Resumen - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Universidad Nacional de Catamarca
silvinafacen@yahoo.com.ar
Resumen
El empleo de modelos de simulación como herramienta de
aprendizaje es muy útil en las áreas científico - tecnológicas al
momento de verificar la comprensión del proceso estudiado.
En nuestro caso estudiamos el transporte de calor por
conducción, el cual obedece a leyes fundamentales donde la
corriente térmica se debe sólo a la difusión, debido a que no hay
fuerzas que empujen a la energía en una dirección.
Para incorporar más realidad a un modelo, actualmente se
considera que los efectos reaccionan luego de un cierto tiempo
respecto a las causas; a esto se le denomina retardo.
El objetivo de este trabajo fue describir el proceso de
transferencia de temperatura desde el fenómeno empírico
realizado en el laboratorio hasta su interpretación mediante
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Retardo.
El desarrollo de éste experimento permitió que los alumnos
adquieran una mejor comprensión del método científico,
verificando la validez de los desarrollos teóricos, a partir de la
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— Volumen 3, Número 3, Diciembre 2012. Página 28 —
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Conducción Térmica como Difusión.
comparación entre los valores experimentales y los valores
simulados de la variación de temperatura que se determinó por
medio de la Dinámica de Sistemas con la simulación
correspondiente.
Palabras clave: Modelo matemático; Experimentación;
Ecuaciones diferenciales ordinarias con retardo; Simulación.
Dynamic Mathematical Model With Delay in the
Thermal Conduction as Diffusion
Abstract
The employment of simulation models like learning tool is very
useful in the scientific-technological areas to the moment to
verify the understanding of the studied process.
In our case we study the transport of heat for conduction,
which obeys fundamental laws where the thermal current only
owes herself to the diffusion because there are not forces that
push to the energy in an address.
To incorporate more reality at the moment to model is
considered that the goods react after a certain time regarding
the causes; to denominated delay.
The objective of this work was to describe the process of
transfer of temperature from the empiric phenomenon carried
out in the laboratory until its interpretation by means of
Ordinary Differential Equations with Delay.
The development of this experiment allows the students to
acquire a better understanding of the scientific method,
verifying the validity of the theoretical developments, starting
from the comparison among the experimental securities and
the feigned securities of the variation of temperature that was
determined by means of the Dynamics of Systems with the
corresponding simulation.
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Key words: Mathematical model; Experimentation; Ordinary
differential equations delay; Simulation.
Introducción
En Matemática las ecuaciones diferenciales ordinarias son
las herramientas más versátiles para entender los fenómenos físicos, esto
nos lleva a idealizar y expresar con más aproximación dicho estudio a
través de un modelo matemático que interpreta las causas y sus efectos
por medio de una Ecuación Diferencial con Retardo. [1]
Se destaca que existen tres formas diferentes de
transmisión de energía térmica, por conducción, convección y radiación. En
muchas
situaciones
reales,
estos
tres
mecanismos
se
presentan
simultáneamente, aunque algunos de ellos pueden ser más eficaces que
otros.
El fenómeno de transmisión de calor por convección es un
proceso de transporte de energía que se lleva a cabo como consecuencia
del movimiento de un fluido (líquido, gas) que está íntimamente
relacionado con el movimiento de éste. Es decir, tanto la conducción como
el transporte de masa juegan un papel importante en la transferencia de
calor por convección.
Si las temperaturas del fluido y los alrededores difieren, el
intercambio de calor ocasionaría que cambie la energía térmica interna y
por ello la temperatura del fluido.
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Conducción Térmica como Difusión.
Objetivo
Describir el proceso de transferencia de temperatura desde
el fenómeno empírico realizado en el laboratorio hasta su interpretación
mediante Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Retardo a través de un
Modelo Matemático.
Marco teórico
En nuestro quehacer diario son muy frecuentes los
encuentros con fenómenos de conducción térmica, algunos son deseados y
otros no tan deseados, como el que tenemos cuando nos quemamos la
mano al revolver la rica comida de la olla con una cuchara de metal, allí nos
damos cuenta de lo útil que resulta utilizar la cuchara de madera.
