Capítulo 7 Primera parte

Versión 2014
CAPITULO 7
PROYECTO Y CÁLCULO DE EJES
Y ELEMENTOS ACCESORIOS
División 1
Generalidades. Revisión de métodos estáticos
Métodos Dinámicos y por Fatiga
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan
Versión 2014
1. Introducción
En este capítulo se darán herramientas para el cálculo de ejes y sus accesorios afines. En la
presente División 1, se efectuará un repaso de la metodología de análisis y cálculo estático de
ejes y se introducirán esquemas para el estudio de resistencia por fatiga, que es lo más
importante desde el punto de vista de diseño.
2. Generalidades
Un eje es un elemento de máquina generalmente rotatorio y a veces estacionario, que tiene
sección normalmente circular de dimensiones menores a la longitud del mismo. Tiene
montados sobre sí, elementos que transmiten energía o movimiento, tales como poleas (con
correas o cadenas), engranajes, levas, volantes, etc. En la Figura 7.1 se puede apreciar un eje
con diferentes tipos de montajes, como los mencionados anteriormente.
Figura 7.1. Eje con diferentes tipos de montajes.
La solicitación sobre un eje puede ser de diferentes características, estática o dinámica en
cuanto a la variación temporal de las solicitaciones, o bien, flexional, torsional, axial en
cuanto al modo en que actúa la solicitación.
3. Procedimiento de Diseño de Eje
En la Figura 7.2 se puede apreciar una distribución cualquiera de las solicitaciones a que
puede estar sometido un eje, flexionales, cortantes por flexión, axiales y torsionales. Un
procedimiento general para el cálculo y diseño de ejes se puede condensar en las siguientes
etapas:
1. Desarrollar un diagrama de cuerpo libre, reemplazando los diversos dispositivos
por sus correspondientes acciones o solicitaciones, de manera de obtener un
sistema estático equivalente.
2. Evaluar los momentos flectores, torsores, esfuerzos de corte y esfuerzos axiales en
el tramo completo del eje.
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3. Seleccionar las secciones más conflictivas y de ellas los puntos más conflictivos.
Esta tarea está asociada a la determinación de factores de concentración de
tensiones debidos a entallas geométricas y otros factores debidos según ha sido
explicado en el Capítulo 2.
4. Evaluar los estados tensionales en los puntos conflictivos.
5. Seleccionar el criterio o teoría de falla estática o dinámica en función del tipo de
material (frágil o dúctil) y tipo de rotura estimada (fatiga, etc.)
6. Evaluar la seguridad de los puntos conflictivos.
7. Efectuar un replanteo en términos de diámetro y configuraciones geométricas o
material en tanto que los resultados obtenidos no satisfagan las condiciones de
diseño.
Figura 7.2. Solicitaciones en un eje y diagrama de cuerpo libre.
4. Diseño para solicitación estática
Discriminación de las tensiones normales y cortantes
Dado el tipo de configuración de las solicitaciones se puede discriminar el siguiente estado
tensional genérico debido a flexión, torsión y efecto axial:
M  x .c P
T  x .c
(7.1)
 ,  xy 
I
A
J
Donde M(x), T(x) y P(x) son el momento flector, el momento torsor y la fuerza axial
respectivamente y además:
x
d 4
d 4
d 2
d
, J
, A
c , I 
64
4
32
2
Luego los valores de tensión serán
(7.2)
32 M  x  4 P x 
16T  x 
(7.3)
,  xy 

3
2
d
d
d 3
Entonces según las expresiones de tensiones principales y las tensiones de corte máxima y
mínima, según un estado plano de tensiones, se obtienen como:
x
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x


 1 , 2    x   xy2 ,  max , min    x   xy2
2
 2
 2 
Luego, reemplazando (7.3) en (7.4) se tiene
2
2
2
 1 , 2 
16 M 2 P   16 M 2 P   16T 


