TRABAJO FIN DE ESTUDIOS MÁSTER UNIVERSITARIO EN PROFESORADO DE ESO, BACHILLERATO, FP Y ENSEÑANZA DE IDIOMAS MATEMÁTICAS Técnicas para mejorar las gráficas Ricardo Luezas Pisón Tutor: Jesús Murillo Ramón Facultad de Letras y de la Educación Curso 2010-2011 Técnicas para mejorar las gráficas, trabajo final de estudios de Ricardo Luezas Pisón, dirigido por Jesús Murillo Ramón (publicado por la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported. Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los titulares del copyright. © © El autor Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2012 publicaciones.unirioja.es E-mail: publicaciones@unirioja.es AUTOR: RICARDO LUEZAS PISÓN DIRECTOR: JESÚS MURILLO RAMÓN ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICAS Ricardo Luezas Pisón 1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 3 2. MARCO TEORICO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE .......................................... 4 3. UNIDAD DIDÁCTICA DE 1º BACHILLER DE CCSS........................................... 13 3.1 CONTEXTO GENERAL ..................................................................................... 13 3.2 INTRODUCCIÓN ................................................................................................ 14 3.3 COMPETENCIAS GENERALES........................................................................ 15 3.4 OBJETIVOS GENERALES................................................................................. 16 3.5 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................... 17 3.6 CONTENIDOS ..................................................................................................... 18 3.6.1 Conceptos....................................................................................................... 18 3.6.2 Procedimientos............................................................................................... 18 3.6.3 Actitudes ........................................................................................................ 19 3.7 RECURSOS.......................................................................................................... 20 3.8 METODOLOGÍA ................................................................................................. 20 3.8.1 Estrategias de aprendizaje.............................................................................. 21 3.9 ACTIVIDADES.................................................................................................... 22 3.10 EVALUACIÓN .................................................................................................. 23 3.11 ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD .................................................................... 26 3.12 SESIONES PARA LA UNIDAD DIDÁCTICA ................................................ 28 3.13 ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN ................................................................. 50 4. TRABAJO DE INNOVACIÓN.................................................................................. 52 4.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................ 52 4.2 CONTEXTUALIZACIÓN ................................................................................... 53 4.3 ENFOQUE............................................................................................................ 54 1 Ricardo Luezas Pisón 4.4 OBJETIVOS ......................................................................................................... 55 4.5 MARCO TEORICO.............................................................................................. 56 4.6 TIPO DE MODELO PROCESUAL..................................................................... 57 4.7 METODOLOGÍA ................................................................................................. 58 4.8 EVALUACIÓN .................................................................................................... 68 4.9 OPINIÓN PERSONAL ........................................................................................ 69 5. BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................ 71 2 Ricardo Luezas Pisón 1. INTRODUCCIÓN En este trabajo fin de master quedan reflejadas las competencias aprendidas en las asignaturas específicas para la especialidad de Matemáticas (Complementos para la formación disciplinar, Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas, Innovación docente e iniciación a la investigación educativa) en las asignaturas de los módulos genéricos (Aprendizaje y desarrollo de la personalidad, Procesos y contextos educativos, Sociedad, familia y educación) y las competencias correspondientes al Prácticum, donde tuve la oportunidad de poner en práctica todo lo aprendido en este master. En este proyecto Fin de Master hay tres partes claramente diferenciadas: en la primera parte está el marco teórico, donde quedan reflejadas las teorías educativas que puedo aplicar en el aula. Para ello, he tenido en cuenta las características psicológicas de los alumnos, sus procesos cognitivos y su realidad sociocultural. En la segunda parte, muestro la unidad didáctica que he desarrollado en el centro: “Análisis estadístico de una variable” dirigida a los alumnos de 1º Bachiller de Ciencias Sociales. En esta unidad didáctica he desarrollado los siguientes puntos: introducción, competencias generales, objetivos generales, objetivos específicos, contenidos, recursos, metodología, actividades, evaluación, atención a la diversidad, sesiones para la unidad didáctica y actividades de ampliación. 3 Ricardo Luezas Pisón Y finalmente, en la tercera parte queda reflejado el proyecto de innovación. Este proyecto es totalmente práctico y se basa en el estudio de gráficas y en cómo mejorar esos gráficos de cara al lector. 2. MARCO TEORICO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Para la enseñanza de las Matemáticas existen básicamente dos teorías: teoría conductista y teoría cognitiva. Cada profesor, en su labor como docente elegirá la que mas le convenga de tal manera que el estudiante aprenda matemáticas. Pero, ¿qué es el aprendizaje? Según Kimble, el aprendizaje es un cambio más o menos permanente de la conducta, que ocurre como resultado de la práctica. Semejante a esta definición es la que nos ofrece Good, quien dice que el aprendizaje es un cambio relativamente permanente en la capacidad de ejecución, adquirida por medio de la experiencia. La única diferencia está en el tipo de cambio en que consiste el aprendizaje: para Kimble, es un cambio en la conducta; para Good, el cambio se produce en la capacidad de ejecución. En estas definiciones se recogen las tres características fundamentales del aprendizaje: que consiste en un cambio, que debe ser resultado de la experiencia y que debe ser relativamente permanente. Veamos ahora las características de la teoría conductista y la teoría cognitiva. Teoría conductista La psicología conductista nace en la segunda década del siglo pasado, con Watson, unos pocos años después de la aparición de la psicología científica. El objeto de la psicología, para el conductismo, debía ser el estudio de la conducta, la conducta externa y 4 Ricardo Luezas Pisón observable, lo que el organismo hace o dice, y toda la conducta sólo podía ser comprendida y explicada en términos de “estímulos” y “respuestas”. Para ello, el método que se propone es la observación externa realizada bajo control experimental. De acuerdo con este planteamiento, para la psicología conductista toda la actividad humana se reducía a la conducta, y toda conducta se explica en función de asociaciones entre estímulos y respuestas. Dentro del conductismo aparecen distintas explicaciones del aprendizaje, las teorías ER, que coinciden en interpretar el aprendizaje como el resultado de una serie de conexiones (asociaciones) entre esas dos variables: los estímulos y las respuestas. Para las teorías E-R, todo aprendizaje se reduce a un proceso de condicionamiento, que se divide en dos categorías principales: el condicionamiento clásico y el condicionamiento operante. • El condicionamiento clásico (sin reforzamiento) coloca el fundamento del aprendizaje en la contigüidad entre el estímulo y la respuesta, es decir, el hecho de que ocurran emparejados el estímulo y la respuesta se considera suficiente para que se establezca la conexión. Las figuras más representativas, dentro de este enfoque, son Pavlov y Watson. • El condicionamiento operante (con reforzamiento) coloca el fundamento del aprendizaje en el reforzamiento, y sostienen que el establecimiento del vínculo o asociación entre el estímulo y la respuesta es función de las consecuencias. Skinner es la figura más representativa dentro de este enfoque. 