PO26 L G Pedraza

PO 26. Algunas malinterpretaciones del formalismo mecánico cuántico
Luis Gerardo Pedraza Saavedra, Ph. D.
Facultad de Ingenierías
Departamento de Ciencias Naturales y Matemáticas
Pontificia Universidad Javeriana,
Calle 18, No. 118-250, Vía a Pance
Cali,Valle
lugepesa@javerianacali.edu.co
RESUMEN: Con algunos ejemplos simples se ilustrará como la falta de cuidado matemático
puede llevar a malinterpretaciones matemáticas en los formalismos de la mecánica
ondulatoria de Schrödinger, la mecánica matricial de Heisenberg o el formalismo BRA KET
de Dirac. Se estudiarán cinco ejemplos de mecánica cuántica no-relativista y tres ejemplos
de óptica cuántica. Estas malinterpretaciones pueden pasarse por alto si se hace un estudio
matemático cuidadoso de los problemas en mención. En conclusión, se ilustrará como
pueden solucionarse estos problemas o, al menos, como pueden evitarse.
Descriptores: operadores Hermíticos, conmutador de operadores, espacio de Hilbert,
funciones de cuadrado integrable, espacio de Schwartz, valor propio de un operador, función
propia de un operador, operador auto-adjunto, espectro de un operador, observable,
ortonormalización, operador unitario, isometría, isomorfismo, valor promedio de un operador,
relación de incertidumbre de Heisenberg, desigualdad de Cauchy-Schwarz, relación de
incertidumbre HRS.
Primer ejemplo
Para una partícula en una dimensión, los operadores de momentum P y posición Q
satisfacen la relación canónica de conmutación de Heisenberg
[P, Q] = hi 1 .
Tomando la traza de esta relación, se encuentra un resultado nulo para el lado izquierdo,
[
]
Tr P, Q = 0 ,
mientras que Tr (
h
1) ≠ 0 .
i
¿Cuál es la conclusión?
Suponga la relación de conmutación
[P, Q] = hi 1
satisfecha por los operadores P y Q actuando en un espacio de Hilbert H de dimensión finita
n. En este caso, P y Q pueden representarse por matrices n x n, su traza en una operación
bien definida y se obtiene el resultado
[
]
0 = Tr P, Q = Tr (
h
h
1n ) = n .
i
i
A partir de este resultado sin sentido, puede concluirse que la relación de Heisenberg no
puede darse en un espacio de Hilbert dimensionalmente finito. Así, la mecánica cuántica
tiene que formularse en un espacio de Hilbert dimensionalmente infinito: en un espacio tal, la
traza ya no es una operación bien definida para todos los operadores (en particular, la traza
del operador 1 no existe) y por lo tanto ya no se puede deducir más una contradicción de la
relación de conmutación de Heisenberg en la forma indicada.
Segundo ejemplo
Considere las funciones de onda ϕ y ψ las cuales son de cuadrado integrable en R y el
operador P =
h d
. Integrando por partes se obtiene
i dx
∫
+∞
+∞
−∞
−∞
dxϕ ( x)( Pψ )( x) = ∫
dx( Pϕ )( x) ψ ( x)
+
[
h
(ϕ ψ )( x)
i
]
+∞
−∞
.
Como ϕ y ψ son de cuadrado integrable, usualmente se concluye que estas funciones se
anulan para x → ± ∞ . Así, el último término en la ecuación previa se anula, lo cual implica
que el operador P es Hermítico.
No obstante, los libros de texto en matemáticas nos dicen que las funciones de cuadrado
integrable no admiten, en general, un límite para x → ± ∞ y por lo tanto ellas no
necesariamente se anulan en el infinito. Existen funciones continuas y de cuadrado
integrable en R sin estar acotadas en el infinito (1, 2): un ejemplo de tales funciones está
dado por f ( x) = x 2 exp(− x 8 sin 2 x) .
¿Se puede concluir que el operador P es Hermítico a pesar de estos hechos, y si es
así, porqué?
