Decaimientos del meson B en K∗ 0π, F0k

INVESTIGACIÓN
REVISTA MEXICANA DE FÍSICA 53 (4) 307–313
AGOSTO 2007
Decaimientos del meson B en K0∗ π, F0 k
J.A. Mendoza S. y C.A. Ramı́rez
Depto. de Fı́sica-Geologı́a, Universidad de Pamplona,
Pamplona, Norte de Santander, Colombia,
Escuela de Fı́sica, Universidad Industrial de Santander,
A.A. 678, Bucaramanga, Colombia,
e-mail: jairoam@unipamplona.edu.co, jpjdramirez@yahoo.com
Recibido el 9 de mayo de 5007; aceptado el 28 de junio de 2007
Se calculan las fracciones de decaimiento para los procesos B → K0∗ π y B → f0 K, usando la aproximación ‘Factorization Naive (NFA) ’.
Incluimos las contribuciones del operador dipolar pingüino O11 y considerando los mesones escalares como estados ligados q q̄. Comparamos
nuestros resultados de manera favorable con los datos experimentales disponibles.
Descriptores: Factorización; pingüino; asimetrı́as.
We calculate the branching ratios for the decays B → K0∗ π and B → f0 K, in the ‘Naive Factorization (NFA) ’approximation, The dipole
penguin operator O11 contributions are included and the scalar mesons are considered as q q̄ bounded states. We compare, favorably our
results with the experimental available data.
Keywords: Factorization; penguin; asymmetries.
PACS: 10; 13.25.Hw
1.
Introducción
Existen varias razones para estudiar los decaimientos
B → P S (P y S son seudoescalar y escalar respectivamente) entre otras tenemos: El estudio de los mesones escalares
es un tema que todavı́a requiere muchos aportes tanto teóricos como experimentales para ser resuelto [1, 2]. Los decaimientos B → P S constituyen una nueva ventana que permite el estudio de sus propiedades a altas energı́as. Ası́ se
ha especulado cómo estos decaimientos nos permiten distinguir si los mesones escalares están constituidos por dos
o por cuatro quarks [3]. Adicionalmente los decaimientos
B → P S, P V, P T contribuyen al análisis de las gráficas
de Dalitz de los decaimientos B → 3P [4]. De manera que
entre mejor se conozcan los decaimientos B → P S mejores
datos podrán ser extraı́dos para B → P V, P T , etc. El conocimiento de los escalares a estas energı́as es importante a
la hora de entender los decaimientos B → P P y sus posibles interacciones entre estados finales. Finalmente se puede
especular sobre posibles contribuciones de nueva fı́sica [5],
pero para su extracción se requiere un conocimiento sólido
de B → P S.
Desde el punto de vista experimental ya se han medido,
por ejemplo, la masa y el ancho del f0 y del K0∗ (1430) [6] al
igual que el ángulo β [7] de la matriz CKM y se ha debatido también la posibilidad de medir α [8]. Igualmente existen
varias mediciones de procesos B → P S [2, 9] y se esperan
nuevas en experimentos como el LHCB [10], con una mayor
precisión.
Teóricamente existen varios formalismos que permiten
calcular estos decaimientos (B → P P, P V, P S, etc.).
Quizás el más popular y sencillo es el llamado ‘Naive Factorization’ (NFA) [11]. Siendo de resaltar que NFA predice
los anchos parciales de este tipo de decaimientos en concor-
dancia con los resultados experimentales disponibles. Sólo
se han encontrado discrepancias en los casos denominados
‘color suppressed’ y cuando las fases fuertes se espera que
sean grandes [12]. Otros formalismos mas complejos como
QCDF, SCET, pQCD, LCSR, FSI, etc. [13] no permiten con
facilidad encontrar las contribuciones dominantes, además no
es claro su supuesto mayor rigor teórico ni la magnitud de las
correcciones de orden superior.