5 Ricardo Luezas Pisón Teorías cognitivas El conductismo mantuvo su fuerza hasta la década de los 60, pero cada vez se iba haciendo más patente la grave carencia que tenía: había prescindido de la mente. La psicología cognitiva iba recuperar la mente como protagonista de la actividad psicológica. Con el conductismo el sujeto era pasivo, pues su única misión era establecer las conexiones entre los estímulos y las respuestas. Ahora, con la psicología cognitiva, el papel del sujeto es esencialmente activo, pues es él el que, a partir de la información que le aportan los receptores sensoriales, construye e interpreta la información, y el que, mediante unas estructuras y procesos internos, planifica, ejecuta y controla las respuestas. La psicología cognitiva: • concibe a los individuos como sujetos activos, constructivos y planificadores. • estudia la actividad humana desde el enfoque del procesamiento de la información, los procesos cognitivos constituyen parte esencial de esa actividad. • centra su interés en los procesos mentales que subyacen a la actividad humana. Esta actividad no se puede entender si no es a través de los procesos cognitivos que subyacen a sus manifestaciones externas. • pone el énfasis en el conocimiento más que en las respuestas. Las explicaciones cognitivas, a diferencia de las conductistas, conceden un papel primordial en el aprendizaje a los procesos del pensamiento y se preocupan por la forma en que esos procesos determinan la conducta de los individuos. Si para los defensores de las teorías E-R lo que los sujetos aprenden son respuesta, “hábitos”, para los psicólogos cognitivos lo que aprenden son estructuras cognitivas, estrategias para resolver problemas, modos de procesar la información. Los psicólogos cognitivos 6 Ricardo Luezas Pisón consideran al hombre como un ser activo, iniciador de actividades y de experiencias exploratorias que le conducen al aprendizaje. Las explicaciones cognitivas nos van a describir el aprendizaje como un proceso que implica adquisición o reorganización de estructuras cognoscitivas que permiten al individuo procesar y almacenar la información. Así el alumno es ya un individuo cognitivo que adquiere conocimientos o informaciones que el profesor le transmite y progresa paso a paso hasta dominar la totalidad de los contenidos curriculares. Aquí la clave es aprender conocimientos. El alumno es más activo, aunque todavía no llegue a tener el control sobre el proceso del aprendizaje. Pero aparece una nueva concepción, el constructivismo, que no se limita a recibir los conocimientos del profesor de una manera pasiva, sino que es él mismo el que los construye utilizando sus experiencias y conocimientos previos para comprender y asimilar las nuevas informaciones que recibe. El aprendizaje ahora consiste en la asimilación de conocimientos, pero esa asimilación no es mecánica. El conocimiento que asimila el alumno no es una copia del conocimiento que le ofrece el profesor, sino que es una construcción o elaboración que el alumno realiza activamente relacionando los nuevos contenidos con los conocimientos o experiencias que previamente posee. Así, mientras que en las concepciones anteriores, el papel del profesor consistía en enseñar o transmitir conocimientos, ahora el papel del profesor consiste en ayudar a aprender. En el proceso enseñanza-aprendizaje intervienen tres elementos: el profesor (que es la persona que transmite los conocimientos), el estudiante (que es la persona que recibe los conocimientos) y el contexto que es lo que se quiere transmitir. Pero en este proceso aparece un concepto muy importante: la motivación. 7 Ricardo Luezas Pisón ¿Qué es la motivación? Es un conjunto de procesos o fuerzas implicadas en la actuación, dirección o persistencia de la conducta. ¿Qué hacer para motivar a nuestros alumnos? Los profesores ponen en marcha las actividades de aprendizaje escolar, puesta en marcha que afecta de modo notable al interés y al esfuerzo por aprender. Somos también quienes facilitamos la experiencia de aprendizaje y la adquisición de modos de pensar efectivos frente a los retos planteados por las tareas escolares, logros que dependen del diseño de las mismas, del modo en que interactuamos con nuestros alumnos y del tipo de interacción que promovemos entre ellos. Finalmente, incidimos muy directamente en la motivación a través de la evaluación. ¿Cómo debemos actuar en cada uno de estos momentos para hacer que nuestro alumnado se interese y se esfuerce por aprender? • Despertar la curiosidad del alumno. • Mostrar la relevancia específica del contenido o actividad. Para que los alumnos puedan aprender, lo primero que hay que conseguir es que quieran aprender, que persigan esta meta. Para ello, lo primero es que aquello que han de aprender atraiga su curiosidad, que llame su atención, que les mueva a explorar su entorno, escuchando o indagando activamente. ¿Y qué llama nuestra atención? Lo novedoso, lo complejo, lo inesperado, lo ambiguo, lo que varía, lo que produce incertidumbre, lo que encierra un problema… Pero no basta con que los alumnos quieran aprender para que se interesen por el trabajo escolar, sino que debe ser acompañado que el aprendizaje sea útil. En consecuencia, es necesario que los profesores hagan caer en la cuenta a los alumnos de la funcionalidad 8 Ricardo Luezas Pisón explícita de la tarea. Para ello, a veces basta con señalar los objetivos específicos a conseguir y otras muchas veces no basta con decir para qué sirve aprender algo, sino que es preciso que los alumnos se den cuenta a través de alguna experiencia que ponga de manifiesto la utilidad de lo que se pretende enseñar. Para ello es preciso que los profesores planteen preguntas como por ejemplo: • ¿Qué pretendo que aprendan mis alumnos? • ¿Para qué puede ser útil conocer lo que pretendo enseñar? • ¿Qué situaciones o problemas de los que interesan a mi alumnado tienen que ver con lo que pretendo enseñar? • ¿Qué tareas pueden poner de manifiesto la utilidad de saber en esas situaciones lo que pretendo enseñar? Otro factor motivacional de primer orden es la interacción personal profesor-alumno a lo largo de la clase, tanto por su frecuencia como por la diferente naturaleza de los intercambios que puedan darse. En concreto, los aspectos del comportamiento del profesor al interactuar con los alumnos que pueden afectar a la motivación de éstos por aprender son: • Su actitud frente a la participación de los alumnos. • Los mensajes que les dirige antes, durante y después de las tareas escolares. • El modelo de valoración del propio trabajo que ofrece a sus alumnos al actuar entre ellos. 9 Ricardo Luezas Pisón Actitud ante la participación de los alumnos El profesor al interactuar con los alumnos debe presentar las siguientes características: • Permitir que el sujeto intervenga • Escuchar de modo activo. • Asentir y hacer eco de sus intervenciones y respuestas. • Señalar lo positivo de sus intervenciones aunque sean incompletas. • Preguntar por qué se dice algo, especialmente cuando la intervención refleja un error. Mensajes del profesor antes, durante y después de una tarea En general, los mensajes más favorables para crear un clima motivacional positivo son: • Antes de las tareas: los que muestran la relevancia intrínseca de los aprendizajes a conseguir; los que orientan la atención hacia el proceso a seguir, hacia la detección de dificultades y modos de superarlas; y los que sugieren las estrategias a emplear y la necesidad de prestar atención a lo que ocurre durante su aplicación. • Durante las tareas: los que sugieren pistas para la planificación, los que ayudan a establecer submetas realistas, los que sugieren cómo dividir las tareas en pasos y los que sugieren pistas para ayudar al sujeto a encontrar cómo superar las dificultades. • Después de las tareas: los que ayudan a pensar sobre el proceso seguido, los que ayudan a utilizar los fracasos como ocasiones para aprender y los que transmiten confianza en las posibilidades del alumno. 10 Ricardo Luezas Pisón Modelo de valoración del propio trabajo que se ofrece a los alumnos El modo en el que interactuamos con los alumnos va más allá de cómo reaccionamos cuando intentan participar en la clase. Mientras trabajamos, unas veces las cosas nos salen bien y otras no tan bien. A veces, nos equivocamos ante los alumnos. Otras nos vemos enfrentados al comentario crítico respecto a nuestro trabajo realizado por alguno de ellos. En todos estos casos, nuestra forma de reaccionar constituye un modelo de lo que cuenta para nosotros, con evidente repercusión motivacional. Por ejemplo, no es lo mismo dar las gracias a un alumno que pone de manifiesto que hemos cometido un error que mirarles molestos y borrar rápidamente lo escrito en la pizarra. En el primer caso mostramos que equivocarse es normal, mientras que en el segundo caso ponemos en evidencia que nos preocupa sobre todo cómo quedamos ante los alumnos. Modelo de valoración del propio trabajo que se ofrece a los alumnos El modo en el que interactuamos con los alumnos va más allá de cómo reaccionamos cuando intentan participar en la clase. Mientras trabajamos, unas veces las cosas nos salen bien y otras no tan bien. A veces, nos equivocamos ante los alumnos. Otras nos vemos enfrentados al comentario crítico respecto a nuestro trabajo realizado por alguno de ellos. En todos estos casos, nuestra forma de reaccionar constituye un modelo de lo que cuenta para nosotros, con evidente repercusión motivacional. Por ejemplo, no es lo mismo dar las gracias a un alumno que pone de manifiesto que hemos cometido un error que mirarles molestos y borrar rápidamente lo escrito en la pizarra. En el primer caso mostramos que equivocarse es normal, mientras que en el segundo caso ponemos en evidencia que nos preocupa sobre todo cómo quedamos ante los alumnos. 11 Ricardo Luezas Pisón En este proceso de enseñanza-aprendizaje también hay que tener en cuenta la edad que tienen nuestros alumnos. En mi caso particular, la unidad didáctica va dirigida a alumnos con una adolescencia mediana. Por lo tanto es necesario saber las características que presenta la adolescencia mediana: Cambios psíquicos Descubrimiento del yo: se observa y analiza a sí mismo por dentro; profundiza en su mundo interior, en su intimidad; busca el encuentro consigo mismo. Se caracteriza por la introspección, el autoconocimiento y la autocomprensión. Descubre limitaciones personales y el adolescente advierte el contraste entre lo que es y lo que quiere ser. Coexiste la euforia de sentirse más capaz que antes con el pesimismo de no conseguir las cotas de autonomía que se había propuesto. Esta es la explicación de algunas conductas contradictorias y ambivalentes, como inconformismo/conformismo, independencia/dependencia y apertura/retraimiento. Pensamiento reflexivo Implica autoevaluar el pensamiento, comprobar su validez. Es capaz de formular hipótesis, de contrastarlas con la realidad y deducir consecuencias. Sentido del deber La evolución cognitiva favorece la evolución moral. Las normas ya no son vistas como algo meramente coercitivo, sino como valores que hay que asumir e interiorizar. Esto hace posible el sentido del deber. Los nuevos valores descubiertos se convierten en convicciones personales y en móviles del comportamiento. 12 Ricardo Luezas Pisón Respuesta educativa • Aceptación tal como es. Entender su situación. • Animar a que actúe con sus propias conductas. • Valorar esos comportamientos y soluciones. No sustituirle en la toma de decisiones. • Intentar desarrollar situaciones de aprendizaje para que el alumno desarrolle sus capacidades. • Exigir que afronten las consecuencias de sus actos. Acostumbrar a que él tiene que pensar e informarse antes de decidir. • Animar a que participe en situaciones en las que tenga que valerse por sí mismo. • Aprender a sustituir la confrontación por el diálogo y la negociación. 