Técnicas para mejorar las gráficas - Biblioteca de la Universidad de

TRABAJO FIN DE ESTUDIOS
MÁSTER UNIVERSITARIO EN PROFESORADO DE ESO, BACHILLERATO, FP
Y ENSEÑANZA DE IDIOMAS
MATEMÁTICAS
Técnicas para mejorar las gráficas
Ricardo Luezas Pisón
Tutor: Jesús Murillo Ramón
Facultad de Letras y de la Educación
Curso 2010-2011
Técnicas para mejorar las gráficas, trabajo final de estudios
de Ricardo Luezas Pisón, dirigido por Jesús Murillo Ramón (publicado por la Universidad
de La Rioja), se difunde bajo una Licencia
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El autor
Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2012
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E-mail: publicaciones@unirioja.es
AUTOR: RICARDO LUEZAS PISÓN
DIRECTOR: JESÚS MURILLO RAMÓN
ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICAS
Ricardo Luezas Pisón
1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 3
2. MARCO TEORICO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE .......................................... 4
3. UNIDAD DIDÁCTICA DE 1º BACHILLER DE CCSS........................................... 13
3.1 CONTEXTO GENERAL ..................................................................................... 13
3.2 INTRODUCCIÓN ................................................................................................ 14
3.3 COMPETENCIAS GENERALES........................................................................ 15
3.4 OBJETIVOS GENERALES................................................................................. 16
3.5 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................... 17
3.6 CONTENIDOS ..................................................................................................... 18
3.6.1 Conceptos....................................................................................................... 18
3.6.2 Procedimientos............................................................................................... 18
3.6.3 Actitudes ........................................................................................................ 19
3.7 RECURSOS.......................................................................................................... 20
3.8 METODOLOGÍA ................................................................................................. 20
3.8.1 Estrategias de aprendizaje.............................................................................. 21
3.9 ACTIVIDADES.................................................................................................... 22
3.10 EVALUACIÓN .................................................................................................. 23
3.11 ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD .................................................................... 26
3.12 SESIONES PARA LA UNIDAD DIDÁCTICA ................................................ 28
3.13 ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN ................................................................. 50
4. TRABAJO DE INNOVACIÓN.................................................................................. 52
4.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................ 52
4.2 CONTEXTUALIZACIÓN ................................................................................... 53
4.3 ENFOQUE............................................................................................................ 54
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Ricardo Luezas Pisón
4.4 OBJETIVOS ......................................................................................................... 55
4.5 MARCO TEORICO.............................................................................................. 56
4.6 TIPO DE MODELO PROCESUAL..................................................................... 57
4.7 METODOLOGÍA ................................................................................................. 58
4.8 EVALUACIÓN .................................................................................................... 68
4.9 OPINIÓN PERSONAL ........................................................................................ 69
5. BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................ 71
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Ricardo Luezas Pisón
1. INTRODUCCIÓN
En este trabajo fin de master quedan reflejadas las competencias aprendidas en las
asignaturas específicas para la especialidad de Matemáticas (Complementos para la
formación disciplinar, Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas, Innovación docente
e iniciación a la investigación educativa) en las asignaturas de los módulos genéricos
(Aprendizaje y desarrollo de la personalidad, Procesos y contextos educativos,
Sociedad, familia y educación) y las competencias correspondientes al Prácticum, donde
tuve la oportunidad de poner en práctica todo lo aprendido en este master.
En este proyecto Fin de Master hay tres partes claramente diferenciadas: en la primera
parte está el marco teórico, donde quedan reflejadas las teorías educativas que puedo
aplicar en el aula. Para ello, he tenido en cuenta las características psicológicas de los
alumnos, sus procesos cognitivos y su realidad sociocultural.
En la segunda parte, muestro la unidad didáctica que he desarrollado en el centro:
“Análisis estadístico de una variable” dirigida a los alumnos de 1º Bachiller de Ciencias
Sociales. En esta unidad didáctica he desarrollado los siguientes puntos: introducción,
competencias generales, objetivos generales, objetivos específicos, contenidos, recursos,
metodología, actividades, evaluación, atención a la diversidad, sesiones para la unidad
didáctica y actividades de ampliación.
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Ricardo Luezas Pisón
Y finalmente, en la tercera parte queda reflejado el proyecto de innovación. Este
proyecto es totalmente práctico y se basa en el estudio de gráficas y en cómo mejorar
esos gráficos de cara al lector.
2. MARCO TEORICO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE
Para la enseñanza de las Matemáticas existen básicamente dos teorías: teoría
conductista y teoría cognitiva. Cada profesor, en su labor como docente elegirá la que
mas le convenga de tal manera que el estudiante aprenda matemáticas. Pero, ¿qué es el
aprendizaje?
Según Kimble, el aprendizaje es un cambio más o menos permanente de la conducta,
que ocurre como resultado de la práctica. Semejante a esta definición es la que nos
ofrece Good, quien dice que el aprendizaje es un cambio relativamente permanente en la
capacidad de ejecución, adquirida por medio de la experiencia. La única diferencia está
en el tipo de cambio en que consiste el aprendizaje: para Kimble, es un cambio en la
conducta; para Good, el cambio se produce en la capacidad de ejecución.
En estas definiciones se recogen las tres características fundamentales del aprendizaje:
que consiste en un cambio, que debe ser resultado de la experiencia y que debe ser
relativamente permanente.
Veamos ahora las características de la teoría conductista y la teoría cognitiva.
Teoría conductista
La psicología conductista nace en la segunda década del siglo pasado, con Watson, unos
pocos años después de la aparición de la psicología científica. El objeto de la psicología,
para el conductismo, debía ser el estudio de la conducta, la conducta externa y
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Ricardo Luezas Pisón
observable, lo que el organismo hace o dice, y toda la conducta sólo podía ser
comprendida y explicada en términos de “estímulos” y “respuestas”. Para ello, el
método que se propone es la observación externa realizada bajo control experimental.
De acuerdo con este planteamiento, para la psicología conductista toda la actividad
humana se reducía a la conducta, y toda conducta se explica en función de asociaciones
entre estímulos y respuestas.
Dentro del conductismo aparecen distintas explicaciones del aprendizaje, las teorías ER, que coinciden en interpretar el aprendizaje como el resultado de una serie de
conexiones (asociaciones) entre esas dos variables: los estímulos y las respuestas. Para
las teorías E-R, todo aprendizaje se reduce a un proceso de condicionamiento, que se
divide en dos categorías principales: el condicionamiento clásico y el condicionamiento
operante.
•
El condicionamiento clásico (sin reforzamiento) coloca el fundamento del
aprendizaje en la contigüidad entre el estímulo y la respuesta, es decir, el hecho
de que ocurran emparejados el estímulo y la respuesta se considera suficiente
para que se establezca la conexión. Las figuras más representativas, dentro de
este enfoque, son Pavlov y Watson.
•
El condicionamiento operante (con reforzamiento) coloca el fundamento del
aprendizaje en el reforzamiento, y sostienen que el establecimiento del vínculo o
asociación entre el estímulo y la respuesta es función de las consecuencias.
Skinner es la figura más representativa dentro de este enfoque.
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Ricardo Luezas Pisón
Teorías cognitivas
El conductismo mantuvo su fuerza hasta la década de los 60, pero cada vez se iba
haciendo más patente la grave carencia que tenía: había prescindido de la mente.
La psicología cognitiva iba recuperar la mente como protagonista de la actividad
psicológica. Con el conductismo el sujeto era pasivo, pues su única misión era
establecer las conexiones entre los estímulos y las respuestas. Ahora, con la psicología
cognitiva, el papel del sujeto es esencialmente activo, pues es él el que, a partir de la
información que le aportan los receptores sensoriales, construye e interpreta la
información, y el que, mediante unas estructuras y procesos internos, planifica, ejecuta y
controla las respuestas.
La psicología cognitiva:
•
concibe a los individuos como sujetos activos, constructivos y planificadores.
•
estudia la actividad humana desde el enfoque del procesamiento de la
información, los procesos cognitivos constituyen parte esencial de esa actividad.
•
centra su interés en los procesos mentales que subyacen a la actividad humana.
Esta actividad no se puede entender si no es a través de los procesos cognitivos
que subyacen a sus manifestaciones externas.
•
pone el énfasis en el conocimiento más que en las respuestas.
Las explicaciones cognitivas, a diferencia de las conductistas, conceden un papel
primordial en el aprendizaje a los procesos del pensamiento y se preocupan por la forma
en que esos procesos determinan la conducta de los individuos. Si para los defensores
de las teorías E-R lo que los sujetos aprenden son respuesta, “hábitos”, para los
psicólogos cognitivos lo que aprenden son estructuras cognitivas, estrategias para
resolver problemas, modos de procesar la información. Los psicólogos cognitivos
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Ricardo Luezas Pisón
consideran al hombre como un ser activo, iniciador de actividades y de experiencias
exploratorias que le conducen al aprendizaje.
Las explicaciones cognitivas nos van a describir el aprendizaje como un proceso que
implica adquisición o reorganización de estructuras cognoscitivas que permiten al
individuo procesar y almacenar la información. Así el alumno es ya un individuo
cognitivo que adquiere conocimientos o informaciones que el profesor le transmite y
progresa paso a paso hasta dominar la totalidad de los contenidos curriculares. Aquí la
clave es aprender conocimientos. El alumno es más activo, aunque todavía no llegue a
tener el control sobre el proceso del aprendizaje. Pero aparece una nueva concepción, el
constructivismo, que no se limita a recibir los conocimientos del profesor de una
manera pasiva, sino que es él mismo el que los construye utilizando sus experiencias y
conocimientos previos para comprender y asimilar las nuevas informaciones que recibe.
El aprendizaje ahora consiste en la asimilación de conocimientos, pero esa asimilación
no es mecánica. El conocimiento que asimila el alumno no es una copia del
conocimiento que le ofrece el profesor, sino que es una construcción o elaboración que
el alumno realiza activamente relacionando los nuevos contenidos con los
conocimientos o experiencias que previamente posee.
Así, mientras que en las concepciones anteriores, el papel del profesor consistía en
enseñar o transmitir conocimientos, ahora el papel del profesor consiste en ayudar a
aprender.
En el proceso enseñanza-aprendizaje intervienen tres elementos: el profesor (que es la
persona que transmite los conocimientos), el estudiante (que es la persona que recibe los
conocimientos) y el contexto que es lo que se quiere transmitir. Pero en este proceso
aparece un concepto muy importante: la motivación.