En el presente trabajo nos limitaremos a calcular algunos anchos interesantes en la aproximación NFA. Tendremos
en cuenta todos los operadores mencionados en la literatura, incluido el O11 [14]. Las contribuciones de este último
se esperarı́an de mayor magnitud que en el caso B → πK,
debido a la cancelación de los términos a4 − a6 . Sin embargo no es ası́, porque la contribución está dominada por el a6 ,
como veremos. Ası́ las contribuciones son de la misma magnitud que en B → πK. Encontraremos que en general las
predicciones no están lejos de los datos y que dadas las incertidumbres experimentales y teóricas NFA es suficiente para
explicar los actuales resultados experimentales. Es de señalar
cómo las simples relaciones de isospı́n (definidas más adelante) encontradas por Cheng [3] no son afectadas de manera
significativa por las contribuciones del operador O11 .
2.
Naive factorization (NFA)
El hamiltoniano efectivo para este caso esta dado por [11]
"
GF
∗
Hef f = √ Vub Vuq
(C1 O1u + C2 O2u )
2
à 10
!#
X
−Vtb Vtq∗
Ci O i + Cg O g
+ h.c.,
(1)
i=3
308
J.A. MENDOZA S. Y C.A. RAMÍREZ
donde λq0 q = Vq0 b Vq∗0 q , q = d, s, q 0 = u, c, t, Vij son los
elementos de la matriz de mezcla de Cabibbo-KobayashiMaskawa (CKM). Con Oi los operadores de cuatro fermiones:
O1 = (q̄u)V −A (ūb)V −A ;
O2 = (ūα bβ )V −A (q̄β uα )V −A ;
X
(q̄ 0 q 0 )V −A ;
O3 = (q̄b)V −A
mación de ‘saturación de vacı́o’. Naturalmente otros estados intermedios como resonancias están presentes, pero dado que estamos lejos de la región de 1-2 GeV la contribución de estas resonancias se puede despreciar. En la factorización de algunos operadores es necesario usar las rotaciones de Fiertz, (ψ̄1 ψ2 )L (ψ̄3 ψ4 )L = (ψ̄1 ψ4 )L (ψ̄3 ψ2 )L ,
(ψ̄1 ψ2 )L (ψ̄3 ψ4 )R = −2(ψ̄1 ψ4 )S+P (ψ̄3 ψ2 )S−R . Similarmente usamos relaciones como
2(Ti )αβ (Ti )γδ = δαδ δβγ − (1/N )δαγ δβδ ,
q0
O4 = (q̄α bβ )V −A
X
en particular para desarrollar el operador O11 [14]:
(q̄β 0qα 0)V −A ;
q0
O5 = (q̄b)L
X
(q̄ 0 q 0 )R;
q0
O6 = (q̄α bβ )L
X
(q̄β0 qα0 )R = −2
q0
X
(q̄ 0 b)SP (q̄q 0 )S+P ;
q0
× {2mb s̄α γµ Lqβ q̄α0 γ µ Lbβ 0 − 4mb s̄α Rqβ q̄α0 Lbβ 0
X
3
O7 = (q̄b)V −A
eq0 (q̄0q0)V +A ;
2
q0
+ 2ms s̄α γµ Rqβ q̄α0 γ µ Rbβ 0 − 4ms s̄α Lqβ q̄α0 Rbβ 0
+ (pb + ps )µ [s̄α γµ Lqβ q̄α0 Rbβ 0 + s̄α Rqβ q̄α0 γ µ Rbβ 0
X
3
O8 = (q̄α bβ )V −A
eq0 (q̄β 0qα 0)V +A ;
2
q0
O9 =
+ is̄α σ µν Rqβ qα0 γν Rbβ 0 − is̄α γν Lqβ qα0 σ µν Rbβ 0 ]} (2)
X
3
(q̄b)L
eq0 (q̄0q0)L ;
2
0
Las constantes de decaimiento y los factores de forma, se definen como [3, 11]
q
X
3
3X
eq0 (q̄ 0 b)L (q̄q 0 )L .
