Guía Teórica

GUIA INSTRUCCIONAL
ECUACIONES DIFERENCIALES.
MATEMÁTICA IV Mayo-Septiembre 2015.
Ing. María Gracia Giménez
graciagimenez@ingenieros.com
Departamento de Física y Matemática
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda
Í NDICE GENERAL
1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
1.1
1.2
2
PÁGINA 3
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
4
1.1.1
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según el Tipo
4
1.1.2
Clasificación de las E.D según el Orden
5
1.1.3
Clasificación de las E.D según el Grado
6
1.1.4
Clasificación de las E.D. según su linealidad
7
Solución de las Ecuaciones Diferenciales
9
1.2.1
Solución de una E.D
9
1.2.2
Clasificación de las Soluciones
11
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
DE PRIMER ORDEN
PÁGINA 13
2.1
2.2
2.3
Ecuaciones de Variables Separadas o Separables
14
2.1.1
14
Método de Resolución
Ecuaciones Diferenciales Exactas
18
2.2.1
Idea Intuitiva de Exactitud
18
Ecuación Diferencial No Exacta
26
2.3.1
Factores Integrantes
26
2.3.2
Cálculo de factores integrantes. (Demostración)
27
2.4
Método de Solución
28
2.5
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
36
2.5.1
37
2.6
2.7
Método de Solución
Ecuaciones Diferenciales no Lineales
41
2.6.1
42
Método de Solución
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Primer Orden
47
2.7.1
47
Función Homogénea
1
3
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Primer Orden
48
2.7.3
Solución de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Primer Orden
48
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
3.1
3.2
4
2.7.2
Modelos Matemáticos
54
3.1.1
54
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas de Coeficientes Constantes
4.1.1
5
Pasos para la formulación de un Modelo Matemático de un Sistema
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
4.1
PÁGINA 53
54
PÁGINA 63
64
Principio de Superposición. Solución de una ecuación diferencial Lineal Homogénea de Coeficientes Constantes
64
4.2
Método para resolver una Ecuación Diferencial Lineal Homogénea de Coeficientes Constantes 67
4.3
Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas de Orden Superior de Coeficientes Constantes 74
4.4
Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas de Coeficientes Constantes
79
4.4.1
Método de los Coeficientes Indeterminados
80
4.4.2
Método de Variación de Parámetros
89
4.4.3
Método de Variación de Parámetros para E.D de orden n
94
4.5
ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES VARIABLES
97
4.6
ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES VARIABLES
98
4.6.1
Método de Reducción de Orden
98
4.6.2
Ecuación de Euler Cauchy
TRANSFORMADA DE LAPLACE
101
PÁGINA 105
5.1
Propiedades de la Transformada de Laplace
110
5.2
Transformada Inversa
113
1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
Objetivos Didácticos
Al finalizar esta unidad el estudiante será capaz de:
♣ Comprender el significado de una Ecuación Diferencial y su Solución.
♣ Clasificar las Ecuaciones Diferenciales según su tipo, orden y su linealidad.
♣ Clasificar las soluciones de una Ecuación Diferencial.
Durante algunos años hemos aprendido que una ecuación no es más que una relación de igualdad entre términos conocidos y desconocidos. Donde el término desconocido lo llamamos incógnita (variable
dependiente), y podemos identificar otros elementos como los términos, miembros, coeficientes y operadores matemáticos; la solución de la misma consiste en la búsqueda de aquél valor que satisface la
igualdad (buscar el valor de la incógnita)
Ejemplo de Ecuación Ordinaria
x2 + y 2 = 0
Ahora bien, una Ecuación Diferencial es una ecuación que difiere de las anteriores por que contiene
una función desconocida (la variable toma la forma de una función). Las ecuaciones en la cuales la
función desconocida, se encuentra bajo el signo de la derivada o diferencial, se llaman ecuaciones diferenciales. la búsqueda de las funciones desconocidas, determinadas por las ecuaciones diferenciales
es precisamente el objetivo de resolver una Ecuación Diferencial.
Definición 1.1
Una ecuación Diferencial es una ecuación que relaciona una función desconocida (variable dependiente), las variables de las que depende (variables independientes) y sus derivadas respecto
de estas variables.
4
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Ejemplo 1.1
dy
+ x = ex
dx
Donde apreciamos la derivada de la variable dependiente y, con respecto a la variable independiente x.
N
Recordemos la notación de las derivadas de una variable dependiente con respecto a una la
dy
variable independiente y 0 ≡ d x Donde la variable dependiente es y, y la independiente es x
1.1
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
1.1.1. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según el Tipo
Observa los siguientes ejemplos
a) x 2 y 00 − x y 0 + y = 6e x
¡ ¢2
¡ ¢4
b) y 000 − 3y 0 y 00 + y 0 = 0
µ
¶
d3y d2y
dy 3
− 3y = 6
c)
+
+2
d x3 d x2
dx
d)
∂z ∂z
∂2 z
+
−y
= cos x
∂x ∂y
∂y∂x
e) x
f)
∂z
∂z
−y
= xy
∂x
∂y
∂2 v ∂2 v ∂2 v
+
+
=0
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
En los ejemplo a,b,c hay una sola variable dependiente y y una sola variable independiente x En el ejemplo d, hay una variable dependiente z y dos variables independientes x, y. Por lo tanto, los tres primeros
ejemplos son Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, mientras que en los últimos ejemplos tenemos derivadas parciales∂
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
5
Definición 1.2
Si en una E.D las funciones desconocidas son funciones de una sola variable, la ecuación diferencial se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O). Si en cambio, la función desconocida es
función de una o más variables independientes, la ecuación será una Ecuación Diferencial Parcial
(E .D.P.)
De acuerdo a lo expuesto, y haciendo referencia a los ejemplos anteriores podemos concluir que:
Los ejemplos, a,b y c son Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Los ejemplos, d,e,f son Ecuaciones Diferenciales Parciales
1.1.2. Clasificación de las E.D según el Orden
El orden de una E.D es el que corresponde a la mayor derivada involucrada en la expresión, para lo cual
debemos recordar los conocimientos de derivadas de orden superior, resumidos en la siguiente tabla
Definición 1.3
Se denomina orden de la E.D al grado de la derivada máxima de la función desconocida
Es importante aclarar, que el orden lo indica la derivada más no el exponente de la derivada.
6
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
1.1.3. Clasificación de las E.D según el Grado
Definición 1.4
El grado de una E.D. lo define el exponente al cual está elevado el término que contiene la mayor
derivada
Ejemplo 1.1
d2y
dy
+8
= sen x
2
dx
dx
Esta es una E.D.O de 2do orden, 1er grado
¶
µ
d3y
dy 4
= sen x
+8
d x3
dx
dy
+ x = ex
dx
Esta es una E.D.O de 3er orden, 1er Grado
Esta es una E.D.O de primer orden, de primer grado.
De esta forma podemos hablar de orden haciendo referencia al orden de la derivada, y de grado el cual
es la potencia a la cual está elevada la derivada de mayor orden de la E.D
Ejemplo 1.2
y 0 = x 2 + 5y
E.D.O de primer Orden, primer Grado
2
y 00 − 4y 0 − 5y = e 3x
d2y
− 3x = sen y
d x2
E.D.O de Segundo Orden, Segundo Grado
E.D.O de Segundo Orden, Primer Grado
µ
¶
d 2x
dx 3
+ sen x
=0
d y2
dy
E.D.O de Segundo Orden, Primer Grado
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
7
Ejercicios Ejemplos para desarrollar
Clasifica cada una de las E.D que se dan a continuación según su tipo y orden
1.1 senx y 000 − cosx y 0 = 2
µ
¶
d 3x
dy 4
1.2 x 3 − 2
+y =0
dx
dx
1.3 (1 − x) y 00 − 4x y 0 + 5y = C osx
1.4
d2y
+ 9y = Senx
d x2
1.5 y
1.6
∂u
− 2u = 6x − 4y
∂y
∂4 u
=0
∂x 2 ∂y 2
1.1.4. Clasificación de las E.D. según su linealidad
Una E.D es lineal si se puede expresar de la siguiente forma
A n (x)y n + A (n−1) (x)y n−1 + ... + A 1 (x)y 0 + A 0 y = g (x)
(1.1)
Donde A 0 (x), A 1 (x), ..., A n (x) y g (x) dependen sólo de la variable independiente x. En caso contrario se
dice que es No Lineal
Además una ecuación es lineal cuando se satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones:
a) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado (esto es, están elevadas a la
potencia uno)
b) Los coeficientes de la variable dependiente y y todas sus derivadas dependen sólo de la variable
independiente x
A su vez dentro de las E.D lineales distinguimos dos tipos:
Ecuaciones Diferenciales Lineales con Coeficientes Constantes cuando todos los coeficientes
son números reales (Constantes):
A i (x) = cte∀i = 1...n
Ecuaciones Diferenciales Lineales con Coeficientes Variables si por los menos uno de los coeficientes es una función de x
8
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Ejemplo 1.3
x
2d
2
y
dy
+x
+ y = 2x 2
2
dx
dx
E.D.O de Segundo Orden, LINEAL. Coef. Variables
y 00 + sen y = 0 .D.O de 2do orden, NO LINEAL, ya que la variable dependiente y aparece como
argumento de una función.
d4y d3y
+
+ y 2 = 0 E.D.O de cuarto orden, NO LINEAL ya que la variable dependiente no puede
d x4 d x3
estar elevada a una potencia diferente de uno, en este caso está elevada al exponente 2.
y y 0 + y 0 + 5y = 0 E.D.O de 2do orden, NO LINEAL, ya que el coeficiente que acompaña a la
variable dependiente, debe depender solo de x, y no de y como es este caso.
y 000 + (2x + 1) y 0 + x y 0 + sen (x)y = 0
E.D.O de 3er orden, LINEAL. Coef. Variables
¡ ¢2
y 00 − 2x y 0 = 0, E.D.O de segundo orden, NO LINEAL, puesto que la variable dependiente está
elevada a una potencia 2.
y 000 − 2y 00 − 5y 0 + 6y = 0,
x 2 y 00 + 2x y 0 − 12y = x 2 y 2
elevada a la 2.
¡ ¢
y 00 + x y = sen y 00
de una función.
y 0 = x 2 + 5y,
E.D.O de 3er orden, LINEAL. Coef. Constantes.
E.D.O de 2do orden, NO LINEAL pues la variable dependiente está
E.D.O de 2do orden. NO LINEAL, ya que la variable y, está como argumento
E.D.O de 1er Orden, LINEAL, Coef. Const.
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
9
Ejercicios Ejemplos para desarrollar
Clasifica cada una de las siguientes E.D.O que se dan a continuación de acuerdo a su orden, grado
y linealidad.
1.7 x 2 y 00 + x y 0 + y = sec (ln x)
d2y
− y 2 = x 2e x
d x2
¡
¢
1.9 y 00 − 4y 0 + 4y = 12x 2 − 6x e 2x
1.8
1.10 6x 2 y 00 + 5x y 0 + x 2 − 1 = 0
¡
1.11
¢
d2y
dy
−
3
+ 2y = sen x 2
d x2
dx
1.12 x 2
d2y
dy
+ x y = e x+y
+
x
d x2
dx
1.13 y 00 − 2x(y 00 )2 + x y = 0
1.14
d2y
+ 4y = sen2 (x)
d x2
1.15
d4y
d3y 3
−
2(
) = x ye x
d x4
d x3
1.2
Solución de las Ecuaciones Diferenciales
1.2.1. Solución de una E.D
El proceso de determinar las soluciones de una E.D se llama integración de la misma. Resolver una E.D.O
F (x, y, y 0 , y 00 , ..., y n ) = 0
Implica hallar una expresión para la función y = f (x) que satisfaga la relación de igualdad que determina dicha ecuación. Por tanto, la solución de una E.D. es una función
10
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Teorema 1.1 Solución de una E.D.
Se llama solución de una ecuación diferencial ordinaria en una intervalo I, a una función φx definida en I que, sustituida en la ecuación junto a sus derivadas, la verifica en dicho intervalo, es
decir
F (x, φx, φ0 , ..., φn (x)) = 0, ∀(x) ∈ I
En párrafos anteriores, se detalló que la solución de una E.D implica un proceso de integración, por
tanto una E.D del tipo y 0 = f (x) se resuelve
Z
y = f (x)d x
Lo que generará la solución de la E.D de primer orden del tipo
y = F (x) +C
Donde C es la constante arbitraria de Integración.
Así para la ecuación diferencial de primer orden y = e x integrando se obtiene la solución y = e x +C 1
Para la ecuación diferencial de segundo orden y 00 = e x , al integrar se obtiene y 0 = e x + C 1 , volviendo a
integrar se obtiene y = e x +C 1 +C 2
Y así sucesivamente, con lo que podemos concluir que sí una ecuación diferencial tiene solución, no
tiene una, sino infinitas soluciones.
Ejemplo 1.4 Demostrar la solución de una E.D.
Sea la función φ(x) = xe x una solución de la ecuación diferencial y 00 − 2y 0 + y = 0
En este caso, se nos da la solución de la E.D dada por φ(x) la cual debemos comprobar; para ello
hay que derivarla tantas veces como indique el orden de la E.D, posteriormente se sustituye, y
si el resultado es una identidad habremos comprobado que la solución dada efectivamente es
solución de la E.D. Es importante aclarar que la expresión φ(x) es equivalente a y = f (x)
φ0 (x) = e x + xe x
φ00 (x) = 2e x + xe x
Se sustituyen las expresiones anteriores de acuerdo a la ecuación diferencial dada y se obtiene:
2e x + xe x − 2(e x + xe x ) + xe x = 0
Desarrollando algebraicamente
2e x + xe x − 2e x − 2xe x + xe x = 0
11
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
0=0
Se cumple la identidad, por tanto queda comprobado que φ(x) = xe x es solución de la ecuación
diferencial y 00 − 2y 0 + y = 0
1.2.2. Clasificación de las Soluciones
Antes de conocer los métodos para resolver E.D.O es preciso dejar claro que las soluciones de una E.D.O
pueden venir dadas como una función o como una expresión que verifica la ecuación. Por ello, las llamaremos Explícitas sí la solución es una expresión de la forma y = f (x), mientras que las Soluciones
Implícitas atienden a la forma g (x, y) = 0. En pocas palabras, si la variable dependiente se encuentra
despejada se llama solución explícita de lo contrario es implícita.
Por otra parte, dependiendo del orden, tendrá “‘n”’ soluciones con “‘n”’ constantes arbitrarias. De allí
que la podemos clasificar las soluciones atendiendo a este criterio de la siguiente manera:
Solución Particular: es una solución de la E.D.O que no contiene constantes de integración, y
que se obtiene dando valores numéricos a las constantes de las familias n-paramétricas de las
soluciones.
Solución Singular: Es una solución de la E.D que no contiene constantes arbitrarias y no está
contenida en la familia paramétrica. No siempre existen; y si existen se trata de la curva llamada
envolvente de la familia de curvas integrales definidas por la familia n-paramétrica.
Solución General: Es la que contiene todas las soluciones de la ecuación. Está formada por las
familias n-paramétricas de soluciones más las posibles soluciones singulares. Se identifica por la
presencia de las constantes de integración.
Ejercicios
Verifique sí la función o funciones son soluciones de la E.D dada, y señale si las soluciones están
escritas en forma explícita o implícita
1.16 φ(x) = x + 3e −x + c
Ecuación Diferencial y 0 + y = x + 1
1.17 y(x) = 2e 3x − 5e 4x
Ecuación Diferencial y 00 − 7y 0 + 12y = 0
12
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
1.18 f (x) = e x + 2x 2 + 6x + 7
Ecuación Diferencial y 00 − 3y 0 + 2y = 4x 2
1.19 y(x) = C .xe x
Ecuación Diferencial y 00 − 2y 0 + y = 0
1.20 y 1 (x) = x −2 ; y 2 (x)x −2 ln x
Ecuación Diferencial x 2 y 00 + 5x y 0 + 4y = 0
N
En lo siguiente, se dedicará a conocer los métodos que se emplean para determinar las funciones soluciones de las ecuaciones diferenciales.
2
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
DE PRIMER ORDEN
Objetivos Didácticos
Al finalizar esta unidad el estudiante será capaz de:
♣ Conocer las características de una Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden
♣ Identificar y aplicar el método de solución adecuado para resolver una Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden, de acuerdo a sus características.
♣ Transformar Ecuaciones Diferenciales Ordinarias a reducibles para aplicar los métodos de solución correspondientes.
Como ya se especificó en el capítulo anterior, resolver una E.D.O implica obtener una función, que al
ser sustituida, ésta y sus respectivas derivadas debe satisfacer la igualdad de la ecuación. Dicha función
se obtiene a través de un proceso de integración. Sin embargo, no siempre éste proceso es inmediato,
para ello se recurre a ciertos tipos de métodos, para lo cual se debe identificar las características de la
ecuación y saber cuál es el método más adecuado para resolverla.
Antes de desarrollar los métodos, es importante diferenciar las distintas formas que se nos puede presentar una E.D.O:
Forma General: F (x, y, y 0 ) = 0
Forma Normal:
dy
dx
= f (x, y)
Forma Diferencial: M (x, y)d x + N (x, y)d y = 0
14
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
2.1
Ecuaciones de Variables Separadas o Separables
Definición 2.1
Una ecuación diferencial de la forma
dy
= f (x, y),
dx
es una ecuación separable o de variables separables si f (x, y) se puede expresar como el producto
de una función de x por una función de y, esto es:
dy
= p(x)q(y)
dx
Para determinar la función solución se integra de forma directa a ambos lados de la igualdad siguiendo
el siguiente método de solución
2.1.1. Método de Resolución
Si la ecuación diferencial presenta la forma de una ecuación de variables separables, separamos las
variables x y, aislándolas en miembros opuestos de la ecuación. Para ello, hemos de suponer que g (y) 6=
0, en este caso
1
d y = p(x)d x
q(y)
Z
dy
¡ ¢=
q y
Integrando ahora ambas partes de la igualdad
Z
(x) d x
obtenemos la solución implícita formada por una familia 1-paramétrica de soluciones
¡ ¢
F y = G (x) +C
Ejemplo 2.1
x 3d x +
p
yd y = 0
Se puede observar que los diferenciales se encuentran acompañando a los términos que contienen la
variable correspondiente a los mismos, por tanto es un caso de variables separable, y se prosigue a
integrar
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Z
Z
3
x dx +
p
15
yd y = C
Al resolver las integrales, las cuales son inmediatas resulta
q
3
2 y
x
+
+C
4
3
4
De aquí se puede despejar la variable dependiente y y se tendrá entonces una solución explícita, general
s
3x 4 2
3
y = (k −
)
8
Muchas ecuaciones no son de variables separadas, pero sí fácilmente separables a través de la transposición de términos, bien mediante operaciones elementales, mediante cambio de variables o empleando
métodos más sofisticados.
Ejemplo 2.2
yd x + xd y = 0
Esta ecuación no es expresamente de variables separables, pero sí se puede separar haciendo transposición de términos
yd x = −xd y
dx
dy
=−
x
y
Siendo en este momento una E.D de variables separables, por tanto podemos proceder a integrar
Z
dx
=−
x
Z
dy
y
ln x = − ln y +C
Dicha solución es una Solución, Implícita General.
16
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
N
Es importante precisar que no en todos los casos resultarán integrales inmediatas o por tabla,
por lo que habrá que acudir a las diferentes técnicas de integración abordadas en el curso de
Matemática II, y entre las cuales podemos mencionar; cambio de variable, partes, sustitución
trigonométrica, fracciones parciales, completación de cuadrados entre otras
Ejemplo 2.3
y 0 = 3x(y + 4)2
En este caso, sobrescribimos la ecuación en términos diferenciales
¡
¢2
dy
= 3x y + 4
dx
Para resolver, podemos despejar el diferencial y ubicar los términos con sus respectivos diferenciales
dy
¡
y +4
¢2 = 3xd x
Z
Integrando a ambos lados
dy
=
(y + 4)2
Z
3xd x
A continuación se procederá a resolver las integrales
La integral del miembro de la izquierda se resuelve empleando la técnica de Cambio de Variable.
dy
Z
¡
y +4
¡
¢
u = y + 4 ⇒ du = d y