3. UNIDAD DIDÁCTICA DE 1º BACHILLER DE CCSS 3.1 CONTEXTO GENERAL Esta unidad didáctica va dirigida a un grupo formado por alumnos de 1º de Bachiller de la modalidad de Ciencias Sociales. El nivel del alumnado es en general medio. Para resaltar tengo que decir que en clase tenemos un alumno ciego, situado normalmente al final de la clase y que tiene el apoyo de una profesora especial de la ONCE. Esta clase pertenece al centro de Educación Secundaria del IES Tomás Mingot, situado en la zona sur de Logroño. El alumnado de la clase tiene entre 16 y 17 años, cada uno con sus diferentes intereses y motivaciones. En el desarrollo de esta unidad, tendremos en cuenta las características psicoevolutivas 13 Ricardo Luezas Pisón del alumnado que tenemos en nuestra clase. La unidad didáctica “Análisis estadístico de una variable” es la lección nº 11 y está enmarcada en el bloque Estadística y Probabilidad. Esta unidad es la 1ª que vamos a dar en esta 3ª evaluación y con ella comenzamos el último bloque del curso. La duración para dar esta unidad es de aproximadamente 1 semana y media, es decir, 6 sesiones de 50 minutos. Empezaremos con ella la primera semana de Abril (4 de Abril) y se terminará hacia el 13 de Abril. 3.2 INTRODUCCIÓN En cursos anteriores, los alumnos ya han realizado análisis estadísticos de variables, pero dada la importancia de la estadística en el Bachillerato de Ciencia Sociales, volveremos a recordar todo el vocabulario básico relativo a esta unidad: carácter estadístico, variable estadística, medidas de centralización, posición, dispersión … En la sociedad de la información en la que vivimos resulta imprescindible disponer de técnicas y conceptos que permitan extraer, de manera fiable y sencilla, información relevante de diferentes conjuntos de datos: intención de voto ante unas elecciones, horas diarias trabajadas por la plantilla de una empresa, etc Mediante la estadística se puede obtener información contenida en una colección de observaciones a través de resúmenes gráficos, como el diagrama de barras o el histograma, ó utilizando resúmenes numéricos, como la media, la mediana, la desviación típica ó el coeficiente de variación. Este repertorio de técnicas estadísticas, que vas a conocer y a aprender en la presente unidad, permite estudiar las distintas variables que aparecen en las ciencias sociales y 14 Ricardo Luezas Pisón describir las relaciones entre ellas. Así, en economía se estudia la evolución de los precios a través del índice de precios al consumo (IPC); en administración de empresas se evalúa la aceptación que tendría un producto antes de comercializarlo; en sociología se pretende conocer la opinión de la sociedad sobre asuntos de actualidad … Como novedad, en esta unidad introducimos técnicas de muestreo, describiendo cuatro tipos de muestreo, con el fin de que los alumnos se den cuenta de la importancia que tiene seleccionar una muestra a la hora de hacer un estudio estadístico. 3.3 COMPETENCIAS GENERALES Las competencias que trabajamos en esta unidad didáctica son las siete siguientes: 1.- En comunicación lingüística. Porque el alumno/a tiene que ser capaz de emplear el lenguaje estadístico de forma oral y escrita para formalizar el pensamiento. 2.- Competencia matemática. Porque el alumno/a tiene que aplicar destrezas de la estadística y desarrollar actitudes para razonar matemáticamente. También tiene que utilizar el pensamiento matemático para interpretar y describir la realidad, y para poder actuar sobre ella. 3.- Tratamiento de la información y competencia digital Porque el alumno/a debe saber manejar herramientas tecnológicas para resolver problemas de estadística. También tiene que saber utilizar los lenguajes gráficos y estadísticos para interpretar la realidad representada por los medios de comunicación. 4.- Competencia social y ciudadana 15 Ricardo Luezas Pisón Porque el alumno/a debe saber aplicar el análisis funcional y la estadística para describir fenómenos sociales, predecir y tomar decisiones. También debe enfocar los errores cometidos en los procesos de resolución de problemas con espíritu constructivo, con el fin de valorar los puntos de vista ajenos en un plano de igualdad con los propios. 5.- Competencia para aprender a aprender Porque el alumno/a debe desarrollar la curiosidad, la concentración, la perseverancia y la reflexión crítica. También debe ser capaz de comunicar de manera eficaz los resultados del propio trabajo. 6.- Competencia de autonomía e iniciativa personal Porque el alumno/a debe aplicar los procesos de resolución de problemas para planificar estrategias, asumir riesgos y controlar los procesos de toma de decisiones. 3.4 OBJETIVOS GENERALES Como objetivos generales podemos citar ocho: 1.- Aplicar a situaciones diversas los contenidos matemáticos para analizar, interpretar y valorar fenómenos sociales, con objeto de comprender los retos que plantea la sociedad actual. 2.- Adoptar actitudes propias de la actividad matemática como la visión analítica o la necesidad de verificación. Asumir la precisión como un criterio subordinado al contexto, las apreciaciones intuitivas como un argumento a contrastar y la apertura a nuevas ideas como un reto. 3.- Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos, utilizando tratamientos matemáticos. Expresar e interpretar datos y mensajes, 16 Ricardo Luezas Pisón argumentando con precisión y rigor y aceptando discrepancias y puntos de vista diferentes como un factor de enriquecimiento. 4.- Formular hipótesis, diseñar, utilizar y contrastar estrategias diversas para la resolución de problemas que permitan enfrentarse a situaciones nuevas con autonomía, eficacia, confianza en sí mismo y creatividad. 5.- Utilizar un discurso racional como método para abordar los problemas: justificar procedimientos, encadenar una correcta línea argumental, aportar rigor a los razonamientos y detectar inconsistencias lógicas. 6.- Hacer uso de variados recursos, incluidos los informáticos, en la búsqueda selectiva y el tratamiento de la información gráfica, estadística y algebraica en sus categorías financiera, humanística o de otra índole, interpretando con corrección y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento. 7.- Adquirir y manejar con fluidez un vocabulario específico de términos y notaciones matemáticas. Incorporar con naturalidad el lenguaje técnico y gráfico a situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente. 8.- Utilizar el conocimiento matemático para interpretar y comprender la realidad, estableciendo relaciones entre las matemáticas y el entorno social, cultural o económico y apreciando su lugar, actual e histórico, como parte de nuestra cultura. 3.5 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1.- Identificar y clasificar variables estadísticas. 2.- Recopilar, ordenar y elaborar tablas de datos relativos a una variable estadística. 3.- Utilizar distintos tipos de gráficos para representar los datos obtenidos. 17 Ricardo Luezas Pisón 4.- Calcular los parámetros de centralización e interpretar su significado. 5.- Calcular los parámetros de dispersión y de posición e interpretar su significado. 6.- Interpretar de forma crítica las informaciones de carácter estadístico incluidas en distintos medios de comunicación. 3.6 CONTENIDOS 3.6.1 Conceptos • Variables estadísticas. Clasificación. • Variables cualitativas. Distribución de frecuencias. Representación gráfica. • Variables cuantitativas discretas. Distribución de frecuencias. Representación gráfica. Frecuencias acumuladas. Tablas y gráficos. • Variables cuantitativas continuas. Intervalos y marcas de clase. Distribución de frecuencias. Representación gráfica. Frecuencias acumuladas. Tablas y gráficos. • Medidas de centralización: media, moda y mediana. • Medidas de dispersión: rango, desviación media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación. • Medidas de posición: mediana, cuartiles, deciles y percentiles. 3.6.2 Procedimientos • Definición de distintas variables estadísticas; cualitativas o cuantitativas, para analizar una población o muestra. • Elaboración de tablas de frecuencia. • Representación gráfica de variables cualitativas mediante diagramas de sectores, pictogramas o cartogramas. 18 Ricardo Luezas Pisón • Representación gráfica de variables discretas mediante diagramas de barras y polígonos de frecuencias. • Representación gráfica de variables continuas mediante histogramas, polígonos de frecuencias y pirámides de población. • Cálculo de las medidas de centralización de una variable cuantitativa. • Cálculo de las medidas de dispersión de una variable cuantitativa. • Cálculo de las medidas de posición de una variable estadística cuantitativa. • Utilización de la calculadora para cálculos estadísticos. 3.6.3 Actitudes • Disposición favorable para el estudio de caracteres estadísticos de una población. • Valoración positiva de la estadística en el estudio de caracteres cuantitativos de una población o muestra. • Elaboración ordenada y clara de tablas de frecuencias y de diagramas. • Reconocimiento de la utilidad de la calculadora y de los recursos informáticos en el estudio de la estadística. • Valoración del trabajo en grupo como método eficaz para la recogida de datos y para efectuar análisis estadísticos. • Curiosidad por el estudio y tratamiento estadístico de cuestiones que tengan que ver con las ciencias sociales. • Gusto por la representación gráfica clara y precisa. 19 Ricardo Luezas Pisón 3.7 RECURSOS • Recursos metodológicos: enfoque constructivista. La teoría de aprendizaje constructivista es una herramienta que debe usar el profesor en el proceso enseñanza-aprendizaje. • Recursos materiales: entrega de hojas de ejercicios por el profesor. • Utilización de la hoja de cálculo Excel que nos permite hallar los parámetros estadísticos de una distribución de frecuencias y realizar distintos tipos de representaciones gráficas. 