión de la que conoce las respuestas, en la
medida en la que no tiene los medios de saber si otros se la han planteado antes que él, o
si nadie ha sabido responder, o si otras cuestiones le acompañan o están ligadas a ella en
cuanto que podría darse una respuesta gracias a ésta..., etc. Es preciso pues que alguien
del exterior venga a marcar sus actividades e identificar las que tienen un interés, una
consideración cultural. Esta institucionalización, es de hecho una transformación
completa de la situación. Elegir algunas cuestiones entre las que se sabe responder,
7
Es decir, aquellas en las que el alumno no sabe responder a priori, pero para las que tiene una
solución, que sabrá si es correcta sin recurrir al maestro.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
28
colocarlas en el corazón de una problemática que confiere a las respuestas a las que
estas cuestiones nos llevan un estatuto de saber más o menos importante, relacionarlas
con otras cuestiones y otros saberes, constituye finalmente la esencia de la actividad
científica. Este trabajo cultural e histórico difiere totalmente de lo que parecía deber
dejarse a cargo del alumno y es responsabilidad del profesor. No es pues el resultado de
una adaptación del alumno.
En cierta manera, la adaptación contradice la idea de creación de un saber nuevo.
Inversamente, el saber es casi un reconocimiento cultural de que el conocimiento
directo es impotente para resolver naturalmente algunas situaciones (por adaptación).
ii) Destrucción de su causa
Las situaciones que permiten la adaptación del alumno son con frecuencia, por
naturaleza, repetitivas: el alumno debe poder hacer vanas tentativas, implicarse en la
situación mediante sus representaciones, sacar consecuencias de sus fracasos o de sus
éxitos más o menos fortuitos...
La incertidumbre en que está inmerso es a la vez fuente de angustia y de placer. La
reducción de esta incertidumbre es el fin de la actividad intelectual y su motor. Pero
conocer antes la solución, es decir, haber transformado respuestas satisfactorias, pero
locales, en métodos que den la respuesta en todos los casos, destruye el carácter dudoso
de la situación, que se encuentra entonces vacía de interés. Así el conocimiento priva al
alumno del placer de buscar y encontrar una solución “local”. La adaptación -por el
conocimiento- coincide pues con la renuncia a una incertidumbre en suma agradable. La
adaptación del alumno tiende a destruir la motivación que la produce, así como a quitar
significación a la situación que la provoca.
Debería pues detenerse pronto y, en último caso, no producirse desde el momento en
que un proceso se hace necesario.
La simple imagen de una adaptación a perturbaciones externas no es satisfactoria
para representar el fenómeno del aprendizaje. No deja lugar a dos elementos esenciales
para mantener el proceso:
- Por una parte, la creación de una motivación intrínseca que vuelve a lanzar al
alumno a la búsqueda de otra “ocasión” de adaptarse, sin la tentativa de adaptar el
medio a sí mismo.
- Por otra parte, la adaptación interna del sujeto sin perturbaciones exteriores y sin
“actividad” real (como por ejemplo la resolución de las contradicciones internas del
sujeto que nacen de la asimilación de esquemas nuevos de los que habla Piaget).
4.4. La paradoja del comediante
¿Puede el profesor evadirse de la devolución, de la intención directa de enseñar un
determinado saber particular? ¿Puede escaparse de la situación didáctica? Después de
todo puede que le bastase ser un matemático y comportarse como tal con el alumno. La
participación progresiva de este último en esta actividad podría permitirle aprender
matemáticas como actividad cultural directa, sin desfasar el lenguaje o el método y sin
transposición. El alumno aprendería las matemáticas como aprende la lengua materna.
¿El medio cultural puede ser “naturalmente” enseñante sin ser localmente didáctico?
¿Puede considerarse el sistema didáctico sin enseñante?
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
29
Ciertamente, hay numerosos trabajos que han mostrado el importante papel que juega
el medio familiar, social y cultural en las diferencias de comportamiento y de éxito
escolar.
Es probable que el niño pueda aprender muchas cosas en la medida en que la
actividad matemática de los miembros de su familia se traduzca en debates y en
cuestiones que pueden serle accesibles; retendrá de ello en particular, métodos,
exigencias, costumbres y un situar las dificultades; es decir informaciones de naturaleza
epistemológica. Pero cuando se diseñe un proyecto de aprendizaje personal de un
determinado saber, el niño se convertirá en alumno y el sistema fundamental volverá a
aparecer: uno será enseñante, el otro enseñado y sea espontáneo o institucional, el
maestro no puede escapar de la devolución del saber.
Este saber cuyo texto existe ya, no es una producción directa del maestro, es un
objeto cultural, citado o recitado. Y su reproducción en el momento deseado, es por lo
tanto más comparable a una pieza de teatro que se vuelve a representar para el alumno y
después por el alumno, que a una aventura vivida personalmente. Si el alumno puede
vivir su aprendizaje, el maestro, es necesariamente un actor ya que sabe con
anticipación lo que quiere enseñar. No se trata de una metáfora: el profesor es realmente
un actor -con o sin texto- ocupado en hacer vivir una reproducción del saber a su
alumno.
Este enfoque responde en parte a la cuestión inicial, pero la transforma y la
fragmenta:
i) ¿Debe “hacer” el maestro las matemáticas que quiere enseñar, en el sentido en que
el actor debería experimentar los sentimientos que quiere hacer compartir al espectador?
ii) ¿Debe el profesor rehacer cada vez su texto alrededor de un esquema como en la
comedia del arte, o debe “obligarse” a un texto bien experimentado?
Sobre el último punto, Diderot ha formulado en un estudio célebre, la paradoja
inherente a la actividad del comediante:
Cuanto más experimente el actor las emociones que quiere presentar menos capaz es
de hacérselas experimentar al espectador, puesto que siendo “observador continuo de
los efectos que produce, el actor se convierte de alguna manera en espectador de los
espectadores, al mismo tiempo que lo es de sí mismo pudiendo así perfeccionar su
juego.”
Esta paradoja se extiende al caso del profesor. Si produce él mismo sus preguntas y
sus respuestas de matemáticas, priva al alumno de la posibilidad de hacerlo. Debe pues
dejar tiempo, dejar preguntas sin respuestas, utilizar las que el alumno le da e
interpretarlas en su propio caminar, dejándole cada vez una mayor responsabilidad...
Este esquema idílico puede llevarse a cabo, en tanto en cuanto el profesor fabrica un
nuevo saber, pero si el saber está determinado con anticipación, esa “libertad” no es más
que un juego de actor y se invita al alumno a ser otro actor, limitado a un texto o por lo
menos a un esquema que se supone debe ignorar. Algunos esquemas pedagógicos
postulan la necesidad de que el maestro ignore él mismo el saber que se construye
(transmite) de forma que sea más capaz de efectuar de manera convincente el paso de la
ignorancia al saber. La existencia de estos esquemas es la prueba de la pertinencia de
nuestro análisis. Es fácil probar su carácter “ilusorio” (lo que no significa que todas las
empresas de este tipo fracasen, sino que sólo triunfan bajo otras condiciones).
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
30
Como muestra nuestro estudio [The fragility of knowledge O. Brousseau - M. Otte],
la paradoja de Diderot se aplica al profesor de forma amplia y es quizás más
fundamental y más aguda que para el actor. Entre otras razones, la explicación de la
resistencia de los actores a este análisis puede extenderse a las observadas en el mundo
de los profesores...
La “paradoja”, según Diderot, es una “oposición absurda en apariencia porque es
contraria a las opiniones recibidas y sin embargo en el fondo es verdadera”
(Enciclopedia). Nosotros le hemos dado un sentido más estricto. Nuestras paradojas son
una especie de contradicciones funcionales entre un juego, aparentemente exhaustivo,
de decisiones y su finalidad.
La resolución de estas paradojas de la misma forma que los fenómemos observados
es uno de los fines de una teoría de situaciones al tiempo que un medio de probar su
consistencia.
CAPITULO V
MEDIOS Y METODOS PARA LA MODELIZACION DE LAS SITUACIONES
DIDACTICAS
Se trata de exponer aquí el instrumento de la modelización: el juego. Estudiaremos
después cuáles son las relaciones de estos “modelos” con la realidad que describen.
Estas relaciones no son las de un original, que sería el juego fundamental como
modelo, con su copia, que sería la realidad didáctica, y en la que las dificultades serían
“imputables” a desviaciones introducidas por una “mala” respuesta de los jugadores.
Por el contrario, estas relaciones dejan un amplio lugar a la confrontación con las
observaciones y son falsables. El enfoque sistémico que se propone será ilustrado con
un estudio de los primeros subsistemas fundamentales a tener en cuenta. Mostraremos
que la necesidad de introducir un sistema “el medio” en el juego didáctico del alumno
no es una reificación del modelo (los instrumentos de juego), ni producto de una
observación, sino una necesidad interna.
5.1. “Situación fundamental correspondiente a un conocimiento”
Modelizar una situación de enseñanza consiste en producir un juego específico del
saber pretendido, entre diferentes subsistemas: el sistema educativo, el sistema alumno,
el medio, etc. Se trata de describir precisamente estos subsistemas por las relaciones que
mantienen en el juego.
Antes de precisar el tipo de juego que será utilizado, es necesario identificar las dos
grandes finalidades de la modelización.
5.1.1. Respecto del conocimiento: El juego debe ser tal, que el conocimiento aparezca
en la forma elegida, como la solución o como el modo de establecer la estrategia
óptima: ¿conocer esta propiedad es la única forma de pasar de tal estrategia a tal otra?