|
{z
}
¢2
Cambio de Variable
Sustituyendo el cambio de variable antes mencionado en la integral de la izquierda
Z
Z
du
=
3xd x
u2
Z
u
−2
Z
du =
3xd x
u −1
x2
= 3 +C
−1
2
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
−1
¡
y +4
¢ =3
17
x2
+C
2
Esta solución en una Solución General Implícita, para llevarla a explícita, simplemente despejamos la
variable dependiente y
−2
¢ −4
y=¡ 2
3x −C
Solución Explícita General
.
Ejemplo 2.4
y −2
dy
=
;
d x 2x + 3
con la condición inicialy(−1) = 0
Reescribimos la ecuación separando variables:
dx
dy
=
y − 2 2x + 3
Observamos que y = 2 es solución de la E.D, por ello, deberíamos tenerla en cuenta, aunque en este
caso, no es la solución particular que buscamos ya que no verifica la condición inicial dada.
Integrando a ambos lados se tiene
1
ln 2x + 3 +C 1
(2.1)
2
Podemos considerar ahora la condición inicial para obtener C 1 y posteriormente despejar y. También
se puede despejar explícitamente y manteniendo C 1 y aplicar luego la condición inicial para hallar C 1 y
obtener así la solución del problema de valor inicial en lo sucesivo nos referiremos a esta expresión,
cuando se den condiciones iniciales que nos permitan obtener soluciones particulares.
En este caso, las condiciones iniciales vienen dadas por y(−1) = 0, que se lee, cuando la variable independiente (x) vale −1, la variable dependiente toma el valor de 0. Sustituyendo esto en el resultado
ln y − 2 =
1
ln 2(−1) + 3 +C 1
2
1
ln 2 = ln 1 +C 1
2
C 1 = ln 2
ln 0 − 2 =
Sustituyendo el valor de C 1 en la ecuación 2.1
ln y − 2 =
1
ln 2x + 3 + ln 2
2
Solución Implícita Particular
18
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Aplicando propiedades de Logaritmos podemos llegar a la solución y efectuando las operaciones algebraicas correspondientes, podemos obtener la solución explícita particular.
p
y = 2 − 2 2x − 3
Ejercicios Ejercicios para Desarrollar
Obtenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer orden de variables separables
2.1
dy
= sen 5x
dx
2.2
dy
= (x + 1)2
dx
2.3 d x + e 3x d y = 0
2.4 (x + 1)
dy
= x +6
dx
2.5 x y 0 = 4y
2.6 (1 − 2y)d x + (4 − x 2 )d y = 0
2.7 tan yd x + (1 − x 2 )d y = 0
2.8 sec 2 xd y + cosec yd x = 0
2.9
1
x 2 − 5x + 6
2.2
d x + e y+5 d y = 0
Ecuaciones Diferenciales Exactas
2.2.1. Idea Intuitiva de Exactitud
Si partimos del hecho que la solución general de una ecuación diferencial es una familia de curvas paramétricas como la que se muestra:
F (x, y) = C
(2.2)
donde C, es la Constante arbitraria de integración indicativa de la familia paramétrica de soluciones.
19
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Su ecuación diferencial (derivada completa) se obtiene aplicando el diferencial a ambos lados
∂F
∂F
dx +
dy
∂x
∂y
N
(2.3)
Recordar que la derivada completa de una función es la suma de sus derivadas parciales.
Si suponemos que volvemos del revés la situación y comenzamos con una ecuación diferencial
M (x, y)d x + N (x, y)d y = 0
N
(2.4)
En lo sucesivo, por convención nos referiremos a la función M a aquella que se encuentre
multiplicada por el diferencial de x, mientras que N es la función que está multiplicada por el
diferencial de y, esto sí y sólo si la E.D se encuentra escrita en notación diferencial (ver inicio de
esta sección), de lo contrario, primero deberá escribirse en esta forma para luego determinar
las funciones M y N
Si existe alguna función f (x, y) tal que
∂f
=M
∂x
Entonces se puede expresar como
y
∂f
=N
∂y
(2.5)
∂f
∂f
dx +
dy =0
∂x
∂y
(2.6)
M (x, y)d x + N (x, y)d y = 0
(2.7)
Y su solución general es f (x, y) = C
2.2.1.1. Resumen
Una ecuación diferencial de primer orden
Es exacta en un rectángulo, si M (x, y)d x + N (x, y)d y es una diferencial total exacta, es decir, si existe
una función F (x, y) tal que:
∂F
∂F
(x, y) = M (x, y) y
(x, y) = N (x, y); ∀(x, y) ∈ R
(2.8)
∂x
∂y
El siguiente teorema nos da una condición necesaria y suficiente para conocer cuándo una E.D es exacta
y su demostración nos proporciona un método para obtener la solución general de F (x, y) = C
20
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Teorema 2.1
Sea M (x, y) y N (x, y) funciones continuas con derivadas parciales de primer orden continuas
en un rectángulo R. Entonces, la ecuación
M (x, y)d x + N (x, y)d y = 0
(2.9)
Es exacta sí y sólo sí se verifica
∂N
∂M
(x, y) =
(x, y)
∂y
∂x
∀(x, y) ∈ R
(2.10)
Demostración
Supongamos que la ecuación 2.7 es exacta en R. Esto significa que existe una función F (x, y) tal que
∀(x, y) de R se verifica que:
∂F (x, y)
= M (x, y)
∂x
y
∂F (x, y)
= N (x, y)
∂y
Así al ser M y N, funciones con derivadas parciales de primer orden continuas, podemos afirmar que las
derivadas de segundo orden de F, son continuas, y el Teorema de Schwartz nos afirma que las derivadas
cruzadas de segundo orden de F coinciden, es decir:
∂2 F
∂M
(x, y) =
(x, y)
∂y∂x
∂y
y
∂2 F
∂N
(x, y) =
(x, y)
∂x∂y
∂x
Puesto que las primeras derivadas parciales de M y N son contínuas en R, también lo son las derivadas
parciales segundas cruzadas de F; por tanto, éstas son iguales y se tiene que:
∂M
∂N
(x, y) =
(x, y);
∂y
∂x
∀(x, y) ∈ R
Lo cual verifica el teorema, el cual establece que si las derivadas cruzadas de las funciones M y N contempladas en la ecuación diferencial son iguales, la ecuación será exacta.
N
Se refiere al termino de derivadas cruzadas, al hecho de derivar la función con respecto a la
variable contraria de su diferencial.
Una vez determinada la exactitud de la ecuación diferencial, resolverla implica encontrar una función
F (x, y) +C , la cual se obtiene integrando cualquiera de las dos derivadas cruzadas.
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
N
21
Recordar que la solución de un ecuación diferencial es una función y = F (x), y que sí esta
función está bajo el símbolo de la derivada, basta con aplicar la operación contraria que es la
integral para despejarla. A su vez debemos darnos cuenta que las funciones M y N son funciones que depende de las dos variables y e x por lo que no es descabellado pensar que su solución
también tendrá dicha dependencia y = F (x, y), sin embargo no es limitatorio
Para visualizar mejor estos comentarios, vamos a ejemplificarlo.
Dada la ecuación 2.7, ahora vamos a demostrar que si se verifica el teorema, existe una función verificando las condiciones de la definición de ecuación exacta, con lo cual posteriormente se extraerá el
método de solución
∂F (x, y)
= M (x, y)
Si
∂x
Z
entonces
F (x, y) =
M (x, y)d x = G(x, y) + φy
(2.11)
* Se puede tomar la expresión respecto a y.
Donde G(x,y) es una primitiva de M(x,y) respecto de x, y Φy es la constante de integración escrita en
términos de función. La solución de la ecuación diferencial lo constituye básicamente, la expresión en
2.2.1.1, sin embargo se tiene que deducir Φy para que esté completa.
Método de Solución
1. La E.D.O debe estar escrita en forma diferencial, es decir M (x, y)d x + N (x, y)d y = 0
2. Determinar las derivadas parciales de las funciones M y N . (Aquella función que se encuentre
multiplicada por el diferencial d x, es identificada como M , si esta multiplicada por el diferencial
d y, es tomada como la función N )
∂M
(x, y);
∂y
∂N
(x, y)
∂x
Si estas son iguales, la ecuación diferencial es Exacta y se procede con lo siguientes pasos
Caso Nº1
Z
Determinar
M (x, y)d x
Z
M (x, y)d x = F (x, y) + Φy
Derivar parcialmente la expresión anterior con respecto a y
22
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Igualar lo obtenido, con la función N , despejar Φ0 (y)
Integrar con respecto a Φ0 (y) para determinar Φy = C .
Se da la solución implícita f (x, y) = C sustituyendo Φy en la función obtenida en el primer
paso de esta caja.
Caso Nº2
Z
Determinar
N (x, y)d x
Z
N (x, y)d x = F (x, y) + Φx
Derivar parcialmente la expresión anterior con respecto a x
Igualar lo obtenido, con la función M , despejar Φ0 (x)
Integrar con respecto a Φ0 (x) para determinar Φx = C .
Se da la solución implícita f (x, y) = C sustituyendo Φx en la función obtenida en el primer
paso de esta caja.
Ejemplo 2.5
Resolvamos las siguientes ecuaciones diferenciales exactas
a) (x 2 + y 2 + 2x)d x + (2x y + 3y 2 )d y = 0
b) [cos x sin x − x y 2 ]d x + y(1 − x 2 )d y = 0 con las siguientes condiciones iniciales si y(0) = 2
Solución
a) Comprobamos en primer lugar que se trata de una E.D exacta, para ello la misma debe estar
escrita en forma diferencial, y luego procedemos con el método descrito
(x 2 + y 2 + 2x) d x + (2x y + 3y 2 ) d y = 0
|
{z
}
|
{z
}
M
N
∂(x 2 + y 2 + 2x)
= 2y
∂y
∂(2x y + 3y 2 )
= 2y
∂x
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
∂M ∂N
=
∴
∂y
∂x
La Ecuación Diferencial es Exacta
Una vez determinada la exactitud procedemos a desarrollar.
Paso Nº1 Integramos M con respecto a x para obtener la función F (x, y)
Z
(x 2 + y 2 + 2x)d x
Z
x 2d x + y 2
F (x, y) =
=
=
N
Z
Z
dx +2
xd x
x3
+ y 2 x + x 2 + g (y)
3
Observar que en lugar de la constante de integración "C ", colocamos g (y) lo cual es equivalente a una constante, ya que estamos integrando con respecto a x, y cualquier función
de y, será una constante.
Paso Nº2 Derivamos parcialmente la expresión obtenida en el paso anterior, con respecto a la
variable dependiente y
∂[(x 3 /3) + y 2 x + x 2 + g (y)]
= 2x y + g 0 y
∂y
Paso Nº3 Igualamos esta expresión con la función N y despejar g 0 y
2x y + g 0 y = 2x y + 3y 2
g 0 y = 3y 2
Paso Nº4 Integramos a ambos lados para obtener la función solución f (x, y)
Z
Z
0
g yd y = 3 y 2 d y
g (y) = y 3
Paso Nº5 Sustituir g (y) en la expresión obtenida en el paso número 1 para obtener la solución
F (x, y) = C
x3
+ x y 2 + x2 + y 3 = C
F (x, y) =
3
23
24
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
[b)] [cos x sen x − x y 2 ] d x + y(1 − x 2 ) d y = 0 con las siguientes condiciones iniciales si y(0) = 2
|
{z
}
| {z }
M
N
Comprobamos inicialmente que se trata de una E.D exacta. Para facilitar el desarrollo aplicaremos
propiedad distributiva en la función N
[cos x sen x − x y 2 ] d x + (y − y x 2 ) d y = 0
|
{z
}
| {z }
M
N
¤
£
∂ cos x sen x − x y 2
= −2x y
∂y
¢
¡
∂ y − y x2
= −2x y
∂x
∂M ∂N
=
∂y
∂y
Por lo tanto, la E.D es exacta
Paso Nº1 Integramos a la función N , con respecto a y
N
Observar que estamos seleccionando en esta ocasión la función N para integrar en vez
de la función M , esto se debe a que la función N es más sencilla de integrar
Z
F (x, y) =
¡
¢
y − y x2 d y
Z
=
=
=
N
yd y − x
2
Z
yd y
y 2 x2 y 2
−
+ g (x)
2
2
¡
¢
y 2 1 − x2
2
Agrupando Términos Semejantes
+ g (x)
Debido a que se integró con respecto a la y, la constante de integración la vamos a sustituir por una función de x, la cual es una función constante.
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Paso Nº2 Derivamos parcialmente la expresión anterior con respecto a x
¸
y (1 − x 2)
+ g (x)
∂
2
= −x y 2 + g 0 (x)
∂x
·
Paso Nº3 Igualamos la función M y despejamos g 0 (x)
£
¤
−x y 2 + g 0 (x) = cos (x) sen (x) − x y
g 0 (x) = [cos (x) sen (x)]
Paso Nº4 Igualamos a ambos lados con respecto a x
Z
Z
g 0 (x) = [cos x sen x]d x
Para realizar esta integral acudimos al cambio de variable
u = sen x d u = cos xd x
Sustituyendo el cambio de variable
Z
Z
0
g (x) = ud u
u2
g (x) =
2
(x) =
sen2 x
2
Paso Nº5 Obtenemos la solución general sustituyendo la expresión anterior en el resultado obtenido en el paso Nº1
¡
¢
y 2 1 − x2
sen2 x
F (x, y) =
+
Por definición
2
2
¡
¢
y 2 1 − x2
2
+
sen2 x
=C
2
Debido a que están planteadas condiciones iniciales debemos conocer el valor de C, dado x = 0 y
y =2
22 (1 − 02 ) sen2 0
+
=C
2
2
25
26
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
C =2
¢
¡
y 2 1 − x2
sen2 x
=2
2
2
De donde podemos despejar la variable y para obtener la solución explícita particular
+
v
¤
u£
u 4 − sen2 x
¢
y =t ¡
2 1 − x2
Ejercicios Ejemplos para desarrollar
Obtenga la solución de las siguientes E.D comprobando inicialmente su exactitud
¡
¢
2.10 (2x − 1) d x + 3y + 7 d y = 0
2.11 2y − x1 + cos x
¡
¢ dy
dx
y
+ x 2 − 4x 3 + 3y sen 3x = 0
2.12 x 3 + y 3 d x + 3x 2 d y = 0
¡
£
¢
¤
£
¤
2.13 tg x − x sen y d x + cos x cos y d y = 0
2.3
Ecuación Diferencial No Exacta
2.3.1. Factores Integrantes
Dada una ecuación diferencial de la forma
M (x, y)d x + N (x, y)d y = 0
si
∂M ∂N
6=
∂y
∂x
(2.12)
entonces se dice que la E.D es no exacta
Sin embargo, es posible encontrar una función que denotaremos µ(x, y) tal que al multiplicarla por la
ecuación diferencial se convierta en exacta. A dicha función se le denomina factor integrante.
27
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
2.3.2. Cálculo de factores integrantes. (Demostración)
Hemos declarado que si multiplicamos la E.D no exacta por la función µ(x, y), esta se convierte en exacta
µ(x, y)M (x, y)d x + µ(x, y)N (x, y)d y = 0
(2.13)
Por tanto y de acuerdo al criterio de exactitud, debe verificarse que las derivadas parciales cruzadas
deben ser iguales, tal como se muestra
∂µ(x, y)M (x, y) ∂µ(x, y)N (x, y)
=
∂y
∂x
(2.14)
Derivando parcialmente, y aplicando las reglas de derivación del producto de funciones obtenemos
M (x, y)
∂µ(x, y)
∂M
∂µ(x, y)
∂N
+ µ(x, y)
= N (x, y)
+ µ(x, y)
∂y
∂y
∂x
∂x
(2.15)
M (x, y)
∂µ(x, y)
∂N
∂M
∂µ(x, y)
− N (x, y)
= µ(x, y)
− µ(x, y)
∂y
∂x
∂x
∂y
(2.16)
Agrupando
Sacando factor común
·
¸
∂µ(x, y)
∂µ(x, y)
∂N ∂M
M (x, y)
− N (x, y)
= µ(x, y)
−
∂y
∂x
∂x
∂y
(2.17)
Determinar µ(x, y) de esta expresión no resulta sencillo, puesto que a veces llegamos a una ecuación
en derivadas parciales cuya solución es más compleja que resolver la ecuación diferencial inicial. Sin
embargo, esta expresión la podemos simplificar si buscamos un factor integrante que sólo tenga dependencia de una sola variable es decir, µ(x) ó µ(y)
2.3.2.1. Factor Integrante de la Forma µ(x)
Suponemos que el factor integrante depende sólo de la variable x, esto nos va a permitir que la ecuación
2.17 se reduzca a la siguiente expresión
¸
∂N ∂M
µ(x)
− N µ (x) =
−
∂x
∂y
·
0
(2.18)
Agrupando y haciendo las operaciones algebraicas correspondientes
µ (x)
=
µ(x)
0
h
∂M
∂y
− ∂N
∂x
N
i
(2.19)
Debido a que se está considerando la dependencia de una sola variable, en este caso de x, entonces
existe el factor intengrante µ(x) y este se obtiene integrando a ambos lados la ecuación anterior, obteniéndose como resultado
28
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
h
Z
∂M
∂y
− ∂N
∂x
µ(x) = e
i
d x(2.20)
N
Esta expresión que depende únicamente de la variable x, nos permitirá determinar el factor integrante
adecuado para transformar una E.D no exacta en exacta si es el caso.
2.3.2.2. Factor Integrante de la forma µ(y)
Si por el contrario, consideramos un factor integrante que sólo dependa de y, entonces la ecuación 2.17
se verá reducida a la siguiente
¸
∂N ∂M
M µ (y) =
−
µ(y)
∂x
∂y
·
0
(2.21)
Agrupando y operando algebraicamente se obtiene
µ (y)
=
µ(y)
0
h
∂N
∂x
− ∂M
∂y
i
(2.22)
M
Si la expresión de la derecha sólo depende de la variable y y es continua, entonces existe el factor integrante µ(y) y se obtiene integrando a ambos lados la ecuación 2.22
h
Z
µ(x) = e
2.4
∂N
∂x
− ∂M
∂y
M
i
d x(2.23)
Método de Solución
Dada la ecuación diferencial, ésta debe estar escrita en notación diferencial
M (x, y)d x + N (x, y)d y = 0
1. Determinar las derivadas parciales cruzadas si
debe buscarse una factor integrante.
∂M
∂y
6=
∂N
∂x
(2.24)
entonces la E.D es no exacta, por lo tanto
2. El factor integrante adecuado se determina sustituyendo los elementos y operaciones algebraicas
que se muestran
29
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
∂M ∂N
−
∂y
∂x
Si
es una función que depende solo de x, entonces el factor integrante será:
N
h
i
Z ∂M − ∂N
∂y
∂x
dx
N
µ(x) = e
De lo contrario probar el siguiente ítem
∂N ∂M
−
∂x
∂y
Si
es una función que depende sólo de y el factor integrante será
N
¸
Z ·
∂N ∂M
−
dy
∂x
∂y
dy
M
µ(y) = e
3. Multiplicar la E.D dada por el factor integrante obtenido, comprobar de acuerdo al criterio de
exactitud nuevamente y resolver aplicando el método de E.D exactas para obtener la solución
F (x, y) = C
Ejemplo 2.6 Resuelva la ecuación diferencial
h
i
£
¤
y
1
+
2
d
x
+
1
+
ln
x
y
dy =0
2
x
x
1. Comprobamos su exactitud
hy
i
¤
1£
d x + 1 + ln x y d y
+
2
2
|x
{z
}
| x {z }
M
N
∂M
=
∂y
N
h
i
y
∂ x2 + 2
∂y
1
= 2
x
∂N ∂
=
∂x
£1 ¡
¢¤
x 1 + ln x y
∂x
= −x −2 ln x y
Recordar la regla de derivación para funciones compuestas, conocida como Regla
de la Cadena
Debido a que las derivadas parciales cruzadas no son iguales, podemos concluir que la E.D
es no exacta, por lo cual para resolverla debemos buscar un factor integrante.
30
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
2. Probamos un factor integrante de x. Para lo cual evaluamos la expresión
h
∂M
∂y
− ∂N
∂x
i
N
=
=
=
1
x2
£
¤
− −x −2 ln x y
£
¤
1
1
+
ln
x
y
x
Operamos Algebraicamente
x −2 + x −2 ln x y
£
¤
1
1 + ln x y
x
£
¤
x −2 1 + ln x y
£
¤
x −1 1 + ln x y
Factor Común x −2
Simplificando
= x −1
Puesto que la función resultante depende sólo de x, podemos concluir que el factor integrante será de la forma µ(x)
µ(x) = e
R
x −1 d x
= e
R
dx
x
= e ln x
= x
3. Multiplicamos la ecuación diferencial inicial por este factor integrante
x
hy
i
£
¤
+
2
d x + 1 + ln x y d y = 0
2
x
hy
i
£
¤
+ 2x d x + 1 + ln x y d y
{z
}
| x {z
} |
M
esto resuelta en
Volvemos a comprobar su exactitud
N
¤
£y
∂ x + 2x
∂y
=
1
x
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
£
¤
∂ 1 + ln x y
∂x
=
1
x
A continuación procedemos a resolver aplicando el método de ecuaciones diferenciales exactas.
Para ello integramos la función con respecto a x (recordando considerar en adelante, la ecuación
diferencial multiplicada por el factor integrante)
Z h
Z
Z
i
y
1
+ 2x d x = y
d x + 2 xd x
x
x
f (x, y) = y ln x + x 2 + g (y)
Ahora derivamos parcialmente con respecto a y
∂ f (x, y)
= ln x + g 0 (y)
∂y
ln x + g 0 (y) = 1 + ln x y
Igualamos con la función N
Aplicamos propiedades de logaritmos para luego despejar g 0 (y)
ln x + g 0 (y) = 1 + ln x + ln y
g 0 (y) = 1 + ln y
Integramos con respecto a y para encontrar la función g (y)
31
32
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Z
Z
g 0 (y)d y =
0
Z
1 + ln yd y
Z
g (y)d y =
Z
dy +
ln yd y
g (y) = y + y ln y − y
g (y) = y ln y
Por tanto la solución de la ecuación diferencial es
y ln x + x 2 + y ln y = C
2y ln x + x 2 = C
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Ejemplo 2.7 Resuelva la ecuación diferencial
¡
¢
¡
¢
2x y 2 − 2y d x + 3x 2 y − 4x d y = 0
|
{z
} |
{z
}
M
N
1. Comprobamos exactitud
£
¤
∂ 2x y 2 − 2y
= 4x y − 2
∂y
£
¤
∂ 3x 2 y − 4y
= 6x y − 4
∂x
Son diferentes las derivadas parciales cruzadas, por lo que concluimos que es un E.D no
exacta, y debemos ubicar un factor integrante que la convierta en exacta
2. Probamos inicialmente con un factor integrante de x
·
¸
∂M ∂N
£
¤
−
4x y − 2 − 6x y − 4
∂y
∂x
=
Haciendo las operaciones correspondientes
N
3x 2 y − 4x
=
4x y − 2 − 6x y + 4
3x 2 y − 4x
=
−2x y + 2
3x 2 y − 4x
¡
¢
−2 x y − 2
¢
= ¡
x 3x y − 4
Esto expresión no se puede seguir simplificando, y depende de ambas variables, por lo que
debemos intentar con un factor integrante dependiente de y
33
34
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
·
∂N ∂M
−
∂x
∂y
M
¸
=
1
y
¡
¢
6x y − 4 − 4x y − 2
2x y 2 − 2y
=
6x y − 4 − 4x y + 2
2x y 2 − 2y
=