3.8 METODOLOGÍA En este apartado se hace referencia a los principios metodológicos que he tenido en cuenta para la elaboración de esta unidad didáctica y a las estrategias de aprendizaje que voy a seguir en el aula. Seguiré un modelo constructivista, ya que da una visión de la educación en la que se valora lo que hace el alumno para alcanzar los objetivos marcados por medio de la comprensión y entendiendo en todo momento lo que se está haciendo, consiguiendo de esta forma que tengamos un aprendizaje significativo. En el aprendizaje significativo se parte de los conocimientos previos que posee el alumno y se va dotando al contenido de una lógica que facilite la adquisición por parte del alumnado, obteniendo así el significado psicológico y lógico que estamos buscando. También juega un papel muy importante tanto la motivación como la autoestima. El rendimiento académico está motivado por el nivel de motivación del alumnado y la autoestima que posea. El nivel de motivación aumenta cuando el alumno percibe la 20 Ricardo Luezas Pisón utilidad de los contenidos que está aprendiendo. La autoestima puede mejorarse mediante el planteamiento de retos alcanzables y no muy difíciles. En la motivación, el profesor juega un papel muy importante, ya que tiene que ser capaz de motivar al alumnado con los contenidos que está mostrando. De esta manera, el alumnado verá estos contenidos útiles y aprenderá de manera más eficaz. Por último, decir que hay que ir preparando al alumno de manera que consiga un aprendizaje significativo de manera más autónoma. 3.8.1 Estrategias de aprendizaje Las estrategias metodológicas que seguiré en el transcurso de esta unidad didáctica consistirán en: • Para motivar y captar la atención del alumno plantearemos problemas atractivos y de la vida real con el único objetivo de despertar la curiosidad del alumno. • La información será seleccionada del libro de texto de la asignatura, de textos facilitados por parte del profesorado, y una vez conseguida será adaptada para que nuestros alumnos aprendan de manera rápida y eficaz. • Todos los días se mandarán unos ejercicios para realizar en casa sobre lo explicado ese día en el aula, con el fin de que el alumno vaya cogiendo confianza y destreza a la hora de resolver ejercicios. • Para interpretar la información estableceremos conexiones entre la nueva información que se está proporcionando y los conocimientos que posee el alumno, mediante la traducción, transformación e interpretación de 21 Ricardo Luezas Pisón informaciones del código verbal al gráfico, del gráfico al verbal …mediante problemas de la vida real. • La información será analizada con el fin de extraer nuevos conocimientos implícitos en la información con la que se trabaja, lo que implica ejemplificar modelos, sacar conclusiones de datos diversos, considerar las soluciones alternativas que pueden tener diversos problemas planteados y las consecuencias que se siguen de ello. • También se propondrán al final de la unidad algún ejercicio sobre la toma de datos de las personas de su ciudad sobre algún tema en concreto con el fin de • que hagan un estudio estadístico completo y su representación gráfica mediante algún gráfico explicado en clase. 3.9 ACTIVIDADES Propondremos diversas actividades: • Actividades de motivación-introducción La única finalidad que tienen estas actividades es motivar el interés en los alumnos y comprobar los conocimientos previos que tienen de esta unidad. De esta manera las actividades que pongamos tienen que despertar curiosidad entre el alumnado. • Actividades de desarrollo Su principal finalidad es preparar a los alumnos para que alcancen los objetivos específicos propuestos al principio de la unidad. Estas actividades están encaminadas al aprendizaje del alumno, a través de ellas se adquiere conocimientos, 22 Ricardo Luezas Pisón destrezas y actitudes nuevas. Al principio se harán actividades con un nivel sencillo, complicándolas un poquito más a medida que vamos dando más materia. • Actividades de refuerzo Para alumnos en los que se hayan detectado deficiencias en el proceso de enseñanza-aprendizaje. • Actividades de ampliación Permiten a algunos alumnos seguir construyendo conocimientos nuevos. Se emplean para aumentar los conocimientos en niños que hayan alcanzado los objetivos didácticos propuestos al principio de la unidad. • Actividades de evaluación Tienen como finalidad valorar el grado de consecución de los objetivos didácticos. • Actividades de recuperación Va dirigido exclusivamente para los alumnos que no hayan alcanzado los objetivos didácticos, porque tienen un ritmo de aprendizaje más lento ó por cualquier otra circunstancia. 3.10 EVALUACIÓN La evaluación es un proceso sistemático y riguroso de recogida de datos, incorporado al proceso educativo desde su comienzo, de manera que sea posible disponer de información continua y significativa para conocer la situación, formar juicio de valor con respecto a ella y tomar las decisiones adecuadas para proseguir la actividad educativa mejorándola progresivamente. 23 Ricardo Luezas Pisón Los criterios de evaluación se han seleccionado teniendo en cuenta los objetivos didácticos, lo que se puede observar en la siguiente tabla: OBJETIVOS DIDÁCTICOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1.- Identificar y clasificar variables A. Clasificar y definir variables estadísticas. estadísticas de los distintos tipos: cualitativas, cuantitativas discretas y cuantitativas continuas. 2.- Recopilar, ordenar y elaborar tablas de B. Elaborar tablas de frecuencias de un datos relativos a una variable estadística. conjunto de datos agrupados o no agrupados. 3.- Utilizar distintos tipos de gráficos para C. Elaborar e interpretar gráficos representar los datos obtenidos. estadísticos, correspondientes a distribuciones cualitativas o cuantitativas, discretas o continuas. 4.- Calcular los parámetros de D. Calcular la media, moda y mediana de centralización e interpretar su significado. una serie de datos correspondientes a una variable estadística unidimensional. 5.- Calcular los parámetros de dispersión E. Calcular la desviación media, el rango, y de posición e interpretar su significado. varianza y la desviación típica de una serie de datos correspondientes a una variable estadística unidimensional y determinar la mediana, cuarteles, deciles y 24 Ricardo Luezas Pisón percentiles de una distribución estadística. 6.- Interpretar de forma crítica las G. Comparar dos series de datos, informaciones de carácter estadístico correspondientes a una misma variable incluidas en distintos medios de estadística, en función de sus parámetros comunicación. de centralización y dispersión. Para que los alumnos alcancen los objetivos establecidos anteriormente y teniendo en cuenta los criterios de evaluación, la evaluación que seguiré será la siguiente: Evaluación inicial Les haré una pequeña prueba de carácter solo informativo, con el objetivo de ver los conocimientos que poseen sobre la estadística. En esta prueba tendrán que saber diferenciar entre variables cualitativas y cuantitativas, ver si saben representar datos mediante diagrama de barras … de esta manera veremos los conocimientos que tienen nuestros alumnos y a partir de los resultados obtenidos, se adaptará la unidad didáctica a las necesidades del alumno. Evaluación continua Esta evaluación nos permitirá cambiar sobre la marcha elementos de la unidad teniendo en cuenta la situación concreta del aprendizaje de nuestros alumnos. A lo largo de las sesiones evaluaremos a nuestros alumnos los ejercicios realizados tanto en casa como en el aula. Su puntuación será del 15% de la nota final. 25 Ricardo Luezas Pisón También realizaremos en clase trabajos en grupos y actividades, muchas de esas veces haremos debates sobre lo trabajado en los grupos. Estas actividades tienen un valor del 15% sobre la nota final. Evaluación final Consistirá en un examen final al acabar la unidad didáctica para comprobar si se superan los conocimientos marcados al principio de la unidad. La media de todos los exámenes valdrá el 70% de la nota final de evaluación. Para poder hacer la media, ningún examen puede estar por debajo de 2 puntos. 3.11 ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Todos los alumnos entran en este apartado ya que cada uno de ellos es diferente. Todos los alumnos tienen características, intereses, motivaciones y ritmos de aprendizaje diferentes. Así, la principal medida de atención a la diversidad la constituyen las actividades de refuerzo (para alumnos con un ritmo de aprendizaje más lento) y las de ampliación (alumnos que han alcanzado los objetivos y que tienen un ritmo de aprendizaje más rápido). Estas actividades se adjuntan en los anexos de la memoria de prácticas. Pero en esta clase, contamos con un alumno ciego. Este alumno, es repetidor y tiene una buena base en Matemáticas. Está situado al final de la clase y cuenta 3 días semanales con un apoyo especial de una profesora de la ONCE. Él cuenta con el libro de texto de matemáticas traducido a braille y con una máquina de escribir donde él escribe en braille. 26 Ricardo Luezas Pisón Debido a su presencia en el aula, el/la profesor/profesora está obligada a realizar ciertas modificaciones organizativo-didácticas que pueden resumirse en los siguientes puntos: - Ha de atender, en cada momento, al ritmo con que el alumno realiza las diferentes tareas escolares. - Ha de permitir la instalación en el aula de instrumentos y material didáctico específicos (máquina de escribir en braille). - Ha de verbalizar todo lo que escriba en la pizarra. - Ha de reiterarle la presentación de información. - Ha de ser flexible en la elección de los sistemas de evaluación. - Ha de animar al alumno a la participación en clase y a la interacción con sus compañeros. - Ha de considerar al profesor de apoyo como un elemento esencial dentro y fuera del aula, con el que ha de cooperar y coordinarse continuamente. Al final de la memoria de prácticas, he añadido dos tablas estadísticas para ver como trabaja este alumno en clase. En realidad es una sola tabla, lo único que una esta dividida en dos para que la pueda meter en su máquina y pueda rellenarla. La otra tabla es para que él la pueda visualizar, y tener una idea general de lo que va hacer. Encima de la hoja, he puesto lo que quiere decir en castellano, para ver la dificultad que se encuentra el alumno nada más que recibe la tabla y todas las operaciones que tiene que hacer para resolverla. 