SISTEMA DE FUNCIONES DE VOLUMEN COMPATIBLES PARA

SISTEMA DE FUNCIONES DE VOLUMEN COMPATIBLES PARA PLANTACIONES DE
Pinus sylvestris L. EN GALICIA
U. Diéguez-Aranda1, F. Castedo Dorado2, J.G. Álvarez González1, A. Rojo1
1Departamento
de Ingeniería Agroforestal, Universidad de Santiago de Compostela. Escuela
Politécnica Superior, Campus universitario, 27002 LUGO. E-mail: udieguez@lugo.usc.es
2Departamento
de Ingeniería Agraria, Universidad de León. Escuela Superior y Técnica de Ingeniería
Agraria, Avda. de Astorga, 24400 PONFERRADA.
Resumen
Una de las funciones básicas que constituyen un modelo de crecimiento de masa es la
ecuación que permite estimar su volumen, total o hasta un cierto diámetro en punta delgada.
Habitualmente, éste se ha venido obteniendo bien directamente mediante tarifas de cubicación de
masa o bien mediante metodologías de desagregación en clases diamétricas. Sin embargo, el
problema que plantean ambas alternativas es que no consiguen compatibilidad numérica entre la suma
de los volúmenes de los árboles individuales y el volumen total de masa.
En este trabajo se analiza el sistema de cubicación de masa y de árbol individual propuesto por
SHARMA et al. (2002) que garantiza la compatibilidad numérica y analítica entre los dos niveles de
resolución indicados. El sistema está compuesto por una función de perfil, una tarifa de cubicación de
árbol individual y una tarifa de cubicación de masa, que dependen tan sólo de dos parámetros, por lo
que resulta muy sencillo.
Para testar la validez de esta metodología se han utilizado datos procedentes de
223 inventarios realizados en plantaciones puras de Pinus sylvestris L. en Galicia y de 228 árboles
tipo seleccionados en las proximidades de las mismas y que fueron apeados y medidos por trozas.
PALABRAS CLAVE: sistema de cubicación compatible, pino silvestre, funciones de perfil, tarifas
de cubicación, compatibilidad.
INTRODUCCIÓN
Una gestión eficiente de los recursos maderables depende en gran medida de la precisión de
las estimaciones del volumen de los árboles y de las masas forestales. Para ello, si se dispone de
información sobre cada árbol, se pueden utilizar tarifas de cubicación de árbol individual, funciones
de perfil o tarifas de volumen de razón; estas dos últimas herramientas permiten la clasificación de la
producción de un individuo según destinos comerciales. En el caso de que se disponga solamente de
datos de variables de masa, la manera más rápida de estimar el volumen de la misma es utilizar una
tarifa de cubicación de masa. No obstante, también es posible realizar una desagregación por clases
de dimensión, estimar el volumen de cada clase dimensional mediante herramientas de cubicación de
árbol individual y, por suma de los volúmenes unitarios, obtener el volumen de la masa. El
inconveniente de esta última metodología es que requiere la realización de numerosos cálculos
intermedios, y por tanto no resulta adecuado cuando sólo es necesario realizar una estimación rápida
de las existencias en volumen de una masa.
Idealmente, los sistemas de estimación de volumen deberían ser compatibles, es decir, para
cualquier nivel de resolución (árbol individual, clase de dimensión o masa) debería obtenerse el
mismo volumen independientemente del procedimiento de estimación utilizado. El concepto de
compatibilidad numérica y algebraica de un sistema de ecuaciones para un determinado nivel de
resolución no es algo nuevo en modelización forestal (p. ej., tarifas de cubicación de árbol individual
y funciones de perfil de tronco, funciones de crecimiento y funciones de producción, etc.), pero sí lo
es la obtención de dicha compatibilidad entre diferentes niveles.