 
 

 d 3 d 2   d 3 d 2   d 3 
2
(7.4)
2
(7.5)
2
16 M 2 P
16T
(7.6)
 max , min   3  2    3 
d   d 
 d
Ahora bien, según sea el criterio de rotura que se pretenda emplear se tendrán diferentes
casos, los cuales se tratarán a continuación.
Teoría de la Energía de Distorsión (Criterio de Von Mises-Hencky)
Se recordará del Capítulo 2, División 4, que el criterio de máxima energía de distorsión
establece que la falla se produce (en un material dúctil) cuando se cumple que:

2
1
 22  1  2 
Sy
ns
(7.7)
Donde Sy y ns son el límite de fluencia del material y el coeficiente de seguridad del material.
En consecuencia, reemplazando los valores de (7.5) en (7.7) se puede obtener la siguiente
expresión:
2
2
16 M 2 P   3  16T  S y
2 


  
 
 d 3 d 2   4  d 3  ns
(7.8)
Nótese que en (7.8) no se puede obtener el diámetro como forma explícita en función de las
solicitaciones actuantes. Sin embargo en el caso de poder desechar el esfuerzo axial, se puede
obtener la conocida expresión:
 32ns

(7.9)
d  3 
M 2  ¾T 2 

.
S
y


que si tiene explicitado el diámetro en función de las solicitaciones actuantes.
En definitiva, dentro de la posibilidad de explicitar el diámetro como en (7.9) se puede
obtener una expresión para dimensionar el eje. Pero por lo general se tendrá que recurrir a
expresiones como la (7.8) para verificar el estado tensional, dado que en más frecuente tener
un prediseño geométrico del eje con la localización de todos los concentradores de tensiones.
Teoría de la máxima tensión de corte (Criterio de Coulomb-Tresca)
En este caso la falla se presentará si se cumple que:
 1  2 
Sy
ns
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(7.10)
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Luego reemplazando (7.5) en (7.10) se obtiene
2
2
16 M 2 P   16T  S y
2 


 
 
 d 3 d 2   d 3  ns
(7.11)
La cual no tiene explicitado el diámetro en función de los esfuerzos. Ahora como en el caso
anterior, en ausencia de cargas axiales (o sea P=0) se puede explicitar el diámetro obteniendo:
 32ns

d  3 
M 2 T 2 
  .S y

(7.12)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo:
Un eje es sometido a una solicitación flexional y una solicitación torsional tal que en el punto
más solicitado se tiene T = 3.5 Nm y M = 50 Nm. Se sabe que el límite de fluencia es de 450
MPa. Se desea comparar la diferencia en el dimensionado del diámetro empleando los
criterios de Von-Mises-Hencky y de Coulomb-Tresca. Suponga que el coeficiente de
seguridad es uno.
Entonces, reemplazando los valores en la (7.9) y en la (7.12) se tiene
 32ns

d1  3 
M 2  ¾T 2   0.03843m
  .S y

 32ns
d 2  3 
  .S y

M 2  T 2   0.03845m

err[%]2  0.041%
Nótese que no hay prácticamente diferencia entre los dos métodos. Sin embargo esto se debe
a que el torque es de un orden de magnitud menor al momento flector. Si se repite el cálculo,
pero modificando el torque a T = 50 Nm se observa:
 32ns