El dominio máximo de definición del operador P en el espacio de Hilbert de las funciones de
cuadrado integrable
2
L2 ( R, dx) =  f : R → C / ∫ dx f ( x ) < ∞  ,
R


con el producto escalar
f ,g
L2
=
∫
R
dx f ( x ) g ( x )
para f, g ∈ L2 ( R, dx) , está dado por Dmax ( P) = { ψ ∈ L2 ( R, dx) /ψ ' ∈ L2 ( R, dx) }. Las funciones
que pertenecen al Dmax ( P) disfrutan por lo tanto de ciertas propiedades de regularidad y sus
derivadas son de cuadrado integrable en R. En particular, estas funciones son continuas y su
límite para x → ± ∞ es cero (1); esto implica que el operador P actuando en Dmax ( P) es
Hermítico (ver definición más adelante). La función anteriormente mencionada, la cual no
está acotada en el infinito, es diferenciable, pero su derivada no es de cuadrado integrable y
por lo tanto ella no pertenece al Dmax ( P) .
Tercer ejemplo
Considere los operadores P =
h d
y “Q = multiplicación por x” actuando sobre funciones de
i dx
onda que dependen de x ∈ R . Como P y Q son operadores Hermíticos, el operador
A = PQ 3 + Q 3 P también tiene esta propiedad, ya que su adjunto (ver definición más adelante)
está dado por
A + = ( PQ 3 + Q 3 P ) + = Q 3 P + PQ 3 = A .
Como consecuencia, todos los valores propios de A son reales. Sin embargo, se puede
verificar fácilmente que Af =
h
f , con
i
f ( x) =
1
2
x
−
3
2
exp(−
1
) para x ≠ 0 ,
4x 2
y f ( x) = 0 para x = 0 , lo cual significa que A admite el valor propio complejo h i . Nótese que
la función f es infinitamente diferenciable en R y que es de cuadrado integrable, ya que
∫
+∞
−∞
dx f ( x ) = 2 ∫
2
+∞
0
2
dx f ( x )
=
∫
+∞
0
[
dxx − 3 e −1 ( 2 x ) = e −1 ( 2 x
2
2
)
]
+∞
0
=1.
¿Dónde está el error?
El espacio de Schwartz S ( R) ⊂ L2 ( R, dx) de las funciones rápidamente decrecientes es un
dominio invariante de definición para los operadores P y Q y entonces también para
A = PQ 3 + Q 3 P ; A : S ( R) → S ( R) .
Recuérdese que una función f : R → C pertenece a S(R) si esta es diferenciable un infinito
número de veces y si ella y todas sus derivadas, decrecen más rápidamente en el infinito que
el inverso de cualquier polinomio. La integración por partes muestra que el operador A así
definido es Hermítico:
g , Af = Ag , f
para todas las f, g ∈ D( A) = S ( R) . La función f dada pertenece al espacio de Hilbert
L2 ( R, dx) , pero no pertenece al dominio de A, ya que ella no decrece más rápidamente que el
[
]
inverso de cualquier polinomio en el infinito: por ejemplo, x 3 f ( x) ∝ x 3 2 exp − 1 (4 x 2 ) no está
acotada para x → + ∞ . Como consecuencia, h i no es un valor propio de A. Pero (3), h i es
un valor propio del operador A + , el cual tiene la misma prescripción de operación de A. Para
f ∈ D( A) = S ( R) , la integración por partes conlleva a que
g , Af =
[
]
h 3
.
( x g )'+ x 3 g ' , f + 2 h [x 3 ( gf )( x)] +∞
−∞
i
i
Como f decrece rápidamente en el infinito, el término de frontera en el lado derecho se anula
si la función g no crece más rápido que un polinomio en el infinito. Asumiendo que g tiene
esta propiedad, la ecuación anterior implica que el operador A + actúa en la misma forma que
A,
A+ g =
[
]
[
]
h 3
h
( x g )'+ x 3 g ' = 3x 2 g + 2 x 3 g ' ,
i
i
aunque su dominio es más grande que S(R). Este dominio contiene todas las funciones g
tales que la expresión A + g existe y es de cuadrado integrable. Para todas estas funciones, el
término de frontera en la ecuación para g, Af
Por definición
se anula automáticamente.
{
D( A + ) = ϕ ∈ Η / ∃ ( A +ϕ ) ∈ Η tal que ϕ , Aψ = A +ϕ , ψ
para toda ψ ∈ D( A)
}
y un operador A en H es explícitamente auto-adjunto si D( A) = D ( A + ) y Aϕ = A +ϕ para toda
ϕ ∈ D ( A) .
