Cálculo Numérico

Introducción a la Ingeniería Química
Dpto. de Ingeniería de Procesos y Gestión Industrial
FACET - UNT
Técnicas numéricas para ecuaciones generales monovariantes
Introducción:
Con frecuencia se presenta en los cálculos de balances de masa y
energía el problema de la resolución de sistemas de ecuaciones
simultáneas. En procesos estacionarios o de régimen el sistema
resultante estará compuesto por ecuaciones algebraicas, lineales o no
lineales. Y en el caso de procesos que varían con el tiempo, se tendrá
un sist. de ecs. diferenciales, que pueden a su vez por algún método
ser discretizadas
y en consecuenc ia reducidas a sistemas de
ecuaciones algebraicas.
De lo que se desprende que la solución de sistemas de ecuaciones
algebraicas ocupa un lugar muy importante en el cálculo de procesos.
Sistemas de ecuaciones algebraicas: pueden clasificarse en:
lineales: cada término en cada ecuación contiene una
incógnita, y ésta aparece a la primera potencia.
no lineales: en cualquier otro caso.
sola
Métodos de resolución : pueden dividirse en:
directos: generan una solución mediante una secuencia finita de
operaciones matemáticas que producen un resultado cuya única
fuente de error es el redondeo numérico.
iterativos: generan una solución mediante una secuencia finita de
aproximaciones, cuyo límite, si existe, constituye la solución
buscada. En cada paso o iteración se ob tiene una aproximación de
la raíz buscada, la que es mejorada en la iteración siguiente,
conforme a un algoritmo o secuencia bien definida de etapas que se
propone como método para llegar a la solución. Una vez que la
aproximación hallada satisface algún c riterio de convergencia
previamente definido, el proceso se interrumpe.
Mientras los sistemas lineales pueden resolverse por métodos directos
(la mayoría de las ve ces) o iterativamente, los sistemas no lineales
admiten solamente la resolución por método i terativos.
El siguiente cuadro sinóptico, sin ser taxativo, ofrece un panorama
relativamente amplio de las técnicas más comunes para la
determinación de las raíces reales de ecuaciones algebraicas y
trascendentes.
Ing. Carlos Correa, Dra. Norma Barnes, Dra. Dora Paz
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UNIDIMENSIONALES (ecuación única c on una sola variable)
Ecuaciones
Unidimensionales
Y = F(x)
Lineales
Métodos directos
No lineales
- Métodos directos (polinomios)
- Métodos Iterativos - Sustitución directa
- Linealización
Secante
Newton-Raphson
MULTIDIMENSIONALES
múltiples)
Ecuaciones
Multidimensionales
Y1 = F(x1, …xn)
…
Yn = F(x1,….xn)
(sistema
Lineales
No lineales
de
ecuaciones
con
variables
Métodos directos
Métodos iterativos
UNICAMENTE
- Métodos Iterativos - Sustitución directa
- Linealización
En este curso se focalizará únicamente los métodos iterativos para la
resolución de ecuaciones unidmensionales del tipo algebraico (marcado
con el diagrama superior punteado en rojo).
Métodos iterativos
Metodos generales para la resolución de ecs. no lineales.
Como acabamos de ver en Ing. Qca es muy común enfrentarse con el
cálculo de funciones cuyas raíces no pueden determinarse p or un
método directo simple. En estos casos se aplican los métodos iterativos
o de aproximación de raíces.
Es decir, que dada una función:
F(x) = 0
se debe generar una secuencia finita de x0, x1, x2,.........,xn
tal que,
si existe el límite de la mis ma para n tendiendo a infinito, dicho límite
es la raíz buscada.
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Las principales características de los métodos iterativos son:
1. Requieren de una aproximación inicial.
2. Requieren de una ley de
buscada (algoritmo)
recurrencia que nos provea la secuencia
3. Fijar un criterio que nos indique cuándo hemos logrado una
aproximación aceptable de la raíz y dar por concluído entonces el
proceso iterativo (criterio de truncamiento, o de error)
4. La convergencia no está garantizada (punto débil). La convergencia
está condicionada por la estructura del problema. El proceso
iterativo puede llegar o no a una solución, dependiendo de la forma
de las ecuaciones, magnitudes de los coeficientes, amplitud de la
brecha entre el valor inicial y la raíz, etc.
La dificultad principal r adica en que si la aproximación inicial no es
buena, el método pu ede ser divergente.