2x y − 2
2x y 2 − 2y
=
2x y − 2
¡
¢
y 2x y − 2
=
Debido a que la expresión resultante depende solo de y, es indicativo que el factor integrante
adecuado debe ser
µ(y)
µ(y) = e
R
1
y dy
µ(y) = y
3. Multiplicamos la ecuación inicial por y para hacerla exacta
¡
¢
¡
¢
y 2x y 2 − 2y d x + y 3x 2 y − 4x d y = 0
|
{z
}
|
{z
}
M
N
¡
¢
¡
¢
2x y 3 − 2y 2 d x + 3x 2 y 2 − 4x y d y
|
{z
}
|
{z
}
M
N
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
4. Comprobamos nuevamente exactitud
¤
£
∂ 2x y 3 − 2y 2
∂y
= 6x y 2 − 4y
£
¤
∂ 3x 2 y 2 − 4x y
∂x
= 6x y 2 − 4y
Las derivadas coinciden por lo que procedemos a resolver como una E.D exacta
5. Integramos la función M con respecto a x
Z
¡
¢
2x y 3 − 2y 2 d x = 2y 3
Z
xd x − 2y
2
Z
dx
f (x, y) = y 3 x 2 − 2x y 2 + g (y)
Derivamos parcialmente con respecto a y
∂ f (x, y)
= 3y 2 x 2 − 4x y + g 0 (y)
∂y
Igualamos con la función N
3y 2 x 2 − 4x y + g 0 (y) = 3x 2 y 2 − 4x y
Simplificando términos
g 0 (y) = C
Por lo que la solución general de la ecuación diferencial inicial es
y 3 x 2 − 2x y 2 = C
Ejercicios Ejemplos para desarrollar
Verifique que la E.D.O es No Exacta. Multiplique por el factor integrante µ(x, y) indicado y compruebe que la ecuación resultante es exacta
35
36
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
2.14 −x y sen x + 2y cos x d x + [2x cos x] d y = 0; µ(x, y) = x y
£
¤
Resuelva la E.D.O encontrando una factor integrante adecuado
2.15 10 − 6y + e −3x d x − 2d y = 0
¤
£
2.16 2y 2 + 3x d x + 2x yd y = 0
¡
¢
¡
¢
¡
¢
2.17 y x + y + 1 d x + x + 2y d y = 0
h³
´ i
2.18 cos xd x + 1 + 2y x d y = 0
2.5
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
Al principio de esta guía se estableció la clasificación de las ecuaciones diferenciales considerando algunos criterios, a saber: 1 La variable dependiente y todas sus derivadas deben ser de grado 1, y 2 el
coeficiente que acompaña a la variable dependiente y todas sus derivadas sólo debe ser función de x. A
su vez, si los coeficientes son números constantes, la E.D se clasifica en E.D lineal de coeficientes constante, mientras que sí los coeficientes son funciones de x, se dice que la E.D es lineal de coeficientes
variables.
En este sentido, se puede agregar que la más simple de las ecuaciones diferenciales son las ecuaciones
lineales de primer orden, es decir, las ecuaciones de la forma
Dividiendo por A 1 (x) se puede escribir la E.D en forma canónica:
y 0 + P (x) = Q (x)
(2.26)
Donde P (x) y Q (x) son funciones continuas en dicho intervalo. Si expresamos la ecuación 2.26 en forma
diferencial tenemos
£
P (x) −Q(x)]d x + d y = 0(2.27)
37
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
N
Es importante destacar, que se escribe en forma general P (x)yQ(x) asumiendo la variable dependiente y, sin embargo esto va a depender de la variable dependiente.
2.5.1. Método de Solución
Antes de desarrollar el método de solución, es importante precisar los siguientes ítems,
Si P (x) ≡ 0, la ecuación es exacta y también es separable.
En caso contrario, la ecuación 2.27 admite un factor integrante de la forma µ(x)
Dicho factor viene expresado por:
Z
µ(x) = e
Z
P (x)d x
ó µ(y) = e
¡ ¢
P y dy
(2.28)
Una vez obtenido el factor integrante tenemos las siguientes opciones:
1. Multiplicar la ecuación 2.27 por µ(x), esto convierte la E.C en exacta y se procede a resolver de
acuerdo al método descrito en la sección anterior.
2. Hallar la solución de un modo más rápido, multiplicando la ecuación 2.26 por el factor integrante
adecuado indicado en 2.28 esto nos produce:
µ(x)y 0 + µ(x)P (x)y = µ(x)Q(x)
Como al multiplicar la ecuación 2.27 se obtiene una ecuación exacta, se tiene que µ(x)P (x) = µ0 (x),
por tanto la ecuación anterior queda:
µ(x)y 0 + µ0 (x)y = µ(x)Q(x)
es decir,
d £ ¡
µ x y) ] = µ(x)Q(x)
dx
Integrando respecto a x:
µ(x)y =
Por tanto, la solución general es:
Z
µ(x)Q(x)d x +C
38
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
−1
y = µ (x)
·Z
µ(x)Q(x)d x +C
¸
(2.29)
Donde µ(x) viene dado por 2.28
En esta sección de E.D.Lineales consideraremos el segundo método, el cual podemos resumir con el
siguiente teorema:
Teorema 2.2 Ecuación Diferencial Lineal
Si P (x) y Q(x) son funciones continuas en una intervalo abierto (a, b) que contiene al punto X 0 ,
para cualquier valor inicial y 0 existe una única solución y(x) en dicho intervalo del problema de
valor inicial
y 0 + P (x)y = Q(x); y(x 0 ) = y 0
que es la solución dada por 2.29 para una constante de integración apropiada.
Ejemplo 2.8 Hallemos la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.
a) y 0 + 2x y = 2xe −x
b) y
dx
− x = 2y 2 ;
dy
2
cony(1) = 5
Lo primero que debemos identificar es que se trata de una ecuación diferencial lineal, ya que la
variable dependiente y y sus derivadas están elevadas al exponente 1, y además los coeficientes
que las acompañan depende únicamente de x, por lo que también podemos considerarla de coeficientes variables. A su vez, el término g (x) es diferente de 0, por lo que descartamos que sea
homogénea.
Luego debemos asegurarnos que esté escrita en forma canónica, es decir en la forma que se muestra en la ecuación 2.26 de esta sección. En el caso particular así lo está.
y 0 + 2x y = 2xe −x
N
2
Nos referimos a canónica cuando el coeficiente que acompaña a la mayor derivada de la
variable dependiente es 1
De la E.D visualizamos dos elementos importantes para su solución
P (x) el cual es el coeficiente que acompaña a la variable dependiente y, en este caso P (x) =
2x
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Q(x) es la función que representa el término independiente, ya que sólo depende de la va2
riable (x), en este caso Q(x) = 2xe −x
Una vez determinado éstos elementos podemos identificar que P (x) 6= 0 por lo que descartamos
que se trate de una ecuación diferencial exacta, pero que sí se puede convertir en exacta como lo
propone la proposición descrita a inicio de este apartado, ó calcular el factor integrante y posteriormente aplicar la fórmula deducida para obtener directamente la solución, como se estableció
en la segunda propuesta
Cálculo del Factor integrante Debido a que P (x) es un función de x, el factor integrante será una
función de x y se determina empleando la fórmula 2.28
Z
2xd x
µ(x) = e
Z
µ(x) = e
xd x
2
µ(x) = e x
2
Sustituyendo el factor integrante y el resto de los elementos en la fórmula 2.29 se obtiene
h
y= e
x2
i−1 ·Z
x2
e 2xe
−x −2
¸
dx
i−1 · Z ¸
y= e
2 x
h
x2
h 2 i−1
y = ex
x 2 +C
b. y
dx
− x = 2y 2 ;
dy
cony(1) = 5
En este caso, la ecuación diferencial no está escrita en forma canónica, para hacerlo debemos
dividir toda la ecuación por y de tal manera que el coeficiente de la derivada superior sea 1
yd x x 2y 2
− =
yd y y
y
dx x
− = 2y
dy y
Fijarse, que en este caso, la variable dependiente es x por lo tanto
39
40
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
P (y) = − 1y
Q(y) = 2y
Asimismo, debemos deducir el factor integrante que en este caso es función de y
Z
µ(y) = e
1
− dy
y
µ(y) = y −1
Ahora aplicamos la fórmula deducida en 2.29 pero tomando en cuenta que ahora nuestra función
incógnita está representada por la variable x, así pues
£
x= y
¤
−1 −1
·Z
y
−1
¸
2y d y
Ordenando, y aplicando las operaciones algebraicas correspondientes
· Z
¸
x = y 2 dy
x = 2y 2 +C
Solución General
Puesto que se dan condiciones iniciales, podemos determinar cual es la función particular de la
familia de soluciones, sustituyendo sus coordenadas cartesianas es decir; cuando x = 1; y = 5
1 = 2 (5)2 +C
C = −49
Sustituyendo en la solución general
x = 2y 2 − 49
Solución Particular
Ejercicios Ejercicios Propuestos
Obtenga la solución General de las siguientes ecuaciones diferenciales, caracterizándolas previamente como lineales
dy
+ y = e 3x
dx
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
x2
x
41
dy
+xy = 1
dx
dy
− y = x 2 sen (x)
dx
dy
− x y = x + x2
dx
¢
¡
yd x − 4 x + y 6 d y = 0
(1 + x)
dy
+ y sen (x) = 1
dx
Resuelva la E.D lineal con valor inicial
cos (x)
x
dy
+ y = e 3x ; y(1) = 2
dx
(x + 1)
2.6
dy
+ y = ln (x); y(1) = 10
dx
Ecuaciones Diferenciales no Lineales
Hemos desarrollado hasta ahora algunos métodos de solución atendiendo a ciertas características de
las ecuaciones diferenciales, asimismo hemos encontrado ecuaciones que no cumplen con éstas características, pero sí algunas maneras de transformarlas para adaptarlas a las mismas y aplicar los métodos
correspondientes. Esta tendencia, sucede con las ecuaciones diferenciales que no son lineales, las cuales
para resolver acudiremos a un cambio de variable tal como se desarrollará
La clase más importante de ecuaciones diferenciales no lineal es de la forma:
dy
+ P (x)y = Q(x)y n ;
dx
k ∈ℜ
(2.30)
Donde P (x) y Q(x) son funciones continuas en un intervalo I
Si n = 0 ó n = 1, la ecuación es del tipo lineal.
Obsérvese con atención, que de acuerdo a las condiciones establecidas en la clasificación de las E.D
según su linealidad, ésta ecuación es no lineal, ya que la variable dependiente y está elevada a una
potencia n, que es diferente de 0 y 1, es decir, ya no es de grado 1.
Esta ecuación de forma general se le conoce como Ecuación de Bernoulli, en honor a Jakob Bernoulli.
42
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
2.6.1. Método de Solución
1. Se divide toda la E.D por y n
y −n
dy
+ P (x)y (1−n) = Q(x);
dx
k 3ℜ
(2.31)
2. Hacer el siguiente cambio de variable v = y (1−n)
El cual derivamos de forma implícita con respecto a x
dv
dy
= (1 − n)y −n
dx
dx
De donde despejamos convenientemente la expresión y −n
y −n
(2.32)
dy
dx
dy
1 dv
=
d x (1 − n) d x
(2.33)
A continuación se sustituyen todos los cambios en la ecuación 2.30 para transformar la E.D en
lineal en términos de las variables (v, x)
1 dv
+ P (x)v = Q(x)
(1 − n) d x
(2.34)
En estos momentos ya la ecuación es lineal, sin embargo es conveniente escribirla en forma canónica por lo que debemos garantizar que el coeficiente del diferencial sea igual a 1 para ello
debemos multiplicar por (1 − n) para obtener
dv
+ (1 − n)P (x)v = (1 − n)Q(x)
dx
(2.35)
3. La ecuación 2.35, es una ecuación diferencial lineal que puede ser resuelta por el método del factor
integrante estudiado en la sección anterior.
Ejemplo 2.9
Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales
dy
a) x
+ y = y 2 ln x
dx
Nótese que es una E.D No Lineal puesto que la variable dependiente y está elevada al exponente
2, además tiene la forma de una ecuación 2.30, por lo que podemos considerarla una Ecuación
tipo Bernoulli
1. Escribimos la ecuación diferencial en notación normal o canónica, para lo cual debemos
43
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
hacer que el coeficiente del diferencial sea igual a 1, en este caso debemos dividir entre x
d y y y 2 ln x
+ =
dx x
x
2. Identificamos y n = y 2 y dividimos la ecuación diferencial por y 2 generándose
y
y 2 ln x
+
=
d x y 2x y 2 x
−2 d y
y −2
y −2
N
y
1
ln x
dy
+
=
dx yx
x
d y y −1 ln x
+
=
dx
x
x
(2.36)
Convenientemente utilizar notación de potencia con la variable dependiente, para
que esta coincida con el siguiente cambio de variable
3. Hacer el cambio de variable v = y (1−n) con n = 2
v = y (1−2)
v = y −1
4. Derivamos de forma implícita con respecto a x
dv
dy
= −y −2
dx
dx
Despejamos
−
dv
dy
= y −2
dx
dx
Hacemos los cambios en la ecuación 2.36 y resulta en
−
d v v ln x
+ =
dx x
x
44
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
5. LLevamos esta ecuación a su forma canónica para ello es necesario multiplicarla por (1−n),
es decir por (1 − 2) = −1
ln x
dv v
− =−
dx x
x
Esta ecuación ya es lineal y a partir de ella se puede resolver aplicando el método del factor
integrante por lo que debemos identificar P (x) y Q(x) y posteriormente aplicar las fórmulas
correspondientes
1
x
ln x
Q(x) = −
x
P (x) = −
Aplicaremos la fórmula 2.28 para determinar el factor integrante que en este caso es función
de x
Z
P (x)d x
µ(x) = e
Z
µx = e
−
dx
x
µx = x −1
Una vez listos todos los elementos, procedemos a sustituir en la ecuación 2.29 recordando
que estamos usando temporalmente una variable dependiente distinta a la original
¡
v= x
¢
−1 −1
·Z
x
−1
¸
ln x
−
dx
x
Desarrollando
· Z
¸
−2
v = x − x ln x d x
La integral resultante debe ser resuelta aplicando la técnica de integral por partes, ya que el
integrando es un producto de funciones del tipo algebraica por una logarítmica.
Para ello debemos realizar los siguientes cambios
u = ln x
d u = x1 d x
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
d v = x −2
v = − x1
Sustituyendo estos cambios y atendiendo a la regla de integración por partes
·
¸
Z
ln x
11
v = −x −
− −
dx
x
xx
Resolviendo la integral interna, y desarrollando algebraicamente obtenemos
ln x 1
v =x
+ +C
x
x
·
¸
v = [ln x + 1 + xC ]
Devolviendo el cambio v = y −1
y=
1
[ln x + 1 + xC ]
dy
+ y = e x y −2
dx
La ecuación diferencial propuesta en el ejercicio b) es una ecuación no lineal de Bernoulli, con
y n = y −2 y debido a que ya está escrita en forma canónica procedemos a resolver aplicando el
método, iniciando con la división entre y −2
b)
y2
dy
y
e x y −2
+ −2 = −2
dx y
y
y2
dy
+ y3 = ex
dx
Hacemos el cambio de variable correspondiente v = y (1−n)=y
Derivamos de forma implícita con respecto a x
1−(−2)
dv
dy
= 3y 2
dx
dx
Despejamos
1 dv
dy
= y2
3 dx
dx
Haciendo los cambios de variables y transformando la ecuación
=y 3
45
46
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
1 dv
+ v = ex
3 dx
Multiplicamos por (1 − n) que en este caso es 3 para escribir la ecuación en forma canónica
dv
+ 3v = 3e x
dx
Donde
P (x) = 3
Q(x) = 3e x
Determinamos el factor integrante
µx = e
R
3d x
µx = e 3x
Sustituimos los elementos en la ecuación 2.29
£ ¤−1
v = e 3x
e
−3x
v =e
v=
3x
¸
x
e 3e d x
· Z
¸
4
3 x dx
−3x
·
·Z
·
3 4x
e +C
4
¸
3 x
e + e −3x C
4
Devolviendo el cambio inicial v = y 3
¸
3 x
−3x
y = e +e C
4
s·
¸
3 x
3
−3x
y=
e +e C
4
3
·
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
47
Ejercicios Ejercicios Propuestos
Determine la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales, caracterizándolas previamente
x
dy
2
+y = 2
dx
y
dy
− y = ex y2
dx
¡
¢
dy
= y x y3 − 1
dx
dy
x d x − (1 + x) y = x y 2
Resuelva la E.D de Bernoulli con valor inicial
x2
dy
− 2x y = 3y 4 :
dx
y(1) =
dy
+ y 3/2 = 1;
dx
y(0) = 4
y 1/2
2.7
1
2
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Primer Orden
2.7.1. Función Homogénea
Una función f (x, y) es homogénea de orden n, si para algún número real, se cumple que f (t x, t y) =
t n f (x, y). Es decir, si al hacer el cambio de variable x = t x; y y = t y, donde t es una nueva incógnita, y al
sacar factor común t n queda la función original.
Ejemplo 2.1 f (x, y) = x 3 + y 3 ;
es una función homogénea de grado 3, pues al hacer el cambio de
3
variable con t se obtiene
¡ ¢3
f (t x, t y) = (t x)3 + t y
¡
¢
f (t x, t y) = t 3 x 3 + y 3
f (t x, t y) = t 3 f (x, y)
48
N
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Obsérvese que al sacar factor común t n vuelve a quedar la función original
2.7.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Primer Orden
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es homogénea si se puede escribir de la
forma:
M (x, y)d x + N (x, y)d y = 0
(2.37)
Donde M (x, y) y N (x, y) son funciones homogéneas del mismo grado.
Una ecuación diferencial ordinaria de la forma:
y 0 = f (x, y)
(2.38)
es homogénea si la función f (x, y) es homogénea de grado 0
Este tipo de ecuación diferencial mediante un cambio de variable se transforma en una ecuación de
variables separables. Si la ecuación diferencial es homogénea es posible expresar la ecuación de la forma
³
´
y
x n M 1, y
y=
¡ y¢
x n N 1, x
¡ y¢
M 1, x
0
y = ¡ y¢
N 1, x
Esto quiere decir, que también podemos expresar la ecuación en términos de
(2.39)
(2.40)
y
x
2.7.3. Solución de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Primer Orden
Este tipo de ecuaciones diferenciales se pueden transformar en ecuaciones de variables separables, mediante el siguiente cambio de variable:
Hacemos el cambio (x, y) → (x, u) dado por
y = ux
De donde
d y = ud x + xd u
Convenientemente despejamos la expresión
(2.41)
(2.42)
dy
dx
d y du
=
x +u
dx dx
(2.43)
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
49
Si tenemos la ecuación en la forma 2.37, la dividimos por x m , donde m es el grado de homogeneidad de las funciones M y N y que se determina como se explicó en el apartado anterior. Si
tenemos la ecuación en la forma 2.38, la dividimos por x con la mínima potencia que aparezca. La
ecuación se convierte en una ecuación de variables separables.
Resolvemos obteniendo la solución para u(x)
Deshacemos el cambio y obtenemos la solución para y(x)
2.7.3.1. Procedimiento
1. Verificar que la E.D dada es una ecuación diferencial homogénea comprobando f (t x, t y) = t n f (x, y)
2. Hacer el cambio de variable u =
y
x
3. Despejar y = ux
4. Derivar con respecto a x, lo que nos generará la siguiente expresión
d y du
=
x +u
dx dx
5. Se sustituyen todos los cambios y la ecuación resultante será de variables separables.
Ejemplo 2.10
y0 =
xy
x2 − y 2
Primero se verifica que la función es homogénea haciendo el cambio f (t x, t y), esto quiere decir,
que vamos a sustituir la variable x → t x y la variable y → t y
f (t x, t y) =
t xt y
(t x)2 − (t y)2
f (xt , y t ) =
t 2x y
t 2x2 − t 2 y 2
Sacamos factor común t n = t 2
µ
¶
t2
xy
f (t x, t y) = 2 2
t x − y2
Al verificarse la ecuación con la cual partimos, se dice que es una ecuación homogénea de grado,
0
Solución
50
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Puesto que la ecuación está escrita en la forma de la ecuación 2.38 se dice que es una función
homogénea de grado 0
Por lo tanto hacemos los cambios de variable
y = ux
y
du
dy
=x
+u
dx
dx
deducidos en las ecuaciones 2.41 y 2.43 respectivamente
Sustituimos en la ecuación diferencia dada
x
du
xux
+u = 2
dx
x − (ux)2
x
du
x2
+u = 2
dx
x − u2x2
Extrayendo como factor en x 2 en el numerado y simplificando con el mismo término en el numerado se obtiene
u
du
+u =
dx
1 − u2
Esta ecuación obtenida es una ecuación de variables separables, por lo que para su solución debemos realizar transposición de términos atendiendo a las reglas algebraicas para ordenar a cada
miembro de la igualdad las variables.
x
x
u
du
=
−u
d x 1 − u2
Suma de fracciones
x
µ
du
u3
=
d x 1 − u2
¶
1 − u2
dx
du =
3
u
x
en estos momentos ya están separadas las variables, procedemos a integrar a ambos lados de la
ecuación
Z µ
¶
Z
dx
1 − u2
du =
3
u
x
Para resolver la integral del miembro izquierdo, dividimos la fracción, puesto que existe una denominador común
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Z
1
du −
u3
Z
1
du =
u
Z
dx
x
1
− ln u = ln x +C
2u 2
Agrupando términos en el miembro izquierdo, y aplicando propiedad de logaritmos en el derecho
−
1
= ln xC
2u 2
Finalmente deshacemos el cambio de variables, recordando que establecimos y = ux, por lo que
u = y/x
−
−
x2
= ln yC
2y 2
51
3
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
Objetivos Didácticos
Al finalizar esta unidad el estudiante será capaz de:
♣ Contextualizar las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias en el entorno de la Ingeniería.
♣ Resolver algunos problemas de Ingeniería y las Ciencias Básicas por medio de las Ecuaciones Diferenciales.