¿Por qué el alumno buscaría reemplazar ésta por aquélla? ¿Qué motivación cognitiva
conduce a producir tal formulación de una propiedad o tal demostración? ¿Tal razón de
producir este saber es mejor, más justa, más accesible o más eficaz que tal otra?
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
31
Esta clase de cuestiones pueden plantearse a priori. En un primer tiempo, las
respuestas pueden buscarse en la lógica del juego, en la historia de las ciencias o en el
análisis matemático o didáctico: el juego específico de un saber debe justificar su
empleo o su aparición, de acuerdo con la didáctica teórica.
5.1.2. Respecto de la actividad del profesor: El “juego” debe permitirle representar
todas las situaciones observadas en las clases -si no los desarrollos particulares- incluso
los menos “satisfactorios” desde el momento en que lleguen a hacer aprender a los
alumnos una forma de saber previsto. Debe poder engendrar todas las variantes, incluso
las más degeneradas. Estas se obtendrán por la elección de valores de ciertas variables
características de este juego8.
Los conceptos generales de la didáctica deberían permitir establecer el significado
relativo de estas distintas variantes, explicar y prever sus efectos, sobre el tipo de
conocimiento que hacen adquirir, sobre el desarrollo de las actividades de enseñanza
que permiten discriminar y sobre la calidad de su resultado.
Inversamente, deberían permitir acompañar un conocimiento de las condiciones que
lo justifican, que lo hacen necesario, en sus distintas formas.
Ajustar estas condiciones en función de lo que sabemos de epistemología, de la
psicología del niño, de la lingüística o de la sociología es un objetivo razonable de la
didáctica.
Una ambición legítima de la didáctica teórica es proporcionar un contrapunto
experimental a las reflexiones de los epistemólogos o de los teóricos del conocimiento.
Pero no se puede pretender que toda actividad de producción de saber pueda asimilarse
a un comportamiento “económico” en un juego que pueda hacerse explícito. Por otra
parte, el saber está siempre ampliamente sobredeterminado. No se trata más que de
modelos, asumidos como tales.
5.2. La noción de juego
Modelizar la noción vaga de “situación” por la de “juego” exige una precisión sobre
los sentidos que se dan a esta palabra. Sus cinco definiciones fundamentales tienen
todas relación con los elementos que se presentan.
i) La primera caracteriza el conjunto de relaciones, el “hiposistema” a modelizar:
“Actividad física o mental, puramente gratuita, generalmente fundada en la
convención o en la ficción, que no tiene en la conciencia del que se entrega a ella otro
fin que ella misma, ni otro objetivo que el placer que procura” [Def. l].
Esta definición pone en escena esencialmente a un jugador -capaz de experimentar
placer, de idear una ficción y de establecer convenciones y relaciones con un medio que
no se precisa. Proporciona una actividad y su placer depende de ella. Pero la definición
insiste sobre todo en el carácter aislado del sistema que se evoca. Para el jugador -se
admite que pueda existir un “Deus ex machina” del que no debe ser consciente. Para él,
por tanto, la actividad es gratuita. Pero ¿cómo conciliar esta idea de una acción
motivada por el placer y sin embargo gratuita? ¿No serían, finalmente, todas las
acciones motivadas por el placer? Interpretaremos la frase en el sentido siguiente:
8
Cf. “Ingeniería y didáctica”
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
32
Las decisiones y las acciones durante el juego no están reglamentadas más que por el
placer que el jugador experimenta cumpliéndolas, que experimenta con sus efectos.
Pero la decisión de entregarse al juego no tiene ningún fin. Volveremos después sobre
esta noción de gratuidad.
Junto a este primer sentido encontramos otros cuatro más:
ii) El juego es “la organización de esta actividad bajo un sistema de reglas que
definen el éxito y el fracaso, una ganancia y una pérdida". (Lalande) [Def.2]. Es el
“game”.
iii) Es también, y utilizaremos con frecuencia la palabra en este sentido, “lo que sirve
para jugar, esto es, los instrumentos del juego”, y, eventualmente, uno de los estados del
juego determinado por una reunión particular de instrumentos del juego .[Def.3]
iv) Es a veces “la manera de jugar”, el “play”. En los casos en los que se trate de
procedimientos, preferiremos los término de “táctica” o de “estrategia”. [Def. 4]
v) Es, en fin, el conjunto de las posiciones entre las que el jugador puede elegir en un
estado dado de juego (en el sentido 2 -y por extensión, en mecánica por ejemplo, el
conjunto de las posiciones posibles y , por lo tanto, de los movimientos de un sistema,
de un órgano, de un mecanismo que se ha sometido a respetar ciertas exigencias
[Def.5].
FIG. 1
Las relaciones entre los diferentes sentidos aparecen en la figura [1]. Recordemos
que formalmente un “juego” de k personas (por ejemplo), es la estructura definida por:
1. Un conjunto X de “posiciones” distintas en las que puedan encontrarse los objetos
y las relaciones pertinentes.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
33
2. Una aplicación Γ de X —> P(X), que a todo estado x ∈ X hace corresponder el
conjunto Γ (x) de las posiciones permitidas entre las que el jugador “que le toca jugar”
puede elegir a partir del estado x. Γ representa por tanto las reglas.
3. Un estado inicial Iy uno o varios estados terminales F (tales que
Γ-1 (I)= Ø y Γ (F)=Ø).
4. Un conjunto J de k jugadores y una aplicación θ de J x X en J que, a cada estado x
del juego designa el sucesor a la tirada θ (j,x) del jugador j.
5. Una función llamada ganadora, de jugada o de preferencia que es una aplicación
de A, parte de X que contiene a F, en R.
Esta definición no es general y se pueden encontrar ejemplos de juegos que reclaman
una modelización diferente, sensiblemente más compleja: por ejemplo, es conveniente
para el juego del ajedrez o de los caballitos, pero no para los juegos de roles.
Es, sin embargo, suficiente para definir algunos términos de didáctica.
• Una partida es una sucesión finita de estados (xi)1 ≤ i ≤ n de X tal que X1 = I, xn∈F y
∀i xi+1 ∈ Γ(xi). Los “estados permitidos” son las posiciones de X que pueden figurar en
una partida (en el ajedrez, los estados no permitidos se llaman a veces una comedia).
• Una estrategia S es una aplicación de X —> X que determina las elecciones de un
jugador en todos los estados permitidos S(x) ∈ Γ(X), puesto que hay k jugadores, k
estrategias bastan para determinar una partida.
• Una táctica TA será una aplicación de una parte A de X en X y tal que x ∈ A,
TA(x)∈ Γ(X). Una estrategia es por tanto una táctica definida sobre todo X.
• Un estado de “conocimiento” de un jugador, C estará caracterizado por una
aplicación de X en Γ(X) tal que ((∀x) (C(x)∈Γ(x))). Un “conocimiento” (no vacío)
restringe estrictamente las elecciones de los jugadores. (Esta definición se puede
aproximar a la de información).
• Un conocimiento “determinante” reduce a un solo estado la opción del jugador en
un cierto número de estados (resp. en todos los estados) y por lo tanto caracteriza una
táctica (resp. una estrategia).
Una adquisición de conocimientos, por ejemplo como efecto de una información
recibida (o de un aprendizaje), es una modificación del estado de conocimiento: un par
(C, C’) -en realidad C en el instante t, C’ en el instante t + ∆t.
Con frecuencia, siguiendo la teoría de la información se considera que C’(X) ≠ C(x),
es decir, que el conocimiento reduce la incertidumbre del sujeto suprimiendo
posibilidades le elección.
Pero es necesario, para modelizar las modificaciones de los conocimientos del
alumno, imaginar que no considera en un instante todas las posiciones permitidas,
aunque objetivamente lo estén por las reglas) y que una modificación de su estado de
conocimiento puede consistir no en reducir su incertidumbre sino al contrario en
aumentarla por la consideración en el instante t + ∆t de posibilidades nuevas abiertas a
su elección. Esta consideración descarta el uso estricto de la teoría de la información.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
34
• Modelo de acción9: llamaremos “modelo de acción” a todo procedimiento de cálculo
generador de una estrategia (o de una táctica).
Igualmente podríamos llamar representación a “aquello” que en un juego particular
genera los estados de conocimiento, lo que permitirá preverlo.
La primera ventaja de un modelo de esta clase es la de permitir en casos precisos,
considerar a priori “todas” las series de respuestas y compararlas desde el punto de vista
de su eficacia.
Una estrategia ganadora proporciona una partida de resultado positivo, pero se pueden
evaluar diversas características:
- su coste, por ejemplo, el número de jugadas que llevan al final de la partida.
- el beneficio que aporta...
Una estrategia que no gana en cualquier jugada podría ser, sin embargo, mejor que
otra desde el punto de vista de los riesgos de pérdidas que lleva consigo, de las
ganancias que permite esperar, etc... La teoría de juegos permite estudiar los dilemas
que se presentan. La mayor parte de los ejercicios de aprendizaje fundamentales son
considerados contra un “partenaire” que es la “naturaleza”.
La construcción de modelos de acción permite ir mucho más lejos en el análisis de los
comportamientos posibles del sujeto, como hacemos en varios ejemplos (cf. tesis H.
Ratsimba-Rajohn). El estudio de la adecuación de una situación a un conocimiento tiene
como fin mostrar que la estrategia óptima puede ser engendrada por este conocimiento y
no por otro. Recíprocamente es posible hacer hipótesis sobre las variables de la
situación y su influencia sobre las estrategias y sobre los cambios de estrategia (cf. tesis
Bessot Richard).