Los métodos iterátivos pueden clasificarse en 2 grandes grupos:
Sustitución directa :
Simple
Con aceleración de W egstein.
Métodos de linealización:
Secante
Regula-Falsi
Newton-Raphson
Por supuesto que esta clasificación no es exhaustiva, es simplemente
un intento de sistematizar l os métodos más empleados en el cálculo de
procesos químicos con el auxilio de una computadora.
Sustitución directa
Dada una función implícita F(x) = 0, se debe procurar explicitarla de la
forma: x = G(x)
Sea x0 una aproximación inicial a la solución de F(x) =0; se tiene:
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x0
y
x1 = G(x0)
la posterior :
y =x
x2 = G(x1)
G(xo)
….
.....
G(x1)
xn = G(x(n-1))
y =G(x)
xo
x2 x1
r1
x
raíz: r1
Ahora la cuestión fundamental es: ¿Convergen los valores de x a
medida que n crece?
La condición suficiente (pero no necesaria) para que el método
converja es que g(x) tenga derivada contínua que verifique en cada
punto de iteración la siguiente relación :
G´(x)
< 1
Si no se cumple esta condición, el método podría converger pero no
hay seguridad que así suceda.
El principal problema de la sustitución d irecta es que, en general, no se
sabe cómo ordenar las ecuaciones para que se cumpla la condición
suficiente de convergencia en cada punto de iteración. Generalmente
ésto puede hacerse de muy diversas maneras, de modo que para cada
función F(x) hay muchas funciones G(x) posibles. Lo mejor es ensayar
diferentes ordenaciones hasta que una de ellas resulte satisfactoria.
La ventaja de este método es la simplicidad, razón por la cual es el 1º
recurso que se intenta usualmente.
Sus desventajas son que puede no c onverger y cuando lo hace, puede
ser excesivamente lento.
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Problema clase: Dada y =F(x) , hallar x tal que F(x) =0.
F(x) 1,38 x 26,34.e 0,66x 3,75 x 0
Debe ser: x mayor que cero
x
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
F(x)
1,79019178
-1,3804108
-2,08312687
-2,02721751
-1,71929778
-1,34097834
-0,96242313
-0,61029727
-0,29309431
-0,01156248
0,23673242
0,45534649
0,64802592
0,81830211
0,9693369
Sustitución directa
Caso 1
Caso 1
G ( x)
3,75 (26,34. e
0, 66 x
1,38 x )
x
G(x) = 3,75/(26,34^EXP(-0,66*x) -1,38*x^0,5)
Esta función tiene una asíntota: cuando el denominador es próximo a cero
x asintota= 2,2688223
denominador = 9,998E-05
G(x) = 37481,205
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Gráfico de la función G(x)
x
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
2,2688223
G(x)
0,1791051
0,2701649
0,3936092
0,5598585
0,7850174
1,0962818
1,5436743
2,2298892
3,4029142
37481,205
x
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
r1
r2
asíntota
Aplico el método:
raiz 1
x
x=
0,2000 0,2211
0,2308
0,2354
0,2376
0,2387
0,2392
0,2394
G(x) =
0,2211 0,2308
0,2354
0,2376
0,2387
0,2392
0,2394
0,2396
(G(x)-x)/G(x)=
0,0955 0,0422
0,0195
0,0092
0,0044
0,0021
0,0010
0,0005
x
0
CONVERGE
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raiz 2
x:
x=
1,1
1,0963
1,0895
1,0771
1,0549
1,0166
0,9535
0,8583
G(x) =
1,0963
1,0895
1,0771
1,0549
1,0166
0,9535
0,8583
0,7321
-0,0377 -0,0662
-0,1109
-0,1724
(G(x)-x)/G(x)=
-0,0034 -0,0063
-0,0115 -0,0210
x
DIVERGE
Caso 2
G(x) ((26,34.e 0,66 x 3,75/ x) /1,38)2
Caso 2
G(x) = =((26,34^EXP(-0,66*x)-3,75/x)/1,38)^2
x
0,2
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
2,3
2,5
2,7
2,9
3,1
G(x)
0,7225456
2,3963667
4,7354329
3,2702508
1,9346799
1,1176453
0,656447
0,3991363
0,2539387
0,1703429
0,1211234
0,0915519
0,0735498
0,0626014
0,0561264
0,052613
x
0,2
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
2,3
2,5
2,7
2,9
3,1
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0
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x=
1 1,469882672 0,42903784
G(x) = 1,4698827 0,429037835
x:
(G(x)x)/G(x)=
0,3197
-2,4260
4,777120404 DIVERGE
4,7771204
0,069961936
0,9102
-67,2817
Los métodos iterativos pueden generar una s ecuencia divergente , y
sucede cuando la pendiente en las proximidades de la ra íz es menor
que 1 (G´(x) ≤1). En estos casos el método puede diverge r.
