MAPLE, HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE

MAPLE, HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA ESTADÍSTICA EN ECONOMÍA,
CIENCIAS E INGENIERÍAS
J.C.R. Alcantud1, L.D. López-Matos2, C. Rodríguez-Palmero3
jcr@usal.es, daniel.lopez@ucavila.es, cpalmero@eco.uva.es
1
Facultad de Economía y Empresa. Universidad de Salamanca.
37008 Salamanca, España.
2
Facultad de Ciencias Sociales y Jurídicas. Universidad Católica de Ávila.
05005 Ávila, España.
3
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales. Universidad de Valladolid.
47011 Valladolid, España.
RESUMEN
En los últimos años se ha producido un renovado interés desde un punto de vista académico por la mejora de la calidad
en la enseñanza universitaria como por la calidad en el aprendizaje. El objetivo de este trabajo es mostrar la
potencialidad didáctica de MAPLE no sólo como herramienta docente en la didáctica de la estadística sino también
como un instrumento de ayuda para la adquisición de determinados conceptos y procedimientos. El programa de cálculo
simbólico MAPLE permitirá desarrollar en el aula una metodología "activa y heurística" de enseñanza-aprendizaje
centrada en el alumno que tiene como objetivo lograr que el aprendizaje del alumno deje de ser simplemente mecánico
o memorístico, pasando a ser un aprendizaje significativo basado en la teoría constructivista. La conclusión fundamental
de nuestra experiencia en la enseñanza de la estadística con MAPLE es que la utilización de este programa matemático
es un gran instrumento de ayuda para la adquisición de determinados conocimientos, facilitando, además, la capacidad
de autoaprendizaje, el dinamismo y la automotivación que contribuyen, en definitiva, al aprendizaje significativo del
estudiante.
PALABRAS CLAVE: estadística, probabilidad, MAPLE.
1. INTRODUCCIÓN
En los últimos años los cambios que han existido en nuestra sociedad han estado estrechamente relacionados con la
modernización del sistema económico. La Universidad ocupa un lugar de privilegio en ese proceso de continua
renovación, concretamente en los sectores vinculados al desarrollo cultural, científico y técnico. Es por esto por lo que
la formación y el conocimiento son factores clave en este contexto de innovación tecnológica continua, en el que el
impacto de la transferencia y utilización de las nuevas tecnologías depende de la capacidad de absorción de la población
estudiantil. La nueva sociedad demanda profesionales con el elevado nivel cultural, científico y técnico que sólo la
enseñanza universitaria es capaz de proporcionar. Los efectos de las mejoras en el stock de conocimientos de estos
estudiantes dependen de la escala de aprendizaje alcanzado y de las capacidades y destrezas que incorporan los
estudiantes al pasar de un curso a otro. Si la enseñanza-aprendizaje en las aulas universitarias se considera como una
inversión en capital-humano, entonces la evaluación de los avances en el aprendizaje y cambios en las técnicas de
enseñanza tienen una gran relevancia práctica y social.
La preocupación por los aspectos relacionados con el proceso enseñanza-aprendizaje y las dificultades que
habitualmente muestra el alumnado en el aprendizaje de las diferentes asignaturas de carácter cuantitativo que se
imparten en las carreras de economía, ciencias e ingenierías nos ha llevado a explorar las ventajas e inconvenientes de
utilizar un programa de cálculo matemático como MAPLE en la didáctica de la estadística matemática e inferencial. El
objetivo de este trabajo es analizar las posibilidades que ofrece el programa de cálculo simbólico MAPLE como
herramienta para la didáctica de la estadística. El uso de herramientas informáticas como MAPLE en la docencia de la
estadística permite un enfoque más experimental del proceso de aprendizaje, facilitando que el alumno explore distintas
posibilidades mediante la realización de cálculos, gráficos o desarrollos algebraicos que, manualmente, sería
inabordables, de tal forma que el alumno puede centrarse más en el estudio de las distintas metodologías de trabajo. El
trabajo está organizado como sigue: en la primera sección presentamos una breve introducción sobre el manejo del
programa de cálculo simbólico MAPLE. En la siguiente sección exponemos la metodología didáctica empleada en el
aula en la enseñanza de la estadística para, a continuación, en la sección 3 presentar algunas aplicaciones prácticas.
Finalmente, en la sección 4 mostraremos las principales conclusiones derivadas de nuestra experiencia docente.