El sentido de una decisión, de una elección del alumno también puede modelizarse
mediante varios componentes, entre los cuales podemos citar:
1. El conjunto de las alternativas consideradas por el alumno y rechazadas por una
elección retenida.
2. El conjunto de las estrategias posibles consideradas y excluidas, en particular la
sucesión de alternativas o de estrategias de sustitución consideradas por el sujeto.
3. Las condiciones mismas del juego que parecen determinantes por las opciones
retenidas, en particular el espacio de las situaciones engendradas por los valores de las
variables pertinentes que conservan en la decisión un carácter de optimización,
validación o pertinencia.
5.3. El juego y la realidad
5.3.1. Semejanza
En su vida “real”, el sujeto organiza sus acciones según sus intereses, en el marco de
reglas desconocidas y cambiantes; en el lado opuesto de estas actividades serias,
9
He utilizado estas definiciones en numerosas ocasiones, sobre todo en el estudio de las
estrategias de medidas con H. Ratsimba-Rajohn. Se puede encontrar en su tesis una
explicación más detallada con bastantes ejemplos interesantes, así como en la tesis de A.
Bessot y F. Richard.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
35
profesionales o privadas, se presentan las situaciones de juego donde, por el contrario,
puede elegir sus reglas, entregarse al placer, librarse de otras limitaciones.
Sin embargo, se conocen numerosos ejemplos donde la descripción precisa del
funcionamiento de algunas relaciones sociales, financieras, económicas, militares, etc.,
está clarificada y facilitada por su transcripción en términos de juego; a menudo la
situación de juego es un buen modelo de las situaciones reales.
¡Por eso, el juego puede ser un poderoso “dérivatif” (ocupación que orienta el
espíritu hacia otros pensamientos) y un símbolo de la vida: se le parece! Al mismo
tiempo, se puede uno hacer dueño de los límites que, en la realidad, oprimen al jugador
y esta libertad juega un papel fundamental en el equilibrio de las frustraciones que
causan las limitaciones.
Examinemos por ejemplo el juego de la muñeca relatado por Freud. El niño hace
desaparecer la muñeca debajo un mueble “fuerte”, después cuando quiere la hace
reaparecer “da”. Se ven bien las relaciones que el juego puede tener con las apariciones
y desapariciones -no controladas y sobre todo no previsibles- de la madre. Pero sería
erróneo creer que la muñeca representa a la madre y que el niño reproduce o imita sin
más una relación de la vida corriente.
Para el niño el interés reside en que en el modelo, (en el juego), él dirige los
movimientos de la muñeca, mientras que en la vida no tiene poder sobre las apariciones
de su madre. Este juego de la muñeca le permite revivir la angustiosa situación de la
separación de su madre: “fuerte” pero controlar en él el efecto emotivo suscitando
voluntariamente el placer del retorno “da”. Ciertamente, la reproducción del placer está
ligada al proceso y es preciso que la muñeca desaparezca para que pueda reaparecer. Sin
embargo, el control por el niño es la condición fundamental. Una muñeca “automática”
que aparezca a intervalos de tiempo regulares no jugaría el mismo papel. En cuanto el
niño pudiera prever las reapariciones, el juego dejaría de interesarle.
Una muñeca que hiciera apariciones aleatorias (que no se pueden ni definir ni prever)
sería angustiosa, demasiado “realista”, es decir, demasiado cercana a la situación
simbolizada de la madre. A menos que él no descubra que la muñeca reaparecerá
pronto, con seguridad, que el niño la vigile y que la muñeca se muestre efectivamente
durante ese tiempo de espera en un momento de todas formas imprevisto: en estas
condiciones ocurre algo, el bebé se echa a reir, sobre todo si descubre que alguien dirige
la muñeca maliciosamente. Pero esta risa es una reacción de defensa, contraria al placer
del control de las situaciones, de la misma forma que la burla se opone al poder. Risas,
pero risas de la angustia que se está superando.
El juego es un símbolo en el sentido en que se parece “suficientemente” a la vida.
Solicita del jugador el mismo tipo de posibilidad de acción, el mismo tipo de
emociones, de motivaciones, y se distingue de la vida porque en el juego se tiene poder
sobre la mayor parte de las condiciones, que en la realidad oprimen y escapan al
jugador.
El parecido es el modo de dar sentido a la diferencia.
5.3.2. Diferencia
Se podría creer así que se ha justificado y explicado la separación fundamental que
opone el juego a la vida, o, más exactamente, el deseo a la realidad, permitiendo
situarlos uno respecto del otro:
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
36
- el juego convencional y simbólico juega su rol dentro del juego de la vida
- el juego símbolo de vida...
Pero si se sigue a Lacan, el símbolo creado para equilibrar las frustracciones y las
tensiones nacidas de las relaciones con el objeto de deseo, heredan de hecho su carácter
frustrante. Por ejemplo, cuando la muñeca aparece cuando y donde se quiere, el control
ha terminado y el juego desaparece como tal. Así, el juego que sigue siendo un juego
por definición, no satisface al jugador y crea la necesidad de una nueva partida, de un
nuevo juego, de un nuevo símbolo. Lacan dice que las relaciones con el símbolo deben
ser ellas mismas equilibradas por la creación de un nuevo símbolo; así la cadena del
sentido es abierta.
El juego debe ser, o controlado totalmente y por lo tanto rechazado como objeto de
deseo o reproducido indefinidamente. Estos dos caracteres son muy importantes:
- un “juego” en el que el jugador ordenase todas las posibilidades, todos los
resultados y ganase siempre, no ofrecería ninguna incertidumbre y no dejaría lugar a
ninguna simulación de las incertidumbres de su “modelo”.
Si “un juego complicado no es un juego utilizable tal cual en clase, ... un juego
analizado es un juego muerto” (A.Deledicq), el juego no puede ser puramente gratuito.
Es necesario que tenga, frente al jugador, una pareja, un medio, una ley de la naturaleza
que se opone en cierta medida a que él obtenga siempre el resultado deseado.
5.4. Enfoque sistémico de las situaciones de enseñanza
El enfoque sistémico de las situaciones de enseñanza parece indicado en la medida
en que los subsistemas presentes: el enseñado, el sistema educativo, son identificables
inmediatamente en cuanto que actores.
Ello presenta interés en la medida en que la consideración de los subsistemas que se
desprenden permite, o simplificar sensiblemente el estudio de los problemas planteados
o aislar algunos de estos problemas que pueden ser resueltos en estos subsistemas. Este
enfoque se revela indispensable si se pueden tener en cuenta de esta forma la totalidad
de los fenómenos didácticos y se puede entonces pretender proporcionar un fundamento
teórico.
Pero este enfoque presenta una cierta ambigüedad y existe el peligro de que no sea
más que el instrumento de una proyección sobre la realidad del modelo pensado por el
investigador.
El enfoque (sistémico) clásico de las situaciones de enseñanza acentúa los sistemas
concretos presentes (el maestro, el alumno) y sus funciones, sus propiedades. Conduce a
examinar, con ayuda del modelo de funcionamiento social, la manera en que estas
funciones se aseguran e interiorizan. Las dificultades que se observan serán entonces
imputadas a las malas respuestas dadas a las necesidades del sistema. Este razonamiento
constituye una “reificación”, (Berger y Luckmann, 1966), es decir, que el esquema
abstracto y la realidad “deben” coincidir, y que no hay lugar para la experiencia y para
la falsación. Por el contrario, la descomposición en subsistemas, considerados aquí,
tiene por objeto la definición de juegos que permitan coordinar las estrategias opuestas
de los “jugadores” que están en relación. Encontraremos así los juegos del alumno con
su entorno didáctico, relativos al saber, los juegos del maestro que juega con los juegos
del alumno... Se trata de postular el objeto del estudio didáctico y probar su existencia.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
37
El método apareció en los años setenta, en los trabajos que reagrupamos a continuación,
y fue mejorado de forma empírica. Este método se aproxima al preconizado por Crozier
y Friedberg (1977) para el estudio de los sistemas sociales y políticos:
“Si se pudiesen... descubrir estrategias suficientemente estables dentro de un
conjunto” (de personas) y si se pudiesen, por otra parte, descubrir los juegos, las reglas
del juego las reglamentaciones de estos juegos a partir de las cuales estas estrategias
pueden ser efectivamente consideradas como racionales, se tendría a la vez, la prueba
efectiva de que este conjunto puede ser considerado como un sistema y respuestas
precisas sobre su modo de gobierno”10.
Seria todavía ingenuo creer que la construcción de estos “sistemas de acción
concreta” que articulan los juegos de los actores presentes, según Crozier y Friedberg,
pudieran evitar la confrontación permanente con la realidad. Anticipar la pertinencia de
los elementos retenidos para explicar un fenómeno, lleva consigo un riesgo de
encerrarse en las categorías previas que se han aceptado como punto de partida porque
estaban de cuerdo con las ideas recibidas. Y solamente con un trabajo incesante de
análisis del significado de numerosas observaciones, naturales o provocadas, y de
exigencias metodológicas locales y globales, se pueden adjuntar las observaciones a las
hipótesis sobre los juegos respecto a los cuales son racionales y sobre el sistema
didáctico que contiene estos juegos.
CAPITULO VI
LAS SITUACIONES A-DIDACTICAS
6.1. Los subsistemas fundamentales
6.1.1. Esquemas clásicos
En primera aproximación, el juego didáctico pone en relación un primer jugador: el
sistema educativo -el maestro- portador de la intención de enseñar un conocimiento y un
segundo jugador, el enseñado, el alumno. Antes hemos mostrado la necesidad del
maestro, real o interiorizada.