Cuando se cumple que: G´(x) ≤1, el método puede converger. Recordar
que es una condición suficiente, pero n o necesaria.
Secuencia divergente:
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Secuencia convergente:
Como no se conoce la solución, no se puede hacer la derivada en el
punto; entonces se prueba con diferentes formas de G(x) hasta
encontrar una satisfa ctoria.
Otro camino es emplear métodos de aceleración de la convergencia.
Método de aceleración de Wegstein:
Los métodos de aceleración de convergencia se basan en el hecho de
que una secuencia de términos en una iteración contiene información
respecto de su valor final, información que se pierde si solamente se
usa el último término en cada etapa sucesiva. Estos métodos han sido
desarrollados para problemas unidimensionales, y el éxito de su empleo
en problemas de variables múltiples depende de que las va riables no se
encuentren fuertemente interrelacionadas.
Dada F(x) = 0 :
Hallar un intervalo donde la función cambie de signo o estimar el
valor de la raíz de cualquier otro modo.
Reacomodar a la forma:
x =G(x)
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Adoptar una cota de error .
Aproximación inicial : xo
Inicialización :
Se efectúan 3 inicializaciones simples para eliminar xo de los cálculos
posteriores. El mínimo necesario es 2 iteraciones.
x1 = G( xo)
x2 = G(x1)
x3 = G(x2)
1º secante :
m = G(x2) -G(x1) = x3 -x2
x2 - x1
t = 1/(1-m)
x2 - x1
x3 = x2 + t. ( G(x2) -x2 ) = x2 + t.(x3 -x2)
Eliminar el pto x1, G(x1)
Iteración :
x4 = G(x3)
si abs (x4-x3)/x4) <=
2º secante :
m = G(x3) -G(x2) = x4 -x3
x3 - x2
raíz = x4
t = 1/(1-m)
x3 - x2
x4 = x3 + t. ( G(x3) -x3 ) = x3 + t.(x4 -x3)
Eliminar el pto x2, G(x2)
Iteración :
x5 = G(x4)
si abs (x5-x4)/x5) <=
3º secante :
m = G(x4) -G(x3) = x5 -x4
x4 - x3
raíz = x5
t = 1/(1-m)
x4 - x3
x5 = x4 + t. ( G(x4) -x4 ) = x4 + t.(x5 -x4)
Eliminar el pto x3, G(x3)
Iteración :
x6 = G(x5)
si abs (x6-x5)/x6) >=
raíz = x6
Veamos un ejemplo:
F ( x)
x 3 3,70.x 2
2,2375.x 1,03125
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Sabemos que tiene una raíz en el intervalo (2;3)
x
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
F(x)
-1,2155
-1,29375
-1,326
-1,30625
-1,2285
-1,08675
-0,875
-0,58725
-0,2175
0,24025
0,792
1,44375
Aplicamos Sustitución Directa
Nos dicen que tenemos una raiz en el intervalo:
x= 2
x= 3
Derivadas
G`(2)
Caso 1
Caso 2
Caso 3
G( x) (3,70.x 2
G ( x)
x 3 1,03125) / 2,2375
3,70 2,2375 / x 1,03125 / x 2
G( x) (3,70.x 2 2,2375.x 1,03125)1/ 3
G`(3)
1,251
-2,145
0,817
0,325
0,947
0,767
Para seleccionar la mejor estructura, se evalúa la derivada en los extremos del
intervalo.
Se selecciona la que mejor cumple la condición suficiente para converger:
G´(x) ≤ 1; es decir Caso 2.
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Caso 2
y =x
G ( x)
3,70
2,2375 / x
1,03125 / x
2
y =G(x)
Gráfico de la función G(x)
x
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
G(x)
2,3234
2,4699
2,5887
2,6869
2,7694
2,8396
x
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
r1
raiz 1
x:
x=
2,2000
2,4699
2,6250
2,6980
2,7290
2,7416
2,7467 2,7487
G(x) =
2,4699
2,6250
2,6980
2,7290
2,7416
2,7467
2,7487 2,7495
(G(x)-x)/G(x)=
0,1093
0,0591
0,0270
0,0114
0,0046
0,0018
0,0007 0,0003
x
CONVERGE
Tomemos ahora el Caso 1, donde no se cumple que las derivadas son
menores a 1.
