Tesis Profesional Espacios de Hilbert con núcleo reproductivo

Tesis Profesional
Espacios de Hilbert con núcleo reproductivo
Guillermo Garro
Abril 2003
A mi madre,
Victoria
En sincero agradecimiento:
A mi amigo y tutor,
Luis Antonio
A los miembros de mi honorable jurado:
Dr. Luis Antonio Rincón
Dra. Marı́a Emilia Caballero
Act. Jaime Vázquez
Act. Gerónimo Uribe
Mat. César Eduardo Sousa,
por sus imprescindibles comentarios,
sugerencias y correcciones,
y su inestimable interés
A todos aquellos que
han hecho posible esta tesis
Contenido
Prefacio
ii
1 Espacios de Hilbert
1.1 Espacios con producto interior. Espacios de Hilbert . .
1.2 Ortogonalidad y ortonormalidad . . . . . . . . . . . . .
1.3 Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Teorema de representación de Riesz . . . . . . . . . . .
1.5 Los espacios de funciones Lp . El espacio de Hilbert L2
1.6 Esperanza condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Espacios de Hilbert con núcleo reproductivo
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 El núcleo reproductivo . . . . . . . . . . . . .
2.3 Propiedades básicas del núcleo reproductivo .
2.4 Matrices positivas
y núcleos reproductivos . . . . . . . . . . . . .
2.5 Completación de espacios con producto
interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Restricción de un núcleo reproductivo . . . . .
2.7 Núcleos reproductivos de
clases de dimensión finita . . . . . . . . . . . .
3 Operaciones con núcleos reproductivos
3.1 Suma de núcleos reproductivos . . . . .
3.2 Diferencia de núcleos reproductivos . .
3.3 Producto de núcleos reproductivos . .
3.4 Lı́mites de núcleos reproductivos . . .
Epı́logo
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1
1
8
16
19
21
26
29
. . . . . . . . . 29
. . . . . . . . . 30
. . . . . . . . . 33
. . . . . . . . . 40
. . . . . . . . . 45
. . . . . . . . . 50
. . . . . . . . . 53
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58
58
62
67
74
83
i
Prefacio
En esta tesis pretendemos revisar de forma general, los aspectos principales
referentes a ciertos objetos matemáticos, los cuales extienden la ya de por sı́
fecunda teorı́a de los espacios de Hilbert. Es entonces comprensible que la
estructura de este trabajo presente en primer término, una revisión más o
menos profunda de los conceptos fundamentales de los espacios de Hilbert.
Con estos antecedentes teóricos, podremos entonces transitar de manera
detallada dentro de los siguientes dos capı́tulos, en la construcción del objeto que nos interesa, considerándolo como un tipo más de núcleo (o kernel),
llamado además reproductivo, debido a una propiedad que le caracteriza.
Sin embargo, el tratamiento matemático del primer capı́tulo no será
meramente informativo, sino que encontraremos una aplicación en la teorı́a de
las probabilidades (concretamente, en el concepto de esperanza condicional)
de los principales resultados teóricos analizados. En cuanto al segundo y tercer capı́tulos, como hemos dicho, el trato será un tanto exhaustivo, sin llegar
a ser completo. En realidad, hemos considerado más provechoso detallar el
análisis de los aspectos fundamentales que componen toda la teorı́a del núcleo
reproductivo, que la revisión extensiva, aunque poco profunda, de dicha
teorı́a. No obstante, con esto hemos tratado de abrir una pequeña brecha
para posteriores trabajos, donde no sólo se extienda la teorı́a sino sus posibles
aplicaciones.
Aquı́, sólo mencionaremos que una de las más ingeniosas y útiles aplicaciones ha surgido precisamente en la teorı́a de las probabilidades. Los trabajos de Driscoll 1 y Lucić & Beder 2 son solo algunos de los que se desarrollan
en este tenor.