O10 = (q̄α bβ )L
eq0 (q̄β 0qα 0)L =
2
2
q0
q0
El operador dipolar pingüino (dipole penguin operator):
O11 =
X Gf αs
√
Vtb Vts∗ C11 mb
4πq 2
2
q=u,d,s
¸
·
2
Nc − 1
2Nc2 a a
0
0
×
δαβ δα β − 2
t t 0 0
Nc2
Nc − 1 αβ α β
H11 =
gs
mb q̄σµν RTa bGµν
a .
32π 2
Los Ci son los coeficientes de Wilson [11]. Éstos
aparecen en las amplitudes en las combinaciones
a2i−1 =C2i−1 +C2i /N , a2i =C2i +C2i−1 /N y son tomados de la Ref. 11. De manera similar definimos
a11 =(8/9)αs C11 (m2b /4πq 2 ) ' −5.7·10−3 . Para el momento del gluon tenemos que q ' pb −ps ' pB −pk /2, de manera
que q 2 ' m2B /2 [14]. Igualmente αs (q 2 ' m2B /2) = 0.21 y
C11 = −0.29. De esta manera a11 ' −5.7 · 10−3 .
En el formalismo NFA podemos reducir los respectivos
elementos de matriz a productos de constantes de decaimiento y de factores de forma. Por ejemplo, tomando el operador
O1 , en el proceso B − → f0 K − :
hK − f0 |O1 |B − i = hK − f0 |(s̄u)(ūb)|B − i
hP (p)|Aµ |0i = −ifP pµ ;
hS(p)|Vµ |0i = fS pµ ;
hf0 |q q̄|0i = mf0 f¯f0 ,
"µ
¶
m2 −m2
hS(p2 )|Lµ |P (p1 )i=−i p1 +p2 − 1 2 2 q F+M1 M2
q
µ
¸
2
2
m1 − m2
M1 M2 2
+
(q ) , (3)
qµ F0
q2
con q = p1 − p2 . Hemos tomado
|f0 (980)i = cos φs |ss̄i + sin φs |nn̄i,
√
¯
donde nn̄ = (uū + dd)/
2, y φs ∼ 60o [3]. Si∗
milarmente K0 = sq̄. Para los escalares neutros como ff0 , la constante de decaimiento es cero, debido a isospı́n. Para las otras constantes hemos tomado:
fK0∗ ' 60 Mev fef0 ' 460 Mev [3, 15]. Los correspondientes factores de forma se han reducido usando Isospin a
0 +
−
F0 (0)B̄ a0 = 0.55(22) [16] o a F0 (0)B0 π = 0.3 [3], según
sea el caso.
' hK − |(s̄u)|0ihf0 |(ūb)|B − i
+ hK − f0 |(s̄u)|0ih0|(ūb)L |B − i
−
−
K
B
= XB
− f + XK − f ,
0
0
−
K
donde los factores como XB
− f , etc. están dados como pro0
ductos de constantes de decaimiento por factores de forma (ver apéndice). Para lograr esto se ha usado la aproxi-
F IGURA 1. Diagramas a orden árbol (a) y pingüino QCD (b), que
contribuyen en el proceso B → f0 K 0 .
Rev. Mex. Fı́s. 53 (4) (2007) 307–313
DECAIMIENTOS DEL MESON B EN K0∗ π, F0 K
3.
309
B → P S amplitudes
Las amplitudes para los decaimientos estudiados, incluyendo el operador O11 , en la NFA son
h
i
h¡
¢ K−
K−
B̄ −
AB̄ − →K − f0 = λus a1 XB̄
−
λ
a4 + a10 − (a6 + a8 )rχK XB̄
0 f + Xf K −
−f
ts
0
0
0
AB̄ 0 →K̄ 0 f0
AB̄ 0 →π+ K ∗−
0
AB − →π− K̄0∗0
¡
¢
e f0− − + a4 + a10 − (a6 + a8 )rχB X B − −
− (2a6 − a8 ) X
f0 K
B K
¾¸
½
¡
¢
11 B B −
7 e f0
K
K−
+a11 2.5 − 1.5 · rχ XB̄ − f0 − XB − K − − rχ Xf0 K −
4
8
h³
³
´
´
a10
a8 K
K̄ 0
e f0
= −λts a4 −
− a6 −
rχ KB̄
0 f − (2a6 − a8 )XB − K −
0
2
2
³
´
a10
B̄ 0
+ a4 −
− (a6 + a8 /2)rχB Xf0uK̄ 0
2
!
