xt - Web del Profesor

Modelado de Sistemas Físicos
Profesora
Anna Patete, Dr. M.Sc. Ing.
Departamento de Sistemas de Control.
Control
Escuela de Ingeniería de Sistemas.
Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.
Correo electrónico:
C
l
ó i apatete@ula.ve
@ l
Página web: http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/apatete/
Prof. Anna Patete
Universidad de Los Andes
1
Modelado de Sistemas Físicos
Unidad II: Modelado de sistemas mecánicos y
electromecánicos.
Tema 1.
T
1 (Parte
(P
mecánica)
á i ) Componentes
C
bá i
básicos
d un sistema
de
i
mecánico.
á i
Leyes de Newton. Modelos matemáticos de sistemas mecánicos.
Tema 2.
2 Analogías.
Analogías Ecuaciones de movimiento de Lagrange.
Lagrange
Prof. Anna Patete
Universidad de Los Andes
2
Modelado de Sistemas Mecánicos
Sistema masa-resorte
δ es constante
x
k
k
En equilibrio:
k
mg = kδ
m
m
∑ Fy = m a(t )
δ
m
N − m g = m a(t ) = 0
∑ Fx = m a(t )
− Fk = m x(t )
m x(t ) = −k x(t )
x(t ) = −
k
x(t )
m
Prof. Anna Patete
∑F
y
= m a(t ),
− Fk − Fδ + Fm g = m y(t )
m y(t ) = −k y(t ) − k δ + m g ,
k
y(t ) = − y(t )
m
Universidad de Los Andes
y
DCL
Fδ
Fk
m
Fm g
3
Modelado de Sistemas Mecánicos
Sistema masa-resorte
k
x
u (t )
k
m
m
x
u (t )
∑F
x
= m a(t )
u(t ) − Fk = m x(t ),
m x(t ) = −k x(t ) + u(t )
x(t ) = −
1
k
x(t ) + u (t )
m
m
Prof. Anna Patete
∑F
x
= m a(t )
u(t ) − Fk = m x(t ),
)
m x(t ) = −k x(t ) + u(t )
x(t ) = −
Universidad de Los Andes
1
k
x(t ) + u(t )
m
m
4
Modelado de Sistemas Mecánicos
Representación Interna
x(t ) = −
k
1
x(t ) + u(t )
m
m
Cambio
bi de
d variable:
i bl
x1 (t ) = x(t )
x2 (t ) = x1 (t ) = x (t )
Así: x1 (t ) = x2 (t )
k
1
x2 (t ) = − x1 (t ) + u(t )
m
m
Mido la posición
⎡ 0 1⎤
⎡0⎤
x
t
x
t
(
)
(
)
⎡
⎤
⎥ ⎡ 1 ⎤ + ⎢ 1 ⎥ u (t ),
x (t ) = ⎢ 1 ⎥ = ⎢ k
⎢ x (t ) ⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥
x
(
t
)
−
0
⎣ 2 ⎦
⎣ 2 ⎦
⎣ m
⎦
⎣m⎦
Prof. Anna Patete
Universidad de Los Andes
⎡ x1 (t ) ⎤
y (t ) = [1 0] ⎢
⎥
x
(
t
)
⎣ 2 ⎦
5
Modelado de Sistemas Mecánicos
Diagrama de Bloques
x (t ) = Ax(t ) + Bu (t )
y (t ) = Cx(t )
u (t )
B
x (t )
+
+
∫
x(t )
y (t )
C
A
Prof. Anna Patete
Universidad de Los Andes
6
Modelado de Sistemas Mecánicos
Diagrama de Bloques Detallado
x1 (t ) = x2 (t )
k
1
x1 (t ) + u(t )
m
m
y (t ) = x1 (t )
k
−
m
x2 (t ) = −
u (t )
Prof. Anna Patete
1
m
x1 (t )
+
+
x2 (t )
x1 (t ) = y (t )
∫
∫
Universidad de Los Andes
x2 (t )
7
Modelado de Sistemas Mecánicos
Sistema masa-amortiguador
x
b
b
m
∑F
y
= m a(t )
m
x
N − m g = m a(t ) = 0
∑F
∑ Fx = m a(t )
x
− Fb = m x(t )
m x(t ) = −b x (t )
− Fb = m x(t )
m x(t ) = −b x (t )
x(t ) = −
b
x(t ) = − x (t )
m
Prof. Anna Patete
= m a(t ),
Universidad de Los Andes
b
x (t )
m
8
Modelado de Sistemas Mecánicos
Sistema masa-amortiguador
x
u (t )
b
b
m
∑F
= m a(t )
m
N − m g = m a(t ) = 0
u (t )
y
∑ Fx = m a(t )
u(t ) − Fb = m x(t )
m x(t ) = −b x (t ) + u(t )
b
1
x(t ) = − x (t ) + u(t )
m
m
Prof. Anna Patete
∑F
x
x
= m a(t ),
u(t ) − Fb = m x(t )
m x(t ) = −b x (t ) + u(t )
x(t ) = −
Universidad de Los Andes
b
1
x (t ) + u(t )
m
m
9
Modelado de Sistemas Mecánicos
Representación Interna
x(t ) = −
b
1
x(t ) + u(t )
m
m
Cambio
bi de
d variable:
i bl
x1 (t ) = x(t )
x2 (t ) = x1 (t ) = x (t )
Así: x1 (t ) = x2 (t )