27 Ricardo Luezas Pisón 3.12 SESIONES PARA LA UNIDAD DIDÁCTICA En este anexo se van a secuenciar las actividades por sesiones de acuerdo con los objetivos específicos: 1ª SESIÓN OBJETIVOS • Comprobar sus conocimientos previos con una prueba de nivel. En esta primera sesión, comprobaré el nivel que tienen los alumnos sobre esta unidad mediante una pequeña prueba escrita. Una vez obtenidos los resultados, se adaptará la unidad didáctica a las necesidades de nuestros alumnos. 1.- Las notas finales de Matemáticas de los alumnos de un grupo de 4º ESO han sido: 6 7 5 5 2 4 9 7 8 3 5 7 6 8 5 9 7 3 8 4 10 7 6 a) Ordena dichos datos y represéntalos gráficamente utilizando un diagrama de barras y un polígono de frecuencias. b) Calcula la moda, la mediana y la media. c) Calcula la varianza, s 2 , y la desviación típica, s . d) ¿Qué porcentaje de alumnos aprueban? 2.- La nota media de un alumno de Matemáticas, teniendo en cuenta las notas de los primeros cinco exámenes, es 6,6. ¿Qué nota ha obtenido en el sexto examen si con él la nota media ha subido hasta 7? 3.- El número de espectadores de cierta sala de cine durante los 25 primeros días del mes de diciembre ha sido el siguiente: 28 Ricardo Luezas Pisón 152 156 145 153 140 138 152 135 157 130 156 128 147 128 150 145 120 144 112 110 144 110 150 143 142 a) Ordena los datos anteriores en una tabla agrupándolos en intervalos de clase. Representa dichos datos mediante un histograma y un polígono de frecuencias. b) Calcula el intervalo modal y el intervalo mediano. c) Calcula la media y la desviación típica de esta distribución. 2ª SESIÓN OBJETIVOS • Identificar y clasificar variables estadísticas. • Utilizar distintos tipos de gráficos para representar los datos obtenidos. • Recopilar, ordenar y elaborar tablas de datos relativos a una variable estadística. En esta segunda sesión, la mitad de la clase será teórica y la otra mitad será práctica, poniendo algún ejemplo y resolviendo algún ejercicio de manera que quede clara la teoría explicada. Primero veamos la diferencia entre “población” y “muestra”. Población: conjunto de todos los elementos que cumplen una determinada característica. Muestra: cualquier subconjunto de la población. Ejemplo: Para las próximas elecciones generales, un partido político ha encargado a una empresa que realice un estudio sobre intención de voto a su partido en todo el territorio nacional. El conjunto de todos los ciudadanos con derecho a voto se llama población, 29 Ricardo Luezas Pisón pero como no es posible realizar el estudio con todos los ciudadanos, la empresa ha seleccionado, al azar, en cada provincia una serie de personas a las que se ha preguntado sobre sus preferencias políticas. El conjunto formado por estas personas seleccionadas se llama muestra. A continuación veamos los dos tipos de variables que hay: cuantitativas y cualitativas. Cualitativas: son aquellas que no se pueden medir. Ej: deporte practicado. Su representación gráfica suele ser mediante un diagrama de barras y mediante un diagrama de sectores. Cuantitativas: son aquellas que se pueden medir. Hay dos tipos: • Discreta: puede tomar un número finito de valores ó infinito numerable. Su representación gráfica se suele hacer con un diagrama de barras ó con un polígono de frecuencias. Ej: número de coches que pasan una aduana a lo largo de un día. • Continua: puede tomar cualquier valor en un intervalo de la recta real. Su representación gráfica se hace mediante un histograma ó con un polígono de frecuencias. Ej: altura en centímetros de las personas de una clase. También hay que introducir algún concepto nuevo como: f i (Frecuencia absoluta): número de veces que aparece cada modalidad. N (Número de datos) hi (Frecuencia relativa): proporción de datos en cada modalidad de la variable. 30 Ricardo Luezas Pisón hi = fi N Fi : Distribución de las frecuencias absolutas acumuladas. H i : Distribución de las frecuencias relativas acumuladas. También se pondrá algún ejemplo en la pizarra para aclarar los conceptos definidos hasta el momento. Ejemplo Se ha preguntado a los alumnos de una clase por el número de hermanos que tienen. Haz una tabla con los datos obtenidos y representa los datos mediante un diagrama de barras. xi fi Fi hi Hi 0 4 4 0,118 0,118 1 14 18 0,412 0,53 2 7 25 0,206 0,736 3 5 30 0,147 0,883 4 3 33 0,088 0,971 5 1 34 0,029 1 TOTAL 34 1 31 Ricardo Luezas Pisón Diagrama de barras 16 frecuencia absoluta 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 nº de hermanos Ejemplo: En un centro de enseñanza, los alumnos de 1º de Bachillerato han dado a conocer, a través de una encuesta, sus preferencias a la hora de practicar un deporte. Las modalidades que ha ofrecido el centro son: fútbol, baloncesto, yudo, gimnasia rítmica y balonmano. Haz una tabla con los datos obtenidos y representa los datos mediante un diagrama de barras y un diagrama de sectores. Modalidades fi Fi hi Hi Fútbol 42 42 0,323 0,323 Baloncesto 28 70 0,215 0,538 Yudo 9 79 0,069 0,607 Gimnasia rítmica 11 90 0,085 0,692 32 Ricardo Luezas Pisón Voleibol 16 106 0,123 0,815 Balonmano 24 130 0,185 1 TOTAL 130 1 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Ba lo nm an o Vo le ib ol Yu do G im na si a rít m ic a Ba lo nc es to Serie1 Fú tb ol F.absolutas Diagrama de barras Deportes 33 Ricardo Luezas Pisón 18% 33% 12% 8% Fútbol Baloncesto 7% 22% Yudo Gimnasia rítmica Voleibol Balonmano Ejercicios propuestos 1.- El número de centros de salud en 20 ciudades es: 2 4 2 5 5 4 6 8 6 8 3 5 3 4 5 5 8 4 5 4 a) Construye la tabla de distribución de frecuencias de estos datos. b) Representa el diagrama de barras de las frecuencias absolutas. c) Representa el polígono de frecuencias absolutas acumuladas. 2.- Los siguientes datos representan las alturas, en cm, de 20 personas: 165 171 154 165 149 159 151 171 191 163 173 193 176 152 188 169 171 184 152 183 a) Construye una tabla de distribución de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de amplitud 10. 34 Ricardo Luezas Pisón b) Representa el histograma de frecuencias absolutas. c) Representa el polígono de frecuencias absolutas acumuladas. 3ª SESIÓN OBJETIVOS • Calcular los parámetros de centralización e interpretar su significado. • Recopilar, ordenar y elaborar tablas de datos relativos a una variable estadística. En esta sesión se explicarán las medidas de centralización y se harán ejemplos para poner en práctica lo explicado. Se llama medidas de centralización a los parámetros que indican el valor hacia el que tienden a situarse los datos de la distribución. Las medidas de centralización más importantes son: de tamaño, la media aritmética; de frecuencia, la moda, y de posición, la mediana. Media aritmética Se llama media aritmética de una variable estadística al cociente entre la suma de todos los valores de la misma y el número de estos. La media aritmética se representa por x . Si X es una variable estadística que toma los valores x1 , x 2 ,..., x n , con frecuencias absolutas f 1 , f 2 ,..., f n , respectivamente, la media aritmética de la variable X viene dada por la siguiente expresión: 35 Ricardo Luezas Pisón n x f + x 2 f 2 + ... + x n f n x = 1 1 = f1 + f 2 + ... + f n ∑x n i i =1 n ∑f ∑x fi = i fi i =1 N i i =1 Si la variable X es continua, o aun siendo discreta, y por tratarse de muchos datos, estos se encuentran agrupados en clases, se toman como valores x1 , x 2 ,..., x n , las marcas de clase. Moda Se llama moda de una variable estadística al valor de la variable que presenta mayor frecuencia absoluta. La moda se representa por M o . Si los datos aparecen agrupados en clases, se toma como valor aproximado de la moda la marca de clase de la clase modal. La moda no es necesariamente única, puede ocurrir que haya dos ó más datos con mayor frecuencia absoluta. Si la distribución solo tiene una moda, se dice que es unimodal; si tiene dos, se llama bimodal; si tiene tres, trimodal, etc Mediana Se llama mediana de una variable estadística al valor de la variable, tal que el número de observaciones menores que él es igual al número de observaciones mayores que él. La mediana de una variable se representa por M . Si el número de datos de la distribución es impar, la mediana es el valor central. Si, por el contrario, el número de datos de la distribución es par, la mediana es la media de los dos valores centrales. La mediana depende del orden de los datos, y no del valor de estos. 36 Ricardo Luezas Pisón Ejemplo (utilizamos el mismo ejemplo que en la 2ª sesión) El número de hermanos de los alumnos de una clase viene dado por la siguiente tabla: xi fi 0 4 1 14 2 7 3 5 4 3 5 1 TOTAL 34 a) Calcula la media aritmética y la moda. b) Halla la mediana. Para calcular la media, se completa la tabla con la columna xi f i . Como también hay que hallar la mediana, se añade a la tabla de frecuencias la columna con las frecuencias absolutas acumuladas: xi fi Fi xi f i 0 4 4 0 1 14 18 14 2 7 25 14 3 5 30 15 4 3 33 12 5 1 34 5 37 Ricardo Luezas Pisón TOTAL 34 60 n ∑x a) x = i fi i =1 = N 60 = 1,76 hermanos 34 M o = 1 hermano. Se trata de una distribución unimodal. c) Como el número de datos es 34, la mitad es 17. Observando la tabla, se deduce que M =1 hermano. Ejercicios propuestos 1.- El tiempo, en segundos, que tardan en conectarse los usuarios de una determinada página web a lo largo de un día viene dado por la siguiente tabla: Tiempo en segundos [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150) [150,180) Nº de usuarios 3 7 10 9 8 3 a) Halla la media aritmética y la moda b) Calcula la mediana 2.- El número de centros de salud en 20 ciudades es: 2 4 2 5 5 4 6 8 6 8 3 5 3 4 5 5 8 4 5 4 a) Calcula la media aritmética b) Halla la moda. 38 Ricardo Luezas Pisón 4ª SESIÓN OBJETIVOS • Calcular los parámetros de dispersión y de posición e interpretar su significado. • Recopilar, ordenar y elaborar tablas de datos relativos a una variable estadística. En esta sesión explicaremos las medidas de dispersión y las medidas de posición y luego haremos algún ejemplo para poner en práctica toda la teoría. Empezaremos mostrando un ejemplo para mostrar la importancia que tienen las medidas de dispersión. Ejemplo Los siguientes datos representan los días de lluvia en varios meses consecutivos en dos ciudades. Ciudad A: 16, 17, 17, 15, 18, 20, 15, 16 Ciudad B: 12, 23, 2, 8, 16, 15, 28, 30 Calculando la media en ambas distribuciones resulta ser la misma, x A = x B = 16,75 ; pero los conjuntos son muy distintos entre sí. La media no es suficiente para describir este conjunto de datos. Conviene utilizar otros valores que reflejen la dispersión de los datos alrededor de la media. Los parámetros que miden esta dispersión se llaman medidas de dispersión, y las más importantes son: el rango o recorrido, la desviación media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación. 