4º ESO (Opción B) Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------TEMAS 7 y 8.- TRIGONOMETRÍA. VECTORES Y RECTAS 1.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO. 4 Calcula las r.t. de α tomando el triángulo rectángulo pequeño y tomando el grande. ¿Qué observas? ¿Cómo son esos triángulos? 5 Resuelve los siguientes triángulos rectángulos: a) Un ángulo mide 30º y el cateto opuesto a él mide 4 cm b) La hipotenusa mide 26 cm y el cateto menor 10 cm. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO seno de α = coseno de α tangente de sen α = α cateto opuesto hipotenusa 6 Desde un barco se ve el punto más alto de un acantilado con un ángulo de 74º con la horizontal. Sabiendo que la altura del acantilado es de 200 m, ¿a qué distancia se halla el barco del pie del acantilado? 7 Un árbol de 25 m de alto proyecta una sombra de 30 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del Sol en ese momento. cateto contiguo = cos α = hipotenusa 8 Desde el lugar donde me encuentro, veo el punto más alto de una torre con un ángulo de 32º con la horizontal. Si me acerco 15 m, el ángulo es de 50º. ¿Cuál es la altura de la torre? cateto opuesto α = tg α = cateto contiguo 9 Saúl y Víctor, situados a 70 metros de distancia uno de otro, ven un globo situado entre ellos y en el mismo plano vertical bajo ángulos de elevación de 25º y 70º. Halla la altura del globo y la distancia del globo a cada uno de ellos. Razones trigonométricas con la calculadora Las r.t. de un ángulo agudo también se pueden hallar con la calculadora científica usando las teclas sin , cos y tan Así, por ejemplo, para calcular sen 30º tecleamos 30 sin y obtenemos 0.5 . Luego sen 30º = 0,5 De igual forma se calcula el coseno y la tangente usando las teclas cos y tan. En algunas calculadoras, en lugar de teclear 30 sin , se hace al revés, pulsando primero sin y luego 30. También se puede calcular el ángulo α conocido el valor de sen α , cos α o tg α. Por ejemplo, si queremos hallar el ángulo agudo α que cumple sen α = 0,5 tecleamos 0.5 SHIFT sin y obtenemos 30 ; luego α = 30º De igual forma se hace si nos dan cos α las teclas cos y tan. o tg α , usando 11 El perímetro de un octógono es 96 cm. Halla los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita. EJERCICIOS PARA EL ALUMNO 1 Halla con tu calculadora las siguientes r.t. redondeando a las milésimas: a) sen (2π/5 rad) b) tg 75,4º c) cos (84º20´45") 2 Calcula el ángulo agudo x que cumple: a) sen x = 2/5 b) cos x = 3/11 c) tg x = 2 3 Calcula los ángulos que forma la diagonal de un rectángulo de 110 x 60 con cada uno de sus lados. 4 El tobogán de un parque tiene una longitud de 2,9 m y forma un ángulo de 40° con el suelo ¿Qué altura tendrá la escalerilla? 5 Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 40º, y si se retrocede 4 m se ve bajo un ángulo de 28º. Calcula la altura del árbol y la anchura del río. 6 Desde un cierto punto del terreno se mira a lo alto de una montaña y la visual forma un ángulo de 35º con el suelo. Al acercarse 200 m hacía la montaña, la visual forma 50º con el suelo. Halla la altura de la montaña. EJERCICIOS DE CLASE 1 Dado un rectángulo de 5 cm de altura y 13 cm de diagonal, halla las r.t. del ángulo que forma la diagonal con la base del rectángulo 2 Halla con tu calculadora las siguientes r.t. redondeando a las milésimas: a) sen (3π/5 rad) b) tg 84,5º c) cos (65º35´40") 3 Calcula el ángulo agudo x que cumple: a) sen x = 1/3 b) cos x = 3/8 10 Calcula el área de un pentágono regular de 24 m de apotema. c) tg x = 5 7 Dos edificios distan entre sí 150 m . Desde un punto que está entre los dos edificios, las visuales a los puntos más altos de éstos forman con la horizontal ángulos de 35º y 20º, respectivamente. Halla