(µ
Ã
)#
¶
2
0
0
11
7 K
m
f
K̄
B
e 0 −+
− rχB XfB̄0 K̄ 0
+a11
2.5 − rχ X¯B
0 f − 2X −
B K
0
4
4(m2K − m2f )
8
h³
´
K ∗−
K ∗−
K∗
= λus a1 XB̄ 00π+ − λts a4 + a10 − (a6 + a8 )rχ 0 XB̄ 00π+
µ
¶
n³
´
0
1
K ∗−
K∗
B
+ a4 − a10 − (a6 − a8 /2)rχ XπB̄+ K ∗− + a11 2 − rχ 0 XB̄ 00π+
0
2
)#
Ã
!
0
m2B
7
K∗
XπB̄+ K ∗−
+
− 2rχ 0 −
2
0
4
4mK ∗
0
·µ
¶
1
K0∗
K̄ ∗0
B−
= λus a1 XK̄
−
λ
a
−
a
−
(a
+
a
/2)r
XB −0 π−
∗0 π −
χ
ts
4
10
6
8
0
2
)#
(µ
¶
¡
¢ B−
5m2B B −
7 K0∗
K̄0∗0
B
X ∗0 −
+ a4 + a10 − (a6 + a8 )rχ XK̄ ∗0 π− + a11
XB − π− +
2 − rχ
0
4
4m2K ∗ K̄0 π
0
·µ
AB̄ 0 →π0 K̄0∗0
=
¶
3
1
K0∗
K̄ ∗0
π0
− λts a4 − a10 − (a6 − a8 /2)rχ
XB̄ 00π0 + (a9 − a7 )XB̄
0 K̄ ∗0
0
2
2
¶
µ
1
B̄ 0
+ a4 − a10 − (a6 − a8 /2)rχB XK̄
∗0 0 +
0 π
2
Ã
(
!
)#
2
2
³
´
11 B mB − 7mK0∗
K0∗
K̄0∗0
B̄ 0
a11
2 − rχ XB̄ 0 π0 + 2 + rχ −
XK̄ ∗0 π0
0
8
4m2K ∗
π0
λus a2 XB̄
0 K̄ ∗0
0
0
con rχM = 2m2M /mb ms , para M = B, K0∗ , K.
Es de señalarse que los decaimientos B → K0∗ π están
dominados por los términos que involucran la combinación
λts a6 fK0∗ /ms , mientras que B → f0 K es dominado por
λts a6 f¯fs0 . Ası́ las mayores fuentes de error en nuestras predicciones, además de las correspondientes a la NFA provienen
de las constantes de decaimiento fK0∗ (mayor del 10 %), f¯f0
(mayor del 10 %) [3], λts (un 10 %) y la masa del quark s (un
10 %), principalmente. Los factores de forma que intervienen
(principalmente F0Bπ y F0BK ) son evaluados en q 2 ≈ 0 y son
relativamente bien conocidos [3]. Esto nos produce un error
teórico de más del 100 %! Por esto nos vemos obligados a
extraer estas combinaciones de dos de los propios datos, para
predecir el resto. Elegimos ajustar los datos experimentales
variando simplemente fK0∗ y f¯fs0 para reproducir los valores
experimentales [2, 9] de los decaimientos B + → π + K0∗0 y
B̄ 0 → f0 K̄ 0 , respectivamente. Estos dos valores son los mejor medidos y donde las predicciones teóricas son mas limpias. Un ajuste mas riguroso no mejora demasiado los ajustes
debido a la pobre calidad de los datos. Hemos obtenido, entonces fK0∗ = 61MeV, f¯fs0 = 430 MeV y F0Ba = 0.8 en el
caso de NFA y fK0∗ = 51 MeV, f¯fs0 = 430 MeV y F0Ba = 0.8
cuando agregamos las contribuciones del O11 . Estos valores
están dentro de los rangos permitidos, de acuerdo a la literatura disponible [3]. Por ejemplo para fK0∗ = 61 MeV se
obtiene B(τ → K0∗ ν) = 1.5 · 10−5 , por debajo de la cota
experimental de 4 · 10−4 . Con estos valores completamos las
tablas adjuntas.
