x - IES Francisco Ayala

I.E.S. “CASTELAR” BADAJOZ
PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)
UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA
JUNIO – 2007
(Resueltos por Antonio Menguiano)
MATEMÁTICAS II
Tiempo máximo: 1 hora y 30 minutos
El alumno elegirá uno de los dos repertorios que a continuación se proponen.
Cada una de las cuatro cuestiones del repertorio elegido puntuará 2’5 puntos como máximo.
Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la
respuesta dada.
OPCIÓN A
1º) a ) Enuncia la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.
b ) Dada la función h(x ) = e sen f ( x ) , calcula el valor de su derivada en x = 0, sabiendo que
f(0) = 0 y que f’(0) = 1.
---------a)
Sabiendo que la derivada de una función f(x) en un punto xo viene dada por la
fórmula:
f ' (x 0 ) =
lím f (x ) − f (x 0 )
x → x0
x − x0
Aplicando la misma fórmula a una función compuesta, por ejemplo, ( f g )(x0 ) :
(f
g )' ( x 0 ) =
lím ( f
x → x0
lím f [g ( x )] − f [g ( x 0 )]
g )( x ) − ( f g )( x 0 )
=
x → x0
x − x0
x − x0
Multiplicando y dividiendo por g (x ) − g (x0 ) la expresión anterior, queda:
(f
=
g )' ( x 0 ) =
lím  f [g ( x )] − f [g ( x 0 )] g (x ) − g ( x 0 )
·
=
x → x 0  g ( x ) − g (x 0 )
x − x 0 
lím f [g (x )] − f [g ( x 0 )]
lím g ( x ) − g ( x 0 )
·
= f ' [g ( x 0 )] · g ' ( x 0 ) = ( f
x → x0
x → x0
g (x ) − g ( x 0 )
x − x0
En general:
(f
g )' ( x ) = f ' [g ( x )] · g ' ( x )
o
(g
g )' (x 0 )
f )' ( x ) = g ' [ f ( x )] · f ' ( x )
A. Menguiano
b)
Teniendo en cuenta que si α ( x ) = e β ( x ) es α ' (x ) = β ' (x ) · e β ( x ) , sería:
h( x ) = e sen
f (x)
⇒ h' ( x ) = f ' ( x ) · cos f ( x ) · e sen
f (x)
Particularizando para x = 0 y teniendo en cuenta que f(0) = 0 y que f’(0) = 1, es:
 f (0) = 0 
sen
Para x = 0 ⇒ 
 ⇒ h' (0 ) = f ' (0 ) · cos f (0 ) · e
 f ' (0 ) = 1
= 1 · 1 · e 0 = 1 · 1 = 1 = h' (0 )
**********
f (0 )
= 1 · cos 0 · e sen 0 =
2º) Representa gráficamente el recinto plano limitado por las parábolas y = 1 − x 2 e
y = 2x 2 y calcula su área.
---------Los puntos de corte de las dos parábolas, (que ambas son funciones pares, por lo
que son simétricas con respecto al eje de ordenadas) se obtienen igualando ambas funciones y resolviendo la ecuación resultante:
Y
y = 1 − x 2 
⇒ 1 − x 2 = 2 x 2 ; ; 3x 2 = 1 ; ;
2 
y = 2 x 
y = 2x2
x2 =
1
3
3
⇒ x1 = +
; ; x1 = −
3
3
3
y1 = 2 x1 =
2
S
1
B
-3
-2
-1
A
O 33
1
2
3
X
 3 2

2
3 2
⇒ A
,  ; ; B −
,  .
3
3
3
3
3



La representación gráfica de la situación es la indicada en la figura.
Teniendo en cuenta la simetría de las
funciones y que las ordenadas de la parábola y = 1 − x 2 tiene las ordenadas iguales o
mayores que las correspondientes de la parábola y = 2x 2 en el intervalo correspondiente a la superficie a calcular, el valor del área pedida es la siguiente:
y = 1 – x2
3
3
3
3
3
3

