Operaciones con Números Reales

Universidad Nacional de Río Cuarto
Facultad de Ingeniería
Área de Matemática
____________
I
N
G
R
E
S
O
2
0
1
0
____________
Matemática
_______________________________________________________________
Docentes ejecutores:
Jorge Agustín Adaro:
aadaro@ing.unrc.edu.ar
Adrián Barone:
abarone@ing.unrc.edu.ar
Alejandra Méndez:
amendez@ing.unrc.edu.ar
Jorge Morsetto:
jmorsetto@ing.unrc.edu.ar
Gabriel Paisio:
gpaisio@ing.unrc.edu.ar
David Palumbo:
dpalumbo@ing.unrc.edu.ar
Fabián Romero:
fromero@ing.unrc.edu.ar
María Nidia Ziletti:
mziletti@ing.unrc.edu.ar
Javier Zizzias:
jzizzias@ing.unrc.edu.ar
Algunos signos y símbolos utilizados en matemática
= Igual a
≠
Diferente
≡ Idéntico a, se define como
≅
Aproximadamente igual
> Mayor que
>> Mucho mayor que
< Menor que
<< Mucho menor que
≥ Mayor o igual que
≤
Menor o igual
∈ Pertenece
∉
No pertenece
⊂ Está incluído
⊄
No está incluido
∀ Para todo
∃!
Existe un único
∧ y
∨
ó
// Paralelo
⊥
Perpendicular
⇒ Entonces
⇔ Sí y solo sí
∃
Existe
∃
No existe
∪ Unión
∩
Intersección
Tal que
∴
Por lo tanto
∑
La sumatoria de
∏
La productoria de
∅
Conjunto Vacío
/
ALFABETO GRIEGO
Alfa
Α
α
Un
Ν
ν
Beta
Β
β
Xi
Ξ
ξ
Gamma
Γ
γ
Omicron
Ο
ο
Delta
Δ
δ
Pi
Π
π
Epsilon
Ε
ε
Rho
Ρ
ρ
Zeta
Ζ
ζ
Sigma
Σ
σ
Eta
Η
η
Tau
Τ
τ
Theta
Θ
θ
Ipsilon
Υ
υ
Iota
Ι
ι
Fi
Φ
φ
Kappa
Κ
κ
Ji
Χ
χ
Lambda
Λ
λ
Psi
Ψ
ψ
Mu
Μ
μ
Omega
Ω
ω
ÍNDICE
Presentación ----------------------------------------------------------------------
5
01- Operaciones con Números Reales ----------------------------------------------- 7
02- Funciones -------------------------------------------------------------------------- 41
03- Funciones Lineales ---------------------------------------------------------------- 61
04- Funciones Cuadráticas ----------------------------------------------------------- 81
05- Funciones Exponenciales y Logarítmicas --------------------------------------- 97
06- Funciones Trigonométricas ------------------------------------------------------ 113
Presentación
Nos es muy grato comenzar con ustedes este CURSO INTRODUCTORIO DE MATEMÁTICA a través
del cual intentamos rescatar sus experiencias, conocimientos y hábitos de estudio en relación a la
matemática para vincularlos con los nuevos temas y modos de tratamiento que hemos pensado,
podrían favorecer el aprendizaje.
También deseamos que esta sea una oportunidad para que comiencen a familiarizarse con todo lo que
supone la vida universitaria: establecer relaciones con sus nuevos compañeros y los docentes, conocer
el lugar donde pasarán gran parte de su tiempo,...
Probablemente ustedes se pregunten cual es el aporte de la matemática a la ingeniería para que se
halle incorporada al plan de estudios de la carrera. Intentando responder a esto hay quienes dicen que
"ningún problema de ingeniería se puede resolver sin los recursos de la matemática" aunque puede
ser "discutible la extensión y profundidad de la cultura matemática del ingeniero".
También se afirma que "la matemática es uno de los más poderosos medios de que dispone el hombre
para transformar la naturaleza en su beneficio (nosotros preferiríamos hablar de una transformación
respetuosa del equilibrio de la naturaleza); además de economía de pensamiento es un instrumento
de pensamiento constructivo".
"El hombre común también necesita de un mínimo de conocimientos matemáticos para interpretar
muchas cosas que lee en el diario. Por ejemplo, para entender al ministro de economía cuando
menciona el sueldo medio, diferenciándolo del sueldo ganado por más cantidad de personas, o para
interpretar el gráfico que muestra la variación del índice del costo de la vida en los últimos meses o la
descripción de cualquier otro tipo de fenómeno".
Siendo la matemática - por lo que hemos comentado - una disciplina tan importante para la vida
cotidiana, para la carrera y para otras disciplinas, queremos que su aprendizaje sea significativo, de
ahí que no abundaremos en detalles innecesarios que sólo producen cansancio y desorientación.
Deteniéndonos solamente en los conceptos principales es posible llegar bastante lejos en poco tiempo.
También formarán parte del desarrollo conceptual de los temas del curso, algunas lecturas que den
cuenta del aporte y de la importancia de la matemática en diversos ámbitos, temas y problemas tanto
de la ciencia como de la sociedad.
Presentación Ingreso – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
(5)
Asimismo, debido a que pensamos que el aprendizaje de toda disciplina debe tener sentido y valor
para el estudiante, hemos previsto la reflexión y discusión acerca de lo que nos pasa con la enseñanza
y aprendizaje de la matemática y las probables dificultades con las que nos vayamos encontrando.
Esperamos que el tiempo compartido sea de valiosos y agradables aprendizajes…
(6)
Presentación Ingreso – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Operaciones
01
con Números
Reales
Objetivos:
Pretendemos que a medida que avancemos con este tema seamos
•
Los números reales.
•
Operaciones con
capaces de reconocer los números naturales, enteros, racionales e
números reales.
irracionales.
Que aprendamos a operar con expresiones algebraicas, aplicando las
•
distintas propiedades que poseen.
Potenciación de
Números Reales.
•
Radicación de Números
Reales.
Modalidad:
Esta unidad es de revisión elemental y deberá desarrollarla cada alumno
•
Potenciación de
exponente racional.
•
en forma personal y según las necesidades de reafirmación de conceptos
Racionalización de
denominadores.
que se presenten durante la lectura de los temas que se desarrollan en
este capítulo.
•
Relaciones de
Igualdad.
•
Expresiones
Algebraicas
•
Polinomios.
•
Expresiones Racionales
Polinómicas.
•
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Actividades.
(7)
(8)
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
LOS NÚMEROS REALES ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
La noción de número es muy antigua, los pueblos primitivos usaban piedras para contar sus rebaños...
En la actualidad de qué nos valemos para contar? ...
Los números que usamos para contar son los llamados NÚMEROS NATURALES, y designaremos al
conjunto de estos números como N.
Consideraremos al cero número natural y distinguiremos con N-{0} al conjunto que no contiene el
cero.
En este conjunto N, podemos sumar y multiplicar sin salirnos de él, (en este caso se dice que la suma
y la multiplicación son cerradas), la resta no siempre es posible ya que si queremos resolver
a-b
donde b es mayor que a, necesitamos otros números... De aquí surgen los NÚMEROS NEGATIVOS,
que junto a los naturales forman el conjunto de los NÚMEROS ENTEROS, que designaremos Z.. En
este conjunto, la suma, la resta y la multiplicación son cerradas.
Le proponemos a continuación que piensen si siempre es posible efectuar la división en Z.
Los ayudamos con este ejemplo:
4:3 = ?
Debemos pensar en un número entero tal que al multiplicarlo por 3 de por resultado 4. ¿Qué número
entero cumple con esta condición?
Para poder resolver esta situación vamos a introducir otro conjunto numérico: los NÚMEROS
RACIONALES. Los designaremos por la letra Q.
Un número racional es el cociente de dos números enteros m y n siendo n
≠
0 (recordamos que la
división por cero no está definida). En este conjunto, la suma, la resta, la multiplicación y la
división son cerradas.
Veamos algunos ejemplos:
7
es racional porque 7 y 5 son enteros
5
0 es racional porque se puede expresar como
0
y ambos son enteros
1
0,5555....... es la expresión decimal del número racional
5
9
Todo número racional puede representarse como una expresión decimal periódica o limitada.
Por ejemplo:
∩
37
= 1,121212........= 1, 12
33
periódica pura
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
(9)
)
32
= 0,355555........= 0,35
90
periódica mixta
9
= 0,45
20
decimal limitada
A continuación estableceremos cuando dos números racionales son iguales:
Sean
p
m p
m
=
y
dos números racionales,
si y solo si m.q = n.p
q
n q
n
¿Pueden representar todos los números que conocen mediante una expresión decimal limitada o
periódica? Pidan a su calculadora el número π.
El resultado que obtuvieron es sólo una aproximación. Hasta el año 1983 dos japoneses habían
calculado 16.777.216 cifras decimales del número π.
Todo número cuya expresión decimal no es limitada o periódica constituye un NÚMERO
IRRACIONAL.
Otros ejemplos de números irracionales son:
3
2
;
2
;
3
3
;
3
;
4
5
;
e = 2,718281 ...
2
;
5
2
Al conjunto de los números irracionales los designaremos con la letra I. La unión de los
conjuntos I y Q constituye el conjunto de los reales ℜ .
Entonces, la relación de dependencia de estos conjuntos es:
N⊂Z⊂Q
; Q∪I = ℜ
Estas relaciones nos muestran la importancia de conocer las operaciones y sus propiedades en ℜ pues
con ello conocemos las operaciones y propiedades en N , Z y Q.
Es conveniente que ahora recordemos las propiedades que gozan algunas operaciones. La aplicación
correcta de las mismas ayuda a un manejo fluido de las operaciones con números reales. Además
trataremos de introducirnos en el “lenguaje simbólico” de la matemática.
( 10 )
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
OPERACIONES CON NÚMEROS REALES ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
La suma cumple con las siguientes propiedades:
• Ley de cierre:
Para cada par de números reales a y b existe un único número real llamado suma denotado por a+b.
∀ a ∧ ∀ b ∈ ℜ , ∃! c ∈ ℜ / a + b = c
• Asociativa:
En una adición de tres sumandos es igual sumar los dos primeros y a esto el tercero, que sumar al
primero la suma del segundo y del tercero.
∀ a, b, c ∈ ℜ
,
(a + b) + c = a + (b + c)
• Conmutativa:
El orden de los sumandos no altera la suma.
∀ a, b ∈ ℜ ,
a+b=b+a
• Existencia del elemento neutro:
Existe un número real llamado cero tal que sumado a cualquier número “a” da como resultado el
mismo número “a”
∀ a ∈ ℜ , ∃ 0 ∈ ℜ / a+0= 0+a = a
• Existencia del inverso:
Para cualquier número real “a” existe un número real “-a” llamado inverso aditivo u opuesto, tal
que sumado con “a” da como resultado el elemento neutro.
∀ a ∈ ℜ, ∃ - a ∈ ℜ /
a + (-a) = (-a) + a = 0
• Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma:
∀ a, b, c ∈ ℜ
, ( a + b). c = a.c + b.c
(Realizar las actividades 1 a 5)
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 11 )
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Por definición:
•
n
⋅ a ⋅ ...⋅ a
a = a
14243
si
n
≥ 1 ∧ n ∈N
n veces
•
a0 = 1
•
a
-n
si a
≠
0
⎛1⎞
⎝ a⎠
n
∀n ∈ N
= (a-1)n = ⎜ ⎟
, a
≠
0
Propiedades de la Potenciación:
• Distributiva respecto del producto:
(a b)n = an bn
• Distributiva respecto del cociente:
an
⎛ a⎞
⎜ ⎟ = n
b
⎝ b⎠
• Producto de potencias de igual base:
am an = am+n
n
• Cociente de potencias de igual base:
am
n
a
= am−n
(am)n = am n
• Potencia de potencias:
• La potenciación no es distributiva respecto de la suma:
(a+b)n
≠
an + bn
Verifiquemos esta afirmación con un contraejemplo:
(5 + 3)2
(5 + 3)2
= 82
= 64
52 + 32 = 25 + 9
52 + 32 = 34
( 12 )
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
(5 + 3)2
≠ 52 + 32
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Recordemos ahora la definición de radicación y sus propiedades:
Dado un número natural "n" mayor que cero, y "a" un número real, se llama raíz n-ésima de
"a" al número b, tal que la potencia n-ésima de "b" es igual a "a".
n
a = b ⇔ b n = a , n ∈ N − {0}
n = índice
a = radicando
b = raíz
Ejemplo:
23 = 8
⇔
3
8
3
−1 / 64 = -1/ 4
=2
⇔ (-1/ 4)
3 = -(1/64)
¿La radicación es siempre posible en ℜ?
Para dar respuesta a esta pregunta analicemos el siguiente ejemplo:
Para calcular
−9
debemos pensar que número elevado al cuadrado es -9.
¿Existe algún número real que verifique esta condición?... Ninguno, ya que el cuadrado de cualquier
número real distinto de cero es siempre positivo.
En general decimos que toda raíz de radicando negativo e índice par no tiene solución en el conjunto
de los reales.
En consecuencia: la radicación no es cerrada en ℜ.
¿Cuándo es posible su cálculo en ℜ? ¿Cuántas respuestas encontramos?
Volvemos a plantear algunos ejemplos para dar respuesta a este interrogante:
3
3
64 = 4 ⇔
4 = 64
3
−8 = -2 ⇔
(-2) = -8
3
Cuando calculamos
24= 16
y
4
16
encontraríamos dos respuestas: 2 y -2 ya que
(-2)4 = 16
Pero por definición la radicación admite un único resultado, quedándonos entonces con el mayor
de los posibles resultados (2 en el ejemplo)
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 13 )
Entonces podemos resumir diciendo:
1) Si el índice es impar, la raíz real es única y del mismo signo que el radicando.
2) Si el índice es par y el radicando positivo, la raíz real es también única y por definición: positiva.
Recordaremos las propiedades fundamentales de la radicación:
Propiedades de la Radicación (Suponiendo que
n
n
a y
• Distributiva respecto del producto:
n
a.b
• Distributiva respecto del cociente:
n
a:b =
• Raíz de raíz:
n m
=
n
existan)
b
a.n b
n
a:
n
b
a = nm a
La radicación NO es distributiva respecto de las operaciones de adición o sustracción.
•
n
a+b ≠
Sean a ∈ ℜ ;
n
n
a +
;
b
•
n
a-b ≠
n, m y p ∈ N-{0} , consideremos
n
am
n
a y
n
b
np
a mp
. ¿Es posible efectuar la
simplificación de radicales?
Analicemos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1:
6
43 = 6 64 = 2
6
6
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
3
4 =
1
3
3
4
1
3
=
2
4 =2
vemos que en ambos casos los resultados coinciden.
5
(− 2)5
5
(− 2)
=
6
(− 8)2
= 6 64 = 2
5
=
5
5
− 32 = −2
1
5
1
(− 2)5 5
= −2 vemos que los resultados coinciden.
intentando aplicar el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores tendríamos:
6
(− 8)2
=
6
1
2
1
(− 8)2 2
=
3
(− 8) = −2
aquí los resultados no coinciden.
Entonces:
NO SIEMPRE ES POSIBLE SIMPLIFICAR UN RADICAL DE RADICANDO NEGATIVO.
Veamos que sucede cuando el índice y el exponente del radicando coinciden.
( 14 )
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
a) "n" es impar:
3
9 3 = 3 729 = 9
5
( −2 ) 5
= 5 −32 = −2
ENTONCES: La raíz es igual a la base de la potencia del radicando.
6
b) "n" es par:
26 = 6 64 = 2
2
⎛ 1⎞
⎜⎜ − ⎟⎟ =
⎝ 5⎠
1
1
=
25
5
RESUMIMOS DICIENDO:
Si "n" es impar:
Si "n" es par:
n
n
an = a
an = a
Creemos conveniente recordar que la notación
a
, se lee VALOR ABSOLUTO de a ó MODULO de a y
se define:
⎧ a
a =⎨
⎩− a
si a ≥ 0
si a < 0
Por ejemplo:
−5 = 5
−
1 1
=
2 2
(Realizar las actividades 6 a 11)
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 15 )
POTENCIACIÓN DE EXPONENTE RACIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
En este párrafo recordaremos la potenciación de exponente racional
n
d
Sea n ∈ Z, d ∈ N-{0}, a ∈ ℜ+ y
fracción irreductible. Entonces:
n
a d = d an
si y solo si
d
an
existe.
Sea ahora a ∈ ℜ< 0 .¿Qué condición debe verificar "d" para que
a
1
d
exista en ℜ ?
Nos ayudaremos con algunos ejemplos para contestar a este interrogante:
( −8)
1
3
= 3 −8 = − 2
1
⎛ 1 ⎞5 5
⎜− ⎟ =
⎝ 32 ⎠
1
( −4 ) 2 =
1
⎛ 1⎞
−⎜ ⎟ = −
⎝ 32 ⎠
2
−4
no tiene solución en ℜ
1
( −64) 6 = 6 −64
no tiene solución en ℜ
Entonces:
si a ∈ R-,
1
ad
existe si y solo si "d" es impar.
Resumiendo:
Sea n ∈ Z,
d ∈ N - {0}
y
n
d
fracción irreducible
n
d
si a > 0,
a = d an
si a < 0,
ad = d an
si a = 0,
n
d
a =0
n
si d es impar
(Realizar las actividades 12 a 15)
( 16 )
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Habrá
encontrado en varias oportunidades con expresiones como la siguiente
irracional de la forma
n
q
a
,
b
donde b es un
, q∈ Q . A los efectos de determinados cálculos, es conveniente expresar a
dicho cociente como otro equivalente
c
, donde d es un número racional.
d
El procedimiento que se emplea en esta transformación se conoce con el nombre de "racionalización
de denominadores".
A continuación recordaremos, mediante ejemplos, el procedimiento de tales transformaciones.
Ejemplo:
1
1. 3
3
=
=
3
3. 3 3
a)
b)
8
5
2
3
=
8. 5 2 2
5
3 5
2 . 2
2
=
8. 5 2 2
5
2
5
= 4. 5 2 2
c)
3( 2 − 5 )
3( 2 − 5 )
3
= −3( 2 − 5 )
=
=
−1
2 + 5 ( 2 + 5 )( 2 − 5 )
d)
a b+ c
a b+ c
a
=
=
b2 − c
b- c
b- c b+ c
(
(
)(
)
)
(
)
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 17 )
RELACIONES DE IGUALDAD ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Recordemos que además en el conjunto de los reales se define la relación de igualdad y que se
verifican las siguientes propiedades.
Cualesquiera sean los números reales a, b y c, la igualdad de números reales es:
1) REFLEXIVA:
∀ a ∈ ℜ:
2) SIMÉTRICA:
∀
a, b
a = a ( Todo número real “a” es igual a sí mismo)
∈ ℜ: si
a = b entonces b = a (Para todo par de números reales “a” y “b” si
“a” es igual a “b”, entonces “b” es igual a “a”)
3) TRANSITIVA:
∀
a, b, c
∈ ℜ:
si a = b y b = c entonces a = c (Si un número real “a” es igual a
un número real “b” y “b” es igual al número real “c”, entonces a = c).
4) UNIFORME:
Para la adición:
∀ a, b, c ∈ ℜ, si
a = b entonces
a+c=b+c (Si ambos miembros de una
igualdad se le suma un mismo número se obtiene otra igualdad).
Para la Multiplicación:
∀ a, b, c ∈ ℜ, si
a = b entonces a . c = b . c (Si multiplicamos ambos
miembros de una igualdad por un mismo número se obtiene otra igualdad).
Sobre la base de estas propiedades se demuestran las leyes cancelativas de la adición y la
multiplicación.
# Para la adición
∀ a, b, c ∈
# Para la multiplicación
ℜ: a+c=b+c
∀ a, b, c ∈
ℜ yb
≠
0
entonces a = b.
si a.b = c.b entonces a = c.
Y también la ley de anulación del producto: a.b = 0, si a=0 ó b=0 ó a=b=0
Pasaremos ahora a considerar la diferencia entre números reales.
∀ a y b ∈ℜ ;
Por ejemplo:
a - b = a + (-b), a es el minuendo y b es el sustraendo.
5−
1
1
= 5 + (− )
4
4
Insistiremos un poco más en la aplicación de las leyes cancelativas y la anulación del producto.
Si por ejemplo consideramos la ecuación:
5x + 4 + 2x = 2 + 4 + 5x
¿Puede simplificar los sumandos 4? ¿Y los 5x que también se repiten en ambos miembros? ¿Es
correcta ésta última cancelación?
Sí, es posible cancelar porque en la suma se verifica la ley cancelativa sin ninguna restricción.
Otro ejemplo: Sea la igualdad
2x + 5 = 3x + 5 , efectuamos la cancelación
2x = 3x , entonces:
2x-3x = 0 ¿Qué propiedad se aplicó?
De aquí obtenemos que x = 0
Pero si en 2x = 3x se hubiera aplicado la ley cancelativa sin tener en cuenta que x = 0 , se obtendría
2 = 3, que no es una identidad.
( 18 )
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
¿Dónde está el error? No se ha tenido en cuenta la restricción a ésta ley:
"NO SE PUEDEN CANCELAR LOS FACTORES QUE SON IGUALES A CERO"
Entonces cuando se emplee ésta ley, es decir la propiedad cancelativa de la multiplicación con
un factor literal, se debe aclarar que la simplificación no es válida para todo valor que anule
dicho factor.
Si no se tiene en cuenta lo expresado se corre el riesgo de "perder soluciones" como se comprobó en
el ejemplo.
En cuanto a la ley de anulación del producto, ¿Cómo se empleará?