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310
J.A. MENDOZA S. Y C.A. RAMÍREZ
TABLA I. Fracciones de decaimiento para procesos B→P S (en unidades de 10−6 ). Los anchos para el f0 (señalados con asterisco) corresponden
a
B→K(f0 →π + π − ),
por
lo
que
los
respectivos
anchos
deben
ser
extraı́dos
usando
+ −
B(f0 → π π ) = (2/3)B(f0 → 2π) = 0.53(9) [2, 9]. Los anchos señalados con a no han sido tomados en cuenta, dado que no
han sido confirmados.
Decaimiento
BELLE
BABAR
HFAG
Bexp
NFA
NFA+O11
K − f0 (π + π − )
∗
8.78 ± 0.82 ± 0.65+0.55
−1.64
∗
9.47 ± 0.97 ± 0.46+0.42
−0.75
9(1)∗
17(3)
14
13
0
+
−
K̄ f0 (π π )
π + K0∗0 (K + π − )
π − K0∗+ (K + π 0 )
π
0
K0∗0
∗
7.60 ± 1.66 ± 0.59+0.48
−0.67
+1.8
51.6 ± 1.7 ± 6.8−3.1
49.7 ± 3.8 ± 3.8+1.2
−4.8
+1.6+0.5 a
6.1−1.5−0.6
∗
∗
5.5 ± 0.7 ± 0.6 ± 0.3
5.8(8)
36.6 ± 1.8 ± 1.6+1.2
−1.7 ± 4.1
47(5)
11(2)
11
11
47(5)
47
47
11 ± 1.5 ± 0.5 ± 0.4a
50(9)
50(9)
47
41
7.9 ± 1.5 ± 2.7a
26(10)
26(10)
17
14
TABLA II. Resultados de las razones de acuerdo a las Ecs. (4)
RAZON
EXP
NFA
NFA+O11
RAZON
EXP
NFA
NFA+O11
R1
1.6(3)
1.3
1.2
R3
1.1(2)
1
0.9
R2
0.23(5)
0.23
0.23
R4
0.6(2)
0.4
0.3
TABLA III. Asimetrı́as para los decaimientos B → P S.