39 Ricardo Luezas Pisón Rango o recorrido Se llama rango o recorrido de una distribución a la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística. Se representa por R. Desviación media Una manera de medir la dispersión de los datos respecto a la media es considerar los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media, lo que da lugar a la desviación media. Se llama desviación media a la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. La desviación media se representa por D X . n DX = f 1 x1 − x + f 2 x 2 − x + ... + f n x n − x f 1 + f 2 + ... + f n ∑f = i xi − x i =1 N Varianza Si para medir la dispersión de los datos alrededor de la media se consideran los cuadrados de las desviaciones respecto a la media, se obtiene la varianza. Se llama varianza de una variable a la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. Se representa por s 2 . n f ( x − x ) + f 2 ( x 2 − x ) + ... + f n ( x n − x ) s2 = 1 1 = f 1 + f 2 + ... + f n 2 2 2 ∑ 2 n f i (xi − x ) i =1 i =1 i = n ∑f ∑fx i i =1 n ∑f 2 i − x2 i i =1 40 Ricardo Luezas Pisón Desviación típica Un inconveniente de la varianza es que no tiene las mismas unidades que los datos. Por ello resulta conveniente definir una nueva medida de dispersión con las mismas unidades que los datos. Se llama desviación típica de una variable a la raíz cuadrada positiva de la varianza. Se representa por s . Coeficiente de variación La desviación típica, al depender de las unidades de las observaciones, no permite comparar la variabilidad de colecciones de datos con distintas unidades. Para evitar este problema se define una medida de dispersión, el coeficiente de variación, que permite comparar datos de distinta magnitud. Se llama coeficiente de variación, y se representa por CV, al cociente entre la desviación típica y la media aritmética. CV = s x A continuación, hacemos un ejemplo para poner en práctica toda la teoría anterior. 41 Ricardo Luezas Pisón Ejemplo En un gabinete de psicología infantil se ha efectuado una prueba de madurez psicomotora a un conjunto de niños y niñas, y se han obtenido los resultados dados por la siguiente tabla: Puntuaciones [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) Nº de niños/as 4 15 22 45 23 14 3 a) Halla el rango b) Halla la desviación media. c) Calcula la varianza y la desviación típica. d) Halla el coeficiente de variación. Para calcular todos los parámetros requeridos se construye la siguiente tabla. Es importante observar que, aunque en el problema no se pida hallar la media, es necesario saber su valor para los cálculos posteriores. Puntuaciones xi fi xi f i xi2 f i [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) TOTAL 5 15 25 35 45 55 65 4 15 22 45 23 14 3 126 20 225 550 1575 1035 770 195 4370 100 3375 13750 55125 46575 42350 12675 173950 xi − x 29,68 19,68 9,68 0,32 10,32 20,32 30,32 f i xi − x 118,72 295,20 212,96 14,40 237,36 284,48 90,96 1254,08 42 Ricardo Luezas Pisón x= 4370 = 34,68 126 a) R = 70 − 0 = 70 n ∑f xi − x i i =1 b) D X = N = 1254,08 = 9,95 126 n ∑fx 2 i i c) s 2 = i =1 n ∑f − x2 = 173950 − 34,68 2 = 177,853 126 i i =1 s = 177,645 = 13,34 d) CV = s 13,34 = = 0,38 x 34,68 MEDIDAS DE POSICIÓN La mediana de una distribución es el valor que divide los datos en dos partes iguales, dejando el 50% de los datos a su izquierda y el otro 50% a su derecha. En ocasiones interesa estudiar otros parámetros, llamados cuartiles, que dividen los datos de la distribución en función de otras cuantías. 43 Ricardo Luezas Pisón Cuartiles Se llama cuartiles a los tres valores que dividen la serie de datos en cuatro partes iguales. Se representan por Q1 , Q2 y Q3 . El primer cuartil, Q1 , deja por debajo el 25% de los datos de la distribución. El segundo cuartil, Q2 , coincide con la mediana. El tercer cuartil, Q3 , deja por debajo el 75% de los datos de la distribución. En ocasiones se utiliza el rango intercuartílico para evitar el problema de los valores extremos: RI = Q3 − Q1 . Deciles Se llaman deciles a nueve valores que dividen la serie de datos en 10 partes iguales. Se designan por D1 , D2 , … , D9 y se llaman decil primero, segundo, … , noveno, respectivamente. Percentiles Se llaman percentiles a 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Se designan por P1 , P2 , … , P99 , y se llaman percentil primero, segundo, … , nonagésimo noveno, respectivamente. Hacemos un ejemplo para poner en práctica las medidas de posición. 44 Ricardo Luezas Pisón Ejemplo Sea la variable X cuya distribución de frecuencia es: xi 2 4 6 8 10 fi 2 3 4 1 5 a) Halla los cuartiles primero y tercero. b) Halla los deciles 3 y 7. c) Halla los percentiles P10 y P90 . a) N 15 = = 3,75 ⇒ Q1 = 4 4 4 3 N 45 = = 11,25 ⇒ Q3 = 10 4 4 b) 3 N 45 = = 4,5 ⇒ D3 = 4 10 10 7 N 105 = = 10,5 ⇒ D7 = 10 10 10 c) 10 N 150 = = 1,5 ⇒ P10 = 2 100 100 90 N 1350 = = 13,5 ⇒ P90 = 10 100 100 Ejercicios propuestos 1.- Las edades de un grupo de 19 personas aparecen en la siguiente tabla: Edad Nº de personas 14 3 15 1 17 2 18 3 19 5 20 3 21 2 a) Halla la media, la moda y la mediana. b) Halla el rango, la varianza y la desviación típica. c) ¿Cuántos años tiene la persona de mayor edad, de entre las que se encuentran en el 40% de las personas con menor edad? 2.- Una oficina bancaria ha tabulado las cantidades de dinero que retiran de sus cuentas 100 clientes en un determinado día. 45 Ricardo Luezas Pisón Euros Clientes [0,120) 33 [120,240) 27 [240,360) 19 [360,480) 14 [480,600) 7 Halla: a) La cantidad media de dinero retirado por cliente. b) ¿Qué porcentaje de clientes retiraron fondos por encima de la mediana? c) Halla los cuartiles Q1 , Q2 y Q3 . 5ª SESIÓN OBJETIVOS • Recopilar, ordenar y elaborar tablas de datos relativos a una variable estadística. • Interpretar de forma crítica las informaciones de carácter estadístico incluidas en distintos medios de comunicación. Esta sesión está exclusivamente dedicada a la resolución de ejercicios por parte del alumno. De esta manera se propondrán varios ejercicios y el alumno los hará, preguntando cualquier duda que puedan tener al profesor. Algunos de los ejercicios propuestos serán sacados de algún medio de comunicación. En esta sesión se dará por acabada la unidad, quedando únicamente por hacer el examen correspondiente a esta unidad. 46 Ricardo Luezas Pisón Ejercicios propuestos 1.- Un dentista observa el número de caries de cada uno de los 100 niños de un colegio. La información resumida aparece en la siguiente tabla: Nº de caries 0 1 2 3 4 F. absoluta 25 20 x 15 y F. relativa 0,25 0,20 z 0,15 0,05 a) Completa la tabla obteniendo los valores x , y y z . b) Dibuja un diagrama de sectores. c) Realiza un diagrama de barras. d) Calcula el número medio de caries. e) Calcula los cuartiles. 2.- En una encuesta sobre tráfico se ha preguntado a 1000 conductores sobre el número de multas recibidas que ha sido mayor o igual a cero y menor o igual a 5. Al efectuar la tabla correspondiente, algún número ha desaparecido, por lo que disponemos de la siguiente información: Nº de conductores 0 Nº de multas 260 1 150 2 190 3 100 4 90 5 Halla: a) La media. b) La mediana. c) La moda. d) La desviación típica. 47 Ricardo Luezas Pisón e) Los cuartiles primero y tercero. f) El rango intercuartílico. 3.- La tabla adjunta muestra el presupuesto dedicado a acción social de varios municipios de La Rioja: Presupuesto (en miles de euros) [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150) [150,180) Nº de municipios 8 12 19 21 14 6 a) Representa gráficamente la distribución mediante un histograma y su polígono de frecuencias. b) Halla la mediana e interpreta este parámetro. c) Calcula la media. d) ¿Cuál es la proporción de municipios que dedican a acción social más de 30000 euros y menos de 150000? 4.- Al estudiar la distribución de la edad en una población se obtuvieron los resultados siguientes: [0, 20) Edad (en años) Nº de individuos 15 [20, 40) [40, 60) 15 [60, 80) 16 Como se ve, se ha extraviado el dato correspondiente al intervalo [20, 40). a) ¿Cuál será el valor de este dato si la media es de 35 años? b) ¿Cuál será el valor de este dato si la mediana es de 30 años? c) ¿Cuál será la desviación típica si el dato es 16? 48 Ricardo Luezas Pisón 6ª SESIÓN OBJETIVOS • Evaluación de los alumnos mediante un examen. En esta sesión se evaluará los conocimientos del alumno mediante un examen por escrito. EXAMEN 1.- Para hacer un estudio sobre las características de los alumnos matriculados en 1º de Bachillerato se consideran, entre otras, las siguientes variables estadísticas: sexo, talla, peso, color de pelo, grupo sanguíneo, pulsaciones en reposo, nº de hermanos. Clasifica las variables anteriores según sean cualitativas o cuantitativas, y estas últimas según sean discretas o continuas. 2.- La nota media de los aprobados en un examen de Matemáticas ha sido 6,8 y la de los suspensos 3,5. Calcula la nota media de la clase completa sabiendo que hubo 35 aprobados y 15 suspensos. 3.- La siguiente tabla muestra la distancia en kilómetros que recorren 50 personas para desplazarse a su lugar de vacaciones. Km Personas [0,100) 2 [100,200) 5 [200,300) 10 [300,400) 17 [400,500) 11 [500,600) 5 ¿A partir de qué datos se encuentran el 60% de las personas que recorren más kilómetros? 49 Ricardo Luezas Pisón 4.- Dos distribuciones estadísticas A y B tienen la misma desviación típica. a) Si la media de A es mayor que la de B, ¿cuál tiene mayor coeficiente de variación? b) Si la media de A es doble que la de B, ¿cómo serán sus coeficientes de variación? 5.- La tabla adjunta muestra las faltas de asistencia de un grupo de 28 alumnos durante un mes. Nº de 0 faltas Alumnos 10 1 2 3 4 6 8 15 21 6 3 2 2 2 1 1 1 a) Calcula el rango y la desviación media. b) Calcula la varianza y la desviación típica. 3.13 ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN 1.- Eligiendo tres números al azar entre el 0 y el 9, se forma un número de tres cifras. Si la media de las tres cifras es 5, y su moda, 7, ¿cuál es el mayor número que se puede formar de esta manera? 