En innumerables ocasiones nos preguntamos, cómo se relacionan los contenidos matemáticos con
nuestra vida cotidiana, y mucho más con el desempeño profesional en el área de la ingeniería. Y para
responder a esta pregunta es oportuno hacer una breve referencia a la historia del Cálculo Infinitesimal
y sus máximos exponentes como lo fueron Newton y Leibniz, quienes en el siglo XVII descubrieron la
relación existente entre las dos ramas del Cálculo; el diferencial e integral. Relación que posteriormente
fue la base para el descubrimiento de la física aplicada, y con él la Ingeniería.
La derivada en un principio se utilizó para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto se vio que
también sirve para determinar el estudio de la variación de una función. Sin embargo en la vida real
son muchos los factores que pueden influir un proceso regido por una función, es por ello que podemos analizar como varía una función con respecto a diferentes variables a partir de su derivada; esto se
conoce como Ecuaciones Diferenciales.
A través del Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que nos muestra la mencionada vinculación
entre la derivada y la integral de dicha función, podemos obtener una primitiva de la función derivada
mediante la integración, que es lo que necesitamos para poder resolver las ecuaciones diferenciales.
En esta sección vamos a considerar determinados fenómenos reales relacionados con diversos ámbitos
asociados a al física y a la ingeniería, cuya modelización da lugar a una ecuación diferencial de primer
orden.
54
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
El proceso de modelar en matemática suele ser la de “‘expresar en términos matemáticos determinados
hechos y sus relaciones”’ y por ende un modelo matemático es una estructura que aproxima o describe
dichas relaciones. Camacho, et all (2009)
3.1
Modelos Matemáticos
Con frecuencia se desea escribir el comportamiento de algún sistema, proceso o fenómeno de la vida
real en términos matemáticos. Dicho sistema puede ser físico, sociológico o hasta económico.
La descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama Modelo Matemático.
3.1.1. Pasos para la formulación de un Modelo Matemático de un Sistema
1. Se debe identificar las variables causantes del cambio en el sistema. Podemos no elegir incorporar
todas las variables en modelo desde el comienzo. En este caso, especificamos el nivel de resolución
de modelo.
2. Se establece un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que tratamos de describir.
Esas hipótesis también incluyen todas las leyes empíricas aplicables al sistema.
Cuando las hipótesis acerca del sistema implica, con frecuencia la razón de cambio de una o más
variables; el enunciado matemático de todas éstas hipótesis es una o más ecuaciones donde intervienen derivadas. En otras palabras, el modelo matemático es una ecuación o sistema de Ecuaciones Diferenciales
3. Las ecuaciones formuladas en la etapa anterior necesitan ser resueltas, sujetas a condiciones obtenidas del problema, para determinar la incógnita o incógnitas involucradas.
4. Con el uso de las soluciones conocidas se realiza la interpretación científica de la solución obtenida contrarestándola con la teoría.
3.2
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Trayectorias Ortogonales. (Estudio de electricidad, y magnetismo, elaboración de cartas meteorológicas)
Problemas de Enfriamiento.
Mecánica Newtoniana
55
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Problemas de Mezclas
Desintegración de Sustancias Radiactivas
Determinación de edades por el Método de Carbono 14
Crecimiento de Poblaciones
Propagación de Enfermedades
Eliminación de Drogas
Interés Compuesto
Circuitos Eléctricos Simples
En general, estos proceso ya tienen un modelo estandarizado, y a partir de el se puede adaptar a las
diferentes condiciones que se presenten de forma particular, si se desea un modelo nuevo hay que seguir
en forma general los pasos establecido en la sección anterior.
Ejemplo 3.1 Crecimiento Poblacional
Si la población de una país se duplica en 50 años.¿en cuántos años será el triple, suponiendo
que la velocidad del aumento es proporcional al número de habitantes
Los Datos
T tiempo en años N la población en T años N0 la población en T = 0 T=50años para doble de
la población inicial Variable Dependiente: N población Variable Independiente: T tiempo
En este caso aplicaremos el Modelo de Crecimiento Poblacional que se rige por la siguiente ecuación diferencial
El Modelo
dN
= kN
dT
La ecuación es de variables separables, por tanto para resolverla, aplicamos el método de separación de variables, para lo cual hacemos la transposición de términos para us posterior integración
dN
= kd T
N
Donde k es la constante de proporcionalidad. Una vez separadas las variables, integramos
56
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Z
dN
= kd T
N
ln N = kT +C
Z
e ln N = e kt +C
aplicamos exponencial a ambos lados para despejar la variable dependiente
N = e kT +C
N = e kT e C
Propiedad de Exponenciales
Consideramos que el exponencial de una Constante, sigue siendo una Constante
N = C e kT
(3.1)
Obtuvimos una Solución Explícita General, para determinar la solución particular sustituimos las
condiciones iniciales dadas, T = 0 y N = N0 en 3.1
N0 = C e k0
C = N0
Sustituyendo C en 3.1
N = N0 e kT
Solución Particular
(3.2)
Ahora determinamos la proyección que nos están solicitando en el problema, en ¿cuantos años
será el triple de la población? Sin embargo, tenemos datos del doble de la población, con ello
podemos determinar la constante de proporcionalidad como se muestra
Para T = 50años → N = 2N0
2N0 = N0 e k50
despejamos k
2N0
= e k50
N0
2 = e k50
ln 2 = k50
sustituimos en 3.2
57
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Aplicamos Logaritmos a ambos lados para despejar.
50
ln 2
Ya poseemos el valor de la Constante de Proporcionalidad volvemos a la fórmula deducida en ??
para una población triplicada a la inicial eso es N = 3N0
k=
3N0 = N0 e kT
el objetivo es despejar T
3N0
= e kT
N0
3 = e kT
ln 3 = kT
sustituimos la constante de proporcionalidad y despejamos T
ln 3 =
50
T
ln 2
ln 3 ln 2 = 50T
ln 5
=T
50
El tiempo que tardará la población inicial en triplicarse será en
Ejemplo 3.2 Problema de Mezclado
Consideremos un tanque tla como se muestra en la figura ??, para un tiempo inicial t = 0, contiene Q 0 Kg de sal disuelta en 100 litros de agua. Supongamos que en el tanque entra agua conteniendo 1/4Kg de sal por litro, a razón de 3litros por minuto y que la solución bien mezclada sale
del tanque a la misma velocidad. Encuentre una expresión que nos proporcione la cantidad de
sal que hay en el tanque en un tiempo t
Los Datos
Q 0 Cantidad Inicial de Sal disuelta V0 = 100Lt s Volumen Inicial C e = 1/4Kg/L Concentración
Inicial R e = 3L/min Razón de Entrada R s = 3L/min Razón de Salida. V = 100Litros Volumen
Total
58
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Figura 3.1: Tanque de Mezclado
El Modelo
Sea x(t ) la cantidad de sustancia presente en el tanque en el instante t y sea dd xt la rapidez
con que cambia x con respecto a tiempo.
Para un tiempo t , la velocidad de cambio de la sustancia en el tanque dd xt debe ser igual
a la velocidad a la que dicha sustancia entra en el tanque menos la velocidad a la que lo
abandona, es decir, la ecuación diferencial que modeliza este problema viene dada por:
dx
= Ve − V s
dt
Donde
Ve (cantidad/t)
Ve = R e ∗Q 0
Vs (cantidad/t)
Vs = R s ∗ Q s
Obsérvese que en este caso la variable dependiente es x, y que representa la cantidad de sal.
La concentración de salida es la cantidad de sustancia x(t ) dividida por el volumen total en
el tanque en dicho instante t
Para la aplicación del modelo necesitamos determinar Ve y Vs
1
Ve = 3l /mi n ∗ kg /l
4
3
(3.3)
Ve = K g /mi n
4
Para determinar Vs no se tienen datos de la concentración final, sin embargo en el modelo se
especificó que esta concentración viene dada por la siguiente expresión:
59
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
X
V
Donde Q s Concentración a la salida X Cantidad de sal V Volumen Total
Sustituyendo la expresión correspondiente a la concentración
Qs =
Vs =
Rs ∗ X
V
Sustituyendo ahora los datos
Vs =
3l t /mi n ∗ X
100l t
(3.4)
Sustituimos 3.3 y 3.4 en el modelo
dx 3
3
= −
X
d t 4 100
Esta es una ecuación diferencial lineal no homogénea, reordenándola para escribirla en forma
diferencial, Ver 28
dx
3
3
+
X=
d t 100
4
De acuerdo al método debemos calcular un factor integrante tal como lo indica en la ecuación
2.28, para ello debemos identificar los siguientes elementos
3
P (x) = 100
Q(x) = 34
µt = e
R
3
100 d t
µt = e 0,03T
Aplicando la fórmula 2.29
£
¤−1
x = e 0,03T
x =e
−0,03T
·Z
·
e
0,03T
3
dt
4
3 e 0,03T
+C
4 0, 03
¸
¸
X = 25 + e −0,03T C
Puesto que necesitamos una ecuación para expresar la cantidad de sal, necesitamos descubrir C
para dejarla en función de dos variables, para ello sustituimos las condiciones iniciales X 0 = Q 0 y
t =0
60
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Q 0 = 25 + e −0,03∗0C
C = Q 0 − 25
Por tanto,
X (t ) = 25 + e −0,03T [Q 0 − 25]
X (t ) = 25 + e −0,03T Q 0 − 25e 0,03T
£
¤
X (t ) = 25 1 − e −0,03T + e −0,03T Q 0
Esta es la ecuación que nos da la cantidad de sal en el tanque para un tiempo dado, y dada una
concentración inicial conocida.
Figura 3.2: Circuito Simple en Serie
Ejemplo 3.3 Circuitos Eléctricos
La electricidad tiene una ley que describe el comportamiento de los circuitos eléctricos conocida como la Ley de Kirchoff. Esta es adecuada para estudiar propiedades simples de los circuitos
eléctricos. El circuito eléctrico más simple es un circuito en serie, en el cual se tiene una fuerza
electromotriz (F.E.M); la cual actúa como una fuente de energía tal como una batería o un genera-
61
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
dor, y una resistencia; la cual consume o usa energía tal como un equipo.
Circuitos más complicados, pero para casos muchos más prácticos son circuitos que contienen
otros elementos distintos a resistencias. Los elementos más importantes son inductores o condensadores. Un inductor se opone a cambios en corriente. Un inductor se opone a cambios en
corriente, tiene un efecto de inercia. Un condensador es un elemento que almacena energía.
Definición 3.1 Enunciado de la Ley de Kirchoff
La suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito eléctrico es cero.
Como ejemplo consideraremos un circuito eléctrico consistente en una (F.E.M), una resistencia R
y un inductor L, conectados en serie como se muestra en la figura ??
N
Se adopta por convención que la corriente eléctrica fluye del lado positivo de la F.E.M a
través del circuito hacia el lado negativo.
El Modelo
Llamando I la corriente o intensidad de corriente que fluye según el circuito descrito y por
las leyes de Kirchoff se tiene:
L
dI
+RI = E
dT
(3.5)
Donde L ddTI representa la variación (caída) de voltaje a través del inductor y R I la caída de
voltaje a través de la Resistencia.
N
La variable dependiente es I, Intensidad de Corriente La variable Independiente es t,
Tiempo
Solución La ecuación anterior es una ecuación diferencial del tipo No Exacta, para resolverla debemos expresarla en su forma canónica y encontrar un factor integrante adecuado empleando la
fórmula 2.28
dI RI E
+
=
dt
L
L
Factor Integrante
62
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
µ(t ) = e
R
µ(t ) = e
R
L dt
Rt
L
Multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante.
e
|
Rt
L
Rt R I
dI
+e L
d t {z
L}
=e
Rt
L
E
L
Derivada de un Producto
h Rt i
d eLI
=e
dt
Rt
L
E
L
Integramos a ambos lados
h
i
Z d e RLt I
Z
=
dt
Rt
L
e
N
E
I=
L
e
Z
e
Rt
L
Rt
L
E
dt
L
E
L
Recordar que la R y el L son valores conocidos, es decir, constantes
e
Rt
L
I=
E L Rt
eL
LR
Simplificando
e
Rt
L
I=
E Rt
e L +C
R
Despejando Intensidad de Corriente
−RT
E
+C e L
R
Esta ecuación nos permite conocer la Intensidad de Corriente dados los valores de la Resistencia
y del Inductor. Para determinar el valor de la constante C , se considera las condiciones iniciales,
es decir T = 0; I = 0
Dicha ecuación también pudo ser resuelta aplicando el método de Variables Separables, y también
siguiendo el procedimiento de las Ecuaciones No Exactas planteados en esta guía en el el capitulo
2.
I=
4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Objetivos Didácticos
Al finalizar esta unidad el estudiante será capaz de:
♣ Identificar las características de una Ecuación Diferencial de Orden Superior
♣ Seleccionar los métodos de solución más adecuados de acuerdo a las características de las Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior.
♣ Resolver Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior.
Una ecuación diferencial lineal de orden superior tiene la forma:
A n (x)y n + A n−1 (x)y n−1 + . . . + A 2 (x)y 00 + A 1 (x)y 0 + A 0 y = g (x)
(4.1)
Si consideramos una ecuación diferencial de segundo orden la ecuación 4.1 se transforma en la siguiente
expresión
A 2 (x)
d2y
dy
+ A 1 (x)
+ A 0 (x)y = g (x)
2
dx
dx
(4.2)
En su forma canónica
d2y
dy
+ P (X )
+Q(x)y = g (x)
(4.3)
2
dx
dx
Donde, si g (x) = 0, la ecuación diferencial se denomina Homogénea, pero si g (x) 6= 0 entonces se llama
No Homogénea
A su vez, si los coeficientes A i (x) son números reales, se dice que es una E.D lineal de Coeficientes
Constantes, por el contrario es llamada de Coeficientes Variables. En ambos casos se considera que los
coeficientes son funciones continuas en un intervalo abierto (a, b).
64
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
4.1
Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas de Coeficientes
Constantes
De acuerdo a lo expresado anteriormente, la ecuación 4.1 es considerada homogénea si g (x) = 0, y por
consecuencia, la ecuación ?? al iguarla a 0, se trata de una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea, de la cual analizaremos su solución y cómo obtenerla, y consecuentemente, por su
naturaleza, deduciremos la solución de las ecuaciones diferenciales de este tipo de orden n
Antes de estudiar estas ecuaciones diferenciales es preciso abordar los enfoques teóricos que nos permitirán aclarar conceptualmente algunos aspectos fundamentales para tener una mayor comprensión.
4.1.1. Principio de Superposición. Solución de una ecuación diferencial Lineal Homogénea de Coeficientes Constantes
Se tiene una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea establecida en la ecuación ??.
La solución de esta ecuación diferencial incluye dos soluciones fundamentales asociadas al orden de la
misma, las cuales son linealmente independientes. Por lo tanto, se puede expresar la solución general
como:
y = C 1 y 1 +C 2 y 2
(4.4)
Lo cual se conoce como una combinación lineal. Donde y 1
yy 2 son soluciones “‘individuales”’,
esto tomando en consideración el siguiente teorema y su demostración:
Teorema 4.1
Sean y 1 y
y 2 soluciones de la Ecuación diferencial Homogénea ??. Entonces cualquier combinación lineal
C 1 y 1 (x) +C 2 y 2 (x)
Con C 1 y C 2 constantes arbitrarias, también es solución de la ecuación diferencial.
Demostración A partir del término de la izquierda de la ecuación ?? definimos el siguiente operador:
£ ¤
L y = y 00 + P y 0 +Q y
(4.5)
£ ¤
Donde L y es llamado el operador diferencial. Entonces, la ecuación ?? puede expresarse de la siguiente forma
65
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
£ ¤
L y (x) = 0
(4.6)
Este operador diferencial es lineal, puesto que cumple con las siguientes propiedades
∀ f (x)
y g (x) ∈ ℑ y k 3 R
se verifica
£
¤
£
¤
£
¤
L( f ± g )x = L f (x) ± L g (x)
£
¤
£
¤
L k f (x) = kL f (x)
Esto se interpreta, que para toda función que pertenece a una familia de funciones ℑ, continuas derivables se cumple que, el operador diferencial de una suma algebraica de funciones se puede distribuir
a cada uno de los términos, de igual forma el operador diferencial de un producto de una constante
real k por un función, la constante se extrae fuera del operador y éste se aplica solo a la función. Estas
propiedades se conocen como propiedades de linealidad, por consecuencia el operador diferencial es
un operador lineal.
Por tanto, retomamos el hecho de que la solución de una ecuación diferencial de segundo orden es una
combinación lineal C 1 y 1 (x) +C 2 y 2 (x), que al aplicar el operador diferencial y sus propiedades tenemos:
£
¤
£
¤
£
¤
C 1 y 1 (x) +C 2 y 2 (x) = L C 1 y 1 (x) + L C 2 y 2 (x)
£
¤
£
¤
= C 1 L y 1 (x) +C 2 L y 2 (x)
= C 1 L(0) +C 2 L(0)
= 0
debido a la linealidad del operador diferencial, si y 1 (x) y y 2 (x) son soluciones de la ecuación ??, entonces
cualquier combinación lineal de C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) también es solución. Este teorema, por naturaleza,
puede extenderse a cualquier ecuación diferencial de orden n, de esta manera la solución de la ecuación
4.1 será tambien una combinación lineal de soluciones particulares como sigue:
C 1 y 1 (x) +C 2 y 2 (x) +C 3 y 3 (x) + . . . +C n−1 y n−1 (x) +C n y n
(4.7)
Por otra parte, para que existan constantes arbitrarias que verifiquen el teorema se debe cumplir que
el sistema ha de ser compatible determinado, y la condición para que esto ocurra (por el teorema de
66
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Rouche-Frobenius) es que el determinante del sistema es igual a 0. Este enunciado se aprecia en el
siguiente teorema.
Teorema 4.2
Sean y 1 (x) y y 2 (x) soluciones en un intervalo (a, b) de la ecuación diferencial
d2y
dy
+ p(x)
+ q(x)y = 0
2
dx
dx
con p y q funciones continuas en (a, b), sí en algún punto del intervalo se satisface
!
Ã
y 1 (x 0 ) y 2 (X 0)
W y 1 ,y 2
6= 0
y 10 (x 0 ) y 20 (x 0 )
N
Donde W y 1 ,y 2 es la notación del determinante llamado Wronskiano
entonces, toda solución se expresa de la forma descrita anteriormente como una combinación
£
¤
lineal C 1 y 1 (x) +C 2 y 2 (x)
Por otra, parte dos funciones y 1 (x) y y 2 (x) son linealmente independientes en (a, b) si existe algún
punto X 0 que pertenece al intervalo donde se verifique que:
C 1 y 1 (x) +C 2 y 2 (x) 6= 0
Esto se demuestra sí el Wronskiano de las soluciones es diferente de 0. Por el contrario, dos funciones
y 1 (x) y y 2 (x) son linealmente dependientes en el intervalo abierto (a, b) si existen constantes C 1 y C 2
que no se anulen simultáneamente, tal que:
C 1 y 1 (x) +C 2 y 2 (x) = 0
Lo cual se demuestra si el wronskiano es igual a 0.
67
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
En resumidas cuentas, dos soluciones y 1 (x) y y 2 (x) si son linealmente independientes; cumpliéndose el
teorema anterior, son llamadas Conjunto Fundamental de Soluciones, y la combinación lineal de ellas
representa la solución general de la ecuación diferencial.
Por tanto, resolver una ecuación diferencial consiste en hallar un conjunto fundamental de soluciones que sean linealmente independientes, lo cual nos proporcionará la solución general. Esta deducción, se puede extender por naturaleza a una ecuación diferencial de orden n, para la cual el Wronskiano
queda de la siguiente forma:


y 1 (x 0 )
y 2 (x 0)
···
yn

 0
y 20 (x 0 ) · · ·
y n0 
 y 1 (x 0 )
W y 1 ,y 2 ,...y n 
..
.. 
..
 6= 0
 ..
.
.
. 
 .
y 1n−1 (x 0 ) y 2n−1 (x 0 ) · · ·
N
y nn−1
Este determinante se construye, colocando inicialmente en la primera fila las soluciones individuales, y en las filas siguientes las derivadas sucesivas, la última fila estará compuesta por
la derivada n − 1, por ejemplo si la ecuación diferencial es de orden 4, la última fila contendrá la tercera derivada. Por otra parte, para calcular este determinante si es de 3x3 se resuelve
aplicando la regla de Sarrus, mientras que si es de 4x4 en adelante se emplea el método de los
Cofactores o Gauss, Gauss-Jordan.
Si el wronskiano es diferente de 0 las soluciones son linealmente independientes y son llamadas conjunto fundamental de soluciones, por lo que la solución general será una combinación lineal de ellas
C 1 y 1 (x) +C 2 y 2 (x) +C 3 y 3 (x) + . . . +C n−1 y n−1 (x) +C n y n (x)
4.2
(4.8)
Método para resolver una Ecuación Diferencial Lineal Homogénea de
Coeficientes Constantes
Consideremos la Ecuación Diferencial Homogénea de 2d o orden
dy
dy
+b
+cy = 0
(4.9)
2
dx
dx
Donde a,b,c son coeficientes constantes y por tanto funciones contínuas en R. Buscamos un conjunto
fundamental de soluciones tal cual se describió en el apartado anterior, para construir la solución general. Para ello partimos con la más sencilla de las ecuaciones diferenciales homogéneas, la de primer
orden
a
68
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
dy
+ ay = 0
dx
Esta ecuación diferencial se resuelve por separación de variables como sigue:
(4.10)
d y = −a yd x
dy
= −ad x
y
Z
dy
= −a
y
Z
dx
ln y = −ax +C
Despejando la variable dependiente y y aplicando propiedades de logaritmo se obtiene la siguiente
solución
y = ce −ax
Por lo que se puede deducir que las soluciones de este tipo de ecuaciones diferenciales vienen expresadas en forma exponencial
y = e mx
(4.11)
Si derivamos n veces la expresión de acuerdo al caso correspondiente se tiene
dy
dx
= me mx
d2y
d x2
= m 2 e mx
dn y
d xn
= m n e mx
Dichas expresiones se sustituyen en la ecuación diferencial de la cual se desea obtener la solución, para
el caso de una ecuación diferencial de segundo orden como la que se muestra:
a
d2y
dy
+b
+cy = 0
2
dx
dx
69
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
a(m 2 e mx ) + b(me mx ) + ce mx = 0
Sacando como factor común e mx
£
¤
e mx am 2 + bm + c = 0
Despejando e mx
£
¤
am 2 + bm + c = 0
(4.12)
Esta expresión se conoce como Polinomio Característico o Ecuación Auxiliar, de la cual vamos a extraer sus raíces y a partir de ellas obtendremos las soluciones fundamentales.
Extraer las raíces de un polinomio consiste en factorizar y despejar las raíces, para ello debemos analizar
el grado y el tipo de polinomio para aplicar el tipo de factorización más adecuado. De la obtención de
dichas raíces se presentan 3 casos que se detalla a continuación:
1. I Caso. Raíces Reales Distintas M 1 6= M 2 Si M 1 y M 2 son las raíces de un polinomio de orden 2 y
éstas son reales y diferentes, el conjunto fundamental de soluciones viene dado por:
y 1 =M 1 x
y 2 =M 2 x
(4.13)
De donde y 1 y y 2 deben ser linealmente independientes, para lo cual se comprueba su determinante, en este caso de orden 2
Ã
W y 1 ,y 2
e M1 x
M 1 e M1 x
e M2 x
M 2 e M2 x
!
6= 0
Entonces, la solución general es
y(x) = C 1 e M1 x +C 2 e M2 x
(4.14)
2. II Caso. Raíces reales iguales M 1 = M 2
Si M 1 y M 2 son las raíces de un polinomio de orden 2, y éstas son reales pero repetidas, el conjunto
fundamental de soluciones viene dado por:
y 1 = e M1 x
y 2 = xe M1 x
(4.15)
70
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Factor de Multiplicidad
Al tener dos soluciones repetidas debemos garantizar que éstas sean linealmente independientes para ello, multiplicamos la segunda solución por x h el cual nos permitirá que ambas
soluciones sean linealmente independientes, lo cual se comprueba con el wronskiano. Donde h es el número de veces que se repite la solución. Este de acuerdo a lo ya establecido debe
ser diferente de 0, por lo tanto la solución general lo conforma la siguiente combinación lineal
y(x) = C 1 e M1 x + X e M1 x
(4.16)
3. III. Caso. Raíces Reales Complejas Conjugadas. Si las raíces son complejas conjugadas, es decir,
r1 = α + i β
yr 2 = α − i β
el conjunto fundamental de soluciones viene dado por
y 1 = e αx cos βx
y 2 = e sen
(4.17)
Entonces la solución general será
y(x) = C 1 e cos +C 2 e sen
(4.18)
Esta fórmula se deduce resolviendo las soluciones, aplicando la fórmula de Euler.
Ejemplo 4.1
1. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial
d2y
dy
+2
−y =0
2
dx
dx
Solución.
La E.D se trata de una ecuación homogénea, ya que g (x) 6= 0 y además sus coeficientes son números reales, por lo que la clasificamos dentro de las E.D lineales homogéneas de coeficientes
constantes. Para resolverla debemos encontrar el polinomio característico asumiendo
y = e mx
y derivando dos veces, por ser una E.D de segundo orden obtenemos
71
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
dy
= me mx
dx
d2y
= m 2 e mx
d x2
Sustituyendo en la E.D dada se tiene:
m 2 e mx + 2me mx − e mx = 0
Sacando Factor común
£
¤
e mx m 2 + 2m − 1 = 0
Despe j and o
£ 2
¤
m + 2m − 1
Este es el polinomio característico o ecuación auxiliar que procederemos a factorizar para obtener
las raíces, utilizando la ecuación cuadrática
p
−b ± b 2 − 4ac
M=
2a
(4.19)
Donde a es el coeficiente que acompaña al término cuadrático x 2 , b el coeficiente que acompaña
al término lineal x, y c el coeficiente que corresponde al término independiente
En este caso, a = 1; b = 2 y c = −1 sustituyendo en la ecuación cuadrática
p
−2 ± 22 − 4 ∗ 1 ∗ −1
M=
2∗1
De donde se extraen las raíces
p
M 1 = −1 + 2
y
p
M 2 = −1 − 2
Las raíces, son reales diferentes, por tanto estamos en presencia del I Caso.
Por tanto, el conjunto fundamental de soluciones es:
72
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
p
2
y 1 = e −1+
p
2
y 2 = e −1−
y
Para comprobar que estas son linealmente independientes determinamos su wronskiano, ubicando en la primera fila las soluciones y en la segunda la primera derivada de las mismas
p
p
!
Ã
p −1−p2 h
p −1−p2 i
e −1− 2
e −1+ 2
p
p
p
p
= (−1 − 2)e
W y 1 ,y 2
− (−1 + 2)e
−1 + 2e −1+ 2 −1 − 2e −1− 2
p
p
p
p
W y 1 ,y 2 = (−1 − 2)e −1− 2 + (1 − 2)e −1− 2 6= 0
N
Recuerde la regla para resolver determinantes dos por dos; multiplicar los elementos pertenecientes a la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal
inversa
Por ser y 1 y y 2 linealmente independientes, la solución general es una combinación lineal de ellas
p
2
y(x) = C 1 e −1+
p
2
+C 2 e −1−
d2y
dy
+ 4y = 0
+4
2
dx
dx
2. Encuentre la solución general de la E.D
d2y
dy
+
4
+ 4y = 0
d x2
dx
Efectuando las sustituciones de las derivadas de la solución asumida y = e mx (ver ecuación
4.11), el polinomio característico resultantes es:
m 2 + 4m + 4 = 0
Factorizando por trinomio Cuadrado perfecto
(m + 2)(m + 2) = 0
73
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Igualando cada factor a 0 y despejando
(m + 2) = 0
→ M 1 = −2
(m + 2) = 0
→ M 1 = −2
En este caso, las raíces son reales repetidas, por lo que para el conjunto fundamental de soluciones debemos considerar el factor de multiplicidad x h en este caso, h = 1
y 1 = e −2x
y 2 = xe −2x
Nótese, que la segunda solución fue multiplicada por el factor de multiplicidad, lo cual garantiza la independencia lineal de las soluciones, lo cual comprobaremos a través del wronskiano.
Ã
!
£
¤ £
¤
e −2x
xe −2x
£ −2x
¤ = e −2x (e −2x − 2xe −2x ) − xe −2x ∗ −2e −2x
W y 1 ,y 2
−2x
−2x
−2e
e
− 2xe
W y 1 ,y 2 = e −4x − 2xe −4x + 2xe −4x
= e −4x
=
6= 0
De esta manera se comprueba que las soluciones son linealmente independientes, por lo que la
solución general es la combinación lineal de ellas
y(x) = C 1 e −2x +C 2 xe −2x
dy
d2y
+2
+ 5y = 0
2
dx
dx
3. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial
74
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
d2y
dy
+2
+ 5y = 0
2
dx
dx
El polinomio característico asociado a esta ecuación diferencial es:
m 2 + 2m + 5 = 0
El cual factorizaremos empleando la ecuación cuadrática. Donde a = 1, b = 2 y c = 5
M
=
p
−2 ± 22 − 4 ∗ 1 ∗ 5
2∗1
=
p
−2 ± −16
2
(4.20)
Al tener una raíz negativa, esto nos generará una raíz conjugada compleja. Por tanto debemos
identificar α que corresponde a la parte real; en este caso α = −2
2 = −1, y β representa la parte
imaginaria, es decir: β = i
p
16
2
= 2i . Aplicando la fórmula 4.19
y = e −x [C 1 cos 2x +C 2 sen 2x]
Siendo y 1 = e −x cos 2x y y 2 = e −x sen 2x
4.3
Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas de Orden Superior de
Coeficientes Constantes
Las deducciones realizadas para una Ecuación Diferencial de orden 2, se pueden extender a E.D de
orden n. Así para la siguiente ecuación
A n y n + A n−1 y n−1 + · · · + A 2 y 0 + A 0 y = 0
(4.21)
También partimos del hecho de que la solución de la misma tiene la forma general presentada en la
ecuación 4.11, y por ende al sustituir sus derivadas sucesivas, hasta el orden n podemos deducir la solución de una Ecuación Diferencial Lineal Homogénea de Coeficientes Constantes, tal como sigue:
¡
¢
¡
¢
¡
¢
¡
¢
A n m n e mx + A n−1 m n−1 e mx + · · · + A 2 m 2 e mx + A 1 me mx + A 0 e mx = 0
75
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Sacando factor común e mx
£
¤
e mx A n m n + A n−1 m n−1 + · · · + A 2 m 2 + A 1 m + A 0 = 0
Despejando e mx
A n m n + A n−1 m n−1 + · · · + A 2 m 2 + A 1 m + A 0 = 0
(4.22)
La ecuación 4.22 es conocida como el polinomio característico o ecuación auxiliar de una ecuación
diferencial de orden n.
En este caso, resolver este polinomio, implica encontrar n raíces para lo cual se factoriza, atendiendo
al tipo de polinomio, siendo más frecuente la factorización por Ruffini. Al igual que en las E.D de 2do
orden, tendremos 3 casos correspondientes a cómo sean las raíces; reales diferentes, reales repetidas o
complejas.
I. Caso. Raíces Reales Distintas M 1 6= M 2 6= M n
Si M 1 , M 2 , · · · M n son raíces de un polinomio de orden n y éstas son reales y diferentes, el conjunto
fundamental de soluciones viene dado por:
y 1 = e M1 x
y 2 = e M2 x
y n = e Mn x
(4.23)
Donde y 1 , y 2 , · · · y n deben ser linealmente independientes, para lo cual se comprueba su wronskiano de acuerdo a lo establecido en el primer apartado de este capítulo. Y si éste es diferente de 0
significa que las soluciones individuales y 1 , y 2 , · · · y n son linealmente independientes, y por tanto
la solución general es una combinación lineal de ellas, tal como se muestra:
y(x) = C 1 e M1 x +C 2 e M2 x + · · · +C n e Mn x
(4.24)
II Caso. Raíces reales Iguales. M 1 = M 2 = M n
Si M 1 , M 2 , · · · , M n son raíces de un polinomio de orden n y éstas son reales pero repetidas, el conjunto fundamental de soluciones viene dado por:
y 1 = e M1 x
y 2 = xe M1 x + · · · + x h e M1 x
(4.25)
Donde x h , es un factor multiplicidad, donde h es el número de veces que se repite una solución
individual
y(x) = C 1 e M1 x +C 2 xe M1 x + · · · +C n x h e Mn x
(4.26)
76
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
III. Caso. Raíces Complejas Conjugadas.
Si la ecuación característica tiene raíces complejas éstas deben formar pares conjugados, es decir,
(α+i β)(α−i β), su solución es similar a la de orden 2, siempre y cuando ninguna de las raíces esté
repetida y tiene la siguiente forma:








N
M 1 = α1 ± i β1
M 2 = α2 ± i β2
..
.
£
¤
y = e α1 x cos β1 x + sen β1
£
¤
y = e α2 x cos β2 x + sen β2
..
.
M n = αn ± i βn
£
¤
y = e αn x cos βn x + sen βn