⇒ a=0∨
∧ b≠0
a.b=0
a=0
a
≠
0
a=0
∧
∧
b = 0 , esto quiere decir que se pueden dar alguna de éstas tres situaciones:
( ∨ se lee "ó";
b=0
∧
se lee "y")
b=0
Esta propiedad facilita la resolución de ecuaciones del tipo:
(x+2).(x-
1
5
)=0
Como el producto es cero uno de los factores es cero, de ahí podemos obtener que una raíz es igual a
-2 y la otra es
1
.
5
Verifiquen, luego, si éstos valores satisfacen la igualdad.
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 19 )
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Una expresión algebraica es aquella donde figuran números y letras relacionadas entre si
por operaciones matemáticas.
Ejemplo:
vt
;
ai
t
100
;
3 ax2 - b2
4 x2 − a2
7 ax
;
Cada sumando de una expresión algebraica se denomina término.
Cada término de una expresión algebraica consta de tres partes: signo, parte numérica ó coeficiente
y parte literal .
Por ejemplo: -7 ab3 consta de un signo negativo (-), la parte numérica es 7 y la parte literal ab3
• Valor numérico de una expresión algebraica:
Es el valor que se obtiene sustituyendo cada letra de la parte literal por un valor numérico, efectuando
luego las operaciones para llegar al valor numérico de la expresión.
Esto permite considerar igualdad o equivalencia entre expresiones algebraicas.
Dos expresiones algebraicas son EQUIVALENTES si toman el mismo valor numérico para todos los
valores en que estén definidas.
3 ab2 - 6b2 + 12 c b2
y
a - 2 + 4c
2
3b
Estas dos expresiones algebraicas son equivalentes. Para demostrar la igualdad de estas dos
expresiones se debe operar una de ellas hasta llegar a la otra.
( 20 )
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
POLINOMIOS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Seguramente en algún momento de su ciclo secundario ha pasado por el laboratorio de su escuela
para llevar a cabo algunas experiencias. Por ejemplo:
- Estudiar el alargamiento de un resorte al suspender un peso del mismo.
- Estudiar la temperatura de una masa de agua en función del tiempo en que es sometida al calor.
Una vez volcados los resultados en tablas y efectuando la representación gráfica habrá obtenido
puntos relativamente alineados con el origen. Por lo tanto en cualquiera de estos casos podemos
llegar a una ley aproximada para el intervalo considerado, que tendrá la forma:
a)
y = mx + b
Otros de los estudios que habrá efectuado es el del movimiento rectilíneo uniforme y la traducción de
la relación posición tiempo (t) es:
st = v.t + so
b)
o del movimiento
uniforme variado donde la relación entre la posición tomada por el móvil y el
tiempo está traducida en la siguiente expresión:
st = vo t + ½ a t2
c)
o también
st = so+ vo t + ½ a t2
d)
cuando so ≠ 0
De todo lo dicho observamos que los segundos miembros de las igualdades a) y b) responden a la
forma:
a 1x + a 0
y los de las igualdades c) y d) a la forma:
a 0 + a 1x + a 2 x 2
Surge entonces la necesidad de estudiar las expresiones de la forma:
P( x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 +............+a n x n
que llamaremos polinomios,
donde los
a 0 , a 1 , a 2 ,............ a n
son elementos de por ejemplo el
conjunto de los números reales, llamados coeficientes, x es una indeterminada, y los exponentes de la
indeterminada x son todos enteros no negativos.
Al conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales lo simbolizamos ℜ(x).
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 21 )
Si an ≠0 diremos que el grado de P(x) es n ( gr P(x) = n).
Se llama polinomio nulo al polinomio:
0 + 0x + 0x 2 + 0x 3 +............+0x n
Por definición el polinomio nulo no tiene grado
Según que el número de términos con coeficientes nulos sea 1, 2, 3, .....el polinomio se llama
monomio, binomio, trinomio, etc.
( 22 )
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
• Operaciones con monomios.
1- SUMA (RESTA)
Para sumar (restar) dos monomios éstos deben ser semejantes (igual parte literal).
"La suma (resta) de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es la suma (resta) de los
coeficientes y tiene la misma parte literal que los monomios dados"
Ejemplo:
-2 ab3 + 5 ab3 = ( -2 + 5 ) ab3 = 3 ab3
-2 ab3 - 5 ab3 = ( -2 - 5 ) ab3 = -7 ab3
2- PRODUCTO
"El producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y
cuya parte literal es el producto de las partes literales".
(Se aplica producto de potencias de igual).
Ejemplo:
( -2 ab3c3).5 ac2 = ( -2 .5 )ab3c3ac2 = - 10 a2 b3c5
3- COCIENTE
"El cociente de dos monomios es una expresión algebraica que se obtiene aplicando las propiedades
de la división de números, en sus coeficientes, y del cociente de potencias de igual base, en sus partes
literales ".
Ejemplo: ( -8a2b4c) : (
2 2
ab ) = -12ab2c
3
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 23 )
• Operaciones con polinomios.
1- SUMA
“Por la propiedad asociativa, se suman los monomios semejantes”
La suma de polinomios verifica la ley de cierre, es asociativa, conmutativa, posee elemento neutro( el
polinomio nulo, 0(x)), e inverso aditivo u opuesto.
2- PRODUCTO
“Por la propiedad distributiva y asociativa, se multiplican todos los monomios y
se asocian los semejantes”.
Es decir que esta operación se define de tal modo que satisfaga la propiedad de la multiplicación de
potencias de igual base para la indeterminada x, la conmutatividad de x con los números reales y la
propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición.
La multiplicación de polinomios es también una operación cerrada en ℜ(x) que asocia, conmuta y
tiene elemento neutro (E(x) =1). Sin embargo no posee inverso multiplicativo.
Como puede verse existe una estrecha analogía entre el conjunto ℜ(x) con la adición y
multiplicación y el conjunto Z con dichas operaciones.
3- DIVISIÓN DE POLINOMIOS.
Dados dos polinomios A(x) y B(x), con B(x) distinto del polinomio nulo, es posible determinar Q(x) y
R(x) tal que: A(x) = B(x) Q(x) + R(x), siendo gr R(x) < gr B(x) o bien R(x) es el polinomio nulo. El
polinomio Q se llama polinomio cociente y R(x) polinomio resto.
Recordemos a continuación el algoritmo de la división.
1) Se ordena el grado del polinomio según las potencias decrecientes.
2) Se dividen los monomios de mayor grado.
3) Se resta del dividendo el mayor multiplo del divisor contenido en él.
4) Se repiten las operaciones 2) y 3) hasta que el divisor sea de mayor grado que
el dividendo.
Ejemplo
2x3 -
3x - 5
- 2x3 -
2 2
x
3
3x2 + x
2
x
3
-
2
9
_______________
-
( 24 )
2 2
x
3
- 3x - 5
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
2 2 2
x + x
3
9
−
25
x
9
-5
Con frecuencia se nos presentan divisiones donde los divisores son monomios del tipo
x + a , tal
vez recuerden que en éstos casos es práctico aplicar la regla deRufini.
Sean las siguientes expresiones:
(2x3 - 4x2 + 5) : ( x + 2)
Entonces:
a)
b)
c)
2
-2
2
-4
0
5
-4
16
-32
-8
16
-27
El cociente es 2 x2 - 8 x + 16
y el resto -27.
Los pasos que se siguen son:
a) En la primera fila se escriben los valores numéricos de cada coeficiente (previamente
ordenado y completo)
b) En el ángulo izquierdo se escribe el opuesto del término de grado cero de la expresión del
divisor.
c) En la tercera fila se obtienen los coeficientes del cociente donde: el primero de ellos es el
primero del dividendo
y los restantes se obtienen multiplicando el anterior por el número que se
escribe en el ángulo izquierdo y sumado a este producto (que se escribe en la segunda fila ) el
correspondiente de la primera.
d) El último número que se obtiene en la tercera fila es el resto de la división.
(Realizar actividades 16 y 17)
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 25 )
• Divisibilidad en ℜ(x).
Recordemos que en el conjunto Z, se dice que “a divide a b si y sólo si existe un k tal que k.a = b.
Por lo tanto el resto de la división entre b y a es cero.
También decimos que b es divisible por a.
Haciendo la correspondiente analogía con el conjunto ℜ(x) diremos que:
“A(x) divide a B(x) si y sólo si existe un polinomio K(x) ∈ ℜ(x) tal que
K(x).A(x) = B(x)”. En otras
palabras si cuando efectuamos la división entre A(x) y B(x) el resto es nulo.
Hemos dicho que con frecuencia aparecen divisores del tipo x+a y que en estos casos se puede aplicar
la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto y por lo tanto investigar si un polinomio es divisible
por otro. Aquí veremos otros caminos para investigar la divisibilidad por x+a.
Para ello definiremos valor numérico de un polinomio : dado un polinomio P(x)∈ ℜ(x) llamamos
valor numérico del mismo para x igual a a ∈ℜ, al número que se obtiene reemplazando a x por a y
efectuando los cálculos.
Ahora podemos enunciar el Teorema del Resto: el resto de la división de un polinomio P(x) por otro
de la forma x+a es igual a P(-a).
( 26 )
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
• Factoreo de Polinomios.
Así como para descomponer a un número natural en factores primos utilizamos criterios de
divisibilidad, para descomponer a un polinomio en polinomios primos o irreductibles, también
utilizamos algunos criterios que mostraremos a continuación.
Antes de enunciarlos recordemos que en ℜ(x) un polinomio A(x ) tal que el grado de
primo o irreductible si no existen dos polinomios P(x) y Q(x)
A(x) ≥ 1 es
de grado ≥ 1 tales que: A(x) =
P(x).Q(x). Como consecuencia se puede decir que todo polinomio de grado uno es primo.
•
Factor común
Recordaremos, mediante ejemplos, las posibilidades de sacar factor común en una expresión
algebraica:
Ejemplo 1:
2 x2 + 18 = 2( x2 + 9 )
Ejemplo 2:
x3 + x2 = x2 ( x + 1 )
Ejemplo 3:
2 3 8 2 16
2 ⎛1
8⎞
x − x + x = x⎜ x 2 − 4x + ⎟
⎝
15
3
9
3 5
3⎠
Puede ocurrir que existan factores comunes en algunos términos de la expresión, entonces podemos
proceder como en el ejemplo:
3x3 - 6x2 + 5x - 10 = 3x2( x - 2) + 5(x - 2) = (como el binomio (x-2) es factor común,
concluimos así) = (x - 2)(3x2+5)
•
Trinomio cuadrado perfecto
Sean a y b dos monomios cualesquiera:
( a + b ). ( a + b ) = ( a + b )2 = a2 + 2 a.b + b2
( a - b ). ( a - b ) = ( a - b )2 = a2 - 2 a.b + b2
El cuadrado de una suma (diferencia) es:
"Suma del cuadrado del primer monomio más (menos) el doble producto del primero por el
segundo más el cuadrado del segundo monomio"
Ejemplo:
(-3ab2+2c)2 = (-3ab2)2 + 2(-3ab2)(2 c) + (2 c)2 = 9a2b4 - 12ab2c + 4c2
•
Diferencia de cuadrados
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 27 )
( a + b ). (a - b ) = a2 - b2
"El resultado es la diferencia del cuadrado del primer monomio con el cuadrado de segundo"
Ejemplo:
( - 3ab2+2c )( - 3ab2 - 2c ) = ( -3ab2)2-( 2c )2 = 9a2b4 - 4c2
•
Cuatrinomio cubo perfecto
Recordemos que:
( x + a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3
( x - a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3
"El resultado es el cubo del primero más (menos) el triple del primero al cuadrado por el segundo más
el triple del segundo al cuadrado por el primero más (menos) el cubo del segundo"
•
Binomios de la forma
xn ± an
Para descomponer polinomios de este tipo en factores primos necesitaremos del concepto de cero o
raíz de un polinomio:
“a es raíz de P(x) si y sólo si P(x) es divisible por x-a”.
Vamos ahora a descomponer el polinomio P(x) = x3 - 8:
2 es una raíz de x3 - 8, por lo tanto P(x) es divisible por x - 2
Si realizamos la división por Ruffini:
(x3 - 8) : (x - 2) = x2 + 2x + 4
1
2
1
0
0
-8
2
4
8
2
4
0
Entonces el polinomio original puede ser factorizado de la siguiente forma:
x3 - 8 = (x2 + 2x + 4) . (x - 2)
(Realizar actividades 18 a 21)
( 28 )
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINÓMICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Al estudiar el conjunto Z , hemos visto que para todo número distinto de 1 y -1, ningún otro elemento
admitía inverso multiplicativo y fue necesario ampliar el conjunto Z al conjunto Q. En el conjunto
ℜ(x) estamos ante una situación semejante y por lo tanto construiremos el conjunto de las
expresiones racionales polinómicas.
Definición: Si A(x) y B(x) ∈ ℜ(x)
y
B(x) ≠ 0(x), entonces:
A ( x)
se llama expresión racional polinómica.
B( x)
Dichas expresiones aparecen por ejemplo al relacionar:
a) Presión y volumen:
k
p= v
con k una constante.
b) Intensidad de iluminación y distancia:
c) velocidad y tiempo:
v=
k
I = d2
e
t
• Operaciones con expresiones racionales polinómicas.
1- SIMPLIFICACIÓN
Para simplificar la siguiente expresión buscaremos el divisor común máximo (o máximo común
divisor) de las dos expresiones polinómicas.
Para calcular el d.c.m. entre dos expresiones, se puede proceder así:
Primero las dividimos entre ellas
x 3 + 6x 2 + 12 x + 8
x 3 + 5x 2 + 8x + 4
x3 + 6 x2 + 12 x + 8
+
|x3 + 5 x2 + 8 x + 4
1
3
-x
2
-5x
- 8x - 4
x2 + 4 x + 4
Después dividimos el divisor con el resto de la división anterior hasta llegar a un resto igual a cero
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 29 )
x3 + 5 x2 + 8 x + 4
3
2
-x -4x
|x2 + 4 x + 4
-4x
→ Este será el d.c.m.
x+1
2
x + 4x+4
- x2 - 4 x - 4
0
Entonces el d.c.m. de x3 + 6 x2 + 12 x + 8
y x3 + 5 x2 + 8 x + 4 es x2 + 4 x + 4
Luego, como
( x3 + 6 x2 + 12 x + 8 ) : ( x2 + 4 x + 4 ) = x + 2
( x3 + 5 x2 + 8 x + 4 ) : ( x2 + 4 x + 4 ) = x + 1
Tendremos que:
x3 + 6 x2 + 12 x + 8
3
- ( x2 + 4 x + 4 ). ( x + 2 )
2
2
x +5x + 8x+4
( x + 4 x + 4 ). ( x + 1 )
-
x+2
x+1
La fracción obtenida es equivalente a la dada para todo valor de x que no anule el factor cancelado
porque ello equivaldría a dividir por cero .
En este caso para todo x ≠ -2 ya que x2 + 4 x + 4 se anula para dicho valor.
Este procedimiento permite resolver el problema de la simplificación, pero en la práctica
cuando aparecen polinomios más sencillos aplicaremos los casos de factoreo.
Por ejemplo:
(
)
2x x 2 − 4
2x( x + 2)( x − 2) 2x( x + 2)
2x 3 − 8x
=
=
=
2
2
x − 4x + 4
( x − 2)( x − 2)
( x − 2)
( x − 2)
( ∀x / x ≠ 2 )
2- ADICIÓN
Si
A
B
y
C
D
son expresiones racionales, se define la suma como:
A C A. D + B. C
+ =
B D
B. D
Así por ejemplo:
( 30 )
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( x + 1)( x + 2) + 3x(2x + 1) 7x 2 + 6x + 2
x+1
3x
+
=
= 2
2x + 1 x + 2
2x + 5x + 2
(2x + 1)( x + 2)
Conviene en algunos casos calcular el Mínimo Común Múltiplo de B y D.
3- MÚLTIPLO COMÚN MÍNIMO o MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) de dos números ó de dos expresiones algebraicas A y B se denota
m.c.m.(A,B) y es igual a:
A. B
d . c. m.( A , B)
m.c.m.( A, B ) =
Por ejemplo vamos a hallar el m.c.m.( A , B ), siendo:
A = x2 + 6x + 9
;
B = x2 - 9
Buscamos el d.c.m. (A,B)
x2+ 6x + 9
+
| x2 - 9
1
2
-x
+9
6x + 18
Ahora dividimos el divisor por el resto
x
2
+ 0x - 9
|6x + 18
1
1
x−
6
2
- x2 - 3x
- 3x - 9
3x + 9
0
d.c.m. (A,B) = 6x + 18 ó 6(x + 3)
(x
m.c.m.(A,B) =
2
)(
+ 6x + 9 x 2 − 9
6x + 18
entonces el m.c.m (A,B) será:
) = ( x + 3) ( x − 3)( x + 3) = 1 ( x + 3) ( x − 3)
2
6( x + 3)
2
6
prescindiendo del factor numérico, que siempre es posible sacar, nos queda:
m.c.m. (A,B) = (x +3)2 . (x - 3)
Nota: En virtud de la propiedad asociativa, para hallar el m.c.m.(A,B,C) hallamos m.c.m.(A,B) = M1 y
luego m.c.m.(M1,C) = M, o bien m.c.m.(B,C) = M2 y
m.c.m.(M2,A) = M.
4- MULTIPLICACIÓN
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 31 )
En el conjunto de las expresiones racionales polinómicas se define como producto entre
A
B
y
C
D
a
la expresión:
A C A. C
=
B D B. D
Así por ejemplo:
2 x − 1 5x
10 x 2 − 5x
= 2
x+3 x−2 x +x−6
5- DIVISIÓN
Así como para dividir
a
b
y
c
d
(con
c
≠
d
0) multiplicamos a
el conjunto de las expresiones racionales polinómicas
(siendo
c
≠
d
a
b
:
c
d
a
b
=
por el inverso multiplicativo de
a
b
.
c
, en
d
d
c
0)
Por ejemplo:
x +1 x + 3 x +1 x
x2 + x
:
=
⋅
=
7−x x
7 − x x + 3 − x 2 + 4 x + 21
( 32 )
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Actividades
Ejercicio N° 1
Indicar cuáles de los siguientes números racionales son iguales:
7
;
5
1
; 1,4 ; 1,40 ; 0,5 ;
2
21
;
15
7,5 ;
14
; 0; a;
−8
−7
;
4
ab − a
;
90
−1
4
; 1 ;
−2
9
3a
27
a
;
9
Ejercicio N° 2
a. Complete el siguiente cuadro:
Naturales
Enteros
................
..................
Fraccionarios
Reales
Irracionales
b. Tache los números que no correspondan a la clasificación:
Naturales:
0 ; -1 ;
Enteros:
-4 ;
Racionales:
-4
;
Irracionales:
4
;
5
;
2
5
2
1
; -0,8 ;
4
0
;
; π ;
0
;
2 ;
-0,2
2,23
−1
; 2,8 ; π
3
;
2
7,2
1,131133111.....
7
4
;
2,6
1, 8
;
− 5
;
;
;
;
;
-1,5 .
;
π
7,212200148....
;
2
; 2 2
;
-1,5
; − 35
; −2 2
Ejercicio N° 3
La multiplicación tiene las mismas propiedades que las enumeradas para la suma. Traducir al lenguaje
coloquial las propiedades de la multiplicación.
Ejercicio N° 4
Proponga ejemplos mostrando que no se cumplen las propiedades asociativa y conmutativa en la
resta y en la división.
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 33 )
Ejercicio N° 5
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En este último caso justificar las
respuestas proponiendo un contra ejemplo.
a.
a.0=0
b.
(-a) . (-b) = - (a.b)
c)
a + ( -b + c) = a - b + c
d.
a : ( b + c) = (a : b) + (a : c) , siendo b+c ≠ 0
e.
a - ( b + c) = a - b + c
f.
( b + c) : a = (b : a) + (c : a)
g.
Si a = -2 y b = 0 entonces
h.
el cociente entre un número y su opuesto es igual a
i.
a ∈R,
-1
a:a
-1 -1
(a )
;
b≠0
y
c≠0
con a ≠ 0
a:b=0
-1.
=1
j.
a ∈R,
=a
k.
a . ( -b) = a . b
l.
a . ( b -c) = a . b - a . c
ll.
la ecuación 2 x = 1 tiene solución en Z
m.
-(-a)=a
Ejercicio N° 6
a. Dar contraejemplos mostrando que:
1) la potenciación no es conmutativa
2) la potenciación no es asociativa
b. Demostrar que:
1)
( a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
2)
( a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
3)
(- a - b)2 = ( a + b )2
Ejercicio N° 7
En los siguientes cálculos se han cometido errores al aplicar las propiedades. Se propone indicar
cuáles son y corregirlos:
( 34 )
1)
( 22 . 2-3 . 25)2 = ( 24)2 = 216
2)
( 52)4 : ( 5-3)2 = 58 : 5-6 = 114 = 1
3)
( 74 . ( 72)6 )/(79)2 = (7
4)
(7. 2 - 14)0 + 50 = 2
4
712)/ 718 = 7-2 = (-7)2 = 49
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Ejercicio N° 8
Aplicando las propiedades de la potenciación demostrar que:
1)
(a + 2)2 - (a - 2)2 - 4(2a + 1) = - 4
2)
(3 . 3n+1 + 3
3)
(10 . 2n+1)3 : (2
4)
n+2 3
) : (3
n+2 3
) =8
n+1 3
) = 1000
22-n . (2 . 2n+1 + 2n+2) = 32
Ejercicio N° 9
Proponga contraejemplos mostrando que la radicación no es conmutativa y no es distributiva respecto
de la suma y la resta.