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0
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Caso 1
G( x)
x
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
G(x)
2,5782123
2,7837989
2,8856983
2,8624581
2,6926257
2,3547486
(3,70.x 2
x3
1,03125) / 2,2375
1,02793296
0,50949721
-0,11620112
-0,84916201
-1,68938547
x
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
Si aplico Sustitución directa :
x=
2,200
2,784
2,712
2,786
2,709
2,789
2,706
G(x) =
2,784
2,712
2,786
2,709
2,789
2,706
2,792
(G(x)-x)/G(x)=
0,2097
-0,0263
0,0266
-0,0285
0,0287
-0,0309
0,0310
DIVERGE
Ahora vamos a resolver el caso 1, empleando Aceleración de Wegstein.
Elegimos la forma menos conveniente para remarcar la efectividad de la técnica
x(i)
G(x)
m
t=(1/1-m)
x(i+1)
error
2,000
2,578
2,578
2,872
2,872
2,592
-0,953
0,512
2,728
-0,0525
2,728
2,772
-1,254
0,444
2,748
0,0070
2,748
2,753
-0,996
0,501
2,750
0,0009
CONVERGE
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Métodos de linealización
Se entiende por linealización al artificio matemático de aproximar
localmente una función no lineal f(x) por una línea recta que, pasando
por al menos uno de sus puntos, tiene alguna inclinación interme dia
entre las correspondientes a las tangentes a la curva y = f(x) en los
extremos del intervalo propuesto.
La figura ilustra 2 formas posibles de linealización. El caso 1 es una
linealización mediante la cuerda que une los ex tremos del intervalo
(a,b).
El caso 2 es una linealización mediante la tangente en algún punto
intermedio del intervalo ( a,b)
En cualquier caso la ecuación de la recta será:
l(x) = f(xo) + m.(x - xo)
Donde el punto xo, f(xo) es común con la curva y =f(x), y m es la
inclinación de la recta, dada por la pendiente de la cuerda, o bien por la
tangente en el punto x =xo.
Deberá observarse que la recta l(x) es un buen sustituto de la función
f(x) en toda la extensión del intervalo.
Los métodos de linealización para la detección de raíces, conforman un
conjunto de técnicas que consisten fundamentalmente en aproximar la
raíz de la función y = f(x) por los puntos de intersección con el eje de
las x de sucesivas rectas de linealización.
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Fundamento de la técnica
Sea la función y = f(x) , de la que se sabe tiene una raíz en el
intervalo (a,b), y xn una aproximación de dicha raíz. Linealizando la
función en un entorno del pto xn,f(xn), se obtiene la expresión :
l(x) = f(xn) + m( x - xn)
La intersección de esta recta con el eje de las x ocurre en el punto x n + 1 ,
es decir cuando se cumple que l(x n + 1 ) = 0. De donde se obtiene :
f(xn) + m .(x n + 1 - xn) = 0
x n + 1 = xn - f(xn) /m
Que es la nueva aproximación a la raíz buscada.
Los diferentes métodos d e linealización difieren en la forma de
especificar la pendiente m.
Método de la secante
Define a m como la pendiente de la cuerda determinada por el último
punto calculado xn, f(xn) y el punto anterior x n - 1 , f(x n - 1 ).
El valor de m es calculado en cada i teración como:
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m = f(xn) - f(x n - 1 )
xn - x n - 1
Resulta evidente que para que el método pueda arrancar, se le debe
proveer dos valores iniciales que aproximen la ráiz.
La ley de recurrencia de este método es:
x n + 1 = xn - f(xn) / m
Método Regula Falsi.
El método de la secante puede producir divergencia cuando los 2
últimos puntos determinan una cuerda casi horizontal, como se observa
en la fig.1, que intersectaría al eje de las x fuera del rango de
definición de la funció n y = f(x), o convergería eventualmente en alguna
raíz localizada fuera del intervalo x n - 1 , xn.
El método de Regula Falsi es una variante del método de la secante
que garantiza su convergenci a. Consiste en trazar siempre la cuerda
por 2 puntos entre los cuales exista un cambio de signo de la función,
como se ilustra en la fig ura.