Si hay multiplicidad en las raíces su solución viene dada por la combinación del método
para raíces complejas multiplicando por el factor de multiplicidad x h
Ejemplo 4.2
y 000 + 3y 00 − 4y = 0
Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial
y 000 + 3y 00 − 4y = 0
Para obtener el polinomio característico se asume la solución y = e mx , el cual derivamos sucesivamente hasta el 3er orden por ser la ecuación de este orden.
y 0 = e mx ;
y 00 = m 2 e mx ;
y 000 = m 3 e mx
Sustituyendo en la ecuación diferencial dada
m 3 e mx + 3m 2 emx − 4e mx = 0
Extrayendo factor común
£
¤
e mx m 3 + 3m 2 − 4 = 0
Despejando
77
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
m 3 + 3m 2 − 4
Ecuación Auxiliar
Procederemos a continuación a factorizar el polinomio característico de la E.D mediante ruffini. Para aplicar esta factorización el polinomio debe estar completo, así:
m 3 + 3m 2 + 0m − 4 = 0
Se toman los coeficientes y se construye la siguiente tabla que se muestra en ??
Figura 4.1: Ruffini
Ejemplo 4.3
Luego de factorizar, obtenemos las raíces de este polinomio que son M 1 = −2;
M2 =
−2
M 3 = 1. De allí que se trata de dos raíces reales repetidas y una diferente, por lo que el
conjunto fundamental de soluciones es:
y 1 = e −2x ;
y 2 = xe −2x
y3 = e x
Dichas soluciones son linealmente independiente puesto que su wronskiano es diferente de 0, tal
como se observa a continuación:

e −2x
xe −2x
ex


W y 1 ,y 2 ,y 3  −2e −2x
e −2x − 2xe −2x
ex 
4e −2x −4e −2x + 4xe −2x e x
78
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Para resolver este determinante debemos aplicar la regla de Sarrus como se muestra en las siguientes figuras:
Ejemplo 4.4
Tal como se muestra en las figuras, para encontrar este determinante multiplicamos los elementos
involucrados siguiendo las líneas de colores en la primera figura, para los términos positivos, los de
la diagonal principal y sus paralelas, posteriormente hacemos la sumatoria de los resultados, luego
efectuamos la multiplicación de los elementos involucrados siguiendo las lineas de colores pero
de la segunda figura, es decir los correpondientes a los términos negativos, diagonal secuandaria
y sus paralelas. Posteriormente hacemos la sumatoria de sus términos. El valor del determinante
será la diferencia de ambas sumatorias.
−3x
−3x
9e
+
|
{z2xe } −(
T ér mi nosPosi t i vos
−3x
−6xe
| {z }
T ér mi nosNeg at i vos
9e −3x + 2xe −3x + 6xe −3x
Agrupando términos
)
79
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
9e −3x + 8xe −3x 6= 0
Al ser el determinante diferente de 0, podemos concluir que las soluciones son linealmente independientes por lo que podemos expresar la solución general como una combinación lineal de
ellas
y = C 1 e −2x +C 2 xe −2x +C 3 e x
Ejercicios Ejemplos para desarrollar
Encuentra la solución general de cada E.D dada
y 00 − 4y = 0
y 00 − 3y 0 − 10y = 0
y 00 − 6y 0 + 9y = 0
y 000 − y = 0
y I V + y 000 + y 00 = 0
y I V − 2y 00 + y = 0
y I V − 3y000 + 3y 00 − y 0 = 0
4.4
Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas de Coeficientes Constantes
Al inicio de este guía, se caracterizó la ecuación diferencial no homogénea la cual tiene la siguiente
forma:
A n (x)y n + A n−1 (x)y n−1 + · · · + A 2 y 00 + A 1 (x)y 0 + A 0 (x)y = g (x)
(4.27)
Escrita en su forma canónica
d2y
dy
+
P
(x)
+Q(x)y = g (x)
d x2
dx
Donde g (x) 6= 0 y es una función contínua en un intervalo abierto (a, b)
(4.28)
80
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Combinando el principio de superposición antes descrito anteriormente y la representación de las soluciones de la ecuación homogénea, se obtiene la solución general de una ecuación diferencial lineal
con coeficientes constantes no homogénea, de acuerdo al siguiente teorema.
Teorema 4.3
Sean y p (x) una solución particular de la ecuación homogénea
y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = g (x)
y sean y 1 , y 2 dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea asociada
y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0
Entonces, la solución general de la ecuación diferencial viene dada por:
y(x) = y c + y p
(4.29)
Donde y c es la solución de la homogénea asociada y y p es la solución particular de la homogénea,
por lo que podemos la solución general de la ecuación diferencial no homogénea de segundo
orden, tendrá la siguiente forma:
y(x) = C 1 y 1 +C 2 y 2 + y p
(4.30)
Recordando que este teorema se puede extender a una ecuación diferencial de orden n
El procedimiento entonces para encontrar la solución general de una ecuación diferencial no homogénea de cualquier orden, consiste en determinar la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada, a través de la deducción y posterior factorización del polinomio característico, y luego encontrar
la solución particular. Para encontrar dicha solución particular analizaremos dos métodos a saber: EL
Método de Coeficientes Indeterminados y el de Variación de Parámetros que se describen a continuación. Finalmente, se escribe la solución general efectuando la combinación lineal de ambas soluciones.
4.4.1. Método de los Coeficientes Indeterminados
Este método lleva el nombre de Coeficiente Indeterminados debido a que inicialmente la solución particular que se determina tiene coeficientes desconocidos, luego parte del método consiste en determinar
dichos valores. El enfoque consiste en proponer una solución y p , que contenga uno o más coeficientes
indeterminados, esta solución debe ser semejante al término no homogéneo g (x) de la E.D no homogénea.
Asimismo, la solución de una y p asumida debe ser linealmente independiente con respecto a la solución
de la homogénea asociada y c . Por tanto, se debe verificar que la solución particular propuesta no sea
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
81
múltiplo de la complementaria, de así serlo la solución particular propuesta debe ser multiplicada por
el factor de multiplicidad x h
La limitación de este método es que sólo funciona de forma correcta para ciertos tipos de funciones en
g (x), tales como funciones exponenciales, polinómicas y la función seno o coseno; el producto de ellas
o la sumatoria algebraica de ellas, para este último caso se debe determinar una y p para cada término,
a su vez sólo se aplica para E.D de coeficientes constantes.
Procedimiento de Solución
1. Verificar que la función contenida en g (x) se encuentre entre las permitidas por el método, citadas
en el párrafo anterior
2. Se determina la solución de la homogénea asociada y c
3. Se asume una solución particular y p de acuerdo a g (x). Ayudarse con la tabla siguiente
4. Verificar que la solución asumida es linealmente independiente con respecto a la complementaria
(solución de la homogénea), de lo contrario multiplicar por el factor de multipicidad.
5. Derivar tantas veces como se el orden de la ecuación diferencial a resolver, y sustituir en la misma
para determinar los coeficientes desconocidos de y p
6. Escribir la solución general de la E.D efectuando la sumatoria de la solución complementaria y la
particular.
En la siguiente table, se presentan algunas posibilidades de soluciones particulares dada una g (x) específica
82
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
g (x)
P m = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n
e ax
(a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n )e ax
a sen kx
a cos kx
a cos kx + b sen kx
e ax sen kx
e ax cos kx
£
¤
e ax p(x) cos kx + q(x) sen kx
Si el término no homogéneo
es una suma de las funciones anteriores, por el principio
de superposición, la propuesta de solución particular es una
suma de las correspondientes
propuestas
yp
(A 0 + A 1 x + A 2 x 2 + · · · + A n x n
Ae ax x h
e ax (A 0 + A 1 x + A 2 x 2 + · · · + A n x n )x h
[Akx + B sen kx] x h
[Akx + B sen kx] x h
[Akx + B sen kx] x h
Ae ax [cos kx + sen kx] x h
Ae ax [cos kx + sen kx] x h
e ax [P (x) cos ax +Q(x) sen kx] x h
y p = y p1 + y p2 + · · · + y pn
Tabla 4.1: Tabla de Soluciones Particulares
Donde a y k son constantes reales.
Ejemplo 4.5 Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales
a.
y 000 − y 00 = x + 1
La E.D se trata de una ecuación diferencial de tercer orden, lineal no homogénea de coeficientes
constantes. De acuerdo al procedimiento, en primera instancia debemos verificar que la función
g (x) esté entre las funciones permitidas por el método, particularmente g (x) = x+1 es una función
polinómica, por lo que se procede con el método de los coeficientes indeterminados.
Ecuación Homogénea Asociada. Solución Complementaria yc
y 000 − y 00 = 0
Extraemos el Polinomio Característico
m3 − m2 = 0
Factorizando
m 2 (m − 1) = 0
83
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Igualando a 0 y extrayendo las raíces
M 1 = 0;
M2 = 0
M3 = 1
Se trata entonces, de dos raíces repetidas y una diferente, por lo que el conjunto de soluciones
fundamentales es:
y1 = e 0
y 2 = xe 0
y3 = e x
y c = C 1 +C 2 x +C 3 e x
Solución Particular
Ahora asumimos una solución particular, en este caso como g (x) es un polinomio, y de acuerdo
a la tabla anterior, y p debe ser un polinomio de igual grado completo como sigue:
y p = Ax + B
Verificamos que ésta solución es linealmente independiente con respecto a la solución complementaria, para ello debemos observar que no exista repitencia cuanto a los términos de las dos
soluciones; la complementaria y la asumida; En este caso existe doble repitencia, es decir, en
ambas soluciones se tienen términos que contienen solo constantes, y también términos que
contienen una constante por la variable independiente. Por lo que podemos decir que hay multiplicidad, y el factor es x h = x 2 . Multiplicando la solución asumida por este factor obtenemos
y p = x 2 (Ax + B )
Desarrollando
y p = Ax 3 + B x 2
Donde A y B son los coeficientes indeterminados que procederemos a encontrar efectuando las
derivadas sucesivas hasta tercer orden, y sustituyendo en la ecuación diferencial
y p0 = 3Ax 2 + 2B x
Primera Derivada
y p00 = 6Ax + 2B
Segunda Derivada
y p000 = 6A
84
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Sustituyendo en la E.D
6A − (6Ax + 2B ) = x + 1
Desarrollando
6A − 6Ax − 2B = x + 1
x(−6A) + (6A − 2B ) = x + 1
Al tener una igualdad de funciones del mismo tipo, podemos igualar los coeficientes del miembro izquierdo con los coeficientes del miembro derecho, siempre que se trate del mismo término en cuanto a tipo de función.
Así el coeficientes de la función x que es 6A lo podemos igualar al coeficientes de la función x
que se encuentra del lado derecho de la igualdad que es 1.
−6A = 1
6A − 2B = 1
Nos resulta un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones de dos incógnitas, que podemos resolver empleando el método de sustitución, igualación o reducción. De allí obtenemos el
valor de las constantes
1
A=− ;
6
B = −1
Sustituimos éstos valores en la y p asumida, y obtenemos
1
yp = − x3 − x2
6
y para escribir la solución general, efectuamos la combinación lineal de la complementaria y la
particular
1
y = C 1 +C 2 x +C 3 e x − x 3 − x 2
|
{z
} 6
| {z }
yc
yp
b. y 00 + y = 2x sen x
85
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Ecuación Homogénea Asociada. Solución Complementario y c
y 00 + y = 0
m2 + 1 = 0
Polinomio Característico
Evidentemente esto nos generará una raíz compleja ya que al despejar m, nos quedará una raíz
cuadrada de menos uno, lo cual resulta en un número complejo. Esto se factoriza como sigue:
m 2 + 1 = (m + i )(m − i )
Despejando m
m1 = 0 − i
m2 = 0 + i
De donde extraemos que α = 0 (parte real entera) y β = 1 (parte real que compaña al número i)
Aplicando las definiciones de raíces complejas ver d11 la solución complementaria resulta
y c = e 0x [C 1 cos x +C 2 sen x]
y c = [C 1 cos x +C 2 sen x]
Solución Particular
La solución particular será similar a g (x) y como g (x) = 2x sen x y de acuerdo a la tabla, y p debe
ser:
y p = (Ax + B ) cos x + (C x + D) sen x
Analizamos su multiplicidad con respecto a la complementaria, y observamos que hay repitencia, por lo que multiplicamos por el factor de multiplicidad, en este caso x, ahora obtenemos
una nueva y p
y p = x(Ax + B ) cos x + x(C x + D) sen x
y p = (Ax 2 + B x) cos x + (C x x + D x) sen x
y0p = (2Ax + B +C x 2 + D x) cos x + (−Ax 2 − B x + 2C x + D x) sen x
Primera derivada
86
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
y 00 = (−Ax 2 − B x + 4C x + 2D + 2A) cos x + (−4Ax − 2B −C x 2 + 2C − D x) sen x
Sustituyendo en la E.D
(−Ax 2 − B x + 4C x + 2D + 2A) cos x + (−4Ax − 2B −C x 2 + 2C − D x) sen x + (Ax 2 + B x) cos x + (C x x + D x) sen x = 2
|
{z
} |
{z
yp
y 00
Efectuando las operaciones algebraicas correspondientes y agrupando por términos semejantes
(2A + 4C x + 2D) cos x + (−4Ax − 2B + 2C ) sen x = 2x sen x
Considerando además las variables, podemos agrupar de la siguiente forma
[4C ] xx + [2A + 2D] cos x + [−4A] x sen x + [−2B + 2C ] sen x = 2x sen x
De esta manera igualamos los coeficientes que están entre corchetes, de las funciones similares
a ambos lados de la igualdad. Así
4C = 0
2A + 2D = 0
−4A = 2
−2B + 2C = 0
De donde podemos extraer los valores de las constantes
1
A=− ;
2
B =0
C =0
D=
1
2
Sustituyendo en la solución particular asumida
·
¸
· ¸
1 2
1
y p = − x cos x + x sen x
2
2
Por tanto, la solución general es
¸
· ¸
·
1 2
1
y = C 1 cos 1 +C 2 sen x + − x cos x + x sen x
2
2
87
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
c.
y 000 + y 00 = 3e x + 4x 2
Ecuación Homogénea Asociada. Solución Complementaria y c
y 000 + y00 = 0
m3 + m2 = 0
Polinomio Característico
Factorizamos por factor común
m 2 (m + 1) = 0
Igualando y despejando las raíces
M 1 = 0;
y 1 = e 0x ;
M 2 = 0;
M 3 = −1
y 2 = xe 0x ;
y 3 = e −x
y c = C 1 + xC 2 +C 3 e −x
Solución Particular
En vista de que g (x) es una suma de funciones diferentes, se asume una solución particular para
cada uno de los términos
y p = Ae x + (B x 2 +C x + D)
Comprobamos su independencia, donde observamos que el término C x se repite al igual que
la constante D, considerando que tanto las letras como las constantes arbitrarias son precisamente constantes, por tanto;
y p = Ae x + x 2 (B x 2 +C x + D)
Obsérvese que el factor de multiplicidad sólo se multiplica a la función repetida, más no a toda
la ecuación.
y p = Ae x + B x 4 +C x 3 + D x 2
Derivamos hasta la tercera derivada
88
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
y p0 = Ae x + 4B x 3 + 3C x 2 + 2D x
y p00 = Ae x + 12B x 2 + 6C x + 2D
y p000 = Ae x + 24B x + 6C
Sustituyendo en la E.D
Ae x + 24B x + 6C + Ae x + 12B x 2 + 6C x + 2D = 3e x + 4x 2
Agrupando Términos Semejantes
2Ae x + 12B x 2 + 24B x + 6C x + 6C + 2D = 3e x + 4x 2
Agrupando de acuerdo a las variables
[2A] e x + [12B ] x 2 + [24B + 6C ] x + [6C + 2D] = 3e x + 4x 2
Igualando los coeficientes
2A = 3
12B = 4
24B + 6C = 0
6C + 2D = 0
De donde se extraen las constantes
3
A= ;
2
1
B= ;
3
De esta manera la solución particular queda:
C =−
4
3
D =4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
89
3
1
4
y p = e x + x 4 − x 3 + 4x 2
2
3
3
La solución general es:
3
1
4
y = C 1 + xC 2 +C 3 e −x + e x + x 4 − x 3 + 4x 2
2
3
3
Ejercicios Ejemplos para desarrollar
Encuentra la solución general de cada E.D dada
y 00 + 4y 0 + 3y = 7x + 2
y 00 + 6y 0 + 13y = e −3x cos 2x
y 000 + 2y 00 − y 0 − 2y = e x + x 2
y 00 + 2y 0 + y = x 2 e −x
y 00 + 25y = 6 sen x
y 00 − 2y 0 + 5y = e x sen x
4.4.2. Método de Variación de Parámetros
Este método fue diseñado por el Matemático Joseph Lagrange, para evitar el tipo de restricción que
presenta el Método de Coeficientes Indeterminados. Además es posible utilizarlo tanto en ecuaciones
diferenciales de coeficientes constantes como variables.
Para su deducción consideraremos una E.D de segundo orden expresada en su forma canónica
y 00 + P (x)y 0 + q(x)y = g (x)
(4.31)
La cual tiene por solución general la expresión deducida en la ecuación 4.29. Por lo que la fase inicial, al
igual que el Método de Coeficientes Indeterminados consiste en determinar la solución de la Ecuación
Homogénea Asociada, que tiene la forma deducida en la ecuación 4.4. Por otra parte, para encontrar
la solución particular y p de la ecuación no homogénea, reemplazamos de la solución complementaria
(Ver ecuación ??4) las constantes arbitrarias C 1 y C 2 por funciones contínuas V1 (x) y V2 (X ) las cuales se
proceden a encontrar, de esta manera la solución particular quedará expresada de la siguiente forma:
y p = V1 (x)y 1 (x) + V2 (x)y 2 (x)
(4.32)
90
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Como se han introducido dos funciones incógnitas V1 (x) y V2 (x), necesitamos dos ecuaciones que las
contengan para determinarlas. La primera de ellas la obtenemos al sustituir la solución particular 4.32
y sus derivadas en la ecuación diferencial
£
¤ £
¤
y p0 = v 10 y 1 + V1 y 10 + V20 y 2 + V2 y 20 (4.33)
Agrupando términos semejantes
¤
£
¤ £
y p0 = V10 y 1 + V20 y 2 + V1 y 10 + V2 y 20
(4.34)
Para simplificar los cálculos y evitar derivadas prolongadas, se impone la siguiente condición
V10 y 1 + V20 = 0
(4.35)
Esta condición representa la primera ecuación para determinar las incógnitas V1 (x) y V2 (x), por ser dos,
debemos encontrar una segunda, para ello sustituimos la ecuación 4.35 en la ecuación 4.4.2 y ésta se
transforma en
£
¤
y p0 = V1 y 10 + V2 y 20
(4.36)
Que al derivarla por segunda vez resulta
£
¤ £
y 00 = V10 y 10 + V1 y 100 + V20 y 20 + V2 y 00 (4.37)
Sustituyendo éstas derivadas, la primera ecuación 4.36 y la segunda 4.4.2 en la E.D 4.31
£ 0 0
¤ £
©£
¤ £
¤
£
¤
V1 y 1 + V1 y 100 + V20 y 20 + V2 y 00 + P (x) V10 y 1 + V20 y 2 + V1 y 10 + V2 y 20 +Q(x) V1 y 1 + V2 y 2 (4.38)
Sacando factor común V1 y V2 sin derivar
£
¤
£
¤
V1 y 100 + P (x)y 10 +Q(x)y 1 + V2 y 00 + P (x)y 20 +Q(x)y 2 + V1 y 10 y 10 + V20 y 20 = g (x)
(4.39)
De donde podemos observar que
£
¤
y 100 + P (x)y 10 +Q(x)y 1 = 0
£
¤
y 200 + P (x)y 20 +Q(x)y 2 = 0
Ya que y 1 y y 2 son soluciones de la ecuación diferencial homogénea. Por lo que la expresión 4.39 se verá
reducida a
91
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
V10 y 10 + V20 y 20 = g (x)
(4.40)
Esta ecuación nos proporciona la segunda ecuación necesaria para determinar los valores de las funciones desconocidas V1 y V2 . Y por tanto, se genera un sistema de dos ecuaciones lineales de dos incógnitas.
Ver ecuaciones 4.35 y 4.40

V 0 y + V 0 = 0
1 1
2
V 0 y 0 + V 0 y 0 = g (x)
1 1
(4.41)
2 2
Escrito en forma matricial
Ã
y1
y 10
y2
y 20
!
à !
Ã
!
V10
0
=
g (x)
V20
| {z }
matrizdel
Sistema
El cual resolvemos resolvemos por el Método de Cramer. Para ello encontramos inicialmente el determinante del sistema
¯
¯
¯ y (x ) y (X ¯
¯ 1 0
2
0) ¯
¯ 0
¯6= 0
¯ y 1 (x 0 ) y 20 (x 0 ) ¯
N
Obsérvese que este determinante es igual al denominado Wronskiano
Luego encontramos los determinantes asociados a las incógnitas, para ello sustituimos la columna correspondiente a la incógnita por los términos independientes y se calcula su determinante y se divide
entre el determinante del sistema
¯
¯
¯ 0
y 2 ¯¯
¯
¯
¯
¯g (x) y 20 ¯
0
¯
V1 = ¯
¯y y ¯
¯ 1
2¯
¯ 0
¯
¯ y 1 y 20 ¯
¯
¯
¯y
¯
0
¯ 1
¯
¯ 0
¯
¯ y 1 g (x)¯
¯
V20 = ¯
¯y y ¯
¯ 1
2¯
¯ 0
¯
¯ y 1 y 20 ¯
(4.42)
(4.43)
92
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
De esta manera se obtiene V10 y V20 para despejarlos y finalmente obtener las funciones desconocidas
debemos integrar con respecto a x. Esto se puede reducir en las siguientes fórmulas
Z
g (x)y 2 (x)
V1 = −
dx
(4.44)
W y1 , y 2
Z
g (x)y 1 (x)
V2 =
dx
(4.45)
W y1 , y 2
Procedimiento de Solución
En resumen, los pasos para resolver una E.D no homogénea por el método de Variación de Parámetros
son:
1. Determinar la solución de la E.D homogénea asociada Yc
2. Determinar la solución particular y p , sustituyendo en y c las constantes arbitrarias por V1 y V2
3. Encontrar las funciones V1 y V2 aplicando la regla de Crammer o las fórmulas deducidas en 4.44 y
4.45
4. Escribir la solución general.
Ejemplo 4.6 Encontrar una solución particular de la siguiente ecuación
y 00 + y = t g (x)
Como es bien sabido, la solución de una E.D diferencial no homogénea incluye, la solución de la
homogénea asociada y c y la solución particular de la no homogénea y p . La solución y c se obtiene
a partir del polinomio característico, ya que se trata de una ecuación diferencial homogénea de
coeficientes constantes, y resulta
y c = C 1 cos x +C 2 sen x
Para encontrar y p , emplearemos el Método de Variación de Parámetros, para lo cual sustituiremos
las constantes arbitrarias de la solución complementaria por nuevas funciones denominadas V1 y
V2 así
y p = V1 cos x + V2 sen x
Con V1 y V2 funciones a determinar que verifiquen el siguiente sistema (Observar la deducción de
ecuaciones en ??

