Álgebra lineal - IES Diego de Siloé

MAT. APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II - P.A.E.U.
ÁLGEBRA LINEAL
1. - Maximizar y minimizar la función T(x,y)= -x+y, sujeta a las restricciones:
2
3
2 ≤ y −2x ≤ 4, y+x ≥ 4, x ≥ 0, y ≥0.
Sol.: Mín  ,
10 
3
 ; Máx. no tiene

2.- Una compañía fabrica y vende dos modelos de lámparas L1 y L2. Para su fabricación se necesita
un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y 30 minutos para el modelo L2; y un trabajo de
máquina de 20 minutos para L1 y 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100
horas al mes y para la máquina de 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 150
y 100 ptas para L1 y L2 respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.
(S-90/COU) Sol.: 210 lámparas tipo L1 y 60 lámparas tipo L2
3.- Una empresa de confección tiene 160 m2 de tergal y 240 m2 de lana para hacer trajes y abrigos.
Por término medio usa 1m2 de tergal y 3 m2 de lana por cada traje, y 2 m2 de tergal y 2 m2 de lana
por cada abrigo. Averígüese cuántos trajes y abrigos deben hacerse para obtener una ganancia
máxima, si cada traje vale 25.000 ptas y cada abrigo 35.000 ptas. (UBU - J95/COU) Sol.: 40 trajes y 60 abrigos
4.- Una empresa de autobuses se comprometió a destinar al menos 12 autocares para llevar a 400
estudiantes de excursión. La empresa sólo dispone de autocares de 20 y 40 plazas y de 22
conductores. Cualquier chófer puede conducir los autocares pequeños, pero sólo 11 pueden
conducir los grandes. El precio por Km de los autocares pequeños es de 480 PTAS y el de los
grandes 720 PTAS. ¿cuántos autocares debe utilizar la empresa para cumplir el compromiso con
Sol.: 4 autobuses de 20 plazas y 8 de 40
gastos mínimos? (UBU - S96/COU)
5.- Una hamburguesería, usa para fabricar hamburguesas, carne de vaca y carne de cerdo. La carne
de vaca contiene un 80% de carne pura y un 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 800 pesetas kilo.
La carne de cerdo contiene un 68% de carne pura y un 32% de grasa y tiene un coste de 600 pesetas
kilo. Las hamburguesas se fabrican mezclando carne de vaca y carne de cerdo. ¿Qué cantidad de
carne de cada tipo debe emplear la tienda en cada kilo de hamburguesas si se desea que el coste sea
mínimo y la legislación sólo permita un contenido de grasa no mayor que el 25%? (S91/COU)
Sol.: x=7/12 y=5/12
6.- Una fábrica de vehículos dispone de un taller de mecánica (A) y otro de pintura (B). En el taller
A, cada obrero necesita trabajar 7 días en un camión y 2 días en un coche; en el taller B, cada
obrero invierte 3 días en un camión y 3 días en un coche. Por limitaciones de hombres y
maquinaria, los talleres A y B disponen de cada operario sólo durante 150 días al año. La empresa
gana 6 millones por camión y 2 millones por coche. ¿Cuántos camiones y coches debe producir
anualmente para maximizar la ganancia? (UBU - S95/COU)
Sol.: 10 camiones y 40 coches
 2 − 1 x y  1 2   0 2 
7.- Resolver la ecuación matricial: 


=

 0 1  z u  1 − 1  1 3 
8.- a) Calcular los valores de a para los cuales la matriz M no
b) Para a= −2 calcula la inversa de M. (UBU - S96/COU)
(UBU - S95/COU)
1
Sol.: 
4
 1 0 − 1
tiene inversa, M =  0 a 3 
 4 −1 a 


 −7
Sol.: a) a=-1 y a=-3 b) M-1=  − 12

 −8
−1 2

3 −1 3
− 1 2


2 
−2 3
−1
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9.- A una persona le tocan 10 millones de pesetas en una lotería y le aconsejan que las invierta en
dos tipos de acciones A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10%.
Las de tipo B son más seguras pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones
decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos 2 millones en
la compra de acciones B. Además decide que lo invertido en A sea por lo menos igual a lo invertido
en B. ¿Cómo deberá invertir los 10 millones para que el beneficio anual sea máximo? (UBU- J96/COU)
Sol.: 6 millones en A y 4 millones en B
10.- Halla la posición relativa de las rectas:
r ≡ 2x − 3 y = 0 
 en función de los valores del parámetro m.
s ≡ 3x − 2 y = m
(UBU - J96/COU) Sol.: secantes ∀m∈
∈R, punto de corte
1 1
2
11.- Si B = 
 estudia si existe algún valor de x tal que B = B.
x
x


x + y − z = 0
12.- Estudia si los sistemas 2 x + y = 0 
x + z = 0 
4 x + y + 2 z = 0

3x + y + z = 0 
(35m , 25m )
(UBU - J96/COU)
Sol.: x=0
tienen o no las mismas soluciones.
(Univ. CyL - S97/COU)
Sol.: Son equivalentes con solución (-t, 2t, t) t ∈R
13.- Un botánico recomienda que una determinada planta, para su máximo rendimiento, debe ser
abonada diariamente y durante un mes con al menos 4 unidades de nitrógeno, 23 unidades de
potasio y 6 de fósforo. En el mercado se encuentran dos tipos de productos cuya composición viene
dada por la siguiente tabla:
A
B
Nitrógeno
4
1
Potasio
6
10
Fósforo
1
6
el producto A cuesta 100 ptas. y el B cuesta 160 ptas. ¿Cómo deben combinarse ambos productos
para que el coste del abono sea mínimo?¿Cuánto cuesta el tratamiento? (Univ. CyL - S97/COU)
Sol.: ½ de A y 2 de B. Total: 370 ptas.
14.- Sea A=I-B, donde I es la matriz identidad y B=  0
2 
 - 1/4 3/2 


. Determina el valor de α tal que
A2= αA y deduce la expresión de An. (Univ. CyL - S97/COU)
Sol.: α=1/2 An=
2
1
A
n −1
15.- Un almacenista de caramelos tiene en su almacén 150 kg. de caramelos de limón y 180 kg. de
caramelos de menta. Decide venderlos haciendo dos mezclas: una está formada por la mitad de
caramelos de cada clase y la vende a 200 ptas/kg y la otra contiene la tercera parte de caramelos de
limón y el resto de menta, vendiéndose a 135 ptas/kg. Utilizando las técnicas de Programación
Lineal, ¿cuántos kg de cada mezcla deberá preparar para maximizar sus ingresos? (Univ.CyL- J97/COU)
Sol.: 240 tipo A y 90 tipo B
16.- Encuentra dos matrices A y B que verifiquen el siguiente sistema matricial:

7
3 A + 2 B = 
8



A - 5B =  26
 -3



11

4 
- 19 

- 10 
(Univ. CyL - J97/COU)
 − 1 1
5 4
 y B=  1 2 
 2 0


Sol.: A= 
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17.- A una persona que quiere adelgazar le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla
de los dos con las siguientes recomendaciones: a) No debe tomar más de 150 gr de la mezcla ni
menos de 50 gr b) La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. c) No debe incluir más de
100 gr de A. Si 100 gr de A contienen 450 calorías y 100 gr de B contienen 150 calorías, calcula,
utilizando las técnicas de Programación Lineal, el número de gramos de cada producto que debe
mezclar para obtener el preparado más pobre en calorías. (Univ. CyL - S98/COU)
Sol.: 25 g. de A y 25 g. de B
18.- Halla los valores de t para que el sistema dado tenga solución única:
x + y =1


(Univ. CyL - S98/COU)
ty+ z =0

x + ( 1 + t ) y + t z = t + 1

Sol.: t≠0 y t≠1
19.- El veterinario ha recomendado que durante un mes mi perro tome diariamente como mínimo 4
unidades de hidratos de carbono, 23 de proteínas y 6 de grasas. En el mercado encuentro dos
productos M1 y M2 ajustados a la distribución dada en la siguiente tabla para cada envase de cada
producto.
Marca
M1
M2
Hidratos de Carbono Proteínas Grasas
4
6
1
1
10
6
Precio
100
160
¿Qué número de envases debo comprar de cada producto para obtener la dieta deseada por el
mínimo precio? (Univ. CyL - J98/COU)
Sol.: ½ de M1 y 2 de M2. (1 de M1 y 2 de M2, para la solución entera)
20.- Calcula, si es posible, los valores de a, b, c y d par que verifique la siguiente ecuación:
 a b   -1 3   4 1   − 1 3

 
 + 
 = 

 c d   1 - 3   0 − 1  2 5 
(Univ. CyL - J98/COU) Sol.: No se puede
21.- Para la fabricación de dos tipos de piezas, A y B, se requiere de la participación de tres tipos de
máquinas, X, Y y Z. Los tiempos que cada máquina emplea, el beneficio que se obtiene y las horas
totales disponibles se encuentran recogidos en la siguiente tabla:
tipo de pieza/máquina
A
B
horas totales
X(minutos)
11
9
165
Y(minutos) Z(minutos)
7
6
12
16
140
160
Beneficio en miles de ptas
9
10
¿Cuántas piezas deben fabricarse de cada tipo para obtener el beneficio máximo? (Univ. CyL-J99/COU)
Sol.: 626 tipo A y 334 tipo B
22.- Se necesita una dieta que proporciona a un animal 3000 calorías y 80 unidades de proteínas por
día. En el mercado hay dos alimentos básicos que pueden usarse para preparar la dieta. El alimento
A cuesta 20 ptas./kg, contiene 600 calorías y 2 unidades de proteínas. El alimento B cuesta 10
ptas./kg, contiene 50 calorías y 8 unidades de proteínas. Determina la combinación de alimentos
más barata que satisfaga las necesidades de la dieta. (UBU - 95)
Sol.:
 200 420 
,

 ≈ 174 ptas.
 47 47 
23.- Dadas las matrices cuadradas A y B
a) ¿Tienen la misma solución las ecuaciones A X = B y X A = B? Razona la respuesta.
b) ¿Puede ocurrir que una tenga solución y la otra no?
c) Resuelve ambas ecuaciones para A =  3 1 y B =  2 5  . (UBU - S95)
 - 1 1


 4 10 


 −1
Sol.: a) No b) Sí c) X=  72

 2
−5 
7
4  , X=  4
35 
7
4 
2
13 
4
13 
2
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24.- Tres supermercados X, Y y Z se disputan los clientes de una ciudad. Inicialmente cada uno
tiene una cuota de mercado igual a la tercera parte de los consumidores. Como consecuencia de una
campaña publicitaria un mes después se constata que:
1) X conserva el 80% de sus clientes, gana el 10% de los de Y y el 2% de los de Z.
2) Y conserva el 70% de sus clientes, gana el 14% de los de X y el 8% de los de Z.
3) Z conserva el 90% de sus clientes, gana el 6% de los de X y el 20% de los de Y.
A partir de estos datos:
a) Escribe matricialmente los cambios producidos en los porcentajes. ¿Qué propiedad tiene la matriz?
b) Usa la matriz anterior para calcular la cuota de mercado que tiene cada supermercado después de
la campaña. (UBU - S95)
Sol.: a)
 0'8
 0'1

 0'02
0'14 0'06 

0'7 0'2 , las filas suman 1 b) X → 30’ 6 Y → 30’ 6 Z → 38’ 6

0'08 0'9 
25.- a) ¿Es posible que un problema de programación lineal tenga varias soluciones? Ayúdate de un
diagrama gráfico par justificar tu respuesta.
b) Busca el máximo de la función x+y sujeta a las restricciones: x≥0, y≥0, x+3y≤90,
10x+7y≤440. Explica el método seguido. (UBU - J95)
Sol.: a) Sí b) (30,20)
26.- Un propietario de un garaje desea comprar cierto número de coches nuevos para almacenarlos.
Tiene dos modelos posibles para escoger: A y B; el modelo A cuesta 3 millones de ptas y el B 5
millones. Sólo dispone de espacio para almacenar 20 coches y un capital de 70 millones para gastar.
Espera ganar un millón en cada coche del tipo A y 1.400.000 en cada uno de tipo B. Calcula
cuántos coches de cada tipo tendrá que comprar para tener el mayor beneficio posible. Razona el
procedimiento seguido y la construcción de las expresiones matemáticas utilizadas. (UBU - J95)
Sol.: 15 tipo A y 5 tipo B / 22 millones
27.- Un granjero tiene dos almacenes de patatas, A1 y A2, que contienen 20 toneladas y 12 toneladas
de patatas respectivamente. Recibe encargos de tres clientes C1, C2 y C3 de 8, 10 y 14 toneladas.
Las distancias entre los almacenes y los clientes (en kilómetros) se dan en la tabla adjunta:
A1
C1
2
C2
3
C3
5
A2
6
2
4
Suponiendo que el coste del transporte es una cantidad fija por kilómetro y tonelada, ¿cómo tendrán
que distribuirse las patatas para minimizar el coste de transporte? Razona el planteamiento del
problema y la técnica usada para su resolución. (UBU - S95)
Sol.: x=8 0≤y≤10
 1
28.- Dada la matriz A = 
−3
− 2
,
4 
halla todas las matrices M que conmuten con ella.
Sol.:
(UBU - J95)
λ + µ