Ejercicio N° 10
Lea atentamente el siguiente planteo. En el se deslizó un error. Encuéntrelo:
3
=
− 8 3 − 27 +
3
⎞
3 ⎛1
− 4 − 25 + (− 2) ⎜⎜ − 1⎟⎟
⎝5
⎠
(− 8)(− 27) + (− 4)(− 25) + (− 8) ⎛⎜⎜ − 4 ⎞⎟⎟
⎝
−2
=
−2
=
5⎠
2
⎛5⎞
216 + 100 + (− 8) ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝4⎠
⎛ 25 ⎞
= 6 + 10 + ⎜⎜ −
⎟⎟ =
⎝ 2 ⎠
=
3
= 6 + 10 −
=
25
=
2
7
2
Ejercicio N° 11
Calcular:
a.
3⎞ ⎛2 3⎞
⎛
⎜⎜1 − ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟
2⎠ ⎝3 4⎠
⎝
⎛1
⎞ ⎛2
⎞
⎜⎜ 3 − 1⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 3 − 2 ⎟⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
1−
b.
3 2 ⎛3⎞
⋅ −⎜ ⎟
2 3 ⎜⎝ 4 ⎟⎠
2
2
2
=
2
2
⎛1
⎞
2
⎜⎜ − 1⎟⎟ : − (2)
3
⎝3
⎠
=
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( 35 )
1
2
: (− 3 − 2)
5
=
1 1
1− −
2 3
3
2 ⋅ 32 +
c.
(2 − 4)2
d.
1+ 9
2
e.
+
−1
1 ⎛
1 1⎞
: ⎜1 − − ⎟⎟
2 ⎜⎝
3 4⎠
1−3−9 +1
+
6
2
−2
=
8 − 5 32
+
3
−3
=
Ejercicio N° 12
Calcular:
a)
4 − 8−3 8 =
b)
5. 5 − 3 2 . 3 4 =
c)
(1 + 5)
d)
3. 3 − ( 2 + a). 3 + a 3 =
e)
2. 3 2 − 5 32 =
2
− 20 =
3 − 54 243 + 6 81 =
f)
4
48 − 4 3 ⎛⎜1 + 4 81 ⎞⎟
⎝
g)
⎠
a4 a + 24 a 5 =
h)
Ejercicio N° 13
a) Calcular:
1)
160,25
2
⎛
⎞
⎜5 ⋅ 5 3 ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
1
5
4)
( 36 )
2)
−
16 −0,25
3)
1
3
1
⎛ 21
− ⎞
⎜3 − 3 2 ⎟
⎜
⎟
⎠
5) ⎝
2
6)
⎛ 13 ⎞ 16
⎜ 2.2 ⎟ :2
⎝
⎠
11
. .( −1) ⎤
⎡
2 3
3
⎛
⎞
⎢⎜ ⎟
⎥
⎢⎝ 5 ⎠
⎥
⎣
⎦
−2
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
b) Exprese como potencia de exponentes fraccionario y calcule:
(
3. 4 27
1)
2. 2
5
2)
)
4
8
3)
a. a
5. 3 3
125. 27
4)
3
a
c) Mostrar que:
a−b
1
2
a −b
1
2
1
2
=a +b
1
2
Ejercicio N° 14
Racionalizar los denominadores de las siguientes expresiones:
3
a)
1
2
b)
3− 2
2
e)
5
5
9
c)
1
x+y
f)
x −1
x −1
g)
1
x+ y
d)
2+ 5
2− 5
2
h)
3− 2
Ejercicio N° 15
a) Exprese paso a paso las propiedades aplicadas en la resolución de la ecuación:
( x2 -1 ) . ( x + 3 ) = 0
b) Resolver las siguientes ecuaciones en R:
1)
x ( x2 - 4 ) = 0
2)
( x2 - 2 ) . ( x2 -9 ) = 0
3)
x ( x2 -5 ) . ( x3 + 1 ) =0
Ejercicio N° 16
Obtener mediante la Regla de Ruffini el cociente y el resto de la división entre A(x) y B(x) en :
1)
2)
3)
A(x) = 3x5 - 2x2 + 3
3
A(x) = -2x + x -5
3
4
A(x) = ax + a
;
B(x) = x - 1
;
1
B(x) = x + 2
;
1
B(x) = x - 2
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 37 )
3
2
1
B(x) = x - 2
4)
A(x) = (x + 1)
;
5)
A(x) = (x + a - 1)2 - a2 + 2a
6)
A(x) = (x - 1)2 + (- x +2) . (x2 - x + 3)
;
B(x) = x - a
;
B(x) = x + 1
Ejercicio N° 17
Resolver aplicando la regla de Ruffini, y recordar que: si se multiplica al dividendo y al divisor por un
mismo número distinto de cero, el cociente no varía, pero el resto queda multiplicado por dicho
número.
1)
A(x) = x3 - 2x +1
2)
A(x) = 6x3 - 2x2 + 8x - 4
;
3)
A(x) = 3x2 - 6x + 8
;
;
B(x) = - x + 2
B(x) = 2x - 1
B(x) = 3x - 6
Ejercicio N° 18
Investigar si P(x) es divisible por Q(x).
1)
P(x) = x2 - 5x + 4
2)
P(x) = x4 - 2x3 + x2 - 5x + 1
3)
P(x) = x5 - 32
;
Q(x) = x - 1
Q(x) = x3 + x2 + x + 1
;
Q(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16
;
Ejercicio N° 19
Hallar "m" para que B(x) sea divisor de A(x).
1)
2)
A(x) = x3 + mx2 + mx + 4
4
3
2
A(x) = mx - x + mx - x + m
;
B(x) = x - 1
;
1
B(x) = x - 2
Ejercicio N° 20
Factorizar en factores primos en ℜ[x] los siguientes polinomios.
( 38 )
a)
A(x) = x5 - x
b)
B(x) = x5 - x3 + x2 -1
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
c)
C(x) = 64x3 - 1
d)
D(x) =
1 5 2 3 1
x −
x +
x
5
5
5
3 4 9 3 9 2 3
x − x + x − x
2
2
2
2
e)
E(x)=
f)
F(x) = 2x3 - 4x
g) G(x) = ax4 + 4ax2 + 4a + b(x2 + 2)2
h)
H(x) =
1 2
x − x4
25
i)
I(x) = x5 + x3 + x2 + 1
j)
J(x) = x5 - x3 - x2 + 1
Ejercicio N° 21
Resolver las siguientes ecuaciones descomponiendo en factores primos en ℜ[x] los primeros miembros
de la igualdad:
1)
25x2 - 1 = 0
2)
x3 + 10x2 + 25x = 0
3)
x3 + x2 - 6x - 6 = 0
4)
x2 + 2x - 5 = 0
(sugerencia: puede escribirse como x2+2x+1-6=0)
5)
x4 + x3 -9x2 - 9x = 0
Ejercicio N° 22
Simplificar:
a)
d)
3x − 6
2
x − 4x + 4
x2 − x − 6
x 2 + 3x + 2
b)
e)
x2 − 9
x 3 + 27
c)
x 3 + 6x 2 + 12x + 8
x 4 + 7x 3 + 18x 2 + 20x + 8
x3 − x
x 3 + 2x 2 + x
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 39 )
Ejercicio N° 23
Efectuar:
5x + 2 2x − 3
−
x −1
x +1
a)
4x
1 − 2x
−
2x + 3 x + 1
b)
Ejercicio N° 24
Efectuar:
x 2 − 4x + 4
6x − 12
. 3
2x
x − 6x 2 + 12x − 8
a)
b)
7x x − 5 x2 − 2x + 1
.
.
x3 + x x + 5
x2 − 1
Ejercicio N° 25
Resuelva las siguientes operaciones:
a)
x+2
1
+
2
1− x 1− x
c)
3
5
3x
− 2
−
x − x x − 2x +1 x −1
b)
2
d)
1+
1
x
+ 2
x + 2 x + 4x + 4
5
3
+
+2
x +1 x +1
2
4x
e)
5
2
+
+
( 4 − 2 x) 3 ( 4 − 2 x) 2 4 − 2 x
Ejercicio N° 26
Resolver:
a.
b.
c.
( 40 )
x2 − 4
x2 − 9
:
x 4 − 16
x+3
x
2
x + 2x + 1
:
1
x
1
2
x2 − 1
+
⋅
x x +1
x
Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Funciones
02
La elección de esta temática, FUNCIONES, se basa, entre otras
razones, en que comprender este tema nos permite cultivar
nuestra capacidad para establecer e interpretar relaciones.
Porque está involucrado con nuestra cotidianeidad mucho más de
lo que podamos darnos cuenta, porque nos permite una lectura
más amplia de nuestro mundo vinculando el conocimiento
matemático con lo concreto, alejándonos del pensamiento (a
menudo prejuicioso) que la matemática es sólo una ciencia
abstracta.
Durante el desarrollo del tema las consignas de interpretación no
están acabadas. Quisimos dejar lugar para que participen, creen,
se expresen, hagan y digan, es decir se involucren.
•
Introducción.
•
¿Qué es una relación?
•
¿Qué es una función?
•
Clasificación de
Buscando la manera de empezar este tema nos pusimos a pensar
que sin darnos cuenta, estamos rodeados de funciones. La vida
es un conjunto de relaciones, muchas de las cuales pueden
ser funciones.
funciones.
•
Funciones Numéricas.
•
Representación de las
Funciones Numéricas.
•
Buscando hacer una
síntesis del tema.
•
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Actividades.
( 41 )
INTRODUCCIÓN ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Tratemos de recordar situaciones de nuestra vida que puedan ser funciones.
“De pronto, un día..., María se acercó despacio al oído de Alejandra para decirle quién sabe qué,
tal vez un rumor.
Si Alejandra contara ese rumor y a su vez estas personas lo volvieran a contar, entonces...¿El
número de personas expuestas al rumor será función del tiempo?”.
Al tiempo, revisando bibliografía encontramos respuesta a la pregunta anterior, aquí le mostramos el
gráfico que vimos:
Número de personas
expuestas a un rumor
Días
Este hallazgo nos puso muy contentos, habíamos confirmado lo que pensábamos: el número de
personas expuestas a un rumor es función del tiempo.
Nos preguntábamos si diferentes relaciones de nuestra vida cotidiana que hemos repetido, escuchado
o leído, son funciones. Por ejemplo:
(a) “El consumo de energía en una planta es función de la producción”.
(b) “El precio de venta es función de la demanda”.
(c) “El sueldo cobrado por mes es función de la cantidad de días no trabajados”.
(d) “Las toneladas producidas son función de los meses del año”.
(e) “El producto es función de los componentes de la leche”.
(f) “La concentración de grasa es función del tipo de leche elaborada”.
Vemos que la palabra función forma parte de nuestras expresiones cotidianas, indicando relación o
dependencia, y es usada indistintamente. En matemática sin embargo el concepto de relación y el de
función tienen significados diferentes, aunque estén estrechamente vinculados. Para entender estos
conceptos adecuadamente comenzaremos presentando el concepto matemático de relación.
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 43 )
¿QUÉ ES UNA RELACIÓN? ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Del mismo modo que la idea de número surge de la necesidad de contar elementos de un conjunto, la
idea de función surge de la necesidad de relacionar elementos de dos conjuntos.
Supongamos que formamos parte de una empresa. La empresa “La vaca loca” S.A. se dedica a la
fabricación de productos lácteos y está organizada de la siguiente forma:
División
Fabricación
División
Mantenimiento
Sección
Producción
División
Control de Calidad
Gerencia
General
División
Abastecimiento
Sección
Relaciones Públicas y Marketing
Sección
Comercialización
División
Ventas
División
Tesorería y Contaduría
Sección
Administración y finanzas
A partir del diagrama anterior podemos armar los conjuntos:
A={Secciones}
B={Divisiones}
Vinculemos los elementos del conjunto A y B, mediante la expresión "formada por las divisiones", la
cual a cada sección de la planta le hace corresponder sus divisiones.
Ejemplo 1:
Tenemos los siguientes datos,
A = {Sección producción, Sección relaciones públicas y marketing, Sección comercialización, Sección
administración y finanzas}
B = {División fabricación, División mantenimiento, División control de calidad, División
abastecimiento, División ventas, División contaduría y tesorería}
( 44 )
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Podemos graficar esta relación:
Fabricación
Producción
Relaciones Públicas y Marketing
Comercialización
Administración y Finanzas
Mantenimiento
Abastecimiento
Control de Calidad
Ventas
Tesorería y Contaduría
Esta gráfica se llama diagrama sagital, donde se especifican los elementos del primer y segundo
conjunto. Los elementos relacionados se muestran mediante flechas que parten desde elementos del
primer conjunto a elementos del segundo conjunto.
Como las flechas parten del conjunto A y llegan al conjunto B, estos conjuntos se llaman partida y
llegada de la relación respectivamente.
Observemos que pueden existir elementos del conjunto A que no están relacionados con ningún
elemento de B. Entonces el conjunto de los elementos de la partida que están asociados con alguno
de la llegada puede estar estrictamente incluido en la partida o ser todo el conjunto de partida. Este
subconjunto se denomina dominio de la relación y lo denotaremos Dom(R).
Formalmente, esto puede expresarse de la siguiente manera: Dom (R) ⊆ A, el símbolo ⊆ se lee: "está
incluido o es igual"
Observando el diagrama sagital de la relación, el dominio está constituido por todos los elementos que
son partida de alguna flecha.
Así como hemos agrupado los elementos que son partida de alguna flecha, agrupamos los elementos
que son llegada o punta de alguna flecha en el conjunto B para formar el subconjunto de la llegada
llamado imagen de la relación. Así:
Dominio = {Sección producción, Sección comercialización, Sección administración y finanzas}
Imagen = {División fabricación, División mantenimiento, División control de calidad, División
abastecimiento, División ventas, División contaduría y tesorería}
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 45 )
Formalizando:
Definición
Una relación R de A en B hace corresponder a elementos del primer conjunto, elementos el segundo
conjunto.
El primer conjunto, A, se llama partida y el segundo conjunto, B, se llama llegada.
Asociados a la relación tenemos otros dos subconjuntos:
El dominio de la relación, Dom(R), es un subconjunto de A, y la imagen de la relación Img(R), es
un subconjunto de B.
Pensando que una relación es un conjunto de pares ordenados (a;b) donde el elemento “a” pertenece
al conjunto A y
“b” es el elemento que pertenece al conjunto B y está relacionado con “a”, en el
ejemplo 1 tenemos los siguientes pares ordenados: (Sección producción ; División fabricación),
(Sección producción ; División mantenimiento), (Sección producción ; División control de calidad),
(Sección producción ; División abastecimiento), (Sección comercialización ; División ventas) y
(Sección administración y finanzas ; División contaduría y tesorería).
( 46 )
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN? ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Ahora, consideremos los conjuntos:
A={Divisiones}
B={Secciones}
Trabajemos con la relación "pertenece a la sección", que hace corresponder a cada división del
conjunto A una sección del conjunto B.
Ejemplo 2:
Si consideramos:
A = {División fabricación ; División mantenimiento ; División control de calidad ; División
abastecimiento ; División ventas ; División contaduría y tesorería}
B = {Sección producción ; Sección comercialización ; Sección relaciones públicas y marketing ;
Sección administración y finanzas}
Y con los datos aportados por el organigrama:
Fabricación
Mantenimiento
Abastecimiento
Producción
Relaciones Públicas y Marketing
Control de Calidad
Ventas
Tesorería y Contaduría
Comercialización
Administración y Finanzas
En este caso vemos que Dom(R) = A, es decir, el dominio coincide con el conjunto de partida, esto
es: de todos los elementos de la partida salen flechas.
Vemos además, que de cada elemento de la partida sale una sola flecha.
De ahora en más concentraremos nuestra atención en estas relaciones particulares, ellas se
denominan FUNCIONES.
Antes de seguir comentándote el tema, te acercamos la definición de función.
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 47 )
Definición
Una función de A en B es una regla, o una correspondencia, que relaciona estos dos conjuntos de
tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo un elemento del
segundo conjunto llamado imagen.
Luego para que una relación sea una función de A en B, debe verificarse:
•
Dom( R ) = A (a cada elemento de la partida le corresponde alguno en B)
•
Cada elemento del dominio tiene una sola imagen. (a cada elemento de la partida le corresponde
solo uno en B).
Como las ideas gráficas son más fáciles de retener, estas condiciones las traduciremos en:
•
De cada elemento de la partida salen flechas.
•
De cada elemento de la partida sale una sola flecha.
Ejemplo 3:
Con estas ideas, volvamos al ejemplo 1, donde el conjunto de partida era A={Secciones}
llegada:
B={Divisiones},
y el de
ambos estaban relacionados mediante la asignación: "formada por las
divisiones". En el diagrama sagital se observaba que esta relación no es función por varias razones:
•
Del elemento relaciones públicas y marketing no sale ninguna flecha.
•
Del elemento producción salen cuatro flechas.
Se podría hacer que esta relación fuera función, si quitáramos del conjunto de partida a los elementos
que tienen problemas, en este caso sacaríamos a los elementos producción y a relaciones públicas y
marketing.
( 48 )
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
El diagrama sagital quedaría:
Fabricación
Comercialización
Mantenimiento
Abastecimiento
Control de Calidad
Administración y Finanzas
Ventas
Tesorería y Contaduría
Usando la definición anterior, te proponemos que analicemos juntos, al menos algunas de las
expresiones del punto 1 de este texto.
Ejemplo 4:
Tomemos la expresión (a), matemáticamente podemos entenderla como:
- A cada consumo de energía en una planta le corresponde un nivel de producción.
Esta asignación llevada a diagrama sagital, donde
en el conjunto de partida incorporamos
como
elementos los siguientes consumos de energía: {20 Kw/h, 25 Kw/h, 30 Kw/h} y en el conjunto de
llegada los siguientes elementos: {5 Tn/h, 10 Tn/h, 15 Tn/h}.
Consumo de energía
Producción
20 Kw/h
5 Tn/h
25 Kw/h
10 Tn/h
30 Kw/h
15 Tn/h
Como vemos la asignación anterior, bajo la mirada de la definición, es una función.
Ejemplo 5:
La asignación (e) “el producto elaborado es función de los componentes utilizados de la leche” llevada
a diagrama sagital, donde el conjunto de partida esta formado por los distintos componentes de la
leche, a saber: {grasa, suero, caseína} y el conjunto de llegada por los productos elaborados por la
fábrica: {queso, crema, manteca}, quedaría:
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 49 )
crema
grasa
manteca
suero
caseína
queso
Como bien podes ver en el diagrama, esta asignación no es una función.
¿Qué eliminarías del conjunto de partida?
¿Podrías transformarla en función?
( 50 )
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Actividades Parte 1.
1. Analiza si las reglas de asignación (d) y (f) cumplen con la definición de función.
(d) “Las toneladas producidas son función de los meses del año”. Con los pares ordenados:{(Enero, 5
Tn), (Febrero, 5 Tn), (Marzo, 5 Tn), (Abril, 6 Tn), (Mayo, 7 Tn), (Junio, 6 Tn), (Julio, 5 Tn), (Agosto, 6
Tn), (Septiembre, 7 Tn), (Octubre, 8 Tn), (Noviembre, 7 Tn), (Diciembre, 6 Tn)}.
(f) “La concentración de grasa es función del tipo de leche elaborada”. Siendo los conjuntos de partida
y llegada, A={leche entera, leche parcialmente descremada, leche descremada} y B={3 %, 1,5 %,
0,5 %} respectivamente.
2. Con relación al ejemplo 5. Si la regla de asignación fuera “compuesto por”, la que a cada producto
le asigna sus componentes de la leche, sería esta relación función?.
3. Analizando la siguiente tabla, si llevaras estos datos a diagrama sagital, podrías responder si: ¿Las
toneladas de residuos producidos son función de los litros de leche tratada? (Sugerencia: los
elementos del conjunto de partida son “costo de vida”, los del conjunto
de
llegada “toneladas de
residuos producidos”). Justifica tu respuesta.
Litros de leche tratada (l/h)
Litros de residuos producidos (l/h)
5.000
3.000
5.300
3.180
5.250
3.150
5.400
3.240
5.450
3.270
5.600
3.360
4. ¿Escribirías alguna de tus expresiones diarias que tengan incorporada la palabra función?
Define si estas expresiones son funciones desde el punto de vista de la matemática. A tu entender
cuáles serían los elementos del conjunto de partida y cuáles los del conjunto de llegada.
5. Si fueras un empleado de la empresa "Vaca Loca S.A", perteneciente a la sección Relaciones
Públicas y Marketing, a la cual se le ha encargado la organización de la fiesta aniversario de la
empresa. ¿Qué tipo de relaciones necesitarías plantear para un buen armado del festejo?.
Piensa en la organización de la fiesta de tu cumpleaños
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 51 )
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Las funciones tienen categorías, no son todas iguales. En algunos tipos de funciones los elementos
del conjunto de llegada se relacionan con los elementos del conjunto de partida, dejando elementos
de la llegada sin relacionar.
A las funciones que tienen todos los elementos del conjunto de llegada relacionados (es decir que
llegan flechas a todos sus elementos), se las llama SURYECTIVAS o SOBREYECTIVAS. Otra forma de
verlo es:
Suryectiva
No Suryectiva
•
•
•
•
•
•
Im(f) = B
Elemento no
relacionado
Im(f) ⊂ B
Si a cada elemento del conjunto de llegada llega sólo una flecha, entonces el nombre que reciben las
funciones es INYECTIVAS. Este tipo de función lo podés ver en el Ejemplo 3 de la parte 1.
No Inyectiva
•
Le llegan
más de
una flecha
•
Inyectiva
•
•
•
•
Las funciones que tienen las características de las INYECTIVAS y de las SURYECTIVAS se llaman
BIYECTIVAS. Este tipo de función lo podés ver en el Ejemplo 4 de la parte 1. Esquemáticamente:
•
•
( 52 )
•
•
•
•
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
FUNCIONES NUMÉRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
En ingeniería tienen además, particular interés las funciones numéricas donde los elementos de los
conjuntos de partida y de llegada son los números reales. El conjunto de partida se llama dominio de
la función y el de llegada se llama rango.