En resumen, el domino de definición de A + es mayor que el de A, de donde el operador A no
es auto-adjunto. Además, la función f dada antes no pertenece al D(A), pero pertenece al
D( A + ), de donde h i es un valor propio de A + .
Cuarto ejemplo
Considere una partícula confinada al intervalo [0, 1] y descrita por la función de onda ψ que
satisface las condiciones de frontera
ψ (0) = 0 = ψ (1) .
Entonces el operador momentum P =
h d
es Hermítico, puesto que el término de frontera
i dx
que aparece en la integración por partes se anula:
∫
1
0
dx(ϕ ( Pψ ) − ( Pϕ ) ψ )( x)
=
[
h
(ϕ ψ )( x)
i
]
1
0
= 0.
Como P es Hermítico, sus valores propios son reales. Para determinar lo último, nótese que
la ecuación de valores propios,
( Pψ p )( x) = pψ p ( x) , p ∈ R, ψ p ≠ 0 ,
i
se soluciona por ψ p ( x) = C p exp( px) con C p ∈ C − {0}. La condición de frontera ψ p (0) = 0
h
implica ahora que ψ p = 0 , y por lo tanto P no admite valor propio alguno. Sin embargo, el
espectro de P es el plano complejo entero y no representa un observable.
¿Cómo pueden entenderse estos asombrosos resultados?
Los resultados asombrosos del anterior ejemplo indican que no es suficiente verificar que un
operador es Hermítico para identificarlo con un observable. Si el operador A del espacio de
Hilbert es auto-adjunto, entonces su espectro es real (1, 4, 5) y los vectores propios
asociados a diferentes valores propios son mutuamente ortogonales; además, los vectores
propios junto con los vectores propios generalizados conforman un sistema completo de
vectores generalizados del espacio de Hilbert (6). Así, cualquier operador auto-adjunto es
Hermítico, pero un operador Hermítico no necesariamente es auto-adjunto.
Los vectores que satisfacen la ecuación de valores propios, aunque no pertenezcan al
espacio de Hilbert H, sino a un espacio mayor que contiene a H, se llaman usualmente
“vectores propios generalizados”.
En el presente ejemplo,
D( P) = {ψ ∈ Η /ψ '∈ Η y ψ (0) = 0 = ψ (1)}
{
y D( P + ) = ϕ ∈ Η / ∃ ( P +ϕ ) ∈ Η tal que
ϕ , Pψ = P +ϕ , ψ
para toda ψ ∈ D(P) } . La
integración por partes
∫
1
0
dx(ϕ ( Pψ ) − ( Pϕ ) ψ )( x)
=
[
]
h
(ϕ (1)ψ (1) − ϕ (0)ψ (0) = 0
i
para toda ψ ∈ D(P) muestra que las condiciones de frontera satisfechas por ψ ∈ D(P) son ya
suficientes para anular el término de frontera y muestra que P + actúa en la misma forma que
P. Es decir,
P+ =
h d
, D( P + ) = {ϕ ∈ Η / ϕ '∈ Η} .
i dx
Entonces, el dominio de definición de P + es mayor que el de P: D( P) ⊂ D( P + ) . De donde, P
es Hermítico pero no auto-adjunto.
Los resultados concernientes al espectro de P citados en este ejemplo indican que el
espectro de un operador Hermítico no es simplemente el conjunto de sus auto-valores
propios o generalizados. El espectro del operador P, el cual no es auto-adjunto, contiene en
general una parte llamada el espectro residual; por definición son todos los números z ∈ C
que no son valores propios de P, pero para los cuales z es un valor propio de P + . Así, las
funciones que pertenecen a D( P + ) no satisfacen ninguna condición de frontera, mientras
que aquellas que pertenecen a D (P ) se anulan en las fronteras x = 0 y x = 1. Como las
i
funciones ϕ p ( x) = exp( px) con p ∈ C son soluciones de la ecuación de valores propios para
h
P + , ( P +ϕ p )( x) = pϕ p ( x) , ϕ p ∈ D( P + ), ϕ p ≠ 0 , todos los números complejos son valores propios
de P + . Pero ninguno de estos es un valor propio de P, ya que ϕ p no se anula en las
fronteras y por lo tanto no pertenece al D( P) . Como consecuencia, el espectro residual de P
es C. En efecto, esto representa el espectro completo de P ya que sus espectros discreto y
continuo son vacíos.