 λ
2 λ
3 
µ λ , µ∈R
29.- En un gran grupo social hay tantos fumadores como no fumadores. Las autoridades sanitarias
realizan una campaña en contra del consumo de tabaco cada seis meses y se constata que el 25% de
los fumadores sigue con su hábito, al tiempo que un 50% de los no fumadores se inicia en el
consumo de tabaco.
a) Describe mediante una matriz los cambios producidos en los porcentajes. Justifica su estructura.
b) Demuestra la efectividad de dos campañas consecutivas calculando cuántos fumadores y no
fumadores hay después de ellas. Razona la respuesta.
(UBU - J95)
Sol.: a)
 0'25
 0'5

0'75 
0'5
 b) 13/32 y 19/32

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30.- a) Explica gráficamente cómo ha de ser el conjunto de las soluciones factibles y la función
objetivo para que un problema de programación lineal tenga solución única.

y ≥ 0 

x ≤ 4 
5 x + y ≥ 0 
x ≥ 0
b) Maximizar la función f(x,y) = 3x + 2y sabiendo que:
. Razona tu respuesta usando un
esquema gráfico. (UBU - S96)
Sol.: No esté acotada
31.- Un fabricante de muebles hace dos tipos de sillas, tipo A y tipo B. Cada silla A requiere 8 horas
de trabajo-hombre (1 hombre trabajando 8 horas, dos hombres trabajando 4 horas, etc.) La silla B
necesita 5 horas-hombre. Los materiales para el tipo A cuestan 4000 ptas y los del tipo B, 5000
ptas. El beneficio que se obtiene haciendo la silla A es 1750 pesetas y el beneficio de la silla B es
1500 ptas. El fabricante ha de tener en cuenta las siguientes restricciones:
1) Como mínimo ha de fabricar 15 sillas de tipo A y 10 de tipo B a la semana.
2) Sólo se pueden trabajar 320 horas-hombre por semana.
3) El coste total del material por semana, para todas las sillas producidas, no deberá sobrepasar las
200.000 ptas.
Plantea formalmente las restricciones. Halla el número de sillas de cada tipo que debe fabricar
por semana para que el beneficio sea máximo, explica el procedimiento seguido. (UBU- S96)
Sol.: 30 tipo A y 16 del tipo B
32.- Dada la ecuación matricial X A = C, siendo A de dimensión 3 por 3 y C de dimensión 2 por 3.
a) ¿Cuál es la dimensión de X? Razona la respuesta.
b) Calcula X siendo:
0 − 1
 1


A = − 2 1
0
 2 −2 3 


1 0 1

C = 
0 2 2
(UBU - S96)
5
 16
Sol.: a) 2x3 b) X= 
4
2

14 6 
33.- Para detectar simultáneamente la cantidad de tres contaminantes A, B y C, en el agua se utiliza
un sistema de medida con tres sensores. Se sabe que una muestra que sólo tiene 1 ppm de A da una
respuesta de (3,2,0), con sólo 1 ppm de B da una respuesta de (0,4,1) y con sólo 1 ppm de C da una
respuesta de (0,2,2).
a) Representa matricialmente la respuesta que ha de tener el sistema de medida para una muestra
que tiene x ppm de A, y ppm de B y z ppm de C.
Sol.: (3x 2x+4y+2z y+2z)
b) Si en una muestra problema el sistema dio (6,11,4) ¿Qué concentraciones había de cada
compuesto? (UBU- S96)
Sol.: 2 ppm de A, 1 ppm de B, 3/2 ppm de C
34.- a) En un problema de programación lineal, ¿es posible determinar el máximo y el mínimo de la
misma función con las mismas restricciones? Ayúdate de una representación gráfica para justificar
tu respuesta.
Sol.: No. Si la región factible está acotada sí.
b) Busca el mínimo de la función f(x,y)=3x+2y, sujeta a las restricciones:
Sol.: (5,10)
x ≥ 0; y ≥ 10; 2x + y ≥ 20; 2x + 3y ≥ 30. Explica el método seguido. (UBU - J96)
35.- Para que un alimento "especial" tenga buenas propiedades de manipulación y aceptabilidad es
necesario utilizar dos aditivos A y B, cuyo precio es 4 ptas/gramo y 6 ptas/gramo respectivamente.
Los demás componentes cuestan 9 ptas/gramo. El precio de venta es una función de composición y
para cada kilo de alimento viene expresado por: 8 CA + 12 CB + 10 (1000 - (CA +CB)), siendo CA y
CB la cantidad en gramos de cada aditivo.
Por razones técnicas, la cantidad global de aditivo ha de ser inferior a 20 gramos por kilo de
alimento, además la proporción de A respecto de B ha de ser mayor que 0'5 y menor que dos.
¿Cuántos gramos de A y de B ha de llevar cada kilo de producto si se desea tener el máximo
beneficio? (UBU - J96)
Sol.: 20/3 del tipo A y 40/3 del tipo B
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36.- Discute en función del parámetro b la existencia de soluciones para el sistema de ecuaciones:
x + by − z = 1 

2 x + y + bz = 2  .
x − y − z = a − 2
Cuando sea posible calcula su solución. (UBU - J96)

 b 2 ( a − 2) + 3b + a − 1 3 − a ( a − 3)(1 − 2b ) 

,
,
b ≠ −1 y b ≠ -2 ∀a ∈ R S.C.D. 
(b + 1)(b + 2)
b + 1 (b + 1)(b + 2) 


Sol.: 
b = −1 y a = 3
S.C.I.
(1 - 2y, y, - 3y) y∈R

b = −2 y a = 3
S.C.I.
(1 + z ,0, z ) z∈R

S. I.
 b = −1 ó b = −2 y a ≠ 3
37.- En una empresa de contratación temporal la situación de un trabajador puede describirse de la
siguiente manera: 1) Si en el momento n está activo, S1, pasará a inactivo, S2, en el tiempo
siguiente n+1 2) Si en el momento n no está activo, S2, la mitad de las veces pasará a estar activo,
S1, y la otra mitad permanecerá inactivo, S2, en el momento n+1.
a) Representa matricialmente el cambio de situación al pasar de un momento al siguiente
b) Describe la situación después de tres unidades temporales.
c) Generaliza la respuesta a la cuestión anterior suponiendo que han transcurrido k unidades
temporales. (UBU- J96)
Sol.: a)
0
1
 2
 14


b)

1
3
2
 8
1
 a k −1 k −1
 c) a1=a2=1 an=2an-2+an-1 n≥3 A=  a 2
5
 k k
8

2
3
4
ak

2 k −1  k≥2
a k +1 
2k 
38.- Suponiendo que las condiciones de ligadura (restricciones) de un problema de Programación
Lineal son: x ≥ 0, y ≥ 0, 100x + 200y ≤ 200, 200x + 100y ≤ 200 , señala todos los puntos de la región
admisible en los que cierta función objetivo puede alcanzar el máximo. (Univ. CyL - S97)
Sol.: (0,0), (0,1), (2/3,2/3), (1,0)
39.- Un pastelero tiene 150 Kg de harina, 22 Kg de azúcar y 27'5 Kg de mantequilla para hacer dos
tipos de pasteles P y P'. Para hacer una docena de tipo P necesita 3 Kg de harina, 1Kg de azúcar y
1Kg de mantequilla y para hacer una docena de tipo P' necesita 6 Kg de harina, 0'5 Kg de azúcar y
1Kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es 20 y por una docena de
tipo P' es 30. Halla, utilizando las técnicas de Programación Lineal, el número de docenas que tiene
que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo. (Univ. CyL-S97) Sol.: 5 docenas de P, 22’5 docenas de P’
40.- Discutir el carácter del sistema:
x + y + z = 0