d1  3 
M 2  ¾T 2   0.0463m
  .S y

 32ns
d 2  3 
  .S y

M 2  T 2   0.0484m

err[%]2  4.354%
Aun así la diferencia porcentual está por debajo del 5%. Lo que a veces suele ser aceptable
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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5. Diseño para solicitación Dinámica
Teoría de diseño a la fatiga para materiales dúctiles
En la Figura 7.3 se muestra un elemento diferencial sobre la superficie cilíndrica de un eje. En
tal elemento diferencial se pueden apreciar las componentes media (con subíndice m) y
alternante (con subíndice a) de las tensiones normales y las tensiones cortantes. Además en la
Figura 7.3.b se puede apreciar la distribución de tensiones actuantes en un plano inclinado un
ángulo . Obsérvese que los estados de tensiones son magnificados por coeficientes de
concentraciones de tensiones dinámicos KF para tensiones normales y KFS para tensiones
tangenciales. De todas las posibles combinaciones de solicitación cíclica, la situación más
conflictiva se da cuando las cargas alternantes debidas a los momentos flectores y a los
momentos torsores se encuentran en fase (es decir cuando las tensiones alternantes normal y
tangencial se encuentran en fase).
(a)
(b)
Figura 7.3. Elemento diferencial de superficie cilíndrica en un eje.
Para deducir una expresión de cálculo a la fatiga en ejes, se pueden contabilizar diferentes
situaciones. La manera más simple es analizando el estado tensional tangencial sobre el plano
oblicuo A, que se ve en la Figura 7.3, esto significa emplear una variante del criterio de
Máxima Tensión de Corte.
Efectuando una sumatoria sobre la tangente del plano inclinado en , se obtiene:
   dA   m  K FS  a Cos Cos dA   m  K FS  a Sen Sen dA 
  m  K F  a Cos Sen dA  0
(7.13)
simplificando y recurriendo a las definiciones de ángulos dobles se obtiene
Sen2 
(7.14)
2
con lo cual se puede separar en componentes alternantes y componentes medias de la tensión
de corte
    m  K FS  a Cos2    m  K F  a 
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

    m   a   m Cos2    m
Sen2   
Sen2  
   K FS  a Cos2   K F  a

2  
2 
(7.15)
En la Figura 7.4 se muestra el criterio de fatiga de Soderberg para un estado tensional
cortante, del cual se puede extractar la siguiente relación:
1  a  m
OD CD CB CD


 
 
OA CB OA OD ns S e / 2 S y / 2
(7.16)
Luego reemplazando (7.15) en (7.16) se obtiene la siguiente forma
1




 2 A1Cos2  A2 Sen2  con A1  m  K FS a , A2  m  K F a
ns
Sy
Se
Sy
Se
(7.17)
Figura 7.4. Diagrama de Fatiga de Soderberg para estado tensional cortante.
La condición de máxima seguridad, se tendrá cuando la expresión recuadrada de (7.17) sea
mínima, es decir:
A
Sen2 
d1
Tan2  2
   4 A1 Sen2  2 A2 Cos2 0 
Cos2 
2 A1
d  ns 
(7.18)
de la cual se puede obtener:
Sen2 
A2
A 4 A
2
2
2
1
Cos2 
,
A1
A  4 A12
2
2
(7.19)
Reemplazando (7.19) en (7.17) y operando se puede lograr la siguiente expresión de tensión:
2
S K
S K




  m  y F  a   4 m  y FS  a 
ns
Se
Se




Sy
2
(7.20)
Dado que en un estado plano de tensiones la tensión de corte máxima viene dada por

 max     2
2
2
o bien aplicando la condición del criterio de máxima tensión cortante:
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(7.21)
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ns 
S y /2
 max

Sy
ns
  2  4 2
(7.22)
De manera que comparando (7.20) y (7.22) se puede obtener las siguientes expresiones:
  m 
Sy KF
Se
a ,  m 
S y K FS
Se
a
(7.23)
Teniendo en cuenta que de (7.23) se puede escribir:

32M m S y K F 32M a
16Tm S y K FS 16Ta
, 


3
3
d
Se d
d 3
Se d 3
(7.24)
Donde Mm y Ma son momentos flectores medio y alternante, mientras que Tm y Ta son
momentos torsores medio y alternante. Luego, reemplazando (7.24) en (7.20) se puede
obtener:
Sy
32
 3
ns d
2
S K
S K

 

 M m  y F M a    Tm  y FS Ta 
Se
Se

 

2
Expresión de Fatiga por criterio de
máxima tensión de corte
(7.25)
de la (7.25) se puede despejar el diámetro o el coeficiente de seguridad o el valor de la tensión
de fluencia según sea el tipo de cálculo que se encare.
Por otro lado se puede demostrar que para la teoría de máxima energía de deformación se
obtiene la siguiente expresión (ver referencia [2])
Sy
32
 3
ns d
2
S K
S K