Analicemos un ejemplo de función numérica, una regla de asignación como la siguiente: "el precio de
venta del producto es el doble del precio del costo de la materia prima", podemos pensar como
conjunto de partida o dominio de la función: " costo de la materia prima" y como rango: "precio de
venta del producto",
a cada elemento del dominio se le asigna el doble, simbólicamente puede ser
escrita de varias maneras:
f : R→R
x → 2x,
Otra forma es:
f : R→R
y = f(x) = 2x,
f:
simboliza la asignación o conjunto de operaciones que hay que hacer con x, a veces se llama
aplicación.
R: representa a los números reales.
R→R, se suele leer: "va de los números reales a los reales", este tipo de notación ó simbología nos
permite definir el dominio (en este caso los números reales) y el conjunto de llegada (para este caso
también son los números reales).
x: se la llama variable independiente, simboliza los elementos del dominio.
f(x) : se llama variable dependiente, indica que los valores de la función dependen de x.
En nuestro último ejemplo, x representa costo de la materia prima y f(x) representa precio de venta
del producto.
Esta asignación es una función porque a cada x (número real) es posible multiplicarlo por dos para dar
como imagen otro número real y de cada producto solo es posible obtener un único resultado.
Analicemos ahora, la siguiente regla de asignación: “el precio del producto es inversamente
proporcional a la demanda del mismo”, en símbolos esto se puede escribir:
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 53 )
f : R→R
y = f(x) = 1/x
donde:
x representa la demanda (por supuesto estos elementos forman el conjunto de partida) y f(x)
el precio del producto (constituyen el conjunto de llegada).
Si la demanda es nula, es decir, x=0; la imagen deberá encontrarse haciendo la operación 1/0. Para
esta operación no existe ningún resultado dentro de los números reales, es decir para x=0 no existe
imagen.
Si mantenemos como dominio a todos los números reales el número cero quedará sin relacionar
entonces con este dominio la asignación 1/x no es una función. Para que sea una función deberemos
sacar del dominio al elemento que trae problemas. Acordate del ejemplo 3
Cuando eliminamos estos elementos del dominio decimos que estamos redefiniendo el dominio, en
símbolos, esto lo escribimos como:
f: R-{0}→ R
y =f(x)= 1/x
R-{0}: se lee números reales menos el cero.
Además de la división (por la imposibilidad de dividir por cero) existen otras operaciones que en las
asignaciones pueden traer problemas si el dominio está formado por todos los números reales. Estas
operaciones son: las raíces de índice par (por la imposibilidad de calcular raíces de números
negativos) las funciones logarítmicas (por la imposibilidad de calcular logaritmos de números no
positivos). Ojo cuando tenemos asignaciones que combinan estas operaciones
Ejemplo 6:
Si queremos determinar el dominio de la asignación y =
1
x
para que sea función, vemos que las
operaciones que traen problemas son la división por cero y la raíz cuadrada (índice par). Ambos
problemas se combinan. La operación de la raíz cuadrada excluye a los números negativos y la
división al cero. Entonces el dominio son los números reales positivos, en símbolos: R>0
( 54 )
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Actividades Parte 2.
1. Traducir al lenguaje simbólico, las siguientes afirmaciones que provienen del laboratorio de análisis
de la leche en polvo:
a) La cantidad de grasa presente en la leche es el 3% de su peso.
b) El peso de los sólidos totales presentes en la leche es del 11% de su peso.
c) El peso de la muestra es la diferencia entre el total pesado y 10 gr del recipiente de vidrio.
2. Analiza si son suryectivas, inyectivas o biyectivas las siguientes funciones:
(a) “La concentración de grasa es función del tipo de leche elaborada” Busca los datos en las
actividades de la parte 1, ejercicio 1.
(b) “Compuesto por”, la que a cada producto le asigna los componentes de la leche necesarios para
producirlos. Con relación al ejemplo 5, parte 1.
3. Completa la siguiente tabla:
ELEMENTOS (O CONJUNTO DE ELEMENTOS) QUE DEBEN
EXCLUIRSE DEL CONJUNTO DE PARTIDA PARA QUE SEA
FÓRMULAS
FUNCIÓN
¿CUÁLES?
y = x−4
Ninguno
POR LO TANTO
DEFINE UNA
FUNCIÓN DE
¿POR QUÉ?
Si a un número se le resta 4, se obtiene
otro número real, y el resultado es único.
ℜ EN ℜ.
Sí
y = x − 10
y=
y=
y=
5
x
5
x−3
3
y=
5
5
=
3− 3 0
no es un número
No
5
( x − 2)( x + 2)
y=
5
x −4
2
y= x
y = x−2
x⟨2
a , si a es negativo, no es un número
No
real y ocurre cuando x⟨2
y=
1
x − 5x + 6
2
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 55 )
4. Al siguiente crucigrama se le volaron las referencias. Podrías escribirlas?. Ayudate con las
definiciones ya dadas.
1
b
i
y
e
4
c
i
7
( 56 )
t
i
v
A
2
d
e
P
e
n
d
i
e
3
R
e
a
l
e
s
m
a
g
E
n
5
f
u
N
c
i
ó
n
6
D
o
m
i
n
i
d
E
f
i
n
i
r
8
R
e
l
a
c
i
r
e
n
t
e
o
ó
n
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES NUMÉRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Hasta ahora hemos estado representando a las funciones mediante diagramas sagitales. En diarios,
revistas, manuales de instrucción, etc., te habrás encontrado con gráficos que representan a
funciones, en general estas funciones suelen ser numéricas.
A lo mejor te habrás preguntado ¿Por qué representar una función con gráficos?
Porque es más fácil analizar globalmente la dependencia o evolución de una magnitud con respecto a
la variación de otra. Una imagen vale más que mil palabras.
Para representar una función por medio de un gráfico trazamos dos rectas perpendiculares que
determinan un plano de coordenadas. Sobre cada coordenada se sitúa una variable. El eje horizontal
de llama abscisa ó eje x, porque sobre este eje se sitúa la variable independiente x. Sobre este eje
están los elementos del dominio. Sobre
la vertical tenemos el eje y donde se sitúa la variable
dependiente. En este eje están los elementos del conjunto rango. Para cada eje se debe establecer la
escala que se le asigna a cada magnitud.
Pero veamos mejor esto con un ejemplo: una función que representa el precio como función de la
Precio en pesos
demanda.
Cantidad de demanda
Con esta gráfica a simple vista podríamos hacer apreciaciones relativas a como varía el precio con la
cantidad de demanda, analizamos que para grandes cantidades de demanda (estaríamos a la derecha
del eje de abscisas) el precio del producto no varía (solemos decir que se mantiene constante),
mientras que para pequeñas cantidades de demanda el precio toma valores altos (esto lo vemos en la
ordenada )
Como el ejemplo del precio en función de la demanda podríamos presentarte muchos más, donde la
forma de la gráfica depende de la fórmula que está representando. A veces pueden darnos la fórmula
y nosotros tener que obtener su gráfico . ¿Cómo lo haríamos?. Si la fórmula que representa el precio
en función de la demanda es f(x) = 1/x , donde x representa la demanda y f(x) al precio, podemos
darle valores a la demanda e ir obteniendo los valores del precio, es decir de f(x).
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 57 )
¿Qué formas pueden tener las gráficas de las funciones?
A nuestro entender es bueno saber cómo son las formas de las funciones, porque esto nos permite:
-
Conocer el valor de la variable dependiente para un valor de la variable independiente.
-
Predecir la tendencia de la variable dependiente en función de los cambios producidos en la
variable independiente.
Suele ser común encontrarnos con gráficas donde la variable independiente es el tiempo, este fue un
parámetro de gran utilidad en el desarrollo de las funciones.
Existen funciones que, para un crecimiento de la variable independiente muestran un crecimiento en
la variable dependiente, es decir: para un aumento de x existe un aumento de f(x). Estas funciones se
llaman crecientes.
En cambio hay funciones que al aumentar x disminuye y. Estas funciones se llaman decrecientes.
Existen funciones que crecen hasta un determinado punto y luego decrecen, el punto donde empieza a
decrecer la función se le llama punto máximo.
Entonces , ¿Cómo leemos estas gráficas?
De acuerdo a nuestras concepciones sociales, políticas, religiosas, etc.
De la lectura de estas gráficas se desprende, que el conocimiento matemático, como cualquier otro
conocimiento, no es aséptico, sino que siempre está influenciado por nuestra concepción de la vida.
Nosotros creemos que todo conocimiento, y en particular el matemático, debe permitirnos: interpretar
y analizar nuestra cotidianeidad, hacer diferentes lecturas de lo ofrecido por los medios de
comunicación y también, por supuesto ser una herramienta de trabajo.
Actividades Parte 3.
Hacer lectura de diferentes gráficas.
( 58 )
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
BUSCANDO HACER UNA SÍNTESIS DEL TEMA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Hasta ahora hemos querido compartir con ustedes algunas ideas sobre funciones.
Ahora, nos gustaría contarles cuales son los puntos más importantes del tema, para que puedan
profundizar en ellos.
Es importante: saber distinguir entre relaciones y funciones, saber determinar el dominio de una
función, poder representar gráficamente una función a partir de su fórmula, analizar diferentes
gráficas de funciones analizando la dependencia de las variables que intervienen en la función.
Reconocer funciones crecientes, decrecientes, puntos máximos y mínimos.
Del mismo modo con que nosotros comenzamos este texto, con una experiencia cotidiana, queremos
proponerles, como actividad de síntesis, que formulen una lista de cinco preguntas sobre los
contenidos más importantes del tema, y que junto con ellas, si te parece, nos hagas llegar un relato
de tu vida donde hayan intervenido las relaciones y funciones.
Por ahora, hasta aquí llega nuestra intervención, pero el tema no está cerrado, porque seguimos
construyendo y aprendiendo con nuestra vida.
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 59 )
( 60 )
Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Funciones
03
Lineales
A diario observamos fenómenos que al tratar de interpretarlos,
nos llevan a gráficos de rectas. Algunos ejemplos que podemos
mencionar son:
• La distancia recorrida por un móvil sobre un camino recto a
velocidad constante (movimiento rectilíneo uniforme) en función
del tiempo.
• La velocidad de enfriamiento de un cuerpo en función de la
temperatura, donde la temperatura del cuerpo es mayor que la
temperatura del ambiente (Ley de enfriamiento de Newton).
• El perímetro de la circunferencia en función del radio.
• El largo de la sombra proyectada por los edificios en función de
•
Introducción.
•
Gráfica de una función
la altura (a una determinada hora).
Todas las situaciones que en lo cotidiano responden a una función
lineal,
lineal.
•
parámetro a.
justifica prestarles especial atención a este tipo e
funciones.
Significado del
•
Paralelismo y
Perpendicularidad.
•
Ecuación implícita de la
recta.
•
Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Actividades.
( 61 )
INTRODUCCIÓN ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Es usual encontrarse con problemas de este tipo:
Si un litro de nafta cuesta $ 1,50. ¿Cuánto cuestan 2 litros?, ¿Cuánto 3 litros?, ¿Cuánto 7 litros?,
¿Cuánto 3,5 litros?.
Podemos entonces construir la siguiente tabla (por un simple planteo de regla de tres):
Litros
Costo en $
1
1,50
2
3,00
3
4,50
5
7,50
7
10,50
Tabla 1 – Datos de costos para determinada cantidad de litros
Si con estos datos hacemos una gráfica costo versus litros:
y
[s]
10,50
7,50
4,50
3,00
1,50
1
2
3
4
5
6
7
x
[litros]
Figura 1
Observamos que:
1.
Los puntos se encuentran sobre una recta.
2.
A igual diferencia de litros (sobre el eje x), igual diferencia de costos. Por ejemplo: si vemos la
diferencia de costos ente 1 lts. y 2 lts., es de $ 1,50. Esta misma magnitud ($ 1,50) se tiene
cuando calculo la diferencia entre 2 y 3 lts.
Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 63 )
y
[s]
10,50
1
2
7,50
1
2
4,50
0,5
1
3,00
0,5
1
1,50
1
2
3
4
5
6
7
x
[litros]
Figura 2
Así mismo, a diario observamos fenómenos que al tratar de interpretarlos, nos llevan a gráficos de
rectas. Algunos ejemplos que podemos mencionar son:
• La distancia recorrida por un móvil sobre un camino recto a velocidad constante (movimiento
rectilíneo uniforme) en función del tiempo.
• La velocidad de enfriamiento de un cuerpo en función de la temperatura, donde la temperatura del
cuerpo es mayor que la temperatura del ambiente (Ley de enfriamiento de Newton).
• El perímetro de la circunferencia en función del radio.
• El largo de la sombra proyectada por los edificios en función de la altura (a una determinada hora).
Todas las situaciones que en lo cotidiano responden a una función lineal, justifica prestarles especial
atención a este tipo e funciones. Por eso pasaremos a su definición, dado que en la matemática son
muy importantes las definiciones.
Dada una definición, ella debe ser tan precisa como para que no existan dudas respecto a lo definido.
Definición: Llamamos función lineal a una función que se expresa de la forma:
f(x) = y = a x + b
Donde a y b son números reales. a se llama pendiente y b se llama ordenada al origen.
¿Les parece sencilla esta definición? ¿La damos por entendida?. Mejor trabajemos con algunos
ejemplos antes de continuar con otras definiciones.
( 64 )
Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Ejemplo 1:
1)
2) f ( x ) = 3 x
y = 2 x −1
3) y = 3
4) y = −2 x +
1
3
¿Cuál es el valor de a y b en cada uno de los casos?
Respuestas:
Del ejemplo 1.1):
a = 2; b = -1
Del ejemplo 1.2):
a = 3; b = 0
Del ejemplo 1.3):
a = 0; b = 3
Del ejemplo 1.4):
a = - 2; b =
1
3
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Tratemos ahora de caracterizar el gráfico de una función lineal
1. Si a = 0, la función es y = b
Ya que los puntos del gráfico de esta función son los pares (x;b) para cualquier valor de x,
estos puntos se encuentran sobre una recta horizontal. Por lo tanto su gráfica es paralela al
eje x y corta al eje y en (0;b)
y
(0;b)
(x;b)
x
x
Figura 3
Concluimos: “La gráfica de una función lineal y = b es una recta paralela al eje x que
pasa por (0;b)”
Nota: Debemos recordar que la recta A es paralela a la recta B si y sólo si A no intersecta a B
ó A = B.
Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 65 )
2. Si b = 0 , la función es y = a x
En la siguiente gráfica podemos ver que la representación de esta función es la recta r
determinada por el origen (0;0) y el punto A = (1;a)
y
(1;a)
a
(0;0)
x
1
Figura 4
Para probar esta afirmación debemos demostrar que :
a) Todo punto (x;y) de la recta r satisface y = a x .
b) Todo par de valores (x;y) que satisface y = a x , es un punto de la recta r.
Demostración: (puede obviarse en una primera lectura aceptando como válidos los dos puntos
dados arriba)
a) Todo punto (x;y) de la recta r satisface y = a x .
Notemos que (0;0) es un punto del gráfico de la función y = a x . Por otro lado, B = (x;y) es
un punto de la recta r distinto del (0;0).
y
B
y
A
a
y
a
O
C
1
D
x
x
Figura 5
Al observar la figura 5 concluimos que OCA y ODB son triángulos semejantes (porque sus
ángulos son congruentes). Entonces los lados son proporcionales, esto es:
BD
OD
=
AC
OC
⇒
y a
=
x 1
⇒
y=ax
1
1
El símbolo “ ⇒ ” significa “implica” y se debe interpretar como que de lo primero se deduce lo segundo. Presta atención a este símbolo será usado varias veces a lo
largo del trabajo.
( 66 )
Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Esto nos dice que “el punto B = (x;y) pertenece al gráfico de la función y=ax (es un punto de
la forma (x;f(x))”.
b) Todo par de valores (x;y) que satisface y = a x , es un punto de la recta r.
Sea P = (x;y) un punto del gráfico de la función y = a x y A = (1;a)
y
P=(x;y)
A=(1;a)
y=ax
a
O
C
1
M
x
x
Figura 6
Observando la figura 6 se tiene:
AC
OC
=
a
=a
1
;
PM
OM
=
ax
=a
x
De donde concluimos que:
AC
OC
=
PM
OM
Esto nos dice que OCA y OMP son triángulos semejantes (notar que la proporcionalidad de los
catetos y el teorema de Pitágoras implican la proporcionalidad de los catetos y la hipotenusa).
Por ser triángulos semejantes, los ángulos (comprendidos entre dichos lados) AOC y POM son
iguales, esto es:
∧
∧
AOC = POM
Y como tienen al eje x como lado común, el otro debe coincidir. Por lo tanto “P pertenece a la
recta determinada por (0;0) y (1;a)”
Esto concluye nuestra demostración.
3. Veamos ahora el caso general y = a x + b
Observemos que para cada x el valor de y se obtiene sumándole b al valor de y definido por la
función y = a x .
Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 67 )
Luego, para obtener la gráfica de y = a x + b , basta trasladar la gráfica de y = a x (la recta
r) tanta unidades como indique b en la dirección del eje y (traslación vertical).
En la figura 7 vemos que la representación gráfica de la función lineal y = a x + b , es la recta
r1 determinada por los puntos (0;b) y (1;a+b)
y
r1
b
r
b
a
b
b O
x
1
Figura 7
Por la misma construcción r1 y r2 son rectas paralelas.
Para recordar: Al número b de la ecuación y = a x + b se lo llama ordenada al origen. Es el
valor de la ordenada y cuando x = 0, o sea es la ordenada del punto (0;b).
SIGNIFICADO DEL PARÁMETRO “a” ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Dada dos rectas:
r1: y = 2 x
donde a1 = 2
r2: y = 3 x
donde a2 = 3
Y con el apoyo de los conocimientos desarrollados hasta ahora podemos deducir que r1 pasará por los
puntos (0;0) y (1;2) y r2 pasará por los puntos (0;0) y (1;3); esto lo vemos en la figura 8.
y
(1;3)
r2
r1
(1;2)
O
x
1
Figura 8
( 68 )
Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Podríamos decir que la recta r2 es más empinada que r1, o que r2 crece mas rápido que r1, y esto
parece tener correspondencia con el mayor valor de parámetro “a”.
En general, al considerar las rectas
r1: de ecuación y = a1 x
r2: de ecuación y = a2 x
Si a1 > 0 , a2 > 0 , entonces:
a2 > a1
⇒
⎧a2 x > a1 x
⎨
⎩a2 x < a1 x
si (x > 0)
si (x < 0)
O sea las rectas se cortan en el origen (¿por qué?), r2 está por encima de r1 para los x positivos y sus
posiciones relativas cambian para los x negativos. Estas consideraciones se muestran gráficamente en
la figura 9:
y
r2
a2
(1;a2)
r1
a1
(1;a1)
O
1
x
Figura 9
El número a tiene que ver por lo tanto con la inclinación de la recta.
•
Si a > 0 la recta sube al desplazarse en dirección de las x positivos ( y = a x es una función
creciente)
Ejemplo 2:
Consideremos la función lineal y = 2 x
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( 69 )
y
y2
y1
O
1
x1
x
x2
Figura 10
Observaciones sobre la gráfica:
•
Tenemos que a > 0
•
Esta recta pasa por el origen y el punto (1;2)
•
La recta sube del 3er al 1er cuadrante (es una función creciente).
(a=2)
¿Qué pasa con la gráfica de y = a x si a < 0 ?
x <0
⇒
a x >0
(y > 0)
x >0
⇒
a x<0
(y < 0)
x =0
⇒
a x =0
(y = 0)
Estas situaciones se ven en forma genérica en la figura 11:
y
y1
y2
O
x1
x
x2
Figura 11
( 70 )
Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Observaciones sobre la gráfica:
•
Tenemos que a < 0
•
Esta recta pasa por el origen.
•
La recta baja del 2do al 4to cuadrante (es una función decreciente).
Ejemplo 3:
Consideremos la función lineal y = − x
La grafica de esta función pasará por los puntos (0;0) y (1;-1)
y
1
O
x1
x2
x
-1
y1
y2
Figura 12
Para recordar: Al número a de la de la ecuación y = a x + b se lo llama pendiente de la recta y
esta relacionado con la “inclinación” de la recta.
Hemos mostrado entonces que la representación gráfica de y = a x + b es una recta. ¿Es cierta la
afirmación reciproca? Esto es: ¿"Toda línea recta en el plano es el gráfico de alguna función lineal"?
La respuesta es NO. No existe función (lineal o no) cuyo gráfico sea una recta paralela al eje y
( x = c ). El fundamento de esta respuesta es que para que sea función se debe cumplir que para cada
valor del dominio (en este caso x) debe existir sólo un valor de la imagen (en este caso y), y si la
recta es vertical para un solo valor de x existen infinitos y.
Veamos ahora algunos ejemplos donde se ponen en juego las definiciones y deducciones anteriores.
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( 71 )
Ejemplo 4:
Obtener la gráfica de y = −2 x + 1
•
Por lo dicho anteriormente, el gráfico de la función lineal es una recta r paralela a al recta de la
ecuación y = −2 x (el gráfico es una recta que pasa por el origen y tiene pendiente 2).