Este fenómeno se debe, a que la energía térmica puede
fluir de un cuerpo a otro cuando tienen distintas temperaturas y se
establece el contacto térmico entre ambos, de manera análoga la energía
térmica puede fluir de una parte a otra de un cuerpo homogéneo. La
transferencia de energía por conducción térmica, ocurre cuando aumenta
la energía interna de los átomos y moléculas en una parte de la sustancia
debido a un aumento de la temperatura, y estos átomos o moléculas
actúan sobre los vecinos pasando parte de su energía interna recién
adquirida a otras partículas del sistema. En los líquidos, la energía cinética
interna se transmite mediante ondas acústicas muy cortas que viajan a
través de la sustancia, estas ondas son producidas por la vibración térmica
de los átomos o las moléculas, con respecto a sus posiciones de equilibrio
en la red cristalina. [2] y [5].
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Metodología
Mediante el experimento que describe el fenómeno
empírico que pretendemos modelar, se estudia el comportamiento de
transferencia de temperatura en un tiempo de reacción a través de la
aplicación de la Ley de Newton.
El objetivo de nuestra experiencia, es expresar el cambio
de temperatura como una consecuencia de la interacción entre la
temperatura del interior de la caja y la taza con café, pero ésta última
expresada en términos de un tiempo anterior que se interpreta como
retardo.
El dispositivo experimental (figura 1) consistió de una caja
de poliuretano expandido de dimensiones L1 = 26 ,5[cm] , L2 = 18,4[cm],
L3 = 10 ,1[cm] , espesor 0 ,012[cm] , que contiene en su interior una taza con
café de espesor 0 ,002[cm] , produciéndose una variación de temperatura
como consecuencia de la transferencia de calor originada en el interior de
la caja, que es tomada como valor inicial para nuestro experimento, a partir
del momento en que se sella la caja a fin de aislarla del exterior. Se dispone
de dos termocuplas, de modo tal que una de ellas se ubica en una cara
lateral de la caja (próxima a la misma entre una cara y la taza) registrándose
la temperatura del interior de la caja de 34[C ] , y la otra en el interior de la
taza para medir la temperatura inicial del café de 89[C ] , ambas son
medidas con termómetros digitales DM6802B (con rango de medición de
− 50[C ] a 130[C ] , y una apreciación de 0 ,1[C ] ), mientras que la temperatura
exterior se mantiene constante durante toda la observación siendo de
22 ,7[C ] .
No obstante, sabemos que la variación de la temperatura
entre el café y su alrededor es proporcional a esta diferencia de
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temperatura. El tiempo total de medición fue de 240[min] , para el cual se
utilizó un cronómetro CASIO (de apreciación 0 ,001[s ] ). [5].
Figura 1: Caja rectangular de poliuretano expandido conteniendo la taza con café y
termocuplas.
Modelo matemático
Para obtener el Modelo Matemático que describe el
comportamiento de transferencia de temperatura en un tiempo de
reacción, se supuso que la razón de enfriamiento era directamente
proporcional a la temperatura del café con un retardo temporal menos la
temperatura del interior de la caja con su correspondiente retardo.
Expresado matemáticamente como:
−
dT
∝ [ T1 (t − τ ) − T2 (t − τ ′ )]
dt
Ecuación (1).
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Donde
−
dT
dt es la razón de disminución de la temperatura
respecto al tiempo, T1 (t − τ ) es la temperatura con retardo del café,
T2 (t − τ ′) es la temperatura con retardo del interior de la caja, τ es el
retardo de la variación de T1 y τ ′ es el retardo de la variación de T2 .
Si introducimos una constante de proporcionalidad en (1)
obtendremos la ecuación diferencial ordinaria con retardo:
dT
= − K [T1 (t − τ ) − T2 (t − τ ′ )]
dt
Ecuación (2).
Esta función representa el modelo matemático con retardo
del enfriamiento de un líquido, bajo nuestras condiciones experimentales
en la que se destaca el tiempo previo al que iniciamos las mediciones. [1] y
[4].
Planteo del modelo en dinámica de sistemas
La Dinámica de Sistemas se considera un método
interdisciplinario muy eficaz utilizado para describir, modelar, simular y
perfeccionar el aprendizaje de los problemas dinámicos complejos.
La Dinámica de Sistemas permite explicar la estructura
causal, de las variables del fenómeno a modelar, mediante un proceso que
permite hacer visibles los modelos mentales y transformarlos en modelos
formales con la rigurosidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer orden con retardo. [3].