SHARMA et al. (2002) desarrollaron un modelo compatible entre los niveles de resolución de
árbol individual y de masa, tomando el volumen como variable a modelizar. Para ello, partieron de la
idea de que el volumen de una masa está matemáticamente relacionado con el diámetro normal, la
altura y el perfil de los árboles individuales, y por tanto sólo son necesarias estas tres variables para la
determinación del volumen total de la misma. Como las masas están constituidas por árboles
individuales, la suma de los volúmenes de éstos debería ser igual al volumen total de masa.
Además, como el volumen de un árbol viene dado por la integral de su función de perfil, parece
lógico asumir una relación entre perfil del tronco, volumen del árbol y volumen de la masa.
El objetivo de este trabajo es testar la metodología propuesta por SHARMA et al. (2002) para
las masas de Pinus sylvestris L. en Galicia. Con ello se obtendría un sistema compatible de muy
sencilla utilización, compuesto por una función de perfil, una tarifa de cubicación de árbol individual
y una tarifa de cubicación de masa.
MATERIAL Y MÉTODOS
Datos
Los datos utilizados en este trabajo proceden de una red de 155 parcelas que la Unidad de
Gestión Forestal Sostenible de la Universidad de Santiago de Compostela estableció entre 1996 y
1997 para elaborar modelos forestales de crecimiento. Dicha red de parcelas está distribuida por las
zonas en las que Pinus sylvestris L. está presente en Galicia, y trata de cubrir las diferentes edades,
densidades y calidades de estación existentes en masas puras y regulares de este pino procedentes de
plantación. El tamaño de parcela osciló entre 625 m2 y 1200 m2, dependiendo de la densidad de la
masa, para obtener un mínimo de 60 árboles en cada parcela. En cada localización se etiquetaron con
una chapa numerada todos los árboles de la parcela y en ellos se realizaron dos mediciones
perpendiculares del diámetro normal (a 1,3 m sobre el nivel del suelo), utilizando una forcípula con
graduación milimétrica. Asimismo, se midió con hipsómetro la altura total de 30 árboles elegidos
aleatoriamente en cada parcela, y de la proporción, en función de la superficie de la misma, de los
100 pies más gruesos por hectárea con aspecto de dominantes.
En el invierno de 2003 se remidieron 79 de las 155 parcelas instaladas inicialmente. Estas
parcelas se seleccionaron para desarrollar un modelo dinámico de crecimiento para la especie en el
área de estudio (DIÉGUEZ-ARANDA et al., 2005). De entre ellas, fueron excluidas de la base de
datos utilizada en el presente estudio las sometidas a algún tratamiento selvícola de clara del que no
se obtuvo información sobre la manera en que fue ejecutado. Tras una comprobación de errores y la
depuración de las parcelas instaladas en condiciones extremas, el número definitivo de parcelas
empleadas en este trabajo se redujo a 155 del primer inventario y a 68 del segundo.
Para cada inventario y parcela seleccionada se calcularon las siguientes variables de masa:
edad, número de pies por hectárea, área basimétrica, diámetro medio cuadrático, altura media
(definida como la altura media aritmética de los 30 árboles escogidos aleatoriamente), altura
dominante (definida como la altura media de los 100 árboles más gruesos por hectárea), altura media
de Lorey, y volumen de masa. La altura media de Lorey se calculó mediante la siguiente expresión
(LOETSCH et al., 1973):
n
H L = ∑ g jhj
j =1
n
∑g
j =1
j
[1]
donde gj y hj son la sección normal y la altura total del árbol j, y n es el número de árboles de cada
parcela e inventario en los que se midió la altura total.
El volumen de masa de cada parcela se estimó calculando en primer lugar el volumen de los
árboles en los que se midió el diámetro normal (d) y la altura total (h) mediante la tarifa de cubicación
de dos entradas desarrollada por DIÉGUEZ-ARANDA et al. (2005) para masas de Pinus sylvestris en
Galicia. Posteriormente, se ajustó una tarifa de cubicación local para cada parcela e inventario y se
estimó con ella el volumen de todos los árboles en función únicamente de su diámetro. Por último, se
sumó el volumen de todos los árboles para cada parcela e inventario y se expresó el resultado en
valores por hectárea.
