1 Ecuaciones de Maxwell

1 Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones del electromagnetismo hasta antes de Maxwell son:
1. Ley de Gauss:
I
~ .D
~ = qV ,
dS
~D
~ =ρ
∇
S
2. Ley de Gauss del Magnetismo:
I
~ .B
~ = 0,
dS
~B
~ =0
∇
S
3. Ley de Ampere:
I
~ .d ~x = IS
H
~ ×H
~ =J
~
∇
C
4. Ley de Faraday
I
C
~ .d ~x = − dΦB
E
dt
1
~
∂B
~
~
∇×E +
=~0
∂t
1.1 Corriente de desplazamiento
Maxwell se dio cuenta que estas ecuaciones son incompatibles con la conservación
∂ρ
~J
~ = 0.
de la carga eléctrica: ∂t + ∇
~
En efecto, use la identidad ∇. ∇ × A = 0(Demuéstrela!) en la ley de Ampére, lo
~J
~ = 0. Esto es cierto sólo si ρ no depende del tiempo.
que da: ∇
~ un término
Para generalizar la ley de Ampere, Maxwell propuso agregar a J
~D. Se tiene ahora:
llamado corriente de desplazamiento J
~J
~ +∇
~J
~D = 0 = − ∂ρ + ∇
~J
~D
∇
∂t
De la ley de Gauss:
~ ∂ρ
∂D
~
=
∇
∂t
∂t
Entonces:
~
∂D
~
~
∇ JD −
∂t
!
=0
~
∂D
~
JD =
∂t
2
1.2 Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell son:
1. Ley de Gauss:
I
~ .D
~ = qV ,
dS
~D
~ =ρ
∇
S
2. Ley de Gauss del Magnetismo:
I
~ .B
~ = 0,
dS
~B
~ =0
∇
S
3. Ley de Ampere y corriente de desplazamiento:
I
C
~ .d ~x = µ0 IS + dΦD
H
dt
~
∂D
~
~
~
∇×H = J +
∂t
4. Ley de Faraday
I
C
~ .d ~x = − dΦB
E
dt
3
~
∂B
~
~
∇×E +
=~0
∂t
!
2 Potencial vector y potencial escalar
~B
~ = 0, B
~ =∇
~ ×A
~, A
~ es el potencial vector.
∇
~
~ ×A
~
∂A
∂∇
~
~
~
~
~
=0=∇× E +
∇×E +
∂t
∂t
!
~
∂A
~
~Φ
E+
= −∇
∂t
~
∂A
~
~
E = −∇Φ −
∂t
Φ: Potencial escalar.
2.1 Transformaciones de gauge
~ +∇
~ψ
~ ′=A
A
′
~
~
∂A
∂A
′
~
~
= ∇Φ +
∇Φ +
∂t
∂t
4
~ Φ ′ + ∂ψ − Φ = 0
∇
∂t
∂ψ
Φ′ = Φ −
∂t
′ ~′
~
Φ, A producen los mismos campos electromagnéticos que Φ , A
Esta libertad de gauge permite imponer condiciones de gauge sobre los potenciales
sin cambiar los campos electromagnéticos.
~ .A
~ + 12 ∂Φ = 0
1. Gauge de Lorentz:∇
c ∂t
~ .A
~ =0
2. Gauge de Coulomb:∇
2.2 Ecuaciones de onda
Por ahora consideremos las dos ecuaciones de Maxwell inhomogéneas en el vacío:


~
∂A
~
∂
−∇
Φ
−
~
∂t 
~
~
~
+ ε0
∇ × ∇ × A = µ0 J
∂t
5
2~
~A
~ + 1 ∂Φ = µ0J
~ , 1 = µ0ε0
~ + µ0ε0 ∂ A + ∇
~ ∇
−∇2A
∂t2
c2 ∂t
c2
!
~
ρ
∂A
~
~
= =
∇ −∇Φ −
ε0
∂t
2
∂ 1 ∂Φ ~ ~
∂ Φ
+ ∇A
−∇2Φ + µ0ε0 2 −
2
∂t c ∂t
∂t
En el gauge de Lorentz se obtiene:
~
∂ 2A
~
−∇ A + µ0ε0 2 = µ0J
∂t
∂ 2Φ ρ
2
−∇ Φ + µ0ε0 2 =
ε0
∂t
2~
c: es la velocidad de las ondas. Coincide con la velocidad de la luz en el vacío.
3 Función de Green para la ecuación de ondas
1 ∂2ψ
∇ ψ − 2 2 = −4πf (x
~ , t)
c ∂t
2
6
Función de Green:
2
1 ∂
∇2x − 2 2 G(x, t; x ′, t ′) = −4πδ(x − x ′)δ(t − t ′)
c ∂t
En el espacio abierto, se tiene:
ψ(x, t) =
Z
G(x, t; x ′, t ′)f (x ′, t ′)d3x ′dt ′
El espacio abierto es invariante bajo traslaciones, G = G(x − x ′.t − t ′).
Z
Z
1
ik(x−x ′) −iω(t−t ′)
3
δ(x − x ′)δ(t − t ′) =
d
k
dω
e
e
4
(2π)
Z
Z
′
′
G(x, t; x ′, t ′) = d3k dωg(k, ω)eik(x−x )e−iω(t−t )
g(k, ω) =
1
1
4π 3 k 2 − ω2
c2
Causalidad:
i. G = 0,t < t ′
7
ii. G representa ondas salientes para t > t ′.
Figura 1.
Z
Z
iθ
ω
=
Re
,
R→∞
Z
−iω(t−t ′)
R senθ(t−t ′)
−1
dθ
e
6
R
dωg(k, ω)e
t − t ′ < 0, cerramos por arriba.Para imponer i.los polos se
mueven bajo el eje Re ω
t − t ′ > 0, cerramos por abajo.
!
′
′
c2 e−i c k(t−t ) eic k(t−t )
−iω(t−t )
= 2πi 3
−
dωg(k, ω)e
4π
2kc
2kc
′
8
=
2π
Z
∞
0
c2 sen ck(t − t ′)
2π 2
ck
2
Z
′
c sen ck(t − t ) i k cosθr
dkk 2 dθ sen θ
e
, r = |x − x ′|
2
2π
ck
2
ikr
Z ∞
′
c sen ck(t − t ) e − e−i kr
2
dkk
=2π
=
2
2π
ck
ikr
0
Z ∞
2c
dk sen ck(t − t ′)sen kr
πr 0
c
− {2δ(c(t − t ′) + r) − 2δ(c(t − t ′) − r)} , c(t − t ′) + r > 0
2r
c
1
r
′
′
= δ(c(t − t ) − r) = δ t − t +
r
r
c
4 Teorema de Poynting
La potencia gastada por un campo electromagnético en un volumen V es:
Z
Z
~ .E
~ = d3x{(∇ × H).E − E.∂tD}
P = d3x
J
Z
Z
I
= dSkεikjH jEi + d3x(∇ × E).H − d3xE.∂tD =
S
9
I
Z
Z
∂B
d3x .H − d3xE.∂tD =
∂t S
Z
I
1
1
∂
d3x B.H + E.D
dSkεikjH jEi −
2
2
∂t
S
dSkεi kjH jEi −
Ley de Faraday
medio
lineal,
independiente t.
εikjB j ,kEi = (εikjB jEi) ,k − εikjB jEi,k
1
Densidad de Energía magnética: uB = 2 B.H
1
Densidad de Energía eléctrica: uE = 2 E.D
La integral de superficie da el flujo de energía a través de S(Vector de Poynting).
S = E × H.
∂tu + ∇S = −J.E
Conservación de la energía.
10