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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
ESCUELA DE INGENIERIA EN ENERGIA
MODULO 5
CURSO: CONTROL AUTOMATICO
PROFESOR: MSC. CESAR LOPEZ AGUILAR
INGENIERO EN ENERGIA-INGENIERO MECANICO ELECTRICISTA
I.
CONTENIDO
1. ESTRATEGIAS DE CONTROL,
2. MODELOS MATEMATICOS PARA SISTEMAS: FUNCION DE
TRANSFERENCIA
3. ERROR EN ESTADO ESTABLE
4. PRACTICA N 05
II. OBJETIVO
Conocer las estrategias de control, definir un modelo matemático y
calcular el error.
III. BIBLIOGRAFIA
W. Bolton,
Año 2001 Ingeniería de Control. Cap. 1
En la figura muestra un trabajador mantiene el nivel de líquido en un
contenedor a un nivel constante. Para esto observa el nivel a través de
una mirilla de vidrio en una de las paredes del tanque, y ajusta la
cantidad de líquido que sale del tanque con la apertura o cierre de una
válvula.
La variable controlada: Nivel del líquido en el tanque (mm.)
El valor de referencia : Nivel marcado en el vidrio (80 cm.) (set point)
Elemento de comparación:
La persona
ingreso
Señal de error, diferencia entre el
nivel requerido y real.
Elemento de control: La persona
Elemento de corrección : La válvula
Proceso: Agua en el contenedor
Medidor: Observación
Visual(persona
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salida
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Ahora el anterior proceso lo representamos mediante un diagrama de
control, como se muestra en la figuras. Los procesos energéticos tienen esta
representación, de lazo cerrado.
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1. ESTRATEGIAS DE CONTROL
El elemento de control tiene como entrada la señal de error y como salida
una señal que se convierte en la entrada a la unidad de corrección de
modo que se pueda iniciar la acción para eliminar el error. Existen varias
formas para que el elemento de control reacciones ante una señal de error.
Estas son:
1. Control de Dos Posiciones, On/Off, Encendido-Apagado.
2. Control Proporcional
3. Control Derivativo
4. Control Integral.
A continuación se muestra los gráficos de modos de control de dos
posiciones y proporcional
salida
salida
-
0
error
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+
-
0
error
+
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2. MODELOS MATEMATICOS PARA SISTEMAS
Un modelo matemático de un sistema es la representación de la
relación entre la entrada y la salida. Las relaciones reales entre la
entrada y la salida de un sistema, se sustituyen por expresiones
matemáticas.
EJEMPLO:
Sea un motor de corriente directa controlado por armadura, como se
muestra en la figura. Nuestro sistema es el motor, que lo definimos
como un sistema de control, es decir esta máquina nos permite
controlar la velocidad de rotación en función del voltaje; así para una
entrada de 1 voltio, tendrá como salida 500 rpm; para una entrada de
2 voltios tendrá una salida de 1000 rpm.
v
G
w
Figura Motor de cd.
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2. MODELOS MATEMATICOS PARA SISTEMAS
De este modo, si existe una relación entre la salida y la entrada para el
motor, entonces el modelo matemático es:
w = GV
Donde G es la constante de proporcionalidad. Esta relación implica que
si el voltaje cambia, entonces deberá haber un cambio inmediato
correspondiente en la velocidad angular del eje (w). Este no será el
caso, puesto que el motor, toma un tiempo para que el eje cambie a la
nueva velocidad. Así la relación existe, solo entre el voltaje y la
velocidad cuando el sistema ha tenido suficiente tiempo para asentarse
ante cualquier cambio en la entrada, es decir, esto se refiere a lo que
se denomina condición en estado estable. Entonces la ecuación
anterior se escribe:
w = G(valor es estado estable de V )
G = Valor en estado estable de w
Valor en estado estable de
Por lo tanto
valor es estado estable de V
La constante G se denomina función de transferencia o ganancia del
sistema.
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2. MODELOS MATEMATICOS PARA SISTEMAS
EJEMPLO 1.
Un motor tiene una función de transferencia de 500 rev/min por volt. ¿Cuál
será la velocidad de salida en estado estable para tal motor cuando la
entrada es 12 V. Dibuje su diagrama de bloques. Explicar si el sistema es
Lineal. (Respuesta: 6000 rev/min).