En la Tabla 1 se muestran los valores obtenidos en el análisis descriptivo de las principales
variables de masa de las parcelas seleccionadas en el primer y segundo inventario.
Adicionalmente a los datos de las parcelas, se utilizaron datos de un muestreo destructivo
sobre 228 árboles seleccionados en las proximidades de 114 de las anteriores parcelas de estudio,
pero dentro de las mismas plantaciones. Antes de cortar los árboles se realizaron en cada uno de ellos
dos mediciones perpendiculares del diámetro normal apreciando al milímetro. Una vez apeados los
árboles se midió con cinta métrica la longitud total del tronco, aproximando al centímetro.
Posteriormente se dividieron en trozas de longitud comprendida entre 1 y 2,5 m, siendo en su mayoría
de un metro, anotándose dicha longitud con aproximación al centímetro. En los extremos de
cada troza se midieron con forcípula dos diámetros con corteza perpendiculares, aproximando al
milímetro, y con una regla sus respectivos espesores de corteza, aproximando también al milímetro.
Los volúmenes de las trozas se calcularon por la fórmula de Smalian. El raberón se cubicó como un
cono. Los volúmenes totales con y sin corteza de cada árbol se obtuvieron sumando los respectivos
volúmenes con y sin corteza de las trozas y el raberón.
En la Tabla 2 se presentan los estadísticos descriptivos más importantes de la muestra de
árboles utilizada.
Sistema de cubicación compatible de SHARMA et al. (2002)
Para desarrollar su modelo de cubicación compatible, SHARMA et al. (2002) se basaron en
las dos siguientes ecuaciones de volumen y de perfil algebraica y numéricamente compatibles
(SHARMA & ODERWALD, 2001):
v = α d β h 3 −β
[2]
d i2 = d β γ (1 − hi h )hi2 −β
[3]
donde v, d y h son respectivamente el volumen total, el diámetro normal y la altura total del árbol, α
y β (compartido por la tarifa de cubicación y la función de perfil) los parámetros, di el diámetro del
árbol a una altura hi medida desde el suelo, y γ una constante para cada árbol cuyo valor puede
obtenerse de la ecuación [3] cuando di = d y hi = 1,3 m:
d 2 = d β γ (1 − 1,3 h )1,32−β
Por tanto, despejando el parámetro γ se obtiene:
γ=
(d 1,3)2−β
[4]
[5]
1 − 1,3 h
Sustituyendo el valor de γ en la ecuación [3] y simplificando la expresión resultante, se
obtiene la función de perfil siguiente:
⎛ h − hi ⎞
[6]
⎜
⎟
−
h
1
,
3
⎝
⎠
Como se deduce fácilmente, en la ecuación [6] si hi = 1,3 entonces di = d, y si hi = h, entonces
di = 0. Las ecuaciones [2] y [3] son algebraicamente compatibles porque una se puede expresar en
función de la otra, es decir, integrando la función de perfil entre la base (h = 0) y la altura total
(hi = h) del árbol se obtiene la expresión de la tarifa de cubicación:
d i2 = d 2 (hi 1,3)
2 −β
h
h
v = ∫ λd i2 dhi = ∫ λd β γ (1 − hi h )hi2−β dhi
0
[7]
0
donde λ es una constante relacionada con el parámetro α en la tarifa de cubicación.
El resultado es:
λγ
[8]
d β h 3−β
(3 − β)(4 − β)
Como las ecuaciones [2] y [3] representan el mismo volumen, el valor de λ se puede calcular
v=
como:
λ=
α(3 − β)(4 − β)
γ
[9]
Estas ecuaciones son también numéricamente consistentes porque el parámetro β, compartido
por ambas ecuaciones, posee el mismo valor.