•
La pendiente es a = −2 (esto significa avanzamos 1 en el eje x y descendemos (por el signo "-")
2 en ele eje y)
•
La ordenada al origen es b = 1 (significa que pasa por el punto (0;1))
y
1
y=-2x
O
x
2
y=-2x+1
1
Figura 13
Ejemplo 5:
Obtener la gráfica de y = 3 x + 2
a) Razonando en forma similar al ejemplo anterior, esta recta tiene ordenada al origen 2 (significa
que pasa por el punto (0;2)) y pendiente 3 (esto significa avanzamos 1 en el eje x y ascendemos
3 en ele eje y)
y
3
(0;2)
y=3x
y=3x+2
O
x
1
Figura 14
( 72 )
Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
b) Otra forma de resolver este tipo de ejercicios es aplicar el concepto de que "dos puntos distintos
uno de otro determinan una única recta que pasa por ellos", por lo tanto bastará indicar dos
puntos distintos de la recta y ésta quedará definida:
Si x=0, entonces y=3·0+2=2, así el punto (0;2) pertenece a la recta y además si x = 1 , entonces
y=3·1+2=5, por lo tanto el punto (1;5) pertenece a la recta
y
y=3x+2
5
(0;2)
O
x
1
Figura 15
Para generalizar el concepto anterior: "Conocidos dos puntos distintos cualesquiera de una recta, esto
es (x1;y1) y (x2;y2); ¿cual es su ecuación?"
Respuesta:
Para poder dar la ecuación de la recta debemos determinar cual es el valor de a y b de la ecuación
y = a x + b . Sabemos que (x;y) pertenece a recta
y1 = a x1 + b
pues (x 1 ; y 1 ) ∈ recta
y2 = a x2 + b
pues (x 2 ; y 2 ) ∈ recta
⇔
verifica y = a x + b . Por lo tanto:
Igualando ambas ecuaciones respecto de b (es decir despejando b de ambas ecuaciones e igualando),
nos queda que y 1 − a x 1 = y 2 − a x 2
despejando:
a=
y1 − y 2
x1 − x 2
Esta importante ecuación nos permitirá determinar la pendiente de una recta conociendo dos puntos
de ella.
Para calcular el valor de b, bastará reemplazar el valor obtenido de a en cualquiera de las ecuaciones
anteriores.
Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 73 )
Ejemplo 6:
Obtener la ecuación de la recta que pasa por el origen y el punto (-1;3).
Como conocemos dos puntos de la recta (0;0) y (-1;3) podemos hallar la pendiente a considerando:
(x1 ; y1 ) = (0 ; 0) ⎫
(x 2 ; y 2 ) = (− 1 ; 3)⎬⎭
⇒ a=
3−0
−1− 0
= −3
a=-3
Como la recta pasa por el origen:
b=0
Con los dos puntos dados, obtenemos la ecuación de la recta y = −3 x + 0 y la gráfica, la cual se
muestra en la figura 16.
y
(-1;3)
3
(0;0)
x
-1
Figura 16
Ejemplo 7:
Obtener la ecuación de la recta cuya pendiente es igual a 2 y pasa por el punto (3;3).
La ecuación de la recta es de la forma y = 2 x + b ; determinemos la ordenada al origen b, como el
punto (3;3) pertenece a la recta debe verificar la ecuación y = 2 x + b , esto es:
3 = 2 ⋅3 + b
⇒
3 = 6+b
⇒
b = −3
Por lo tanto la ecuación de la recta buscada es: y = 2 x − 3 y su gráfica se muestra en la figura 17.
( 74 )
Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
y
y=2x-3
(3;3)
3
x
3
(0;-3)
Figura 17
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Sean las rectas:
r1:
y = a1 x + b1
r2:
y = a2 x + b 2
Decimos que r1 // r2 ⇔ a1 = a2 (r1 paralela r2 si y sólo si tienen igual pendiente) 2
Justificación:
y
r1
a1
b1
r2
1
1
x
a2
b2
1
2
Figura 18
2
El símbolo “
⇔ ” significa “si y sólo si” y se debe interpretar como que lo primero ocurre solamente si ocurre lo segundo y viceversa, es decir que si ocurre lo
segundo también será válido lo primero.
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( 75 )
Por geometría elemental se ve:
•
r1 // r2
⇒
los triángulos sombreados son congruentes
•
a1 = a2
⇒
triángulos congruentes
⇒
∧
∧
α1 = α 2
⇒
⇒
r1
a1 = a2
// r2
Sean:
r1:
y = a1 x + b1
r2:
y = a2 x + b 2
Decimos que r1 ⊥ r2 ⇔ a1. a2 = −1
(r1 perpendicular a r2 si y sólo si el producto de sus
pendientes es igual a menos uno)
ECUACIÓN IMPLÍCITA DE LA RECTA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
La ecuación y = a x + b se llama ecuación explícita de la recta. Recordemos que con dichas
ecuaciones no podemos describir las rectas verticales.
Para expresar las ecuaciones de este tipo de rectas consideremos las ecuaciones implícitas de la recta
cuya expresión general es:
A x +B y +C = 0
Consideremos ahora algunos casos particulares de estas ecuaciones.
a) Si B ≠ 0
b) Si B = 0
⇒ y=−
⇒
A
C
o sea que
x−
B
B
x=−
C
A
o sea que
y = a x+b
x=k
que es la ecuación explícita de la recta
(con k = −
C
), que es la ecuación de una recta
A
vertical
( 76 )
Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Actividades
Ejercicio N° 1
Para cada uno de los siguientes pares de puntos, determine la ecuación de la recta que los contiene.
Realice para cada caso la gráfica correspondiente.
a.
(0;3) y (2;7)
b.
(-2;0) y (2;8)
Ejercicio N° 2
Para cada una de las siguientes ecuaciones:
i)
Decir cuáles corresponden a la ecuación de una recta. Justificar.
ii)
Graficar los casos que corresponden a funciones lineales.
b. y +x-2= -x2
a. y +x-2=0
d. x +
1
=0
3
g. y + 1 = −
e. y +x
1
x
2
-1
c. x-3 = 5
-7=0
f. y+2 =0
h. y-5=0
i. x-y-3 =0
j. y = sen x + 3
Ejercicio N° 3
Dada la recta de ecuación 2x + y +2 = 0, justifique si los siguientes puntos pertenecen a la ecuación.
a. (1;2)
b. (-3;4)
c. (0;-2)
d. (-4;1)
Ejercicio N° 4
Dar las ecuaciones de dos rectas que sean paralelas, donde una de ellas tenga como ordenada al
origen el valor de -2 y otra el valor 0. Graficar las rectas.
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( 77 )
Ejercicio N° 5
La ecuación de una recta R es -3 y + 6 = x
I) Escribir la ecuación de una recta para cada una de las siguientes condiciones establecidas:
a. Una recta A, paralela a R, que pase por el punto (3;-2).
b. Una recta que no sea paralela a R y que tenga la misma ordenada al origen que R.
c. Una recta B, paralela a R, que pase por el origen de coordenadas.
d. Una recta C, paralela al eje x, que tenga la misma ordenada al origen que R.
II) Graficar las rectas R, A, B, C , en un mismo sistema de ejes cartesianos.
Ejercicio N° 6
La ecuación de una recta T, es 6 -3y = 4x
I) Escribir la ecuación de una recta para cada una de las siguientes condiciones establecidas:
a. Una recta M, perpendicular a T, que pase por el punto (4;2).
b. Una recta Q, paralela a M, que corte al eje x en x= 5.
c. Una recta H, no perpendicular ni paralela a T, pero que tenga la misma ordenada al
origen que T.
II) Graficar las rectas T, M, Q, en un mismo sistema de ejes cartesianos.
III) ¿Es verdad que una recta G que pasa por los puntos (-2;36) y (2;39) es perpendicular a la
recta T? Justificar.
Ejercicio N° 7:
Dar la ecuación de la recta vertical que pasa por el punto (2;3)
y
3
2
x
Figura 19
( 78 )
Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Ejercicio N° 8:
Dar la ecuación de la recta horizontal que pasa por el punto (2;3)
y
(2;3)
3
2
x
Figura 20
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( 79 )
( 80 )
Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Funciones
04
Cuadráticas
En este capítulo se presenta a las funciones cuadráticas como un
tipo de función involucrado en el análisis de muchísimos
fenómenos naturales. El conocimiento de su expresión y de su
representación gráfica es contenido de este capítulo y permitirá
acercarnos a la comprensión de situaciones reales.
•
Introducción.
•
Gráfica de una función
cuadrática.
•
Cortes de la parábola
con el eje x.
•
Funciones cuadráticas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Actividades.
( 81 )
( 82 )
Funciones cuadráticas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Funciones cuadráticas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 83 )
INTRODUCCIÓN ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Es usual encontrarse con problemas como el siguiente:
Se tiene 1800 m de alambre para construir un corral rectangular de 9 hilos. ¿Cuáles deben ser las
dimensiones de dicho corral para contener el mayor número de rodeo? (el número mayor de
animales)
Datos: se necesitan 2 m2/animal.
Solución: Nuestro problema es en realidad determinar las dimensiones de los lados del rectángulo de
mayor superficie. Es decir nos interesa la superficie (S) que responde a la ecuación:
S = x .y
(1)
donde:
x e y son la respectiva longitud de los lados del rectángulo.
S es una función de dos cantidades: x e y que modificamos hasta la máxima superficie. Entonces
decimos que S es una función de dos variables
Como no sabemos trabajar con funciones de dos variables trataremos de relacionar x e y.
Conocemos que el perímetro del corral es de 200 m.(¿porqué?). el perímetro de un rectángulo se
obtiene sumando sus lados:
200 =2x + 2y
200 - 2x
= y , reemplazando en (1)
2
S = x .(100 − x)
S =100x + x2
Así tenemos que S es una función de una variable del tipo S = − x2 + 100x , conocida como función
cuadrática.
También en problemas de oferta y demanda es usual encontrarse con fenómenos de este tipo:
Los alumnos de la Facultad de Agronomía contratan un colectivo para realizar un viaje a los criaderos
de pollos y chanchos de la ciudad de Cosquín. Se les da el siguiente presupuesto: si viajan 20
personas el costo del boleto es 11500 $/persona pero por cada persona que exceda de los 20 el costo
del boleto por persona se abarata en $ 200. ¿Cuál es el número de personas que debería viajar para
que el colectivo obtenga la mayor ganancia?
( 84 )
Funciones cuadráticas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Solución:
Solución
precio por persona en $:
11500 + 200x
número total de personas:
20 + x
dinero recibido por el conductor:
(D)
D = (20 + x ) (11500 − 200x )
D = − 200x2 + 7500x + 23000
Otros temas en los que se presentan estas situaciones pueden ser posición de un móvil con
movimiento rectilíneo uniforme acelerado, caída libre de los cuerpos, etc.
Todo lo planteado nos lleva a considerar el estudio de las funciones cuadráticas.
Definición: Llamamos función cuadrática a aquella que se expresa de la forma:
f(x)= y =ax2 + bx + c
Donde a, b, c son números reales y a ≠ 0 .
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( 85 )
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Los valores que adoptan los parámetros a, b, c presentados en la definición determinan la función
cuadrática cuyo gráfico se denomina parábola.
Completemos la siguiente tabla:
Función cuadrática
f(x) =2x2
a
b
c
2
0
0
f(x) = − x2 + 2
f(x) = − 2x2 + 3x + 1
f(x) = x2 − 4
y = ax2 + bx + c .
Trataremos de caracterizar el gráfico de función cuadrática
Comenzamos considerando la función cuadrática f(x) = x2 , en la cual se cumple:
i.
f(x) ≥ 0 pues x2 ≥ 0 ∀ x ∈
ii.
Es una función par ya que: f(-x) = ( −x ) = x2 = f(x)
2
Por lo tanto la gráfica es simétrica respecto al eje Y (eje de simetría). Así solo
graficamos para x ≥ 0 y luego copiamos por simetría.
iii.
Si 0 < x < 1
x2 < x
⇒
(pues x < 1
⇒
x.x < x ) o sea 0 y 1 la parábola está
por debajo de la recta y = x .
iv.
Si x > 1
x2 > x (¿porqué?) o sea la parábola está por encima de la recta
⇒
y = x.
v.
Además x2 = x en x = 0
vi.
Si 0 < x1 < x2
vii.
( 86 )
x = 1 , o sea coinciden en (0,0) y en (1,1).
y1 < y2 pues x1 < x2
⇒
2
y
2
⇒
(x x
1 2
2
< x2
)
así por transitividad
(¿por qué?),
x1 < x2
⇒
x1 < x2
x1 < x2
⇒
f(x1) < f(x2 ) esto es, la función es creciente para los x > 0 .
La parábola es de trazo continuo.
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La parábola tiene concavidad hacia arriba.
Estas afirmaciones se justificaran al estudiar los capítulos de funciones.
Con toda esta información y unos pocos valores obtenidos en la siguiente tabla, daremos una gráfica
aproximada de y = x2
x
0
1
2
3
1/2
1/3
3/2
y=x2
0
1
4
6
1/4
1/9
9/4
y
a
a
ram
ram
eje de simetría
4
1
-2
-1
O
1
x
2
vértice
Ahora veamos la parábola de la ecuación y = ax2 (b = 0, c = 0)
Tomamos un ejemplo y = 2x2 y realizamos nuevamente una tabla para obtener algunos valores:
x
0
1
1/2
1/3
3/2
y = 2x2
0
2
1/2
2/9
9/2
y
2
2
y = 2x
-2
-1
O
1
y=x
2
x
En general se concluye:
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( 87 )
Si a > 0, la parábola tiene ramas hacia arriba (¿porqué?), y la función y = ax2 toma
i.
el menor valor (valor mínimo) en el origen de coordenadas.
ii.
Si a < 0, la parábola tiene ramas hacia abajo y la función y = ax2 toma el mayor
valor (valor máximo) en el origen de coordenadas.
Estos valores mínimos y máximos se toman sobre el eje de simetría de la parábola (de ecuación
x = 0 ) en un punto llamado vértice.
y
y
y=ax2 (a>0)
vértice
x
vértice
x
y=ax2 (a<0)
iii.
El coeficiente del término cuadrático "a" produce:
a) "cierre" de las ramas de la parábola hacia el eje Y, si
a >1
a>1
( 88 )
⇒
ax2 > x2
a < −1
⇒
ax2 < −x2
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y
y
y = 2x
2
2
y=x
-1
-1
O
O
1
x
1
x
2
2
y = - 2x
y=-x
b) "apertura" de las ramas hacia el eje X, si
a <1
0 < a < 1 ⇒ ax2 < x2
− 1 < a < 0 ⇒ −x2 < ax2 < 0
y
y
2
y = x
2
y =a x
O
x
O
x
y = x2
Si consideramos
y = ax2 + c
y =a x2
(b = 0) observamos que, para cada x, el valor de y se obtiene
sumándole c al valor de y definido por la función y = ax2 , lo que produce un desplazamiento de
esta parábola en sentido vertical, hacia arriba si c>0 o hacia abajo si c<0.
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( 89 )
y
y
y =a x2
y = ax2 + c
y =a x2
y = ax + c
2
c<0
c
c
O
x
O
c
c
x
Tratemos de resolver las siguientes situaciones:
¿Cuál es la gráfica de la función cuadrática y = ax2 + c si a<0 y c>0?
¿Cuál es la gráfica de la función cuadrática y = ax2 + c si a<0 y c<0?
Hasta ahora en las ecuaciones consideradas no hay término lineal (b=0) y el eje de simetría de la
parábola coincide con el eje Y. Nos preguntamos, ¿Qué sucede si el parámetro b es distinto de cero?
Podemos empezar el análisis graficando punto a punto la función y = x2 + x :
( 90 )
x
0
1
1/2
-1/2
-1
y = x2 + x
0
2
3/4
-1/4
0
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y
y=x
2
y=x
1
-2
-1
O
1
x
2
El gráfico nos muestra que el eje de simetría ya no es el eje Y.
Así es que nos propondremos buscar la ecuación de la parábola con vértice (x0,y0) y eje de simetría
distinto del eje Y.
y
P=(x;y)
y0
(x0;y0)
x
x0
Consideremos un nuevo sistema de ejes X , Y
y
P(x;y)=Q(x;y)
y
x
y
y0
x
x0
x
En el sistema de ejes
X e Y , la parábola tiene la ecuación
y = ax2 y como x = x − x0 e
y = y − y0 ,
por reemplazo resulta la ecuación referida al sistema original de ejes.
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( 91 )
Por lo que, la parábola con vértice en
( x0 , y 0 )
tiene ecuación
2
y − y 0 = a ( x − x0 )
Desarrollando esta expresión resulta:
(
2
y − y0 = a x2 − 2x0x + x0
(
)
y = ax2 + ( −2x0a) x + ax0 + ax0 + y0
2
2
)
es decir la ecuación de la parábola es una función cuadrática:
(
con b = ( −2x0a) y c = ax0 + y0
y = ax2 + bx + c
Si tenemos la función cuadrática
parábola de vértice
( x0, y0 )
x0 = −
2
)
(1)
y = ax2 + bx + c podemos decir que tiene por gráfico una
donde:
b
2a
y
y0 = c − ax02 = c −
b2
4ac − b2
=
4a
4a
Nota: ahora, c es la ordenada al origen y el desplazamiento vertical lo da y0 (depende de los tres
parámetros).
Queda en evidencia, de la ecuación del eje de simetría
x=−
b
que si
2a
b ≠ 0 , el eje de la parábola
no es el eje Y.
CORTES DE LA PARÁBOLA CON EL EJE X ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
$ que
Que la parábola de la ecuación y = ax2 + bx + c corte el eje X, significa que existe un valor x = x
verifica
$2 + bx
$+c =0.
ax
$ es la solución de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 .
Se expresa diciendo que x
Como sabemos que el gráfico de la función cuadrática
y = ax2 + bx + c es una parábola de vértice
(x0,y0) podemos rescribirla:
( 92 )
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2
y − y 0 = a ( x − x0 )
2
Si y = 0 la expresión anterior queda − y0 = a ( x − x0 )
y despejando
x = x0 ± −
reemplazando x0 = −
y0
a
b
4ac − b2
e y0 =
en la expresión anterior obtenemos
2a
4a
x=−
b
b2 − 4ac
−b ± b2 − 4ac
± −
o bien x =
2
2a
2a
4a
La parábola corta a lo sumo en dos puntos al eje X, ( x1 , 0 ) y ( x2 , 0 )
x1 =
−b − b2 − 4ac
2a
x2 =
−b + b2 − 4ac
2a
Los números x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0
En general, la parábola corta a lo sumo en dos puntos al eje X, ( x1 , 0 ) y ( x2 , 0 )
x1 =
−b − b2 − 4ac
2a
x2 =
−b + b2 − 4ac
2a
Los números x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0
Considerando el valor del discriminante
(b
2
(b
2
™ Si el discriminante es mayor que cero
™ Si el discriminante es igual a cero
(b
2
)
− 4ac se pueden destacar las siguientes consecuencias:
)
− 4ac > 0 , la parábola corta el eje X en dos puntos.
)
− 4ac = 0 , la parábola corta el eje X en un solo punto.
™ Si el discriminante es menor que cero
(b
2
)
− 4ac < 0 , la parábola no corta al eje X.
Ejemplo:
Obtener la gráfica de la parábola y = x2 − x
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( 93 )
a) Como a>0 las ramas van hacia arriba.
b) Como c = 0, la parábola pasa por el origen.
c)
Como b ≠ 0 , el eje de la parábola no coincide con el eje Y; sino que es
x= −
es decir la recta vertical x0=
( − 1)
b
=−
2a
2(1)
1
2
d) El vértice es (x0 ,y0 ) con x0= −
( − 1)
b
=−
2a
2(1)
,
1
2
x0 =
Para determinar el valor de y0 hay dos caminos:
Uno es reemplazar los valores de los parámetros a, b y c en la siguiente ecuación
2
y0=
4.1.0 − ( −1)
4ac − b2
=
4a
4.(1)
,
y0 = −
1
4
otro es considerar que el punto (x0 ,y0 ) pertenece a la parábola, entonces puedo reemplazar el valor
de x0 en la ecuación de la función que estamos analizando y = x2 + x
2
y0 = x0 + x 0
2
1 1 1
⎛1⎞
y0 = ⎜ ⎟ − = −
2 4 2
⎝2⎠
,
y0 = −
1
4
1⎞
⎛1
Así las coordenadas del vértice son ( x0 ,y0 ) = ⎜ , − ⎟
4⎠
⎝2
e) Buscar los corte de la parábola con el eje X, consiste en hallar el valor que corresponde a la
variable x cuando y adopta el valor cero. En general estos valores se obtienen despejando la ecuación
cuadrática:
x1 =
−b − b2 − 4ac 1 − (−1)2 − 4.1.0
=
2a
2.1
1± 1
x=
2
,
⎧x1 = 0
⎪
⎨
⎪x = 1
⎩ 2
Nota: en este caso, la ecuación incompleta x2 − x = 0 se puede resolver por factoreo:
( 94 )
Funciones cuadráticas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
x ( x − 1) = 0
⇒
⎧x1 = 0
⎪
⎨
⎪x = 1
⎩ 2
para mejorar el gráfico podemos calcular algún otro punto y tendremos:
y
(2;2)
(-1;2)
O
-2
-1
1
2
V=(1/2;-1/4)
x
Nota: en general la ecuación del eje de simetría se puede obtener como x =
x1 + x2
.
2
Para concluir resolvamos el primer ejercicio planteado en la introducción.
La función es
S = −x2 + 100x y su gráfica es de ramas hacia abajo (a<0), es decir que obtengo un
máximo en el vértice
y
y0
x0
Entonces
x0 = −
b
100
=−
2a
2(−1)
S = 50 (100 − 50 )
x
, x0 = 50 m
, S = 2500 m2 esto implica que y0 = 50 m
Concluimos entonces que el corral debe ser cuadrado con 50 m de lado y podría contener hasta 1250
animales! ¿No convendrá hacer mas de un corral?
La respuesta del segundo problema planteado en la introducción es 39 personas.
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( 95 )
Actividades
Ejercicio N° 1
Dadas las siguientes funciones cuadráticas indicar en cada caso los valores de los parámetros a,b,c.
a.
y = −x2 + 3x − 2
b.
y = 2x 2 + 1
c.
y = −x 2 − x
d.