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¿Qué es la motivación?
Es un conjunto de procesos o fuerzas implicadas en la actuación, dirección o
persistencia de la conducta.
¿Qué hacer para motivar a nuestros alumnos?
Los profesores ponen en marcha las actividades de aprendizaje escolar, puesta en
marcha que afecta de modo notable al interés y al esfuerzo por aprender. Somos
también quienes facilitamos la experiencia de aprendizaje y la adquisición de modos de
pensar efectivos frente a los retos planteados por las tareas escolares, logros que
dependen del diseño de las mismas, del modo en que interactuamos con nuestros
alumnos y del tipo de interacción que promovemos entre ellos. Finalmente, incidimos
muy directamente en la motivación a través de la evaluación. ¿Cómo debemos actuar en
cada uno de estos momentos para hacer que nuestro alumnado se interese y se esfuerce
por aprender?
•
Despertar la curiosidad del alumno.
•
Mostrar la relevancia específica del contenido o actividad.
Para que los alumnos puedan aprender, lo primero que hay que conseguir es que quieran
aprender, que persigan esta meta. Para ello, lo primero es que aquello que han de
aprender atraiga su curiosidad, que llame su atención, que les mueva a explorar su
entorno, escuchando o indagando activamente. ¿Y qué llama nuestra atención? Lo
novedoso, lo complejo, lo inesperado, lo ambiguo, lo que varía, lo que produce
incertidumbre, lo que encierra un problema…
Pero no basta con que los alumnos quieran aprender para que se interesen por el trabajo
escolar, sino que debe ser acompañado que el aprendizaje sea útil. En consecuencia, es
necesario que los profesores hagan caer en la cuenta a los alumnos de la funcionalidad
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Ricardo Luezas Pisón
explícita de la tarea. Para ello, a veces basta con señalar los objetivos específicos a
conseguir y otras muchas veces no basta con decir para qué sirve aprender algo, sino
que es preciso que los alumnos se den cuenta a través de alguna experiencia que ponga
de manifiesto la utilidad de lo que se pretende enseñar. Para ello es preciso que los
profesores planteen preguntas como por ejemplo:
•
¿Qué pretendo que aprendan mis alumnos?
•
¿Para qué puede ser útil conocer lo que pretendo enseñar?
•
¿Qué situaciones o problemas de los que interesan a mi alumnado tienen que ver
con lo que pretendo enseñar?
•
¿Qué tareas pueden poner de manifiesto la utilidad de saber en esas situaciones
lo que pretendo enseñar?
Otro factor motivacional de primer orden es la interacción personal profesor-alumno a
lo largo de la clase, tanto por su frecuencia como por la diferente naturaleza de los
intercambios que puedan darse.
En concreto, los aspectos del comportamiento del profesor al interactuar con los
alumnos que pueden afectar a la motivación de éstos por aprender son:
•
Su actitud frente a la participación de los alumnos.
•
Los mensajes que les dirige antes, durante y después de las tareas escolares.
•
El modelo de valoración del propio trabajo que ofrece a sus alumnos al actuar
entre ellos.
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Ricardo Luezas Pisón
Actitud ante la participación de los alumnos
El profesor al interactuar con los alumnos debe presentar las siguientes características:
•
Permitir que el sujeto intervenga
•
Escuchar de modo activo.
•
Asentir y hacer eco de sus intervenciones y respuestas.
•
Señalar lo positivo de sus intervenciones aunque sean incompletas.
•
Preguntar por qué se dice algo, especialmente cuando la intervención refleja un
error.
Mensajes del profesor antes, durante y después de una tarea
En general, los mensajes más favorables para crear un clima motivacional positivo son:
•
Antes de las tareas: los que muestran la relevancia intrínseca de los aprendizajes
a conseguir; los que orientan la atención hacia el proceso a seguir, hacia la
detección de dificultades y modos de superarlas; y los que sugieren las
estrategias a emplear y la necesidad de prestar atención a lo que ocurre durante
su aplicación.
•
Durante las tareas: los que sugieren pistas para la planificación, los que ayudan a
establecer submetas realistas, los que sugieren cómo dividir las tareas en pasos y
los que sugieren pistas para ayudar al sujeto a encontrar cómo superar las
dificultades.
•
Después de las tareas: los que ayudan a pensar sobre el proceso seguido, los que
ayudan a utilizar los fracasos como ocasiones para aprender y los que transmiten
confianza en las posibilidades del alumno.
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Modelo de valoración del propio trabajo que se ofrece a los alumnos
El modo en el que interactuamos con los alumnos va más allá de cómo reaccionamos
cuando intentan participar en la clase. Mientras trabajamos, unas veces las cosas nos
salen bien y otras no tan bien. A veces, nos equivocamos ante los alumnos. Otras nos
vemos enfrentados al comentario crítico respecto a nuestro trabajo realizado por alguno
de ellos. En todos estos casos, nuestra forma de reaccionar constituye un modelo de lo
que cuenta para nosotros, con evidente repercusión motivacional. Por ejemplo, no es lo
mismo dar las gracias a un alumno que pone de manifiesto que hemos cometido un error
que mirarles molestos y borrar rápidamente lo escrito en la pizarra. En el primer caso
mostramos que equivocarse es normal, mientras que en el segundo caso ponemos en
evidencia que nos preocupa sobre todo cómo quedamos ante los alumnos.
Modelo de valoración del propio trabajo que se ofrece a los alumnos
El modo en el que interactuamos con los alumnos va más allá de cómo reaccionamos
cuando intentan participar en la clase. Mientras trabajamos, unas veces las cosas nos
salen bien y otras no tan bien. A veces, nos equivocamos ante los alumnos. Otras nos
vemos enfrentados al comentario crítico respecto a nuestro trabajo realizado por alguno
de ellos. En todos estos casos, nuestra forma de reaccionar constituye un modelo de lo
que cuenta para nosotros, con evidente repercusión motivacional. Por ejemplo, no es lo
mismo dar las gracias a un alumno que pone de manifiesto que hemos cometido un error
que mirarles molestos y borrar rápidamente lo escrito en la pizarra. En el primer caso
mostramos que equivocarse es normal, mientras que en el segundo caso ponemos en
evidencia que nos preocupa sobre todo cómo quedamos ante los alumnos.
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Ricardo Luezas Pisón
En este proceso de enseñanza-aprendizaje también hay que tener en cuenta la edad que
tienen nuestros alumnos. En mi caso particular, la unidad didáctica va dirigida a
alumnos con una adolescencia mediana. Por lo tanto es necesario saber las
características que presenta la adolescencia mediana:
Cambios psíquicos
Descubrimiento del yo: se observa y analiza a sí mismo por dentro; profundiza en su
mundo interior, en su intimidad; busca el encuentro consigo mismo.
Se caracteriza por la introspección, el autoconocimiento y la autocomprensión.
Descubre limitaciones personales y el adolescente advierte el contraste entre lo que es y
lo que quiere ser. Coexiste la euforia de sentirse más capaz que antes con el pesimismo
de no conseguir las cotas de autonomía que se había propuesto. Esta es la explicación de
algunas conductas contradictorias y ambivalentes, como inconformismo/conformismo,
independencia/dependencia y apertura/retraimiento.
Pensamiento reflexivo
Implica autoevaluar el pensamiento, comprobar su validez. Es capaz de formular
hipótesis, de contrastarlas con la realidad y deducir consecuencias.
Sentido del deber
La evolución cognitiva favorece la evolución moral. Las normas ya no son vistas como
algo meramente coercitivo, sino como valores que hay que asumir e interiorizar. Esto
hace posible el sentido del deber. Los nuevos valores descubiertos se convierten en
convicciones personales y en móviles del comportamiento.
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Ricardo Luezas Pisón
Respuesta educativa
•
Aceptación tal como es. Entender su situación.
•
Animar a que actúe con sus propias conductas.
•
Valorar esos comportamientos y soluciones. No sustituirle en la toma de
decisiones.
•
Intentar desarrollar situaciones de aprendizaje para que el alumno desarrolle sus
capacidades.
•
Exigir que afronten las consecuencias de sus actos. Acostumbrar a que él tiene
que pensar e informarse antes de decidir.
•
Animar a que participe en situaciones en las que tenga que valerse por sí mismo.
•
Aprender a sustituir la confrontación por el diálogo y la negociación.
3. UNIDAD DIDÁCTICA DE 1º BACHILLER DE CCSS
3.1 CONTEXTO GENERAL
Esta unidad didáctica va dirigida a un grupo formado por alumnos de 1º de Bachiller de
la modalidad de Ciencias Sociales.
El nivel del alumnado es en general medio. Para resaltar tengo que decir que en clase
tenemos un alumno ciego, situado normalmente al final de la clase y que tiene el apoyo
de una profesora especial de la ONCE.
Esta clase pertenece al centro de Educación Secundaria del IES Tomás Mingot, situado
en la zona sur de Logroño. El alumnado de la clase tiene entre 16 y 17 años, cada uno
con sus diferentes intereses y motivaciones.
En el desarrollo de esta unidad, tendremos en cuenta las características psicoevolutivas
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del alumnado que tenemos en nuestra clase.
La unidad didáctica “Análisis estadístico de una variable” es la lección nº 11 y está
enmarcada en el bloque Estadística y Probabilidad. Esta unidad es la 1ª que vamos a dar
en esta 3ª evaluación y con ella comenzamos el último bloque del curso.
La duración para dar esta unidad es de aproximadamente 1 semana y media, es decir, 6
sesiones de 50 minutos. Empezaremos con ella la primera semana de Abril (4 de Abril)
y se terminará hacia el 13 de Abril.
3.2 INTRODUCCIÓN
En cursos anteriores, los alumnos ya han realizado análisis estadísticos de variables,
pero dada la importancia de la estadística en el Bachillerato de Ciencia Sociales,
volveremos a recordar todo el vocabulario básico relativo a esta unidad: carácter
estadístico, variable estadística, medidas de centralización, posición, dispersión …
En la sociedad de la información en la que vivimos resulta imprescindible disponer de
técnicas y conceptos que permitan extraer, de manera fiable y sencilla, información
relevante de diferentes conjuntos de datos: intención de voto ante unas elecciones, horas
diarias trabajadas por la plantilla de una empresa, etc
Mediante la estadística se puede obtener información contenida en una colección de
observaciones a través de resúmenes gráficos, como el diagrama de barras o el
histograma, ó utilizando resúmenes numéricos, como la media, la mediana, la
desviación típica ó el coeficiente de variación.