2.- Demuestra que las dos expresiones siguientes de la varianza son iguales. n s2 = ∑ 2 n f i ( xi − x ) i =1 i =1 i = n ∑f ∑fx i i =1 n ∑f 2 i − x2 i i =1 3.- En estadística unidimensional se dice que un valor x está alejado cuando se encuentra situado a la derecha del tercer cuartil más 1,5 veces el rango intercuartílico, o 50 Ricardo Luezas Pisón cuando está situado a la izquierda del primer cuartil menos 1,5 veces el rango intercuartílico. Es decir, x está alejado si: x > Q3 + 1,5(Q3 − Q1 ) o bien x < Q1 − 1,5(Q3 − Q1 ) Para los siguientes conjuntos de datos, averigua si existe un valor alejado. a) 30, 31, 31, 33, 34, 36, 37 b) 11, 78, 79, 81, 82, 83, 160 4.- Se denomina sesgo la menor o mayor simetría de una distribución. El coeficiente de sesgo viene dado por la expresión v = x − Mo . s Dada la distribución definida por la siguiente tabla estadística: xi 6 7 8 9 10 11 12 13 fi 1 2 3 4 7 15 13 4 a) Halla el coeficiente de sesgo. b) Representa el polígono de frecuencias. ¿Qué observas? 51 Ricardo Luezas Pisón 4. TRABAJO DE INNOVACIÓN 4.1 INTRODUCCIÓN En los últimos años, en el área de la educación, debido a que la mayoría del alumnado presenta una desmotivación hacia los estudios, no se si es debido a que no les gusta estudiar ó a que el profesor no está preparado para enseñar a los alumnos se está inculcando al profesorado que hay que innovar lo que enseñan. Casi siempre el profesor da una clase magistral ante sus alumnos, es decir: él llega a clase, explica lo que toca ese día y se va. En este proceso, el profesor es el actor principal y los alumnos son meros espectadores de las explicaciones del profesor. Este tipo de enseñanza es fácil por parte del profesor, pero a los alumnos les causa en la mayor parte desmotivación, por eso se debe introducir en las aulas la innovación. Pero, ¿qué es innovar? Etimológicamente se puede hablar de innovar como la introducción de algo nuevo y diferente, pero este significado deja la posibilidad de que ese “algo nuevo” sea o no motivo de una mejora; ya que tan nuevo sería un método que facilita la mejora de la comprensión lectora, como uno que la inhibe. Sin embargo, cualquier innovación introduce novedades que provocan cambios; esos cambios pueden ser drásticos o progresivos. Normalmente, el cambio siempre mejora lo cambiado; es decir, la innovación sirve para mejorar algo. La mejora puede ser reducir el esfuerzo, reducir el coste, aumentar la rapidez en obtener resultados, aumentar la calidad, satisfacer nuevas demandas … 52 Ricardo Luezas Pisón Para finalizar con esta pequeña introducción se puede decir que la importancia de la innovación en los contextos del área educativa llevada a cabo por los profesores parece ya fuera de toda duda, así como la necesidad de desarrollar competencias para esta labor tanto en los procesos de formación inicial como en los permanentes. 4.2 CONTEXTUALIZACIÓN Particularmente en mi caso que voy hacer el trabajo de innovación para la unidad didáctica “Análisis estadístico de una variable” me parece que es aconsejable hacer alguna innovación en el aula ya que tanto en los periódicos como en los medios de comunicación estamos acostumbrados a oír y a ver multitud de cifras estadísticas y muchas veces nos creemos toda la información que nos dan. Sabemos que a pesar de la gran utilidad que tiene la estadística en el mundo profesional, suele tener poco protagonismo en la enseñanza secundaria (suele estar incluida al final del libro y muchas veces si no da tiempo a ver la materia de todo el libro, es ésta la que se queda sin impartir). Otro grave problema, es que la mayoría de las veces se enseñan persiguiendo únicamente objetivos de conocimientos: es decir, se pretende que los estudiantes se aprendan cómo se construyen determinados gráficos, que sepan calcular el coeficiente de correlación…otra cosa es que esos conocimientos que has aprendido sirvan para algo ó únicamente para utilizarlos en el examen y luego queden olvidados, dejando la sensación de “esto no es lo mío” o “que difíciles son las matemáticas”. 53 Ricardo Luezas Pisón En mi opinión creo que cuando se estudia estadística, los objetivos no sólo deben estar orientados a los conocimientos sino que se debe crear una actitud positiva hacia esta materia. En realidad, la estadística es una herramienta que sirve para conocer mejor la realidad que nos rodea y esto se realiza a través de un análisis de datos que reflejen de forma objetiva aquello que se desea conocer. Una forma de despertar el interés de los alumnos es presentar casos prácticos que atraigan su atención. De esta manera será más fácil sacar las ideas y los conceptos que se quieren transmitir. 4.3 ENFOQUE En este trabajo de innovación voy a seguir un enfoque constructivista. En general, yo pienso que el enfoque constructivista es el que hay que seguir, pero en mi caso que voy hacer la innovación de estadística y es meramente practica es todavía más conveniente seguir este enfoque ya que el profesor sería el guía de las actividades y los alumnos serían los protagonistas principales y de esta manera aprenderían más. Como va dirigido a alumnos de 1º Bachiller y ya tienen una mínima base de estadística, se podrá trabajar con ellos de manera óptima. Mi objetivo no es que sólo sepan aplicar las formulas para calcular la media, moda, mediana … de manera mecánica, sino que todos estos conceptos los llevemos a la vida diaria y sean críticos con las informaciones que puedan leer o escuchar y sepan diferenciar perfectamente cuando se les manipula información. Por lo tanto, nos preguntaremos ¿Mienten las estadísticas? ¿No es una ciencia la estadística? 54 Ricardo Luezas Pisón Los números no engañan, pero las personas que nos lo presentan, a menudo, sí lo hacen. Una de las formas de engañar es omitir una parte importante de la información. 4.4 OBJETIVOS Con esta innovación se planteará una nueva técnica de aprendizaje basada principalmente en el trabajo en grupo. Esto supone una ventaja para los alumnos ya que los aprendizajes que van desarrollando los van adquiriendo paso a paso y no como otras muchas veces en los que aparecen todos juntos. Con esta innovación se intentará hacer más divertido el aprendizaje ya que se introducirán elementos que no son muy comunes hasta ahora, con el objetivo de que los alumnos tengan una actitud más positiva hacia las Matemáticas. Con esta innovación se pretende que los alumnos vean desde otro punto de vista las Matemáticas, y sobre todo la estadística ya que casi siempre su único objetivo ha sido estudiarse unas fórmulas de memoria que normalmente quedan olvidadas después del examen. Otra ventaja de trabajar en grupo es que los alumnos van a potenciar su competencia comunicativa, ya que al explicar al resto de compañeros sus ideas y opiniones acerca de los gráficos, sus compañeros podrán estar de acuerdo o en desacuerdo con lo expuesto, creándose un debate de manera constructiva en la que los alumnos se deberán expresarse de manera precisa y correcta con el objetivo de que el resto le entienda. De esta manera, el alumno razonará por él mismo y con el debate creado se dará cuenta si ha cometido alguna imprecisión en los razonamientos. 55 Ricardo Luezas Pisón Finalmente, recalcar que el objetivo principal de esta innovación es hacer cambiar al alumno su vista sobre las Matemáticas y hacerles ver la utilidad que tienen en nuestra vida diaria. 4.5 MARCO TEORICO En este proyecto de innovación se asumirá el modelo constructivista de aprendizaje, de acuerdo con los criterios y explicaciones que hemos mencionado al principio de este trabajo. Como ya mencioné anteriormente, como esta unidad didáctica va dirigida a alumnos de 1º de Bachiller y no tenemos la presión de prepararlos para ninguna prueba como la Selectividad que puede marcar su futuro, podemos aplicar la estadística de manera práctica a casos de la vida diaria y a estudiar distintos tipos de gráficos que se nos presentan. Estas actividades las podemos llevar a cabo tanto dividiendo a los alumnos en grupo como creando debates toda la clase siendo el profesor el moderador del debate. De esta manera seguro que los alumnos tienen otra visión de la estadística distinta a cuando les mandan estudiarse muchas fórmulas de memoria únicamente para conseguir los objetivos que se marcan. Como los alumnos presentan una mínima base sobre estos temas, con estos debates y trabajos en grupo encontrarán una mayor lógica en el estudio de las matemáticas y percibirán sus utilidades en el mundo exterior. A la hora de evaluar, se tendrá en cuenta la aportación del alumno tanto en el trabajo en grupo como sus ideas y aportaciones en el debate creado. El profesor no tendrá tanto en cuenta si el alumno se equivoca, sino su manera de razonar y la argumentación de ideas 56 Ricardo Luezas Pisón que proponga, ya que el objetivo que se propone es que los alumnos aprendan y muchas veces se aprende más de un error que hayan cometido que de una cosa que hagan bien. 4.6 TIPO DE MODELO PROCESUAL Esta innovación va a consistir en el estudio de gráficas. De esta manera, se le enseñará a los alumnos técnicas para que puedan mejorar gráficos y vean los malos usos que se utilizan a la hora de hacer gráficas, muchas de esas veces intencionadamente para confundir al lector o llevarle a una mala interpretación de la información y otras veces por la falta de conocimientos de estadística. Dividiremos la clase en grupos y estas gráficas serán entregadas por el profesor a cada grupo y corresponderán a ejemplos de la vida diaria con el objetivo de motivarles. En estas graficas se interpretarán unos mismos datos, siendo las gráficas muy distintas a primera vista con el objetivo de que cuando vean una gráfica observen que se les puede estar ocultando información y sean críticos con la información que se les muestre. En esta manipulación de datos, veremos a continuación que se hacen trucos como cambios de escala, utilizar diferentes escalas en un mismo eje, poner diferentes números al empezar a medir un eje … Para concluir, decir que en estas actividades el profesor tendrá un carácter orientativo y los alumnos serán los encargados de dar sus ideas y razonamientos siendo precisamente ellos los actores principales de la actividad. 