1
y = x2
2
e.
y = (2x − 1)3 − 8x 3
Ejercicio N° 2
Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas determina si su gráfica es de ramas hacia arriba
o hacia abajo, las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría, los puntos de corte con los
ejes coordenados y el valor máximo o mínimo alcanzado.
a)
y = − 2x2 + 3
b)
y = x2 − 6x
2
c)
y = ( x − 4) − 1
d)
y = x2 + 4
e)
y = x2 − 7x + 4
f)
y =8x − 18 − x2
g)
y =x2 + 4x + 3
h)
y = − x2 + 3x − 2
( 96 )
Funciones cuadráticas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Ejercicio N° 3
Se arroja una pelota en el aire de manera tal que la distancia (d en metros) que recorre sobre el
terreno en cualquier tiempo (t en segundos), está dado por la siguiente ecuación:
a)
Representa gráficamente dicha función.
b)
¿Cuál es la mayor altura alcanzada por la pelota?
c)
¿Cuántos segundos se requieren para que la pelota alcance dicha altura?
d)
¿Durante qué período de tiempo está la pelota en el aire?
d = 80t − 16t
Ejercicio N° 4
Un capitán del ejército quiso formar en cuadro al regimiento en el patio del cuartel. Ensayó hacerlo de
dos maneras diferentes, pero en el primer intento le sobraron 39 soldados. Al agregar un soldado más
en cada fila la faltaron 50. ¿De cuántos soldados se componía el regimiento?
La formación en cuadro consiste en colocar la misma cantidad de soldados en cada fila y columna.
Ejercicio N° 5
El área de un rectángulo es de 4 m2. Se requiere conocer las dimensiones del rectángulo, sabiendo
que si a la longitud de la base la incrementamos en una unidad y a la altura la disminuimos en dos
unidades, el área del nuevo rectángulo sigue siendo de 4 m2.
Funciones cuadráticas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 97 )
Funciones
05
Exponenciales y
Logarítmicas
Una situación para empezar:
Puede observarse experimentalmente que el número de bacterias
presentes en un cultivo se duplica cada hora. Si hay 1000
bacterias al iniciar el experimento el investigador obtiene las
siguientes lecturas:
t
0
1
2
3
4
f(t)
1000
2000
4000
8000
16000
Donde t es el tiempo expresado en horas y f(t) es el número de
bacterias presente en el cultivo en el tiempo t.
Podemos escribir la tabla anterior de la siguiente forma:
t
f(t)
0
1000x2
1
0
2
1000x2
1
1000x2
3
2
1000x2
4
3
1000x24
Así tenemos que:
f(t) = 1000 2t
Esta función hace posible predecir el número de bacterias
presente en el cultivo en cualquier tiempo t. ¿Cuántas bacterias
habrá luego de 10 hs. de experimento?
Podríamos citar múltiples ejemplos de funciones que presentan
variaciones cuya representación gráfica es del tipo de los
ejemplos enunciados anteriormente.
A estas funciones se las denomina: exponenciales.
Se pueden modelar con funciones exponenciales problemas de:
crecimiento de poblaciones, crecimiento de tumores, decaimiento
radiactivo, carga y descarga de condensadores eléctricos, razones
de disolución de productos químicos en líquidos, etc.
Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
•
Función Exponencial.
•
Función Logaritmo.
•
Actividades.
( 97 )
( 98 )
Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
FUNCIÓN EXPONENCIAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Definición: Llamamos función exponencial a una función que se expresa de la forma:
f(x ) = y = a x
con
a>0
y a ≠ 1 , donde
f(x ) : ℜ → ℜ > 0
Antes de trabajar específicamente, con las funciones exponenciales, recordemos algunos conceptos ya
aprendidos en la primera unidad “Operaciones con Números Reales”, que pueden servirnos para
entender mejor las funciones exponenciales:
Sea
ax
con a > 0
y a ≠ 1
Esta operación verifica lo siguiente:
1) Es distributiva con respecto al producto y al cociente
(a . b)n
= an . b n
;
⎛ a⎞
⎜ ⎟
⎝b⎠
n
=
an
bn
2) Propiedad de los exponentes
an . am = an + m
3) Si p y q son números racionales, entonces si
4) Si
;
⎛ an ⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
m
= an . m
⎧⎪a p < aq si a > 1
p<q ⇒⎨
p
q si a < 1
⎩⎪a > a
⎧⎪an < b n si n > 0
0<a<b ⇒⎨
n
n si n < 0
⎩⎪a > b
Hasta aquí hemos recordado propiedades de las potencias para comprender mejor la función
exponencial. Después de este repaso, estamos en condiciones de definir la función exponencial.
A partir de la definición de función exponencial, podríamos preguntarnos: ¿Por qué se especifica que a
≠ 1?. ¿ Por qué no consideramos a < 0?.
Dejemos estos interrogantes para que posteriormente intenten responderlos.
Veamos primero cuales son las posibles graficas si
a > 1:
Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 99 )
Graficaremos una función exponencial en particular y luego intentaremos generalizar los resultados
obtenidos al resto de los posibles valores de a > 1 . Trabajemos, por ejemplo, con y = 2 x
o
f(x ) = 2 x
Consideremos algunos valores:
x
y = 2x
0
1
1
2
2
4
3
8
-1
1
2
-2
1
4
2
2
2
3
2
3
Si graficamos esta función en un sistema de ejes coordenados cartesianos ortogonales obtenemos la
gráfica mostrada a continuación:
y
y=2 x
(2,4)
(1,2)
-2
y=1
1
⎛
1⎞
⎜ -1, ⎟
2⎠
⎝
-1
0
1
x
Podríamos resumir algunas características de la grafica anterior:
a)
El signo de y es siempre positivo
b)
Si x < x ′
⇒
2x < 2x ′
por propiedad 3. Esto nos dice que la función exponencial de base
mayor que uno, es creciente. Por ser y = 2x una función creciente, es inyectiva.
c)
x <0
⇒
2x < 20 = 1 , así la función está entre 0 y 1 para x < 0 .
d)
x > 0
⇒
2x > 20 = 1 , así la función es mayor que uno para x > 0 .
e)
20 = 1 . La función corta al eje de las ordenadas en y = 1
( 100 )
Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Ahora para generalizar comparemos esta grafica con algún otro valor de a
Si
⎧⎪a x < 2 x
1< a<2 ⇒⎨
⎪⎩a x > 2 x
Si
⎪⎧2 x < a x
2< a ⇒⎨
⎪⎩2 x > a x
si x > 0
(ver propiedad 4).
si x < 0
si x > 0
si x < 0
(ver propiedad 4).
Además, en general, tienen el mismo tipo de gráfico y pasan todos por (0,1).
La gráfica mostrando estos aspectos se muestra a continuación:
y
2x
a>2
1<a<2
y=1
x
0
Conclusión Final
f(x )
Sea
la función exponencial
f(x ) : ℜ → ℜ > 0 .
Con
f(x ) = a x
y
a >1
Entonces su gráfico:
•
pasa por (0,1)
•
es creciente (inyectiva) y suryectiva.
•
su gráfica es curvada hacia el eje y positivo
•
y = f(x )
es
menor
que
uno
y
siempre
positivo
para
x
<
0,
acercándose
indefinidamente al eje x cuando x se hace grande negativamente
•
mayor que uno para x > 0, tomando valores muy grandes para x grande
positivamente.
vamente.
Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 101 )
¿Cuáles serían las correspondientes conclusiones para 0 < a < 1 ?
⎛1⎞
y = f(x ) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
Ahora trabajaremos con un ejemplo donde 0 < a < 1 , graficaremos
x
⎛1⎞
y= ⎜ ⎟
⎝2⎠
0
1
1
1
2
2
1
4
3
1
8
-1
2
-2
4
-3
8
x
x
⎛1⎞
y=⎜ ⎟
⎝2⎠
y
x
(-2,4)
(1,2)
(0,1)
-2
-1
0
⎛ 1⎞
⎜1, ⎟
⎝ 2⎠
1
2
x
De este gráfico podemos deducir las siguientes conclusiones:
a) Siempre y > 0,
b) Si x < x’ ⇒
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
x'
x
⎛1⎞
< ⎜ ⎟ , esto nos dice que la función exponencial de base menor que 1 es
⎝2⎠
decreciente.
0
c)
x < 0
⇒
⎛1⎞
⎛1⎞
⎜ ⎟ < ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎝2⎠
x
x
⎛1⎞
o sea ⎜ ⎟ > 1 , así la función es mayor que uno para valores de x
⎝2⎠
negativos.
x
d) x > 0 ⇒
0
⎛1⎞
⎛1⎞
⎜ ⎟ < ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎝2⎠
x
⎛1⎞
o sea ⎜ ⎟ < 1 , así la función está entre cero y uno para valores de x
⎝2⎠
positivos.
e) Sin justificar, diremos que es de trazo continuo, inyectiva (decreciente) y suryectiva como función
de
f(x ) : ℜ → ℜ > 0 .
y
y=bx
0 < b <1
1
x
( 102 )
Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
FUNCIÓN LOGARITMO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Volviendo al ejemplo 2, la función que expresa el número de bacterias en un cultivo en función del
tiempo: y = 1000 . 2t , tiene como gráfica una exponencial.
y
y=1000 . 2 t
y
1000
t
t (tiempo)
-
Dado “t” podemos leer el “y”
-
Inversamente puede interesarnos saber: ¿cuánto tiempo transcurrirá hasta que el número
de bacterias se eleve a 12500?
Aquí entonces, dado el valor de “y” nos interesa conocer “t” (que es el exponente)
El problema de determinar el exponente nos lleva a estudiar la función logaritmo.
Vimos que:
f :ℜ → ℜ > 0
donde
y = f(x ) = ax
con
a≠1 y
a>0
es inyectiva y suryectiva, por lo
tanto existe su inversa.
Si
y = ax
entonces
y llamando a f
–1
f(−y1) = x
la función logaritmo de base a, damos la siguiente definición.
Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 103 )
Definición:
y = loga x
⇔
ay = x
Llamamos a “ y ” el “logaritmo en base a del número real positivo x ”, es decir la función
logaritmo es aquella que, dado x ∈ ℜ > 0 , hace corresponder el único real y
tal que ay = x
Ejemplo 1
log3 9 = 2
pues 32 = 9
log1/2 4 = -2
⎛1⎞
pues ⎜⎜ ⎟⎟
⎝2⎠
−2
=4
De todos los valores posibles para la base a , hay dos de ellos que son ampliamente usados, estos son
el número 10 y el número e y tienen notaciones especiales:
•
Si la base es
10, la notación es la siguiente:
y = log10 x = log x ; se lee “logaritmo decimal”.
Observa que no se coloca la base y se sobre entiende que esta es el número
10
(ya hemos
utilizados esta estrategia; pensemos, por ejemplo, como escribimos la raíz cuadrada, donde no
ponemos el índice 2)
•
Si la base es
e = 2.718... (un número irracional), la notación es la siguiente:
y = log e x = ln x ;
se lee “logaritmo natural o neperiano”.
Los logaritmos de estas dos bases son los que generalmente se resuelven con la calculadora y
antiguamente estaban tabulados.
( 104 )
Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Veamos ahora algunas posibles graficas de la función logaritmo. Donde aparecerán dos tipos de
graficas dependiendo de si
Por ser la función
o
a >1
0 < a <1
logaritmo la inversa de la función exponencial sabemos que sus gráficas son
simétricas respecto de la diagonal y = x.
Así, para
a > 1:
y
y = log a x
(1 ; 0)
x
Resumiendo:
g(x): R > 0
→
R
log a x = y = g (x )
⇔
ay = x
es:
•
Creciente
•
Negativa para 0 < x < 1
•
loga 1 = 0
•
Positiva para x > 1
•
Se acerca al eje y (negativo) si x se aproxima a cero.
Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 105 )
Para
0 < a < 1:
y
(1 ; 0)
x
y = log a x
Resumiendo:
g(x): R > 0
→
R
log a x = y = g (x )
( 106 )
⇔
ay = x
es:
•
Decreciente
•
Positiva para 0 < x < 1
•
loga 1 = 0
•
Negativa para x > 1
•
Se acerca al eje y (positivo) si x se aproxima a cero.
Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Propiedades de la función logaritmo
1- loga(x1. x2) = loga x1 + loga x2
2- loga (x)t= t . loga x
⎛x
3- loga ⎜⎜ 1
⎝ x2
¾
⎞
⎟ = loga x1 - loga x2
⎟
⎠
Demostración de 1):
Llamemos loga x1 = m
loga x2 = n
⇔
⇔
am = x1
an = x2
luego
x1 . x2 = am. an = a
m+n
(por propiedad de los exponentes)
Así
loga ( x1 . x2) = m + n = loga x1 + loga x2
¾
Demostración de 2):
Si
loga x = m
⇒
am = x
⇒
¾
(am)t = xt
⇒
⇒
am.t = xt
⇒
loga (xt) = t . m = t . loga x
Demostración de 3): Ejercicio para el lector
Ejercicio: ¿A qué es igual loga (ax)?, y ¿ a
(log x)
a
?
Ejemplo 2
¿Cuál es la solución de la “ecuación exponencial” 3x = 21?
Ya que 3x = 21 ⇒ log
3
3x = log 3 21
x . log 3 3 = log 3 21
x = log 3 21
para determinar el valor de x es necesario hacer un cambio de base.
Algunas veces es necesario “cambiar la base” a del logaritmo ( logax). Esto es, queremos logax para
algún b > 0, b ≠ 1.
Así, llamando m = logbx:
Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 107 )
⇔
m = logbx
log a b
bm = x
m
= log
, luego
a
x
y por propiedad de la función logaritmo tenemos:
logax = m. logab ⇒
m=
loga x
loga b
m = logbx
y recordando que:
se tiene:
log b x =
log a x
loga b
fórmula que expresa el log b x, en términos de la base conocida a.
Concluyamos el ejemplo 2:
log 3 21 =
log 10 21
log 10 3
,
de donde usando la calculadora: log 3 21 =
así
1,3222
≅ 2,7712437
0,4771
x = 2.7712437
Verifique que 3x = 21
Ejemplo 3
Si queremos obtener log
4
2
tenemos:
log
( 108 )
4
1
log 4 2
1
2 =
= 2 =
log 2 4
2
4
Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Ejemplo 4
Volviendo al ejemplo 2 de la sección anterior intentemos responder la pregunta ya planteada de:
¿cuánto tiempo transcurrirá hasta que el número de bacterias se eleve a 12500?
El tiempo para que el n° de bacterias sea 12500, nos lleva a:
12500 = 1000 . 2t
t . ln 2 = ln 12,5
⇒
⇒
t=
12500
2t =
= 12,5
1000
ln 12,5
ln 2
t = 3,64
días
Veremos al estudiar los temas de derivadas e integrales, que la función exponencial de base e: y=ex
y la función logaritmo natural y=ln x tienen un uso muy frecuente.
Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 109 )
Actividades
Ejercicio Nº 1
Graficar cada una de las siguientes funciones:
⎛3⎞
a) f(x) = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝2⎠
x
⎛2⎞
b) f(x) = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝3⎠
⎛x⎞
⎜⎜ ⎟⎟
c) f(x) = 4⎝ 2 ⎠
x
⎛ x⎞
⎜⎜ − ⎟⎟
d) f(x) = 4⎝ 2 ⎠
Ejercicio Nº 2
Esbozar en un mismo sistema de ejes cartesianos las siguientes funciones:
a)
f(x)=ex
b)
f(x)= e x
g(x)=2 ex
g(x)=-ex
2
Ejercicio Nº 3
Encontrar el valor de x que verifica:
a)
1
3x =
3
b)
23x = 4
c)
2x = 8 ⋅ 4x
d)
e)
2
4x-1
2x-2
=128
23x = 0,53x + 2
Ejercicio Nº 4
Las amebas son seres unicelulares que se reproducen dividiéndose en dos. Supongamos que las
condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican aproximadamente cada hora y que
inicialmente solo hay una ameba. Complete la siguiente tabla.
tiempo(hs.)
1
2
Nº amebas
2
4
3
4
5
6
7…
x
2x
Si al comienzo del cultivo hay M amebas ¿como será la relación anterior?
Ejercicio Nº 5
La población de una ciudad se triplica cada 50 años. En el tiempo t=0, esta población es de 100.000
habitantes. Dar una formula para la población P(t) en función del tiempo t (en años). ¿Cuan será la
población después de?
a)
100 años
( 110 )
b)
150 años
c)
200 años
Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Ejercicio Nº 6
Calcular:
a) log 4 16 =
b) log 2
1
=
8
c) log 4
1
=
64
d) log 4 3 4 =
e) log 1 27 =
3
f) log 10
g) log 1
2
h) log 3
1
=
10
1
=
16
1
=
27
Ejercicio Nº 7
Indicar en cada caso si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:
a) log 0 0 = 0
b) log 5
c) log 2
1
= −2
25
1
1
=−
2
2
d) log − 4 16 = 2
Ejercicio Nº 8
Aplicar las propiedades del logaritmo en las siguientes expresiones:
a) loga
x.z2
y3
1
⎤
⎡
x + z2 ⎥
⎢
b) loga
⎢ x.y 3 ⎥
⎦⎥
⎣⎢
−2
Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 111 )
Ejercicio Nº 9
Calcule, utilizando la definición de logaritmo, cuando sea posible, el valor de x:
a) log 2 8 = x
b) log 5 x = 2
c) log a a3 = x
d) log 3 (x + 5) = −1
e) log 2 (x 2 − x − 2) = 2
Ejercicio Nº 10
Utilizando las propiedades del logaritmo, encuentre los valores de x que satisfagan las siguientes
expresiones:
a) log a x = log a 9 − log a 4
(
b) log a x = 3 log a 5 + 4 log a 2 − log a 3
)
c) 2 x . 42 x = 5
d) log 2 x − log 2 5 = 1
e) log a x =
3 log a 4
5
f) log 3 x + log 3 (x + 2) = 1
g) log x 4 + log x 8 − log x 2 = 2
( 112 )
Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Funciones
06
Trigonométricas
¿Por qué este tema?
La trigonometría (etimológicamente: “medida de triángulos”)
estudia las relaciones entre los lados de un triángulo y sus
ángulos. Estas relaciones dan lugar a la existencia de las
funciones trigonométricas que son aplicadas a cualquier ángulo,
no
necesariamente
interior
de
un
triángulo;
más
aún:
•
Repasamos geometría.
•
Razones
a
“cualquier número real”.
Trigonométricas.
La periodicidad, forma, y otras características de estas funciones
hacen que puedan ser utilizadas para modelar y por ende
•
Definición de Función.
describir y analizar un sinnúmero de fenómenos físicos que
•
Ángulos.
•
¿Cómo medir los
comparten estas características, como la luz, el sonido, la
corriente alterna, los movimientos oscilatorios y muchos más…
ángulos?.
Esto hace que estas funciones posean muchísimas aplicaciones en
•
diversos campos de la ciencia y la tecnología...
Las Funciones
Trigonométricas.
•
Dominio de las funciones
trigonométricas.
•
Imagen de las funciones
trigonométricas.
•
Gráfica de las funciones
trigonométricas.
•
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Actividades
( 113 )
( 114 )
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
REPASAMOS GEOMETRÍA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Antes de comenzar con el tema propuesto para este capítulo te proponemos repasar algunos
conceptos que serán muy necesarios para lograr una comprensión más integral de las funciones
trigonométricas y sus aplicaciones. Comencemos…
En geometría es muy común el uso del concepto de razón, por ejemplo, para definir el concepto de
semejanza. ¿Lo recuerdas?
Si no lo recuerdas, tendrás que averiguarlo y escribirlo a continuación.
Ejercicio N° 1
Busca y escribe la definición geométrica de semejanza.
Ejercicio N° 2
Averigua por tu cuenta, y luego responde, fundamentando, lo siguiente:
a. ¿Qué es un triángulo rectángulo?
b. ¿Cuál es la relación entre los ángulos interiores de un triángulo?
c. ¿Qué relación existe entre los ángulos agudos interiores de un triángulo rectángulo?
d. ¿Qué relación existe entre los lados de un triángulo rectángulo?
Ejercicio N° 3
Luego de realizar el ejercicio anterior, que te permitió recordar conceptos y propiedades, te pedimos
que realices las siguientes tareas:
1) Dibuja un triángulo rectángulo y construye todas razones posibles entre sus lados.
2) Mide los lados del triángulo y calcula el valor de algunas de esas razones.
3) Construye otro triángulo rectángulo manteniendo un mismo ángulo agudo y calculando las mismas
razones que en el caso anterior, verifica la definición de semejanza que enunciaste anteriormente.
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 115 )
Ejercicio N° 4
i) Según tu razonamiento, ¿cuáles de estas conclusiones te parecen verdaderas y cuáles no?.
a) Todos los triángulos son semejantes
b) Todos los triángulos rectángulos son semejantes
c) Las razones de los lados homólogos de dos triángulos rectángulos son
iguales
d) Las razones de los lados homólogos correspondientes a triángulos
rectángulos que poseen un mismo ángulo agudo son iguales
e) Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo igual, son
semejantes
ii) A partir de las afirmaciones que elegiste como verdaderas, escribe una definición propia, que las
resuma:
( 116 )
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Seguramente ya haz reconocido que estas razones entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo
rectángulo como el de la Figura 1, son las ya conocidas razones trigonométricas, para que puedas
demostrar tus conocimientos, te invitamos a que las recordemos juntos “con nombre y apellido”.