V 0 cos x + V 0 sen x = 0
1
2
−V 0 sen x + V 0 cos x = T g (x)
1
2
(4.46)
93
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Resolviendo el sistema por método de Cramer
Matriz del Sistema Ws
¯
¯
¯ cos x sen x ¯ £
¤
¯
¯
Ws = ¯
¯ = cos2 (x) + sen2 (x) = 1
¯− sen x cos x ¯
Determinante para la incógnita V10
V10
¯
¯
¯ 0 sen x ¯ £
¤
¯
¯
=¯
¯ = − sen x tg x
¯tg x cos x ¯
Determinante para la incógnita V20
¯
¯
¯ cos x
¯ £
¤
0
¯
¯
V20 = ¯
¯ = cos x tg x = sen x
¯− sen x tg x ¯
Para encontrar los valores de las incógnitas, integramos el cociente de cada uno de los determinantes por el determinante del sistema
Z
Z
0
V1 d x = − sen x tg xd x
Para resolver esta integral debemos hacer uso de las identidades trigonométricas fundamentales,
así como las operaciones algebraicas correspondientes
Z
V10 d x
sen x
dx
− sen x
cos x
Z
sen2 x
dx
Sustituyendo la identidad trigonométrica
−
cos x
Z
1 − cos2 x
dx
cos x
Z
Z
dx
cos2 x
−
Z cos x
Zcos x
sec xd x − cos xd x
Integrando a ambos lados
Z
=
=
=
=
=
£
¤
V1 = ln sec x + tg x − sen x
Para la incógnita V2
Z
V20 d x =
Z
sen xd x
V2 = − cos x
Sustituyendo en el planteamiento de la solución particular
£ £
¤
¤
y p = ln sec x + tg x − sen x cos x − cos x sen x
94
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
4.4.3. Método de Variación de Parámetros para E.D de orden n
Este método es posible generalizarlo para ecuaciones diferenciales no homogéneas de orden n. Para
ello primero se debe escribir la E.D en su forma reducida (canónica).
y n + P n−1 (x)y n−1 + · · · + P 1 (x)y 0 + P 0 (x)y = g (x)
(4.47)
La cual tiene asociada una ecuación homogénea
y n + P n−1 (x)y n−1 + · · · + P 1 (x)y 0 + P 0 (x)y = 0
(4.48)
De la cual sabemos que su solución viene dada por una combinación lineal de un conjunto fundamental
de soluciones linealmente independientes
y c = C 1 y 1 +C 2 y 2 +C 3 y 3 + · · · +C n y n
(4.49)
Donde C 1 ,C 2 ,C 3 , . . . +C n son constantes arbitrarias.
Al igual que el procedimiento para E.D de 2do orden, sustituimos dichas constantes arbitrarias por funciones V1 ,V2 ,V3 , . . . ,Vn para encontrar la forma general de la solución particular
y p = V1 y 1 + V2 y 2 + V3 y 3 + · · · + Vn y n
(4.50)
Siendo V1 ,V2 ,V3 , · · · ,Vn funciones a determinar.
Para ello se requieren n ecuaciones. En primer lugar derivamos y p
¡
¢ ¡
y p0 = V1 y 10 + · · · + Vn y n0 + V10 y 1 + · · · + Vn0 y n (4.51)
Para evitar derivadas segundas, y de orden superior a posterior imponemos las siguiente condición
¡ 0
¢
V1 y 1 + · · · + Vn0 y n = 0
(4.52)
La cual constituye la primera de las ecuaciones, sustituyendo esta ecuación en 4.51 por tanto obtenemos
¡
¢
y p0 = V1 y 10 + · · · + Vn y n0
(4.53)
La cual se debe derivar hasta n − 1, y para evitar derivadas superiores también se imponen n − 2 condiciones más;
V10 y 10 + Vn0 y n0 = 0
(4.54)
V10 y 1n−2 + Vn0 y nn−2 = 0
(4.55)
Y la condición n-ésima es que Y p satisfaga la ecuación 4.47, sustituyendo todas las derivadas y utilizando
las condiciones impuestas, la expresión se reduce a:
95
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
V10 y 1n−1 + · · · + Vn0 y nn−1 = g (x)
(4.56)
En resumen, buscamos las soluciones del sistema dado por todas éstas condiciones:


cV10 y 1 + · · · + Vn y n = 0





V10 y 10 + · · · + Vn0 y n0 = 0


..
.





V10 y 1n−2 + · · · + Vn0 y nn−2 = 0



 0 n−1
V1 y 1 + · · · + Vn0 y nn−1 = g (x)
(4.57)
Este es el sistema que nos permitirá obtener los valores de las incógnitas de V1 , · · · + Vn , aplicando el
método de Cramer, el cual consiste en encontrar el determinante del sistema, el de cada una de las
incógnitas, efectuar el cociente entre los determinantes de las incógnitas y el determinante del sistema
e integrar. Al ser de orden n, la obtención de los determinantes va a variar de acuerdo a ello, así para el
caso más sencillo 3x3 tomaremos la regla de Sarrus, mientras que si es de orden 4en adelante se debe
emplear el método de los Cofactores, entre otros.
Ejemplo 4.7
Resuelva y 000 + 2y 00 − y 0 − 2y = e x
La ecuación ya está en su forma reducida o canónica, entonces procedemos a determinar la solución complementaria, la cual viene dada por:
y c = C 1 e 2x +C 2 e −x +C 3 e x
Sustituyendo las constantes arbitrarias por funciones incógnitas obtenemos la forma general de la
solución particular, sustituyendo de la solución de la homogénea, las constantes por las funciones
incógnitas denotadas por V1 ,V2 ,V3
y p = V1 e 2x + V2 e −x + V3 e x
Siendo, V1 ,V2 ,V3 , las funciones a determinar. Para ello vamos a construir el sistema de ecuaciones
de acuerdo al deducido

0 2x
0 −x
0 x


V1 e + V2 e + V3 e = 0



2V10 e 2x − V20 −x + V30 e x = 0
(4.58)
4V10 e 2x + V20 −x + V30 e x = e x
De acuerdo al sistema de ecuaciones deducido para el Método de Variación de Parámetros de E.D
de orden n, debemos derivar hasta n − 1, y en este caso por ser de orden 3, derivamos hasta la
segunda derivada. Esta última igualada al término no homogéneo g (x).
96
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
De aquí extraemos los diferentes determinantes. AL ser una E.D de orden 3, generará determinantes 3x3 los cuales pueden ser resueltos aplicando la regla de Sarrus
¯
¯
¯ e 2x
e −x e x ¯¯
¯
¯
¯
Ws = ¯2e 2x −e −x e x ¯ = 6e 2x
¯ 2x
¯
¯4e
e −x e x ¯
¯
¯0
¯
¯
V10 = ¯ 0
¯ x
¯e
e −x
−e −x
e −x
¯
e x ¯¯
¯
e x ¯ = 2e 2x
¯
ex¯
¯
¯ e 2x
¯
¯
V20 = ¯2e 2x
¯ 2x
¯4e
0
0
ex
¯
e x ¯¯
¯
e x ¯ = −2e 5x
¯
ex¯
¯
¯ e 2x
¯
¯
V30 = ¯2e 2x
¯ 2x
¯4e
e −x
−e −x
e −x
¯
0 ¯¯
¯
0 ¯ = −4e 3x
¯
ex¯
Para encontrar las funciones incógnitas efectuamos el cociente entre el determinante del sistema
con cada uno de los determinantes individuales y procedemos a integrar.
Z
V10 d x
Z
=
=
1
3
2e x
dx
2x
Z6e
e −x d x
1
= − e −x
3
Z
V20 d x
2e 5x
=
− 2x d x
Z6e
1
= −
e 3x d x
3
1
= − e 3x
9
Z
97
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Z
V30 d x
4e 3x
− 2x d x
Z6e
2
exd x
= −
3
2
= − ex
3
Z
=
Por tanto, la solución particular viene dada por:
µ
¶
µ
¶
µ
¶
1 −x 3x
1 3x −x
2 x x
yp = − e
e + − e
e + − e e
3
9
3
10 2x
e
9
entonces, se puede concluir que la solución general a la ecuación dada es
yp = −
y(x) = C 1 e 3x +C 2 e −x +C 3 e x −
10 2x
e
9
Ejercicios Ejemplos para desarrollar
Encuentra la solución general de cada E.D dada
y 00 + y = −x 2 (x) + 2x −1 cos x
y 00 + 2y 0 + y = e −x ln x
y 00 + 16y = csc 4x
y 000 − y 0 = sen x
4.5
ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES
VARIABLES
Hasta ahora hemos obtenido soluciones de E.D Homogéneas y no Homogéneas de coeficientes constantes, en ambos casos para obtener la solución particular se debe deducir el polinomio característico para
encontrar las raíces que componen el conjunto fundamental de soluciones. Sin embargo, este procedimiento se dificulta al tener una E.D de coeficientes variables como la que se muestra a continuación:
98
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
P n (x)y n + P n−1 (x)y n−1 + · · · + P 1 (x)y 0 + P 0 (x)y = g (x)
(4.59)
En donde, P n , P n−1 ; . . . + P 0 son funciones contínuas. Para obtener la solución complementaria de este
tipo de ecuaciones (homogéneas y no homogéneas) aplicaremos dos métodos; el Método de Reducción
de Orden y el Método de Euler Cauchy.
4.6
ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES
VARIABLES
Hasta ahora hemos obtenido soluciones de E.D Homogéneas y no Homogéneas de coeficientes constantes, en ambos casos para obtener la solución particular se debe deducir el polinomio característico para
encontrar las raíces que componen el conjunto fundamental de soluciones. Sin embargo, este procedimiento se dificulta al tener una E.D de coeficientes variables como la que se muestra a continuación:
P n (x)y n + P n−1 (x)y n−1 + · · · + P 1 (x)y 0 + P 0 (x)y = g (x)
(4.60)
En donde, P n , P n−1 ; . . . + P 0 son funciones contínuas. Para obtener la solución complementaria de este
tipo de ecuaciones (homogéneas y no homogéneas) aplicaremos dos métodos; el Método de Reducción
de Orden y el Método de Euler Cauchy.
4.6.1. Método de Reducción de Orden
Dada una E.D de orden 2, el método de reducción de orden nos permite obtener una segunda solución
a partir de una solución conocida.
Sea y 1 = f (x) una solución conocida de la ecuación
y 00 + P (x)y 0 + q(x)y = 0
El método consiste en suponer que la otra solución es de la forma:
y 2 = V (x)y 1
Esta expresión se deriva, y se sustituye en la E.D y se obtiene una ecuación reducida de primer orden,
separable en la variable V 0 (x), una vez obtenida, se integra y se obtiene V (x), esto de acuerdo al siguiente
teorema:
99
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Teorema 4.4
Si y 1 es una solución de la E.D
y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0
en un intervalo abierto I , en donde las funciones P (x) y q(x) son continuas, y y 1 no se anula,
entonces una segunda solución y 2 viene dada por:
Z "
y2 = y1
N
R
e − p(x)d x
d x(4.61)
(y 2 )2
En el caso que la E.D sea no homogénea, se emplea el método de Reducción de Orden a la
homogénea asociada, y luego se aplica el método de Coeficientes Indeterminados o Variación
de Parámetros para hallar la solución particular y p de la no homogénea.
Ejemplo 4.8
Dada la función y 1 = x 2 cos ln x solución de la E.D x 2 y 00 − 3x y 0 + 5y = 0
Observamos que se trata de una E.D de orden 2, de coeficientes variables, y de la cual se da una
primera solución, por tanto, podemos aplicar el teorema del método de reducción de orden para obtener la segunda solución fundamental correspondientes a la solución de la E.D. Para ello,
debemos escribir la E.D dada en forma canónica
x 2 y 00 3x y 0 5y
− 2 + 2 =0
x2
x
x
y 00 −
3y 0 5y
+ 2 =0
x
x
De donde identificamos p(x) que es la función que acompaña a y 0 de la E.D en forma canónica.
p(x) = − x3
Aplicamos la forma contemplada en el teorema, ver ecuación 4.61
100
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
e−
Z
2
y 2 = x cos ln x
¡
= x cos ln x
x 2 cos ln x
¡
x 2 cos ln x
x3
Z
2
= x cos ln x
− x3
e 3 ln x
Z
2
R
¡
x 2 cos ln x
¢2
¢2 d x
¢2 d x
x3
dx
x 4 cos2 ln x
Z
dx
= x 2 cos ln x
x cos2 ln x
Z
2
= x cos ln x
Para resolver esta integral, aplicaremos la técnica de sustitución por cambio de variable
u = ln x
du =
dx
x
du
2
Z cos x
= x 2 cos ln x sec2 xd x
2
Z
y 2 = x cos ln x
x 2 cos ln x tg x
Ejercicios Ejemplos para desarrollar
Encuentra la solución general de cada E.D dada
x 2 y 00 − 2x y 0 + (x 2 + 2)y = 0;
y 1 = x cos x
x 2 y 00 − 4x y 0 + (x 2 + 6)y = 0;
y 1 = x 2 sen x
y 00 − 4y 0 + 3y = x;
y1 = e x
=
101
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
x 2 y 00 − 7x y 0 + 16y = 0
y1 = x 4
x 2 y 00 + 2x y 0 − 6y = 0
x y 00 + y 0 = 0
y1 = x 2
y 1 = ln x
(1 + 2x)y 00 + 4x y 0 − 4y = 0;
y 1 = e −2x
x 2 y 00 − x y 0 + 2y = 0 :
y 1 = x sen ln x
x 2 y 00 − 5x y 0 + 9y = 0;
y 1 = x 3 ln x
(2x + 1)y 00 − 4(x + 1)y 0 + 4y = 0;
9y 00 − 12y 0 + 4y = 0;
y1 = x + 1
y1 = e
2x
3
4.6.2. Ecuación de Euler Cauchy
Un tipo especial de ecuaciones lineales de segundo orden con Coeficientes Variables son las llamadas
de Euler Cauchy, las cuales se escriben en forma general de la siguiente manera
ax 2 y 00 + bx y 0 + c y = h(x)
(4.62)
Donde a, b, c son constantes. Obsérvese que el coeficientes variable tiene la forma x m , donde el exponente m coincide con el orden de la derivada que acompaña. Para resolver esta E.D partimos de la
homogénea asociada de la ecuación 4.62
ax 2 y 00 + bx y 0 + c y = 0
(4.63)
Y así como en ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes asumimos como solución y = e mx , las
ecuaciones de Euler Cauchy tienen como solución general y = x m , con m a determinar. De este modo, al
hacer la sustitución de la solución asumida y de sus derivadas en la ecuación 4.63 obtenemos términos
del mismo grado
y = xm;
y 0 = mx m−1 ;
y 00 = m(m − 1)x m−2
£
¤
£
¤
ax 2 m(m − 1)x m−2 + b mx m + c x m = 0
102
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Aplicando propiedad Distributiva
£
¤
£
¤
a m(m − 1)x m + b mx m + c x m = 0
£
¤
£
¤
(am 2 − am)x m + b mx m + c x m = 0
Sacando factor común x m
£
¤
x m (am 2 − am) + bm + c = 0
Despejando x m
£
¤
am 2 − am + bm + c = 0
Agrupando términos semejantes
£
¤
am 2 (b − a)m + c = 0
(4.64)
La ecuación 4.64 es una ecuación auxiliar o polinomio característico de la ecuación de Euler Cauchy, llamada ecuación Indicial. Y puesto que x m > 0 para que se verifique la ecuación, se tendrá que anular el
polinomio de segundo grado, es decir, determinar dos raíces que satisfagan la ecuación, para lo cual debemos aplicar los procesos de factorización correspondientes. Las soluciones de la ecuación diferencial
pues dependerán de dichas raíces que pueden presentarse en los siguientes casos:
I Caso. Raíces reales Diferentes m 1 6= M 2 Sí las raices son reales y distintas, entonces dos soluciones linealmente independientes son
y 1 = x m1 ;
y 2 = x m2
Por tanto, la solución de esta ecuación homogénea es:
y c = C 1 x M1 +C 2 x M2
II. Caso. Raíces Reales Repetidas M 1 = M 2
Si la ecuación auxiliar tiene una raíz doble, es decir iguales, entonces una solución es
y 1 = x m1
Mediante el método de reducción de orden obtenemos una segunda solución linealmente independiente que tendrá en forma general la siguiente estructura
y 2 = x m ln x
en este caso la solución de la homogénea quedará expresada
y c = C 1 X M1 +C 2 x m ln x
103
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
III. Caso Raíces Complejas Si las raíces son complejas M 1 = (α + i β); M 2 = (α − i β), entonces una
solución compleja viene dada por
£
¤
£
¤
y 1 = x α cos β ln x ; y 2 = x α sen β ln x
£
£
¤
£
¤
y c = x α C 1 cos β ln x +C 2 sen β ln x
N
Es importante dejar claro que sí se trata de una ecuación No Homogénea con el término g (x) 6=
0, se determina la solución de la homogénea asociada y c con el Método de Euler-Cauchy y la
solución particular Y p empleando el método de variación de parámetros.
Ejemplo 4.9
Resolvamos la ecuación diferencial de Euler Cauchy
x 2 y 00 + 2x y 0 − 2y = x
En este caso, se trata de une E.D lineal de 2do orden de Coeficientes variables no homogénea. Y el
exponente del coeficiente variable coincide con el orden de la derivada que acompaña, por tanto
es una E.D de Euler Cauchy.
Obtenemos primeramente la solución complementaria de la ecuación homogénea asociada a través del Método de Euler Cauchy
x 2 y 00 + 2x y 0 − 2y = 0
Partimos del hecho de que la solución de una E.D de este tipo tiene la siguiente forma: y m , y sus
derivadas
y 0 = mx m−1 ;
y 00 = m(m − 1)x m−2
Sustituyendo la solución y sus derivadas en la E.D dada
£
¤
£
¤
x 2 m(m − 1)x m−2 + 2x mx m−1 − 2x m = 0
Efectuando las operaciones anteriormente detalladas
£
¤
£
¤
m(m − 1)x m + 2 mx m − 2x m = 0
x [m
2
−m+2m−2]=0[m 2 +m−2]=0
104
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Factorizando
(m − 1)(m + 2) = 0
De donde se extrae que las raíces son M 1 = 1 y M − 2 = −2. Por tanto, las soluciones particulares
son:
y 2 = x −2
y 1 = x;
Y la solución complementaria queda expresada
y c = C 1 x +C 2 x −2
Para obtener la solución particular, aplicamos el método de Variación de Parámetros, para ello
escribimos la ecuación diferencial en forma canónica
y 00 +
2 0 2
1
y − 2y =
x
x
x
El método consiste en sustituir de la solución complementaria, las constantes de integración por
nuevas funciones denotadas como V1 y V2
y p = V1 x + V2 x −2
Las funciones V1 ;V2 son incógnitas y se determinan estableciendo un sistema de ecuaciones, tal
como se especificó en la sección anterior.