 3

 M m  y F M a    Tm  y FS Ta 
Se
Se

 4

2
Expresión de Fatiga por criterio
de máxima energía de
deformación
(7.26)
NOTA: En determinadas circunstancias y aplicaciones es común que alguno de los esfuerzos
Mm, Ma, Tm y Ta sea nulo. Por ejemplo en el caso de flexión es más preponderante Ma que Mm
y en torsión ocurre lo contrario. Sin embargo esto depende estrictamente de las aplicaciones.
NOTA: Obsérvese que en las expresiones (7.17) a (7.25), el factor KF/Se o KFS/Se (según
convenga) se puede reemplazar por la expresión (2.193b) con los coeficientes de
concentración de tensiones que correspondan.
Teoría de diseño a la fatiga para materiales frágiles
Aunque generalmente los ejes son fabricados con materiales dúctiles, en algunas aplicaciones
los ejes se hacen de fundición, es decir un material frágil. En consecuencia para plantear un
método de análisis, se emplea la suma de componentes normales al plano de la sección A en
la Figura 7.3.b. es decir
  dA  Kcs  m   a Cos Sen dA  Kcs  m   a Sen Cos dA 
 Kc  m   a Sen Sen dA  0
(7.27)
donde Kc y Kcs son factores de concentración de tensiones. Téngase presente que hay una
diferencia entre la concentración de tensiones para materiales frágiles que para materiales
dúctiles. Esta es la razón por la cual los coeficientes se aplican en ambas componentes de
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tensión para los materiales frágiles y solo en la componente alternante en el caso de materiales
dúctiles. En la Figura 7.5 se muestra el criterio de Goodman para tensiones normales.
Figura 7.5. Diagrama de Fatiga de Goodman para estado de tensiones normales.
Siguiendo el mismo procedimiento que en el apartado anterior (el trabajo algebraico se deja al
alumno) se obtiene la siguiente expresión genérica en términos de la tensión:
2
2S u
S
S
S





2 
 K C  m  u  a   K C2  m  u  a   4 K CS
 m  u  a 
ns
Se 
Se 
Se 



2
(7.28)
Luego teniendo en cuenta las expresiones de los momentos flectores y torsores (7.24) se tiene:
S u 16  
S
S
S




2 
 3  K C  M m  u M a   K C2  M m  u M a   K CS
 Tm  u Ta 
ns d  
Se
Se
Se 





2
2
Expresión de
Fatiga por
criterio de



(7.29)
máxima
tensión normal
de la (7.29) se puede despejar el diámetro o el coeficiente de seguridad o el valor de la tensión
de fluencia según sea el tipo de cálculo que se encare.
6. Diseño de accesorios de sujeción
Los accesorios de sujeción más comunes son las denominadas chavetas. Las mismas pueden
tener una gran variedad de formas y diseños según el tipo de aplicación. En la Figura 7.6 se
pueden ver diferentes tipos de chavetas y ranurados para chavetas para ser empleadas como
elementos de conexión de los ejes con las poleas, engranajes, y algunos tipos de
acoplamientos, entre otros dispositivos. Las chavetas y otros elementos de sujeción de
dispositivos a los ejes normalmente se calculan a dos tipos de solicitación diferentes
1) por corte
2) por aplastamiento
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Figura 7.6. Diferentes Tipos de Chavetas.
En la Figura 7.7 se muestra un tipo de chaveta paralelepípeda normalizada. El cálculo de falla
debido al corte de la chaveta se obtiene de:
P
T
P 2T
 diseño  
d /2
A d .w.L
(7.30)
Siendo P la fuerza de corte, T el momento torsor, d el diámetro del eje, w y L el ancho y
longitud de la chaveta. Para la falla por aplastamiento se tiene
 diseño 
P 2T
2T
4T



Ac d . Ac d .L.h/ 2 d .L.h
(7.31)
recordar que para (7.30) y (7.31) se deberán cumplir condiciones de seguridad apropiadas, las
cuales se dan por las siguientes expresiones:
 diseño 
S sy 0.40 S y
,