Haremos referencia al triángulo rectángulo siguiente, pero recordarás que se aplican a cualquier
triángulo rectángulo…
a
c
α
b
Figura 1 – Triángulo rectángulo
• SENO DEL ÁNGULO α
sen (α) =
cateto opuesto
c
=
hipotenusa
a
• COSENO DEL ÁNGULO α
cos (α) =
cateto adyacente
b
=
hipotenusa
a
• TANGENTE DEL ÁNGULO α
tg (α) =
cateto opuesto
c
=
cateto adyacente
b
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 117 )
• COTANGENTE DEL ÁNGULO α
cotg (α) =
cateto adyacente
b
=
cateto opuesto
c
sec (α) =
hipotenusa
a
=
cateto adyacente
b
• SECANTE DEL ÁNGULO α
• COSECANTE DEL ÁNGULO α
cosec (α) =
a
hipotenusa
=
cateto opuesto
c
Como hemos podido concluir, según nuestro propio convencimiento, “En todo triángulo rectángulo,
las razones trigonométricas dependen de la medida del ángulo agudo al que se apliquen”.
Pero si profundizamos un poco más en nuestros conocimientos matemáticos, ¿podremos arriesgarnos
a decir que...
... las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo, son funciones del
ángulo en el que se aplican?
Para estar más seguro de lo que estamos haciendo, será muy prudente que recordemos la definición
de función, ¿no te parece?
( 118 )
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Dados dos conjuntos numéricos A y B, una relación R de A en B es una función si:
1.
Todo el conjunto A (conjunto de partida) es dominio de la relación.
2.
A cada elemento del conjunto de partida A le corresponde una y sólo una imagen en el
conjunto de llegada B.
Teniendo en cuenta esta definición, podemos observar en ella tres conceptos fundamentales:
a) El conjunto numérico dominio.
b) El conjunto numérico imagen.
c)
Una relación unívoca entre los dos conjuntos.
En el caso que nos ocupa, el primer conjunto tendrá que contener los números que representen las
medidas de todos los posibles ángulos. ¿De todos los posibles ángulos?
En el segundo conjunto deberán estar todas las posibles razones trigonométricas establecidas
anteriormente.
Estas dos observaciones nos previenen para ser más cautelosos con nuestra aseveración anterior, de
manera que podamos justificarla adecuadamente.
Por ejemplo, deberíamos contestarnos algunas preguntas como:
1- ¿Cuál es el sistema de medidas angulares que conocemos?.
2- ¿Estas medidas constituyen un conjunto numérico?.
3- ¿No podremos extender nuestras conclusiones a otros ángulos sin que necesariamente
se trate de ángulos de un triángulo rectángulo?.
Vamos posponer un poco nuestra conclusión anterior a fin de que podamos realmente justificarla
adecuadamente.
En la siguiente sección vamos a fundamentar las respuestas que nos están faltando.
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 119 )
ÁNGULOS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Ya hemos trabajado con ángulos pero nuevamente para evitar confusiones es tiempo que
establezcamos una definición para este sencillo concepto:
Definición: Ángulo es el conjunto de puntos barridos al girar una semirecta (o rayo) sobre su
punto de origen desde su posición inicial hasta una posición final.
do
la
al
fin
do
la
al
ici
in
rayo
lado inicial
vértice
punto de
origen
lado final
vértice
Figura 2 – Definición de ángulo. Ejemplos.
Si revisas la definición notarás que no se restringe, por ningún motivo, ni la magnitud ni el sentido de
la rotación, y que es posible también hacer que el rayo gire varias vueltas o revoluciones en cualquier
sentido.
La medida del ángulo deberá representar la magnitud del giro, y ya está establecido por
convención que será considerada positiva si la rotación se efectúa en sentido contrario a las manecillas
del reloj, y negativa si es en el otro sentido.
A modo de ejemplo en la Figura 3 mostramos tres ángulos distintos, el ángulo α (alfa) es positivo, β
(beta) es negativo y γ (gama) es positivo. Notemos que α, β y γ tienen el mismo lado inicial y final,
pero sin embargo α, β y γ son diferentes, ya que la "cantidad" de rotación necesaria para ir desde el
lado inicial hasta el lado final es, por ejemplo, mayor para γ que para α.
do
la
fin
al
α
lado inicial
o
lad
β
fin
al
lado inicial
o
lad
γ
al
fi n
lado inical
Figura 3 - Ejemplos
( 120 )
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Podemos ubicar el vértice del ángulo coincidiendo con el origen de un sistema de coordenadas
rectangulares, y su lado inicial coincidiendo con el eje x positivo.
Un sistema de coordenadas, determina en el plano cuatro regiones llamadas CUADRANTES,
of
in
al
denominados 1ro, 2do, 3ro y 4to cuadrante como se ubican en la Figura 4:
do
er
lad
2
cuadrante
θ
O
er
3
cuadrante
1
cuadrante
lado inical
to
4
cuadrante
Figura 4 – Ángulo ubicado en un sistema de coordenadas
Entonces según en que cuadrante se ubique el lado final diremos que el ángulo está en ese
cuadrante, en la Figura 4, por ejemplo, el ángulo θ está en el 1er cuadrante.
Si el lado final del ángulo está en el eje x o en el eje y, en tal caso, decimos que θ es un ángulo
cuadrantal.
Ejercicio Nº 5
Dibuja un ángulo:
- Orientado positivo y que el lado final esté incluido en el cuarto cuadrante.
- Orientado negativo y que el lado final esté incluido en el tercer cuadrante.
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 121 )
¿CÓMO MEDIR LOS ÁNGULOS? ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Para medir la rotación necesaria para que el lado inicial coincida con el final se utilizan comúnmente
dos unidades de medición: grados (del sistema sexagesimal) y radianes (en el sistema circular).
• Grados:
Aquí el ángulo formado por la rotación, en sentido contrario a las agujas del reloj, desde el lado inicial
hasta que coincida con el mismo (1 vuelta o revolución) se dice que mide 360 grados, y se escribe
360º.
Así:
1
parte de una vuelta.
360
•
Un grado (1º) es
•
Un ángulo recto ó
1
de vuelta es 90º.
4
•
Un ángulo llano ó
1
vuelta es 180º.
2
Ejercicio Nº 6
Dibuja en un sistema de coordenadas un ángulo α positivo en cada uno de los siguientes casos:
a. 90º<α<180º ; 0º<α<90º
b. Indicar en qué cuadrante está incluido el lado extremo de los siguientes ángulos orientados:
120º, -60º, 380º, -130º
Recordemos que en el sistema sexagesimal son submúltiplos del grado el minuto y el segundo, tal
como se muestra en la Tabla 1:
Minuto sexagesimal
1' =
Segundo sexagesimal
1º
60
1' ' =
1'
60
Tabla 1 – Submúltiplos del sistema sexagesimal
¿Sabías que…
este sistema de medición es muy antiguo, proviene de los babilonios; ellos pensaban
que el año tenía 360 días, lo que los llevó a utilizar como unidad angular la 360 ava parte de una
ángulo de un giro.
( 122 )
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
• Radianes:
Como vimos anteriormente el SI tiene como unidad de medida de ángulos el radián.
¿Qué es un radián?
Para poder definir el radián analicemos lo siguiente:
En las circunferencias concéntricas de la gráfica observamos los arcos ab y a' b' que corresponden al
ángulo central θ.
Por tener en común el ángulo, las razones entre las longitudes de los arcos y los radios
correspondientes son iguales, se puede entonces formar la siguiente igualdad de razones
(proporción):
ab
oa
=
a' b'
o' a'
Estas razones sólo dependen de la amplitud del ángulo θ, y
esto nos da la posibilidad de tomarla como medida del
b’
ángulo. Dicha medida es la utilizada en el sistema circular:
ab a' b'
longitud del arco
ˆ
θ=
=
=
oa o' a' longitud del radio
b
o
a
a’
Figura 5 – Razones entre arcos y radián
Pero en definitiva... ¿Cómo se define el radián?
Definición: Un radián es la medida del ángulo central que abarca un arco de igual longitud
que el radio de la circunferencia.
Es decir un radian es el ángulo para el cual:
longitud ab = longitud oa
O lo que es lo mismo:
longitud del arco = longitud del radio
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 123 )
ab
Es decir que:
oa
= 1 radián
lo
n
g.
ra
d
dio
= ra
co
io
ar
1 radián
radio
Figura 7 – Razones entre arcos y radios
La diferencia que deberías notar es que la magnitud de la rotación (del ángulo) se define con el uso de
magnitudes relacionadas con medidas de longitud.
Según lo que hemos enunciado, la medida de un ángulo de un giro completo en el sistema circular es:
1 giro o vuelta =
longitud de la circunferencia
longitud del radio de la circunferencia
si recordáramos que la longitud de una circunferencia es 2 π r podríamos reemplazar:
1 giro o vuelta =
2πr
, entonces:
r
1 giro o vuelta = 2 π radianes
2π radianes significa 2π veces la medida del radio, y
π es el número irracional 3,14159...
¡¡¡ ATENCIÓN !!!
Aquí aparece lo más importante del uso de este sistema, pues:
la medida de un ángulo en unidades de radio: ¡¡¡ es un número real !!!.
( 124 )
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Con esto hemos logrado un conjunto numérico que representa la medida de los ángulos
respondiendo con ello al segundo interrogante planteado luego de recordar la definición de función.
Todavía podemos asegurar más. Este conjunto numérico es el conjunto de los números reales R.
Esta certeza (que tiene una demostración matemática más rigurosa), se justifica en el hecho de que la
longitud del arco correspondiente al ángulo generado por la rotación de un segmento alrededor de un
punto puede ser tan grande o tan pequeño como se quiera, es decir un número entre cero (0) e
infinito (∞) si se genera positivamente, o un número entre cero (0) y menos infinito (- ∞) si se genera
negativamente.
Si pusiéramos en duda que los números irracionales pudieran ser medida de algún ángulo, nos
ayudará familiarizarnos con los ángulos cuadrantales, y comprobar que, por ejemplo, la longitud del
arco correspondiente a una semicircunferencia es π = 3,14159... , un número irracional.
Las Figuras 7 y 8 además te servirán para comparar la medida de algunos de estos ángulos en uno y
otro sistema.
longitud =
π
π radianes
180 º
radio = 1
lon
gi
tu
d
=
π/2
π/2 radianes
90 º
radio = 1
Figura 7 – Ejemplos de ángulos cuadrantales
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( 125 )
2
3/
π
lon
gi
tu
d
=
3/2
270 º
π radianes
radio = 1
lon
gi
tu
d
=
2
5/
π
5/2 π radianes
450º
radio = 1
Figura 8 – Ejemplos de ángulos cuadrantales
En el caso de una circunferencia cualquiera, el arco es un múltiplo de la longitud de la circunferencia
de modo que se podrá establecer la relación de equivalencia:
1 giro ------------ 2π radianes ------------- 360º
de modo que:
ángulo θ en radianes ángulo θ en grados
=
2π
360
Que es la relación entre grados y radianes
Esto es importante para evitar confusiones. Por ejemplo decimos que la suma de los ángulos interiores
de un triángulo vale 180º y en otras oportunidades que la suma de los ángulos interiores de un
triángulo vale π. Las dos afirmaciones son correctas, solamente que en el primer enunciado la unidad
de medida es el grado y en el segundo es el radián.
Ejercicio Nº 7
a. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero es
grados, o sea
_______radianes.
b. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo de 9 lados es de ____
grados, o sea ________ radianes.
( 126 )
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Ejercicio Nº 8
a. ¿Cuál es la medida en grados de un ángulo que mide en el sistema circular 1 radián?
b. ¿Cuál es la medida en radianes de 1º?
Ejercicio Nº 9
Convierte:
a.
30º a radianes y graficarlo
b.
130º a radianes y graficarlo
c.
11
π radianes a grados
9
d.
2
π radianes a grados
5
e.
2
radianes a grados (note que se puede emplear cualquier número real; una medida en radianes
5
no es necesariamente un múltiplo (entero) de π.
Ejercicio Nº 10
Calcula el valor en radianes de los siguientes ángulos especiales:
.......
.......
.......
120º
.......
90º
.......
.......
60º
30º
150º
210º
.......
0
.......
0º
180º
.......
.......
45º
135º
330º
225º
315º
240º
.......
300º
270º
.......
.......
.......
.......
.......
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( 127 )
Ejercicio Nº 11
Recuadra la respuesta correcta:
Un ángulo de 1 radián equivale a:
56º17’44”
57º
57º17’45”
Ejercicio Nº 12
Dibuja en la circunferencia unidad con los ejes los siguientes ángulos:
π
2
;
3
π
2
;
−
3
π
2
;
π
4
;
− 3π
Ejercicio Nº 13
Indica en radianes la amplitud del ángulo que determina el minutero de un reloj en:
a) 15 minutos:........... b) 1 hora:.......... c) 30 minutos:.......... d) 2horas 15 minutos:..........
Ejercicio Nº 14
¿Qué hora marcará el reloj cuando su minutero gire un ángulo:
a. de -2 π radianes? (dibujar un reloj que indique 3 h 30 m)
b. de – 3 π radianes? (dibujar un reloj que indique 2 h 15 m)
Ejercicio Nº 15
Marca con una cruz la respuesta correcta.
Al pasar de las 1 h 15 min. A las 4 h 45 min., el minutero de un reloj ha girado un ángulo de:
a) -4 π
b) -5 π
c) -6 π
d) -7 π
Ejercicio Nº 16
¿Cuántas vueltas ha dado la rueda de una bicicleta si uno de sus radios ha girado un ángulo de 9
( 128 )
π?
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y Ángulos coterminales ó congruentes
Son los ángulos que tienen el mismo lado inicial y final. En la Figura 3 los ángulos α, β y γ son
coterminales.
Los ángulos 0, 2π, 4π, 6π, -2π, -4π son coterminales, todos ellos representan revoluciones completas.
Para hallar los coterminales de un ángulo bastará con agregar múltiplos enteros de una revolución ya
sea en sentido positivo o negativo.
θ en º es coterminal con (θ + k 360)º
con k entero
θ en radianes es coterminal con (θ + k 2π)rad
con k entero
Ejemplo:
Si buscamos ángulos coterminales con π/2 encontraremos:
5
π
+ 2π = π
2
2
9
π
+ 4π = π
2
2
3
π
− 2π = − π
2
2
y así podríamos encontrar infinitos ángulos coterminales con
π
2
Ejercicio Nº 17
Calcula la medida, en radianes y en grados, de un ángulo que tiene su vértice ubicado en el centro de
una circunferencia de radio 2 y que determina un arco que mide
3
π.
8
Ejercicio Nº 18
Un punto se mueve sobre una circunferencia de radio 1 en el sentido contrario a las agujas del reloj.
Cuando recorre
2
de esa circunferencia:
5
a. ¿Cuál es la medida del arco de circunferencia que le falta recorrer para dar una vuelta completa?
b. ¿Cuál es la medida en radianes del ángulo correspondiente a ese arco?
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( 129 )
Ejercicio Nº 19
El limpia parabrisas de un automóvil mide 50 cm de largo ¿Cuántos cm cubre el extremo del limpiador
si barre
1
de revolución?
3
Ejercicio Nº 20
Indica en qué cuadrante está cada uno de los siguientes ángulos:
α1 = -200º
α2 = 800º 20’
α3 = 160º
α4 = 1020º
α5 = 3 rad
α6= 5/3 π
α7 = π rad
Entre los ángulos mencionados ¿Cuáles tienen el mismo lado terminal?
Ejercicio Nº 21
La rueda de una bicicleta ha dado 6 vueltas y media. ¿Cuántos radianes ha girado un rayo de la
rueda?
Ejemplo:
Un satélite terrestre en órbita circular a 1200 km de altura completa una revolución cada 90 minutos
¿Cuál es su velocidad lineal? (Utilizar el valor de 6400 km para la longitud del radio terrestre)
Utilicemos la fórmula v = rω. Recordemos además que ω es la velocidad angular y representa la
cantidad de revoluciones que un móvil recorre en un determinado tiempo.
r = radio de la Tierra + altura del satélite
r = 6400 km + 1200 km
r = 7600 km
Encontrando la velocidad angular: ω =
π
2π radianes
=
90 min .
45 min .
v = rω
v = 7600 km .
π
45 min.
Sustituyendo llegamos al resultado buscado:
v = 530 km/min
( 130 )
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Ejercicio Nº 22
Un ciclista corre con rapidez constante en un velódromo circular, cuyo radio es de 40 m. Sabiendo que
ha dado 6 vueltas en un minuto y medio, calcula la velocidad lineal en m/s y la velocidad angular en
rad/s
Ejercicio Nº 23
Calcula el arco de meridiano terrestre ab, siendo “b” la ciudad de Río Cuarto (coordenadas geográficas
de Río Cuarto: Latitud sud = 33º 04’, Longitud oeste = 64º 38’) y suponiendo que la tierra es una
esfera de radio aproximadamente igual a 6370 Km. El punto “a” es un punto sobre el Ecuador y a la
misma longitud.
Ejercicio Nº 24
Una rueda de 12 cm de diámetro está rotando a 10 revoluciones por segundo, ¿cuál es la velocidad de
un punto en el borde?
Es posible que te hayas preguntado cuando usar un sistema de medición en grados y cuando en
radianes
En muchas aplicaciones, tales como la localización exacta de una estrella o la posición precisa de un
barco en el mar, se utilizan ángulos medidos en grados. En muchas otras aplicaciones en especial en
cálculo los ángulos son medidos en radianes.
Es muy común por ejemplo en física trabajar con el tiempo como variable independiente, en estos
casos, el tiempo se indica en números reales y se representa gráficamente en el eje de las abscisas,
por igual razón necesitamos un conjunto numérico para medir ángulos, de tal forma que a cada
ángulo expresado en grados se le asigne un único número real.
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( 131 )
Ahora te acercamos a una aplicación muy común de las razones trigonométricas a la física:
• COMPONENTES DE UN VECTOR
Existen muchísimas aplicaciones en las que se tiene que lidiar con magnitudes vectoriales, donde no
se define a la magnitud sólo con un valor numérico, sino con él (módulo o intensidad) más una
dirección, un sentido y un punto de aplicación. Ejemplos de esto pueden ser una fuerza, una
velocidad, una aceleración, etc..
Gráficamente estas magnitudes se representan con vectores y para analizar situaciones en donde
intervengan estas magnitudes podrías usar a las razones trigonométricas como una buena
herramienta para componer y descomponer vectores, y de este modo analizar y sacar conclusiones en
situaciones concretas. Sólo algunos ejemplos pueden ser:
• cómo realizar una estructura de alguna construcción.
• verificar si un poste, en la transmisión de energía eléctrica, soportará los esfuerzos del tendido de
los conductores, vientos, etc.
• predeterminar el sentido, dirección y características del movimiento de un cuerpo sometido a la
acción de fuerzas.
• cómo se moverá un electrón en el seno de un campo eléctrico.
• etc.
Todo vector puede ser representado por, o descompuesto en, dos componentes vectoriales
mutuamente perpendiculares, siendo la suma vectorial de estas dos componentes igual al vector
original.
La descomposición de un vector V suele hacerse referida a un par de ejes cartesianos ortogonales (x
e y) colocando el origen del vector coincidente con el origen del sistema de ejes de referencia.
Cada componente tendrá entonces la misma dirección del eje respectivo. A la componente sobre el
eje x se la llama Vx. A la componente sobre el eje y se la denomina Vy.
Figura 11 – Descomposición de un vector en componentes perpendiculares
( 132 )
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Teniendo en cuenta que V tiene una ubicación determinada en el espacio, se puede determinar su
dirección expresando el ángulo que forma su línea de acción respecto del eje positivo de las x como
el ángulo α. Así, las componentes de V no son otra cosa que los catetos del triángulo rectángulo
Δ
OBC . Por lo que queda determinado:
cos(α) =
cateto adyacente a α OC
=
hipotenusa
OB
⇒
cos(α) =
cateto opuesto a α BC
=
hipotenusa
OB
⇒
sen(α) =
sen(α) =
Vx
V
Vy
V
Donde V representa el módulo del vector V (también conocido como intensidad del vector, magnitud
del vector, longitud del vector, etc.).
De las expresiones del cos(α) y del sen(α) se deducen las expresiones de las “componentes de un
vector V respecto de los ejes cartesianos ortogonales x e y”.
Vx = V cos(α)
Vy = V sen(α)
Las dos componentes así encontradas son equivalentes al vector V . O sea que surten el mismo efecto
sobre el punto “O”.
Ejercicio Nº 25
1. ¿Cuáles son las componentes de un vector que está en el plano cuyo módulo es igual a 1 y el
ángulo respecto de la horizontal es de 45º?
2. ¿Cuál es la mínima distancia entre el extremo de un vector y el eje y, si su módulo es igual a 50 y
su ángulo respecto de la horizontal de −
π
radianes ?
6
3. Si supiéramos que el extremo de un vector tiene las coordenadas (-5 ; -10) ¿Cuál sería el módulo
del vector? ¿Y su posición? (la Figura 11 podría darte alguna pista)
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( 133 )
• COMPOSICIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES
Consiste en la aplicación de algún método mediante el cual se puede llegar a determinar si el sistema
de fuerzas dado admite o no una resultante. Básicamente se busca encontrar dirección, sentido e
intensidad (módulo) de una sola fuerza que sea capaz de producir sobre el cuerpo el mismo efecto
dinámico que las componentes de dicho sistema.
Para lograr este objetivo se hace coincidir el punto de aplicación del conjunto de fuerzas con el origen
de un sistema de ejes cartesianos ortogonales, para luego descomponer cada fuerza en sus
componentes mutuamente perpendiculares (esto es: componente sobre eje x, componente sobre eje
y, etc.), tal como se describió en la aplicación anterior y teniendo en cuenta que una fuerza es una
magnitud vectorial.