Por otra parte, si se asume que el volumen de masa V depende de determinadas variables de la
misma como son el área basimétrica, la altura, la calidad de estación y la edad, se puede expresar la
tarifa de masa de la siguiente forma:
[10]
V = f (G, p, q, t )
donde G es el área basimétrica, p una función de una altura de masa (altura media, altura dominante,
altura media de Lorey, etc.), q una medida de la calidad de estación, y t la edad de la masa.
Por lo tanto, el volumen de una masa se puede expresar matemáticamente como:
V = δG θ p ψ q ηt φ
[11]
donde δ, ψ, θ, η, φ son parámetros.
Aplicando técnicas de análisis dimensional, SHARMA et al. (2002) determinaron qué
variables eran las más apropiadas para estimar el volumen de la masa y para definir las relaciones
entre δ, ψ, θ, η, y φ. Los resultados de ese procedimiento de análisis proporcionaron la siguiente
expresión general para la función de volumen de masa:
V = δG θ p ψ
[12]
donde 2θ + ψ = 3 .
Por otra parte, el área basimétrica de un rodal (G) se puede expresar como:
N
G = ∑gj
[13]
j =1
donde gj es la sección normal del árbol j y N el número total de pies por hectárea de la masa.
Por tanto, el volumen de masa puede expresarse en términos de alguna función del diámetro
normal y de una altura de masa de la siguiente manera:
θ
⎛ N
⎞
[14]
= δ⎜⎜ ∑ g j ⎟⎟ p 3− 2θ = M θ δg θ p 3− 2θ
V = δG p
⎝ j =1 ⎠
donde M es una función de N (número de pies por hectárea).
2
Como g = (π 4)d g , siendo dg el diámetro medio cuadrático de la masa, la expresión anterior
se puede formular como:
θ
3− 2 θ
( )
V = M θδ(π 4) d g2 p 3−2θ
θ
θ
[15]
Para que la ecuación [15] sea consistente con la ecuación [2], deben establecerse las siguientes
relaciones entre ambas:
δ(π 4 ) = α
θ
2θ = β
Mθ = N
[16]
Por tanto, la formulación final de la ecuación [15], expresada en términos del diámetro medio
cuadrático y una función de la altura, es la siguiente:
V = Nαd gβ p 3−β
[17]
Como se aprecia, los parámetros α y β describen completamente el sistema propuesto, por lo
que éste resulta muy sencillo. Además, los resultados obtenidos con el sistema de ecuaciones son
consistentes, es decir, las funciones referentes al árbol individual (función de perfil y tarifa de
cubicación), cuando se aplican a todos los árboles de la masa, proporcionan la misma estimación de
volumen que el modelo de masa.
Ajuste del sistema de cubicación
Para testar la consistencia numérica del sistema de ecuaciones propuesto por SHARMA et al.
(2002), los parámetros α y β se estimaron usando tres metodologías diferentes:
1. Estimar los parámetros α y β mediante un ajuste simultáneo de la tarifa de cubicación de
dos entradas [2] y la función de perfil [6]. Para ello se utilizó el procedimiento MODEL de
SAS/ETS® (SAS INSTITUTE INC., 2004a). Con el fin de conseguir la compatibilidad entre los datos
de masa y de árbol individual, el diámetro normal d y la altura total h se expresaron en metros, y el
volumen v se expresó en metros cúbicos.
2. Estimar el parámetro β mediante el ajuste de la función de perfil [6] usando el
procedimiento NLIN de SAS/STAT® (SAS INSTITUTE INC., 2004b).
3. Estimar los parámetros α y β usando la ecuación [17] aplicada a valores de volumen de
masa. Para la elección de la variable regresora de la ecuación de volumen de masa que es una función
de la altura (p), se consideraron la altura media aritmética, la altura dominante y la altura media de
Lorey. Para realizar el ajuste se utilizó nuevamente el procedimiento NLIN de SAS/STAT® (SAS
INSTITUTE INC., 2004b).
