Sistemas Macroscópicos

Introducción a la Ingeniería Química
Dpto. de Ingeniería de Procesos y Gestión Industrial
FACET - UNT
Sistemas Macroscópicos y Ecuación General de Conservación de la Masa
Vamos a centrarnos ahora en la conservación de la masa y a darle una estructura
cuantitativa expresada en términos de las variables de proceso, a fin de poder usarlo
como herramienta de uso práctico.
Primero recordemos qué es un sistema: cualquier objeto, porción de materia, espacio,
etc. demarcado conceptualmente por una superficie que lo contiene en toda su extensión
y lo diferencia de todo aquello que lo rodea. Esta superficie, que puede ser imaginaria o
no delimita un volumen de control. Al aislar el sistema dentro del volumen de control,
aparecen entradas y/o salidas que son los intercambios del sistema con el medio
ambiente.
Recordemos rápidamente que los sistemas pueden ser:
- Aislado: No intercambia Energía ni Materia con el Medio Ambiente.
- Cerrado: Solo intercambia Energía
- Abierto: Intercambia Energía y Materia. Toda planta es un sistema abierto.
Observemos el siguiente sistema:
B
UNIVERSO
A
Medio Ambiente: Cercanías al sistema
Volumen
de control
Sistema
C
Recordando que el signo es usado para indicar variaciones, podemos escribir que:
masa Universo = masa del Sistema + masa Medio Ambiente
Como siempre la variación de masa del Universo es cero, la masa del sistema (C) se
incrementará a costa de la disminución de masa del medio ambiente (A y B).
Ing. Carlos Correa, Dra. Norma Barnes, Dra. Dora Paz
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Veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo 2
Tenemos una unidad de proceso a la que ingresa y egresa gas CH4 con flujos másicos
diferentes.
G1 [kg/h]
1
Unidad de
proceso
2
G2 [kg/h]
G1 ≠ G2
Veamos las posibles explicaciones que justifiquen G1 ≠ G2:
1- Hay una pérdida de gas en la unidad
2- El CH4 se consume como reactivo o se genera como producto de una reacción
química
3- El CH4 se acumula en la unidad, posiblemente porque las paredes de la misma lo
adsorben.
4- Las mediciones son incorrectas
Asumiendo que no existen pérdidas y que las mediciones con correctas nos quedaría lo
siguiente:
entra + genera (o consume) – sale = acumula
Escribimos entonces:
E–S+G=A
Ecuación General de Conservación de una sustancia
G: será un término que aparezca sólo cuando hay reacción química. Debe quedarnos
claro: la masa no se genera, se convierte; en consecuencia este término se referirá a la
masa de esa sustancia que apareció (o desapareció) por reacción química, implicando
que desapareció (o apareció) masa de otra sustancia.
A: refleja las modificaciones que sufren las variables significativas del proceso, en este
caso caudal (también podría ser composición, temperatura, presión) con el transcurso
del tiempo. Si consideramos Estado Estacionario, es decir las variables se reproducen en
2 instantes cualquiera de tiempo, A = 0.
Entonces, Balance es la Ecuación General de Conservación, particularizada para un
determinado proceso o sistema y explicitada en términos de sus variables específicas.
Volvamos a la Ecuación General de Conservación:
E–S+G=A
Ecuación de Balance, Estado Transitorio con reacción química
E–S+G=0
Ecuación de Balance, Estado Estacionario con reacción química
E–S=0
Ecuación de Balance, Estado Estacionario sin reacción química
E–S =A
Ecuación de Balance, Estado Transitorio sin reacción química
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Nuestro problema consiste ahora en determinar las magnitudes y composición de las
corrientes de frontera del sistema.
Magnitudes
Masa (M) o caudal másico (G)
Moles (N) o caudal molar (F)
Volumen total (V) o caudal volumétrico (Q)
Composiciones
Fracciones másicas (wij)
Fracciones molares (xij)
i= componente
j= corriente
Sabemos por Algebra que para determinar en forma inequívoca n incógnitas,
necesitamos n ecuaciones recíprocamente independientes.
