TRABAJO PRÁCTICO Nº 4 – RESONANCIA

Física I – Turno 14
F. Perez Quintián – A. Alcaraz – L. Ciocci – M. Pereyra
Trabajo Práctico Nº 4.
Resonancia
TRABAJO PRÁCTICO Nº 4 – RESONANCIA
Objetivo
Determinar la velocidad del sonido
Introducción teórica
Ondas Estacionarias
Las ondas estacionarias se obtienen como superposición de dos ondas sinusoidales de igual frecuencia y amplitud que
viajan en direcciones contrarias. Si
y1 ( x, t ) = A sin(kx − ωt );
y2 ( x, t ) = A sin(kx + ωt )
(1)
entonces su suma será
y ( x, t ) = y1 ( x, t ) + y2 ( x, t ) = 2 A sin(kx)cos(ωt )
(2)
El resultado ya no es más una onda que se propaga: cada punto x tiene un movimiento armónico expresado por el
factor cos(ωt ) dependiente del tiempo y la amplitud varía de un punto a otro según el factor dependiente de x,
2 A sin(kx) .
La amplitud de este movimiento armónico será cero para algunos valores de x y las coordenadas de estos puntos que
no vibran son:
2π
(3)
xn = nπ
con n entero
λ
o sea que
xn = n
λ
(4)
2
Se dice que la onda tiene nodos en esos valores de x, siendo la distancia entre dos nodos consecutivos λ/2.
La amplitud máxima será 2A y las coordenadas de estos puntos serán:
2π
π
con n entero
x = (2n − 1)
λ n
2
(5)
o sea que
xn = (2n − 1)
λ
(6)
4
Se dice que la onda tiene vientres en esos valores de x, siendo también la distancia entre dos vientres consecutivos λ/2.
Observar que un vientre está en el punto medio entre dos nodos. La figura 1 muestra la función y(x,t) de la ecuación
(2) para distintos valores de t.
1
0.8
0.6
0.4
y (cm)
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
x (metros)
Figura 1. Una onda estacionaria de amplitud 1 cm y longitud de onda λ = 6.28m
en función de la posición para distintos instantes de tiempo.
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Resonancia
La onda no se desplaza sino que aparece atada en los nodos. En una onda estacionaria no hay transporte de energía
sino que está confinada localmente en el medio con conversión alternada de energía elástica en cinética.
En el trabajo práctico que se realizará, las ondas estacionarias serán generadas por reflexión de ondas acústicas en un
tubo de aire cerrado, cuya longitud se podrá variar por estar conectado a vasos comunicantes con nivel variable.
Sabiendo que en un gas la onda longitudinal se puede describir como vibraciones del medio (moléculas) o como
oscilaciones de presión y teniendo en cuenta el desfasaje entre ambos , los nodos de vibración de una onda acústica
estacionaria son vientres de presión (amplitud de oscilación de presión máxima) y viceversa o sea los puntos que
vibran con amplitud máxima tienen variaciones de presión nula y los puntos que permanecen en reposo registran
aumentos y disminuciones de presión máximos.
Frecuencias naturales o frecuencias propias
El concepto de frecuencia propia se vio en el estudio del
oscilador armónico, que con una masa m sometida a la
acción de un resorte de constante k tenía una frecuencia
natural o propia ν = (2π k/m)1/2.
El oscilador tiene una sola frecuencia propia. Todos los
cuerpos deformables que tienen una distribución continua de
masa y un tamaño finito (cuerdas, columnas de aire,
edificios, puentes, etc. ) tienen un número infinitamente
grande de frecuencias propias o autofrecuencias (frecuencias
armónicas) múltiplos enteros de una frecuencia fundamental
que depende de los parámetros físicos del sistema oscilante.
Estos modos posibles de vibración son independientes del
mecanismo inicial de excitación, en cambio el espectro de
vibración, o sea la proporción con que intervienen los
distintos armónicos, depende del proceso de excitación.
En el experimento que se realizará se tendrá un tubo de aire
cerrado en un extremo y abierto en el otro. El extremo
cerrado exige un nodo de vibración o vientre de presión y el
abierto un vientre de vibración y nodo de presión; en la
figura 2 se esquematizan dos modos posibles de ondas
estacionarias de vibración.
Las frecuencias naturales de un tubo como el de la figura son
ν n = (2n − 1)
L
nodos de vibración
(vientres de presión)
Figura 2. Un tubo parcialmente lleno de agua, con la
columna de aire de longitud L y el esquema de dos
posibles ondas estacionarias, correspondientes a dos
frecuencias naturales de este sistema..
c
4L
(7)
fundamental
1er armónico
Movimiento forzado y resonancia
Cuando un sistema (como el tubo de la figura 2) es perturbado
por una fuerza exterior, comenzará a oscilar en una
superposición de muchas ondas con frecuencias
correspondientes a sus frecuencias naturales. Si la fuerza que
perturba el sistema tiene justo una frecuencia que coincide con
alguna de las frecuencias naturales del sistema, entonces el
sistema oscilará en esa frecuencia con una gran amplitud (que
se haría infinita si no hubiera efectos de disipación de energía).
A este fenómeno se lo conoce con el nombre de resonancia.
x
L1
L2
λD/2
Pasos a seguir en el Laboratorio
Se hace vibrar un diapasón de frecuencia conocida νD sobre la
boca de un tubo de vidrio parcialmente lleno de agua, como el
mostrado en la figura 2. La longitud de onda de la onda de
sonido producida por el diapasón es λD = c/νD, donde c es la
velocidad del sonido en el aire. Inicialmente el tubo está lleno y
luego se hace descender la columna de agua de modo que la
Figura 3. El vientre de la onda estacionaria suele
estar desplazado del borde del tubo.
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Resonancia
longitud de la columna de aire (L) va aumentando.
Cuando L es tal que la frecuencia del diapasón νD empalma con alguna frecuencia natural νn del tubo, ecuación (7),
entonces se produce el fenómeno de resonancia y aumenta de manera notable el sonido producido por el diapasón.
Se marca entonces sobre el tubo de vidrio el valor de L1 que corresponde a la frecuencia fundamental:
1
(8)
ν1 = ν D
⇒
L1 = λD
4
Como en general el vientre de vibración no coincide con el borde del tubo (ver Figura 3), sino que está desplazada una
cierta distancia x, se busca una segunda resonancia correspondiente a una nueva longitud L2 que a su vez
corresponderá al segundo modo de vibración del tubo o primer armónico (n = 2)
ν 2 =ν D
3
L2 = λD
4
⇒
(9)
La diferencia entre ambas será
L2 − L1 =
λD
(10)
2
De donde obtenemos fácilmente la velocidad del sonido en el aire
(11)
c = λDν D
Corrección por temperatura
Se tiene para un gas que la velocidad depende de la temperatura de la siguiente forma
γ RT
c(T ) =
M
(12)
donde R es la cte. universal de los gases, γ una constante relacionada con la compresibilidad, M la masa molecular y T
la temperatura absoluta.
Es fácil ver que c0, la velocidad del sonido a 0 ºC es
273
(13)
c0 = c(273º K ) = c(T )
T
El valor determinado en el laboratorio es c(T). Se medirá T y se determinará c0 a partir de la ec. (13).
Recomendaciones para el informe
Lea PAUTAS PARA LA ELABORACIÓN Y PRESENTACIÓN DE INFORMES DE LABORATORIO
Propagar los errores correspondientes a todas las mediciones. Despreciar únicamente el error en la frecuencia del
diapasón νD.
Buscar en tablas el valor de c0 y calcular la diferencia porcentual con el resultado que ustedes obtuvieron.
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