Este repertorio de técnicas estadísticas, que vas a conocer y a aprender en la presente
unidad, permite estudiar las distintas variables que aparecen en las ciencias sociales y
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Ricardo Luezas Pisón
describir las relaciones entre ellas. Así, en economía se estudia la evolución de los
precios a través del índice de precios al consumo (IPC); en administración de empresas
se evalúa la aceptación que tendría un producto antes de comercializarlo; en sociología
se pretende conocer la opinión de la sociedad sobre asuntos de actualidad …
Como novedad, en esta unidad introducimos técnicas de muestreo, describiendo cuatro
tipos de muestreo, con el fin de que los alumnos se den cuenta de la importancia que
tiene seleccionar una muestra a la hora de hacer un estudio estadístico.
3.3 COMPETENCIAS GENERALES
Las competencias que trabajamos en esta unidad didáctica son las siete siguientes:
1.- En comunicación lingüística.
Porque el alumno/a tiene que ser capaz de emplear el lenguaje estadístico de forma oral
y escrita para formalizar el pensamiento.
2.- Competencia matemática.
Porque el alumno/a tiene que aplicar destrezas de la estadística y desarrollar actitudes
para razonar matemáticamente. También tiene que utilizar el pensamiento matemático
para interpretar y describir la realidad, y para poder actuar sobre ella.
3.- Tratamiento de la información y competencia digital
Porque el alumno/a debe saber manejar herramientas tecnológicas para resolver
problemas de estadística. También tiene que saber utilizar los lenguajes gráficos y
estadísticos para interpretar la realidad representada por los medios de comunicación.
4.- Competencia social y ciudadana
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Ricardo Luezas Pisón
Porque el alumno/a debe saber aplicar el análisis funcional y la estadística para describir
fenómenos sociales, predecir y tomar decisiones. También debe enfocar los errores
cometidos en los procesos de resolución de problemas con espíritu constructivo, con el
fin de valorar los puntos de vista ajenos en un plano de igualdad con los propios.
5.- Competencia para aprender a aprender
Porque el alumno/a debe desarrollar la curiosidad, la concentración, la perseverancia y
la reflexión crítica. También debe ser capaz de comunicar de manera eficaz los
resultados del propio trabajo.
6.- Competencia de autonomía e iniciativa personal
Porque el alumno/a debe aplicar los procesos de resolución de problemas para planificar
estrategias, asumir riesgos y controlar los procesos de toma de decisiones.
3.4 OBJETIVOS GENERALES
Como objetivos generales podemos citar ocho:
1.- Aplicar a situaciones diversas los contenidos matemáticos para analizar, interpretar y
valorar fenómenos sociales, con objeto de comprender los retos que plantea la sociedad
actual.
2.- Adoptar actitudes propias de la actividad matemática como la visión analítica o la
necesidad de verificación. Asumir la precisión como un criterio subordinado al
contexto, las apreciaciones intuitivas como un argumento a contrastar y la apertura a
nuevas ideas como un reto.
3.- Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos,
utilizando tratamientos matemáticos. Expresar e interpretar datos y mensajes,
16
Ricardo Luezas Pisón
argumentando con precisión y rigor y aceptando discrepancias y puntos de vista
diferentes como un factor de enriquecimiento.
4.- Formular hipótesis, diseñar, utilizar y contrastar estrategias diversas para la
resolución de problemas que permitan enfrentarse a situaciones nuevas con autonomía,
eficacia, confianza en sí mismo y creatividad.
5.- Utilizar un discurso racional como método para abordar los problemas: justificar
procedimientos, encadenar una correcta línea argumental, aportar rigor a los
razonamientos y detectar inconsistencias lógicas.
6.- Hacer uso de variados recursos, incluidos los informáticos, en la búsqueda selectiva
y el tratamiento de la información gráfica, estadística y algebraica en sus categorías
financiera, humanística o de otra índole, interpretando con corrección y profundidad los
resultados obtenidos de ese tratamiento.
7.- Adquirir y manejar con fluidez un vocabulario específico de términos y notaciones
matemáticas. Incorporar con naturalidad el lenguaje técnico y gráfico a situaciones
susceptibles de ser tratadas matemáticamente.
8.- Utilizar el conocimiento matemático para interpretar y comprender la realidad,
estableciendo relaciones entre las matemáticas y el entorno social, cultural o económico
y apreciando su lugar, actual e histórico, como parte de nuestra cultura.
3.5 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1.- Identificar y clasificar variables estadísticas.
2.- Recopilar, ordenar y elaborar tablas de datos relativos a una variable estadística.
3.- Utilizar distintos tipos de gráficos para representar los datos obtenidos.
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Ricardo Luezas Pisón
4.- Calcular los parámetros de centralización e interpretar su significado.
5.- Calcular los parámetros de dispersión y de posición e interpretar su significado.
6.- Interpretar de forma crítica las informaciones de carácter estadístico incluidas en
distintos medios de comunicación.
3.6 CONTENIDOS
3.6.1 Conceptos
•
Variables estadísticas. Clasificación.
•
Variables cualitativas. Distribución de frecuencias. Representación gráfica.
•
Variables cuantitativas discretas. Distribución de frecuencias. Representación
gráfica. Frecuencias acumuladas. Tablas y gráficos.
•
Variables cuantitativas continuas. Intervalos y marcas de clase. Distribución de
frecuencias. Representación gráfica. Frecuencias acumuladas. Tablas y gráficos.
•
Medidas de centralización: media, moda y mediana.
•
Medidas de dispersión: rango, desviación media, varianza, desviación típica y
coeficiente de variación.
•
Medidas de posición: mediana, cuartiles, deciles y percentiles.
3.6.2 Procedimientos
•
Definición de distintas variables estadísticas; cualitativas o cuantitativas, para
analizar una población o muestra.
•
Elaboración de tablas de frecuencia.
•
Representación gráfica de variables cualitativas mediante diagramas de sectores,
pictogramas o cartogramas.
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•
Representación gráfica de variables discretas mediante diagramas de barras y
polígonos de frecuencias.
•
Representación gráfica de variables continuas mediante histogramas, polígonos
de frecuencias y pirámides de población.
•
Cálculo de las medidas de centralización de una variable cuantitativa.
•
Cálculo de las medidas de dispersión de una variable cuantitativa.
•
Cálculo de las medidas de posición de una variable estadística cuantitativa.
•
Utilización de la calculadora para cálculos estadísticos.
3.6.3 Actitudes
•
Disposición favorable para el estudio de caracteres estadísticos de una
población.
•
Valoración positiva de la estadística en el estudio de caracteres cuantitativos de
una población o muestra.
•
Elaboración ordenada y clara de tablas de frecuencias y de diagramas.
•
Reconocimiento de la utilidad de la calculadora y de los recursos informáticos
en el estudio de la estadística.
•
Valoración del trabajo en grupo como método eficaz para la recogida de datos y
para efectuar análisis estadísticos.
•
Curiosidad por el estudio y tratamiento estadístico de cuestiones que tengan que
ver con las ciencias sociales.
•
Gusto por la representación gráfica clara y precisa.
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3.7 RECURSOS
•
Recursos metodológicos: enfoque constructivista. La teoría de aprendizaje
constructivista es una herramienta que debe usar el profesor en el proceso
enseñanza-aprendizaje.
•
Recursos materiales: entrega de hojas de ejercicios por el profesor.
•
Utilización de la hoja de cálculo Excel que nos permite hallar los parámetros
estadísticos de una distribución de frecuencias y realizar distintos tipos de
representaciones gráficas.
3.8 METODOLOGÍA
En este apartado se hace referencia a los principios metodológicos que he tenido en
cuenta para la elaboración de esta unidad didáctica y a las estrategias de aprendizaje que
voy a seguir en el aula.
Seguiré un modelo constructivista, ya que da una visión de la educación en la que se
valora lo que hace el alumno para alcanzar los objetivos marcados por medio de la
comprensión y entendiendo en todo momento lo que se está haciendo, consiguiendo de
esta forma que tengamos un aprendizaje significativo.
En el aprendizaje significativo se parte de los conocimientos previos que posee el
alumno y se va dotando al contenido de una lógica que facilite la adquisición por parte
del alumnado, obteniendo así el significado psicológico y lógico que estamos buscando.
También juega un papel muy importante tanto la motivación como la autoestima. El
rendimiento académico está motivado por el nivel de motivación del alumnado y la
autoestima que posea. El nivel de motivación aumenta cuando el alumno percibe la
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Ricardo Luezas Pisón
utilidad de los contenidos que está aprendiendo. La autoestima puede mejorarse
mediante el planteamiento de retos alcanzables y no muy difíciles. En la motivación, el
profesor juega un papel muy importante, ya que tiene que ser capaz de motivar al
alumnado con los contenidos que está mostrando. De esta manera, el alumnado verá
estos contenidos útiles y aprenderá de manera más eficaz.
Por último, decir que hay que ir preparando al alumno de manera que consiga un
aprendizaje significativo de manera más autónoma.
3.8.1 Estrategias de aprendizaje
Las estrategias metodológicas que seguiré en el transcurso de esta unidad didáctica
consistirán en:
•
Para motivar y captar la atención del alumno plantearemos problemas atractivos
y de la vida real con el único objetivo de despertar la curiosidad del alumno.
•
La información será seleccionada del libro de texto de la asignatura, de textos
facilitados por parte del profesorado, y una vez conseguida será adaptada para
que nuestros alumnos aprendan de manera rápida y eficaz.
•
Todos los días se mandarán unos ejercicios para realizar en casa sobre lo
explicado ese día en el aula, con el fin de que el alumno vaya cogiendo
confianza y destreza a la hora de resolver ejercicios.
•
Para interpretar la información estableceremos conexiones entre la nueva
información que se está proporcionando y los conocimientos que posee el
alumno,
mediante
la
traducción,
transformación
e
interpretación
de
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Ricardo Luezas Pisón
informaciones del código verbal al gráfico, del gráfico al verbal …mediante
problemas de la vida real.
•
La información será analizada con el fin de extraer nuevos conocimientos
implícitos en la información con la que se trabaja, lo que implica ejemplificar
modelos, sacar conclusiones de datos diversos, considerar las soluciones
alternativas que pueden tener diversos problemas planteados y las consecuencias
que se siguen de ello.
•
También se propondrán al final de la unidad algún ejercicio sobre la toma de
datos de las personas de su ciudad sobre algún tema en concreto con el fin de
•
que hagan un estudio estadístico completo y su representación gráfica mediante
algún gráfico explicado en clase.