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
En la Tabla 3 se muestra la estimación de los parámetros α y β que comparten las funciones de
perfil y de volumen, en función de la metodología de ajuste utilizada. Apenas existen diferencias en
las estimaciones de los parámetros para las tres metodologías, por lo que se puede asumir que las
relaciones establecidas entre las diferentes funciones del sistema son adecuadas. Las pequeñas
diferencias pueden estar motivadas, en parte, por la diferencia de rangos diamétricos y de alturas
existentes entre los datos de los árboles tipo y los datos de masa de las parcelas.
En la Figura 1 se muestran gráficos de valores observados frente a valores predichos,
apreciándose en todos los casos que la nube de puntos está muy próxima a la recta 1:1. Además, el
test F de comprobación de la hipótesis nula (término independiente = 0 y pendiente = 1) no mostró
sesgo ni proporcionó razones para rechazar dicha hipótesis nula.
Es importante tener en cuenta que las parcelas utilizadas en el análisis se encontraban
localizadas en masas sin aclarar o con tratamientos de claras débiles, por lo que los buenos resultados
obtenidos pueden deberse, en parte, a esta circunstancia. En caso de que los tratamientos selvícolas
fuesen muy dispares, SHARMA et al. (2002) recomiendan estratificar previamente la muestra de
árboles y parcelas según tratamientos y ajustar el sistema independientemente para cada uno de los
estratos definidos, con el fin de que la consistencia numérica sea adecuada. La explicación a este
hecho se encuentra en que la diferente densidad de las parcelas, fruto del manejo selvícola
heterogéneo recibido, conlleva diferencias en el perfil del tronco de los árboles (LARSON, 1963;
TASSISA & BURKHART, 1998).
CONCLUSIONES
Las ventajas del sistema de cubicación compatible de árbol individual y de masa aplicado en
este estudio son evidentes. En primer lugar, cualquiera de las ecuaciones de volumen de árbol
individual, aplicada al conjunto de árboles de la masa, origina valores idénticos a los proporcionados
por una tarifa de masa. En segundo lugar, el sistema depende de sólo dos parámetros, con lo que
resulta muy sencillo y sin los problemas de multicolienalidad que habitualmente presentan las
funciones de perfil de tronco.
Este sistema podría ser útil para estimar los parámetros de una función de perfil o de una tarifa
de cubicación a partir de la ecuación de masa [17] sin la necesidad de apear árboles, o viceversa,
obtener los parámetros de la tarifa de masa y de la función de perfil a partir del ajuste de la ecuación
[2].
Agradecimientos
La toma de datos de campo utilizados en este trabajo ha sido parcialmente financiada por el
Ministerio de Ciencia y Tecnología mediante el proyecto de investigación AGL2001-3871-C02-01
“Crecimiento y evolución de masas de pinar en Galicia”.
REFERENCIAS
DIÉGUEZ-ARANDA, U.; CASTEDO, F.; ÁLVAREZ GONZÁLEZ, J.G. & ROJO, A.; 2005.
Dynamic growth model for Scots pine (Pinus sylvestris L.) plantations in Galicia (north-western
Spain). Ecol. Model. (en prensa).
LARSON, P.R.; 1963. Stem form development of forest trees. For. Sci. monograph nº 5.
LOETSCH, F.; ZÖHRER, F. & HALLER, K.E.; 1973. Forest inventory. Volume 2. BLV
Verlagsgesellschaft mbH, München.
SAS INSTITUTE INC.; 2004a. SAS/ETS® 9.1 User’s Guide. Cary, NC: SAS Institute Inc.
SAS INSTITUTE INC.; 2004b. SAS/STAT® 9.1 User’s Guide. Cary, NC: SAS Institute Inc.
SHARMA, M. & ODERWALD, R.G.; 2001. Dimensionally compatible volume and taper equations.
Can. J. For. Res. 31: 797-803.
SHARMA, M.; ODERWALD, R.G. & AMATEIS, R.L.; 2002. A consistent system of equations for
tree and stand volume. For. Ecol. Manage. 165: 183-191.
TASSISA, G. & BURKHART, H.E.; 1998. An application of mixed effects analysis to modelling
thinning effects on stem profile of loblolly pine. For. Ecol. Manage. 103: 87-101.