Decaimiento
−
K f0 (980)
0
K̄ f0 (980)
K0∗ (1430)0 π +
K0∗ (1430)+ π −
K0∗ (1430)0 π 0
BABAR
PROMEDIO
NFA
NFA+O11
0.065+0.046
−0.026
−0.026+0.068
−0.064
-0.025
-0.024
−0.24 ± 0.31 ± 0.15
−0.23 ± 0.23 ± 0.13
−0.06 ± 0.2
0.0
0.0
0.032+0.023
−0.026
0.038+0.028
−0.022
0.09 ±
−0.064 ±
Belle
0.10+0.10
−0.06
−0.077 ±
−0.002 ± 0.029
0.012
-0.004
−0.07 ± 0.12 ± 0.08
0.076 ±
−0.07 ± 0.14
-0.09
-0.002
−0.34 ± 0.15 ± 0.11
−0.34 ± 0.19
0.0
-0.001
Es igualmente interesante considerar las relaciones (que
en algunos casos pueden darnos relaciones sencillas con la
ayuda de isospı́n) [3]:
¯
¯2
B(B − → f0 K − ) ¯¯
λus a1 ¯¯
R1 =
' ¯1 +
'1
λts a6 ¯
B(B̄ 0 → f0 K̄ 0 )
¯
¯
¯ 2mf f¯s ¯2
B(B̄ 0 → f0 K̄ 0 )
¯
¯
f0
R2 =
'¯ ∗
¯ ' 0.1
B(B̄ − → π − K̄0∗0 (1430)) ¯ rχK0 mB fK ∗ ¯
0
¯
¯
λus a1 ¯¯
B(B̄ 0 → π + K0∗− (1430)) ¯¯
'
R3 =
1
+
'1
λts rχK ∗ a6 ¯
B(B̄ − → π − K̄0∗0 (1430)) ¯
B(B̄ 0 → π 0 K̄0∗0 (1430))
B(B̄ − → π − K̄0∗0 (1430))
¯
¯2
∗
1
1 ¯¯ a4 − rχK a6 − 1.5a9 fπ /fK ∗ ¯¯
' ¯
¯ '
¯
2¯
a4 − rχK ∗ a6
2
puede escribirse como:
∗ 0
AB→fs = Vub Vus
T − Vtb Vts∗ P 0 = |T |e−i(γ−δT ) − |P |eiδP
AB̄→f¯s = |T |e−i(−γ−δT ) − |P |eiδP
∗ 0
Vub Vus
T ,
(5)
Vtb Vts∗ P 0
donde T =
P =
, r = |P |/|T | y
δ = δP − δT . De esta forma puede ser calculada la violación directa de CP para los diferentes procesos.
Γ(B→f )−Γ̄(B̄→f¯)
2r sin(δ) sin(γ)
ACP =
=
¯
Γ(B→f )+Γ̄(B̄→f ) 1+r2 −2r cos δ cos(γ)
y las asimetrı́as dependientes del tiempo (para fCP = f ,
siendo estados propios de CP ).
Γ(B̄ 0 (t)→f )−Γ(B 0 →f )
=−Cf cos ∆mt+Sf sin ∆mt
Γ(B̄ 0 (t)→f )+Γ(B 0 →f )
R4 =
(4)
Cf = −Af =
1 − |λf |2
,
1 + |λf |2
λfs = e2i(γ−β)
De esta manera obtenemos la tabla adjunta, para los mismos valores del ajuste anteriormente mencionado.
5.
Sf =
2Im(λf )
|
1 + |λf 2
1 − re−i(γ−δ)
1 − rei(γ+δ)
,
(6)
Conclusiones
4. Asimetrı́as CP
Finalmente es de interés considerar las respectivas asimetrı́as
CP para estos decaimientos [2]. La amplitud de decaimiento
En el presente trabajo se estudiaron los decaimientos del meson B → K0∗ π, f0 K, dentro del marco de la aproximación
‘Naive factorization ’. Nuestras conclusiones son:
Rev. Mex. Fı́s. 53 (4) (2007) 307–313
DECAIMIENTOS DEL MESON B EN K0∗ π, F0 K
311
4. La suposición de que la estructura del f0 es q q̄, no puede ser excluı́da ya que podemos ajustar (usando NFA)
los actuales datos experimentales. Esto en parte se debe a que los diagramas de aniquilamiento no contribuyen de manera apreciable [3]. Sin embargo podemos
señalar cómo los datos que incluyen f0 no son tan bien
ajustados como los del K0∗ . Es esto una primera indicación de que el f0 está constituido por cuatro quarks
mientras los K0∗ son sólo dos [1]?
1. En general es posible reproducir los datos experimentales, dado el tamaño de los respectivos errores tanto experimentales como en los parámetros de entrada,
tanto con como sin incluir la contribución del operador O11 . Es importante señalar que reproducir el patrón
de estos decaimientos no es trivial, aún la magnitud del
error experimental.