3x 3  3
3 3
[
]
2
·
S = 2 · ∫ [(1 − x 2 ) − 2 x 2 ] · dx = 2 · ∫ (1 − 3 x 2 ) · dx = 2 ·  x −
=
x
−
x
=
0

3
0
0

0
 3  3 3

 3 3 3
 3
3 2 3
4 3 2
 − 0 = 2 · 
=2·
=
(
)
=2·
− 
−
−
·
3
−
1
=
u =S
 3

 3

27
9
9
9
 3  3 





**********
1 2 3 a 


3º) a ) Calcula el rango de la matriz A =  2 4 6 8  , según los valores de a.
 3 6 9 12 


b ) Escribe las propiedades del rango que hayas usado.
---------a)
Teniendo en cuenta que C2 = 2C1 y que C3 = 3C1 y, por otra parte F3 =
3
F2 , la
2
1 a
 cuyo rango en
matriz A (a efectos de su rango) es equivalente a la matriz A = 
2 8
función de a es el siguiente:
Para a ≠ 4 ⇒ Rang A = 2
Para a = 4 ⇒ Rang A = 1
b)
Para determinar el rango las propiedades de los determinantes que se han utilizado son las siguientes:
.- Si una matriz tiene dos líneas proporcionales su determinante es cero.
.- El determinante de una matriz no varía si se elimina una línea que sea linealmente dependiente de otra línea paralela.
**********
4º) Determina la relación que debe existir entre a y b para que el punto P(0, a, b) esté en
el plano determinado por los puntos A(1, 0, 0), B(1, 1, 1) y C(0, 2, 1).
---------Los puntos A, B y C determinan los siguientes vectores:
u = AB = B − A = (1, 1, 1) − (1, 0, 0) = (0, 1, 1)
v = AC = C − A = (0, 2, 1) − (1, 0, 0 ) = (− 1, 2, 1)
El plano π que contiene a los puntos A, B y C puede determinarse por uno cualquiera de los puntos, por ejemplo A, y los dos vectores obtenidos:
(
)
π A; u , v ≡
x −1 y
z
1 1 = 0 ; ; x − 1 − y + z − 2( x − 1) = 0 ; ; x − 1 − y + z − 2 x + 2 = 0 ; ;
2 1
0
−1
− x − y + z + 1 = 0 ;; π ≡ x + y − z − 1 = 0 .
Para que el punto P(0, a, b) pertenezca al plano π , tiene que satisfacer su ecuación:
π ≡ x + y − z − 1 = 0
P (0, a, b )
 ⇒ 0 + a − b − 1 = 0 ;; a = b + 1

**********
OPCIÓN B
1º) Determina los puntos de las parábola y = x 2 que estén a la mínima distancia del punto P(0, 1).
---------Y
Los puntos de la parábola tiene la
expresión Q(x, x 2 ) .
La distancia del punto P(0, 1) al
punto genérico Q(x, x 2 ) es la siguiente:
d PQ =
P d
(x − 0)2 + (x 2 − 1)2 .
Operando y simplificando:
Q
O
d PQ =
X
x 4 + 3x 2 + 1 .
La distancia será mínima cuando su derivada sea cero:
d ' PQ =
4x 3 + 6x
2 x 4 + 3x 2 + 1
=
2 x 3 + 3x
x 4 + 3x 2 + 1
=
x (2 x 2 + 3)
x 4 + 3x 2 + 1
=0 ⇒ x=0
(Nótese que x = 0 es la única solución real por ser 2 x 2 + 3 ≠ 0, ∀x ∈ R ).
Para x = 0 resulta que el punto Q es el origen de coordenadas.
El único punto cuya distancia es mínima al punto P(0, 1) es el origen de coordenadas.
**********
2º) Calcula el valor de la integral I =
10
∫ (x − 2) 3
1
· dx .
3
---------8
10
I = ∫ ( x − 2 )3
1
3
 1 +1 
8 1
 t3 
 x − 2 = t x = 10 → t = 8
3
· dx ⇒ 
⇒
I
=
t
·
dt
=