Se denomina Grados de Libertad (GL) de un sistema de ecuaciones a :
GL = Nº incógnitas – Nº ecuaciones
Así:
GL = 0 → Solución única
GL > 0 → Datos insuficientes (puedo llevarlo a 0)
GL < 0 → Cantidad de datos superiores a los necesarios
El balance será posible sólo si los datos no están distorsionados por errores de medición
o algún otro factor.
Se hace necesario disponer de alguna metodología que nos permita establecer “a priori”
los GL en un problema de balance y decidir si el caso propuesto es resoluble o no, antes
de formularlo matemáticamente.
Recordemos que las variables que vamos a tomar en cuenta en el análisis de GL son las
magnitudes y composiciones (variables primitivas) ya que las otras, por ejemplo,
rendimientos, eficacia, conversión, etc. (variables secundarias) pueden ser expresadas
en términos de las primeras.
El procedimiento a seguir es:
1) Definir el sistema
2) Contar todas las incógnitas primitivas
3) Contar todas las ecuaciones de balance
4) Calcular GL
Es decir:
1) ya lo vimos previamente
2) lo establecemos en cada flujo en base a cuales magnitudes de corriente y cuales
composiciones son desconocidas
3) aquí vamos a definir tres tipos de ecuaciones:
a) Ecuaciones de restricción: de la definición de fracción molar o másica se
desprende que: Σ wi = 1; Σ xi = 1. Por lo tanto podemos escribir 1
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ecuación de restricción por cada corriente cuya composición no esté
totalmente definida.
b) Ecuaciones de balance: tendremos tantas ecuaciones de balance como
componentes hay en el sistema. En caso de reacciones químicas, se
restarán del nº de componentes, el nº de reacciones químicas simultáneas
en el proceso.
c) Ecuaciones complementarias: frecuentemente se dispone de información
o datos que no tienen carácter de composiciones relativas o magnitudes
de corrientes, porque son revertibles en funciones o relaciones
matemáticas entre ellas. Tal es el caso de rendimiento, eficiencia,
relaciones entre corrientes, etc. Este tipo de información aporta
ecuaciones adicionales o complementarias al paquete de correlaciones
disponibles.
Para facilitar el análisis de los GL vamos a asignar a cada corriente un determinado
PESO. Esto no es otra cosa que el incorporar a cada corriente que no tiene definida
talmente su composición, la ecuación de restricción. Es decir:
Peso de la cte j = Peso j = Nº de incógnitas de la cte j – 1 ecuación de restricción.
Peso del sistema = ΣPeso j
Si una corriente tiene totalmente definida su composición, y no conocemos su magnitud
(caudal), tendrá Peso = 1.
Los GL se determinarán entonces como:
GL = Σ Pesos – Σ (Ecuaciones de Balance + Ecuaciones complementarias)
Por otro lado, no es posible determinar la totalidad de las magnitudes de corrientes de
frontera por balance si no es conociendo por lo menos una de ellas.
En consecuencia, si no se conoce ninguna de las magnitudes de las corrientes, es
necesario recurrir a una BASE. Esto implica descargar una incógnita del total que se
haya obtenido. En el caso de que una o más corrientes de frontera del sistema analizado
estén definidas aún, se puede seleccionar una BASE, porque esto no implica reducción
del total de incógnitas ya que la base reemplazará como dato la o las magnitudes
conocidas. En caso de haberse conocido por lo menos 2 de ellas, lo que nos queda es 1
ecuación complementaria más, que sería su relación.
En otras palabras, cualquier magnitud pre-definida no tiene en sí misma ninguna
satisfacción intrínseca. Los verdaderos parámetros de balance son las
proporciones entre ellos. N flujos dan lugar a (N-1) proporciones.