Tabla 1. Resumen de datos de las parcelas empleadas en el presente estudio.
Máximo
Mínimo
Desv. estándar
Variable
Media
t
35
55
12
8.5
N
1376
2720
580
411.5
G
37.4
74.2
4.2
14.4
dg
18.7
30.9
7.5
4.8
Hm
11.6
22.7
3.4
4.3
H0
13.1
24.0
4.0
4.5
HL
12.1
23.0
3.6
4.4
V
233.9
710.0
8.6
141.0
donde t = edad (años); N = número de pies vivos por hectárea; G = área basimétrica (m2ha-1);
dg = diámetro medio cuadrático (cm); H0 = altura dominante (m); Hm = altura media (m); HL = altura
media de Lorey (m), V = volumen de masa (m3ha-1).
Tabla 2. Resumen de datos de los árboles tipo empleados en el presente estudio.
Variable
Media
Máximo
Mínimo
Desv. estándar
Nº trozas
10,7
21
6
2,9
d
22,8
36,5
8,7
5,7
h
10,8
20,7
4,2
3,9
ht
0,11
0,21
0,03
0,03
v
0,246
0,815
0,016
0,178
t
33,0
50,0
12,0
7,7
donde d = diámetro normal con corteza (cm); h = altura total del árbol (m); ht = altura del tocón (m);
v = volumen total del tronco con corteza (m3); t = edad (años).
Tabla 3. Estimaciones de los parámetros α y β obtenidos por los tres métodos de ajuste empleados y
estadísticos de la bondad del ajuste.
Metodología de estimación de parámetros
Metod. 3:
Metod. 3:
Metod. 3:
Metod. 1:
Metod. 2:
Eq.
[17]
Eq. [17]
Eq.
[17]
Eqs. [2] y [6]
Eq. [6]
)
)
p
=
f(H
p
= f (HL)
p
=
f(H
simultáneamente
m
0
0,5924
0,6510
0,5347
0,5802
α
-(0,0035)
(0,0663)
(0,0377)
(0,0469)
2,1277
2,1294
2,1341
2,1099
2,1139
β
(0,0015)
(0,0015)
(0,0241)
(0,0163)
(0,0190)
0,0268 Eq. [2]
REMC
0,00598
13,5
9,3
10,7
0,00598 Eq. [6]
0,983 Eq. [2]
0,971
0,993
0,996
0,996
R2
0,971 Eq. [6]
donde REMC es la raíz del error medio cuadrático y R2 es el coeficiente de determinación para
regresión no lineal, definido como el coeficiente de correlación elevado al cuadrado entre los valores
observados y los valores predichos por el modelo (ver Ryan, 1997, pp. 419 y 424). Los diámetros y
alturas de las ecuaciones [2], [6] y [17] están expresados en metros y los volúmenes en metros
cúbicos.
Figura 1. Gráficos de valores observados frente a valores predichos para diferentes metodologías de
estimación de los parámetros.
Metodología 1: Eq. [2]
Metodología 1: Eq. [6]
0,25
1,0
y = 0,97x + 0,0072
R 2 = 0,983
y = 1,0087x - 0,0033
R 2 = 0,971
2
0,20
diobs (m)
0,6
0,15
2
3
v obs (m )
0,8
0,4
0,2
0,10
0,05
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
0,00
0,00
1,0
0,05
3
0,25
Metodología 3: Eq. [17] p = f(H0)
800
y = 0,9789x + 6,7602
R 2 = 0,996
600
2
-1
Vobs (m ha )
y = 1,0061x - 0,0032
R 2 = 0,971
3
0,15
2
diobs (m)
0,20
2
d ipred (m)
Metodología 2: Eq. [6]
0,20
0,15
2
v pred (m )
0,25
0,10
0,10
0,05
0,00
0,00
400
200
0
0,05
0,10
0,15
2
2
d ipred (m)
0,20
0,25
0
200
400
3
600
-1
V pred (m ha )
800