¿Es posible definir el juego didáctico limitándose a estos dos subsistemas? Para esto
se han propuesto diversos esquemas: el de la comunicación debida a Osgood y el del
condicionamiento escolar debido a Skinner.
En el esquema de la comunicación, el sistema educativo es un emisor de
informaciones, el alumno un receptor que descifra los mensajes que recibe, con la ayuda
de su repertorio. La enseñanza consiste en suscitar, con la ayuda de mensajes formados
únicamente con el repertorio del receptor - para que sean inteligibles -, la creación de
nuevos elementos para unir al repertorio (Fig. 2). Es claro que la regla que se le impone
a un maestro que adoptara este modelo, sería no introducir nunca un conocimiento
nuevo más que mediante un método de construcción conocido partiendo de conceptos
conocidos. Lo que se comunica, es solamente el saber en su forma cultural y respecto de
las matemáticas, en su forma axiomática. Este modelo es insuficiente por numerosas
10
L’ acteur et le systeme, p. 216.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
38
razones. Por ejemplo, no permite definir el sentido de mensajes memorizados más que
como reformulación de mensajes anteriores. Y por otra parte, ¿por qué estos mensajes
serían memorizados?
(emisor)
(receptor)
E
R
rE
rR
FIG. 2
Los aprendizajes “por aprehensión estadística donde los semantemas más
frecuentemente propuestos por el emisor se insertan poco a poco en el repertorio del
receptor modificándolo”..., imaginados por A. Moles (1967, p. 110), se inspiran en
hipótesis empiristas sensualistas, rechazadas desde hace tiempo. Esta interpretación
supone también que en todo mensaje que le sea dirigido, el alumno reconocerá lo que es
un saber nuevo que tiene que aprender... ¡qué transparencia!
El esquema de aprendizaje conductista (Fig. 3) responde a esta objeción proponiendo
un esquema de aprendizaje compuesto de dos subsistemas: el alumno que influye
(nosotros diremos que actúa sobre) el medio y el medio que “informa” o sanciona al
alumno.
(alumno)
(medio)
A
M
FIG. 3
El alumno, perturbado por la influencia del medio, intenta anular estas sanciones por
modificaciones del medio y/o por aprendizajes que le modifiquen a él. Naturalmente, el
enseñante es una parte del medio y puede incluso hasta sustituirlo. Este esquema supone
que el saber puede expresarse en forma de una lista de pares de estímulo-respuesta. Esta
tesis fue, en primer lugar, refutada por Chomsky-Miller a propósito del aprendizaje de
la lengua materna que se ha reconocido que no puede ser engendrada, en el mejor de los
casos, mas que por un autómata finito y por un modelo estímulo-respuesta. A pesar de
la objeción de Suppes (para todo autómata finito existe un modelo S.R. que le es
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
39
asintóticamente equivalente), las consideraciones de Nelson y Arbib sobre la velocidad
de convergencia de estos modelos los ha condenado11.
6.1.2. Primera descomposición propuesta
Sin olvidar por un instante las reducciones citadas, parece que es necesario considerar
dos tipos de juegos distintos:
a) Juegos del alumno con el medio a-didáctico, que permiten precisar cual es la
función del saber después y durante el aprendizaje. Estos juegos son evidentemente
específicos de cada conocimiento.
b) Juegos del maestro en tanto que organizador de los juegos del alumno (en tanto en
cuanto son también específicos del saber pretendido). Estos juegos conciernen al menos
a tres participantes y generalmente a cuatro (el maestro, el alumno, el entorno inmediato
del alumno y el medio cultural). El juego del maestro en cada sistema concreto de
acción (Fig. 4), define y da un sentido al juego del alumno y al conocimiento.
FIG. 4
Se desprende de esta definición que los dos tipos de juegos principales del maestro
son la devolución, que ya hemos presentado, y la institucionalización. En la devolución,
el maestro pone al alumno en situación a-didáctica o pseudo a-didáctica. En la
institucionalización, define las relaciones que pueden tener los comportamientos o las
producciones “libres” del alumno, con el saber cultural o científico y con el proyecto
didáctico: da una “lectura” de estas actividades y les da un estatuto. Estos dos géneros
de negociación son distintos. Las discusiones que preceden han hecho presentir para el
primero los elementos de opción, sus jugadas y sus reglas, que permiten modelizarlo en
términos de juegos. El segundo, mucho más ligado al contrato didáctico, es objeto de
trabajos que se están realizando. Es preferible volver a ello después del estudio de la
situación a-didáctica.
11
Brousseau- Gabinski (1974) presenta de forma bastante completa esta cuestión y una
experiencia (Brousseau-Maysonnave) aporta una verificación experimental que consiste en
comparar la velocidad de aparición de cietos teoremas (en actos) entre alumnos de diez años
con las previsiones de un modelo estocástico de aprendizaje. El acuerdo es conveniente en el
caso de una situación simple (carrera hasta 7). Los niños son mucho más rápidos que lo que
prevé el modelo, cualesquiera que sean los valores de los parámetros considerados.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
40
6.1.3. Necesidades de un subsistema “Medio a-didáctico”
Así, en el caso general, la situación didáctica no puede ser modelizada ni como una
simple comunicación ni como una simple interacción social. Es necesario hacer
intervenir otro sistema.
Esta necesidad se desprende de una de las cláusulas del contrato didáctico, el cual
implica en sí mismo, el proyecto de su extinción: desde el principio de la relación
didáctica se sobreentiende que debe llegar un momento en el que se rompa. En ese
momento, al final de la enseñanza, el sistema enseñado se supone que podrá hacer
frente, con la ayuda del saber aprendido, a sistemas desprovistos de intenciones
didácticas. El saber enseñado al alumno se supone que le ofrece la posibilidad de leer
sus relaciones con los sistemas como nuevas situaciones a-didácticas y por este medio,
aportarles una respuesta apropiada. El medio es el sistema antagónico del sistema
enseñado, más aún, precedentemente enseñado.
Esta lectura puede hacerse en realidad de diferentes maneras, pero la coherencia
exige que la modelizemos en forma de “juegos” reconocidos como parecidos a los que
el alumno conoce. El sistema enseñado puede entonces tomar decisiones sostenidas por
sus conocimientos, y además, establecer entre las dos situaciones, la antigua y la nueva,
relaciones de significado. Puede, por el contrario, leer las situaciones a-didácticas en
forma de juegos nuevos que exigen respuestas nuevas sin referencia a las que ya
conoce. Puede, en cualquier caso, ver ahí la ocasión de plantearse nuevas preguntas e,
incluso eventualmente, sin respuesta para él.
Por el contrario, la situación didáctica debe comprender, real o simplemente evocada,
una representación de estas relaciones futuras. Debe incluir y poner en escena otro
sistema, distinto del sistema educativo y que representará “el medio”. Se supone que a
medida que los alumnos progresan, esta representación cultural y didáctica del medio se
aproxima a la “realidad”, y las relaciones del sujeto con este medio deberían
empobrecerse en intenciones didácticas.
De ello resultan algunas consecuencias:
- La relación didáctica se apoya siempre en hipótesis epistemológicas, conscientes o
no, explícitas o no y coherentes o no.
- El análisis de las relaciones didácticas implica la definición o el reconocimiento de
estos juegos “fundamentales” y a-didácticos, poniendo en presencia un medio y un
jugador, estos juegos son tales que el saber -tal saber preciso- aparecerá como el medio
de producir estrategias ganadoras. Es necesario para ello disponer de una forma
particular y muy concreta de conocimientos epistemológicos.
- En un momento dado de la enseñanza el alumno se encuentra implicado por su
contrato didáctico en una relación más o menos real con un medio organizado (al menos
en parte) por el sistema educativo. Esta relación ha sido organizada con el fin de
justificar la producción pertinente por el alumno de comportamientos que son índices de
apropiación del saber. Es decir, que la respuesta del alumno no debe ser motivada por
las obligaciones ligadas al contrato didáctico sino por necesidades a-didácticas de sus
relaciones con el medio.
- Las relaciones del alumno con el medio pueden ser concebidas (en particular por el
sistema educativo) como jugando papeles muy diferentes:
• Por ejemplo la situación a-didáctica puede ser incapaz de provocar ningún
aprendizaje. Toda la virtud didáctica está contenida en el contrato didáctico.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
41
• En oposición, se puede esperar que los efectos recíprocos del medio y del alumno
sean suficientes por ellos mismos, para provocar las adaptaciones y los aprendizajes que
se esperan (hablaremos entonces de situación de aprendizaje en sentido estricto). El
sistema educativo se limita entonces a elegir, organizar y mantener las relaciones que
aseguran la génesis del conocimiento del sujeto. Enviar continuamente al alumno a la
interrogación del medio no le deja ignorar durante mucho tiempo que el contrato
pedagógico está vacío de todo contenido didáctico.
• El caso general es evidentemente intermedio y conjuga un contrato didáctico y una
situación a-didáctica que puede ser también una situación de aprendizaje por
adaptación.
