x – 1 m = lím x2 + 1 = lím x2 + 1 = 1/1 = 1 x → ∞ (x – 1)x x → ∞ x2

2009 – II
Facultad de Contabilidad y Finanzas
SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 4 - A
Curso
:
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Turno
:
Noche
Docente
Ciclo
:
:
Ing. Oscar Reyes Almora
III
Sección
:
Extraordinario
1. Halle la ecuación de la asíntota oblicua de la función:
m = lím
x→∞
x2 + 1 = lím x2 + 1 = 1/1 = 1
(x – 1)x x → ∞ x2 – x
f(x) = x2 + 1
x–1
(4 puntos)
n = lím x2 + 1 – x = lím x2 + 1 – x(x – 1) = lím x2 + 1 – x2 + x = lím 1 + x = 1/1 = 1
x→∞ x – 1
x→∞
x–1
x→∞
x–1
x→∞ x – 1
∴ Ecuación
de la asíntota oblicua:
y=x+1
2. Estudie la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados:
a. g(x) = (2x2 – x) / (x2 +2x – 3) en los puntos x = -3 y x = 2.
Puntos de discontinuidad:
(2 puntos)
x2 +2x – 3 = 0 → x = -3 y x = 1
Respuesta: La función g no es continua en x = -3 pero si lo es en x = 2.
1 – x , si x < -2
b. h(x) =
3
, si -2 ≤ x ≤ 1 en los puntos x = -2 y x = 1.
(3 puntos)
x2 – 2x, si x > 1
h(-2) = 3
En x = -2:
lím h(x) = lím (1 – x) = 1 – (-2) = 1 + 2 = 3
-
x → -2
x → -2
∴ lím h(x) = 3
lím h(x) = lím 3 = 3
x → -2
+
x → -2
x → -2
∴ Como el límite de h(x) cuando x tiende a -2 es igual a h(-2) entonces la función es continua en dicho
punto.
En x = 1:
h(1) = 3
lím h(x) = lím 3 = 3
x→1
-
x→1
lím h(x) = lím (x2 – 2x) = 12 – 2(1) = -1
x→1
+
∴ No existe lím h(x)
x→1
x→1
∴ Como no existe el límite de h(x) cuando x tiende a 1 entonces la función no es continua en dicho
punto.
3. Calcule a + b si la siguiente función es continua:
x+a
F(x) =
1 – bx
, si x < - ½
, si - ½ ≤ x < 1/3
(x + 1)/2 , si x ≥ 1/3
(4 puntos)
La función F es continua en cada tramo porque cada una de las reglas de correspondencia
corresponden a expresiones polinómicas. Por lo tanto, para que la función sea continua
solo falta que lo sea en los puntos – ½ y 1/3.
En x = -½:
F(-½) = 1 + b/2
lím F(x) = lím x + a = - ½ + a
-
x → -1/2
x → -1/2
lím F(x) = lím (1 – bx) = 1 + b/2
+
x → -1/2
x → -1/2
Para que sea continua en dicho punto: 1 + b/2 = - ½ + a → a = b/2 + 3/2 … (α)
En x = 1/3:
F(1/3) = (1/3 + 1)/2 = 4/6
lím F(x) = lím (1 – bx) = 1 – b/3
x → 1/3
-
x → 1/3
lím F(x) = lím (x + 1)/2 = (1/3 + 1)/2 = 4/6
x → 1/3
+
x → 1/3
Para que sea continua en dicho punto: 1 – b/3 = 2/3 → b/3 = 1/3 → b = 1
En (α): a = 1/2 + 3/2 = 4/2 = 2
∴a+b=2+1=3
4. Determine si el Teorema del Valor Intermedio es válido para la función f, para cada
intervalo cerrado [a, b] y valor de k. Si el teorema se cumple halle el número c tal que f(c)
= k. Si el teorema no se cumple, indique el motivo.
f(x) = (x – 1)/(x + 2)
a. [a, b] = [–3, 0] ;
k=1
(2,5 puntos)
La función f no es continua en x = -2 por lo tanto no es continua en todo el intervalo
cerrado [–3, 0], es decir no cumple la primera condición del Teorema del valor
intermedio.
b. [a, b] = [2, 4] ;
k=¾
(2,5 puntos)
La función f es continua en el intervalo cerrado.
f(a) = f(2) = (2 – 1)/(2 + 2) = ¼ ≠ f(b) = f(4) = (4 – 1)/(4 + 2) = ½
¾ ∉ [ ¼ ,½ ]
No cumple la tercera condición del Teorema del valor intermedio.
5. Indique el tipo de discontinuidad que corresponde a cada caso:
Discontinuidad inevitable de salto finito
(2 puntos)
Discontinuidad evitable
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