Te presentamos un ejemplo para mostrar el procedimiento:
Tres fuerzas están aplicadas a un punto “O”, encontrar (si existe) la dirección, sentido e intensidad de
la fuerza resultante. Tener presente que las intensidades de las tres fuerzas aplicadas son: ⎜F1⎜= 35N ;
⎜F2⎜= 20N ; ⎜F3⎜= 30N. La dirección y el sentido de cada fuerza están presentadas en la siguiente
figura:
Figura 12 – a) Fuerzas aplicadas al punto “O”. b) Ubicación espacial de las fuerzas. c) Componentes ortogonales de cada fuerza
De aquí se desprende que:
⎛2 ⎞
F1x = F1 cos(α 1 ) = 35 N cos⎜⎜ π ⎟⎟ = −17,50 N
⎝3 ⎠
⎛1 ⎞
F2x = F2 cos(α 2 ) = 20 N cos⎜⎜ π ⎟⎟ = 14,14 N
⎝4 ⎠
⎛2 ⎞
F1y = F1 sen(α 1 ) = 35 N sen⎜⎜ π ⎟⎟ = 30,31 N
⎝3 ⎠
⎛1 ⎞
F2y = F2 sen(α 2 ) = 20 N sen⎜⎜ π ⎟⎟ = 14,14 N
⎝4 ⎠
⎛ 11 ⎞
F3x = F3 cos(α 3 ) = 30 N cos⎜⎜
π ⎟⎟ = 25,98 N
⎝ 6 ⎠
⎛ 11 ⎞
F3y = F3 sen(α 3 ) = 30 N sen⎜⎜
π ⎟⎟ = −15,00 N
⎝ 6 ⎠
La componente de la fuerza resultante sobre cada eje, será la suma algebraica de las componentes
sobre ese eje de las fuerzas que forman el sistema. Para este ejemplo:
( 134 )
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Rx =
n
∑
Ry =
Fix
n
∑F
iy
i=1
i=1
R x = F1x + F2x + F3x
R y = F1y + F2y + F3y
R x = −17,50 N + 14,14 N + 25,98 N
R y = 30,31 N + 14,14 N − 15,00 N
R x = 22,62 N
R y = 29,45 N
La intensidad de la fuerza resultante R se puede calcular con le auxilio del Teorema de Pitágoras (te
puede ayudar la Figura 13):
Figura 13 – Fuerza resultante del sistema de fuerzas aplicadas al punto “O” de la Figura 12
2
2
R =
Rx + Ry
R =
(22,62 N)2 + (29,45 N)2
R = 37,13 N
Sabiendo que Rx y Ry son las componentes de R podríamos ahora graficarlas (Figura 13) en un par de
ejes coordenados para deducir, aunque sea gráficamente, la dirección y el sentido de la resultante,
información que nos brindará el ángulo que forma R con el eje positivo x.
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( 135 )
LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Después de este repaso podemos comenzar a trabajar con las funciones trigonométricas.
Para que las expresiones sean mas sencillas, trabajemos ahora con una circunferencia de radio uno,
con su centro que coincida con el origen de un sistema rectangular de coordenadas. A ésta la
llamaremos circunferencia unitaria.
P
b
o
a
1
Figura 14 – Circunferencia unitaria
Sea P el punto en la circunferencia unitaria que define el lado final del ángulo θ. Sea t un número real
que define la magnitud de θ en radianes.
Al punto P le corresponden coordenadas que llamaremos (a;b).
Δ
Λ
Podrás encontrar en la Figura 14, en el triángulo rectángulo aoP , el ángulo Poa que denotamos θ.
Aquí recordando nuevamente las relaciones trigonométricas que relacionan los catetos con la
hipotenusa podríamos establecer las siguientes igualdades:
sen (θ) =
sen (θ) =
aP
oP
aP
1
sen (θ) = aP = ordenada del punto P
si ahora pensamos que el punto P puede moverse en la circunferencia unitaria podemos decir que la
relación...
•
seno asocia con t, la coordenada “y” de P y se denota:
sen(θ) = b
( 136 )
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Teniendo en cuenta que a cada ángulo (θ) le corresponde un único valor del seno, la relación
y = f(θ) = sen(θ) es una función.
Si θ está expresado en radianes, entonces f(θ) : R → R es decir sen(θ): R → R
Del mismo modo que antes la definición del coseno de un ángulo como la razón entre cateto
adyacente y la hipotenusa nos conduce a:
cos (θ) =
oa
oP
oa
1
cos (θ) =
cos (θ) = oa = abscisa del punto P
•
La función coseno asocia con t, la coordenada “x” de P y se denota:
cos(θ) = a
cos(θ): R → R
Para la tangente de un ángulo se establecía la relación entre cateto opuesto y cateto adyacente
aP
tg (θ) =
•
ordenada de P
abscisa de P
;
si oa ≠ 0
b
a
Si b≠0, la función cosecante está definida como:
cos ec (θ) =
•
=
Si a≠0, la función tangente está definida como:
tg (θ) =
•
oa
1
b
Si a≠0, la función secante está definida como:
sec (θ) =
1
a
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( 137 )
•
Si b≠0, la función cotangente está definida como:
cot g (θ) =
a
b
El hecho de haber elegido desde un comienzo la circunferencia unitaria, no le quita generalidad a las
definiciones encontradas, debido a las propiedades de semejanza de triángulos.
Lo único que estamos haciendo es considerar medidas de los catetos en unidades de radio, sin tener
en cuenta cuál es la medida de la unidad.
El uso de la circunferencia unitaria, en estas definiciones de las funciones trigonométricas, hace
que también se las conozca con el nombre de funciones circulares.
Es bueno notar que las funciones trigonométricas recién definidas incluyen a las relaciones
trigonométricas que presentamos para ángulos agudos en triángulos rectángulos.
y Los signos de las funciones en cada cuadrante
Si ya conocemos como las funciones trigonométricas tienen que ver con las abscisas y ordenadas del
punto P, y estas coordenadas tendrán distintos signos según en que cuadrante estemos ubicando el
punto P.
Así, si P esta en el 1er cuadrante entonces a es positivo (a>0) y b es positivo (b>0), entonces
recurriendo a las definiciones de las funciones trigonométricas, todas en este cuadrante tendrán signo
positivo.
En cambio si P está en el 2do cuadrante a es negativo (a<0) y b es positivo (b>0) entonces según las
definiciones serán positivas sólo las funciones seno y cosecante, mientras que todas las otras
resultaran negativas.
Ahora trabajando de manera semejante podrás completar la siguiente tabla:
Seno y
Coseno y
Tangente y
Cosecante
Secante
Cotangente
1º Cuadrante ; a>0 y b>0
+
+
+
2º Cuadrante ; a<0 y b>0
+
-
-
3º Cuadrante ; a<0 y b<0
4º Cuadrante ; a>0 y b<0
Tabla 2 – Signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante
( 138 )
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Ejercicio Nº 26
Ayudándote con la Figura 14 encuentra el valor exacto de las funciones trigonométricas en:
a) θ = 0 = 0º
b) θ =
c)
π
= 90º
2
θ= −
π
2
= -90º
d) θ = π = 180º
e) θ =
f)
3
π = 270º
2
θ = 2π = 360º
g) θ =
5
π = 450º
2
Ejercicio Nº 27
⎛ 1
3 ⎞⎟
el punto sobre el circunferencia unitaria que corresponde a t.
Sea t un número real y P = ⎜ - ;
⎜ 2 2 ⎟
⎝
⎠
Encuentra la magnitud de t y calcula el sen(t); cos(t) y tg(t)
Ejercicio Nº 28
En cierto motor de pistones, la distancia d (en metros) desde el centro del eje de dirección a la cabeza
del pistón esta dada en función de θ por:
d = cos θ + 16 + 0,5 cos (2θ)
donde θ es el ángulo entre la manivela y la trayectoria de la cabeza del pistón. Encuentre d cuando
θ = 30º y cuando θ = 45º
Ejercicio Nº 29
Determina el cuadrante que contiene a θ, si son válidas las condiciones dadas.
a)
cos (θ ) > 0
y
sen (θ ) < 0
b)
sen (θ ) < 0
y
cot g (θ ) > 0
c)
tg (θ ) < 0
d)
cos (θ ) < 0
cos (θ ) > 0
y
y
cos ec (θ ) < 0
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( 139 )
y Uso de la calculadora
Las calculadoras científicas tienen teclas identificadas con
SIN
COS
TAN
que puedes
emplear para calcular, aproximadamente, los valores de las funciones seno, coseno y tangente
respectivamente.
Después puedes obtener los valores de cosecante, secante y cotangente mediante la tecla del
recíproco:
¡¡¡¡¡¡¡ ATENCION
x-1
ó
1/x
!!!!!!!!!!
Antes de utilizar una calculadora para determinar valores de funciones que corresponden al valor de
un ángulo en radianes, asegúrate de que la calculadora esté en el modo RAD. Para valores que
corresponden a medidas en grados, selecciona el modo grados (modo DEG).
Para estar seguro si sabes manejar estas teclas correctamente calcula el seno del ángulo
π
cuyo
3
valor está en radianes. Ahora repite el cálculo para el mismo ángulo pero su magnitud expresada en
grados, es decir 60º.
¡¡¡¡¡¡ No te olvides de cambiar el MODO de la calculadora para cada caso !!!!!!!!
De este procedimiento por las dos alternativas tienes que obtener una aproximación decimal a
3
2
(que es irracional).
sen
( 140 )
π
=
3
3
2
≅
0.8660
El resultado que arroja la calculadora
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DOMINIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Como hemos visto la variable independiente de estas funciones es un ángulo cuyo valor en radianes
es un número real. Observemos que para las funciones seno y coseno el ángulo no tiene limitación en
cuanto al valor que puede tomar.
Entonces el Dominio de estas funciones es el conjunto de todos los reales que podrá también
escribirse en notación matemática como:
Dom sen(t) = {t∈R}
donde el símbolo ∈ significa pertenece y la letra
R denota el conjunto de los números reales.
Ya hemos advertido que si a=0 las funciones tangente y secante no están definidas. Lo mismo ocurre
para las funciones cosecante y cotangente cuando b=0. ¿Podrías fundamentar por qué no están
definidas?
Para describir el dominio de la función tangente, en primera instancia, podríamos analizar para que
ángulos la función no está definida.
Esta falta de definición ocurrirá cada vez que el lado final del ángulo coincida con el eje y, que
corresponde con los ángulos
π
π
y −
y todos sus coterminales.
2
2
Ahora estamos en condiciones de describir este dominio
Dom tg(t) = {t∈R / t ≠
π
+ kπ }
2
donde k∈Z
Podrías obtener algunos valores de t (adoptando diferentes k) de la expresión anterior y verificar con
el uso de la calculadora que la tangente de estos ángulos no esta definida.
Ejercicio Nº 30
Revisando las definiciones encuentra el dominio de las funciones secante, cosecante y cotangente.
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( 141 )
IMAGEN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Para completar el estudio de estas funciones y previo a la determinación de la gráfica es momento que
determinemos el conjunto imagen de cada una de estas funciones.
Volvamos a la Figura 14, ubiquemos el punto P, recuerda que P se puede ubicar en cualquier parte de
la circunferencia unitaria, pero cualquiera sea la ubicación la abscisa a y la ordenada b sólo tomarán
valores en el intervalo [-1,1] es decir −1 ≤ b ≤ 1 , en consecuencia como el sen(θ)=b entonces
−1 ≤ sen (θ) ≤ 1 y, del mismo modo, el cos(θ)=a luego −1 ≤ cos (θ) ≤ 1 .
O en notación matemática
Si y=sen(t) ; Im sen(t) = { y∈R / −1 ≤ y ≤ 1 }
Si y=cos(t) ; Im cos(t) = { y∈R / −1 ≤ y ≤ 1 }
En cambio para las funciones tangente y cotangente que resulta de la razón entre magnitudes que
pueden tomar valores en [-1,1] puedo obtener todos los valores reales. Es decir:
Si y=tg(t) ; Im tg(t) = { y∈R }
Otra vez te queda la tarea de determinar el conjunto imagen de las funciones cosecante y secante.
( 142 )
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GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Al construir las gráficas de las funciones trigonométricas, siempre los ángulos estarán expresados en
radianes, o sea números reales.
Para visualizar un ángulo como variable utilizaremos nuevamente el punto P moviéndose en la
circunferencia unitaria.
Nos dedicaremos a deducir la gráfica de la función seno.
Comencemos con el ángulo cero, es decir que P estará en el eje x positivo, con coordenadas (1;0). La
ordenada nos da el valor del seno del ángulo, cero también, en este caso. Esto nos permite ubicar el
primer punto el de coordenadas (0;0) para la gráfica de la función, que vamos a dibujar al lado de la
circunferencia para que se pueda visualizar mejor.
Consideremos ahora el ángulo
π
, con el punto P ubicado en la posición A' de la Figura 15, la longitud
6
del segmento AA' representa el valor del seno de este ángulo. Podremos trasladar este segmento al
sistema de coordenadas de la izquierda donde estamos construyendo la gráfica de la función seno,
hasta la posición en que t tome el valor
π
.
6
Al considerar distintos ángulos el punto P se ubicará en las posiciones B', C', D', etc. Y los segmentos
verticales BB', CC', DD' … representarán la magnitud del seno de los respectivos ángulos.
Estos segmentos ubicados en el sistema de coordenadas que llamamos y vs. t nos sugiere que la
curva del seno tiene la forma que dibujamos en la última parte de la figura.
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 143 )
y
B’
B’
A’
π/3
A’
π/6
A
O
B
A
O
π/6
0
B
π/3
t
y
π/2
(2/3)π
C’
π/3
C’
D’
B’
π/6
(5/6)π
D
H
G
E’
A’
A’
E’
π F E
D’
B’
A O 0
B
A
O
C
0
π/6
B
π/3
C
D
E
π/2 (2/3)π (5/6)π π
F (7/6)π (4/3)π
H
G
t
G’
(7/6)π
G’
H’
(4/3)π
H’
y
(5/2)π
π/2
(2/3)π
(7/3)π
π/3
π/6
(5/6)π
π
(13/6)π
(7/6)π (4/3)π (3/2)π (5/3)π (11/6)π
0 2π
0
(7/6)π
π/6
π/3
π/2 (2/3)π (5/6)π π
2π (13/6)π (7/3)π (5/2)π ...
t
(11/6)π
(5/3)π
(4/3)π
(3/2)π
Figura 15 – Generación de la función seno
Resumiendo, las características de la función seno, son:
1. El dominio es el conjunto de todos los números reales, por lo tanto la gráfica anterior podría
haberse dibujado incluso desde los valores negativos de t.
2. El conjunto imagen consta de todos los números reales entre –1 y 1 inclusive
3. La función seno es una función impar, es decir como se ve en su gráfica, ésta es simétrica con
respecto al origen.
4. La función seno es periódica con periodo 2π
5. Las intersecciones con el eje de abscisas son.....,-2π, -π, 0, π, 2π,3π......; la intersección con el eje
de ordenadas es 0.
( 144 )
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
6. El valor máximo es 1 y ocurre en los siguientes valores de la variable independiente:
... −
3
5
9
π
;
π ;
π ;
π ...
2
2
2
2
7. El valor mínimo es –1 y ocurre en los siguientes valores: ... −
3
7
11
π
;
π ;
π ;
π …
2
2
2
2
Ya vimos como se genera la gráfica de la función seno, del mismo modo podríamos trabajar para
lograr las gráficas de las demás funciones. Aquí te presentamos algunas para que las uses y tengas en
cuenta:
1
2
_5
_π _ _
π
6
_π
_ __
11 π _ 5
6
3
3
_ 1_ π _ 1
_π
3
6
__
4π _ _
7
π
3
_1 π
6
6
1
_
π
3
_2 π
3
7π
_
6
_4 π
_7 π
4
_
π
3
3
_5 π
3
11
__
π
6
5
_
π
6
-1
Figura 16 – Función seno: y=sen(t)
1
__
4π _ _
7
π
3
6
2
__
5
π
π __
6
3
__
1π _ _
1π
3
_2 π
6
3
_ 11
__ π _ _
5π
6
1π
_
6
3
5π
_
6
_1 π
3
6
5π
_
3
11
__
π
6
-1
Figura 17 – Función coseno: y=cos(t)
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( 145 )
...
1.73
0.58
__
1π _ _
1
π
__
4π _ _
7π
...
3
6
3
6
_ 11
__ π _ 5_ π
3
_2 π
6
3
2
__
5
π
π __
6
1π
_
6
3
5π
_
3
5π
_
6
_1 π
3
7π
_
6
4
_
π
3
11
__
π
6
...
-0.58
...
-1.73
Figura 18 – Función tangente: y=tg(t)
Ejercicio Nº 31
Usando las gráficas que te presentamos podrías resumir las características mas importantes (dominio,
imagen, paridad, período, raíces, máximos y mínimos) de las funciones coseno y tangente.
Ejercicio Nº 32
Completa la afirmación, consultando las gráfica de las funciones trigonométricas. t → 0 + significa que
t se acerca a cero por la derecha.
a) Cuando t → 0+ , sen (t) → ..........
b) Cuando t → π + , sen (t) → ..........
c)
Cuando t → π − , cos (t) → ..........
π
3
−
d) Cuando t →
π
2
−
e) Cuando t →
f)
, cos (t) → ..........
, tg (t) → ..........
Cuando t → 0+ , cot g (t) → ..........
( 146 )
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Ya comprendidos los conceptos sobre funciones trigonométricas, es bueno rescatar las aplicaciones de
este tema, aquí te acercamos algunas...
• EL SONIDO
¿Sabías que ... Los sonidos se transmiten desde una fuente que los produce hasta nuestros oídos a
través de una vibración de las moléculas de aire sin transportar materia.?
Al representar el movimiento de estas moléculas, en un sistema de coordenadas, en el cual el sistema
de abscisas corresponde al tiempo y el de ordenadas al desplazamiento a partir de la posición original,
se obtienen algunos gráficos como los mostrados en la Figura 19.
La representación de la vibración producida al
hacer sonar un diapasón muestra la forma que
tiene la onda de un sonido puro.
diapasón
Las otras dos, que pertenecen a una flauta y a
un violín, muestran ondas más complejas. En
realidad la onda vibrante emitida por un
instrumento musical, es una combinación de
flauta
sonidos puros, o sea que se puede representar
como combinación de funciones periódicas. El
gráfico de un sonido puro corresponde a una
función del tipo: f(x) = a sen(wx)
violín
Figura 19 – Representación gráfica de diferentes sonidos
¿Qué características físicas tienen los sonidos relacionados con los parámetros a y w ?
• Volumen, si golpeamos con más fuerza el mismo diapasón, oiremos un sonido más intenso, cuya
representación es una función de mayor amplitud. El factor a, está relacionado con el volumen del
sonido o amplitud de la onda.
• Tono o Altura: si golpeamos con la misma fuerza distintos diapasones correspondientes a distintas
notas musicales, nuestros oídos percibirán diferentes alturas o tonos . Esta es la característica física a
la que aludimos cuando decimos que un sonido es grave o agudo y se llama frecuencia, y es
w
2π
. A
frecuencias mayores corresponden, desde el punto de vista físico, sonidos más agudos y,
matemáticamente, funciones de periodos menores.
Como x representa al tiempo, entonces la frecuencia es la cantidad de ciclos que realiza la onda por
segundo, se mide en Hertz (Hz) que representa un ciclo por segundo.
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
( 147 )
Si tocamos en un piano el LA por encima del
DO central y pudiéramos visualizar la señal de
este sonido, veríamos que su frecuencia es de
440Hz. Si tocamos un LA más agudo su
frecuencia es de 880 Hz y uno más grave tiene
una frecuencia 220 Hz; estas representan
distintas
“octavas”
de
una
misma
nota.
Podríamos incluso comparar las frecuencias de
los
sonidos
de
las
siete
notas
de
una
determinada octava, los resultados se ven en
Figura 20 – Frecuencias de las siete notas en una octava
la Figura 20.
Ejercicio Nº 33
Observa la figura, y responde:
a. ¿Cuál de las ondas corresponde al sonido de
mayor volumen?
b. ¿Cuál de las ondas corresponde al sonido más
agudo? ¿Y cuál al sonido más grave?
c. ¿Cuál de las ondas tiene el mayor período?
¿Y el menor?
• LAS MAREAS
profundidad [m]
El siguiente gráfico muestra como varía la profundidad del agua de un puerto en un día cualquiera.
10
8
6
Calado
Profundidad
del puerto
4
Mar
2
03 05 07 09 11 13
15 17
miércoles
19 21 23 01
03
hora
jueves
Figura 28 – Variación de la profundidad del agua de un puerto en función del tiempo
( 148 )
Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010
Ejercicio Nº 34
Dado que los barcos sólo pueden entrar en el puerto si la profundidad en el mismo es mayor que el
calado del barco…, usando la gráfica anterior,
a. ¿A qué hora hay pleamar? ¿Y bajamar?
b. ¿En qué intervalos sube la marea? ¿En cuáles baja?
c. ¿En qué momento puede entrar o salir un barco con un calado de 5m cuando está cargado y de 2m
descargado?
d. ¿Cuál debería ser el calado máximo de un barco cargado para poder entrar y salir del puerto
independientemente de la profundidad en el mismo?
e. ¿Cuál es el período de la función graficada?
Hasta aquí te hemos presentado algunos de los conceptos más importantes de las funciones
trigonométricas, por supuesto que hay mucho más... Las diferentes carreras de ingeniería usan esta
teoría para determinar, entre otras cosas, ángulos de aterrizaje de aviones de acuerdo a la posición
del mismo; armado de cartas de navegación; diseños de diferentes estructuras y piezas de
máquinas; construcción de carreteras, puentes…; modelado, simulación y control de sistemas
eléctricos... y así podríamos seguir enumerando aplicaciones. Depende de tu gusto y de tus ganas
seguir ampliando sobre este tema.
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