x2 (t ) = −
1
b
x2 (t ) + u(t )
m
m
1
⎡0
(
)
x
t
⎡
⎤
x (t ) = ⎢ 1 ⎥ = ⎢
b
⎢
x
(
t
)
⎣ 2 ⎦ 0 −
m
⎣
Prof. Anna Patete
Mido la posición
⎤
⎡0⎤
(
)
x
t
⎥ ⎡ 1 ⎤ + ⎢ 1 ⎥ u (t ),
⎥ ⎣⎢ x2 (t ) ⎦⎥ ⎢ ⎥
⎦
⎣m⎦
Universidad de Los Andes
⎡ x1 (t ) ⎤
y (t ) = [1 0] ⎢
⎥
x
(
t
)
⎣ 2 ⎦
10
Modelado de Sistemas Mecánicos
Diagrama de Bloques
x (t ) = Ax(t ) + Bu (t )
y (t ) = Cx(t )
u (t )
B
x (t )
+
+
∫
x(t )
y (t )
C
A
Prof. Anna Patete
Universidad de Los Andes
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Modelado de Sistemas Mecánicos
Diagrama de Bloques Detallado
x1 (t ) = x2 (t )
b
1
x2 (t ) + u(t )
m
m
y (t ) = x1 (t )
x2 (t ) = −
u (t )
x1 (t )
1
m
x2 (t )
+
+
∫
x2 (t )
∫
−
Prof. Anna Patete
Universidad de Los Andes
x1 (t ) = y (t )
b
m
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Modelado de Sistemas Mecánicos
Sistema masa-resorte-amortiguador
x
k
b
b
∑F
x
k
m
m
= m a(t )
− Fk − Fb = m x(t )
m x(t ) = −k x(t ) − b x (t )
k
b
x(t ) = − x(t ) − x (t )
m
m
∑F
x
= m a(t ),
− Fk − Fb = m x(t )
m x(t ) = −k x(t ) − b x (t )
x(t ) = −
Prof. Anna Patete
x
Universidad de Los Andes
k
b
x(t ) − x (t )
m
m
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Modelado de Sistemas Mecánicos
Sistema masa-resorte-amortiguador
x
k
b
∑F
x
u (t )
b
m
m
= m a(t )
u(t ) − Fk − Fb = m x(t )
m x(t ) = −k x(t ) − b x (t ) + u(t )
k
b
1
x(t ) = − x(t ) − x(t ) + u(t )
m
m
m
x
u (t )
∑F
x
= m a(t ),
u(t ) − Fk − Fb = m x(t )
m x(t ) = −k x(t ) − b x (t ) + u(t )
x(t ) = −
Prof. Anna Patete
k
Universidad de Los Andes
k
b
1
x(t ) − x (t ) + u(t )
m
m
m
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Modelado de Sistemas Mecánicos
Representación Interna
x(t ) = −
k
b
1
x(t ) − x(t ) + u(t )
m
m
m
Cambio
bi de
d variable:
i bl
x1 (t ) = x(t )
x2 (t ) = x1 (t ) = x (t )
Así: x1 (t ) = x2 (t )
k
b
1
x2 (t ) = − x1 (t ) − x2 (t ) + u(t )
m
m
m
⎡ 0
(
)
x
t
⎡
⎤
x (t ) = ⎢ 1 ⎥ = ⎢ k
⎣ x2 (t ) ⎦ ⎢ −
⎣ m
Prof. Anna Patete
1
b
−
m
⎤
⎡0⎤
(
)
x
t
⎥ ⎡ 1 ⎤ + ⎢ 1 ⎥ u (t ),
⎥ ⎣⎢ x2 (t ) ⎦⎥ ⎢ ⎥
⎦
⎣m⎦
Universidad de Los Andes
Mido la posición
⎡ x1 (t ) ⎤
y (t ) = [1 0] ⎢
⎥
x
(
t
)
⎣ 2 ⎦
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Modelado de Sistemas Mecánicos
Diagrama de Bloques
x (t ) = Ax(t ) + Bu (t )
y (t ) = Cx(t )
u (t )
B
x (t )
+
+
∫
x(t )
y (t )
C
A
Prof. Anna Patete
Universidad de Los Andes
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Modelado de Sistemas Mecánicos
Diagrama de Bloques Detallado
x1 (t ) = x2 (t )
k
−
m
k
b
1
x1 (t ) − x2 (t ) + u(t )
m
m
m
y (t ) = x1 (t )
x2 (t ) = −
u (t )
1
m
x1 (t )
+
+
+
x2 (t )
∫
x2 (t )
∫
−
Prof. Anna Patete
Universidad de Los Andes
x1 (t ) = y (t )
b
m
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Modelado de Sistemas Físicos
Referencias del material usado para estas diapositivas:
•Material de las diapositivas de la Prof. Mariela Cerrada. Departamento de
Control Facultad de Ingeniería,
Control,
Ingeniería Universidad de Los Andes
Andes, Mérida,
Mérida
Venezuela, 2012.
•Ogata,
g , K. Dinámica de Sistemas,, Prentice Hall,, 1987.
•Lewis, J. Modelling Engineering Systems, High Text Publications, 1994.
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Universidad de Los Andes
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