3.9 ACTIVIDADES
Propondremos diversas actividades:
•
Actividades de motivación-introducción
La única finalidad que tienen estas actividades es motivar el interés en los alumnos
y comprobar los conocimientos previos que tienen de esta unidad. De esta manera
las actividades que pongamos tienen que despertar curiosidad entre el alumnado.
•
Actividades de desarrollo
Su principal finalidad es preparar a los alumnos para que alcancen los objetivos
específicos propuestos al principio de la unidad. Estas actividades están
encaminadas al aprendizaje del alumno, a través de ellas se adquiere conocimientos,
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Ricardo Luezas Pisón
destrezas y actitudes nuevas. Al principio se harán actividades con un nivel sencillo,
complicándolas un poquito más a medida que vamos dando más materia.
•
Actividades de refuerzo
Para alumnos en los que se hayan detectado deficiencias en el proceso de
enseñanza-aprendizaje.
•
Actividades de ampliación
Permiten a algunos alumnos seguir construyendo conocimientos nuevos. Se
emplean para aumentar los conocimientos en niños que hayan alcanzado los
objetivos didácticos propuestos al principio de la unidad.
•
Actividades de evaluación
Tienen como finalidad valorar el grado de consecución de los objetivos didácticos.
•
Actividades de recuperación
Va dirigido exclusivamente para los alumnos que no hayan alcanzado los objetivos
didácticos, porque tienen un ritmo de aprendizaje más lento ó por cualquier otra
circunstancia.
3.10 EVALUACIÓN
La evaluación es un proceso sistemático y riguroso de recogida de datos, incorporado al
proceso educativo desde su comienzo, de manera que sea posible disponer de
información continua y significativa para conocer la situación, formar juicio de valor
con respecto a ella y tomar las decisiones adecuadas para proseguir la actividad
educativa mejorándola progresivamente.
23
Ricardo Luezas Pisón
Los criterios de evaluación se han seleccionado teniendo en cuenta los objetivos
didácticos, lo que se puede observar en la siguiente tabla:
OBJETIVOS DIDÁCTICOS
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
1.- Identificar y clasificar variables
A. Clasificar y definir variables
estadísticas.
estadísticas de los distintos tipos:
cualitativas, cuantitativas discretas y
cuantitativas continuas.
2.- Recopilar, ordenar y elaborar tablas de
B. Elaborar tablas de frecuencias de un
datos relativos a una variable estadística.
conjunto de datos agrupados o no
agrupados.
3.- Utilizar distintos tipos de gráficos para
C. Elaborar e interpretar gráficos
representar los datos obtenidos.
estadísticos, correspondientes a
distribuciones cualitativas o cuantitativas,
discretas o continuas.
4.- Calcular los parámetros de
D. Calcular la media, moda y mediana de
centralización e interpretar su significado.
una serie de datos correspondientes a una
variable estadística unidimensional.
5.- Calcular los parámetros de dispersión
E. Calcular la desviación media, el rango,
y de posición e interpretar su significado.
varianza y la desviación típica de una
serie de datos correspondientes a una
variable estadística unidimensional y
determinar la mediana, cuarteles, deciles y
24
Ricardo Luezas Pisón
percentiles de una distribución estadística.
6.- Interpretar de forma crítica las
G. Comparar dos series de datos,
informaciones de carácter estadístico
correspondientes a una misma variable
incluidas en distintos medios de
estadística, en función de sus parámetros
comunicación.
de centralización y dispersión.
Para que los alumnos alcancen los objetivos establecidos anteriormente y teniendo en
cuenta los criterios de evaluación, la evaluación que seguiré será la siguiente:
Evaluación inicial
Les haré una pequeña prueba de carácter solo informativo, con el objetivo de ver los
conocimientos que poseen sobre la estadística.
En esta prueba tendrán que saber diferenciar entre variables cualitativas y cuantitativas,
ver si saben representar datos mediante diagrama de barras … de esta manera veremos
los conocimientos que tienen nuestros alumnos y a partir de los resultados obtenidos, se
adaptará la unidad didáctica a las necesidades del alumno.
Evaluación continua
Esta evaluación nos permitirá cambiar sobre la marcha elementos de la unidad teniendo
en cuenta la situación concreta del aprendizaje de nuestros alumnos.
A lo largo de las sesiones evaluaremos a nuestros alumnos los ejercicios realizados
tanto en casa como en el aula. Su puntuación será del 15% de la nota final.
25
Ricardo Luezas Pisón
También realizaremos en clase trabajos en grupos y actividades, muchas de esas veces
haremos debates sobre lo trabajado en los grupos. Estas actividades tienen un valor del
15% sobre la nota final.
Evaluación final
Consistirá en un examen final al acabar la unidad didáctica para comprobar si se
superan los conocimientos marcados al principio de la unidad. La media de todos los
exámenes valdrá el 70% de la nota final de evaluación. Para poder hacer la media,
ningún examen puede estar por debajo de 2 puntos.
3.11 ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD
Todos los alumnos entran en este apartado ya que cada uno de ellos es diferente. Todos
los alumnos tienen características, intereses, motivaciones y ritmos de aprendizaje
diferentes. Así, la principal medida de atención a la diversidad la constituyen las
actividades de refuerzo (para alumnos con un ritmo de aprendizaje más lento) y las de
ampliación (alumnos que han alcanzado los objetivos y que tienen un ritmo de
aprendizaje más rápido). Estas actividades se adjuntan en los anexos de la memoria de
prácticas.
Pero en esta clase, contamos con un alumno ciego. Este alumno, es repetidor y tiene una
buena base en Matemáticas. Está situado al final de la clase y cuenta 3 días semanales
con un apoyo especial de una profesora de la ONCE. Él cuenta con el libro de texto de
matemáticas traducido a braille y con una máquina de escribir donde él escribe en
braille.
26
Ricardo Luezas Pisón
Debido a su presencia en el aula, el/la profesor/profesora está obligada a realizar ciertas
modificaciones organizativo-didácticas que pueden resumirse en los siguientes puntos:
-
Ha de atender, en cada momento, al ritmo con que el alumno realiza las
diferentes tareas escolares.
-
Ha de permitir la instalación en el aula de instrumentos y material didáctico
específicos (máquina de escribir en braille).
-
Ha de verbalizar todo lo que escriba en la pizarra.
-
Ha de reiterarle la presentación de información.
-
Ha de ser flexible en la elección de los sistemas de evaluación.
-
Ha de animar al alumno a la participación en clase y a la interacción con sus
compañeros.
-
Ha de considerar al profesor de apoyo como un elemento esencial dentro y fuera
del aula, con el que ha de cooperar y coordinarse continuamente.
Al final de la memoria de prácticas, he añadido dos tablas estadísticas para ver como
trabaja este alumno en clase. En realidad es una sola tabla, lo único que una esta
dividida en dos para que la pueda meter en su máquina y pueda rellenarla. La otra tabla
es para que él la pueda visualizar, y tener una idea general de lo que va hacer.
Encima de la hoja, he puesto lo que quiere decir en castellano, para ver la dificultad que
se encuentra el alumno nada más que recibe la tabla y todas las operaciones que tiene
que hacer para resolverla.
27
Ricardo Luezas Pisón
3.12 SESIONES PARA LA UNIDAD DIDÁCTICA
En este anexo se van a secuenciar las actividades por sesiones de acuerdo con los
objetivos específicos:
1ª SESIÓN
OBJETIVOS
•
Comprobar sus conocimientos previos con una prueba de nivel.
En esta primera sesión, comprobaré el nivel que tienen los alumnos sobre esta unidad
mediante una pequeña prueba escrita. Una vez obtenidos los resultados, se adaptará la
unidad didáctica a las necesidades de nuestros alumnos.
1.- Las notas finales de Matemáticas de los alumnos de un grupo de 4º ESO han sido:
6
7
5
5
2
4
9
7
8
3
5
7
6
8
5
9
7
3
8
4
10
7
6
a) Ordena dichos datos y represéntalos gráficamente utilizando un diagrama de
barras y un polígono de frecuencias.
b) Calcula la moda, la mediana y la media.
c) Calcula la varianza, s 2 , y la desviación típica, s .
d) ¿Qué porcentaje de alumnos aprueban?
2.- La nota media de un alumno de Matemáticas, teniendo en cuenta las notas de los
primeros cinco exámenes, es 6,6. ¿Qué nota ha obtenido en el sexto examen si con él la
nota media ha subido hasta 7?
3.- El número de espectadores de cierta sala de cine durante los 25 primeros días del
mes de diciembre ha sido el siguiente:
28
Ricardo Luezas Pisón
152
156
145
153
140
138
152
135
157
130
156
128
147
128
150
145
120
144
112
110
144
110
150
143
142
a) Ordena los datos anteriores en una tabla agrupándolos en intervalos de clase.
Representa dichos datos mediante un histograma y un polígono de frecuencias.
b) Calcula el intervalo modal y el intervalo mediano.
c) Calcula la media y la desviación típica de esta distribución.
2ª SESIÓN
OBJETIVOS
•
Identificar y clasificar variables estadísticas.
•
Utilizar distintos tipos de gráficos para representar los datos obtenidos.
•
Recopilar, ordenar y elaborar tablas de datos relativos a una variable estadística.
En esta segunda sesión, la mitad de la clase será teórica y la otra mitad será práctica,
poniendo algún ejemplo y resolviendo algún ejercicio de manera que quede clara la
teoría explicada.
Primero veamos la diferencia entre “población” y “muestra”.
Población: conjunto de todos los elementos que cumplen una determinada característica.
Muestra: cualquier subconjunto de la población.
Ejemplo: Para las próximas elecciones generales, un partido político ha encargado a una
empresa que realice un estudio sobre intención de voto a su partido en todo el territorio
nacional. El conjunto de todos los ciudadanos con derecho a voto se llama población,
29
Ricardo Luezas Pisón
pero como no es posible realizar el estudio con todos los ciudadanos, la empresa ha
seleccionado, al azar, en cada provincia una serie de personas a las que se ha preguntado
sobre sus preferencias políticas. El conjunto formado por estas personas seleccionadas
se llama muestra.
A continuación veamos los dos tipos de variables que hay: cuantitativas y cualitativas.
Cualitativas: son aquellas que no se pueden medir.
Ej: deporte practicado.
Su representación gráfica suele ser mediante un diagrama de barras y mediante un
diagrama de sectores.