2. INTRODUCCIÓN AL PROGRAMA DE CÁLCULO SIMBÓLICO MAPLE
MAPLE es un sistema de cálculo matemático: simbólico, numérico y gráfico, que se viene desarrollado desde 1980 en
la Universidad de Waterloo, Canadá. Su nombre proviene de las palabras MAthematical PLEasure. La principal
característica de MAPLE es que permite realizar cálculos simbólicos1 , además de contar con un gran conjunto de
herramientas gráficas que permiten visualizar los resultados obtenidos. Este programa de cálculo simbólico permite,
además, realizar documentos técnicos, dado que el usuario puede crear hojas de trabajo interactivas basadas en cálculos
matemáticos en las que puede cambiar un dato o una ecuación y actualizar todas las soluciones inmediatamente.
Además, este programa cuenta con la posibilidad de traducir y exportar documentos realizados a otros formatos como
HTML, RTF, LaTEX y XML.
MAPLE posee una estructura modular, compuesta por los siguientes elementos:
•
•
•
•
El interface del usuario (Iris): Escrito en el lenguaje de programación C, se encarga de la entrada y análisis de
las expresiones matemáticas, presentación en pantalla de las mismas, representación de gráficas y soporte para
la comunicación entre el usuario y el sistema.
El núcleo algebraico del sistema (kernel): Escrito también en C, interpreta la entrada y se ocupa de las
operaciones algebraicas básicas. Se carga en memoria, junto con el interface, al arrancar el sistema.
La biblioteca: Este elemento contiene más de 3000 comandos, la mayor parte de los cuáles están agrupados en
diferentes librerías temáticas, compuestas por funciones2, que se cargan automáticamente al ser llamadas. Las
restantes funciones deben ser cargadas explícitamente por el usuario antes de ser utilizadas. El comando
with(library) cara en memoria toda la librería especificada.
El lenguaje de programación: Para resolver diferentes problemas específicos, cuya solución no se halla en la
biblioteca, el usuario dispone del lenguaje de programación de alto nivel MAPLE, similar al lenguaje de
programación Fortran 90 o al C, pero dotado de las estructuras de datos y de control necesarias para manipular
objetos de tipo matemático. Los algoritmos implementados en este lenguaje poseen la misma funcionalidad,
eficiencia e integración en el sistema que las funciones de la biblioteca, dado que ésta también está escrita en
ese lenguaje.
, en la carpeta del mismo nombre (o su
Para empezar una sesión de MAPLE se hace clic en el icono MAPLE
“alias”, en el escritorio). Después aparece la ventana de trabajo, similar a la de muchas otras aplicaciones de Windows.
En la primera línea aparece el prompt, el carácter “mayor que” (>), de MAPLE. Todas las sentencias terminan3 con un
carácter punto y coma (;). Cabe señalar que si no se termina la sentencia con el carácter punto y coma, y se pulsa Intro,
el programa seguirá esperando a que se complete la instrucción. A medida que se van ejecutando comandos en la hoja
de trabajo, MAPLE va creando variables, almacenando resultados intermedios, etc. Al estado del programa en un
determinado momento de trabajo se le llama estado interno4 del programa, que contiene las variables definidas por el
usuario, modificaciones de los valores por defecto, resultados anteriores e intermedios, etc.
El programa de cálculo simbólico MAPLE reconoce las constantes, operadores aritméticos y funciones matemáticas, y
trabaja con números enteros con un número de cifras arbitrario. También puede trabajar con números racionales e
irracionales, intentando siempre evitar operaciones aritméticas que introduzcan errores. Si en una sentencia uno de los
números tiene un punto decimal, MAPLE calcula todo en aritmética de punto flotante. Por defecto se utiliza una
precisión de 10 cifras decimales. La precisión en los cálculos de punto flotante se controla con la variable Digits. Por
otra parte, la función evalf permite forzar la evaluación en punto flotante de cualquier expresión, como podemos
apreciar a continuación:
1 Un sistema de cálculo simbólico es un conjunto de herramientas informáticas que desarrollan conceptos matemáticos sin tener que sustituir numéricamente las variables, permitiendo realizar las
operaciones de forma simbólica. Estas herramientas, en general, tienen una gran capacidad de análisis y representación gráfica, lo que permite despreocuparse de los desarrollos matemáticos para
centrarse en los resultados y en su interpretación.