Utilizando la ecuación:
w
G = Valor en estado estable de
valor es estado estable de V
Entonces,
Salida en estado estable = 500 rev/min/volt x12 V = 6000 rev/min
V =12 V
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G
w = 6000 rev/min
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MODELOS MATEMATICOS PARA SISTEMAS EN LAZO ABIERTO
Sea el siguiente diagrama de bloque de lazo abierto
Qi
Elemento 1
F.T.G1
Para el elemento 1
G1 = Q1
Q1
Elemento 2
F.T.G3
Para el elemento 2
G2 = Q2
Qi
Q1
Q2
Elemento 2
Qo
F.T.G2
Para el elemento 3
G3 = Qo
Q2
La función de transferencia global del sistema es la salida Qo dividida
entre Qi. Esto se puede escribir como:
Qo= Q1 x Q2 x Qo
Qi Qi Q1 Q2
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y la función de transferencia = G1 x G2 x G3
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MODELOS MATEMATICOS PARA SISTEMAS EN LAZO ABIERTO
Ejemplo 2.
El sistema de medición consta de dos elementos, un sensor y un
acondicionador de señal en serie, como se muestra en la figura. Si el
sensor tiene una función de transferencia de 0.1 mA/Pa y el
acondicionador de señal una función de transferencia de 20. ¿Cuál es
la función de transferencia del sistema de medición?
sensor
F.T.0.1 mA/Pa
Acondicionador
F.T. 20
El sensor y el acondicionador están en serie, de modo que la función
de transferencia combinada es el producto de las funciones de
transferencia de los elementos individuales.
Función de transferencia = 0.1 x 20 = 2 mA/Pa
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MODELOS MATEMATICOS PARA SISTEMAS EN LAZO CERRADO
Sea el siguiente diagrama de bloque de lazo cerrado
Qi +
e
Elemento 1
F.T. G
-
comparador
Qo
G = Qo
e
Para la medición H = f
Para el elemento 1
Qo
Medición
Realimentación f
F.T. H
f
Para el comparador
e = Qi
-f
Al sustituir e y f en la ecuación del comparador :
Qo = Qi –H Qo
G
La función de transferencia = Qo =
G
Qi
1 + GH
.
La ecuación se aplica a realimentación negativa. Con realimentación
positiva el denominador de la ecuación anterior se convierte en (1-GH). En
el sistema de lazo cerrado, G se conoce como la función de transferencia
directa y GH como función de transferencia en lazo. La mayoría de
controladores trabajan con realimentación negativa.
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MODELOS MATEMATICOS PARA SISTEMAS EN LAZO CERRADO
Ejemplo 3
Un motor de velocidad controlada tiene un sistema motor-relevadoramplificador con una función de transferencia combinada de 600
rev/min por volt y un sistema de medición en el lazo de realimentación
con una función de transferencia de 3 mV por rev/min, como se ilustra
en la figura. ¿Cuál es la función de transferencia global?.
e
Motor-revelador-Ampl
F.T. 600 rev/min por V
El
sistema
tendrá
realimentación negativa.
Sistema de Medición
F.T. 3 mV/rev/min
La función de transferencia =
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G =
600
= 214 rev/min por V
1 + GH 1 + 600*0.003
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3. ERROR EN ESTADO ESTABLE
El error en estado estable E de un sistema es la diferencia entre la salida
del sistema y su entrada cuando las condiciones están en estado
estable.
E = Qo - Qi
Puesto que para un sistema con una función de transferencia global G
G = Qo Entonces E = Gs Qi – Qi = Qi(G-1)
Qi
Para un sistema en lazo abierto de funciones de transferencia G1, G2 y
G3, entonces el error es : E = Qi(G1 x G2 x G3 - 1)
Para un sistema en lazo cerrado el error en estado estable es:
E = Qi [ G
1 + GH
- 1]
Si el sistema tiene elementos G1, G2 y G3,
entonces G = G1 x G2 x G3
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Ejemplo 4
3. ERROR EN ESTADO ESTABLE
La figura muestra un controlador con una función de transferencia de 12
y un motor con una función de transferencia de 0.10 rev/min por V.
a) ¿Cuál será el error en estado estable para un sistema en lazo abierto
y como cambiará el error si, debido a cambios ambientales, la función
de transferencia del motor cambia en 10%?
Qi
12
0.10 rev/min
Por V
Qo
Qi +
12
-
0.10 rev/min
Por V
Qo
1.0 V por
rev/min
f
b) ¿Cuál será el error en estado estable para un sistema en lazo
cerrado si el lazo de realimentación tiene una función de
transferencia de 1.0 V por rev/min y como cambiará el error si,
debido a cambios ambientales, la función de transferencia del motor
cambia en 10%?