Cuantitativas: son aquellas que se pueden medir. Hay dos tipos:
•
Discreta: puede tomar un número finito de valores ó infinito numerable. Su
representación gráfica se suele hacer con un diagrama de barras ó con un
polígono de frecuencias. Ej: número de coches que pasan una aduana a lo largo
de un día.
• Continua: puede tomar cualquier valor en un intervalo de la recta real. Su
representación gráfica se hace mediante un histograma ó con un polígono de
frecuencias. Ej: altura en centímetros de las personas de una clase.
También hay que introducir algún concepto nuevo como:
f i (Frecuencia absoluta): número de veces que aparece cada modalidad.
N (Número de datos)
hi (Frecuencia relativa): proporción de datos en cada modalidad de la variable.
30
Ricardo Luezas Pisón
hi =
fi
N
Fi : Distribución de las frecuencias absolutas acumuladas.
H i : Distribución de las frecuencias relativas acumuladas.
También se pondrá algún ejemplo en la pizarra para aclarar los conceptos definidos
hasta el momento.
Ejemplo
Se ha preguntado a los alumnos de una clase por el número de hermanos que tienen.
Haz una tabla con los datos obtenidos y representa los datos mediante un diagrama de
barras.
xi
fi
Fi
hi
Hi
0
4
4
0,118
0,118
1
14
18
0,412
0,53
2
7
25
0,206
0,736
3
5
30
0,147
0,883
4
3
33
0,088
0,971
5
1
34
0,029
1
TOTAL
34
1
31
Ricardo Luezas Pisón
Diagrama de barras
16
frecuencia absoluta
14
12
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
nº de hermanos
Ejemplo:
En un centro de enseñanza, los alumnos de 1º de Bachillerato han dado a conocer, a
través de una encuesta, sus preferencias a la hora de practicar un deporte. Las
modalidades que ha ofrecido el centro son: fútbol, baloncesto, yudo, gimnasia rítmica y
balonmano. Haz una tabla con los datos obtenidos y representa los datos mediante un
diagrama de barras y un diagrama de sectores.
Modalidades
fi
Fi
hi
Hi
Fútbol
42
42
0,323
0,323
Baloncesto
28
70
0,215
0,538
Yudo
9
79
0,069
0,607
Gimnasia
rítmica
11
90
0,085
0,692
32
Ricardo Luezas Pisón
Voleibol
16
106
0,123
0,815
Balonmano
24
130
0,185
1
TOTAL
130
1
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Ba
lo
nm
an
o
Vo
le
ib
ol
Yu
do
G
im
na
si
a
rít
m
ic
a
Ba
lo
nc
es
to
Serie1
Fú
tb
ol
F.absolutas
Diagrama de barras
Deportes
33
Ricardo Luezas Pisón
18%
33%
12%
8%
Fútbol
Baloncesto
7%
22%
Yudo
Gimnasia rítmica
Voleibol
Balonmano
Ejercicios propuestos
1.- El número de centros de salud en 20 ciudades es:
2
4
2
5
5
4
6
8
6
8
3
5
3
4
5
5
8
4
5
4
a) Construye la tabla de distribución de frecuencias de estos datos.
b) Representa el diagrama de barras de las frecuencias absolutas.
c) Representa el polígono de frecuencias absolutas acumuladas.
2.- Los siguientes datos representan las alturas, en cm, de 20 personas:
165
171
154
165
149
159
151
171
191
163
173
193
176
152
188
169
171
184
152
183
a) Construye una tabla de distribución de frecuencias, agrupando los datos en
intervalos de amplitud 10.
34
Ricardo Luezas Pisón
b) Representa el histograma de frecuencias absolutas.
c) Representa el polígono de frecuencias absolutas acumuladas.
3ª SESIÓN
OBJETIVOS
•
Calcular los parámetros de centralización e interpretar su significado.
•
Recopilar, ordenar y elaborar tablas de datos relativos a una variable estadística.
En esta sesión se explicarán las medidas de centralización y se harán ejemplos para
poner en práctica lo explicado.
Se llama medidas de centralización a los parámetros que indican el valor hacia el que
tienden a situarse los datos de la distribución.
Las medidas de centralización más importantes son: de tamaño, la media aritmética; de
frecuencia, la moda, y de posición, la mediana.
Media aritmética
Se llama media aritmética de una variable estadística al cociente entre la suma de
todos los valores de la misma y el número de estos. La media aritmética se representa
por x .
Si X es una variable estadística que toma los valores x1 , x 2 ,..., x n , con frecuencias
absolutas f 1 , f 2 ,..., f n , respectivamente, la media aritmética de la variable X viene
dada por la siguiente expresión:
35
Ricardo Luezas Pisón
n
x f + x 2 f 2 + ... + x n f n
x = 1 1
=
f1 + f 2 + ... + f n
∑x
n
i
i =1
n
∑f
∑x
fi
=
i
fi
i =1
N
i
i =1
Si la variable X es continua, o aun siendo discreta, y por tratarse de muchos datos, estos
se encuentran agrupados en clases, se toman como valores x1 , x 2 ,..., x n , las marcas de
clase.
Moda
Se llama moda de una variable estadística al valor de la variable que presenta mayor
frecuencia absoluta. La moda se representa por M o .
Si los datos aparecen agrupados en clases, se toma como valor aproximado de la moda
la marca de clase de la clase modal.
La moda no es necesariamente única, puede ocurrir que haya dos ó más datos con
mayor frecuencia absoluta. Si la distribución solo tiene una moda, se dice que es
unimodal; si tiene dos, se llama bimodal; si tiene tres, trimodal, etc
Mediana
Se llama mediana de una variable estadística al valor de la variable, tal que el número
de observaciones menores que él es igual al número de observaciones mayores que él.
La mediana de una variable se representa por M .
Si el número de datos de la distribución es impar, la mediana es el valor central. Si, por
el contrario, el número de datos de la distribución es par, la mediana es la media de los
dos valores centrales.
La mediana depende del orden de los datos, y no del valor de estos.
36
Ricardo Luezas Pisón
Ejemplo (utilizamos el mismo ejemplo que en la 2ª sesión)
El número de hermanos de los alumnos de una clase viene dado por la siguiente tabla:
xi
fi
0
4
1
14
2
7
3
5
4
3
5
1
TOTAL
34
a) Calcula la media aritmética y la moda.
b) Halla la mediana.
Para calcular la media, se completa la tabla con la columna xi f i .
Como también hay que hallar la mediana, se añade a la tabla de frecuencias la columna
con las frecuencias absolutas acumuladas:
xi
fi
Fi
xi f i
0
4
4
0
1
14
18
14
2
7
25
14
3
5
30
15
4
3
33
12
5
1
34
5
37
Ricardo Luezas Pisón
TOTAL
34
60
n
∑x
a) x =
i
fi
i =1
=
N
60
= 1,76 hermanos
34
M o = 1 hermano. Se trata de una distribución unimodal.
c) Como el número de datos es 34, la mitad es 17.
Observando la tabla, se deduce que M =1 hermano.
Ejercicios propuestos
1.- El tiempo, en segundos, que tardan en conectarse los usuarios de una determinada
página web a lo largo de un día viene dado por la siguiente tabla:
Tiempo en
segundos
[0,30)
[30,60)
[60,90)
[90,120)
[120,150)
[150,180)
Nº de
usuarios
3
7
10
9
8
3
a) Halla la media aritmética y la moda
b) Calcula la mediana
2.- El número de centros de salud en 20 ciudades es:
2
4
2
5
5
4
6
8
6
8
3
5
3
4
5
5
8
4
5
4
a) Calcula la media aritmética
b) Halla la moda.
38
Ricardo Luezas Pisón
4ª SESIÓN
OBJETIVOS
•
Calcular los parámetros de dispersión y de posición e interpretar su significado.
•
Recopilar, ordenar y elaborar tablas de datos relativos a una variable estadística.
En esta sesión explicaremos las medidas de dispersión y las medidas de posición y
luego haremos algún ejemplo para poner en práctica toda la teoría.
Empezaremos mostrando un ejemplo para mostrar la importancia que tienen las
medidas de dispersión.
Ejemplo
Los siguientes datos representan los días de lluvia en varios meses consecutivos en dos
ciudades.
Ciudad A: 16, 17, 17, 15, 18, 20, 15, 16
Ciudad B: 12, 23, 2, 8, 16, 15, 28, 30
Calculando la media en ambas distribuciones resulta ser la misma, x A = x B = 16,75 ;
pero los conjuntos son muy distintos entre sí.
La media no es suficiente para describir este conjunto de datos. Conviene utilizar otros
valores que reflejen la dispersión de los datos alrededor de la media.
Los parámetros que miden esta dispersión se llaman medidas de dispersión, y las más
importantes son: el rango o recorrido, la desviación media, la varianza, la desviación
típica y el coeficiente de variación.
39
Ricardo Luezas Pisón
Rango o recorrido
Se llama rango o recorrido de una distribución a la diferencia entre el mayor y el
menor valor de la variable estadística. Se representa por R.
Desviación media
Una manera de medir la dispersión de los datos respecto a la media es considerar los
valores absolutos de las desviaciones respecto a la media, lo que da lugar a la
desviación media.
Se llama desviación media a la media aritmética de los valores absolutos de las
desviaciones respecto a la media. La desviación media se representa por D X .
n
DX =
f 1 x1 − x + f 2 x 2 − x + ... + f n x n − x
f 1 + f 2 + ... + f n
∑f
=
i
xi − x
i =1
N
Varianza
Si para medir la dispersión de los datos alrededor de la media se consideran los
cuadrados de las desviaciones respecto a la media, se obtiene la varianza.
Se llama varianza de una variable a la media aritmética de los cuadrados de las
desviaciones respecto a la media. Se representa por s 2 .
n
f ( x − x ) + f 2 ( x 2 − x ) + ... + f n ( x n − x )
s2 = 1 1
=
f 1 + f 2 + ... + f n
2
2
2
∑
2
n
f i (xi − x )
i =1
i =1
i
=
n
∑f
∑fx
i
i =1
n
∑f
2
i
− x2
i
i =1
40
Ricardo Luezas Pisón
Desviación típica
Un inconveniente de la varianza es que no tiene las mismas unidades que los datos. Por
ello resulta conveniente definir una nueva medida de dispersión con las mismas
unidades que los datos.
Se llama desviación típica de una variable a la raíz cuadrada positiva de la varianza. Se
representa por s .