Quinto ejemplo
Si se introducen coordenadas polares en el plano o coordenadas esféricas en el espacio,
entonces el ángulo polar ϕ y la componente Lz del momentum angular son variables
canónicamente conjugadas en mecánica clásica. En teoría cuántica la variable ϕ es un
operador de “multiplicación de la función de onda ψ (ϕ ) por ϕ ” y Lz =
[
]
h d
, lo cual implica la
i dϕ
h
relación de conmutación L z , ϕ = 1 . Estos operadores que actúan sobre funciones de onda
i
periódicas (es decir, ψ (0) = ψ (2π ) ) son Hermíticos. Además, Lz admite un sistema completo
ortonormal de funciones propias ψ m , Lzψ m = mhψ m con
ψ m (ϕ ) =
1
exp(imϕ ) y m ∈ Z .
2π
Para las funciones de onda ψ se especifica solamente la dependencia con la variable
angular ϕ y para la ortonormalización, se usa el producto escalar para funciones de
cuadrado integrable en el intervalo [ 0, 2π ) :
ψ 1, ψ 2 = ∫
2π
0
dϕ ψ 1 (ϕ ) ψ 2 (ϕ ) .
Recuérdese que el valor promedio del operador A en el estado ψ está dado en la forma más
general por A = ψ , Aψ
ψ ,ψ .
[
]
Evaluando el valor promedio del operador L z , ϕ en el estado ψ m (7) y tomando en cuenta
el hecho de que L z es Hermítico, se encuentra que
h
h
= ψ m, 1 ψ m =
i
i
ψ m , Lzϕ ψ m − ψ m , ϕ Lz ψ m =
L+zψ m , ϕ ψ m −
mh ψ m , ϕ ψ m
= (mh − mh ) ψ m , ϕ ψ m = 0 .
Debe haber un problema desatendido en alguna parte… (8)
El operador de multiplicación por ϕ en el espacio de Hilbert Η = L2
g, ϕ f = ϕ g, f
definido y es auto-adjunto:
para todas las
( [0, 2π ] , dϕ )
está
g, f ∈ Η . También,
integrando por partes
∫
2π
0
[
dϕ ( g ( Lz f ) − ( Lz g ) f )(ϕ ) = h ( g ( 2π ) f ( 2π ) − g (0) f (0)
i
]
para toda f ∈ D( Lz ) .
Debido al carácter periódico del ángulo polar, las funciones que pertenecen al dominio de Lz
son periódicas: Lz =
h d
,
i dϕ
D ( Lz ) = {f ∈ Η / f '∈ Η y f (0) = f (2π )}.
De acuerdo a lo anterior, el término de frontera se anula si y sólo si g (0) = g (2π ) : esto implica
que L+z opera en la misma forma que Lz y que este admite el mismo dominio, de donde, el
operador Lz es auto-adjunto.
Para determinar el dominio de definición del conmutador
[L , ϕ ],
z
nótese que para
cualesquiera dos operadores A y B, se tiene que
D ( A + B ) = D ( A) ∩ D ( B )
y D( AB) = { f ∈ D( B) / Bf ∈ D( A)}. Así,
D
( [L , ϕ ] ) =
z
D( Lzϕ ) ∩ D(ϕ Lz )
con
D(ϕ Lz ) = { f ∈ D( Lz ) / Lz f ∈ D(ϕ ) = Η} = D( Lz ) y
D( Lzϕ ) = {f ∈ D(ϕ ) = Η / ϕ f ∈ D( Lz )}.
~
Pero la función f ≡ ϕ f , la cual aparece en la última expresión, toma los valores
~
f (0) = (ϕ f )(0) = 0 y
~
f (2π ) = (ϕ f )(2π ) = 2π f (2π )
~
~
~
y f ∈ D( L z ) implica f (0) = f (2π ) , es decir f (2π ) = 0 .
En resumen,
D(ϕ L z ) = D( L z ) ,
D( Lzϕ ) = { f ∈ Η / f '∈ Η y f (2π ) = 0} y
D
( [L , ϕ ] ) = {f ∈ Η / f '∈ Η y f (0) = 0 = f (2π )}.
z
Las funciones propias ψ m (ϕ ) =
[
1
2π
exp(imϕ ) de Lz no pertenecen al dominio de definición
]
de L z , ϕ ya que ellas no se anulan en los puntos 0 y 2π : por lo tanto la derivación de este
ejemplo no tiene sentido.