 2x + a z = 1 ,
 x + a y =1

según los valores del parámetro a y resuélvelo en

los casos en que sea compatible. (S97)
a ≠ 0 y a ≠ 3 S.C.D.
Sol.: 
 a
=0 ó a =3
1− a
−1− a 
 2
,
,


2
 3 - a 3a − a 3a − a 2 
S.I.
41.- Resuelve, aplicando el método de Gauss, el sistema: 3428 x − 6328 y = 4878
(S97)
Sol.: (1/2 ,-1/2)
6832 x + 3840 y = 1496
42.- Una empresa produce dos tipos de televisores t y T. La empresa tiene un beneficio de 7.000
ptas procedente de cada televisor de tipo t y 10.000 por cada uno de tipo T. Hay 3 etapas en el
proceso de producción: la primera requiere 3 horas para t y 5 para T, con un número de horas
disponibles de 3.900, la segunda 1 hora para t y 3 para T, con un número de horas disponibles de
2.100 y la tercera requiere 2 horas para cada uno de los tipos t y T, con un número de horas
disponibles de 2.200. Con esos datos, calcula, utilizando las técnicas de Programación Lineal,
cuántos televisores de cada tipo se han de fabricar para que el beneficio sea máximo. (J97)
Sol.: 800 del tipo t y 300 del tipo T
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Pág. 6
43.- Sea
1 1 1 


A = 1 1 1 
1 1 1 


y sea I la matriz identidad de orden 3x3.
a) ¿Existe algún valor real, m, tal que: (A - I)·(A + mI) = I? Razona la respuesta.
 − 12

Sol.: a) No b) B= 1 2

1
 2
4
b) Calcula una matriz B tal que (A - I)·B = I . (J97)
1 
2
2 
1
− 2 12

1
1 
2 − 2
1
 1 1
44.- Sea la matriz A = 
 . Halla las matrices B que conmuten con A, es decir, A·B=B·A. (S98)
 0 1
Sol.: B=
45.- Halla los valores de a para que el
2x − y + z = 2
sistema:  ax − y + z = 1 ,
 x + ay + z = 0

a
0

b

a
a,b∈R
sea compatible determinado.(S98)
Sol.: a≠-1 y a≠2
46.- Sea la matriz
0 0 1


A =  1 0 0
 0 1 0


a) Comprueba que A-1=AT (AT es la matriz traspuesta de A)
b) Utilizando el resultado del apartado a), calcula (AT · A)1998. (J98)
Sol.: b) I
47.- Un país importa 21.000 vehículos mensuales de las marcas X, Y, Z al precio de 1'2, 1'5 y 2
millones de pesetas respectivamente. Si el total de la importación asciende a 32.200 millones, y de
la marca X se importa el 40% de la suma de las otras dos marcas. ¿Cuántos vehículos de cada marca
entran en ese país? (J98)
Sol.: x=6.000, y=10.000, z=5.000
48.- Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 594 ptas. Se sabe que el precio del
cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que el precio de la carpeta es igual al precio del
cuaderno más el 20% del precio del rotulador. Calcular los precios que marcaba cada una de las
cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento. (J99)
Sol.: (300, 150, 210)
49.- Calcula los valores de x para que la matriz A =  x 0  verifique la ecuación: A2 - 6A + 9I = 0,
0 x
donde I y 0 son, respectivamente, las matrices identidad y nula de orden 2. (S99)
Sol.: x=3
1 2
 1


50.- Dada la matriz A=  2 0 − 1 . Calcula, si existen, las siguientes matrices:
 − 6 −1 0 


a) Una matriz X tal que XA=(1 0 -1)
1 0 1
 (J99)
0 1 0
b) Una matriz Y tal que AY= 
Sol.: a) X= (1 3 1) b) No se puede
51.- Un autobús de la Universidad transporta en hora punta 80 viajeros de tres tipos: 1) Viajeros que
pagan el billete entero, que vale 75 pts. 2) Viajeros con bono de descuento del 20%. 3) Estudiantes
con bono de descuento del 40%. La recaudación del autobús en ese viaje fue de 3975 pts. Calcular
el número de viajeros de cada clase sabiendo que el número de estudiantes era el triple que el
número del resto de viajeros. (J99)
Sol.: 5, 15 y 60
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Pág. 7
52.- Dadas las matrices
 2 1

A = 
1 0
 −1 −1

B = 
0 1
1
C =  
 − 1
 −2 −1 

y D = 
 − 1 − 1
a) Calcular ABC
b) Hallar una matriz E tal que
 1 0

DE = 
0 1
c) Calcular, si es posible CA. Si no lo es, justificar la respuesta. (J00)
Sol.: a)
 −1 1 
 − 1
 c) No se puede
 0  b) E= 
 
 1 − 2
53.- Un empresario puede utilizar dos locales para almacenar trigo. En uno de ellos (almacén A) se
sabe que la cantidad almacenada tiene una merma a lo largo del año de 0'002 por Kilogramo y en el
otro (almacén B) la merma es de 0'001 por Kilogramo. El coste de mantener el producto durante un
año en el almacén A es de 0'01 Euros por Kilogramo, y en el B de 0'03 Euros por Kilogramo, este
coste se calcula sobre la cantidad almacenada al principio (sin contar la merma). Para el año 2001 el
empresario quiere almacenar al menos 100 toneladas, pero quiere que la merma producida no
supere los 200 Kilogramos y que el coste total del almacenamiento sea menor de 1500 Euros. ¿Qué
cantidad ha de almacenar en cada local para tener la mayor cantidad de trigo posible? (J00)
Sol.: 90.000 Kg tipo A y 20.000 Kg tipo B
 x + my = m − 1
mx + y = 2 − 2m
54.- a) Discutir según los valores de m el sistema 
b) Resolverlo para m=5
 5 1

 1 5
c) Plantear y resolver un sistema homogéneo cuya matriz de coeficientes sea la matriz 
(S00)
Sol.: a) m=1 S.C.I . / m=-1 S.I. / m≠1 y m≠-1 S.C.D. b) (-11/6,7/6) c)
 5 1  x   0 
 1 5  y  =  0  solución: (0,0)