Coeficiente de variación
La desviación típica, al depender de las unidades de las observaciones, no permite
comparar la variabilidad de colecciones de datos con distintas unidades. Para evitar este
problema se define una medida de dispersión, el coeficiente de variación, que permite
comparar datos de distinta magnitud.
Se llama coeficiente de variación, y se representa por CV, al cociente entre la
desviación típica y la media aritmética.
CV =
s
x
A continuación, hacemos un ejemplo para poner en práctica toda la teoría anterior.
41
Ricardo Luezas Pisón
Ejemplo
En un gabinete de psicología infantil se ha efectuado una prueba de madurez
psicomotora a un conjunto de niños y niñas, y se han obtenido los resultados dados por
la siguiente tabla:
Puntuaciones
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
Nº de niños/as
4
15
22
45
23
14
3
a) Halla el rango
b) Halla la desviación media.
c) Calcula la varianza y la desviación típica.
d) Halla el coeficiente de variación.
Para calcular todos los parámetros requeridos se construye la siguiente tabla. Es
importante observar que, aunque en el problema no se pida hallar la media, es necesario
saber su valor para los cálculos posteriores.
Puntuaciones
xi
fi
xi f i
xi2 f i
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
TOTAL
5
15
25
35
45
55
65
4
15
22
45
23
14
3
126
20
225
550
1575
1035
770
195
4370
100
3375
13750
55125
46575
42350
12675
173950
xi − x
29,68
19,68
9,68
0,32
10,32
20,32
30,32
f i xi − x
118,72
295,20
212,96
14,40
237,36
284,48
90,96
1254,08
42
Ricardo Luezas Pisón
x=
4370
= 34,68
126
a) R = 70 − 0 = 70
n
∑f
xi − x
i
i =1
b) D X =
N
=
1254,08
= 9,95
126
n
∑fx
2
i i
c) s 2 =
i =1
n
∑f
− x2 =
173950
− 34,68 2 = 177,853
126
i
i =1
s = 177,645 = 13,34
d) CV =
s 13,34
=
= 0,38
x 34,68
MEDIDAS DE POSICIÓN
La mediana de una distribución es el valor que divide los datos en dos partes iguales,
dejando el 50% de los datos a su izquierda y el otro 50% a su derecha.
En ocasiones interesa estudiar otros parámetros, llamados cuartiles, que dividen los
datos de la distribución en función de otras cuantías.
43
Ricardo Luezas Pisón
Cuartiles
Se llama cuartiles a los tres valores que dividen la serie de datos en cuatro partes
iguales. Se representan por Q1 , Q2 y Q3 .
El primer cuartil, Q1 , deja por debajo el 25% de los datos de la distribución.
El segundo cuartil, Q2 , coincide con la mediana.
El tercer cuartil, Q3 , deja por debajo el 75% de los datos de la distribución.
En ocasiones se utiliza el rango intercuartílico para evitar el problema de los valores
extremos: RI = Q3 − Q1 .
Deciles
Se llaman deciles a nueve valores que dividen la serie de datos en 10 partes iguales. Se
designan por D1 , D2 , … , D9 y se llaman decil primero, segundo, … , noveno,
respectivamente.
Percentiles
Se llaman percentiles a 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.
Se designan por P1 , P2 , … , P99 , y se llaman percentil primero, segundo, … ,
nonagésimo noveno, respectivamente.
Hacemos un ejemplo para poner en práctica las medidas de posición.
44
Ricardo Luezas Pisón
Ejemplo
Sea la variable X cuya distribución de frecuencia es:
xi
2
4
6
8
10
fi
2
3
4
1
5
a) Halla los cuartiles primero y tercero.
b) Halla los deciles 3 y 7.
c) Halla los percentiles P10 y P90 .
a)
N 15
=
= 3,75 ⇒ Q1 = 4
4
4
3 N 45
=
= 11,25 ⇒ Q3 = 10
4
4
b)
3 N 45
=
= 4,5 ⇒ D3 = 4
10 10
7 N 105
=
= 10,5 ⇒ D7 = 10
10
10
c)
10 N 150
=
= 1,5 ⇒ P10 = 2
100 100
90 N 1350
=
= 13,5 ⇒ P90 = 10
100
100
Ejercicios propuestos
1.- Las edades de un grupo de 19 personas aparecen en la siguiente tabla:
Edad
Nº de personas
14
3
15
1
17
2
18
3
19
5
20
3
21
2
a) Halla la media, la moda y la mediana.
b) Halla el rango, la varianza y la desviación típica.
c) ¿Cuántos años tiene la persona de mayor edad, de entre las que se encuentran en
el 40% de las personas con menor edad?
2.- Una oficina bancaria ha tabulado las cantidades de dinero que retiran de sus cuentas
100 clientes en un determinado día.
45
Ricardo Luezas Pisón
Euros
Clientes
[0,120)
33
[120,240)
27
[240,360)
19
[360,480)
14
[480,600)
7
Halla:
a) La cantidad media de dinero retirado por cliente.
b) ¿Qué porcentaje de clientes retiraron fondos por encima de la mediana?
c) Halla los cuartiles Q1 , Q2 y Q3 .
5ª SESIÓN
OBJETIVOS
•
Recopilar, ordenar y elaborar tablas de datos relativos a una variable estadística.
•
Interpretar de forma crítica las informaciones de carácter estadístico incluidas en
distintos medios de comunicación.
Esta sesión está exclusivamente dedicada a la resolución de ejercicios por parte del
alumno. De esta manera se propondrán varios ejercicios y el alumno los hará,
preguntando cualquier duda que puedan tener al profesor. Algunos de los ejercicios
propuestos serán sacados de algún medio de comunicación. En esta sesión se dará por
acabada la unidad, quedando únicamente por hacer el examen correspondiente a esta
unidad.
46
Ricardo Luezas Pisón
Ejercicios propuestos
1.- Un dentista observa el número de caries de cada uno de los 100 niños de un colegio.
La información resumida aparece en la siguiente tabla:
Nº de caries
0
1
2
3
4
F. absoluta
25
20
x
15
y
F. relativa
0,25
0,20
z
0,15
0,05
a) Completa la tabla obteniendo los valores x , y y z .
b) Dibuja un diagrama de sectores.
c) Realiza un diagrama de barras.
d) Calcula el número medio de caries.
e) Calcula los cuartiles.
2.- En una encuesta sobre tráfico se ha preguntado a 1000 conductores sobre el número
de multas recibidas que ha sido mayor o igual a cero y menor o igual a 5. Al efectuar la
tabla correspondiente, algún número ha desaparecido, por lo que disponemos de la
siguiente información:
Nº de conductores
0
Nº de multas
260
1
150
2
190
3
100
4
90
5
Halla:
a) La media.
b) La mediana.
c) La moda.
d) La desviación típica.
47
Ricardo Luezas Pisón
e) Los cuartiles primero y tercero.
f) El rango intercuartílico.
3.- La tabla adjunta muestra el presupuesto dedicado a acción social de varios
municipios de La Rioja:
Presupuesto (en miles de euros)
[0,30)
[30,60)
[60,90)
[90,120)
[120,150)
[150,180)
Nº de municipios
8
12
19
21
14
6
a) Representa gráficamente la distribución mediante un histograma y su polígono
de frecuencias.
b) Halla la mediana e interpreta este parámetro.
c) Calcula la media.
d) ¿Cuál es la proporción de municipios que dedican a acción social más de 30000
euros y menos de 150000?
4.- Al estudiar la distribución de la edad en una población se obtuvieron los resultados
siguientes:
[0, 20)
Edad (en años)
Nº de individuos 15
[20, 40)
[40, 60)
15
[60, 80)
16
Como se ve, se ha extraviado el dato correspondiente al intervalo [20, 40).
a) ¿Cuál será el valor de este dato si la media es de 35 años?
b) ¿Cuál será el valor de este dato si la mediana es de 30 años?
c) ¿Cuál será la desviación típica si el dato es 16?
48
Ricardo Luezas Pisón
6ª SESIÓN
OBJETIVOS
•
Evaluación de los alumnos mediante un examen.
En esta sesión se evaluará los conocimientos del alumno mediante un examen por
escrito.
EXAMEN
1.- Para hacer un estudio sobre las características de los alumnos matriculados en 1º de
Bachillerato se consideran, entre otras, las siguientes variables estadísticas: sexo, talla,
peso, color de pelo, grupo sanguíneo, pulsaciones en reposo, nº de hermanos. Clasifica
las variables anteriores según sean cualitativas o cuantitativas, y estas últimas según
sean discretas o continuas.
2.- La nota media de los aprobados en un examen de Matemáticas ha sido 6,8 y la de los
suspensos 3,5. Calcula la nota media de la clase completa sabiendo que hubo 35
aprobados y 15 suspensos.
3.- La siguiente tabla muestra la distancia en kilómetros que recorren 50 personas para
desplazarse a su lugar de vacaciones.
Km
Personas
[0,100)
2
[100,200)
5
[200,300)
10
[300,400)
17
[400,500)
11
[500,600)
5
¿A partir de qué datos se encuentran el 60% de las personas que recorren más
kilómetros?
49
Ricardo Luezas Pisón
4.- Dos distribuciones estadísticas A y B tienen la misma desviación típica.
a) Si la media de A es mayor que la de B, ¿cuál tiene mayor coeficiente de
variación?
b) Si la media de A es doble que la de B, ¿cómo serán sus coeficientes de
variación?
5.- La tabla adjunta muestra las faltas de asistencia de un grupo de 28 alumnos durante
un mes.
Nº de
0
faltas
Alumnos 10
1
2
3
4
6
8
15
21
6
3
2
2
2
1
1
1
a) Calcula el rango y la desviación media.
b) Calcula la varianza y la desviación típica.
3.13 ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN
1.- Eligiendo tres números al azar entre el 0 y el 9, se forma un número de tres cifras. Si
la media de las tres cifras es 5, y su moda, 7, ¿cuál es el mayor número que se puede
formar de esta manera?
2.- Demuestra que las dos expresiones siguientes de la varianza son iguales.
n
s2 =
∑
2
n
f i ( xi − x )
i =1
i =1
i
=
n
∑f
∑fx
i
i =1
n
∑f
2
i
− x2
i
i =1
3.- En estadística unidimensional se dice que un valor x está alejado cuando se
encuentra situado a la derecha del tercer cuartil más 1,5 veces el rango intercuartílico, o
50
Ricardo Luezas Pisón
cuando está situado a la izquierda del primer cuartil menos 1,5 veces el rango
intercuartílico.