Los ejemplos anteriores aplican igualmente en teoría cuántica sin importar la formulación
utilizada de ella (9) (mecánica ondulatoria de Schrödinger, mecánica matricial de Heisenberg
o el formalismo BRA KET
de Dirac), puesto que dichas formulaciones son (isomórficas)
equivalentes entre sí (10). Por definición, para i = 1, 2, sea Η i un espacio de Hilbert
complejo separable (lo cual significa que admite una base ortonormal que consiste de una
familia numerable de vectores) con el producto escalar ,
Ηi
. Un operador lineal U : Η 1 → Η 2
es llamado unitario si:
a) U está definido en todo Η 1 .
b) La imagen de Η 1 bajo U es todo Η 2 .
c) U
preserva
Uf , Ug
Η2
el
= f, g
producto
Η1
escalar,
es
decir,
para todas las f, g ∈ Η 1 .
él
representa
una
isometría:
Dos espacios de Hilbert Η 1 y Η 2 que están relacionados por un operador unitario se dice
que son isomórficos y se escribe que Η 1 ≅ Η 2 . No obstante, en teoría cuántica de la
medición, formulaciones matemáticas equivalentes de la mecánica cuántica implican
diferentes resultados de medida (11, 12, 13), pero este es un problema diferente de
investigación en los fundamentos de la teoría.
Sexto ejemplo
Problemas similares a los del ejemplo inmediatamente anterior aparecen para los operadores
“número de fotones” y “multiplicación de la función de onda por ϕ ”.
Con los operadores creación ( a + ) y destrucción ( a ) de fotones (14), definidos en términos de
los operadores de fase ( ϕ ) y número de fotones (N= a + a ) se tiene que a = e iϕ N ,
[
]
a + = N e −iϕ y a, a + = 1 , de donde
aa + − a + a = 1 ,
( e iϕ N )( N e − iϕ )-( N e − iϕ )( e iϕ N )=1,
e iϕ Ne −iϕ − N = 1 ,
e iϕ N − Ne iϕ = e iϕ . [1]
Esta igualdad se cumple si
Nϕ − ϕ N = [N , ϕ ] = i1 ,
junto con
∞
e iϕ = ∑ (iϕ ) k k! = 1 + iϕ − (ϕ 2 2) − (iϕ 3 ) 3! + ... ,
k =0
veamos,
ϕ 2 N = ϕ (ϕ N ) = ϕ ( Nϕ − i1) ,
ϕ 2 N − Nϕ 2 = ϕ ( Nϕ − i1) − Nϕ 2 = −2iϕ .
Similarmente
ϕ 3 N = ϕ (ϕ 2 N ) = ϕ ( Nϕ 2 − 2iϕ ) ,
ϕ 3 N − Nϕ 3 = ϕ ( Nϕ 2 − 2iϕ ) − Nϕ 3 = −3iϕ 2 .
Es decir que
ϕ k N − Nϕ k = − ikϕ k −1 .
Ahora bien
∞
∞
k =0
k =0
e iϕ N − Ne iϕ = ( ∑ (iϕ ) k k! ) N − N ( ∑ (iϕ ) k k! )
1
=i( ϕ N − Nϕ ) − ( ϕ 2 N − Nϕ 2 )
2
i
1
( ϕ 4 N − Nϕ 4 )+…
− ( ϕ 3 N − Nϕ 3 ) +
6
24
∞
= ∑ (iϕ ) k k! = e iϕ ,
k =0
como se había predicho.
[
]
Evaluando el valor promedio del operador N , ϕ en el estado ψ n y tomando en cuenta el
hecho de que N es Hermítico, como también que Nψ n = nψ n , n siendo el número de fotones
en el estado ψ n , se encuentra que
i = ψ n , i1 ψ n =
ψ n , Nϕ ψ n − ψ n , ϕ N ψ n =
N +ψ n , ϕ ψ n −
n ψ n, ϕ ψ n
= (n − n) ψ n , ϕ ψ n = 0 . [2]
La solución a esta paradoja matemática es muy similar a la solución del ejemplo
inmediatamente anterior.