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Veamos un ejemplo: Ejemplo 3
2
A- 30%
B- 50%
C- 20%
1
AB- 62,5%
C-
2
Destila
cion
GL = 4 – 3 = 1
1
Por ser un destilador, no
tengo reacción química
3
1
A-25%
C-
3
GL = 1 → Puedo definir una base, entonces:
GL = 1 – Base = 0 → El sistema tiene SOLUCION
La cte
3
tiene totalmente definida su composición ya que tiene 2 componentes A y C,
y conozco la composición de A, por lo que aplicando la ecuación de restricción tendré:
Σ xi = 1
xA,3 + xC,3 =1→ xC,3 = 1- xA,3 = 1 – 0,25 = 0,75
Desarrollemos ahora el balance: E – S = 0 → E = S
A) 0,3 F1 = xA,2 F2 + 0,25 F3
B) 0,5 F1 = 0,625 F2
C) 0,2 F1 = xC,2 F2 + 0,75 F3
Veamos que: A) + B) + C) → F1 = F2 + F3
Expresión de Balance Total (BT)
El BT es combinación lineal de las 3 ecuaciones de balance parcial. En consecuencia de
estas 4 ecuaciones sólo podré usar 3. Está en nosotros decidir cual nos conviene a los
fines de evitarnos trabajo.
Vemos que en este caso que es indistinto donde poner la base.
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Supongamos entonces F1 = 100 mol/h.
De B) F2 = 0,5. F1 / 0,625 = 0,5. 100/0,625 = 80 mol/h = F2
De BT) F3 = F1 – F2 = 100 – 80 = 20 mol/h = F3
De A) xA,2 = (0,3 F1 - 0,25 F3)/F2 = (0,3. 100 – 0,25.20)/80
xA,2 = 0,3125
Por ecuación de restricción:
xC,2 = 1 - xA,2 – xB,2 = 1- 0,3125 – 0,625
xC,2 = 0,0625
60% A
40% C
1
Veamos otro ejemplo: Ejemplo 4
3
1
46% A
B,C
M
1
50% A
30% B
20% C
D
2
2
33
3
3
2
A, B
4
1
A, B
Div
1
5
6
A, B
4
Veamos el divisor:
Div
6
5
Su función es dividir una corriente en 2 o más. Por lo tanto sólo aporta una ecuación de
balance (que es el Total: F4=F5+F6) ya que las composiciones de las corrientes 4, 5 y 6
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son las mismas. Por otro lado a la hora de asignar peso, la (o las) incógnita
correspondiente a composición, la cargaré sólo a 1 de las corrientes involucradas. En el
divisor (en este caso la cargo a la cte 4); el resto de las corrientes (en este caso 5 y 6)
sólo tendrán como incógnita su magnitud, motivo por el cual su peso es
1
.
Calculemos entonces:
Ecs.balance: 3 +3 +1 = 7
Σ pesos = 8
GL = 8 - 7 = 1
Al no tener definida ninguna magnitud, introduzco una Base y GL = 0 →Sistema con
solución.
Veamos ahora de resolverlo. Por dónde empezar? Hay algún equipo que tenga GL =0?
M) 4 - 3 = 1
D) 5 - 3 = 2
→ Ningún equipo tiene GL =0→ no puedo resolverlo por separado
Div) 4 - 1 = 3
Veamos que pasa si tomo una caja negra que corte las corrientes más livianas. Antes de
continuar definamos CAJA NEGRA: involucro en un solo bloque los equipos que me
conviene y lo resuelvo como si fuera un solo equipo. En nuestro caso quedaría:
3
60 % A
40 % C
1
50% A
30% B
20% C
1
1
3
5
A, B
2
Notemos:
1) sólo dispongo de 3 ecs. Balance
2) Peso de la corriente 5, es ahora
2
.
GL = 4 – 3 = 1 – BASE = 0
Para poner la base, busco la corriente que tiene más información. En este caso 1 o 3.
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Pongo base: F1 = 100 mol/h
El 1º balance que planteo es el de C, que sale directamente:
C) 0,2. F1 = 0,4. F3 → F3 = 20/0,4 = 50 mol/h
BT) F1 = F3 + F5 → F5 = F1 – F3 = 100 -50 = 50 mol/h
B) 0,3.F1 = F5. XB,5 → XB,5 = 30/50 = 0,6
Ecuación de restricción: XA,5 = 1- XB,5 = 0,4
Ing. Carlos Correa, Dra. Norma Barnes, Dra. Dora Paz