Es decir, x está alejado si:
x > Q3 + 1,5(Q3 − Q1 ) o bien x < Q1 − 1,5(Q3 − Q1 )
Para los siguientes conjuntos de datos, averigua si existe un valor alejado.
a) 30, 31, 31, 33, 34, 36, 37
b) 11, 78, 79, 81, 82, 83, 160
4.- Se denomina sesgo la menor o mayor simetría de una distribución. El coeficiente de
sesgo viene dado por la expresión v =
x − Mo
.
s
Dada la distribución definida por la siguiente tabla estadística:
xi
6
7
8
9
10
11
12
13
fi
1
2
3
4
7
15
13
4
a) Halla el coeficiente de sesgo.
b) Representa el polígono de frecuencias. ¿Qué observas?
51
Ricardo Luezas Pisón
4. TRABAJO DE INNOVACIÓN
4.1 INTRODUCCIÓN
En los últimos años, en el área de la educación, debido a que la mayoría del alumnado
presenta una desmotivación hacia los estudios, no se si es debido a que no les gusta
estudiar ó a que el profesor no está preparado para enseñar a los alumnos se está
inculcando al profesorado que hay que innovar lo que enseñan.
Casi siempre el profesor da una clase magistral ante sus alumnos, es decir: él llega a
clase, explica lo que toca ese día y se va. En este proceso, el profesor es el actor
principal y los alumnos son meros espectadores de las explicaciones del profesor.
Este tipo de enseñanza es fácil por parte del profesor, pero a los alumnos les causa en la
mayor parte desmotivación, por eso se debe introducir en las aulas la innovación.
Pero, ¿qué es innovar?
Etimológicamente se puede hablar de innovar como la introducción de algo nuevo y
diferente, pero este significado deja la posibilidad de que ese “algo nuevo” sea o no
motivo de una mejora; ya que tan nuevo sería un método que facilita la mejora de la
comprensión lectora, como uno que la inhibe. Sin embargo, cualquier innovación
introduce novedades que provocan cambios; esos cambios pueden ser drásticos o
progresivos. Normalmente, el cambio siempre mejora lo cambiado; es decir, la
innovación sirve para mejorar algo. La mejora puede ser reducir el esfuerzo, reducir el
coste, aumentar la rapidez en obtener resultados, aumentar la calidad, satisfacer nuevas
demandas …
52
Ricardo Luezas Pisón
Para finalizar con esta pequeña introducción se puede decir que la importancia de la
innovación en los contextos del área educativa llevada a cabo por los profesores parece
ya fuera de toda duda, así como la necesidad de desarrollar competencias para esta labor
tanto en los procesos de formación inicial como en los permanentes.
4.2 CONTEXTUALIZACIÓN
Particularmente en mi caso que voy hacer el trabajo de innovación para la unidad
didáctica “Análisis estadístico de una variable” me parece que es aconsejable hacer
alguna innovación en el aula ya que tanto en los periódicos como en los medios de
comunicación estamos acostumbrados a oír y a ver multitud de cifras estadísticas y
muchas veces nos creemos toda la información que nos dan.
Sabemos que a pesar de la gran utilidad que tiene la estadística en el mundo profesional,
suele tener poco protagonismo en la enseñanza secundaria (suele estar incluida al final
del libro y muchas veces si no da tiempo a ver la materia de todo el libro, es ésta la que
se queda sin impartir).
Otro grave problema, es que la mayoría de las veces se enseñan persiguiendo
únicamente objetivos de conocimientos: es decir, se pretende que los estudiantes se
aprendan cómo se construyen determinados gráficos, que sepan calcular el coeficiente
de correlación…otra cosa es que esos conocimientos que has aprendido sirvan para algo
ó únicamente para utilizarlos en el examen y luego queden olvidados, dejando la
sensación de “esto no es lo mío” o “que difíciles son las matemáticas”.
53
Ricardo Luezas Pisón
En mi opinión creo que cuando se estudia estadística, los objetivos no sólo deben estar
orientados a los conocimientos sino que se debe crear una actitud positiva hacia esta
materia. En realidad, la estadística es una herramienta que sirve para conocer mejor la
realidad que nos rodea y esto se realiza a través de un análisis de datos que reflejen de
forma objetiva aquello que se desea conocer.
Una forma de despertar el interés de los alumnos es presentar casos prácticos que
atraigan su atención. De esta manera será más fácil sacar las ideas y los conceptos que
se quieren transmitir.
4.3 ENFOQUE
En este trabajo de innovación voy a seguir un enfoque constructivista. En general, yo
pienso que el enfoque constructivista es el que hay que seguir, pero en mi caso que voy
hacer la innovación de estadística y es meramente practica es todavía más conveniente
seguir este enfoque ya que el profesor sería el guía de las actividades y los alumnos
serían los protagonistas principales y de esta manera aprenderían más.
Como va dirigido a alumnos de 1º Bachiller y ya tienen una mínima base de estadística,
se podrá trabajar con ellos de manera óptima. Mi objetivo no es que sólo sepan aplicar
las formulas para calcular la media, moda, mediana … de manera mecánica, sino que
todos estos conceptos los llevemos a la vida diaria y sean críticos con las informaciones
que puedan leer o escuchar y sepan diferenciar perfectamente cuando se les manipula
información.
Por lo tanto, nos preguntaremos ¿Mienten las estadísticas? ¿No es una ciencia la
estadística?
54
Ricardo Luezas Pisón
Los números no engañan, pero las personas que nos lo presentan, a menudo, sí lo hacen.
Una de las formas de engañar es omitir una parte importante de la información.
4.4 OBJETIVOS
Con esta innovación se planteará una nueva técnica de aprendizaje basada
principalmente en el trabajo en grupo. Esto supone una ventaja para los alumnos ya que
los aprendizajes que van desarrollando los van adquiriendo paso a paso y no como otras
muchas veces en los que aparecen todos juntos.
Con esta innovación se intentará hacer más divertido el aprendizaje ya que se
introducirán elementos que no son muy comunes hasta ahora, con el objetivo de que los
alumnos tengan una actitud más positiva hacia las Matemáticas.
Con esta innovación se pretende que los alumnos vean desde otro punto de vista las
Matemáticas, y sobre todo la estadística ya que casi siempre su único objetivo ha sido
estudiarse unas fórmulas de memoria que normalmente quedan olvidadas después del
examen.
Otra ventaja de trabajar en grupo es que los alumnos van a potenciar su competencia
comunicativa, ya que al explicar al resto de compañeros sus ideas y opiniones acerca de
los gráficos, sus compañeros podrán estar de acuerdo o en desacuerdo con lo expuesto,
creándose un debate de manera constructiva en la que los alumnos se deberán
expresarse de manera precisa y correcta con el objetivo de que el resto le entienda.
De esta manera, el alumno razonará por él mismo y con el debate creado se dará cuenta
si ha cometido alguna imprecisión en los razonamientos.
55
Ricardo Luezas Pisón
Finalmente, recalcar que el objetivo principal de esta innovación es hacer cambiar al
alumno su vista sobre las Matemáticas y hacerles ver la utilidad que tienen en nuestra
vida diaria.
4.5 MARCO TEORICO
En este proyecto de innovación se asumirá el modelo constructivista de aprendizaje, de
acuerdo con los criterios y explicaciones que hemos mencionado al principio de este
trabajo. Como ya mencioné anteriormente, como esta unidad didáctica va dirigida a
alumnos de 1º de Bachiller y no tenemos la presión de prepararlos para ninguna prueba
como la Selectividad que puede marcar su futuro, podemos aplicar la estadística de
manera práctica a casos de la vida diaria y a estudiar distintos tipos de gráficos que se
nos presentan. Estas actividades las podemos llevar a cabo tanto dividiendo a los
alumnos en grupo como creando debates toda la clase siendo el profesor el moderador
del debate. De esta manera seguro que los alumnos tienen otra visión de la estadística
distinta a cuando les mandan estudiarse muchas fórmulas de memoria únicamente para
conseguir los objetivos que se marcan.
Como los alumnos presentan una mínima base sobre estos temas, con estos debates y
trabajos en grupo encontrarán una mayor lógica en el estudio de las matemáticas y
percibirán sus utilidades en el mundo exterior.
A la hora de evaluar, se tendrá en cuenta la aportación del alumno tanto en el trabajo en
grupo como sus ideas y aportaciones en el debate creado. El profesor no tendrá tanto en
cuenta si el alumno se equivoca, sino su manera de razonar y la argumentación de ideas
56
Ricardo Luezas Pisón
que proponga, ya que el objetivo que se propone es que los alumnos aprendan y muchas
veces se aprende más de un error que hayan cometido que de una cosa que hagan bien.
4.6 TIPO DE MODELO PROCESUAL
Esta innovación va a consistir en el estudio de gráficas. De esta manera, se le enseñará a
los alumnos técnicas para que puedan mejorar gráficos y vean los malos usos que se
utilizan a la hora de hacer gráficas, muchas de esas veces intencionadamente para
confundir al lector o llevarle a una mala interpretación de la información y otras veces
por la falta de conocimientos de estadística.
Dividiremos la clase en grupos y estas gráficas serán entregadas por el profesor a cada
grupo y corresponderán a ejemplos de la vida diaria con el objetivo de motivarles. En
estas graficas se interpretarán unos mismos datos, siendo las gráficas muy distintas a
primera vista con el objetivo de que cuando vean una gráfica observen que se les puede
estar ocultando información y sean críticos con la información que se les muestre.
En esta manipulación de datos, veremos a continuación que se hacen trucos como
cambios de escala, utilizar diferentes escalas en un mismo eje, poner diferentes números
al empezar a medir un eje …
Para concluir, decir que en estas actividades el profesor tendrá un carácter orientativo y
los alumnos serán los encargados de dar sus ideas y razonamientos siendo precisamente
ellos los actores principales de la actividad.
57
Ricardo Luezas Pisón
4.7 METODOLOGÍA
Se trabajará en grupos dándole a cada grupo un par de gráficos para que discutan y
saquen conclusiones por sí solos. De esta manera podrán poner conocimientos en
común y podrán debatir sobre cosas en las que no se este totalmente de acuerdo por
todos los miembros del grupo. También haremos un debate en común toda la clase
siendo el profesor el moderador de dicho debate, para poner en común todas las ideas
sacadas por los diferentes grupos.
Antes de poner unos ejemplos, nos haremos unas preguntas acerca de las escalas
utilizadas en las gráficas:
•
¿Cuál es la mejor proporción para utilizar en las escalas?