Relación de incertidumbre HRS (Heisenberg- Robertson-Schrödinger)
Utilizando resultados generales del formalismo matemático de la mecánica cuántica (15, 16),
se puede obtener la relación de incertidumbre HRS, cuya validez al pie de la letra no es tan
general como parece, según se verá en los ejemplos que siguen.
Con operadores arbitrarios observables A y B y considerando los kets
Aˆ ψ = ( A − A 1)ψ y Bˆ ψ = ( B − B 1)ψ ,
se tiene con ψ normalizado ( ψ ψ =1) que
ψ Aˆ Aˆ ψ = ψ Â 2 ψ = Â 2
= ψ ( A − A 1) 2 ψ = (∆A) 2 ,
ψ Bˆ Bˆ ψ = ψ B̂ 2 ψ = B̂ 2
= ψ ( B − B 1) 2 ψ = (∆B) 2 .
Entonces
(∆A) 2 (∆B ) 2 =
ψ ( A − A 1) 2 ψ ψ ( B − B 1) 2 ψ .
Utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz para dos kets arbitrarios ψ 1 y ψ 2
ψ 1ψ 1 ψ 2 ψ 2 ≥
se obtiene que
ψ 1ψ 2
2
, [3]
(∆A) 2 (∆B) 2 ≥
ψ ( A − A 1)( B − B 1)ψ
2
. [4]
Como el producto MK de dos operadores Hermíticos siempre se puede escribir como
MK = ( MK + KM ) 2 + ( MK − KM ) 2
entonces
( A − A 1) ( B − B 1) =
( ( A − A 1) ( B − B 1) + ( B − B 1) ( A − A 1) )/2
+( ( A − A 1) ( B − B 1) - ( B − B 1) ( A − A 1) )/2
= { ( A − A 1) , ( B − B 1) } /2+ [A, B ] 2 ,
con { , } simbolizando el anti-conmutador de los operadores que están adentro.
Finalmente
(∆A) (∆B ) ≥
1
2
( {( A −
)
A 1), ( B − B 1)} + [A, B ] . [5]
Como caso especial menos aproximado se tiene que
(∆A) (∆B ) ≥ 1
2
[A, B]
llamada relación de incertidumbre HRS.
Séptimo ejemplo
[
]
h
Recordando que P, Q = 1 , es evidente que
i
(∆P ) (∆Q ) ≥ h , [6]
2
,
desigualdad conocida como relación de incertidumbre de Heisenberg. Ya que la relación de
[
]
h
conmutación L z , ϕ = 1 tiene la misma forma, se puede inferir que
i
(∆Lz ) (∆ϕ ) ≥ h . [7]
2
No obstante, siempre se puede encontrar un estado para el cual ∆Lz < (h 4π ) y entonces ∆ϕ
tiene que ser mayor que 2π , lo cual no tiene sentido físico, pues ϕ toma valores en el
[
intervalo 0, 2π ). Este ejemplo muestra que la relación HRS no es válida en general (17, 7).
[L , ϕ ] = hi 1 sea válida, pero
¿Cómo puede ser posible que la relación de conmutación
z
la desigualdad (∆Lz ) (∆ϕ ) ≥ h no?
2
Siendo más cuidadosos en la escritura, se tiene que
(∆ψ A) (∆ψ B ) ≥ 1
2
ψ , i[A, B ] ψ
, [8]
donde ψ ( A − A ψ 1) 2 ψ = (∆ψ A) 2 , y similarmente para B.
El lado izquierdo de la relación [8] está definido para ψ ∈ D ( A) ∩ D ( B ) (subespacio de H que
contiene todos los estados ψ para los cuales las incertidumbres o desviaciones cuadráticas
medias ∆ψ A y ∆ψ B tienen significado físico).
[
]
Pero, el lado derecho sólo está definido en el subespacio D( A, B )=D(AB) ∩ D(BA), el cual
es más pequeño en general.