2 Estas funciones residen en ficheros, y se cargan en memoria a medida que se necesitan, casi siempre de modo automático.
3 También se puede utilizar el carácter dos puntos (:) como terminación de línea, pero en este caso no se imprime ninguna salida en la pantalla.
4 En Maple, el usuario puede moverse por toda la hoja de trabajo, situando el cursor en cualquier línea, ejecutando comandos en cualquier orden, editando y volviendo a ejecutar sentencias anteriores,
insertando otras nuevas, etc. Es evidente que eso puede modificar el estado interno del programa, y por tanto afectar al resultado de alguna de esas sentencias que dependa de ese estado. Es importante
reseñar que el comando restart permite, en cualquier momento, volver al estado interno inicial.
> sqrt(9)+5^(1/3);
3+5
( 1/3 )
> evalf(%);
4.709975947
La función evalf(expr,n); evalúa una expresión a su valor en representación de punto flotante, el parámetro n indica el
número de dígitos con que queremos representar dicho número, el cual puede ser omitido. Por ejemplo, para evaluar la
expresión anterior con 40 dígitos sin cambiar el número de dígitos por defecto, se puede hacer:
> evalf(sqrt(9)+5^(1/3),40);
4.709975946676696989353108872543860109868
Además de los operadores tradicionales ( + , - , * , / , ^ ** , < , > , = , <= , >= , <> ) existen los operadores '!' para
factorial, '@' para composición de funciones. El operador (%) representa el resultado de la última expresión evaluada
por MAPLE. Por ejemplo, la expresión ifactor(%); es la descomposición en factores primos del entero 4!
> 4!:
> ifactor(%);
( 2 )3 ( 3 )
Finalmente, merece la pena reseñar que MAPLE cuenta con una serie de constantes redefinidas entre las que están el
número Pi, la unidad imaginaria I, los valores infinity y – infinity, y las constantes booleanas true y false y permite
trabajar, a diferencia de los lenguajes de programación de alto nivel como Fortran, C o C++, con variables sin valor
numérico, o lo que es lo mismo, variables no-evaluadas. Cabe resaltar que en MAPLE, una variable puede ser
simplemente una variable, sin ningún valor asignado, al igual que cuando una persona trabaja con ecuaciones sobre una
hoja de papel.
3. METODOLOGÍA DIDÁCTICA
La actividad docente universitaria no se puede simplificar a un ejercicio meramente expositivo dirigido al alumnado que
muestra, en general, una actitud pasiva y que recoge las ideas del profesor, con el fin de reproducirlas el día del examen.
Si así ocurriese, el alumno se limitaría a aprender de manera memorística, sin comprensión, adaptándose a las
exigencias particulares de cada profesor. En la enseñanza tradicional de las materias de carácter cuantitativo se suelen
combinar las clases teóricas donde se presentan los conceptos teóricos, la formalización teórica y algunos ejemplos
sobre las cuestiones tratadas con las clases prácticas, que pueden entenderse como clases de problemas que pueden no
diferenciarse demasiado de las clases teóricas pero en las que debe primar el objetivo heurístico de la búsqueda
autónoma de la solución a un determinado problema. Sin embargo, nuestra experiencia docente nos ha demostrado que
con la metodología docente tradicional el alumnado planifica cada asignatura en base a una programación memorística
y mecánica de conocimientos. El alumnado, en numerosas ocasiones, centra sus esfuerzos cognitivos en el aprendizaje
de diferentes “problemas tipo” para poder superar la asignatura. Por todo ello decidimos experimentar un “nuevo”
modelo educativo, centrado en el aprendizaje de los estudiantes, en el que además de las necesarias clases de problemas,
existan sesiones de aplicaciones con el ordenador, exposiciones de trabajos realizados por los alumnos o clases de
planteamiento de problemas por parte de éstos. El objetivo fundamental de las prácticas consiste en apoyar el
entendimiento y el aprendizaje de las asignaturas. Tras analizar las ventajas y los inconvenientes sobre donde llevar a
cabo esta experiencia docente, decidimos experimentar, en una primera fase, esta metodología de enseñanza en la
Universidad Católica de Ávila por dos razones, fundamentalmente: en primer lugar, debido al reducido número de
alumnos (entre 10 y 15 alumnos por grupo) y, en segundo lugar, debido a que esta nueva propuesta docente en la
enseñanza de la estadística exige una mayor flexibilidad, una mayor acción tutorial y personalización en el proceso
docente que, sin duda, sería más complicada si lo realizásemos con grupos de 75 o 100 alumnos.