El desafío que presenta el empleo de esta metodología, es
que pone a prueba nuestra comprensión del problema estudiado, para
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lograr construir un modelo adecuado del mismo, comprendiendo las
relaciones que generan el comportamiento, los resultados y las
consecuencias a través del tiempo que se yuxtaponen con el tiempo de
retardo que afecta al fenómeno en estudio. [5] y [6].
Por ello, en el Diagrama de Forrester (figura 2) se
consideran las siguientes variables:
 Las temperaturas en el interior – exterior de la caja.
 La temperatura inicial en la taza con café en el interior
de la caja.
 La transferencia de calor desde el interior al exterior de
la caja.
 Las conductividades de la caja y la taza con café.
 La temperatura ambiente se considera constante.
 Las temperaturas con retardos en el interior de la caja
como en la taza con café, se registran en cada τ .
tabla 1
temperatura real
interior del vaso
temperatura
inicial taza
<Time>
conductividad taza
interior caja
Transferencia
taza interior
caja
temperatura cafe
con retardo
tau
temperatura real
interior caja
tau 2
tabla 2
conductividad interior
exterior caja
Transferencia
interior exterior
caja
temperatura interior
caja con retardo
temperatura
exterior caja
temperatura inicial
interior caja
Figura 2: Diagrama de Forrester del Modelo Dinámico con retardo en la conducción
térmica como difusión.
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Resultado
La simulación del experimento está basada, en la creación
del modelo, el cual es una representación del problema determinado,
contándose previamente con suficiente información, que proviene en
particular de resultados experimentales, que nos permite realizar una
comparación entre el experimento y el modelo teórico para ver qué tanto
se asemejan. [5].
En la (figura 3) se muestran los valores experimentales
obtenidos en el laboratorio, donde en abscisa se representa el tiempo
expresado en minutos y en la ordenada las temperaturas en grados Celsius.
Registros de datos experimentales de temperaturas
100
75
50
25
0
0
24
48
72
96
120
144
Time (Minute)
168
192
216
240
temperatura real interior del vaso : retardos01
temperatura real interior caja : retardos01
Figura 3: Datos experimentales de las temperaturas observadas.
Mientras en la (figura 4), contamos con la medida de
transferencia de calor en el interior de la caja, en la que varía su
temperatura interior, desde la temperatura ambiente inicial hasta el
momento en que se coloca una taza con café donde se comienza a medir el
tiempo de reacción, que deriva en el enfriamiento hasta que el sistema se
estabiliza. Como nuestro modelo supuesto es con retardo, debemos
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suponer datos históricos del fenómeno que implican, el comportamiento
antes de la primera observación lo cual se traduce según el software
Vensim en un retardo fijo o bien en un retardo exponencial.
Temperatura
100
75
50
25
0
0
24
48
72
96
120
144
Time (Minute)
168
192
216
240
temperatura cafe con retardo : retardos01
temperatura interior caja con retardo : retardos01
temperatura exterior caja : retardos01
temperatura real interior del vaso : retardos01
temperatura real interior caja : retardos01
Figura 4: Simulación del Modelo Dinámico de la variación de temperatura juntos a los
datos observados.
Conclusión
El desarrollo del proceso de modelización, junto a la
interpretación del concepto de retardo precedido por éste experimento,
muestra que podemos estimular en los alumnos el interés por las Ciencias,
en la medida que nos preocupemos por mostrarles su aplicación cotidiana y
tecnológica, permitiéndole revisar los contenidos teóricos aplicados a los
fenómenos térmicos, tanto desde el punto de vista práctico como
experimental, y aplicar las ecuaciones diferenciales ordinarias con retardo
que actualmente están resurgiendo.
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Conducción Térmica como Difusión.
Esto conlleva a la verificación de la validez de los
desarrollos teóricos, a partir de la comparación entre los valores
experimentales y los valores simulados de la variación de temperatura que
intervienen en el proceso de conducción térmica, que se determinó con la
simulación respectiva usando la Dinámica de Sistemas.
Referencia
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Vega Carrillo, H.R. (1984). Diagrama de flujo para clarificar y resolver a las ecuaciones
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México. [6].
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— Volumen 3, Número 3, Diciembre 2012. Página 38 —