ns
ns
 diseño 
0.90 S y
ns
(7.32)
Figura 7.7. Chavetas rectangulares o paralelepípedas
Otros accesorios de retención son los anillos de ajuste o de retención como las que se pueden
ver en la Figura 7.8. Para seleccionar este tipo de accesorio es siempre necesario recurrir a los
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catálogos de los fabricantes. En la Figura 7.9 se muestran otros accesorios de sujeción
elasticos, son denominados resortes de ajuste.
(a)
(b)
Figura 7.8. Diferentes Tipos de anillos de sujeción.
(a)
(b)
Figura 7.9. Diferentes Tipos de resortes de sujeción. (ver referencia [5])
7. Diseño y cálculo de Volantes
Cuando se presentan en mecanismos, grandes variaciones de aceleración, se transmiten pares
torsores con mucha fluctuación. Para suavizar este comportamiento de cambios bruscos de
velocidad y para estabilizar el flujo de ida y vuelta de energía del equipo de rotación, se
coloca un volante sobre el eje. Las funciones del volante son:
 Reducir la amplitud de fluctuación de la velocidad
 Reducir la amplitud del par torsor fluctuante
 Almacenar y liberar energía cuando sea necesario.
En la Figura 7.10 se tiene un ejemplo de montaje de volante sobre un eje. La energía cinética
que posee tal volante es:
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1
(7.33)
K e  I m 2
2
Siendo Im la inercia de la masa del volante y w la velocidad de rotación con dimensiones del
sistema internacional. Por otro lado en el volante de la Figura 7.10 se puede establecer la
siguiente ley de equilibrio dinámico
d
dt
siendo Tl el par de la carga y Tm el par del motor de accionamiento.
Tl Tm  I m
(7.34)
Figura 7.10. Esquema de un volante montado en un eje.
Ahora bien dado que
d d d
d
 . 
dt d dt
d
y teniendo en cuenta que en el par del motor Tm = Tprom, luego se puede escribir
Tl T prom  I m
d
d
(7.35)
(7.36)
Integrando queda
 max
T T
l
 min
prom
2
2
d  I m  max

 min
2
(7.37)
Para la selección del tamaño del volante es necesario establecer o conocer un parámetro que
pondere la variabilidad de la velocidad de rotación. Este parámetro de variación se llama
Coeficiente de Fluctuación y viene dado por la relación entre la velocidad de fluctuación y la
velocidad promedio:
CF 
 f  max  min 2 max  min 


 prom
 prom
 max  min
(7.38)
Así pues la energía cinética (7.33) se puede expresar en función del coeficiente de fluctuación
como:
Ke 
Im
2
 max  min  max  min  I m prom
CF
2
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(7.39)
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De donde se puede despejar la inercia en función del resto de términos, es decir
Im 
K

e
2
prom
(7.40)
CF
El momento de inercia se puede obtener conociendo el coeficiente de fluctuación, el cual es
dato para muchos tipos diferentes de aplicaciones. En el Caso de Estudio 12 se puede ver el
análisis de diferentes tipos de solicitaciones para diseñar un Volante. El diseño más eficiente
se obtiene maximizando la inercia del volante.
El procedimiento para dimensionar volantes es el siguiente:
1. graficar el par de torsion de carga Tl en función del ángulo
2. se determina el par torsor promedio a lo largo del ciclo
3. se encuentran localizaciones para  max y  min
4. Determinar la energía cinética por integración de la curva del par de torsión
5. Establecer el valor de  prom
6. Determinar la inercia Im con la ecuación (7.33)
7. Obtener las dimensiones del volante.
En la Tabla 7.1 se pueden apreciar algunos valores de coeficientes de amortiguamiento para
diferentes aplicaciones de volantes. Estos valores son orientativos y deben considerarse como
cotas máximas en caso de no tener información suficiente como para iniciar los cálculos.
En los volantes se deben tener en cuenta en más de una oportunidad los estados tensionales.
Como hipótesis de análisis se supone que un volante es un cilindro de espesor uniforme con
un orificio central y que es sometido a dos tipos de esfuerzos. Uno debido a efectos
centrífugos y otro debido a efectos de presión de ajuste (según se vio en el Capítulo 2). Así
pues, el estado de tensiones circunferencial y radial viene dado por:
     p
(7.41)
 r  r  rp
donde los subíndices  y r identifican las componente circunferencial y radial y los subíndices
 y p identifican las componentes debidas a efectos centrífugos y de presión.
Teniendo en cuenta las expresiones (2.128) y (2.129) aplicadas a la configuración de un
volante como el mencionado más arriba, se puede escribir las siguientes expresiones del
estado tensional para el volante:
 2 2 ri 2 ro2 1 3  2  pi ri 2  ro2 
3 
2
 1 
 
 ri  ro  2 
r 
3    ro2  ri 2  r 2 
8
r


 

p
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(7.42)
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 2 2 ri 2 ro2 2  pi ri 2  ro2 
3 
2
r 
 ri  ro  2  r   2 2  1 2 
8
r
ro  ri  r 