6.1.4. Estatuto de los conceptos matemáticos
Hemos visto que la producción y la enseñanza de conocimientos matemáticos exigen
un esfuerzo de transformación de los conocimientos en saberes, una despersonalización
y una descontextualización que tienden a borrar las situaciones históricas (los juegos)
que presidieron su aparición. Sin embargo, estas transformaciones no hacen desaparecer
completamente su carácter fundamental que es responder a cuestiones: las cuestiones las motivaciones- cambian, la mayor parte desaparecen del cuerpo de la teoría pero
subsisten en forma de problemas. Está bastante claro en la mayor parte de los profesores
de matemáticas que sólo la resolución de problemas puede asegurar que el alumno ha
adquirido, al menos en parte, los conocimientos matemáticos pretendidos. A su vez, el
campo de problemas relativos a un conocimiento no deja de transformarse poco a poco
a medida que la teoría evoluciona.
Se instaura una especie de dialéctica entre la capacidad de la teoría matemática para
resolver más fácilmente el stock de problemas existentes y la capacidad del stock de
problemas para hacer funcionar de manera no trivial los conocimientos transmitidos.
Esta dialéctica se apoya sobre un equilibrio necesario entre la actividad científica que
tiende a plantear nuevas cuestiones para resolver, aumentando así el campo de los
problemas y de los conocimientos, y la comunicación de éstos que incita a una mejor
organización teórica que disminuya la complejidad del campo. Esta reorganización
trivializa entonces los problemas antiguos y permite la reducción del campo de los
problemas necesarios a la aprehensión de conocimientos teóricos que puedan entonces
plantear nuevas cuestiones.
Este sistema de acciones y de retroacciones no asegura un desarrollo “regular” de las
matemáticas pues un equilibrio no puede más que romperse en este dominio y provocar
los diferentes tipos de actividades. De todos modos, muestra que la correspondencia
entre problemas y conocimiento evoluciona, y no es intrínseca. Solamente el control de
una teoría y de sus relaciones permitirá proponer a la enseñanza situaciones adidácticas. Por otra parte, si se considera la evolución de los conocimientos y de los
conceptos matemáticos, es corriente constatar que obedece frecuentemente a un
esquema que el funcionamiento que acabamos de exponer tiende a justificar.
La etapa final, la que pone el concepto bajo el control de una teoría matemática,
permite definirlo exactamente por las estructuras en las que interviene y por las
propiedades que satisface. Sólo esta etapa le da su estatuto de concepto matemático y le
pone a salvo de ambigüedades y de “errores” -pero no de volver a él o de dejarlo de
lado.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
42
Esta etapa está precedida generalmente por un período en el que el concepto es un
objeto, familiar, reconocido, nombrado, del que se estudian las características y las
propiedades pero que todavía, por diversas razones, no ha sido organizado y teorizado.
Tal es la noción de función en el siglo XIX o la de ecuación en el siglo XVI o la de
variable en el siglo XX. El funcionamiento y el papel de estos conceptos
paramatemáticos es bastante diferente del de los conceptos matemáticos. Los primeros
son más bien instrumentos, y los segundos objetos, en el sentido en que lo entiende R.
Douady en su tesis.
Pero se puede decir también tomando “el punto de vista más formal”, más
“sistémíco”, que en ausencia de un status matemático comprobado, los términos
utilizados son instrumentos o herramientas que responden a necesidades de
identificación, de formulación y de comunicación, y que su uso descansa en un control
semántico. Los matemáticos los utilizan bien, no porque posean una definición que les
darla un control “sintáctico” sobre ellos, sino porque los “conocen bien” y porque no ha
aparecido ninguna contradicción al respecto que les obligue a matematizarlos más. Este
uso paramatemático corresponde a una cierta economía de organización teórica, por lo
tanto de economía para la comunicación, la enseñanza y la resolución de problemas. Es
muy aceptable en tanto que las dificultades no aparecen: contradicciones (los
fundamentos de las matemáticas a finales del siglo XIX) o campo semántico demasiado
extenso (como por ejemplo el concepto de probabilidad justo antes de Kolmogorov).
Pero la etapa paramatemática de un concepto está probablemente precedida de otra que
Y. Chevallard ha propuesto llamar “protomatemática”.
Se trata entonces de una cierta coherencia de hecho en las preocupaciones de los
matemáticos de una época, de puntos de vista, de métodos, de elecciones de preguntas
que se articulan más claramente en un concepto hoy identificado pero que, en su época,
no lo estaba.
Para que se pueda hablar de concepto, es necesario que suficientes índices sean un
testimonio de que estas preocupaciones convergentes no eran una simple consecuencia
del azar o de la necesidad matemática, sino también una opción de los matemáticos de
la época y que ellos percibían esta proximidad de cuestiones, como ligadas, incluso
aunque no poseyesen ningún término para identificarlas. No se trata pues de confrontar
concepciones históricas en nombre de su identidad matemática. Por ejemplo,
simplificando mucho, Al Kwarismi se ocupaba de los racionales pero no
verdaderamente de los reales; sin embargo, Stevin expone toda la problemática de los
reales y el concepto ha alcanzado con él el nivel protomatemático.
Esta hipótesis de un objeto de conocimiento todavía implícito pero reglamentando ya
las decisiones en un dominio de cuestiones, descansa de hecho sobre el reconocimiento,
a priori, de la posibilidad de interpretar los textos matemáticos con la ayuda de una
especie de representación del trabajo del matemático. Por tanto esto implica tomar la
responsabilidad, no sólo de la matemática, de su historia y su epistemología clásica,
sino también de una cierta parte de la didáctica, en la medida en que ella pretende
modelizar este trabajo.
6.2. Necesidad de distinguir diversos tipos de situaciones a-didácticas
Aunque no sea ni el original ni la copia, esta clasificación de los diferentes estatutos
de un concepto matemático corresponde de hecho bastante bien a la diferenciación de
los subsistemas de la situación a-didáctica.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
43
Se trata ahora de establecer:
• una clasificación de las interacciones del sujeto con el medio a-didáctico,
• una clasificación de los tipos de organizaciones de este medio,
• una clasificación de los tipos de funcionamiento de un conocimiento,
• y una clasificación de las formas de evolución espontánea de los conocimientos.
Cada clasificación deberá justificarse con bastante claridad en su propio dominio:
- por las diferencias importantes y evidentes entre los objetos clasificados,
-por la simplificación que puede aportar en su descripción, su análisis y su
comprensión,
- por la pertinencia de esta clasificación (y su importancia en relación con otras
posibilidades) para cada dominio al que se refiera.
- por su carácter completamente exhaustivo.
Las clases obtenidas deben corresponderse y poder organizarse en un hiposistema.
Por ejemplo, un cierto tipo de interacción es especifico de un tipo de organización social
y material, favorece una cierta forma de conocimiento y puede también hacerla
evolucionar.
Estos hiposistemas, así identificados, tienen por fin prever y explicar ciertas
relaciones entre las interacciones que se observan, (o que se quiere obtener), los
conocimientos de los que se constata o se busca la adquisición, de las limitaciones
creadas por el medio, etc... Son, por tanto, un soporte para producir hipótesis falsables.
No se exige que sean exclusivos, una misma situación “real” podrá presentar
generalmente varios, que corresponderán a diversos componentes y a los diversos
saberes en juego. Se supone que harán evolucionar aisladamente los conocimientos y las
cuestiones del alumno, pero pueden apoyarse los unos en los otros y articularse en
procesos o en dialécticas organizadas o espontáneas.
Nada obligará pues a tomarlos como una norma, una obligación, en la cual encerrar el
funcionamiento del conocimiento y la ingeniería didáctica.
Estas condiciones no serán trivialmente satisfechas, en particular la correspondencia
evocada antes, no está asegurada con anticipación, incluso aunque sea posible sospechar
que existe o creerla inevitable. Después, parecerá evidente pero el someterla a pruebas
experimentales muestra hasta qué punto estas apuestas son arriesgadas.
El carácter nuevo del objeto de estudio hace difícil la percepción del interés relativo
de las cuestiones y la necesidad o la contingencia de las respuestas aportadas.
6.2.1. Las interacciones
Las relaciones de un alumno con el medio pueden clasificarse al menos en tres
grandes categorías:
- los intercambios de opinión [3]12
- los intercambios de informaciones codificadas en un lenguaje [2],
12
Estos números llevan todos al mismo tipo de hipótesis: [1] Acción, [2] Formulación, [3]Validación.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
44
- los intercambios de informaciones no codificadas o sin lenguaje: las acciones y las
decisiones que actúan directamente sobre el otro protagonista [1].
Estas categorías están encajadas pues un intercambio de opinión es un intercambio
de informaciones particulares y éste, un tipo particular de acción y de decisiones. Lo
están estrictamente.
i) Existen interacciones en las que el jugador expresa sus opciones y sus decisiones
sin ninguna codificación lingüística, por acciones sobre el medio. Asimilaremos a esta
clase de interacciones, aquéllas en las que aparecen mensajes de una codificación tan
fácil respecto de la acción que no jugarán ningún papel en el juego. Igualmente, aquéllas
en las que existen intercambios de mensajes pero sin relación con la solución del
problema. Por ejemplo, el jugador se expresa o mantiene una conversación anodina con
un tercero sin esperar retroacción.
También puede ocurrir que el “jugador” sea una pareja de alumnos cooperando para
tomar una decisión común después de haber intercambiado informaciones y opiniones.
