MECÁNICA CUÁNTICA Problemas (Grupo D) Problema 1. En un espacio de Hilbert H complejo actúa un operador X . Usando la definición de operador hermı́tico y las propiedades del producto escalar, probar la relación hψ1 |X|ψ2 i = hψ2 |X † |ψ1 i∗ , ∀|ψ1 i, |ψ2i ∈ H . Problema 2. Sea H un espacio de Hilbert de dimensión finita y A un operador autoadjunto sin degeneración. Probar: i/ Los autovalores ai de A son reales. ii/ Los autovectores {|ai i} de A forman un conjunto ortonormal. Problema 3. Sea X un operador definido sobre un espacio de Hilbert H de dimensión finita, y A un operador autoadjunto con autovectores {|ai i} . Se pide: P i/ Expresar X en la base de A en notación de Dirac: X = i,j Xij |ai ihaj |. ii/ Comprobar que las componentes son Xij = hai |X|aj i. iii/ Expresar A en componentes de su propia base. Problema 4. Consideremos una partı́cula de spin S = 12 . Sean |Sz ; ±i := |±i los autoestados de spin arriba/abajo en la dirección del eje z . El operador Sz en su propia base es de la forma Sz = ~2 (|+ih+| − |−ih−|) . Utilizando los postulados I y II de la mecánica cuántica y tantos experimentos Stern-Gerlach como sean necesarios, se pide: i/ Expresar los autoestados correspondientes a las componentes de spin Sx y Sy en términos de los de la base de Sz : 1 1 |Sx ; ±i = √ |+i ± √ |−i, 2 2 i 1 |Sy ; ±i = √ |+i ± √ |−i. 2 2 ii/ Expresar los operadores Sx y Sy en la base de Sz ~ (|+ih−| + |−ih+|), 2 ~ Sy = (−i|+ih−| + i|−ih+|). 2 Sx = iii/ Obtener la expresión matricial de las matrices de Pauli. 1