 
(7.43)
 rp
 r
Téngase presente que tanto  como r son tensiones principales, en consecuencia para la
obtención de una norma de valoración de seguridad para materiales Frágiles, donde se predice
falla si se cumple:
 
Su
ns
(7.44)
Mientras que para materiales dúctiles se empleará una forma similar al criterio de máxima
energía de deformación, en la cual se predice falla si:
 2  r2  r   
Sy
ns
(7.45)
Coeficiente de
fluctuación CF
Máquinas de Trituración
0.200
Máquinas Eléctricas
0.003
Máquinas eléctricas accionadas directamente
0.002
Motores con transmisión por correas
0.030
Máquinas de molienda de granos
0.020
Transmisión por engranajes
0.020
Máquinas para estampado o martillado
0.200
Máquinas herramientas
0.030
Máquinas para fabricación de papel
0.025
Máquinas para bombeo
0.030 a 0.050
Maquinas para cortar
0.030 a 0.050
Máquinas giratorias
0.010 a 0.020
Máquinas para la industria textil
0.025
Tabla 7.1. Coeficientes de Fluctuación para diversas aplicaciones
Tipo de Aplicación
Los volantes suelen fabricarse con diferentes tipos de materiales, que van desde los materiales
metálicos (acero, fundición, plomo, etc) hasta los materiales cerámicos. Para poder clasificar
su utilidad se suele definir una propiedad denominada “índice de rendimiento” el cual se
obtiene relacionando la máxima tensión del material con respecto a la densidad del mismo.
Esto es, mediante la siguiente ecuación:
IR 
 max

(7.46)
En la Tabla 7.2 se muestran algunos valores de los Índices de rendimiento para diferentes
materiales. Nótese que algunos son poco útiles como materiales para construir volantes (p.e.
el plomo).
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Material
Cerámicas
Berilio
Índice de
Rendimiento
200-500
300
Acero de alta resistencia
100-200
Aleaciones de aluminio
100-200
Aleaciones de titanio
100-200
Aleaciones de plomo
3
Comentario
Frágiles. Poco útiles (rompen a
tracción)
muy caro y también es tóxico
Buenas
propiedades
y
rendimiento parejo en cada uno.
Barato y fácil de emplear cuando
el rendimiento está limitado por
velocidad y no por la resistencia.
Plástico reforzado con fibra
100-400
muy buen material
carbono
Tabla 7.2. Comparación de Materiales para volantes
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo de cálculo de un volante:
Se desea calcular el volante para una prensa de 100 toneladas que siga un patrón de carga
torsional como el que se muestra en la Figura (a). El bastidor de la prensa se construye en
fundición de hierro. La prensa debe realizar 50 ciclos por minuto utilizando hasta el 18% de
toda su energía en cada carrera, esto se hace para evitar el atascamiento (lo que implicaría una
falla catastrófica de la máquina). El motor transfiere potencia a una rueda dentada de pequeño
diámetro y de bw=65 mm de ancho de faja. Se desea obtener las dimensiones del volante y
establecer un coeficiente de fluctuación que sea razonable. Se pretende que el volante no sea
muy voluminoso y que tenga una forma similar a la que se muestra en la Figura (b)
(a)
(b)
Figura. (a) Patrón de carga torsional, (b) Forma seccional del volante
Solución:
Se pretende construir el volante con algún material dentro de los industrialmente disponibles.
La opción de fundición de hierro sería una bastante acertada en tanto que el material del
bastidor es también de fundición, con lo cual la densidad es 7850 kg/m3.
La velocidad promedio debe ser:
 prom  50rpm  5.24rad / seg
por otro lado la energía cinética del volante se obtiene de
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1
2
K e  I m prom
2
Sin embargo por condicionamiento contra el atascamiento se tiene que cumplir que en una
carrera se gaste hasta el 15% de la energía total del volante. Con lo cual se puede obtener la
siguiente expresión de balance energético:
1
1
1
2
2
2
I mmin
 0.18 I mmax
 I mmax
 min  0.82max
2
2
2
Ahora bien, como la velocidad promedio es
Ke min  K gasto  Ke max 
 prom 
max  min
2
 5.24rad / seg
Con las dos expresiones anteriores en las incógnitas min y max se obtiene:
min  4.98rad / seg
max  5.50rad / seg
Luego se puede calcular el coeficiente de fluctuación como:
Cf  2
max  min
 0.099
max  min
Ahora bien, siendo que el volante tiene las características indicadas en el Figura (b), y
considerando solo la inercia del anillo externo (despreciando la inercia del disco interno), se
puede obtener el momento de inercia según la siguiente expresión:
bw
2
0
0
I m   r 2 dm    dz 
V