2. De acuerdo con los resultados encontrados el operador O11 produce una contribución importante (del orden del 30 % en los decaimientos a K0∗ , si mantenemos
los demás parámetros fijos) comparable a la obtenida
en B → Kπ [14]. Esto es debido a la presencia de
los términos llamados ‘chiral enhancement’ que se hacen presentes aquı́ también. Igualmente podemos ver
cómo las contribuciones del O11 siguen manteniendo
las relaciones aproximadas entre los diferentes decaimientos. Sin embargo su inclusión puede ser absorbida
dentro de las incertidumbres de los parámetros de entrada (especialmente las constantes de decaimiento), al
menos por el momento.
5. Es importante conformar, solidificar y ampliar los datos experimentales para poder hacer pruebas mas rigurosas de estas y otras predicciones. Igualmente es de
gran ayuda reducir la incertidumbre en los parámetros
de entrada involucrados.
6. Respecto a los resultados obtenidos para las asimetrı́as
directas de CP , que se muestran en la Tabla III, observamos que son consistentes con cero. De nuevo NFA
es consistente con estos resultados experimentales.
3. En la aproximación NFA las mayores fuentes de error
están constituı́das por las constantes de decaimiento
(dominante), la masa del quark s (realmente la relación
a6 fK0∗ /ms ), el factor de forma F Ba , etc. Es importante por lo tanto obtener valores mas precisos para estas,
hecho que está intimamente relacionado con un mejor
conocimiento de los mesones escalares.
Agradecimientos
Los autores expresan su agradecimiento al Instituto de Fı́sica de la Universidad de Guanajuato IFUG, a los doctores
José Luis Lucio y a David Delepine por su hospitalidad y
por las discusiones que de una u otra manera han contribuido
al desarrollo del presente trabajo.
Apéndice
Definiciones.
K−
XB
−f
0
−
−
= hK |(ūs)L |0ihf0 |(ūb)L |B i =
fK (m2B
−
−
m2f0 )F0B f0 (m2π )
0
B̄
K̄
0
0
2
2
¯
XB̄
0 f = hK̄ |(s̄d)L |0ihf0 |(db)L |B̄ i = fK̄ 0 (mB − mf0 )F0
0
0
f0
B̄ 0 a+
0
= fK
(m2K ) = fK
K ∗−
XB̄ 00π+ = hK0∗− |(s̄u)L |0ihπ + |(ūb)L |B̄ 0 i = fK ∗− (m2B − m2π )F0B̄
0
π+
0
F0
√
B̄ 0 a+
0
F0
√
(m2K ) 2
(mB − m2f0 ) sin φS
2
(m2K ) 2
(mB − m2f0 ) sin φS
2
(m2K0∗ ) = −fK ∗− (m2B − m2π )F0B
0
0
π−
(m2K0∗ )
∗0
K̄