Pero esta relación compuesta comporta un componente de acción bien identificable, en
la que se superponen otras interacciones que tienen finalidades locales y temporales. Si
el intercambio de información no es necesario para obtener la decisión, si los alumnos
comparten las mismas informaciones sobre el medio, es preponderante el componente
de “acción” [1]13
ii) Asimismo, existen interacciones en las que el jugador actúa emitiendo un mensaje
al medio antagonista sin que este mensaje signifique la intención de emitir un juicio. No
se trata solamente de clasificar en esta categoría las órdenes, las preguntas, etc... sino
también todas las comunicaciones de información. Ciertamente, la mayor parte de las
informaciones están implícitamente acompañadas de una afirmación de validez. Pero en
la medida en que el emisor no indique explícitamente esta validez, si no espera que le
contradigan o le pidan verificar su información, si el contexto no da una cierta
importancia a la cuestión de saber si la información es verdadera, cómo y por qué, o si
esta validez es susceptible de establecerse sin dificultad, entonces el mensaje será
clasificado como simple información. Se supone que la información dada así, pueda
cambiar al menos la incertidumbre del medio y en general su”estado” [2]13.
iii) Finalmente, existen interacciones tales que los mensajes intercambiados con el
medio son aserciones, teoremas, demostraciones, emitidas y recibidas como tales. La
diferencia entre una afirmación de validez y una información es suficientemente clara e
importante en matemáticas para que sea inútil insistir aquí. Veremos más tarde que estas
declaraciones pueden ser de diferentes tipos, según se refieran a la validez sintáctica o a
la validez semántica del enunciado contenido en la aserción según que intervengan
como prueba, demostración, axiomas o definiciones. Se podría también evocar la
validez pragmática, apreciación sobre la eficacia del enunciado [3] 13.
No es necesario probar aquí la importancia para la enseñanza de distinguir estos tres
tipos de producciones esperadas de los alumnos.
En los trabajos experimentales a los que este ensayo teórico13 acompañaba, son
designados de la manera siguiente:
- el primero como “acciones”, sobreentendiendo que no comprenden las formulaciones
o las declaraciones de validez que pueden acompañarlas,
13
G. Brousseau. Los obstáculos epistemológicos, tesis de Estado.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
45
- el segundo como “formulaciones”, sobreentendiendo sin debates de prueba,
- el tercero -el término no es muy acertado, pero es utilizado desde hace 14 años- como
“validación”.
6.2.2. Las formas de conocimiento
Las formas de conocimiento que controlan las interacciones del sujeto han sido objeto
de numerosos enfoques. Todos tienden a oponer la más explícita y la mejor asumida del
saber, aquellas que se expresan sobre el modo “declarativo” por ejemplo (Skemp), a
formas más implícitas: las representaciones, los esquemas, los saber hacer... que se
expresan de un modo más “procedimental”. Hemos añadido un componente más;
estrictamente lingüístico: los códigos y los lenguajes que controlan las formulaciones.
i) Simplificando un poco, las formas de conocimiento, que permiten “controlar”
implícitamente las interacciones del sujeto relativas a la validez de sus declaraciones,
son principalmente sus saberes expresables y reconocidos como tales por el medio.
Estos saberes están organizados en teorías, en demostraciones y definiciones bien
determinadas en su más completa forma cultural[3] 13.
La distinción entre un saber y un conocimiento se debe en primer lugar a su estatuto
cultural; un saber es un conocimiento institucionalizado. El paso de un status al otro
implica sin embargo transformaciones que los diferencian y que se explican en parte por
relaciones didácticas que se establecen a su respecto.
Pero admitiremos como primera aproximación, que los conocimientos que se pueden
hacer explícitos y los saberes intervienen de forma comparable en el control de las
opiniones del “alumno”. Forman de alguna manera el “código” mediante el que
construye, justifica, verifica y demuestra sus declaraciones de validez.
Esta justificación se refiere a la vez a la convicción profunda del alumno y a la
convicción social aceptada.
Se supone que las pruebas y validaciones explícitas se apoyan unas sobre otras hasta
la evidencia, pero su articulación no es con seguridad automática. Los saberes y los
conocimientos se actualizan en una actividad de búsqueda o de prueba según
modalidades que la heurística intenta descubrir y que la inteligencia artificial intenta
reproducir. Por el momento, resultan bastante inaccesibles al análisis científico y a
fortiori al sujeto mismo. Se las puede suponer regidas ellas mismas por
representaciones, esquemas epistemológicos cognitivos, modelos implícitos, etc. La
diferenciación de los tipos de conocimiento que intentamos no debe ir más lejos de lo
necesario para organizar el debate didáctico con el alumno. Probablemente la actividad
mental rompe estas frágiles distinciones y unifica estos modos de control en un
pensamiento complejo.
Sin embargo, es útil conservar la distinción hecha en lógica entre el enunciado
considerado como una expresión bien formada o como un conjunto de realizaciones y la
aserción que encierra este enunciado en una declaración metateórica sobre su validez,
sobre un dominio dado o su deductibilidad de un sistema de axiomas. Generalizando
esta distinción, un juicio se compone:
- de una descripción o modelo expresado en un cierto “lenguaje” o (en una cierta teoría)
que reenvía eventualmente a una “realidad” (es decir, al dispositivo del juego en curso),
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
46
- y de un juicio sobre la adecuación de esta descripción, sobre su carácter de
contingencia o de necesidad o sobre su consistencia respecto de los conocimientos del
sujeto o del medio.
Es muy importante no confundir a priori los conocimientos y los saberes, objetos de
una actividad de construcción por parte del alumno, con los conocimientos que
describen las relaciones que pretendemos establecer aquí bajo un aspecto unificado o
idéntico, estas distinciones son bien evidentes en los trabajos sobre el “pensamiento
natural” que hemos utilizado en muchas investigaciones y particularmente los de H.
Wermuz.
ii) La formulación de las descripciones y de los modelos de los que hablamos está
reglamentada por otro tipo de código. Incluso si la teoría de los lenguajes permite
unificar la construcción de un enunciado y la demostración de un teorema, el recurso
constante en la actividad matemática, a la lengua natural y a otras clases y a otros tipos
de representaciones tales como dibujos o grafos, exige distinguir para ellos códigos y
modos de control propios [2] 13.
iii) Los diferentes tipos de representaciones o los teoremas en actos que rigen las
decisiones del sujeto no son muy fáciles de identificar, incluso cuando parecen
formulables o explicitables para el sujeto. Pero numerosos trabajos comienzan a
demostrar cómo las regularidades de comportamientos pueden dar un acceso a este tipo
de “modelos implícitos”. La importancia que juegan en las adquisiciones sigue siendo
un problema abierto, muy frecuentemente abordado de manera demasiado estrecha. Es
cierto que estas formas de conocimiento no funcionan de manera completamente
independiente, ni de manera completamente integrada, para controlar las interacciones
del sujeto. El estudio de las relaciones que se establecen entre estos tipos de controles en
la actividad el sujeto y el papel que juegan en las adquisiciones, es un sector de la
psicología, esencial para la didáctica, estudio al que la didáctica pretende, por otra parte,
contribuir[l]13
6.2.3.
La evolución de estas formas de conocimiento: el aprendizaje
Los conocimientos evolucionan según procesos complejos. Querer explicar esas
evoluciones únicamente por las interacciones efectivas con el medio, sería ciertamente
un error, pues muy pronto, los niños pueden interiorizar las situaciones que les interesen
y operar” con sus representaciones “internas”, experiencias mentales muy importantes.
Resuelven así los problemas de asimilación (aumento de esquemas ya adquiridos por
agregación de hechos nuevos) o de acomodación (reorganización de esquemas para
aprender preguntas nuevas o para resolver contradicciones). Pero la interiorización de
éstas interacciones no cambia mucho la naturaleza: el diálogo con un oponente
“interior” es ciertamente menos vivificante que un verdadero diálogo, pero es un
diálogo. ¿Existen formas de aprendizaje y de evolución de conocimientos distintos
según los tipos que acabamos de exponer? ¿Los conocimientos teóricos aumentan y se
reestructuran como los lenguajes y como los modelos implícitos? ¿Qué papeles juegan
las diferentes formas de conocimiento en las adquisiciones de diversos tipos?.
En matemáticas, existe un modo “convencional” de crecimiento de conocimientos por
el juego de definición de objetos nuevos de los cuales se hace un inventario de las
propiedades que sirven para proponer nuevas cuestiones que introduzcan definiciones
etc. Si este modo “axiomático y formal” no puede retenerse como modelo global,
incluso restringiéndose a los saberes, no puede ser enteramente rechazado, al menos
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
47
como modelo local. No puede sin embargo ser extendido al aprendizaje de las
representaciones.
En sentido opuesto, los modos de aprendizaje el tipo estocástico, basados en la
repetición, no parecen apenas adaptados a los conocimientos complejos (de alto nivel
taxonómico). Las descripciones de la adquisición del lenguaje por niños (como las
propuestas por E. Alarcos Llorach14 ) ponen en evidencia que las producciones propias
del sujeto (como el lenguaje de los niños) aparecen espontáneamente, pero casi como
ejercicios, que ellos insertan en las relaciones con el medio y allí se ajustan
naturalmente o son corregidas por intervenciones bastante variadas. Las etapas de esta
adquisición no son comprensibles más que por el estudio global de las relaciones del
sujeto con su medio. Por ejemplo, el paso de la palabra-frase a la frase compuesta de
muchas palabras no es una simple concatenación.
Una discusión rigurosa del interés de distinguir las formas de adquisición específicas
de las diferentes formas de saber ya evocadas, se sale del marco de este texto.
Esencialmente, no existen contradicciones con los modelos epistemológicos que Piaget
asocia a su teoría de la equilibración, ni con las concepciones de Bachelard. Al
contrario, hemos demostrado en muchos estudios precisos que la clasificación de los
tipos de situaciones podía aclarar estas teorías y prolongarlas15 .