Las clases tradicionales las apoyamos en los apuntes que facilitamos a los estudiantes y en un(os) manual(es) de
referencia. Las clases teóricas están orientadas a la utilización del ordenador en los aspectos prácticos de la asignatura,
de forma que la enseñanza se centra más en la comprensión de los conceptos y no en los simples cálculos. En las aulas
de informática 5 utilizamos el programa de cálculo simbólico MAPLE como instrumento de ayuda tanto para la
adquisición de determinados conocimientos como para facilitar del desarrollo de los procesos cognitivos en la
5 La Universidad Católica cuenta con tres aulas de ordenadores con las siguientes características: PENTIUM III, 512 RAM, todos ellos con los programas instalados. La capacidad de
las aulas de informática oscila entre los 18 y los 21 alumnos por hora de clase. Cada alumno dispone de un equipo informático para el correcto seguimiento de la materia.
resolución de problemas. Esto permite eliminar el aprendizaje "memorístico" o "mecánico" que permite al alumno
prescindir de la parte mecánica de cada problema y dedicar más tiempo al análisis de los conceptos que intervienen y de
las soluciones resultantes. En este sentido, se han revisado los contenidos de cada asignatura, pues tareas que nos
llevaban antes a pararnos en la resolución manual de algunos ejercicios, cuyos cálculos concretos se escapaban del
objetivo de nuestra asignatura, pero que eran necesarios para poder realizar el problema, ahora se pueden desarrollar
con ayuda del ordenador, dedicando nuestra energía a interpretar dichos resultados. Este hecho pone de manifiesto la
necesidad de complementar la docencia tradicional de nuestras disciplinas con prácticas en el aula de informática,
dónde por un lado, se soslaye el tratamiento más mecánico de los problemas, y por otro lado, obligue al profesor y a los
alumnos, a la captación de los conceptos y técnicas desde otro enfoque, forzando a analizar el concepto con los aspectos
matemáticos, económicos y computacionales del mismo y enriqueciendo la docencia y el aprendizaje, puesto que el
ordenador no sustituye a ningún otro elemento, sino que se trata de un instrumento complementario, y sin olvidar que
los resultados de ordenador sólo son válidos si existe una buena teoría que los sustente. Finalmente, se han propuesto
diferentes trabajos en grupo que han permitido el diálogo, la participación, la interacción y el planteamiento de
diferentes estrategias en la resolución de problemas entre los estudiantes, respondiendo sus acciones al modelo
constructivista de enseñanza-aprendizaje.
Esta “nueva” metolodogía docente permite que el alumno aumente su motivación6 intrínseca por el aprendizaje que,
como es de sobra conocido, influye de manera directa en el aprendizaje del estudiante universitario. La automotivación,
la capacidad de autoaprendizaje, el dinamismo de las clases y la resolución en tiempo real de diferentes modelos
económicos son algunos de los aspectos positivos señalados por el alumnado en esta “nueva” metodología docente. Los
alumnos aumentan su motivación por el aprendizaje al comprobar que se pueden manejar operativamente con los
diferentes conceptos “a priori” abstractos. En la siguiente sección presentamos algunos ejemplos que muestran la
utilidad y potencialidad del programa de cálculo simbólico MAPLE en la enseñanza de la estadística.
4. EJEMPLOS PRACTICOS
Es ampliamente conocido que uno de los objetivos del Cálculo de Probabilidades es determinar distribuciones que
puedan servir de modelos a los distintos fenómenos aleatorios que se presentan en las diferentes disciplinas: ingeniería,
medicina, economía, etc. En numerosas ocasiones muchas variables aleatorias asociadas a experimentos estadísticos se
comportan según una distribución tipo, lo que hace necesario realizar un estudio individual de cada una de las
distribuciones clásicas en la docencia de la estadística. El package stats del programa MAPLE permite trabajar tanto
numérica como gráficamente con las principales distribuciones de probabilidad. Una de las distribuciones más
importantes, con ramificaciones en toda la teoría clásica de la probabilidad, es la distribución de Poisson. Esta
distribución está presente en muchos experimentos estadísticos tales como el número de partículas α emitidas por una
sustancia radiactiva que llega a una porción dada del espacio durante el tiempo t, el intercambio de cromosomas que se
producen por irradiación de los rayos X, el número de accidentes laborales diarios en una fábrica, el número de
llamadas a una centralita telefónica, etc. Para más detalles sobre la importancia de la distribución de Poisson véanse,
entre otros, los trabajos de Catcheside, D; Leal, D. & Thoday, J. (1946) y Thorndike, F. (1926). La siguiente secuencia
de sentencias en MAPLE nos permiten definir las funciones de probabilidad y de distribución de la distribución de
Poisson, representar gráficamente estas funciones y comprobar como el parámetro λ de la distribución de Poisson
coincide con la esperanza y la varianza de dicha distribución.