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Las aproximaciones iniciales son los puntos 1 y 2. La 1º iteración
produce el punto 3. De lo s puntos anteriores se descarta aquel que
tiene el mismo signo que el punto generado, en este caso se elimina el
punto 2. La siguiente iteración se efectúa entre el punto 1 y 3,
generándose el punto 4. Se descarta el p unto 3 y se continúa con los
puntos 1 y 4, y así sucesivamente hasta obtener convergencia.
La desventaja de este método radica en que una vez que se fijó el
pivote (punto 1), la convergencia aunque segura se torna muy lenta.
Este método es recomendado como etapa de arranque de algún otro
método que requiera buena inicialización.
Problema:
Determinar la composición de equilibrio en el reactor, que opera a una
presión de 0,2 at.
p=
0,2 at
Reactor
1 Butano
C4H10
n1 =
C4H10
C4H8
H2
2
1 mol de C4H10
C4H10
C4H8 + H2
Kp=
0,176
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Desarrollando:
C4H10
n1 - ξ
C4H10 =
C4H8 =
H2 =
Total =
C4H8 + H2
ξ +
ξ
Kp=
n1 - ξ
ξ
ξ
n1+ ξ
Kp
p C 4 H 8 . p H 2 / p C 410
Kp
x C 4 H 8 . p . x H 2 . p /( x C 410 . p )
Kp
( p /( n 1
F( ) ( p /(n1
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,176
)). . /( n 1
) 0 ,176
)). 2 /(n1
F( )
-0,1739798
0,16766667
0,15621978
0,13790476
0,10933333
-0,0635
0,01615686
0,17955556
0,67663158
) 0,176 0
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1 0
-0,2
-0,3
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
1
Aplicamos Metodo de la Secante
x1 =
x2 =
x3 =
x4 =
x5 =
x6 =
x7 =
0,5
0,7
0,6743
0,6836
0,6842
0,6842
0,6842
f(x1) =
f(x2) =
f(x3) =
f(x4) =
f(x5) =
f(x6) =
f(x7) =
-0,10933333
0,01615686
-0,00928788
-0,00050032
1,6448E-05
-2,8152E-08
-1,5812E-12
error
m=
m=
m=
m=
m=
m=
0,6275
0,9881
0,9349
0,9656
0,9673
0,9672
-3,819%
1,375%
0,078%
-0,002%
0,000%
0,6842 moles
Ing. Carlos Correa, Dra. Norma Barnes, Dra. Dora Paz
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Composición del gas efluente
C4H10 =
C4H8 =
H2 =
Total =
n1 - ξ
ξ
ξ
n1+ ξ
moles
0,3158
0,6842
0,6842
1,6842
fracción molar
18,8%
40,6%
40,6%
1
Método de New ton-Raphson
Este método define a m como la pendiente de la r ecta tangente a la
curva y=f(x) en el punto xn. La ley de recurrencia sería:
x n + 1 . = xn - f(xn) / f´(xn)
La aproximación inicial es xo. El proceso consiste en trazar la tangente
a la curva y=f(x) en el pto x=xo, y encontrar la intersección de la
tangente con el eje x, esto determina un nuevo valor x1:
x1 = xo - f(xo)/f´(xo)
Se traza ahora la tangente en el punto x=x1, y con igual procedimiento
se determina x2 en la intersección de la ta ngente con el eje x.
x2 = x1 - f(x1)/f´(x1)
etc.
Las condiciones de convergencia se expresan por:
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1. La aproximación inicial xo debe estar sufi cientemente cerca de la
raíz buscada. Puede obtenerse una buena aproximación con algún
método de arranque como Regula -Falsi.
2. La derivada f´(x) no debe estar próxima a c ero.
Cuando el método converge lo hace rápidamente.
Su única desventaja radica que el cálculo de f´(x) debe computarse en
cada iteración. Puede realizarse:
Analíticamente, cuando f(x) es una expresión sencilla para poder
derivar.
Numéricamente, en al caso contrario. Para ello en cada iteración,
deberá darse a un pequeño incremento xn a la variable xn, calcular
la función en el nuevo punto : xn + xn, y aproximar f´(xn) como :
f´(xn) = f(xn+
xn) - f(xn)
xn
Esta alternativa tiene el inconvenie nte de que requiere una evaluación
adicional de la función en c/etapa iterativa.
Una posible solución es evaluar f´(xn) en forma numérica cada cierto
número de iteraciones, y entre 2 evaluaciones sucesivas, mantener el
valor calculado previamente .