Es necesario insistir sobre el carácter “dialéctico” de estos procesos: las
concepciones anteriores de los alumnos y los problemas que el medio les propone,
conducen a nuevas concepciones y a nuevas preguntas cuyo sentido es
fundamentalmente local.
Uno de los principales argumentos en favor de los modos diferentes de evolución
para las diferentes formas de conocimiento es lo que ya hemos avanzado y que se apoya
en la historia de las matemáticas y en la epistemología: la evolución de los conceptos
protomatemáticos, la de los conceptos paramatemáticos y la de los conceptos ya
matematizados es diferente. Por el contrario, el estudio de la evolución del
conocimiento de los alumnos, a condición de que sea convenientemente apoyada por el
análisis de condiciones referentes a las situaciones, puede aportar una interesante
aclaración sobre procesos históricos y constituir una clase de epistemología
experimental. Es lo que hemos intentado mostrar en numerosos trabajos
experimentales16 .
6.2.4. Los subsistemas del medio
El hecho de que los diferentes tipos de interacción con el medio y que las diferentes
formas de conocimiento se justifican a priori e independientemente, permite ya discutir
las particularidades del medio que le son necesarias.
Para las preguntas del género: “¿Por qué el alumno haría o diría esto en lugar de lo
otro? ¿Qué le puede ocurrir si lo hace o no lo hace? ¿Qué sentido tendrá la respuesta si
se le suministra?”, es posible despejar las condiciones más importantes que estas
tipologías imponen al medio.
Sin embargo, aquí todavía, las categorías son bastante evidentes:
14
En “langage” enciclopedia de la Pléiade.
G. Brousseau, Los obstáculos epistemológicos, tesis de Estado.
16
G. Brousseau, Problemas de didáctica de los decimales.
15
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
48
[3] ¿Comprende o no comprende el medio un oponente (o un proponente) al que el
sujeto debe enfrentarse para alcanzar el objetivo fijado en un intercambio de opinión?
[2] ¿Comprende el medio un receptor de los mensajes que el alumno debe emitir para
alcanzar el fin propuesto?
La respuesta a estas dos preguntas determina disposiciones del medio y reglas de
juego totalmente diferentes.
La examinaremos subrayando que por el instante, el medio del que se trata es un
medio real y no invocado o simulado y que se supone que el profesor no interviene. En
este caso está claro que las condiciones ya citadas corresponden a diferencias muy
importantes de organización de la clase o el medio. Puede que encontrar de qué hablar y
sobre qué tratar sean los principales problemas del alumno.
6.3. Primer estudio de los tres tipos de situaciones a-didácticas
6.3.1. El esquema de acción
La figura 1 simboliza el modelo general de acción sin interlocutor. Permite ya dar
una clave de lectura de una situación real de enseñanza:
• ¿El “partenaire” (el medio) se percibe como desprovisto de intenciones didácticas?
• En cada jugada, el alumno debe elegir efectivamente un estado entre diversas
posibilidades. ¿Sabe entre cuáles?
• ¿Puede perder el alumno? ¿Lo sabe, conoce de antemano el estado final (clase de
los estados finales) en particular el estado final que le permite ganar?
• ¿Conoce las reglas del juego precisas sin conocer una estrategia ganadora? ¿Se le
pueden enseñar las reglas sin darle la solución? (¿Tiene que investigar sobre una
estrategia óptima?).
• ¿El conocimiento pretendido es necesario para pasar de la estrategia de base a
una estrategia mejor (óptima)? ¿Es el medio mejor de hacer este paso?
• ¿Puede el alumno comenzar de nuevo? ¿Se “gratifica” la anticipación en el
juego?
• ¿Tiene el alumno alguna posibilidad de encontrar la estrategia buscada si la pide (a
otro alumno)?
• ¿Las “respuestas” (a-didácticas) del sistema a las opciones desfavorables del
alumno son sin embargo pertinentes para la construcción del conocimiento (da el
conocimiento las indicaciones especificas del error)?
• ¿Se pueden controlar las decisiones (es conducido el alumno a anotarlas, a
observarlas)?
•
¿Una actitud reflexiva, es útil y necesaria para progresar en la solución?
Con estos últimos puntos, nos aproximamos a condiciones límite de una situación de
acción: considerar la validez de una solución responde a una situación de validación;
ciertamente, un alumno que reflexiona naturalmente sobre su juego está en una
situación a-didáctica efectiva de acción, pero interioriza y simula de alguna manera una
situación de validación. Si el enseñante se ve obligado a que el alumno tenga esta
posición reflexiva, el sortilegio (“¡Reflexiona! Mira lo que has hecho...”) podrá no
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
49
bastar y el maestro deberá comunicar su deseo didáctico por medio de una situación de
validación.
La apertura, que representamos en una primera aproximación por una incertidumbre
en el sentido de la teoría de la información, es una de las condiciones más importantes
sacada aquí a la luz. La distinción entre la situación didáctica y la situación a-didáctica
permite concebir para el alumno, situaciones abiertas de enseñanza del pensamiento
matemático porque ya está “hecho”. La manipulación de esta apertura al nivel de una
clase entera es un problema técnico delicado, pero accesible: por ejemplo, hacer de
manera que la investigación de cada alumno no sea aplastada por el trabajo de otro, es
un problema didáctico (y no pedagógico).
Esta clave de lectura puede también servir para la concepción de situaciones
didácticas nuevas. Cada juego propuesto puede ser examinado y comparado con los que
ya se conocían. Es posible establecer problemas de ingeniería, clasificar los dispositivos
conocidos y reagrupar desde el punto de vista de esta modelización, las producciones
parecidas y prever otras nuevas. El problema esencial que sigue siendo del dominio
experimental es el de la importancia de la realización, o no, de las condiciones así
propuestas, como desprendiéndose lógica o sistemáticamente de las posibilidades del
modelo.
Las variables que aparecen así tienen razones teóricas de ser pertinentes y pueden ser
precisadas con cálculos económicos de complejidad o eficacia. Es inevitable la
confrontación con la contingencia o con la experiencia tal como es practicada en la
mayor parte de las investigaciones.
Desde este punto de vista, el modelo juega su papel desde hace diez años, por tanto
su eficacia está asegurada por un número de situaciones originales de enseñanza que no
dejan de producirse.
Cuando las propiedades de una situación capaz de justificar (o de provocar) la puesta
en práctica de un conocimiento específico se conocen mejor, es posible estudiar las
posibilidades que tiene la primera de hacer evolucionar a la segunda. Las variables
didácticas son las que influyen en el aprendizaje y de las que el profesor puede elegir su
valor [Ingeniería-Investigación sobre la enseñanza del cálculo numérico]. Numerosos
problemas de aprendizaje han sido estudiados con la ayuda de este modelo. (Ver un
apartado especial de la bibliografía.)
6.3.2. Esquema de la comunicación
El “medio” comprende un sistema receptor y/o un emisor con el cual el jugador
intercambia mensajes.
Supondremos aquí que el objeto de estos mensajes no es el de actuar sobre el receptor
(de cambiarlo, de ejercer un poder sobre él, de obligarle, etc.) sino de actuar a través de
él sobre el dispositivo “medio”.
El alumno está comprometido en un juego con un dispositivo medio desprovisto de
intenciones didácticas. Si tuviera a la vez informaciones y medios de acción suficientes
para elegir solo los estados del “medio”, sus mensajes no teniendo ninguna finalidad en
el juego, podrían ser cualesquiera. Suponemos también, por el momento, que no hay
más que un solo jugador A. El receptor no tiene otra misión que la de servir como
jugador B y no hace personalmente ninguna elección (Fig. 5).
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
50
FIG. 5
Los diferentes casos son evidentes:
- medios de acción insuficientes. A debe describir a B la acción que debía efectuar y
a menudo también una parte del medio para que el mensaje sea inteligible.
- informaciones insuficientes para A pero medios suficientes, es B quien debe
describir el medio y A, descodificar la descripción y dirigir la observación.
- medios de acción e información insuficientes para A...
En el primer caso, por ejemplo para A, el sentido del mensaje (el contenido
informativo necesario para el juego) que envía a B, puede representarse por el paso (el
par) de las elecciones de acción que el juego ofrece a B según lo elegido por A.
En el segundo, es el paso de las opciones consideradas por A ante el aporte de
información de B a las que él mismo considera después.
El hecho de que B sea también un jugador puede tener una cierta importancia porque
disminuye la libertad de A y por lo tanto el sentido de su acción. Es necesario por
supuesto que coopere con A. El esquema no es diferente ya sea que los roles estén bien
identificados o indiferenciados (pero entonces un jugador puede no dejar al otro ninguna
elección que hacer, ninguna acción).
Los mensajes intercambiados están bajo el control de códigos lingüísticos formales o
gráficos, y por tanto los hacen funcionar.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
51
Lo que está en juego en la comunicación misma se expresa por las retroacciones que
ejercen los interlocutores, uno sobre el otro, para asegurar que se han comprendido. Sus
exigencias se refieren a la conformidad en el código (mínima para que el mensaje sea
inteligible), la ambigüedad, la redundancia, la falta de pertinencia (informaciones
superfluas) y la eficacia (los caracteres óptimos) del mensaje.
Combinando juiciosamente un medio (un juego en el sentido 4) y las condiciones
convenientes de intercambio del mensaje (referidas al canal por ejemplo), es posible
influir en el tipo y en el sentido de los mensajes obtenidos del jugador.
Es posible también hacer evolucionar el código mismo: pasar de una formulación en
lengua natural a un enunciado formal, o de metáforas a descripciones sistemáticas.