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Respuesta
3. ERROR EN ESTADO ESTABLE
a) Empleando E = Qi(G1 x G2 - 1) = Qi (12x0.10-1) = 0.20Qi
Si hay un cambio de 10 % en la función de transferencia del motor, es decir,
0.11 rev/min por V, entonces. E = i (12x0.11-1) = 0.32Qi
El error se ha incrementado en un factor de 16
Para un sistema en lazo cerrado, antes que ocurra algún cambio, el
error en estado estable es:
E = Qi [ G1G2 -1] = Qi [ 12x0.10
-1] = -0.45 Qi
1 + G1G2H
1+12x0.10x1.0
Si hay un cambio del 10 % en la función de transferencia del motor, es
decir 0.11 rev/min por V, entonces.
E = Qi [ 12x0.11
1+12x0.11x1.0
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-1] = -0.43 Qi El cambio de error es más
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pequeño que un sistema en lazo
abierto.
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4. PRACTICA N° 05
Trabajo individual (presentar en horas de práctica)
1. Defina y muestre un ejemplo de control de dos posiciones y
proporcional. Tomar como referencia las prácticas con el equipo UCP
EDIBON.
2. Para el sistema de la UCP-EDIBON, defina un modelo matemático y
condición en estado estable. Determine la Ganancia de su sistema.
3. Calcule la función de transferencia para un sistema de lazo cerrado
con realimentación positiva.
4. Calcule la función de transferencia para un sistema de lazo cerrado
con realimentación negativa y funciones de transferencia G1 Y G2.
5. Para el ejemplo del operador controlando el nivel, si el nivel es de 60
cm. Calcular el error y la acción del operador.
6. Para el ejemplo del operador controlando el nivel, si el nivel es de 90
cm. Calcular el error y la acción del operador.
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4. PRACTICA N° 05
Trabajo individual (presentar en horas de práctica)
7. Un sistema de control de posición utilizado con una máquina
herramienta tiene un amplificador en serie con una válvula corrediza y
un lazo de realimentación con un sistema de medición de
desplazamiento. Si las funciones de transferencia para el amplificador
es de 22 ma/V, para la válvula corrediza 14 mm/mA y para el sistema
de medición de 3.2 V/mm, ¿Cuál es la función de transferencia global
para el sistema de control?, realice el esquema del sistema de control.
(Respuesta: 0.312 mm/V)
8. ¿Cuál será el error en estado estable para un sistema de control de
temperatura en lazo abierto que consta de un controlador con una
función de transferencia de 1.5 en serie con un calefactor con una
función de transferencia de 0.90°C/V y cuál será el cambio porcentual
en el error en estado estable si la función de transferencia del
calefactor disminuye en 1%?. Realizar el esquema del sistema de
control. (Respuesta : 0.35, 0.3365, 3.86%)
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4. PRACTICA N° 05
Trabajo individual (presentar en horas de práctica)
9. ¿Cuál será el error en estado estable para un sistema de control de
temperatura en lazo cerrado que consta de un controlador con una
función de transferencia de 20 en serie con un calefactor con una
función de transferencia de 1.2 °C/V y un lazo de realimentación de 12
V/°C; y cuál será el cambio porcentual en el error en estado estable si
la función de transferencia en el calefactor disminuye en 1%?. Realizar
el esquema del sistema de control. (Respuesta. -0.916955017, 0.916957920, 3.16x10-4 %)
10. Un motor tiene una función de transferencia de 500 rev/min por volt.
¿Cuál será la velocidad de salida en estado estable para tal motor
cuando la entrada es 12 V. Dibuje su diagrama de bloques. Explicar si
el sistema es Lineal. (Respuesta: 6000 rev/min)
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4. PRACTICA N° 05
Trabajo individual (presentar en horas de práctica)
11.Un sistema de lazo abierto, tiene una función de transferencia de “T”.
¿Cuál será el efecto sobre la salida del sistema si la función de
transferencia se reduce a ¼ T?. ¿Cuál sería el efecto si el sistema
tuviera un lazo de realimentación positiva con una función de
transferencia de 2 y un lazo con una realimentación negativa de 1. Para
ambos casos realice los diagramas de bloques (Respuesta.
0.75T/[1+2T(0.75)]
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