Hoja de Métodos numéricos en problemas de valor inicial 1. a) b) c) Resuelva numéricamente los siguientes problemas de valor inicial: 2 y' = (y/x) + (y/x), 1 ≤ x ≤ 1.5 con y(1) = 1 y' = sin(y·t) + exp( - t), 1≤ x ≤ π con y(1) = π y' = arctan(x·y), 0 ≤ x ≤ π/4, y(0) = 1 2. Compare por diferentes métodos los resultados de las resoluciones numéricas de las siguientes ecuaciones diferenciales 2 2 1/2 y' = (2·y + (x + y ) )/(2·x), con y(1) = 1 en el intervalo 1 ≤ x ≤ 1.5 2 3 4 y' = 3·x·y /(x + 2·y ), con y(1) = 1 en el intervalo 1 ≤ x ≤ 1.5 2 2 y' + y + (2·x + 1)·y + 1 + x + x = 0, con y(1) = 0 en el intervalo 1 ≤ x ≤ 1.2 2 2 y' = x + y con y(0) = 1 1/2 y' = (x + y) con y(1) = 3 a) b) c) d) e) 3. Determine numéricamente la trayectoria ortogonal por el punto y(1) = 1 de la curva que pasando por ese punto es solución de la ecuación diferencial: y' = - x/y. 4. Resuelva numéricamente las siguientes ecuaciones diferecniales, comparando los resultados por distintos métodos. y" + 4·y' + 4·y = sin(2·t), con y(0) = 0 ; y'(0) = 1 2t y" + 4·y' + 4·y = e , con y(0) = 0 ; y'(0) = 1 y" = - x·y' - y - 1, con y(0) = 1 ; y'(0) = 1 y" + 4·y' + 4·y = sin(2·t), con y(0) = 0 ; y'(0) = 1 2 y" + x ·y' + 3·y = x, con y(0) = 1 ; y'(0) = 2 x·y" - (x + 1)·y' - y = 0 con y(1) = 0 ; y'(1) = 1 2 2 x ·y" + x·y' + (x - 1/4) = 0 con y(0) = 0; y'(0) = - π1/2 a) b) c) d) e) f) g) 3 5. Representar gráficamente, en el intervalo [0,50], la solución del problema de valor inicial y" + k·y' + y =A·cos(w·x), siendo k = 0.05, w = 1 y A = 7.5, en los siguientes casos: a) y(0) = 3, y'(0) = 3; b ) y(0) = 3 , y'(0) = 3.0003. Comentar el resultado. (Este ejercicio ha de hacerse programando en Maple algunos métodos numéricos). 6. Obtener con diez cifras decimales exactas el número e, por resolución numérica de las siguientes t ecuaciones diferenciales: a) y' - y = 0 con y (0 ) = 1; b) y' - y = e con y(0) = 0. (Este ejercicio ha de hacerse programando en Maple algunos métodos numéricos). 7. Determinar por Euler, Taylor de tercer orden, Runge-Kutta, Adams-Bashforth y Adams-Moulton el valor de 2 2 x(2) en el siguiente problema de valor inicial x' = (x + 2·t·x)/(3+ t ) con x(1) = 2. 8. Determinar por Euler, Taylor de tercer orden, Runge-Kutta, Adams-Bashforth y Adams-Moulton el valor de x(4) e y(4) en el siguiente problema de valor inicial: x' = x·(1 - x - y); y' = y·(0.5 - 0.25·y - 0.75·x) con x(0) = 5 e y(0) = 7.