Recuérdese que si ψ ∈ D ( A) ∩ D ( B ) y
Aˆ = ( A − A ψ 1) , Bˆ = ( B − B ψ 1) ,
como A y B son auto-adjuntos (observables), se obtiene que (18)
i
Aψ , Bψ − i Bψ , Aψ =
i
Aˆ ψ , Bˆ ψ − i
Bˆ ψ , Aˆ ψ
Aˆ ψ , Bˆ ψ +
Bˆ ψ , Aˆ ψ =
≤
Aˆ ψ , Bˆ ψ ≤ 2 Aˆ ψ Bˆ ψ = 2(∆ψ A)(∆ψ B ) ,
2
de donde
(∆ A)(∆ B ) ≥ 1
ψ
ψ
i
2
Aψ , Bψ − i
Bψ , A ψ
, [9]
donde el dominio del lado derecho coincide ahora con el del lado izquierdo, es decir,
D( A) ∩ D( B ) . El producto de las incertidumbres de los dos observables A y B no está
determinado por su conmutador, sino por su relación Hermítica
Φ A, B ( f , g ) = i Af , Bg − i Bf , Ag ,
para todas las f, g ∈ D( A) ∩ D( B) .
De nuevo, para A= P =
evalúa
integrando
h d
y B=Q=x en H= L2 ( R, dx) , el lado derecho de la fórmula [9] se
i dx
por
partes,
obteniéndose
que
(∆ψ P ) (∆ψ Q ) ≥ h ,
2
para
toda
ψ ∈ D( P) ∩ D(Q) .
Pero si A= L z =
h d
y B= ϕ en Η = L2
i dϕ
( [0, 2π ] , dϕ ), el término fronterizo al integrar por
partes no desaparece, quedando la desigualdad
(∆ψ L z ) (∆ψ ϕ ) ≥ h 1 − 2π ψ (2π )
2
para todas las ψ ∈ D( Lz ) ∩ D(ϕ ) = D( Lz ) .
2
, [10]
Entonces, el producto de las incertidumbres (∆ψ Lz ) y (∆ψ ϕ ) puede ser más pequeño que h
2
(19). Para estados ψ que pertenezcan a D
( [L , ϕ ] ), es decir, aquellos que satisfacen
z
ψ (2π ) = ψ (0) = 0 , la desigualdad [8] también puede darse, con el mismo resultado de [10].
La precisión con la cual se pueden hacer medidas mutuamente relacionadas a cualquier
nivel, es tan buena pero no mejor que lo permitido por las relaciones de incertidumbre
cuánticas. Es por esto que como solución a las paradojas matemáticas encontradas en
óptica cuántica, se prefiere definir de otra manera los operadores N, ϕ y Lz (21, 23, 24), en
vez de tratar de cambiar la relación de incertidumbre HRS (20, 22). Según el mismo Uffink,
¿qué es insatisfactorio con la aproximación tradicional al principio de incertidumbre? Hay tres
problemas. Primero, las relaciones de incertidumbre como [5] o [6] presuponen que todos los
observables para los cuales se quiere escribir una relación de incertidumbre son operadores
auto-adjuntos. Desafortunadamente este no es siempre el caso. Ejemplos notorios son el
tiempo y la energía y, la fase y el número de fotones. Segundo, en teoría cuántica relativista,
inclusive el observable de posición se vuelve dudoso. No hay operador auto-adjunto de
posición para los fotones.
Tercero, nótese que el lado derecho de [5] depende de ψ . Este lado podría ser cero, aún si
A y B no conmutan. En efecto, esto siempre pasa en un estado propio de A o B. Entonces,
tomando la desigualdad como una afirmación general acerca de (∆ψ A) (∆ψ B ) , ella sólo dice
que este producto es mayor que cero para algunos estados e igual a cero para otros. Pero,
esto también es cierto en física clásica. Para saber más a partir de [5] se necesita conocer el
estado. Pero entonces, cuando se da ψ , se pueden calcular (∆ψ A) y (∆ψ B) directamente,
sin tener que usar la desigualdad.
Octavo ejemplo
Recuérdese que se cumple la relación Nϕ − ϕ N = i1 , la cual implica que
(∆N ) (∆ϕ ) ≥ 1 . [11]
2
Problemas similares a los encontrados en el ejemplo anterior, para el presente caso, pueden
verse en la referencia (7). Cuando (∆N ) se hace muy pequeña, (∆ϕ ) debe crecer más que
2π , lo cual no tiene sentido físico.
Para el lector interesado en más detalles históricos y técnicos de las paradojas matemáticas
en óptica cuántica y sus posibles soluciones, se recomienda leer las referencias (20), (21),
(22), (23) y (24).
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