¯ L |B − i = fK̄ ∗0 (m2 − m2 )F B̄ − π− (m2 ∗ ) = −fK ∗0 (m2 − m2 )F B 0 π− (m2 ∗ )
XB −0 π− = hK̄0∗0 |(s̄d)L |0ihπ − |(db)
B
π
0
K0
B
π
0
K0
0
0
K ∗−
XB −0 π0
=
hK0∗− |(s̄u)L |0ihπ0 |(ūb)L |B − i
=
fK ∗− (m2B
0
−
−
m2π0 )F0B π0 (m2K0∗ )
= −f
K0∗
F0B
0
π−
(m2∗ )
√
2
fπ
fπ
B̄ 0 a+
π0
B̄ 0 K̄ ∗0
XB̄u0 K̄ ∗0 = hπ 0 |(ūu)L |0ihK̄0∗0 |(s̄b)L |B̄ 0 i = √ (m2B − m2K0∗ )F0 0 (m2π ) = √ (m2B − m2K0∗ )rKπ F0 0 (m2π )
0
2
2
K̄ ∗0
0
¯ L |B̄ 0 i = fK ∗0 (m2 − m2 0 )F B̄
XB̄ 00π0 = hK0∗0 |(s̄d)L |0ihπ 0 |(db)
0
B
π
0
0
π0
−
¡
¢ F B π (m2∗ )
(m2K0∗ ) = fK0∗ m2B − m2π 0 √
2
0 −
m2 − m2π B − π− 2
1 m2B − m2π
f
− ¯
¯
X̃B0−dπ− = hf0 |dd|0ihπ
|db|B − i = mS f¯fd0 B
F0
(mf0 ) = − √
mf0 f¯fn0 F0B π (m2f0 )
mb − md
2 mb − md
fπ
fπ
B̄ 0 a+
π0
B̄ 0 K̄ ∗0
XB̄u0 K̄ ∗0 = hπ 0 |(ūu)L |0ihK̄0∗0 |(s̄b)L |B̄ 0 i = √ (m2B − m2K0∗ )F0 0 (m2π ) = √ (m2B − m2K0∗ )rKπ F0 0 (m2π )
0
2
2
Rev. Mex. Fı́s. 53 (4) (2007) 307–313
312
J.A. MENDOZA S. Y C.A. RAMÍREZ
K̄ ∗0
XB̄ 00π0
0
=
¯ L |B̄ 0 i
hK0∗0 |(s̄d)L |0ihπ 0 |(db)
f
=
− ¯
¯
X̃B0−dπ− = hf0 |dd|0ihπ
|db|B − i = mS f¯fd0
f
fK0∗0 (m2B
−
0 0
m2π0 )F0B̄ π (m2K0∗ )
=f
K0∗
−
¡ 2
¢ F B π (m2∗ )
mB − m2π 0 √
2
0 −
m2B − m2π B − π− 2
1 m2B − m2π
F0
(mf0 ) = − √
mf0 f¯fn0 F0B π (m2f0 )
mb − md
2 mb − md
X̃B0−s K − = hf0 |s̄s|0ihK − |s̄b|B − i = mf0 f¯fs0
0 −
m2B − m2K B − K − 2
m2 − m2K
F0
(mf0 ) = B
rKπ mf0 f¯fs0 F0B π̄ (m2f0 )
mb − ms
mb − ms
2
2
m − mK B̄ 0 K̄ 0 2
f
f
F
(mf0 ) = X̃B0−s K −
X̃B̄00sK̄ 0 = hf0 |s̄s|0ihK̄ 0 |s̄b|B̄ 0 i = mf0 f¯fs0 B
mb − ms 0
(A.1)
Para el caso de aniquilamiento
−
XfB0 K − = hf 0 K − |(s̄u)L |0ih0|(ūb)L |B − i = −fB (m2S − m2K )F0f
0
K−
(m2B )
0
0
−
f0 K̄
0 0
0
2
2
B
B̄
¯
(m2B ) = XK
XK̄
−f
0 f = hK̄ f |(s̄d)L |0ih0|(db)L |B̄ i = −fB (mf0 − mK )F0
0
0
0
K0∗− π +
(m2B )
K̄0∗0 π −
(m2B )
∗− +
B̄
¯ L |B̄ 0 i = −fB (m2 ∗ − m2 )F
XK
π |(s̄d)L |0ih0|(db)
∗− + = hK0
K
π
0
π
0
−
B
∗0 −
−
2
2
XK̄
∗0 π − = hK̄0 π |(s̄u)L |0ih0|(ūb)L |B i = −fB (mK ∗ − mπ )F0
0
K0∗− π 0
−
∗− 0
B
π |(s̄u)L |0ih0|(ūb)L |B − i = −fB (m2K ∗ − m2π0 )F0
XK
∗− 0 = hK0
π
0
∗0
K̄0
2
B̄ 0
∗0 0
0
2
¯
XK̄
∗0 π 0 = hK̄0 π |(s̄d)L |0ih0|(db)L |B̄ i = −fB (mK ∗ − mπ )F0
0
π0
(m2B )
(m2B )
(A.2)
rKπ = F BK /F Bπ ' fK /fπ ' 1.21
(A.3)
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