la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo. 8 Hallar el área de un pentágono regular de 30 dm de perímetro. Del libro (Tema 7): 21, 23, 74 y 80 -1- 4º ESO (Opción B) Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. Las r.t. de un ángulo cualquiera α se deducen a partir de las r.t. de un ángulo agudo estudiadas en el apartado anterior. Veamos cómo: 1º) Trazamos una circunferencia de radio 1 y cuyo centro es el origen de coordenadas (esta circunferencia se llama circunferencia goniométrica o trigonométrica). La circunferencia queda dividida en 4 cuadrantes sen α = b Entonces se define: cos α = a tg α = b a El signo de las r.t. de un ángulo depende del cuadrante en el que esté dicho ángulo. Observa: Y b Y P(a,b) P(a,b) 1 α 1 X X a a cos α = a > 0 b α cos α = a < 0 sen α = b > 0 sen α = b > 0 Y 2º) Dibujamos el ángulo de forma que el vértice sea el origen de coordenadas y el lado inicial la parte positiva del eje X (se dice que estamos dibujando el ángulo en posición normal) El lado final del ángulo corta a la circunferencia en un punto P(a,b) Y α a α X 1 P(a,b) cos α = a < 0 a X 1 b b cos α = a > 0 sen α = b < 0 P(a,b) sen α = b < 0 EJERCICIOS DE CLASE 1 Usando la definición halla las r.t. de los ángulos: 0º , 90º , 180º y 270º Usando la definición de las r.t. vistas en el apartado anterior : sen α = cateto opuesto hipotenusa cos α = cateto contiguo hipotenusa tg α = cateto opuesto cateto contiguo b = = 1 a = 1 2 Indica en qué cuadrante está el ángulo α en los siguientes casos: b) sen α < 0 , cos α > 0 a) sen α y cos α son negativos c) cos α < 0 , tg α < 0 =b d) sen α = 0,6 , cos α = 0,8 e) tg α = - 0,75 , sen α = 0,8 = a 3 Dibuja en posición normal, indica en qué cuadrante está el ángulo α y halla sus r.t. con la calculadora redondeando a las milésimas en los siguientes casos: b a) α = 150º a b) α = 4 π/5 rad c) α = 2580º d) α = 19 π/3 rad EJERCICIOS PARA EL ALUMNO Esta misma definición se usa para calcular las r.t. de un ángulo cualquiera. Del libro (tema 7): 10 , 11 , 49 y 55 Es decir, para calcular las r.t. de cualquier ángulo, se dibuja en posición normal. El lado final del ángulo corta a la circunferencia goniométrica en un punto P(a,b) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3.- RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. 2) Relación entre el seno, coseno y tangente: Demostración: sen α = tg α cos α sen α b = = tg α cos α a EJERCICIO DE CLASE 1 Calcula las demás r.t. de α en los casos: a) cos α = 3/4 , α ∈ IV cuadrante sen α = b , cos α = a , tg α = 2 2 b a b) sen α = -2/3 , α ∈ III cuadrante 2 c) sen α = Teorema de Pitágoras: a + b = 1 = 1 1) Relación entre el seno y el coseno: Demostración: 2 2 2 2 2 2 sen α + cos α = 1 2 , π/2 < α < π d) cos α = -1/5 , 180º < α < 270º EJERCICIOS PARA EL ALUMNO 2 sen α + cos α = (sen α) + (cos α) = b + a = 1 2 5 Del libro (tema 7): 52 y 61 -2- 4º ESO (Opción B) Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.- VECTORES EN EL PLANO. Y Un vector es un segmento con un origen y un extremo. Lo podemos representar con una letra minúscula y una flechita encima: 3 5 v = (3,-4) 4 | v | = 5 unidades También se puede representar con 2 letras mayúsculas, que indican el origen y el extremo, y una flechita encima: X Los vectores que miden 1 se llaman vectores unitarios. El vector nulo 0 = (0,0) tiene módulo 0 Vector determinado por dos puntos Dados dos puntos A(a , a ) , B(b , b ) , entonces 1 2 1 2 AB Componentes de un vector Y v tiene dos componentes (v , v ) 1 2 Las componentes nos indican el desplazamiento que hay que hacer (en horizontal y en vertical) para ir desde el origen del vector al extremo Cualquier vector Ejemplos: b2 - a2 a1 del vector AB Ejemplo: Si A(3,4) , dist(A,B) = | X AB |= 4 Ejemplo: Si A(2,5) , v = (3,-4) X Módulo de un vector v = (v1 , v2) , el módulo del vector se 2+6 5 +7 M( , ) 2 2 2 1 = 25 =5. + v v = (3,-4) 25 = 5 . → B(6,7) , entonces el punto medio de AB es M( 4 , 6) EJERCICIOS DE CLASE 2 Si 3 + (-4) = 1 Dibuja el vector v = (-3,2) y cuyo origen es el punto A(4,-1). Indica cual es el extremo 2 2 El módulo de un vector nos indica lo que mide dicho vector, es decir, la distancia del origen al extremo |v | = (-4)2 + 32 Vectores equivalentes o equipolentes Se dice que dos vectores son equivalentes cuando tienen las mismas componentes. En este caso, los vectores tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido y se calcula por la fórmula 2 = (-1-3 , 7-4) = (-4,3) a + b1 a2 + b2 M( 1 , ) 2 2 3 Ejemplo: El módulo del vector B(-1,7) , entonces Coordenadas del punto medio de un segmento AB Dado un segmento AB, con A(a , a ) , B(b , b ) , el punto 1 2 1 2 medio M del segmento AB se calcula por la expresión: Y v b1 La distancia de A a B es 5 unidades 4 |v | = X Observa que la distancia entre los puntos A y B es igual al módulo 3 2 b1 - a1 AB v = (4,3) representa por | v | A a2 Y Dado un vector B b2 La primera componente (v ) nos indica el desplazamiento 1 sobre la horizontal (es positiva si el desplazamiento es hacía la derecha y negativa si es hacía la izquierda) La segunda componente (v ) nos indica el desplazamiento 2 sobre la vertical (es positiva si el desplazamiento es hacía arriba y negativa si es hacía abajo) = (b - a , b - a ) 1 1 2 2 es El vector mide 5 unidades AB = (-5,-2) y B(3,6) ¿cuáles son las coordenadas de A? 3 Dado el triángulo de vértices A(1,3) , B(4,7) , C(-3,6), calcula el perímetro y el punto medio de cada lado. EJERCICIOS PARA EL ALUMNO Del libro (tema 8): 1 , 6 , 39 a) , 40 a) , 68 a) -3- 4º ESO (Opción B) Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5.- OPERACIONES CON VECTORES. Suma de vectores Dados dos vectores u = (u1 , u2) Multiplicación de un número por un vector v = (v1 , v2) . , El vector suma se calcula por la fórmula u+v = (u + v , u + v ) 1 1 2 2 Dado un número k y un vector de k por v Ejemplos: v = (v1 , v2) . El vector producto k.v se calcula por la fórmula: 3.(2,5) = (6,15) = (k. v , k. v ) 2 1 -2.(1,-7) = (-2,14) Interpretación geométrica: Ejemplo: (2,7) + (3,4) = (2+3 , 7+4) = (5,11) Cálculo gráfico de la suma de vectores: Fíjate que se puede hacer de dos formas y las dos dan como resultado el mismo vector El vector k.v es paralelo a v con el mismo sentido (si k > 0) y con sentido contrario (si k < 0) Método del paralelogramo Base ortonormal j i = (0,1) son vectores j = (1,0) , i Los vectores , } perpendiculares y unitarios. Se dice entonces que { Resta de vectores i v = (v1 , v2) . , El vector resta se calcula por la fórmula u -v Ejemplo: , de la forma: → A = (Ax , Ay) = Ax.(1,0) + Ay.(0,1) A =A . x j u = (u1 , u2) i Dados dos vectores j forman una base ortonormal. Cualquier vector se puede expresar en función de los vectores +A . y = (u - v , u - v ) 1 1 2 2 (3,8) - (7,2) = (3 - 7 , 8 - 2) = (-4,6) Cálculo gráfico de la resta de vectores u = (3 , 7) = 3. j i Por ejemplo: + 7. EJERCICIO DE CLASE 1 Dados los puntos A(2,-3) , B(1,-5) , C(3,4) calcula los vectores: Vector opuesto Dado un vector u = (u1 , u2) , su vector opuesto es d) BA +2 BC AB b) -3. e) AC - 5. c) -5. CA f) El opuesto de AB EJERCICIOS PARA EL ALUMNO - u = (- u , - u ) 1 AB BC a) 2. 2 1 Dados los puntos A(7,-2) , B(4,-1) , C(5,2) calcula los vectores: Ejemplo: El opuesto de (3,-5) es (-3,5) Interpretación geométrica del opuesto AB BA + 2 BC a) 2. d) BC e) AC b) -3. c) -5. - 5. AB f) El opuesto de representación: -4- u = (2 , 5) , v = (4 , 1) j i 2 Expresa en función de los vectores { CA } y haz la w = (1 , 6) AB