Problema 10

Ejercicios: Mecánica Cuántica I (maestrı́a)
Olivier Sarbach
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo
25 de octubre 2006
Problema 10
Calcule el kernel K(t, qf , qi ) de propagación para el oscilador armónico cuántico usando la formulación por integral de trayectorias,
Z
i
exp
K(t, qf , qi ) =
S[q] D[q]
~
q(0)=qi ,q(t)=qf
=
×
N/2
π
mN
e−iN 4 ×
lı́m
N →∞ 2π~t


"
#  −1
Z
N
2 2  N
i X
Y
εmω
q
m
j

(qj − qj−1 )2 −
dqj 
exp

~
2ε
2
j=1
j=1
(1)
q0 =qi ,qN =qf
donde ε = t/N , q : [0, t] → R es una trayectoria y
m
S[q] =
2
Zt
0
q̇(s)2 − ω 2 q(s)2 ds
es la acción del oscilador armómico.
(a) Determine la trayectoria clásica qcl : [0, t] → R que satisface qcl (0) = qi ,
qcl (t) = qf y muestre que la acción correspondiente es dada por
S[qcl ] =
mω 2
(qf + qi2 ) cos(ωt) − 2qf qi .
2 sen(ωt)
(2)
(b) Haga un cambio de variables q 7→ ∆q, donde ∆q = q − qcl : [0, t] → R
describe la desviación de la trayectoria clásica y muestre que
m
S[q] = S[qcl ] +
2
Zt
0
1
(∆q̇(s))2 − ω 2 ∆q(s)2 ds.
(c) Usando el resultado del inciso (b), muestre que la integral de trayectorias
se puede reescribir como
N/2
π
mN
i
e−iN 4 ×
S[qcl ] lı́m
N →∞ 2π~t
~



Z
N
−1
i X
2
2  N
Y
εmω
(q
)
m
j
2


(qj − qj−1 ) −
dqj exp
~

2ε
2
j=1
j=1
K(t, qf , qi ) = exp
×
(d) Usando las integrales de Fresnel, muestre que
K(t, qf , qi ) = exp
π
i
S[qcl ] − i
~
4
lı́m
N →∞
mN
2π~ t dN −1
1/2
donde dN es el determinante de la siguiente matriz N × N


2b −1
 −1 2b −1

0




ε2 ω 2
−1
2b
−1

,
.
b
=
1
−


.
.
.
2



0
−1 2b −1 
−1 2b
(e) Para evaluar el determinante, muestre primero que dN satisface la siguiente relación de recursión,
dN +1 = 2b dN − dN −1 ,
que también se puede escribir como
dN +1
dN
=M
,
dN
dN −1
N = 2, 3, 4, ...
M=
2b −1
1
0
.
Ahora muestre que para b 6= 1,
dN =
+1
+1
− λN
λN
−
+
,
λ+ − λ −
√
donde λ± = b ± b2 − 1 son los autovalores de M . (¿Cuál es el valor de
dN para el caso b = 1?)
(f) Obtenga el resultado final
K(t, qf , qi ) =
mω
2π~ sen(ωt)
donde S[qcl ] es dada por (2).
2
1/2
exp
i
π
S[qcl ] − i
~
4
(3)
.
q0 =0,qN =0
(g) Verifique que al tomar el lı́mite ω → 0 la expresión (3) se reduzca al kernel
de la partı́cula libre en una dimensión.
(h) Calcule la solución
ψ(t, qf ) =
Z
K(t, qf , qi )ψ0 (qi )dqi
correspondiente al estado base
r
1 mω 2
mω
q
ψ0 (q) = √ exp −
π~
2 ~
del oscilador armónico1. ¿Cuál es la energı́a de esta solución?
1 Usar
la integral del problema 6.
3