> restart: with(student): with(stats): with(plots):
> plot([seq([i,poispmf(i,10)],i=0..30)],style=point,colour=blue);
> poiscdf:=(x,lambda)->statevalf[dcdf,poisson[lambda]](x);
> plot([seq([i,poiscdf(i,10)],i=0..20)],style=point,colour=blue);
> poispmf(2,10): poiscdf(2,10): evalf(sum(poispmf(r,10),r=0..infinity)):
> asume(x, integer): P(X=x):=exp(-lambda)*(lambda^x/x!):
> Sum(x*P(X=x),x=0..infinity)=sum(x*P(X=x),x=0..infinity); E:=sum(x*P(X=x),x=0..infinity):
> E2:=sum(x^2*P(X=x),x=0..infinity): Var:=E2-E^2; simplify(Var):
6 Para un análisis más detallado sobre la importancia de la teoría de la motivación en el proceso de enseñanza-aprendizaje véase [aaa] (“Motivación Querer aprender” de Juan Antonio
Huertas, 2001)
.
Figura 1: Función de probabilidad y de distribución de una variable aleatoria X → P(10 )
Como hemos señalado con anterioridad, MAPLE permite trabajar numéricamente con las distribuciones de probabilidad.
Supongamos, por ejemplo, que X es una variable aleatoria que se distribuye según una distribución binomial, B(n, p ) ,
de parámetros n, p, y deseamos calcular la probabilidad de que X sea menor que 48 sabiendo que n = 100 y su media
igual a 50. Para ello, debemos calcular el valor del parámetro p a partir de los datos del problema. Una vez hallado el
k −1⎛ n ⎞
valor de p, estaremos en condiciones de calcular P( X < k ) = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ p k (1 − p )(n − k ) para todo k natural. Obsérvese como la
k =1⎝ k ⎠
probabilidad pedida es difícil de obtener sin ayuda7 computacional. Es ampliamente conocido que como toda variable
aleatoria con distribución binomial se puede escribir como suma de variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas según una distribución de Bernoulli de parámetro p .
n
p (éxito)
⎧1
X = ∑ X i tal que X i = ⎨
0
1
−
p
( fracaso)
i =1
⎩
(1)
es posible aplicar el teorema central del límite para resolver el ejercicio con lápiz y papel. Nótese que
⎛ X − np
<
P ( X < 480 ) = P⎜
⎜ np (1 − p )
⎝
⎛ X − 50 48 − 50 ⎞
48 − np ⎞⎟
⎟ ≈ φ (− 0.4) = 0.3445
= P⎜⎜
<
⎟
np (1 − p ) ⎠
25 ⎟⎠
⎝ 25
(2)
El programa de cálculo simbólico MAPLE permitirá obtener de manera inmediata la probabilidad pedida, analizar el
error que se comete al utilizar la distribución normal como aproximación a la distribución binomial y experimentar,
variando los parámetros n y p, la convergencia asintótica de la distribución binomial B(n, p ) con la distribución normal
(
)
N np, np (1 − p ) . Los siguientes comandos de MAPLE permitirán encontrar la solución a la cuestión planteada, además
de cuantificar el error que se produciría si considerásemos la aproximación de la distribución binomial a la normal.