do / 2
di / 2
r 3dr  I m 
bw
32
d
4
0
 di4 
Teniendo en cuenta que la energía cinética se puede equilibrar con la capacidad de
transferencia de energía según la Figura (a), se puede escribir:
2
2
K e  I m prom
C f   T  d
0
Ahora bien, de la Figura (a) se puede determinar una función para T(), cuya expresión será:
 2

T
  1,    / 2,  
T     max  



0
,



0
,

/ 2   ,2 

En consecuencia, integrando T(), se tiene:
K e  I m
2
2
prom
C f   T  d 
0

T
max
 /2

2

   1d  Tmax
4


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Ahora bien, de la última expresión se conoce el coeficiente de fluctuación, la velocidad
promedio y el momento torsor máximo, en consecuencia se puede despejar la inercia del
volante y luego calcular los diámetros del volante, sin embargo esta tarea tiene cierta aparente
dificultad matemática por la indeterminación de la solución. Esto se puede sobrellevar
suponiendo una serie de valores de prueba para el diámetro interno y luego se calcula el
diámetro externo. Así pues en la Tabla 1 se muestra una variación entre los diámetros
involucrados. Debe calcular el diámetro externo en función de diámetros internos
establecidos.
Caso
di [m]
1
0.0
2
0.3
3
0.6
4
0.9
5
1.2
6
1.5
7
1.8
8
2.1
do [m]
Tabla (a). Relaciones de diámetros para el volante
Obviamente, las opciones adoptadas no son las únicas que se pueden tomar en cuenta. Sin
embargo esto dependerá de las alternativas de fabricación del volante que se tengan a
disposición. Se deja a los alumnos la tarea de completar la tabla de arriba con el diámetro
externo y extraer las conclusiones correspondientes.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8. Bibliografía
[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002.
[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000
[3] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000.
[4] X. Oliver Olivella y C. Agelet de Saracibar Bosch. “Mecánica de medios continuo para
ingenieros”. Ediciones UPC, Ed. Alfaomega. (2002).
[5] http://www.smalley.com
9. Problemas resueltos y para completar
Problema 1. Cálculo de un eje a fatiga (Planteado y Resuelto en clase: Hamrock 11.8)
Los engranajes 3 y 4 actúan sobre el eje que se muestra en la Figura. La fuerza resultante del
engranaje 3 es de 600 lbf y actúa en un ángulo de 20° desde el eje y. El límite de fluencia del
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eje construido en acero estirado en frío es de 71000 psi y la tensión de rotura es de 85000 psi.
El eje es sólido y tiene un diámetro constante. Se supone un factor de seguridad de 2.6.
Emplear la teoría de la energía de distorsión. Para el cálculo del eje a la fatiga, suponer una
flexión completamente invertida con una amplitud igual a la que se empleó para las
condiciones estáticas. El par torsor alternante es nulo y suponga válida la relación de
Goodman. Se debe determinar un diámetro seguro para solicitación estática y dinámica.
Nota: en este problema se debe calcular primeramente la carga PC. Esto se logra equilibrando
los pares torsores en cada engranaje, es decir
Y el momento torsor entre ambos engranaje vale
Determinación de las reacciones en los cojinetes:
Los momentos flectores y esfuerzos de corte en los planos z e y vienen dados por las
siguientes gráficas
El momento flector total en A es 12.1 kips-pul y en B es 14.4 kips-pul. En tanto que el
momento torsor entre puntos involucrados es T=6.76 kips-pul.
Determinación del diámetro para carga estática
El material tiene las siguientes propiedades: Sy = 71000 psi y Su = 85000 psi.