   
55.- Un pastelero desea hacer pasteles de dos tipos A y B, con los ingredientes de mantequilla, nata
y crema, de los que posee 4, 1 y 5 kg. respectivamente. Las cantidades de ingredientes (en gramos)
necesarias para cada tipo se recogen en la tabla siguiente:
Tipo pastel
Mantequilla
Nata
Crema
A
2
1
5
B
10
2
2
Si los pasteles del tipo A le producen un beneficio de 0’25 euros y los del tipo B 0’30 euros,
¿cuántos pasteles de cada tipo tendrá que hacer para que el beneficio sea máximo? (S00)
Sol.: 1000 tipo A y 0 tipo B
 1 0

 −1 1
56.- Sea A = 
a) Demuestra que A2 = 2A-I donde I es la matriz identidad.
b) Halla las matrices A3 y A4 y exprésalas en función de A y de I. (J01)
Sol.: A3 =3A-2I A4=4A-3I
57.- Un banco ha invertido 2 millones de euros en tres empresas diferentes A, B y C. Lo que
invierte en A es el doble de lo invertido en B. Al cabo de un año, la rentabilidad de la operación ha
sido del 10%. Las acciones de la empresa A han aumentado su valor en un 10% y las de B en un
30%. Si las acciones de la empresa C han perdido un 10% de su valor, ¿puedes calcular la cantidad
que se había invertido en cada empresa? (J01)
Sol.: En A 1.000.000, y en B y en C, 500.000 ptas en cada una.
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58.- La suma de las tres cifras de un número es 6. La cifra de las centenas es igual a la suma de las
cifras de las unidades y de las decenas. Si se invierte el orden de las cifras el número disminuye en
198 unidades. Calcula dicho número. (S01)
Sol.: 321
 x − 1

1 y 
59.- Sea A= 
0 0

0 0
a) Calcula los valores de x e y para los que se verifica que A·A= 
0 0

0 0
b) Calcula si existen valores reales de x e y para los que se verifique que A·At = 
(S01) Sol.: a) (x=1,y=-1) y (x=-1 y=1) b) No existen

60.- Se considera el sistema: 
x + y =1
mx + z = 0
x + (1 + m) y + mz = m + 1

a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro m.
b) Resuelve el sistema para m=0. (J02) Sol.: a) m= -1, S.C.I. ; m=0, S.C.I.; m ≠ -1 y m ≠ 0 S.C.D.
b) (t,1- t, 0), con t∈ℜ
61.- Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 2.
a) Indica cuando es cierta la igualdad: (A+B)(A−B)=A2−B2.
b) Pon un ejemplo en que dicha igualdad sea falsa. (J02)
1 0 
1 1
 , B= 

1 1 
1 1
Sol.: a) AB=BA, A y B conmutan b) A= 
62.- Una empresa familiar tiene tres empleados que trabajan como máximo durante 40 horas
semanales cada uno en la elaboración de dos tipos de productos, A y B. Para la elaboración de una
unidad de cada producto se requieren 3 horas para el tipo A y 4 horas para el B. La familia ha
decidido que no se elaborarán más de 32 unidades semanales del producto tipo A y 12 del producto
tipo B. El beneficio proporcionado por cada unidad del tipo A es de 6 euros y 3 euros por cada
unidad del tipo B. Determinar el número de unidades que deben elaborar del tipo A y B para
obtener un beneficio máximo. (S02)
Sol.: 32 unidades del producto A y 6 del B.
1 −1 0


63.- Sea la matriz A =  0 1 1  y sea B = (−1 −1 1)
1 1 2


a) Calcula los productos BA y ABt (Bt es la matriz traspuesta de B).
b) Escribe y resuelve el sistema homogéneo cuya matriz es A. (S02)
0
 
Sol.: a) 0 1 1 , 0
 
0
(
)
b) (−t, −t, t) ∀t ∈R.
64.- Encontrar si existen, matrices cuadradas A, de orden 2, distintas de la matriz identidad, tales
1 0   1 0 
 = 
 A . ¿Cuántas matrices A existen con esa condición? Razona la respuesta. (J03)
que A 
1 1   1 1 
 a 0 


Sol.: A = 
.

b
a
a ,b ∈ R 


65.- Para la temporada de rebajas, un comerciante decide poner a la venta 70 camisetas, 120
camisas y 110 pantalones en dos tipos de lotes. El lote A formado por 2 camisas, 1 pantalón y 1
camiseta se venderá a 60 euros, mientras que el lote B, formado por 1 camisa, 2 pantalones y 1
camiseta se venderá a 70 euros. ¿Cuántos lotes ha de hacer de cada clase para obtener el máximo de
recaudación y cuánto dinero ingresará? (J03)
Sol.: 30 del tipo A y 40 del tipo B. Ingresará 4.600 €
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66.- Una fábrica produce dos modelos de aparatos de radio, A y B. La capacidad de producción de
aparatos de tipo A es de 60 unidades por día y para el tipo B de 75 unidades por día. Cada aparato
del tipo A necesita l0 piezas de un componente electrónico y 8 piezas para los del tipo B. Cada día
se dispone de 800 piezas del componente electrónico. La ganancia por cada aparato producido de
los modelos A y B es de 30 euros y 20 euros respectivamente. Determina la producción diaria de
cada modelo que maximiza la ganancia. (S03)
Sol.: 60 del tipo A y 25 del tipo B.
1
 x


67.- Sean las matrices A=  2 x − 1
− x 1 


1
B=  
 y
 z 
 
C=  2 z 
− z
 
 1 


D=  0  donde x,
1 / 3 


y, z son desconocidos.
a) Calcula las matrices (AB) + C y 3D
b) Sabiendo que (AB) + C = 3D, plantea el sistema de ecuaciones para encontrar los valores x, y, z.
c) Estudia el sistema anterior. ¿Cuántas soluciones tiene? Encuentra una si es posible. (S03)
 x+ y+z =3
 x+ y+z 
 3

Sol.: a) AB+C=  2 x − y + 2 z  , 3D=  0  b) 2 x − y + 2 z = 0 c) S.C. I. (infinitas soluciones) (x,2,1-x)x∈R
1
−x+ y−z
 − x + y − z = 1
 


68.- La suma de las tres cifras de un número es 18, siendo la cifra de las decenas igual a la media de
las otras dos. Si se cambia la cifra de las unidades por la de las centenas, el número aumenta en 198
unidades. Calcula dicho número. (J04)
Sol.: N=567
 x − 1

y 
69.- Sea A = 
1
2
a) Calcula A
 x +1 − 2
 . (J04)
− 1 
 2
 x2 − 1 − x − y 
2
 b) x=2, y=0
Sol.: a) A = 
2
 x + y y −1 
b) Calcula todos los valores de x e y para los que se verifica que A 2 = 
1 0 
x 2
 − 1
 , B= 
 y C=   donde x e y son desconocidos.
1 2 
1 y
1
70.- Sean las matrices A= 
a) Calcula las matrices ABC y AtC (At denota la matriz traspuesta de A).
b) Halla x e y para que se verifique ABC = AtC. (S04)
 −x + 2  t
0
; A C =   ; b) x=2, y=2
Sol.: a) ABC = 
−
x
+
2
y