> restart: with(student): with(stats): with(plots): B:=(n,p,k)-> (n!/(k!*(n-k)!))*p^k*(1-p)^(n-k);
> E:=Sum(k*(n!/(k!*(n-k)!))*p^k*(1-p)^(n-k), k=1..n)=sum(k*(n!/(k!*(n-k)!))*p^k*(1-p)^(n-k), k=1..n); n:=100:
solve(sum(k*binomial(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k), k=1..n)-50=0, p);
> P(X<48):=Sum(binomial(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k), k=1..47)=sum(binomial(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k), k=1..47); evalf(%); mu:=n*p;
sigma:=sqrt(n*p*(1-p));
> normcdf:=(x,mu,sigma)->statevalf[cdf,normald[mu,sigma]](x); normcdf(48,mu,sigma); normcdf((48-50)/5,0,1);
Por otra parte cabe señalar que el alumno puede estudiar, de una manera “activa y heurística”, cómo se verifican en la
realidad estas propiedades inherentes a las distribuciones de probabilidad. Por ejemplo, el estudiante puede utilizar el
comando animate para observar como la función de densidad de la distribución t-student, simétrica respecto al origen de
coordenadas y algo más aplastada cerca del origen que la función de densidad de la distribución N (0,1). , al aumentar los
grados de libertad, su perfil se hace más y más parecido a la N (0,1). y cómo para n>30 son prácticamente indistinguibles.
Los siguientes comandos MAPLE permiten visualizar estas propiedades de la t-student y observar de manera visual
cómo la distribución t-student se aproxima a la distribución normal a medida que se aumentan los grados de libertad.
> nu:=integer(mu): stud:=(x,mu)->statevalf[pdf,studentst[mu]](x):
> normpdf:=(x,mu,sigma)->statevalf[pdf,normald[mu,sigma]](x):
Para n ≤ 50 véase Nacional Bureau of Standard, Tables of the binomial probability distribution, Applied Mathemaics Series, Vol. 6 (1950). Para
50 ≤ n ≤ 100, véase H.C.Roming, 50-100 Binomial Tables, New York (john Wiley and Sons), 1953.
7
> display({ animate(statevalf[pdf, studentst[round(t)]](x), x=-5..5, t=1..30, colour=grey,frames=20), plot(normpdf(x,0,1), x=5..5,color=blue) });
> display({plot(statevalf[pdf, studentst[25]](x), x=-6..6,colour=red),
> plot(statevalf[pdf, studentst[5]](x), x=-6..6,colour=blue),plot(statevalf[pdf, studentst[10]](x),x=-6..6,colour=green),
plot(statevalf[pdf,normald], x=-6..6, colour=black)});
Figura 2: Función de densidad de la distribución t-student.
MAPLE permite generar números aleatorios procedentes de cualquier distribución clásica de probabilidad, calcular las
principales características numéricas (esperanza matemática, momentos centrales y no centrales, varianza, coeficiente
de variación, momentos condicionados, regresión y correlación,…) tanto de las variables aleatorias unidimensionales
como multidimensionales, además de por ejemplo, analizar si un conjunto de datos se ajusta a la distribución normal,
etc. Las siguientes sentencias en MAPLE permiten representar gráficamente como afectan las variaciones tanto en el
parámetro μ como en el parámetro σ a la función de densidad de una distribución N (μ ,σ ) , representar gráficamente
la función de distribución de una N (0,1) , hallar el valor x tal que P ( X ≤ x ) = 0.95 donde X → N (0,1) , computar la inversa
de la función de distribución, generar 1000 números aleatorios generados a partir de la distribución normal estándar,
N (0,1) , calcular su gráfico de cajas y bigotes donde, además de aprecia su simetría, podemos observar la existencia de
puntos atípicos u outliers y calcular, para esos datos generados, su media, su desviación típica, su rango y los cuartiles.
> normpdf:=(x,mu,sigma)->statevalf[pdf,normald[mu,sigma]](x):
> plot([normpdf(x,0,1),normpdf(x,0,2),normpdf(x,0,0.5)],x=-3..3);
> animate(normpdf(x,m,2),x=-10..10,m=-5..5,frames=50);
> animate(normpdf(x,0,sigma),x=-10..10,sigma=1..5,frames=50);
> normcdf:=(x,mu,sigma)->statevalf[cdf,normald[mu,sigma]](x):
> plot(normcdf(x,0,1),x=-4..4): solve(normcdf(x,0,1)=0.95,x):
> normicdf:=(p,mu,sigma)->statevalf[icdf,normald[mu,sigma]](p):
> plot(normicdf(p,0,1),p=0..1): normdat:=[random[normald[5,2]](1000)]:
> statplots[histogram](normdat); statplots[boxplot](normdat); describe[mean](normdat):
> describe[range](normdat): describe[quartile[1]](normdat): describe[quartile[2]](normdat):
> describe[quartile[3]](normdat): describe[standarddeviation](normdat):
Figura 2: Función de densidad de la distribución N (0,1) .
