Clase 13 - Web del Profesor

Modelado de Sistemas Físicos
Profesora
Anna Patete, Dr. M.Sc. Ing.
Departamento de Sistemas de Control.
Control
Escuela de Ingeniería de Sistemas.
Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.
Correo electrónico:
C
l
ó i apatete@ula.ve
@ l
Página web: http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/apatete/
Prof. Anna Patete
Universidad de Los Andes
1
Modelado de Sistemas Físicos
Unidad II: Modelado de sistemas mecánicos y
electromecánicos.
Tema 1.
T
1 (Parte
(P
mecánica)
á i ) Componentes
C
bá i
básicos
d un sistema
de
i
mecánico.
á i
Leyes de Newton. Modelos matemáticos de sistemas mecánicos.
Tema 2.
2 Analogías.
Analogías Ecuaciones de movimiento de Lagrange.
Lagrange
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Conceptos Básicos
Movimiento de Rodamiento y Deslizamiento
Fricción por rodamiento: Es la fuerza que se opone al movimiento de un
cuerpo que rueda sobre otro. Resulta de la deformación de los dos cuerpos
en el lugar de contacto.
El par de fricción por rodamiento es generalmente pequeño y casi siempre se
desprecia en el análisis de movimiento.
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Conceptos Básicos
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Conceptos Básicos
Considere el siguiente
g
sistema:
El cilindro se desliza si no existe fricción.
Movimiento traslacional
Si hay deslizamiento, la fuerza de fricción dinámica es:
F =μN
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Conceptos Básicos
Condición para que el cilindro ruede sin
p
q
deslizamiento: F < μ N
Sin deslizamiento, existe durante todo el
movimiento una fuerza de fricción F , de
magnitud desconocida,
desconocida que asegura que:
x = Rθ
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Modelado de Sistemas
Ejemplo 1: Consideremos un cilindro que rueda sin deslizamiento sobre un plano
horizontal
m g , P y N no producen torques en la ecuación de movimiento
Las fuerzas
rotacional porque sus líneas de acción pasan por el centro de gravedad respecto del
cual se da dicho movimiento de rotación.
La fuerza F es de magnitud desconocida.
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Modelado de Sistemas
Ecuaciones de movimiento:
Traslacional:
m x = ∑F
m x = P−F
Rotacional:
J θ = ∑τ = ∑ F .d
J θ = F R
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Modelado de Sistemas
Momentos de inercia de masa de un cilindro respecto a sus ejes centroidales
y
x
En el eje y :
R 2 + L2
Jx = J y = m
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z
En el eje :
1
J z = m R2
2
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Modelado de Sistemas
F
Para encontrar , sabemos
que:
x = Rθ
θ=
x
R
Y considerando la inercia
Y considerando la inercia
1
J z = m R2
2
Tenemos: J θ = R F
J θ = R F
z
1
m R 2θ = R F
2
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1
x
2 mR
= RF
2
R
1
m x =F
2
2F
x=
m
F
Para encontrar , igualamos:
x=
P−F
m
y
x=
2F
m
Así,
P
F=
3
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Modelado de Sistemas
Ecuaciones de movimiento:
Traslacional:
x=
2P
3m
Rotacional:
2P
θ=
3 R
3m
P 3P − P 2 P
mx = P−F = P− =
=
3
3
3
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θ =
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F R RP
RP
2P
=
=
=
J
3J
⎛1
⎞ 3m R
3 ⎜ m R2 ⎟
⎝2
⎠
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Modelado de Sistemas
Ejemplo 2: Cilindro en movimiento sobre un plano inclinado.
Según el ángulo α el cilindro puede rodar o deslizar. Determinar
movimiento
i i
sea de
d rodamiento.
d i
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α para que el
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Modelado de Sistemas
Ecuaciones de movimiento:
Traslacional:
m x = m g sen[α ] − F
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Rotacional:
J θ = F R
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Modelado de Sistemas
Sabemos que la condición para que el cilindro ruede sin deslizamiento es: F < μ N
Determinamos la fuerza F
anterior. Considerando que:
x = Rθ ,
desconocida, de la misma forma que en el ejemplo
1
J z = m R2
2
x=
2F
m
m g sen[α ] − F
F , g
Para encontrar , igualamos: y
y
x=
m
Así,
x=
2F
m
m g sen[α ] − F 2 F
=
m
m
m g sen[α ] − F = 2 F
3F = m g sen[α ]
F=
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m g sen[α ]
3
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Modelado de Sistemas
Además, sabemos que: N = m g cos[α ]
Para la condición de rodamiento, entonces:
F <μN
F < μ m g cos[α ]
Por lo tanto:
m g sen[α ]
< μ m g cos[α ]
3
sen[α ]
< 3μ
cos[[α ]
F=
tan[α ] < 3μ
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Si esta condición se cumple,
entonces el movimiento es
de rodamiento.
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Modelado de Sistemas
Ecuaciones de movimiento:
Traslacional:
m x=
2m g sen[α ]
3
Rotacional:
θ =
m x = m g sen[α ] − F = m g sen[α ] −
2 g sen[α ]
3R
m g sen[α ]
⎡ 1⎤
= m g sen[α ] ⎢1 − ⎥
3
⎣ 3⎦
F R R m g sen[α ] 2 g sen[α ]
θ=
=
=
1
J
3R
⎛
⎞
3 ⎜ m R2 ⎟
⎝2
⎠
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Modelado de Sistemas Físicos
Referencias del material usado para estas diapositivas:
•Material de las diapositivas de la Prof. Mariela Cerrada. Departamento de
Control Facultad de Ingeniería,
Control,
Ingeniería Universidad de Los Andes
Andes, Mérida,
Mérida
Venezuela, 2012.
•Ogata,
g , K. Dinámica de Sistemas,, Prentice Hall,, 1987.
•Lewis, J. Modelling Engineering Systems, High Text Publications, 1994.
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