2
71.- Un banco quiere distribuir a sus empleados entre sus oficinas centrales y sus sucursales. Cada
oficina central necesita 10 empleados del tipo A y 6 empleados del tipo B. Cada sucursal necesita 4
empleados del tipo A y 1 empleado del tipo B. Hay un total de 260 empleados del tipo A y 86
empleados del tipo B. Como máximo debe haber 8 oficinas centrales. Si el banco gana tres millones
de euros en una oficina central y un millón en una sucursal ¿cuántas oficinas centrales y sucursales
deberá abrir para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál será dicho beneficio máximo? (S04)
Sol.: 6 oficinas centrales y 50 sucursales; 68 millones de beneficio.
0
1

72.- Sea A = 
 −1 0
a) Calcula A2 y expresa el resultado en función de la matriz unidad.
b) Utiliza la relación hallada con la matriz identidad para calcular A2005 .(J05)
Sol.: a) A2= -I b) A2005=A
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73.- En una ebanistería se fabrican dos tipos de mesas: mesas de comedor y mesas para
ordenador. Las mesas de comedor necesitan 4 m2 de madera y las mesas para ordenador 3 m2.
El fabricante dispone de 60 m2 de madera y decide confeccionar al menos 3 mesas de comedor
y al menos el doble de mesas de ordenador que de mesas de comedor. Además, por cada mesa
de ordenador obtiene un beneficio de 200 €, mientras que obtiene un beneficio de 300 € por
cada mesa de comedor. ¿Cuántas mesas de cada tipo debe fabricar para obtener el beneficio
máximo? (J05)
Sol.: 6 mesas de comedor y 12 de ordenador. Ingresará 4.200 €
74.- Calcula dos matrices cuadradas A y B sabiendo que
− 4
5

 − 2 − 1
2 A + 3B = 
(S05)
y que
3
A−B =
0

 −1 2
 1 1
 −2 1 
 y B = 

Sol.: A = 
 − 1 1
 0 − 1
75.- El club “Amigos del Románico” quiere organizar un viaje visitando el románico de Castilla y
León para sus 200 socios. Acude para ello a una agencia de viajes que dispone de 4 microbuses de
25 plazas y 5 autobuses de de 50 plazas, pero sólo dispone de 6 conductores. El alquiler de un
autobús es de 160 € por día, mientras que el de un microbús es de 70€ por día. Con estas
condiciones, ¿cómo deben organizar el viaje para que el coste del viaje sea el menor posible? (S05)
Sol: 4 microbuses y 2 autobuses.
76.- Una familia dispone 80 € mensuales para realizar la compra en una carnicería. El primer mes
compran 10 Kg de carne de pollo, 6 Kg de carne de cerdo y 3 Kg de ternera y les sobran 3,1 €. El
siguiente mes adquieren 10 Kg de carne de pollo, 7 Kg de carne de cerdo y 2 Kg de ternera y les
sobran 5,1 €. El tercer mes compran 11 Kg de carne de pollo, 6 Kg de carne de cerdo y 2 Kg de
ternera abonando un total de 72 € y 30 céntimos. Suponiendo que no ha variado el precio de la
carne en estos meses, ¿cuánto cuesta el Kg de carne de pollo, cerdo y ternera? (J06)
Sol.: 2,5 €/Kg pollo; 1 €/Kg cerdo; 7,1 €/Kg ternera.
77.- En una factoría, se desean producir al menos 4 unidades del producto B. Cada unidad del
producto B ocupa un metro cúbico de espacio de almacenamiento, lo mismo que cada unidad del
producto A. Tan solo disponemos de un almacén con capacidad de 20 metros cúbicos. Juan se
encarga de una fase de la producción y Pedro de otra fase de la producción. Cada unidad de A
requiere 4 horas de trabajo de Juan y 2 horas de trabajo de Pedro. Cada unidad de B requiere 1 hora
de trabajo de Juan y 3 horas de trabajo de Pedro. Juan debe trabajar al menos 32 horas y Pedro al
menos 36 horas.
Cada unidad del producto A produce un beneficio de 25 € y cada unidad del producto B
produce un beneficio de 20 €. Utilizando técnicas de programación lineal, calcula el número de
unidades de producto A y de producto B que permiten obtener mayores beneficios, así como el
beneficio máximo que se puede conseguir. (J06) Sol.: 16 unidades del producto A y 4 unidades del B. Beneficio = 480€
78.- En una fábrica trabajan 22 personas entre electricistas, administrativos y directivos. El doble
del número de administrativos más el triple del número de directivos, es igual al doble del número
de electricistas.
a) ¿Es posible saber con estos datos el número de electricistas que hay?
b) Si además se sabe que el número de electricistas es el doble del de administrativos, ¿cuántas
personas hay de cada tipo? (S06)
Sol.: a) No b) 6 administrativos, 4 directivos y 12 electricistas
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79.- Una fábrica produce mermelada de naranja y de ciruela. El doble de la producción de
mermelada de ciruela es menor o igual que la producción de mermelada de naranja más 800 cajas.
También se sabe que el triple de la producción de mermelada de naranja más el doble de la
producción de mermelada de ciruela es menor o igual que 2400 cajas.
Cada caja de mermelada de naranja produce un beneficio de 40 € y cada caja de mermelada de
ciruela 50 €.Utilizando técnicas de programación lineal, ¿cuántas cajas de cada tipo de mermelada
se han de producir para obtener un beneficio máximo? Calcula el beneficio máximo (S06)
Sol.: 400 cajas de mermelada de naranja y 600 de mermelada de ciruelas; Beneficio = 46000 €
80.- Julia, Clara y Miguel reparten hojas de propaganda. Clara reparte siempre el 20% del total,
Miguel reparte 100 hojas más que Julia. Entre Clara y Julia reparten 850 hojas. Plantea un sistema
de ecuaciones que permita saber cuántas hojas reparte cada uno. Sabiendo que la empresa paga 1
céntimo por cada hoja repartida, calcula el dinero que ha recibido cada uno de los tres. (J07)
 y = 0'2 ⋅ ( x + y + z )
Sol.: a) 
z = 100 + x
b) Julia 5’5 €, Clara 3 €, Miguel 6’5 €
 x + y = 850
x
y
a
 y
 6 − ay 
 , B =   , C =   , D = 

