Métodos Numéricos de L. en Química. Curso 2004/2005 Ejercicios del capítulo 2. 1. Utilice el método de Euler para aproximar la solución del P.V.I. en cada uno de los casos siguientes: 2 " y% " y% a) y! = $ ' + $ ' , con y(1) = 1, h=0.1, e intervalo: [1, 1.4]. # x& # x& b) y! = sen(x) + e" x , con y(0) = 0, h=0.5, e intervalo: [0, 1]. c) y! = ( ) 1 2 y + y , con y(1) = "2, h=0.5, e intervalo: [1, 3]. x 2. Utilice el método de Taylor de orden 2 para aproximar la solución, en cada caso, del P.V.I. tomando una partición uniforme de 5 subintervalos. a) y! = x 2 , con y(0) = 0, e intervalo: [0, 2]. b) y! = xy, con y(0) = 1, e intervalo: [0, 2]. c) y! = "5y + x + 1, con y(0) = 1, e intervalo: [0, 1]. 3. Para el P.V.I.: y! = 2y + x 2 e x , con y(1) = 0, en x [1,2 ] , con solución exacta: ( ) y = x 2 ex ! e . a) Utilice el método de Euler para aproximar la solución tomando una partición uniforme de 20 subintervalos y compare con los valores exactos. b) Con los valores obtenidos en a), estime los valores y(1.04), y(1.97) mediante interpolación lineal apropiada y compare con los valores exactos. 4. Para el P.V.I. : y! = 2y + x 2 e x , con y(1) = 0, en x [1,2 ] a) Compare los resultados, para 10 intervalos, con los métodos de Euler y Taylor de orden 2. b) Compare Taylor de orden 2 y h=0.1 con Runge-Kutta clásico y h=0.25 c) ¿Qué ocurre en los nodos comunes para Euler con h=0.1 y Runge-Kutta clásico con h=0.5? 5. Un proyectil de masa m=0.11 Kg. se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial v(0)=8 m/s y se va frenando debido a la gravedad ( Fg = !mg ) y a la resistencia del aire ( Fa = !kv 2 ) donde suponemos que g=9.8 m/s2 y k=0.002 Kg./m. Así, la velocidad del proyectil respecto del tiempo (en segundos) viene descrita por la ecuación diferencial: m dv = !mg ! kv 2 dt a) Determine la velocidad aproximada tras 0.1, 0.2, ...., 1.0 seg. usando el método de Taylor de orden 2. b) Utilice el método de Runge-Kutta para determinar el tiempo aproximado que tarda el proyectil en alcanzar su máxima altura. 6. La reacción química irreversible siguiente: = cte cinética 2K 2Cr2O7 + 2H 2O + 3S !k!!!! " 4KOH + 2Cr2O3 + 3SO2 2 2 dy y% " y% " 3y % " = k $ n1 ! ' $ n2 ! ' $ n3 ! ' # dt 2& # 2& # 4& se rige por la ecuación diferencial: 2 donde y=y(t) es la cantidad de hidróxido de potasio formado en el tiempo t, n1 es el número inicial de moléculas de K 2Cr2O7 , n2 es el de H 2O , y n3 es el de azufre. Si tomamos los k = 1.62 ! 10 "19 , ¿Cuántas unidades de KOH se valores n1 = n2 = 1000, n3 = 1500, y formarán tras 2 segundos? (Use los métodos de Taylor de orden 2 y de Runge-Kutta con pasos h=0.1 y 0.2 respectivamente). 7. Para el P.V.I. y! = 2y + x 2 e x , con y(1) = 0, en x [1,2 ] a) Utilice el método predictor-corrector de Milne-Simpson para aproximar la solución tomando una partición uniforme de 20 subintervalos y compare con los valores exactos (ver ejer. 3). b) Con los valores obtenidos en a), estime los valores y(1.04), y(1.97) mediante interpolación lineal apropiada y compare con los valores exactos. 8. Suponga que dos tanques de A y B están conectados por sendos conductos por los que se bombean las mezclas de un tanque a otro según los datos de la figura 1. Simultáneamente, fluye al tanque A una mezcla a razón de 3 l/s con 1g/l de concentración y del tanque B sale la mezcla a razón de 3 l/s. Describa el sistema de ecuaciones diferenciales para las funciones que representan las cantidades de sal que hay en cada tanque respecto del tiempo y resuélvalo numéricamente usando el método de Taylor de orden 2 (adaptado a sistemas) en el intervalo de tiempo que iguala los volúmenes. 1 l/s. 80 l. de agua pura. A 5 l/s. B 60 l. con 10 g de sal Figura 1: Esquema de flujo entre los tanques A y B.