Luego el diámetro se calcula de la siguiente manera
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Determinación del diámetro para carga dinámica
Para el análisis por fatiga se tendrán presentes las hipótesis:
Malternante = 14400 lib-pul
Mmedio = 0
Talternante = 0
Tmedio = 6760 lib-pul.
Podemos tomar un límite de resistencia a la fatiga de S e  0.5S u  42500 psi , y el límite de
resistencia a la fatiga modificado se calcula empleando la expresión
S e  k f k s S e
Donde kf = 0.832 es el factor de terminación superficial se obtiene (de la expresión 7.21
Hamrock) de la siguiente forma kf = 2.70 85-0.265. ks = 0.804, es el factor de tamaño se obtiene
(de la expresión 7.22 Hamrock) de la siguiente forma ks = 0.869 d-0.112, donde “d “ es un
diámetro de prueba, en este caso tomamos d = 2 pul (un poco más que el valor para
solicitación estática). Luego Se = 28429 psi.
Dado que no existen entallas en el eje, el coeficiente de concentración de tensiones dinámico:
Kf = 1. En consecuencia, el diámetro para solicitación por fatiga valdrá:
Dado que se ha obtenido un diámetro distinto al supuesto para calcular ks, se debe recalcular
ks y d y verificar. Luego se adopta el diámetro comercial o estándar inmediatamente mayor.
Esto último se deja librado al alumno.
10. Problemas propuestos
Problema 1.
Determine el diámetro del eje y que tipo de material a usar para garantizar la transmisión del
sistema correa-poleas de la figura, con un coeficiente de seguridad de 5. La polea transmisora
de movimiento tiene un diámetro de 300 mm y la otra polea que recibe el movimiento tiene
un diámetro de 500 mm. Las ramas tensa y floja de cada polea son paralelas al eje z.
Problema 2.
Se tiene un eje simplemente apoyado con una carga en el centro de la viga tal que genera un
momento flector y un momento torsor. La longitud de la viga es la unidad y el diámetro del
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eje es 10 veces menor que la longitud. En este contexto programe un descriptor de FlexPDE
para calcular los desplazamientos flexionales y las rotaciones torsionales en el centro de la
viga. Emplee las fórmulas analíticas conocidas para cotejar los resultados.
Problema 3.
Un volante con espesor de 20 mm construido con aleación de aluminio 2014, gira a 9000
RPM en el motor de un auto de competición. Hallar el factor de seguridad si la aleación de
aluminio se esfuerza a un cuarto de su límite de fluencia a 9000 RPM. Para disminuir el
diámetro exterior se emplean materiales especiales de alta densidad. Hallar el mejor material
(según datos de Tabla de densidades de materiales del Apéndice 4 y del presente capítulo) que
permita sustituir la aleación de aluminio 2014 pero manteniendo el mismo factor de
seguridad. El volante está maquinado de una pieza sólida de una aleación de aluminio 2014
sin orificio central y el espesor no puede ser mayor a 20 mm.
Problema 4.
Un motor de combustión interna mono cilíndrico, para un bote pesquero tiene un volante que
le proporciona al motor un coeficiente de fluctuación de 25% cuando está en marcha en vacío
a 180 RPM. El momento de inercia de la masa del volante es de 1.9 kg m². Determinar el
coeficiente de fluctuación a 500 RPM, si en la carrera de compresión consume la misma
cantidad de energía que en todas las velocidades. Calcular también el momento de inercia de
la masa que se necesita para obtener un coeficiente de fluctuación de 20% a 500 RPM.
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