81.- Sean las matrices A = 
0 y
1
 ay 
 1− a 
a) Consideramos x e y dos variables, y a un parámetro. Obtén el sistema de dos ecuaciones y
dos incógnitas que resulta de plantear AB − C = D .
b) Estudia el sistema para los distintos valores de a.
c) Encuentra una solución para a=2. (J07)
ax + ay = 6
Sol.: a) 
b) a=0, S.I.; a=1, S.C.I.; a≠0 y a≠1, S.C.D. c) x=2, y=1
(1 − a )y = 1 − a
82.- Cada instalación de una televisión analógica necesita 10 metros de cable y cada instalación de
televisión digital necesita 20 metros. Cada televisión analógica necesita 20 minutos de instalación y
30 minutos cada televisión digital. Disponemos un máximo de 400 metros de cable al día. Tenemos
que trabajar al menos 300 minutos al día. Diariamente podemos instalar un máximo de 20
televisiones analógicas y debemos instalar al menos 6 televisiones digitales. Por cada televisión
analógica instalada obtenemos unos ingresos de 10 euros y por cada televisión digital 15 euros.
Utilizando técnicas de programación lineal, representa la región factible, calcula el número de
televisores analógicos y digitales que permiten obtener mayores ingresos diariamente, así como el
ingreso máximo diario que se puede obtener. (S07)
Sol.: 20 televisores analógicos y 10 televisores digitales; Ingreso máximo diario = 350 €
83.- Se considera el sistema:
a)
b)
 x − 2y + z = 1

 3x − 5 y + z = 4
x − y + (a − 2)z = 2

Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro a .
Halla todas las soluciones para a = 3 . (S07)
Sol.: a) a=1, S.C.I.; a≠1 S.C.D. b) x=3, y=1, z=0
a 2 x + a 3 y = 1
84.- Sea el sistema: 
 x + a 2 y = 0
a) En función del número de soluciones, clasifica el sistema para los distintos valores del
parámetro a.
b) Resuélvelo para a =2. (J08)
Sol.: a) a= 0, S.I. ; a= 1, S.I. ; a≠ 1 a≠ 0, S.C.D. b) para a=2 , x =1/2, y= -1/ 8
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Pág. 12
85.- Una fábrica de papel tiene almacenados 4000 kg de pasta de papel normal y 3000 kg de pasta
de papel reciclado. La fábrica produce dos tipos diferentes de cajas de cartón. Para el primer tipo se
utilizan 0,2 kg de pasta de papel normal y 0,1 kg de pasta de papel reciclado, mientras que para la
caja del segundo tipo se utilizan 0,2 kg de pasta de papel normal y 0,3 kg de pasta de papel
reciclado. Los beneficios que la fábrica obtiene por la venta de cada caja son, respectivamente 5 €
para el primer tipo y 6 € para el segundo tipo de cajas. Utilizando técnicas de programación lineal,
calcula cuántas cajas de cada tipo deben fabricar para obtener el máximo beneficio. ¿A cuánto
asciende el beneficio máximo obtenido? (J08)
Sol.: 15.000 primer tipo, 5.000 segundo tipo; beneficio 105.000 €
86.- Una ONG organiza un convoy de ayuda humanitaria con un máximo de 27 camiones, para
llevar agua potable y medicinas a una zona devastada por unas inundaciones. Para agua potable
dedica un mínimo de 12 camiones y para medicinas debe dedicar un número de camiones mayor o
igual que la mitad del número de camiones dedicados a llevar agua. Enviar un camión con agua
potable tiene un coste de 9000 euros, mientras que el coste para un camión de medicinas es de 6000
euros. Calcula, utilizando técnicas de programación lineal, cómo debe organizarse el convoy para
que su coste sea mínimo ¿Cuánto es el coste de la solución óptima? (S08)
Sol.: 12 camiones de agua y 6 camiones de medicina 144.000 € de coste
 5

87.- Sea la matriz A = 
2
− 4

−4
−1
4
2

1
− 1
a) Prueba que A2 - 2A + I = 0 donde I es a la matriz identidad y 0 es una matriz con todos sus
elementos iguales a 0.
b) Calcula A3.

9
Sol.: a) A2=2A-I=  4
−8
4


13
− 3 2  b) A3=  6
 − 8 8 − 3
 − 12



(S08)
− 12
−5
12
6

3 

− 5
88. Estudia el siguiente sistema en función del parámetro "a". Resuélvelo siempre que sea posible,
dejando las soluciones en función de parámetros si fuera necesario. Resuélvelo para el caso
particular a=3.
 x + y + 2z = 3

 x + 2 y + 3 z = 5 (J09)
 x + 3 y + az = 7
Sol.: a=4, S.C.I . (1-λ,2-λ,λ); a≠4, S.C.D. a=3, Sol. (1,2,0)
89. Un fabricante de plásticos pretende fabricar nuevos productos plásticos mezclando dos
compuestos químicos A y B. Cada litro de producto plástico 1 lleva 2/5 partes del compuesto A
y 3/5 partes del compuesto B, mientras que el producto plástico 2 lleva una mitad del
compuesto A y la otra mitad del compuesto B. Se disponen de 100 litros del compuesto A y 120
litros del compuesto B. Sabemos que al menos necesitamos fabricar 50 litros del producto 1 y
que el beneficio obtenido por un litro de producto plástico 1 es de 10 euros, mientras que por un
litro del producto plástico 2 el beneficio es de 12 euros. Utilizando técnicas de programación
lineal, representa la región factible y calcula el número óptimo de litros que se debe producir de
cada producto plástico para conseguir el mayor beneficio posible. ¿Cuál es ese beneficio
máximo? (J09)
Sol.: 100 plástico 1 y 120 plástico 2/ 2440 € de beneficio
90. Como cada año, al inicio del curso académico, una tienda de material escolar prepara una oferta
de 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para los alumnos de un IES, empaquetando el
material de dos formas distintas. El primer paquete contiene 2 cuadernos, 1 carpeta y 2
bolígrafos, mientras que el segundo contiene 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. El primer
paquete se vende al precio de 6,50 euros, mientras que el segundo se vende a 7 euros. Usando
técnicas de programación lineal, ¿cuántos paquetes de cada tipo han de realizar para obtener la
máxima recaudación? ¿A cuánto asciende dicha recaudación? (S09)
Sol.: 150 paquetes del primer tipo / 100 paquetes del segundo tipo / 1675 €
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91. Compramos tres regalos A, B y C para tres amigos. Sabemos que hemos pagado 117 euros por
los tres regalos tras habernos hecho un descuento del 10% sobre el precio total. Además sabemos
que el precio del regalo C es el doble que el del regalo A y que el regalo C es 20 euros más caro
que el regalo B. ¿Cuánto hemos gastado en cada regalo? (S09) Sol.: Regalo A, 30€; regalo B, 40€ y regalo C, 60€
92. Sean las matrices:
0
1 
2 −3 1 
2