Cabe resaltar que el programa de cálculo simbólico MAPLE permite abordar todos y cada uno de los aspectos que se
estudian en estadística. Este programa permite de una manera muy sencilla importar datos desde un fichero, analizar las
propiedades de las variables aleatorias multidimensionales, calcular las funciones de probabilidad o de densidad
marginales, calcular distribuciones condicionadas, transformaciones de variables aleatorias, analizar la independencia
de variables estadísticas, computar los estimadores máximo-verosímiles, generar, como se ha señalado con anterioridad,
números aleatorios procedentes de las distribuciones clásicas, evaluar numéricamente las distribuciones clásicas,
representar gráficamente dichas funciones, realizar un análisis de varianza, resolver modelos de regresión, etc.
Para finalizar esta breve exposición sobre la potencialidad del MAPLE en el estudio de las variables aleatorias
bidimensionales. Los siguientes comandos de MAPLE permiten determinar el valor del parámetro real k para que la
función
⎧k (x + 2 y ) 0 < x < 2, 0 < y < 2
f XY (x, y ) = ⎨
0
en otro caso
⎩
(3)
sea la función de densidad de una variable aleatoria ( X , Y ) bidimensional continua. Para ese valor de k calculamos sus
funciones de densidad marginales y la recta de regresión de Y sobre X que, como es ampliamente conocido, expresa la
relación de dependencia lineal entre estas variables aleatorias.
> f[X,Y](x,y):=(x,y,k)-> if (x>0) and (x<2) and (y>0) and (y<2) then k*(x+2*y) else 0 end if:
Int(Int(k*(x+2*y),x=0..2),y=0..2)=int(int(k*(x+2*y),x=0..2),y=0..2);
> solve(int(int(k*(x+2*y),x=0..2),y=0..2)=1,k): k:=solve(int(int(k*(x+2*y),x=0..2),y=0..2)=1,k);
> Int(k*(x+2*y),y=0..2)=int(k*(x+2*y),y=0..2): fx:=int(k*(x+2*y),y=0..2): f[X]:=unapply(fx,x);
> Int(k*(x+2*y),x=0..2)=int(k*(x+2*y),x=0..2): fy:=int(k*(x+2*y),x=0..2): f[Y]:=unapply(fy,y);
> E[X]:=int(x*f[X](x),x=0..2): E[Y]:=int(y*f[Y](y),y=0..2):
> E2[X]:=int((x^2)*f[X](x),x=0..2): E2[Y]:=int((y^2)*f[Y](y),y=0..2):
> Var[X]:=E2[X]-E[X]^2: Var[Y]:=E2[Y]-E[Y]^2: E2[Y]:=int((y^2)*f[Y](y),y=0..2):
> E[XY]:=int(int(x*y*(k*(x+2*y)),y=0..2),x=0..2): Cov[XY]:=E[XY]-E[X]*E[Y]:
>rho:=Cov[XY]/(sqrt(Var[X]*Var[Y])): evalf(%):regresion:=Y-E[Y]=(Cov[XY]/Var[X])*(X-E[X]);
Por otra parte, cabe resaltar que este programa de cálculo matemático permite representar gráficamente funciones o las
soluciones de ecuaciones diferenciales o en derivadas parciales de una manera muy sencilla. Los siguientes comandos
permiten representar gráficamente tanto la función de densidad como las curvas de nivel de una distribución ( X , Y )
normal bidimensional. El comando animate3d muestra las variaciones de la función de densidad cuando varía el
parámetro ρ que representa el coeficiente de correlación parcial de Pearson de la variable aleatoria ( X , Y ) .