•
¿Debería el cero estar incluido en la escala?
•
¿Cuándo las escalas logarítmicas mejoran la claridad de los datos?
•
¿Qué son las escalas a trozos y cómo deberían ser usadas?
•
¿Son dos escalas mejor que una? ¿Cómo podemos distinguir entre información y
engaños estadísticos?
•
¿Puede una escala ocultar datos? ¿Cómo se puede evitar?
58
Ricardo Luezas Pisón
Ejemplo1
Manchas solares
200
Número
150
100
Serie1
50
0
1750
1800
1850
1900
1950
2000
Años
Manchas solares
Número
150
100
Serie1
50
0
1750
1800
1850
1900
1950
2000
Años
Al elegir la proporción para hacer la escala, puede afectar a nuestra percepción sobre los
datos. Las dos gráficas muestran los mismos datos, con la diferencia de que la
proporción en la gráfica de arriba es mayor que en la gráfica de abajo. En ambos
gráficos se muestra el número de manchas solares desde 1750 hasta 1976. La primera
cosa que nos llama la atención en ambos gráficos, es que cada 11 años se repite el
mismo ciclo en el gráfico. Sin embargo, una característica que se ve mejor en el gráfico
59
Ricardo Luezas Pisón
de abajo que en el de arriba es que las subidas tienen más pendiente que las bajadas y
esto puede ser una razón para los físicos solares en el desarrollo de las teorías para
explicar el origen de las manchas solares.
Ejemplo2
Dióxido de carbono
360
D.Carbono(ppm)
350
340
Serie1
330
320
310
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
Años
60
Ricardo Luezas Pisón
Dióxido de carbono
D.carbono (ppm)
400
300
200
Serie1
100
0
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
Años
Aquí vemos un ejemplo en el que con los mismos datos y con un cambio en la escala,
ya que en una gráfica aparece el cero y en otra no, podemos tener diferentes
percepciones sobre cada gráfica. Ahora nos preguntamos: ¿Hay que incluir el cero en la
escala?
Este es uno de los temas más difíciles ya que muchos piensan que sí, mientras otros
piensan que no. A una de las conclusiones que se ha llegado es que por norma general el
cero debe estar incluido en la escala, salvo que con su presencia haya una dispersión de
datos significativa.
61
Ricardo Luezas Pisón
Ejemplo3
Dioxido de carbono
D.Carb (ppm)
360
350
340
Serie1
330
320
310
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
Años
360
Dióxido de carbono
Serie1
350
D.Carb (ppm)
340
330
320
310
1960
1970 Años 1980
1990
62
Ricardo Luezas Pisón
En este ejemplo, en el que los datos son los mismos que en el ejemplo 2, podemos ver
que aunque las dos escalas empiecen en los mismos datos, también se puede llevar a
error las percepciones que tengamos de cada gráfico.
Es un ejemplo claro en el que dos partidos políticos podrían usar una de estas gráficas
según los intereses que estuviesen defendiendo.
Ejemplo4
Cambios porcentuales
1000
Dollars
800
600
Serie1
400
200
0
0
2
4
6
8
10
Días
63
Ricardo Luezas Pisón
Cambios porcentuales
1000
Dollars
100
Serie1
10
1
0
2
4
6
8
10
Días
Las escalas logarítmicas las usamos cuando tenemos cantidades muy grandes con el
objetivo de tener más claridad en los datos. En este ejemplo, podemos ver que el gráfico
de arriba es mejor si tu quieres saber la cantidad de dinero que tienes cada día y la
escala logarítmica es preferible si tú estas interesado en saber cuanto dinero recibes más
un día que otro día.
64
Ricardo Luezas Pisón
Ejemplo5
Hombres y mujeres
50
Salario (miles)
40
Serie1
30
Serie2
20
10
20
30
40
50
60
70
Edad
65
Ricardo Luezas Pisón
Hombres y mujeres
50
40
25
30
20
20
15
Salario hombres (miles)
Salario mujeres (miles)
30
Serie2
Serie1
10
20
30
40
50
60
70
Edad
En estos dos gráficos se muestra el salario medio de hombres y mujeres por edad. En el
primer gráfico podemos ver claramente que el sueldo del hombre es mayor que el de la
mujer, viendo que la mayor diferencia se alcanza en edades comprendidas entre 40 y 60
años. Sin embargo, si tú quieres mostrar gráficos que le lleven a error al lector, puedes
hacer el gráfico que aparece más abajo. En este gráfico hemos usado diferente escala
para el eje vertical, ya que en la parte de la izquierda hemos usado unas medidas para el
sueldo de la mujer, y en la parte de la derecha hemos usado otras medidas para el sueldo
de los hombres. Como consecuencia, a primera vista se puede decir que las mujeres
ganan más dinero que los hombres, siendo esto una cosa falsa en este ejemplo.
66
Ricardo Luezas Pisón
Como conclusión, vamos a enumerar algunas características que son positivas y otras
características que hay que evitar a la hora de realizar un gráfico:
Para tener una visión clara en el gráfico:
•
Hacer que los datos resalten. Evitar lo superfluo. (positivo)
•
Usar un par de escalas para cada variable. Hacer el rectángulo de datos un poco
más pequeño que el rectángulo de escalas. (positivo)
•
Las marcas en la escala, hacia fuera. (positivo)
•
No sobrecargar de rayas, símbolos y explicaciones el interior del rectángulo.
(evitar)
•
Los símbolos que se solapen, deben ser distinguibles visualmente. (positivo)
•
La claridad visual debe preservarse mediante reducción y reproducción
(positivo)
•
Evitar poner notas y leyendas dentro del rectángulo (evitar). Poner la leyenda
fuera, y las notas a pie de grafo.
Para tener una comprensión clara del gráfico:
•
Expresar las conclusiones más importantes en forma de gráfica. Las notas a pie
de grafo deben ser informativas y completas. (positivo)
•
En las explicaciones a veces se peca de exceso y otras veces de defecto. (evitar)
Escalas del gráfico:
•
Elegir las escalas para que los datos entren en el rectángulo.(positivo)
67
Ricardo Luezas Pisón
•
Es útil dos escalas para cada variable. (positivo)
•
No insistir en que el cero se incluya siempre en la escala. (positivo)
•
Usar la escala logarítmica cuando sea importante entender, el cambio porcentual,
o factores multiplicativos. (positivo)
Estrategia general:
•
Se puede empaquetar en una región pequeña gran cantidad de datos (con la
tecnología del computador)
•
La elaboración de gráficas debe ser un proceso iterativo y experimental.
•
Desconfiad si la información puede aprenderse de una ojeada (puede estar
amañado). Muchas gráficas útiles requieren un estudio cuidadoso y detallado
para abrirnos sus posibilidades.
4.8 EVALUACIÓN
La evaluación es un proceso muy importante ya que nos sirve para calificar a nuestros
alumnos. En este modelo, se dará mayor importancia al examen final ya que debemos
comprobar si nuestro alumno ha adquirido los objetivos marcados al principio del curso
mediante una prueba de carácter individual (70% de la nota final). También las
actividades realizadas durante el curso tendrán un valor (15% de la nota final) y
respecto al trabajo en grupo y debates realizados en clase su valor será del 15% de la
nota final de la evaluación.
En este tipo de actividades se valorará las ideas y los razonamientos expuestos por cada
alumno, la participación en los debates, las argumentaciones y no se tendrá tanto en
68
Ricardo Luezas Pisón
cuenta si las ideas aportadas están bien o mal, sino que se valorará más el camino para
llegar hasta ellas.
Normalmente, al principio de cada unidad didáctica se les hará una prueba de nivel para
comprobar los conocimientos previos que posee el alumno. Según el resultado de esta
prueba, podremos variar la unidad didáctica que explicaremos.
4.9 OPINIÓN PERSONAL
Creo que con este trabajo de innovación conseguiremos que los alumnos tengan otra
visión de las Matemáticas, ya que podrán ver la utilidad que tienen en la vida real con
estos trabajos en grupos y debates creados para toda la clase. Como ya he comentado
anteriormente, el trabajo en grupo les ayudará mucho porque pondrán en común los
conocimientos con el resto de compañeros y su exposición de ideas delante de la clase
será bueno para ellos ya que le dará una mayor fluidez a la hora de hablar en público y
de argumentar sus puntos de vista sobre el tema tratado.
A continuación voy a poner un ejemplo en el que se muestra la importancia a la hora de
tomar los datos sobre un estudio:
El 27 de Enero de 1986, el día antes que mandarían al espacio el Challenger, un grupo
de ingenieros preguntaron que si la temperatura que hacía en el exterior el día del
lanzamiento iba a repercutir en dicho lanzamiento. La temperatura sería de unos 31º C,
así que los ingenieros estudiaron un gráfico en el que se mostraba los O-anillos que
habían fallado en los cohetes y a que temperatura había sido lanzado, como mostramos
en el siguiente gráfico:
69
Ricardo Luezas Pisón
Challenger
Nº de fallos
3
2
Serie1
1
0
50
55
60
65
70
75
80
Temperatura (F)
Como se puede ver en este gráfico, se llegó a la conclusión de que la temperatura no es
un factor relevante en el lanzamiento del cohete. El 27 de Enero de 1986, se lanzó el
Challenger hacía el espacio y a los pocos segundos los O-anillos fallaron y el cohete
explotó muriendo las siete personas que iban dentro.
¿A qué se debió?
Pues entre otras cosas a que la temperatura era un factor determinante y que el estudio
lo habían hecho mal, ya que pusieron solo los cohetes que habían fallado, no todos los
cohetes que habían lanzado al espacio como mostramos en el siguiente gráfico.
70
Ricardo Luezas Pisón
Challenger
Nº de fallos
3
2
Serie1
1
0
50
55
60
65
70
75
80
85
Temperatura
Con este claro ejemplo podemos ver la importancia que tiene hacer un buen estudio de
los datos.
5. BIBLIOGRAFÍA
- Jesús Mª Goñi Zabala (2008), 7 ideas clave. El desarrollo de la competencia
matemática. Ed. Graó.
- Darrell Huff (1954), How to lie with statistics.Ed. Norton
- Naomi B. Robbins (2005), Creating more effective graphs. Ed. Wiley
- William S. Cleveland (1994), The elements of graphing data.
- James M.Landwehr, Ann E.Watkins (1986), Exploring data. Ed. Dale Seymour
Publications.
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Ricardo Luezas Pisón
72