1
2  y B =  3 − 3 2  . Halla una matriz
 5 − 3 − 1
 − 1 − 2 − 3




A = 0
X tal que
2 X − BA = AB .
(J10) Sol.:
X
3
2
 17
=
2
 3
2
2
− 13
2
− 15
2


−9
2 

6 

−3
93. El dueño de un supermercado ha comprado embutido, bebidas y conservas, por un importe total
de 4600 €. El valor de las conservas es el mismo que el de las bebidas y embutidos juntos. Si vende
todos estos productos, añadiendo un beneficio del 10% en el embutido, el 20% en las bebidas y el
15% en las conservas, obtendrá un importe total de 5305 €. Calcula lo que pagó por cada uno de
ellos. (J10)
Sol.: Embutidos, 1.000 €; bebidas, 1.300 €; conservas, 2.300 €.
94. Discute y resuelve según los distintos valores del parámetro a el siguiente sistema de
ecuaciones:
a 2 x + a 3 y + az = 1

 x + a 2 y + z = 0
(J10) Sol.: a=0 y a=1, S.I.; a≠0, a≠1 S.C.I. (1/a(a-1), 1/a3(1-a)-λ/a2, λ).
95. En un hipermercado se realiza el recuento de caja al final de cierto día. En monedas de 10, 20 y
50 céntimos de euro, el importe total obtenido asciende a 500 euros. Por otro lado, se sabe que 200
euros corresponden, conjuntamente, a las monedas de 10 y 20 céntimos. Si en total se cuentan 1800
monedas, ¿cuántas monedas debe haber de 10, 20 y 50 céntimos para que la caja cuadre? (J10)
Sol.: 400 monedas de 10 cent€, 800 de 20 cent€ y 600 de 50 cent€.
96. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
 x + 2 y − az = 1

− y + 2 z = 0
ax + 3 z = −a

a) Clasifica el sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro a.
b) Halla todas sus soluciones para a = 2. (S10)
Sol.: a) a=3 y a=1, S.I.; a≠3, a≠1 S.C.D. b) (-7, 8, 4).
97. Una empresa de transportes debe organizar el traslado de dos productos A y B entre dos
ciudades utilizando camionetas y furgones. Cada camioneta permite transportar 5 unidades de A y 4
de B, mientras que en cada furgón se puede transportar 2 unidades de A y 1 de B. La empresa no
puede transportar más unidades de las que pueda vender en la ciudad de destino y en la ciudad de
destino puede vender como máximo 90 unidades de A y 60 de B. El envío de una camioneta le
reporta a la empresa un beneficio de 1600 euros, mientras que el envío de un furgón le reporta un
beneficio de 600 euros. Usando técnicas de programación lineal, ¿cuántas camionetas y furgones
deben usar para maximizar el beneficio en estos transportes? ¿A cuánto asciende dicho beneficio
óptimo? (S10)
Sol.: 10 camionetas y 20 furgones. Beneficio óptimo, 28 000 €.
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98. Se considera el sistema de ecuaciones:
x − y = 2

3x + 2 y = 4

2
4 x + y = a
a) Clasifica el sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro a.
b) Resuélvelo siempre que sea compatible. (S10)
Sol.: a ≠ ± 6 , S.I.; a = ± 6 , S.C.D., sol.
( )
8 ,− 2 .
5 5
99. Un alfarero dispone semanalmente de 150 kg de arcilla de tipo A y de 22 kg de arcilla de tipo B
para la fabricación de ánforas y jarrones. La producción de un ánfora requiere 3 kg de arcilla de tipo
A y 1 kg de tipo B, pero la de un jarrón necesita 6 kg de arcilla de tipo A y 500 gramos de arcilla de
tipo B. Por limitaciones de espacio para el almacén, como máximo puede fabricar 26 vasijas (entre
ánforas y jarrones). El precio de venta de un ánfora es 20 euros y el de un jarrón es 30 euros. Utiliza
técnicas de programación lineal para hallar el número de ánforas y de jarrones que debe fabricar el
alfarero para que su recaudación sea máxima. ¿Cuál es esa recaudación máxima? (S10)
Sol.: 2 ánforas y 24 jarrones. Recaudación máxima, 760 €.
100. Resuelve el siguiente sistema matricial:
 6 28 

 10 17 
 1 1
 −1 12 
 0 1 X =  2 7 




2 X + 3Y = 
(J11) Sol.: X =
( ) ( )
−3 5
2
7
yY =
4 6
2 1
101. Un grupo de estudiantes financia su viaje de fin de curso con la venta de participaciones de
lotería, por importe de 1, 2 y 5 euros. Han recaudado, en total, 600 euros y han vendido el doble de
participaciones de 1 euro que de 5 euros. Si han vendido un total de 260 participaciones, calcula el
número de participaciones que han vendido de cada importe. (J11)
Sol.: 160 participaciones de 1 €, 20 de 2 € y 80 de 5 €.
102. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones:
 x − 2y + z = 0

3 x + 2 y − 2 z = 4
 8 x + 8 y + az = 8
a) Clasifica el sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro a.
b) Halla todas sus soluciones para a = −3 . (S11)
Sol.: a) a ≠ -7, S.C.D.; a = -7, S.I. b) (3/4, -1/8, -1).
103. En una quesería se producen dos tipos de queso de leche de oveja: fresco y curado. La
elaboración de un queso curado requiere 6 litros de leche de oveja y la de un queso fresco 3 litros.
La ganancia por la venta de un queso fresco es 10 euros y por la de uno curado es 30 euros. Se sabe
que la quesería dispone diariamente de 1800 litros de leche de oveja y su capacidad de producción
es de 500 quesos diarios. Debido a la demanda, la producción de queso fresco debe ser al menos el
doble que la de queso curado.
Utiliza técnicas de programación lineal para encontrar la producción de quesos que hace máxima
la ganancia diaria total de la fábrica por la venta de quesos, así como dicha ganancia máxima. (S11)
Sol.: 150 quesos curados y 300 quesos frescos. 7500 € de ganancia máxima.
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GUIÓN de los ejercicios
Operaciones con matrices: 11 - 14 - 16 - 28 - 44 - 49 - 52 - 56 - 59 - 61 - 63a - 64 - 67a - 69a - 70 - 72 - 87 - 92
Aplicaciones de las matrices: 24 - 29 - 33 - 37
Ecuaciones matriciales y operaciones con inversas: 7 - 8 - 20 - 23 - 32 - 43 - 46 - 50 - 64 - 69b - 74 - 81 - 100
Sistemas de ecuaciones homogéneos: 12 - 63b
Sistemas de ecuaciones no homogéneos: 10 - 41- 67bc
· Con parámetros: 18 - 36 - 40 - 45 - 54 - 60 - 83 - 84 - 88 - 94 - 96 – 98 - 102
· Plantear problemas: 47 - 48 - 51- 57 - 58 - 68 - 76 - 78 - 80 - 91 - 93 - 101
Programación lineal:
· Teóricos: 1 - 25 - 30 - 34 - 38
· Problemas de plantear: 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 9 - 13 - 15 - 17 - 19 - 21 - 22- 26 - 27 - 31 - 35 - 39 - 42 - 53 - 55 - 62
- 65 - 66 - 71 - 73 - 75 - 77 - 79 - 82 – 85 - 86 - 89 - 90 - 95 - 97 - 99 - 103
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