57 Ricardo Luezas Pisón 4.7 METODOLOGÍA Se trabajará en grupos dándole a cada grupo un par de gráficos para que discutan y saquen conclusiones por sí solos. De esta manera podrán poner conocimientos en común y podrán debatir sobre cosas en las que no se este totalmente de acuerdo por todos los miembros del grupo. También haremos un debate en común toda la clase siendo el profesor el moderador de dicho debate, para poner en común todas las ideas sacadas por los diferentes grupos. Antes de poner unos ejemplos, nos haremos unas preguntas acerca de las escalas utilizadas en las gráficas: • ¿Cuál es la mejor proporción para utilizar en las escalas? • ¿Debería el cero estar incluido en la escala? • ¿Cuándo las escalas logarítmicas mejoran la claridad de los datos? • ¿Qué son las escalas a trozos y cómo deberían ser usadas? • ¿Son dos escalas mejor que una? ¿Cómo podemos distinguir entre información y engaños estadísticos? • ¿Puede una escala ocultar datos? ¿Cómo se puede evitar? 58 Ricardo Luezas Pisón Ejemplo1 Manchas solares 200 Número 150 100 Serie1 50 0 1750 1800 1850 1900 1950 2000 Años Manchas solares Número 150 100 Serie1 50 0 1750 1800 1850 1900 1950 2000 Años Al elegir la proporción para hacer la escala, puede afectar a nuestra percepción sobre los datos. Las dos gráficas muestran los mismos datos, con la diferencia de que la proporción en la gráfica de arriba es mayor que en la gráfica de abajo. En ambos gráficos se muestra el número de manchas solares desde 1750 hasta 1976. La primera cosa que nos llama la atención en ambos gráficos, es que cada 11 años se repite el mismo ciclo en el gráfico. Sin embargo, una característica que se ve mejor en el gráfico 59 Ricardo Luezas Pisón de abajo que en el de arriba es que las subidas tienen más pendiente que las bajadas y esto puede ser una razón para los físicos solares en el desarrollo de las teorías para explicar el origen de las manchas solares. Ejemplo2 Dióxido de carbono 360 D.Carbono(ppm) 350 340 Serie1 330 320 310 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 Años 60 Ricardo Luezas Pisón Dióxido de carbono D.carbono (ppm) 400 300 200 Serie1 100 0 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 Años Aquí vemos un ejemplo en el que con los mismos datos y con un cambio en la escala, ya que en una gráfica aparece el cero y en otra no, podemos tener diferentes percepciones sobre cada gráfica. Ahora nos preguntamos: ¿Hay que incluir el cero en la escala? Este es uno de los temas más difíciles ya que muchos piensan que sí, mientras otros piensan que no. A una de las conclusiones que se ha llegado es que por norma general el cero debe estar incluido en la escala, salvo que con su presencia haya una dispersión de datos significativa. 61 Ricardo Luezas Pisón Ejemplo3 Dioxido de carbono D.Carb (ppm) 360 350 340 Serie1 330 320 310 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 Años 360 Dióxido de carbono Serie1 350 D.Carb (ppm) 340 330 320 310 1960 1970 Años 1980 1990 62 Ricardo Luezas Pisón En este ejemplo, en el que los datos son los mismos que en el ejemplo 2, podemos ver que aunque las dos escalas empiecen en los mismos datos, también se puede llevar a error las percepciones que tengamos de cada gráfico. Es un ejemplo claro en el que dos partidos políticos podrían usar una de estas gráficas según los intereses que estuviesen defendiendo. Ejemplo4 Cambios porcentuales 1000 Dollars 800 600 Serie1 400 200 0 0 2 4 6 8 10 Días 63 Ricardo Luezas Pisón Cambios porcentuales 1000 Dollars 100 Serie1 10 1 0 2 4 6 8 10 Días Las escalas logarítmicas las usamos cuando tenemos cantidades muy grandes con el objetivo de tener más claridad en los datos. En este ejemplo, podemos ver que el gráfico de arriba es mejor si tu quieres saber la cantidad de dinero que tienes cada día y la escala logarítmica es preferible si tú estas interesado en saber cuanto dinero recibes más un día que otro día. 64 Ricardo Luezas Pisón Ejemplo5 Hombres y mujeres 50 Salario (miles) 40 Serie1 30 Serie2 20 10 20 30 40 50 60 70 Edad 65 Ricardo Luezas Pisón Hombres y mujeres 50 40 25 30 20 20 15 Salario hombres (miles) Salario mujeres (miles) 30 Serie2 Serie1 10 20 30 40 50 60 70 Edad En estos dos gráficos se muestra el salario medio de hombres y mujeres por edad. En el primer gráfico podemos ver claramente que el sueldo del hombre es mayor que el de la mujer, viendo que la mayor diferencia se alcanza en edades comprendidas entre 40 y 60 años. Sin embargo, si tú quieres mostrar gráficos que le lleven a error al lector, puedes hacer el gráfico que aparece más abajo. En este gráfico hemos usado diferente escala para el eje vertical, ya que en la parte de la izquierda hemos usado unas medidas para el sueldo de la mujer, y en la parte de la derecha hemos usado otras medidas para el sueldo de los hombres. Como consecuencia, a primera vista se puede decir que las mujeres ganan más dinero que los hombres, siendo esto una cosa falsa en este ejemplo. 66 Ricardo Luezas Pisón Como conclusión, vamos a enumerar algunas características que son positivas y otras características que hay que evitar a la hora de realizar un gráfico: Para tener una visión clara en el gráfico: • Hacer que los datos resalten. Evitar lo superfluo. (positivo) • Usar un par de escalas para cada variable. Hacer el rectángulo de datos un poco más pequeño que el rectángulo de escalas. (positivo) • Las marcas en la escala, hacia fuera. (positivo) • No sobrecargar de rayas, símbolos y explicaciones el interior del rectángulo. (evitar) • Los símbolos que se solapen, deben ser distinguibles visualmente. (positivo) • La claridad visual debe preservarse mediante reducción y reproducción (positivo) • Evitar poner notas y leyendas dentro del rectángulo (evitar). Poner la leyenda fuera, y las notas a pie de grafo. Para tener una comprensión clara del gráfico: • Expresar las conclusiones más importantes en forma de gráfica. Las notas a pie de grafo deben ser informativas y completas. (positivo) • En las explicaciones a veces se peca de exceso y otras veces de defecto. (evitar) Escalas del gráfico: • Elegir las escalas para que los datos entren en el rectángulo.(positivo) 67 Ricardo Luezas Pisón • Es útil dos escalas para cada variable. (positivo) • No insistir en que el cero se incluya siempre en la escala. (positivo) • Usar la escala logarítmica cuando sea importante entender, el cambio porcentual, o factores multiplicativos. (positivo) Estrategia general: • Se puede empaquetar en una región pequeña gran cantidad de datos (con la tecnología del computador) • La elaboración de gráficas debe ser un proceso iterativo y experimental. • Desconfiad si la información puede aprenderse de una ojeada (puede estar amañado). Muchas gráficas útiles requieren un estudio cuidadoso y detallado para abrirnos sus posibilidades. 4.8 EVALUACIÓN La evaluación es un proceso muy importante ya que nos sirve para calificar a nuestros alumnos. En este modelo, se dará mayor importancia al examen final ya que debemos comprobar si nuestro alumno ha adquirido los objetivos marcados al principio del curso mediante una prueba de carácter individual (70% de la nota final). También las actividades realizadas durante el curso tendrán un valor (15% de la nota final) y respecto al trabajo en grupo y debates realizados en clase su valor será del 15% de la nota final de la evaluación. En este tipo de actividades se valorará las ideas y los razonamientos expuestos por cada alumno, la participación en los debates, las argumentaciones y no se tendrá tanto en 68 Ricardo Luezas Pisón cuenta si las ideas aportadas están bien o mal, sino que se valorará más el camino para llegar hasta ellas. Normalmente, al principio de cada unidad didáctica se les hará una prueba de nivel para comprobar los conocimientos previos que posee el alumno. Según el resultado de esta prueba, podremos variar la unidad didáctica que explicaremos. 4.9 OPINIÓN PERSONAL Creo que con este trabajo de innovación conseguiremos que los alumnos tengan otra visión de las Matemáticas, ya que podrán ver la utilidad que tienen en la vida real con estos trabajos en grupos y debates creados para toda la clase. Como ya he comentado anteriormente, el trabajo en grupo les ayudará mucho porque pondrán en común los conocimientos con el resto de compañeros y su exposición de ideas delante de la clase será bueno para ellos ya que le dará una mayor fluidez a la hora de hablar en público y de argumentar sus puntos de vista sobre el tema tratado. A continuación voy a poner un ejemplo en el que se muestra la importancia a la hora de tomar los datos sobre un estudio: El 27 de Enero de 1986, el día antes que mandarían al espacio el Challenger, un grupo de ingenieros preguntaron que si la temperatura que hacía en el exterior el día del lanzamiento iba a repercutir en dicho lanzamiento. La temperatura sería de unos 31º C, así que los ingenieros estudiaron un gráfico en el que se mostraba los O-anillos que habían fallado en los cohetes y a que temperatura había sido lanzado, como mostramos en el siguiente gráfico: 69 Ricardo Luezas Pisón Challenger Nº de fallos 3 2 Serie1 1 0 50 55 60 65 70 75 80 Temperatura (F) Como se puede ver en este gráfico, se llegó a la conclusión de que la temperatura no es un factor relevante en el lanzamiento del cohete. El 27 de Enero de 1986, se lanzó el Challenger hacía el espacio y a los pocos segundos los O-anillos fallaron y el cohete explotó muriendo las siete personas que iban dentro. ¿A qué se debió? Pues entre otras cosas a que la temperatura era un factor determinante y que el estudio lo habían hecho mal, ya que pusieron solo los cohetes que habían fallado, no todos los cohetes que habían lanzado al espacio como mostramos en el siguiente gráfico. 70 Ricardo Luezas Pisón Challenger Nº de fallos 3 2 Serie1 1 0 50 55 60 65 70 75 80 85 Temperatura Con este claro ejemplo podemos ver la importancia que tiene hacer un buen estudio de los datos. 5. BIBLIOGRAFÍA - Jesús Mª Goñi Zabala (2008), 7 ideas clave. El desarrollo de la competencia matemática. Ed. Graó. - Darrell Huff (1954), How to lie with statistics.Ed. Norton - Naomi B. Robbins (2005), Creating more effective graphs. Ed. Wiley - William S. Cleveland (1994), The elements of graphing data. - James M.Landwehr, Ann E.Watkins (1986), Exploring data. Ed. Dale Seymour Publications. 71 Ricardo Luezas Pisón 72