Esta variante se conoce como el método de las cuerdas paralelas, y
es particularmente apropiada cuando los valores iterados están ya
próximos a la raíz, porque en ese caso f(xn) está próxima a cero, y
como la ley de recurrencia es :
x n + 1 . = xn - f(xn) / f´(xn)
el tomar como f´(xn) = f´(xm) , con m< n, se cometen errores de poca
trascendencia.
Comparación de los métodos
1- Dificultad numérica: el más simple es Sustitución Directa.
Mientras funcione, es el recomendado.
2- Velocidad de convergencia: los métodos de lineal ización son
los más efectivos generalmente.
3- Sistemas multivariables: casi con exclusividad se manejan con
linealización. Sólo si la dimensionalidad es reducida, Sust itución
Directa puede ser adecuada.
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Problema clase
F ( x)
Volvamos al problema anterior:
x3
3,70.x 2
2,2375.x 1,03125
Sabemos que tiene una raíz en el intervalo (2;3)
Aplicamos Método de la Secante
x1 =
x2 =
x3 =
x4 =
x5 =
x6 =
x7 =
2
3
2,4726
2,6806
2,7761
2,7481
2,7500
f(x1) =
f(x2) =
f(x3) =
f(x4) =
f(x5) =
f(x6) =
f(x7) =
-1,2938
1,4438
-0,9403
-0,2959
0,1226
-0,0085
-0,0002
error
m=
m=
m=
m=
m=
m=
2,7375
4,5204
3,0982
4,3818
4,6860
4,5663
-21,33%
7,76%
3,44%
-1,02%
0,07%
Aplicamos Método de Newton-Raphson
error
x1 =
x2 =
x3 =
x4 =
x5 =
x6 =
2,3
3,4297
2,9747
2,7873
2,7513
2,7500
f(x1) =
f(x2) =
f(x3) =
f(x4) =
f(x5) =
f(x6) =
-1,2285
5,5252
1,2694
0,1770
0,0060
0,0000
f ´(x1) =
f ´(x2) =
f ´(x3) =
f ´(x4) =
f ´(x5) =
f ´(x6) =
1,0875
12,1457
6,7717
4,9185
4,5869
4,5750
32,94%
-15,29%
-6,73%
-1,31%
-0,05%
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Sistemas de ecuaciones:
Sustitución directa multivariable
Para ejemplificar se toman 2
generalizable para n ecuaciones.
Dado
ecua ciones,
pero
lo
expuesto
es
F1(x,y) =0
F2(x,y) =0
Despejar de cada ecuación una incógnita diferente y poner en la forma:
x =G1(x,y)
y =G2(x,y)
Adoptar una cota de error ( ), proponer una aproximación inicial (xo,
yo) y aplicar el algoritmo:
x1 = G1(xo,yo)
y1 = G2(xo,yo)
…
…
x i + 1 = G1(x i , y i )
y i + 1 = G2(x i ,y i )
Hasta que se cumpla :
xi
xi
1
xi
1
yi
yi
1
yi
1
Linealización multivariable:
La linealización es el método más potente para resolver s istemas de
ecuaciones no lineales.
Para ejemplificar se toman 2
generalizable para n ecuaciones.
Dado
ecuaciones,
pero
lo
expuesto
es
F1(x,y) =0
F2(x,y) =0
Adoptar una cota de error ( ), proponer dos aproximaciones iniciales:
(xo,yo) y (x1,y1). Aplicar el algoritmo:
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xo; yo; F1(xo,yo); F2(xo,yo)
x1; y1; F1(x1,y1); F2(x1,y1)
mx1 = [F1(x1,y1)- F1(xo,yo)]
(x1-xo)
my1 = [F2(x1,y1)- F2(xo,yo)]
(y1-yo)
x2 = x1 - F1(x1,y1)/ mx1
y2 = y1 – F2(x1,y1)/ my1
…
….