Estos resultados han sido obtenidos en varias investigaciones, pero es necesario
prever también sinsabores a causa de la enorme capacidad de invención semiológica de
los niños.
Este esquema de situaciones a-didácticas presenta un cierto interés para dar sentido o
para analizar el sentido de un mensaje, una fórmula. Tomemos un ejemplo
completamente teórico y un poco provocador: busquemos una organización social
(teórica) para hacer aparecer la emisión (por un niño de cinco o seis años para fijar las
ideas) de la formula “13 = 9 + 4” tomada como información (y no como aserción). Es
necesario que el emisor E de la fórmula se dirija a un destinatario D. Si D conoce la
significación de 13 y la de 9 + 4, el mensaje no puede aportarle más que información
sobre “=“ paradigma de un conjunto muy restringido: {=, ≡} El enunciado será más
informativo si el destinatario no conoce uno de los dos términos, por ejemplo si el
alumno describe convencionalmente un cálculo (9 es conocido, así como 4, el resultado
le su suma es 13).
Pero si se considera que el primer término es el mismo mensaje, éste debe ser emitido
por un emisor E1 para un destinatario D1 con el fin de informarle, por ejemplo, sobre el
estado de un stock. 9 + 4 es un mensaje emitido por E2 para D2 en otro código para
informarle sobre el estado de otro stock, o del mismo, entonces, el mensaje completo
informa a D1 que los dos mensajes, 13 y 9 + 4, designan el mismo objeto. No queda
más que encontrar un juego que haga plausible este funcionamiento de 6 personas (Fig.
6).
FIGURA 6
¿Por qué D tendría necesidad de saber si los dos mensajes, en “lengua 1” y en “lengua
2” designan o no el mismo objeto....?
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
52
Aunque se hayan hecho ensayos, este tipo de razonamiento no conduce siempre a un
juego utilizable en clase, pero es un medio muy eficaz para analizar el sentido de las
producciones de los alumnos y para proponer medios de control.
Es fácil considerar variantes como la auto comunicación que conduce más fácilmente
por la memorización, a códigos personales. Los pasos del oral al escrito o del gráfico al
discurso han sido frecuentemente observados y han dado lugar al estudio de la
influencia de numerosas variables17.
Utilizar el lenguaje matemático de manera precisa, en las comunicaciones
deliberadas entre alumnos, es ciertamente uno de los mejores resultados pedagógicos de
este tipo de situaciones. Es necesario señalar la importancia de:
- la calidad del juego con el medio con el fin de asegurar y de mantener la
pertinencia y la riqueza del discurso de los alumnos.
- la frecuencia de empleo que suscita en las comunicaciones.
- la posibilidad de analizar los mensajes producidos.
6.3.3. Esquema de la validación explícita
Las situaciones convenientes de comunicación favorecen la aparición de mensajes
que pueden tener una forma más cercana al discurso matemático y que son
concretamente significativos para un cierto “medio”. Pero estos mensajes no tienen el
sentido de un texto matemático. Las situaciones de validación van a poner en presencia
dos jugadores, que se enfrentan a propósito de un objeto de estudio, compuesto de
mensajes y descripciones que ha producido el alumno por una parte, y el medio adidáctico que sirve de referencia a estos mensajes por otra (Fig. 7).
Los dos jugadores son alternativamente un “proponente” y un “oponente”;
intercambian aserciones, pruebas y demostraciones a propósito del par “medio /
mensajes”. Este par es el nuevo dispositivo, el “medio” -el juego en sentido 4- de la
situación de validación. Puede presentarse como un problema acompañado de sus
tentativas de soluciones, como una situación y su modelo, o como una “realidad” y su
descripción.
Mientras que el informador y el informado tienen relaciones disimétricas con el
juego (uno sabe una cosa que el otro ignora), el proponente y el oponente deben estar en
posiciones simétricas, tanto en lo que concierne a las informaciones y a los medios de
acción de que disponen sobre el juego y sobre los mensajes, como en lo referente a sus
relaciones recíprocas, los medios de sancionarse mutuamente y lo que está en juego
frente al par medio/mensaje. (Fig. 7).
17
Cf. La creatión d’ un code à l’école maternelle et l’enseignement de le géométrie.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
53
FIG. 7
En particular, uno de los jugadores no debe tener la posibilidad de obtener el acuerdo
del otro por medios “ ilegítimos”, tales como la autoridad, la seducción, la fuerza, etc.
La didáctica se encuentra ante el reto de producir situaciones que permitan al alumno
poner en marcha los saberes y los conocimientos matemáticos como medios efectivos
de convencer (y por tanto de convencerse) llevándole a rechazar los medios retóricos
que no son buenas pruebas o refutaciones.
El sentido exacto de las declaraciones de matemáticas está condicionado por este
abanico de opciones: lo que dice un teorema es también lo que contradice, lo que dice
una demostración, no es solamente lo que está supuestamente admitido por el
proponente y el oponente sino también lo que hubiera podido ser refutado. El discurso
matemático se construye en parte contra otros procesos de adquisición de creencia y de
conocimiento y no solamente con.
Precisamos el juego de la prueba.
“A” propone un enunciado: la declaración de una propiedad cuyo conocimiento es
útil para demostrar las relaciones (de A o de B) con el medio, el reto fundamental es
siempre el de “ganar” en un cierto “juego”.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
54
“B” si quiere acogerlo, y servirse de ello, debe:
- o bien “pagar” a A cada vez, es un reconocimiento de validez pragmática.
- o bien “pagar” a A una vez por todas, aceptando la proposición como verdadera.
Pero puede también comprometer el proceso de refutación si piensa que la
declaración de A es falsa. Refutación pragmática puede “obligar” a A a jugar una baza
decepcionante de su enunciado. Si la declaración es falsa y la situación es correcta, la
baza debe ser perdedora (esto no es tan fácil de obtener). Este es el dispositivo que hace
funcionar el contraejemplo. B puede obligar a A a jugar su baza perdedora tan a menudo
como le toque jugar, hasta que A retire su declaración. Refutación intelectual: B puede
también proponer a A un trato: puede proponerle una refutación explícita de su
declaración inicial, esta refutación puede economizarle una costosa obstinación. Si A
acepta (paga un poco a priori) por ejemplo, dejando pasar su turno, B se convierte
entonces en proponente. A acepta la refutación o la rechaza... Los argumentos son
siempre los que el oponente puede recibir -lo mismo que en toda comunicación, el
repertorio debe ser el del receptor, para que el mensaje sea comprendido-. Así se crea
“de facto” una teoría, como un conjunto de observaciones aceptadas por los dos
jugadores. Puede ocurrir en cada instante que uno de ellos descubra que un
conocimiento no es compartido, mientras que creía que su compañero podía disponer de
él. Todas las aserciones de la “teoría” son así susceptibles de hacerse explícitas y de ser
puestas en duda. La teoría misma es un objeto de estudio y de construcción.
Los medios técnicos de estas demostraciones y los argumentos pueden ser de orden
semántico -adecuación al “medio”, al problema -o de orden sintáctico a varios niveles:
articulación y validez matemática, constitución lógica e incluso formal del argumento.
Pero también de orden epistemológico, así lo muestra Lakatos18 .
El uso de situaciones de prueba restaura un entorno sociocultural que da densidad al
discurso matemático. Las situaciones de validación pueden ayudar al profesor a hacer
vivir en su clase una pequeña pero verdadera sociedad matemática. Pero, restaurando un
sentido, corremos el riego de aumentar las dificultades de los que no entraron en este
juego, y para quienes el teorema e incluso las demostraciones no son más que saberes
como los demás a exhibir en el momento oportuno. Una situación de validación no es, a
priori, la mejor situación de aprendizaje de saberes institucionalizados. Puede incluso
suscitar obstáculos didácticos y resucitar obstáculos epistemológicos molestos. Sin
embargo es esencial como paradigma de otras situaciones matemáticas. Es deplorable,
por ejemplo, que la geometría enseñada en la enseñanza secundaria no utilice estos
procesos, mientras que puede justificarse como primer ejemplo del pensamiento
axiomático frente a un campo dominado naturalmente por otros medios. Dar la
matematización totalmente hecha, está aquí en contradicción con el objeto didáctico
anunciado.
Al lado de sus propiedades epistemológicas o didácticas, estas situaciones sociales
pueden presentar ventajas interesantes en el dominio de la motivación de los alumnos
motivaciones frecuentemente trasferibles.
Esta motivación puede manifestarse no sólo en el caso en que la situación está
realmente organizada y efectivamente vivida, sino también cuando es simulada, relatada
o interiorizada.
18
I. Lakatos, Pruebas y refutaciones.
Guy Brousseau (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
55
Los alumnos cooperan en la medida en que ellos llegan a compartir el mismo deseo
de alcanzar una verdad.
Deben recibir, a priori, con respeto, el punto de vista de su oponente y defender el
suyo sin falsa modestia, mientras no estén convencidos de lo contrario; pero si les
parece que están equivocados, deben aprender a cambiar inmediatamente de posición,
sin amor propio fuera de lugar y cualquiera que sea el precio social.
Estas situaciones muestran el anclaje profundo de la actividad matemática en el
pensamiento racional y la importancia educativa de lo que ponen en juego, que
sobrepasa e1 simple dominio del aprendizaje de conocimientos. En las situaciones
concretas que conciernen a este modelo, cuando son explotables, desaparece el carácter
un poco formal de esta “competición”. Las restricciones están presentes pero aparecen
de forma natural.
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