V 0 x + V 0 x −2 = 0
1
2
V 0 − 2V 0 x −3 = 1
1
2
(4.65)
x
Este sistema de ecuaciones, se resuelve por el método matricial de Cramer, por lo que la solución
de cada incógnita se encuentra aplicando la ecuación 4.44 y 4.45 y todo el procedimiento descrito
en esa sección. (Ver Método de Variación de Parámetros, 2do orden)
V1 =
1
ln x
3
1
V2 = − x 3
9
Por tanto,
1
x
y p = x ln x −
3
9
Y la solución general
1
x
y(x) = C 1 x +C 2 x −2 + x ln x −
3
9
5
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Objetivos Didácticos Al finalizar esta unidad el estudiante será capaz de:
♣ Definir la Transformada de Laplace de una función y su inversa.
♣ Calcular según la definición la Transformada de una función
♣ Determinar la Transformada de Laplace usando sus propiedades fundamentales.
♣ Resolver Ecuaciones Diferenciales empleando la Transformada de Laplace.
INTRODUCCIÓN
Nacido en una familia de granjeros de la baja Normandía, se marchó a estudiar en la Universidad de
Caen, donde fue recomendado a d‘Alembert, quien, impresionado por su habilidad matemática, lo recomendó para un puesto de Profesor en la Escuela Militar de París en 1767, donde tuvo entre sus discípulos a Napoleón. En 1785, es nombrado miembro de la Academia de Ciencia y en 1795, miembro de la
cátedra de Matemáticas del Nuevo Instituto de las Ciencias y las Artes, que presidiría en 1812.
106
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Por otra parte, demostró la estabilidad del sistema solar, sentó las bases científicas de la teoría matemáticas de las probabilidades, donde entre otros logros, formuló el método de los mínimos cuadrados, que
es fundamental para la teoría de errores. Se destacó principalmente por sus estudios del Sistema Solar
haciendo relación con análisis de probabilidad.
Transformaciones de Laplace Aproximadamente en 1744, Euler, seguidor de Lagrange, empezó a buscar una solución para las ecuaciones diferenciales en forma de
Z
z = X (x)e ax d x
Z
z=
X (x)x a d x
En 1785, Laplace encontró la llave siguiente, utilizando integrales en forma de transformaciones de
ecuaciones diferenciales, que simplemente era la forma de la solución, y encontró que la ecuación transformada era fácil de resolver, incluso más que la original.
Preliminares
El modelo matemático de un sistema físico, como el de una masa m sujeta a un resorte
m
d 2 (x)
dx
+β
+ kx = f (t )
2
dt
dt
L
d 2q
dq
+ kq = E (t )
+β
2
dt
dt
o el de un circuito eléctrico en serie,
Donde f (t )y E (t ) es una función que representa una fuerza externa, o un voltaje respectivamente.
Hasta ahora, hemos resuelto ecuaciones diferenciales con funciones continuas. Sin embargo este tipo
de problemas, no es raro encontrarlos con funciones a tramos, por ejemplo, en circuitos eléctricos al
tener dientes de sierra o escalón. Es difícil pero no imposible, resolver a ecuación diferencial que describe el circuito en este caso, pero la Transformada de Laplace es una valiosa herramienta para resolver
problemas de este tipo.
La transformada de Laplace convierte cierto tipo de ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.
De este modo, cuando se resuelve la ecuación algebraica, queda también resuelta la ecuación diferencial
correspondiente. La Transformada de Laplace se define mediante una integral impropia tal como se
muestra en la siguiente definición
Definición 5.1
Sea f definida en el intervalo cerrado, [a, b], la Transformada de Laplace L denotada con el símbolo
de f es una función definida de s definida mediante
£
¤
L f (t ) (s) =
+∞
Z
0
e −st f (t )
107
TRANSFORMADA DE LAPLACE
,
£
¤
L f (t ) (s) = lı́m
Z
b→∞ 0
b
e −st f (t )
,
en todos los valores de s para los que la integral sea convergente.
Donde f (t ) Función en el espacio temporal a transformar.
s Parámetro de transformación al espacio laplaciano
£
¤
L f (t ) ( s) = Transformada de la función evaluada en s. También se puede escribir F (s)
En los siguientes ejemplos se calcula la transformada de Laplace de algunas funciones básicas
Ejemplo 5.1 Ejemplo Nº1
Sea f (t ) = 1 para todo t ∈ [0, +∞] entonces su transformada es
Z
+∞
e −st 1d t
¯
1 −st ¯¯b
= lı́m − e ¯
b→∞ s
0
¯
1 −st ¯¯b
= lı́m − e ¯
b→∞ s
L [1]s =
0
0
Este límite existe cuando s > 0 y es igual a 1s , es decir,
·
1
L 1]s =
s
s>0
Ejemplo 5.2 Ejemplo Nº2
Sea f (t ) = t , para todo t ∈ [0, +∞), entonces
P ar at od o
108
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Z
+∞
e −st t d t
0
¯
t −st ¯¯b
= lı́m − e ¯
b→∞ s
0
L [t ]s =
¯b
¯
1 −st
Si se utiliza integral por partes, se obtiene = lı́m − 2 e (−st − 1)¯¯
b→∞ s
0
1
1 −sb
= lı́m − 2 e
(−sb − 1) + 2
b→∞ s
s
Este límite existe cuando s > 0 y es igual a
1
, es decir,
s2
1
s2
L [t ]s =
para s > 0
Ejemplo 5.3 Ejemplo Nº3
Sea a cualquier número real cualquiera, obtenga su transformada empleando la definición.
Se observa que,
£ ¤
L e at s =
=
Z
+∞
Z0 +∞
e −st e at d t
e −(s−a)t d t
0
¯
−1 −(s−a)t ¯¯b
e
= lı́m −
¯
b→∞ s − a
0
³
´
1
−(s−a)b
= lı́m −
−e
+1
b→∞ s − a
1
=
s−a
Ejemplo 5.4 Ejemplo Nº4
Obtener la transformada de la función cos w t , si s > w Por la definición de Transformada de Laplace
109
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Z
L [cos w t ]s =
+∞
e −st cos w t d t
0
¯b
e −st (−s cos w t + a sen w t ) ¯¯
= lı́m −
¯
b→∞
w 2 + s2
0
¯b
e −sb (−s cos wb + a sen wb) ¯¯
= lı́m −
¯
b→∞
w 2 + s2
0
s
=
w 2 + s2
N
Se puede calcular la transformada de Laplace de diversas funciones, siempre que el límite evaluado exista para todo b > 0. Esto se puede lograr si f es continua a trozos en todos los intervalos
de la forma [0, b]. Sin embargo, la continuidad por tramos, aunque garantiza la existencia de la
integral, no necesariamente implica la existencia del limite, es decir, no asegura la convergencia. Esto significa que se deben imponer algunas restricciones adicionales a la función f .
Definición 5.2
Se dice que una función es de orden exponencial en el intervalo [0,+∞)si exi st enconst ant esCyα,
con C > 0, tales que
¯
¯
¯ f (t )¯ < C e αt
para todos los valores no negativos de t en los cuales f está definida.
Teorema 5.1
Sea f una función continua a trozos en todo intervalo de la forma [0, b) y suponga que existen
¯
¯
constantes C con (C > 0) y α tales que ¯ f (t )¯ < C e αt para todos los valores de t , con t > T0 > 0, en
los cuales f esté definida. Entonces, f es de orden exponencial.
Teorema 5.2
Si f es una función continua a trozos en todo intervalo de la forma [0, b] y es de orden exponencial,
entonces existe un número real s 0 tal que:
110
TRANSFORMADA DE LAPLACE
+∞
Z
e −st f (t )d t
0
es convergente para todos los valores de s > s 0
Ejemplo 5.5 Ejemplo Nº5
La función f : [0, +∞) definida por:



t
si 0 < t < 2



si t > 3
0
(5.1)
si 2 < t < 3
2t − 6
De acuerdo a los teoremas anteriores, la siguiente función definida a trozos, es contínua a trozos y
de orden exponencial.
La transformada de Laplace de la función viene dada por:
£
5.1
Z
2
e
−st
Z
3
dt +
−st
Z
+∞
e (2t − 6)d t +
e −st 0d t
0
2
0
¯2
¯3
¯
¯
1 −st
1
st
¯
= − 2 e (st + 1)¯ − 2 e (2st + 2 − 6s)¯¯
s
0 s
2
1
2 −3s 2 −2s
1 −2s
+ 2e
= − 2e
(2s + 1) + 2 − 2 e
(1 − s)
s
s
s
s
¤
1 £
= − 2 e −2s (4s − 1) + 2e −3s − 1
s
¤
L f (t ) s =
Propiedades de la Transformada de Laplace
A continuación una serie de propiedades de la transformada de Laplace que, junto con las transformadas de algunas funciones básicas, permiten determinar la de otras funciones
Teorema 5.3 Propiedad de Linealidad
£
¤
£
¤
Sea L f (t ) s y L g (t ) s definidas para s > a y a; b números reales cualesquiera, entonces, la transformada de laplace de:
£
¤
£
¤
£
¤
L a f (t ) + bg (t ) s = aL f (t ) + L f (t )
¯
111
TRANSFORMADA DE LAPLACE
L [1]s
h i
L ks
n
s
L [t ]s
£ ¤
L e at s
L [sen w t ]s
L [cos w t ]s
L [senh w t ]s
L [cosh w t ]s
¤
£
L t n e at s
£ ¤
L f0 s
£ ¤
L f 00 s
£ ¤
L fn s
¤
£
L H (t − a) f (t − a) s
L [H (t − a)]
1
,
s
k
,
s
n!
;
s n+1
1
s−a ; s>a
w
,
s 2 +w 2
s
;
s 2 +w 2
w
;
s 2 −w 2
s
;
s 2 −w 2
n!
;
(s−a)n+1
s >0
0, k constantes
s>0, n=1,2, . . .
s >0
s >0
s > |w|
s > |w|
s > a; n = 1, 2, . . .
SF (s) − f (0)
S 2 F (s) − S f (0) − f 0 (0)
S n F (s) − S (n−1) f (0) − s (n−2) f 0 (0) − . . . − f (n−1) (0)
e −as f
e
−as
s
;
1er Teorema de Traslación
s>0 height
Ejemplo 5.6
Determine la transformada de las siguientes funciones, empleando la propiedad de linealidad y la
tabla de transformadas
a) f (t ) = −t
L [−t ]s = −L [t ] = − s12
En este caso, se extrajo, por linealidad la constante −1, y se observa que n = 1 siendo n el
exponente de la función polinómica t ; luego se aplica el teorema Nº1 de la tabla
b) f (t ) = e −t
£ ¤
L e −t s =
1
s+1
En este ejemplo se trata de una función exponencial, de la cual identificamos a = −1 siendo a el
número real que funge como coeficiente del argumento de la función, y luego se aplica el teorema
Nº 3 de la tabla
c) f (t ) = 3t − 5 sen 2t
112
TRANSFORMADA DE LAPLACE
L [3t − 5 sen 2t ]s = 3L [t ] − 5L [sen 2t ] ;
Prop. Linealidad
·
¸
3
2
= 2 −5 2
Teorema 2 y 5
s
s +4
3
10
= 2− 2
s ¡ s +¢ 4
3 s 2 + 4 − 10s 2
¡
¢
Operación Algebraica
=
s2 s2 + 4
=
3s 2 + 12 − 10s 2
¡
¢
s2 s2 + 4
=
−7s 2 + 12
¡
¢
s2 s2 + 4
n = 1; w = 2
¡
¢2
d) g (t ) = e t − e −t
L
h¡
¢2 i
e t − e −t
s
¤
£
= L e 2t − 2 + e −2t Producto Notable
£ ¤
£
¤
= L e st s − 2L [1]s + L e −2t s
1
2
1
=
− +
s −2 s s +2
¡
¢
a 2 − b 2 = a 2 − 2ab + b 2
e) h(t ) = cos 5t + sen 2t
L [cos 5t + sen 2t ]s = L [cos 5t ] + L [sen 2t ]
w = 5; w = 2
2
s
+ 2
;
Teoremas
= 2
s + 25 s + 2
f) f (t ) = t 3 e −2t
L
£3
e −2t
¤
s
=
2!
(s + 2)3
n=2; a=-2
=
2
(s + 2)3
Teoremas
TRANSFORMADA DE LAPLACE
113
Ejercicios Ejercicios de Autoevaluación
1. f (t ) = 2 sen t + 3 cos 2t
2. g (t ) = t 2 e 4t
3. h(t )e −2t sen 5t
4. p(t ) = (t + a)3
5. q(t ) = sen 2 at
6. f (t ) = 3e −t + sen 6t
7. g (t ) = t 3 − 3t + cos 4t
8. h(t ) = −3 cos 2t + 5 sen 4t
9. q(t ) = 4 cos2 3t
10. r (t ) = cos3 t
11. f (t ) = e −3t (t − 2)
12. g (t ) = e 4t [t − cos t ]
£
¤
13. h(t ) = e −5t t 4 + 2t + 1
14. q(t)=t3 sen 2t
5.2
Transformada Inversa
La transformada de Laplace permite transformar una función de cierta variable en una función de otra
variable (que hemos denominado s); esto a través de las relaciones entre las transformadas de las funciones y la de sus derivadas e integrales; a través de los teoremas. Esto nos conlleva a pensar que todo esto
nos permite transformar una ecuación diferencial en una ecuación algebraica y es, por lo tanto, útil en
la resolución de cierto tipos de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, debemos introducir la definición
de la transformada inversa, lo cual será de gran utilidad para lograr este objetivo
Transformada Inversa
El siguiente Teorema nos permitirá establecer que se puede invertir el proceso de la transformada, es
decir, si se conoce la transformada de Laplace, es posible recuperar la función original.
114
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Teorema 5.4 Unicidad de la Transformada Inversa de Laplace
Sean f y g funciones continuas a trozos en el intervalo [0, +∞) y de orden exponencial, de modo
£ ¤
£ ¤
£ ¤
£ ¤
que sus transformadas de Laplace L f y L g . Suponga que existe c ∈ R tal que L f = L g para
todo s > c, entonces, con la posible excepción de los puntos de discontinuidad, f (t ) = g (t ) para
todo t > 0
El teorema anterior establece, que si una ecuación
£
¤
L f (t ) = F (s)
puede resolverse para una función f (t ), la solución es esencialmente única. Si esta ecuación tiene solución, es decir, si existe una función f (t ) que la satisface, entonces esta solución se llama Transformada
Inversa de Laplace de F(s) y se escribe
L −1 [F (s)]t = f (t )
(5.2)
£
¤
Esto significa que L −1 [F (s)]t = f (t ) sí y solo sí L f (t ) = L [F (s)].
Al igual que la transformada directa, la transformada inversa cumple con la propiedad de linealidad, tal
como se describe a continuación.
Si F (s) y G(s) tienen transformada inversa de Laplace, y a y b son constantes reales
L −1 [aF (s) + bG(s)] = aL −1 [F (s)]t + bL −1 [G(s)]t
(5.3)
Ejemplo 5.7
De acuerdo con los teoremas anteriores, se tiene que
i
h
a
= sen at
L −1 s 2 +a
2
t
L −1
N
h i
1
s5 t
= L −1
h
i
1 24
24 s 5 t
1 −1
L
= 24
h
i
24
s5 t
1 4
t
= 24
Observar que para obtener la transformada inversa de la función, nos ubicamos en la tabla en
la columna correspondiente a F (s) y leemos a la izquierdo la función recíproca f (t )
)
Cuando se trata de una función racional polinómicas f (t ) = h(t
con g (t ) > 0 con el grado del polinomio
g (t )
denominador mayor o igual al del numerador, y que además no cumpla directamente con los teoremas
establecidos previamente, se deben aplicar artificios matemáticos, de manera que podamos convertirla hasta que se pueda utilizar dichos teoremas, el procedimiento más utilizado para estos casos, es la
descomposición en fracciones parciales.
115
TRANSFORMADA DE LAPLACE
El método de fracciones parciales consiste básicamente en dividir una fracción total en sus fracciones
simples, para lo cual debemos factorizar el denominador y plantear tantas fracciones como factores resulten; cada factor será denominador de cada fracción, mientras que en el numerador se completará
con polinomios de menor grado que el del denominador, empleando letras constantes, que posteriormente se deberán determinar. Dependiendo de las características del factor se pueden presentar los
siguientes casos:
1. Factores Lineales no repetidos
A
S−a
2. Factores Lineales Múltiples (repetidos)
A
B
Z
+ (s−a)
Donde “n” es el número de veces que se repite el factor
2 + . . . + (s−a)n
(S−a)
3. Factores Cuadráticos
M s+N
;
m ∈ N;m > 1
(s−a)2 +b 2
Ejemplo 5.8 Con factores lineales en el denominador.
L
−1
·
7s − 1
(s − 3) (s + 2) (s − 1)
¸
¸
B
C
A
+
+
= L
(s − 3) (s + 2) (s − 1)
¸
·
¸
·
¸
·
1
1
1
−1
−1
−1
+BL
+C L
= AL
s −3
s +2
s −1
3t
−2t
t
= Ae + B e
+C e
−1
·
Para encontrar el coeficiente A, eliminamos de la fracción el factor correspondiente a A y en la
parte restante sustituimos a s por la raíz asociada a este factor; lo mismo hacemos para los coeficientes B,C . Otro procedimiento es haciendo la operación algebraica de la suma de fracciones,
posteriormente desarrollar distributivamente y finalmente igualando los coeficientes de las variables involucradas del lado derecho con los coeficientes de la variable similar del lado izquierdo.
A=
B=
7(3) − 1
=2
(5)(2)
7(−2) − 1
= −1
(−5)(−3)
C=
7(1) − 1
= −1
(−2)(3)
116
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejemplo 5.9 Con factores lineales repetidos
L
−1
·
s +1
s 2 (s + 2)3
¸
= L
−1
·
s +1
¸
ss (s + 2)3
¸
B
C
D
D
E
−1 A
= L
+ +
+
+
+
s 2 s (s + 3)3 (s + 3)3 (s + 2)2 (s + 3)3
· ¸
· ¸
·
¸
·
¸
·
¸
1
1
1
−1 1
−1 1
−1
−1
−1
= AL
+BL
+C L
+ DL
+EL
s2
s
(s + 2)
(s + 2)3
(s + 2)2
−2t
2 −2t
te
t e
+D
+ E e −2t
= At + B (1) +C
2!
1!
·
Por el método de Fracciones parciales, encontramos los valores de las constantes
1
A= ;
8
B =−
1
;
16
1
C =− ;
4
D =0
E=
1
16
Luego
L
−1
s +1
·
¸
s 2 (s + 2)3
1
1 1 t 2 e −2t
1
= t−
−
+ e −2t
8
16 4 2!
16
Ejemplo 5.10 Factores Cuadráticos
L
−1
·
¸
1
¡
s s2 + 4
¢
¸
A B s +C
+ 2
= L
s
s +4
· ¸
¸
·
1
−1
−1 B s +C
= L
A +L
s
s2 + 4
−1
·
Por el método de fracciones parciales
1
s
¡
s2 + 4
¢
=
=
=
A B s +C
+ 2
s
s +4
¡ 2
¢
s + 4 A + s (B s +C )
¡
¢
s s2 + 4
¡
A + B )s 2 +C s + 4A
¡
¢
s s2 + 4
Esto nos genera la siguiente ecuación
1 = (A + B ) s 2 +C s + 4A
117
TRANSFORMADA DE LAPLACE
por tanto;



A + B = 0
C =0



4A = 1
De donde se concluye que A = 14 ;
L
−1
·
B = − 14
1
¡
¢
s s2 + 4
C = 0; por eso
¸
=
=
· ¸
h s i
1 −1 1
1
L
− L −1 2
4
s
4
s +4
1 1
− cos 2t
4 4
(5.4)