x i + 1 = x i – F1(x i ,y i )/mxi
y i + 1 = y i – F2(x i ,y i )/myi
Hasta que se cumpla :
xi
xi
1
xi
1
yi
yi
1
yi
1
Ejemplo: Resolver el Problema 24, tomando como primeros puntos para
las incógnitas ξ1 y ξ2:
0) ξ1,0= 0,7; ξ2,0= 0,4
1) ξ1,1= 0,8; ξ2,1= 0,5
Adoptar error relativo: ε ξ 1 y ε ξ 2 ≤0,01
Sistemas secuencia les
Dado un sistema cuadrado nxn, siempre es posible en teoría, reducir el
sistema a una sola ecuación en una variable, mediante un proceso de
sustitución escalon ada. Es decir, se explicita (despejar) una variable de
cualquier ecuación y se sustituye en todas las restantes por su
expresión equivalen te. Se tendrá un sistema (n -1)x(n-1). Sobre este
sistema reducido, se r epite el procedimiento, para obtener un sistema
(n-2)x(n-2) y así sucesivamente . Luego de (n-1) sustituciones, se
obtendrá un sistema 1x1, de una ecuación con una sola variable.
Esto es equivalente a: ordenar las ecuaciones en un determinado orden
o secuencia tal que entrando con la variable iteradora, pueda recalcular
la misma al final de la secuencia.
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La secuencia puede resumirse como:
Un sistema de estas características operativamente equivale a una
función única en una sola variable, ya que todas las restantes actúan
como “puentes o en laces” entre las diversas funciones que generan en
última instancia el nuevo valor de la variable primaria.
Por lo tanto, este tipo de sistemas se adecua perfectamente a un
tratamiento por el método de sustitución directa (x=G(x)), o por
linealización (F(x) =0).
La única limitación reside en que la configuración de la función G(x)
queda definida por la secuencia que requiera la estructura de las
funciones individuales para generar la variable primaria en la salida. De
este modo hay muy poco margen, o ningu no, para modelar la
configuración de G(x) adecuada a la condición suficiente de
convergencia. De cualquier forma, el método de W egstein prevendrá y
corregirá en estos casos cualquier tendencia divergente.
La importancia de los sistemas secuenciales re side en que se
presentan con mucha frecuencia en los cálculos de diseño y análisis de
procesos.
Ejemplo: sistema ecuaciones no lineales
1 mol
Reactor
A
B
C
D
A 70%
B 30%
A
-ξ1
C
ξ1
Ky1 = 0,5
A + B
-ξ2 -ξ2
D
ξ2
Ky2 = 1
Balances:
A) nA2 = nA1-ξ1-ξ2 = 0,7-ξ1-ξ2
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B) nB2 = nB1 -ξ2 = 0,3 -ξ2
C) nC2 = ξ1
D) nD2 = ξ2
n2 = n1 -ξ2
Ec.1 Ky1 = yC2/yA2 = nC2/nA2 = ξ1 /(0,7-ξ1-ξ2) = 0,5
Ec.2 Ky2 = yD2/(yA2.yB2) = nD2. n2 /(nA2.nB2) = ξ2. (1-ξ2)/((0,7-ξ1-ξ2).(0,3-ξ2)) = 1
De Ec.1: ξ1 = 0,5. (0,7-ξ1-ξ2)
ξ1 = 0,23333 -ξ2/3
EC.2 ξ2. (1-ξ2)=(0,7-ξ1-ξ2).(0,3-ξ2)= [0,7-(0,23333 -ξ2/3)-ξ2].(0,3-ξ2)
ξ2. (1-ξ2)=(0,46667-2ξ2/3).(0,3-ξ2)
ξ2=(0,46667-2ξ2/3).(0,3-ξ2)/ (1-ξ2)
1
2
3
4
5
6
7
8
Sustitución directa
ξ2
0,09
0,09384692
0,09193543
0,09288454
0,09241311
0,09264723
0,09253095
0,0925887
ξ2*
0,09384692
0,09193543
0,09288454
0,09241311
0,09264723
0,09253095
0,0925887
0,09256002
error rel
ξ2
ξ1
0,0925887
0,2024671
SOLUCION
x(i)
ξ2
0,09
0,09384692
0,09193543
0,09288454
0,09256956
0,09256958
G(x)
ξ2*
0,09384692
0,09193543
0,09288454
0,09241311
0,09256952
0,09256951
error
error rel
ξ2
ξ1
0,09256958
0,20247347
SOLUCION
0,04099
0,02079
0,01022
0,00510
0,00253
0,00126
0,00062
Si aplicara Wegstein
1
2
3
4
5
6
m
m
t=1/(1-m)
t =1/(1-m)
x(i+1)
ξ2
0,04099
0,02079
0,01022 -0,49670871 0,66813268 0,09256956
0,00340 -0,49658994 0,6681857 0,09256958
0,00000 -0,49664897 0,66815935 0,09256963
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nA2 =0,7-ξ1-ξ2=
fracciones molares
0,40495694
44,63%
nB2 =0,3 -ξ2=
0,20743042
22,86%
nC2 = ξ1 =
0,20247347
22,31%
nD2 = ξ2 =
0,09256958
10,20%
n2 = 1 -ξ2=
0,90743042
100,00%
Ejemplo: sea la siguiente torre de absorción, donde el agua abosrbe parte
del compuesto A contenido en los gases; calcule el balance de masa.
