Programa de Doctorado en Ingeniería Aeronáutica – Capítulo I. Fundamentos de Elasticidad Tensores Es aquella cantidad física que después de una transformación de coordenadas (que obedezca ciertas reglas), se comporta de tal manera que las leyes que lo relacionan con otra cantidad similar, se conservan. x3 A3 3 ê3 1 2 A2 ê2 x2 ê1 A1 x1 Sea A un vector con 3 componentes, es decir A ( A1 , A2 , A3 ) A1eˆ1 A2 eˆ2 A3 eˆ3 A Ai i 1,2,3 índice libre. notación normal cartesiana notación indicial por ejemplo los cosenos directores se pueden escribir en la forma: cos( i ) i 1,2,3 es decir, cos 1 , cos 2 y cos 3 se denotará solamente por: cos i li Comportamiento Mecánico de Materiales - Dr. Alberto Monsalve Gonzáles Ai A 1-1 Programa de Doctorado en Ingeniería Aeronáutica – Capítulo I. Fundamentos de Elasticidad donde el módulo del vector es A A12 A22 A32 *A j índice repetido Ai Ai SUMA A li i A NOTA: Ai Aj Aj Cada vez que haya un índice repetido significa que se debe sumar, y no se debe repetir el mismo índice más de 2 veces Por lo tanto los cosenos directores se pueden escribir como Producto Escalar: A B A1 B1 A2 B2 A3 B3 A B Ai Bi i 1,2,3 notación indicial Producto vectoria C A B ( A2 B3 A3 B2 )eˆ1 ( A3 B1 A1 B3 )eˆ2 ( A1 B2 A2 B1 )eˆ3 que se obtiene de eˆ1 A B det A1 B1 eˆ2 A2 B2 eˆ3 A3 B3 en notación indicial el producto vectorial tiene la siguiente expresión A B ijk Ai B j eˆk donde: ijk 1 Rotación es cíclica 1 Rotación es anticíclic a 0 Índices repetidos Comportamiento Mecánico de Materiales - Dr. Alberto Monsalve Gonzáles 1-2 Programa de Doctorado en Ingeniería Aeronáutica – Capítulo I. Fundamentos de Elasticidad ejemplo: 123 1 321 1 122 0 231 1 Consideremos el término ij1 Ai Bjê1 Como ij1 0 si hay 2 índices repetidos, solo se tienen valores no nulos si los índices i, j toman los valores 2 y 3. Por lo tanto ij1 Ai Bjeˆ1 231A2 B3eˆ1 321A3 B2 eˆ1 pero 231 1 y 321 1 por lo tanto ij1 Ai Bjeˆ1 ( A2 B3 A3 B2 )eˆ1 . Análogamente se obtiene: ij2 Ai Bjeˆ2 ( A3 B1 A1 B3 )eˆ2 ij3 Ai Bjeˆ3 ( A2 B1 A1 B2 )eˆ3 Comportamiento Mecánico de Materiales - Dr. Alberto Monsalve Gonzáles 1-3 Programa de Doctorado en Ingeniería Aeronáutica – Capítulo I. Fundamentos de Elasticidad Transformación de coordenadas x3 y3 iˆ3 y2 ê1 ê2 x2 iˆ2 iˆ1 ê3 x1 y1 eˆi aij iˆj , iˆk bki eˆi reemplazando iˆk bki aij iˆj 1 si i j bki aij ij 0 si i j Las matrices que representan a los coeficientes aij y bki son inversas Propiedades de los Tensores 1.- Cuando en una expresión aparezca un índice repetido se entenderá que corresponde a una suma en todo el rango del índice. Ejemplo B i eˆi i 1,2,3 Comportamiento Mecánico de Materiales - Dr. Alberto Monsalve Gonzáles 1-4 Programa de Doctorado en Ingeniería Aeronáutica – Capítulo I. Fundamentos de Elasticidad B 1eˆ1 2 eˆ2 3 eˆ3 2.- Los índices repetidos de un miembro se llaman índices mudos y no deben repetirse más de una vez. Ejemplo ek ijk Aij i y j son índices mudos 3.- Un índice que no se repite, toma en forma separada los valores de su rango Ejemplo l ali xi l 1,2,3 Es equivalente a 1 a1i xi , 2 a2i xi , 3 a3i xi 4.- El número de índices libres en miembro izquierdo y derecho deben ser los mismos en una identidad tensorial. Ejemplo bjk a jkl eˆl j y k son índices libres 5.- Un tensor es simétrico si satisface Tij Tji y es antisimétrico si Tij Tji 6.- Todo tensor es la suma de uno simétrico más uno antisimétrico En efecto Tij S ij Aij donde S ij (Tij Tji ) / 2 S ij S ji y Aij (Tij Tji ) / 2 ya que S ji (Tji Tij) / 2 S ij Aij Aji ya que Aji (Tji Tij) / 2 (Tij Tji ) / 2 Aij 7.- Cualquier tensor simétrico de orden 2 puede ser escrito en la forma T11 T12 T13 T Tij T21 T22 T23 T31 T32 T33 Comportamiento Mecánico de Materiales - Dr. Alberto Monsalve Gonzáles 1-5 Programa de Doctorado en Ingeniería Aeronáutica – Capítulo I. Fundamentos de Elasticidad 8. Diagonalización de una matriz Significa encontrar aquel sistema de coordenadas en que los componentes de índices mixtos son nulos. Los valores de la diagonal reciben el nombre de valores principales. 0 T11 0 (Tij) 0 T22 0 0 0 T33 Invariantes de un tensor Un invariante es un valor independiente del sistema de coordenadas usadas, es decir, un escalar (tensor de orden cero). Primer invariante: I1 Tii i 1,2,3 y se denomina traza del tensor Corresponde a la suma de los elementos que forman la diagonal principal. Segundo invariante: I2 Tii Tjj TijTij desarrollando los términos involucrados se obtiene 2 I 2 T11T22 T11T33 T22T33 (T21 T31 T32 ) 2 Tercer invariante: I3 2 2 1 (Tii T jj Tll 3Tii T jl T jl 2Tij T jl Tli ) 6 Comportamiento Mecánico de Materiales - Dr. Alberto Monsalve Gonzáles 1-6 Programa de Doctorado en Ingeniería Aeronáutica – Capítulo I. Fundamentos de Elasticidad Notación de Derivadas tensoriales Tij Tij,k xk , 2Tij Tij,kl xk xl Que corresponden respectivamente a las derivadas de la componente ij del tensor T en la dirección k y la segunda derivada de la componente ij del tensor T en las direcciones lyk Comportamiento Mecánico de Materiales - Dr. Alberto Monsalve Gonzáles 1-7