1  =
∫1
x = 3 → t =1 
dx = dt
 + 1
3 1
8
 4
8
3 · 4 t 3 
t 3 
3 · 4 83 3 · 4 13 3 · 4 2 9 3 · 1 3 · 2 2 · 4 2 3 3 · 2 2 · 4 2 − 3
=  =
−
=
−
=
− =
=
 =
4
4
4
4
4
4
4
4
4


 

1
 3 1
=
(
)
3 · 4 4 2 −1
=I
4
.
**********
3º) a ) Enuncia el Teorema de Rouché-Fröbenius.
x + y + z = a

b ) Discute el sistema de ecuaciones lineales  x + y + az = 1 , según los valores del pa x + ay + z = 1

rámetro a.
---------a)
El Teorema de Rouché-Fröbenius puede enunciarse del modo siguiente:
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones con n
incógnitas tenga solución es que coincida el rango de la matriz de los coeficientes con el
rango de la matriz ampliada con los términos independientes.
Si el rango es igual al número de incógnitas el sistema es compatible determinado.
Si el rango es menor que el número de incógnitas el sistema es compatible indeterminado.
En el caso particular de un sistema homogéneo, la condición necesaria y suficiente para que un sistema sea compatible es que el rango de la matriz de los coeficientes
sea menor que el número de incógnitas. La condición necesaria y suficiente para que un
sistema de n ecuaciones homogéneas con n incógnitas sea compatible es que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.
b)
1 1 1 
1 1 1 a 




Matrices de coeficientes y ampliada: M = 1 1 a  y M ' = 1 1 a 1 
1 a 1 
1 a 1 1 




1 1 1
2
Rango M ⇒ 1 1 a = 1 + a + a − 1 − a 2 − 1 = − a 2 + 2a − 1 = −(a − 1) = 0 ⇒ a = 1
1 a 1
Para a ≠ 1 ⇒ Rango M = Rango M ' = n º incóg. ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
1 1 1 1


Para a = 1 la matriz ampliada es M ' = 1 1 1 1 , que tiene de rango 1, lo cual
1 1 1 1


significa que:
Para a = 1 ⇒ Rango M = Rango M ' = 2 < n º incóg. ⇒ S . Compatible In det er min ado
**********
4º) Escribe un vector de modulo 1 que sea ortogonal al vector v = (1, 2, 1) .
---------Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando el ángulo que forman es
de cero grados.
Existen infinitos vectores que son ortogonales a v y, el versor de cualquiera de
ellos es solución a la cuestión. Versor de un vector es otro vector de las mismas características cuyo módulo es uno.
Sea u1 un vector cualquiera que vamos a suponer que es perpendicular al vector
dado, para lo cual consideraremos un caso sencillo, como puede ser que tenga nula una
de sus componentes; es decir: que tengamos solamente una incógnita; por ejemplo, sea
u1 = (0, 1, x ) .
Teniendo en cuenta que el producto escalar de dos vectores es el producto de los
módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman y que el cos 90º = 0, sería:
v · u1 = (1, 2, 1) · (0, 1, x ) = 0 ; ; 0 + 2 + x = 0 ; ; x = −2
El vector u1 = (0, 1, − 2 ) es ortogonal a v = (1, 2, 1) .
Para obtener un versor de u1 = (0, 1, − 2 ) , basta con dividir por su módulo:
Versor de
u1 = 0 2 + 12 + (− 2 ) = 1 + 4 = 5
2
Vector unitario ortogonal a v ⇒
1
2 

u =  0,
, −

5
5

(el vector opuesto al obtenido también es solución del ejercicio)
**********