V1,y1
Agua
Lo = 1350 kg = 1350/18 = 75 kmoles
Componentes:
agua, A, inertes
3 ecs. Balance
Gases
Vo = 100 kmoles
yo = 0,3
L1, x1
Dato adicional :
L1 . x1
Vo . yo
15 , 44 .
y1
ln
yo
x1
y1
yo
x1
Balances:
BT) Lo + Vo = L1 + V1
1
Inertes) Vo(1-yo) = V1 (1-y1)
2
Agua ) Lo = L1 (1-x1)
Combino bces: Agua y A, para eliminar L1
A) Vo.yo = L1.x1-V1.y1
Agua+A) Lo = (1-x1)* (Vo.yo-V1.y1)/x1
3
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L1 . x1
Vo . yo
15 , 44 .
y1
ln
(Vo. yo V 1. y1)
Vo. yo
yo
x1
Combino con bce A para eliminar L1
y1
yo
15,44 .
x1
y1 yo
ln
x1
y1
yo
4
x1
L1
x
1
y1
2
3
4
V1
x
y1
x1
x
x
x
x
x
x
x
x
V1
x1
y1
F=0
Secuencia: y1
Ec.2
V1
Ec.3
x1
Ec.4
y1
Ec.1
L1
L1 = Variable lateral
Método de la secante
y1
0,01
0,1
0,06138997
0,06249584
0,0625315
Ec.2
V1
Ec.3
x1
Ec.4
F=0
m
y1
Error rel
Ec.1
L1
70,70707071
77,77777778
74,57836337
74,66633509
74,66917563
0,28087167
0,22857143
0,253149
0,25249416
0,252473
-0,75912511
0,57034175
-0,01681741
-0,00052542
4,5907E-07
14,77185393
15,20742493
14,73230795
14,74518005
0,06138997
0,06249584
0,0625315
0,06253147
-0,62893063
0,01769507
0,00057034
100,330824
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Criterio de convergencia
Los métodos iterativos o de aproximaciones sucesivas generan una
secuencia infinita de valores aproximados a la raíz buscad a.
Si el proceso converge, cada aproximación es mejor que la precedente,
de tal forma que la raíz buscada queda definida por el valor límite de la
sucesión generada .
Es decir:
raíz
lim n
( xn )
En la práctica, el valor límite es inacc esible, de modo que convendrá
truncar o interrumpir el proceso iterativo una vez que la aproximación
obtenida sea satisfactoria de acuerdo a la precisión requerida por el
problema.
Es decir, se itera hasta que:
raíz xn
(1) Criterio del Error Absoluto
O bien, hasta que:
raíz xn
xn
(2) Criterio del Error Relativo
La cantidad ε es algún valor pequeño, escogido arbitrariamente,
adecuado al grado de exactitud que se requiere en la determinación de
la raíz.
El Criterio del Error Absoluto presenta el inconveniente de que siendo
desconocido el orden de magnitud de la raíz buscada, el valor signado
a ε puede resultar o demasiado grande o excesivamente pequeño, en
comparación con dicha raíz.
Ejemplos:
Raíz = 1000; ε = 0,001
Raíz = 0,035; ε = 0,01
o
Precisión excesiva
Precisión muy pobre
Por este motivo se recomienda el criterio del error relativo , que admite
cualquier error absoluto, en tanto este no resulte si gnificativo
comparado con la magnitud de la raíz. Ejemplos:
Raíz = 1000±1; ε =0,001
o
Raíz = 0,035±0,00035; ε = 0,01
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Finalmente como el valor verdadero de la raíz es desconocido, deberá
sustituírselo por la mejor aproximación disponible.
En este sentido, y bajo el supuesto de que el proceso iterativo sea
convergente, deberán aceptar que la mejor aproximación es el último
valor generado (x n ), y por lo tanto el criterio de convergencia será:
xn
xn
xn
1
raíz xn
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