> restart: with(stats): with(plots):
> f:=(x,y,mx,my,sx,sy,rho)->(1/(2*Pi*sx*sy*sqrt(1-rho^2)))*exp( (-((x-mx)/sx)^2+2*rho*((y-my)/sy)*((x-mx)/sx)-((ymy)/sy)^2) /(2*(1-rho)^2) );
> contourplot(f(x,y,0,0,1,1,-0.2),x=-5..5,y=-5..5,grid=[40,40]);
> animate3d(f(x,y,0,0,1,1,rho),x=-8..8,y=-8..8,rho=-0.5..0.50,frames=20,grid=[30,30]);
> xmargin:=int(f(x,y,0,0,1,1,0.8),y=-infinity..infinity): plot(xmargin,x=-4..4, colour=blue);
> ymargin:=int(f(x,y,0,0,1,1,0.8),x=-infinity..infinity): volume:=int(xmargin,x=-infinity..infinity):
> plot3d(f(x,y,0,0,1,1,0.8),x=-4..4,y=-4..4,grid=[40,40]):
> plot(f(x,1,0,0,1,1,0.8),x=-4..4): plot(xmargin,x=-4..4): plot(ymargin,y=-4..4):
> int(f(x,1,0,0,1,1,0.8),x=-infinity..infinity): mx:=1: my:=3: sx:=2: sy:=3: rho:=-0.8:
> plot3d(f(x,y,mx,my,sx,sy,0),x=-8..8,y=-8..8,style=PATCH, axes=BOXED);
Figura 3: Función de densidad y curvas de nivel de una distribución normal multidimensional.
Finalmente, queremos reseñar que MAPLE se puede utilizar en la enseñanza de todas las materias de carácter
cuantitativo que se imparten en nuestras facultades y en la investigación económica, dado que, como hemos señalado
con anterioridad, este programa cuenta con un lenguaje de programación propio similar al los lenguajes de
programación de alto nivel Fortran 90, C o C++ que permiten resolver cualquier problema económico o financiero
sujeto a una modelización numérica. Para más detalles sobre el programa de cálculo simbólico MAPLE y sus
aplicaciones en la economía y en la modelización económica véanse [1], [2], [4] , [5] o [6] entre otros.
5. CONCLUSIONES
El programa de cálculo simbólico MAPLE como herramienta de trabajo en la docencia de la Estadística permite que
muchas de las tareas mecánicas bastante complejas que el alumno desarrollaba a mano, puedan realizarse de manera
eficiente en un aula de informática, de tal forma que el alumno puede emplear más tiempo en la asimilación de los
conceptos y en el aprendizaje de las diferentes metodologías de trabajo. La utilización de MAPLE como herramienta
docente en esta asignatura ha contribuido, según nuestra propia experiencia, a una mejor comprensión de la teoría por
parte del alumno dado que el alumno, al emplear menos tiempo en tareas rutinarias y mecánicas, puede centrar su
atención en las fases de planteamiento, de formalización y de “concreción” de los diferentes problemas planteados en
las clases.
Esta nueva didáctica de la estadística, centrada en el aprendizaje de los estudiantes, es una metodología “activa y
heurística” en la que el alumno se convierte en el principal responsable de su propia formación. El alumno puede
experimentar por sí mismo, e intentar comprobar sus propias intuiciones y las relaciones a priori del problema estudiado.
Como consecuencia de ello, el aprendizaje del alumno con este “nuevo” método docente no se reduce exclusivamente a
una programación memorística y mecánica de los conocimientos necesarios para superar la asignatura.
Para finalizar queremos resaltar un par de cuestiones: en primer lugar que con esta nueva metodología docente, el
alumno no pierde la facilidad de uso de ciertas habilidades básicas que proporcionan los cursos tradicionales de
matemáticas, dado que siguen estando presentes en todo el proceso de enseñanza-aprendizaje. En segundo lugar, que a
pesar de que la utilización de MAPLE no está muy extendida como herramienta didáctica entre los profesores y
estudiantes en las Facultades de Economía y Empresa, este programa permite la resolución de numerosos problemas en
nuestras disciplinas y constituye una herramienta fundamental en la investigación económica.
REFERENCIAS
[1] Abell, M. & Braselton, J. Maple by Example, 3rd Edition. Academic Press, 2002.
[2] Abell, M; Braselton, J. & Rafter, J. Statistics with Maple. Elsevier Science & Technology, 2002.
[3] Catcheside, D; Leal, D. & Thoday, J. Types of chromosome structural change induced by the irradiation of
Tradescantia microspores. Journal of Genetics, Vol. 47, p. 113-116, 1946.
[4] Karian, Z. & Tanis, E. Probability and Statistics Explorations with Maple, Second Edition. Prentice Hall, 1999.
[5] Prisman, E. Pricing Derivative Securities. Elsevier Academic Press, 2000.
[6] Roe, B. Probability and Statistics in Experimental Physics (Corrected Third Edition). Springer-Verlag, 1992.
[7] Thorndike, F. Applications of Poisson’s probability summation. The Bell System Technical Journal, Vol. 5, p. 604624, 1926.