Cabe decir también que el primer trabajo de investigación original del
núcleo reproductivo en su forma abstracta, Theory of reproducing kernels de
Aronszjan3 , de donde se basa esta tesis, tuvo sus origenes en ciertos principios
1
Driscoll, Michael, Estimation of the mean value function of a Gaussian process,
tesis doctoral, Universidfad de Arizona, 1971; y del mismo autor, The reproducing
kernels Hilbert space structure of the sample paths of a Gaussian process, Zetschrift für
Wahrscheinlinchkeitstheorie und verwandle Gebiete, vol. 26, 1973, páginas 309-316.
2
Ver [6].
3
Ver [1]. En general, la teorı́a del núcleo reproductivo gira en torno a un problema
básico que será planteado a partir sel capı́tulo dos, de la presente tesis
ii
matemáticos referentes a las ecuacaiones diferenciales e integrales 4 ; de esta
manera, las aplicaciones pueden también extenderse a estos ámbitos.
4
En los trabajos de Zaremba, Mercer, Moore y algunos otros. Ver las referencias
bibliográficas de Aronszjan ([1]).
iii
Capı́tulo 1
Espacios de Hilbert
En este capı́tulo abordaremos, de manera esencial, la principal herramienta
usada en esta tesis: los espacios de Hilbert. Partiremos del concepto de espacio vectorial, introduciendo después un tipo particular de función llamada
norma (sustentado en el concepto fundamental de producto interior). De ahı́
impondremos condiciones de completez que definen propiamente un espacio
de Hilbert. Analizaremos las propiedades algebraicas y geométricas fundamentales, finalizando con una aplicación directa a los espacios de funciones
Lp y al concepto de esperanza en cuanto a la teorı́a de las probabilidades.
1.1
Espacios con producto interior. Espacios
de Hilbert
Definición 1.1.1 (Espacio vectorial). Un espacio vectorial o lineal
sobre el campo F (C o R), es una terna (X, +, ·), donde X es una colección
de objetos, y las operaciones + : X × X → F llamada suma de vectores
(denotaremos x + y en lugar de +(x, y)), y · : F × X → F llamada producto
escalar (aquı́ usaremos λx en lugar de ·(λ, x)), satisafacen las propiedades
siguientes,
A1) x + y = y + x
A2) (x + y) + z = x + (y + z)
A3) Existe un elemento 0 ∈ X tal que 0 + x = x + 0 (neutro aditivo).
A4) Existe un elemento −x ∈ X tal que −x + x = x + (−x) = 0 (inverso
aditivo).
M1) (λµ)x = λ(µx) = µ(λx).
M2) Existe 1 ∈ X tal que 1x = x (elemento identidad).
1
D1) λ(x + y) = λx + λy.
D2) (λ + µ)x = λx + µx.
A los elementos de X los llamaremos vectores.
Nosotros usaremos simplemente el término X, a menos que se especifique
lo contrario, para referirnos al espacio vectorial (X, +, ·) sobre el campo escalar F.
Definición 1.1.2 (Subespacio vectorial). Sea X un espacio vectorial. Si
Y ⊆ X y Y es un espacio vectorial sobre el mismo campo escalar y con las
mismas operaciones (de suma y producto por escalares) definidas para X,
entonces decimos que Y es un subespacio vectorial de X.
Definición 1.1.3 (Independencia lineal, base y dimensión). Sea X
un espacio vectorial.
i) Decimos que una colección finita de vectores {x1 , x2 , ..., xn } en X es
linealmente independiente si, teniendo un conjunto {α1 , α2 , ..., αn }
de escalares en F, la relación
α1 x1 + α2 x2 + ... + αn xn = 0
implica que αi = 0, para toda i ∈ {1, 2, ..., n}. Análogamente, la familia
de vectores {xi }i∈I , I subconjunto de ı́ndices, es linealmente independiente si cualquier subfamilia finita es linealmente independiente.
ii) Una familia de vectores linealmente independiente con la propiedad de
que cualquier otro vector del espacio X puede expresarse como combinación lineal de sus vectores componentes, es llamada base del espacio
vectorial X. Es claro que cualesquiera dos bases tienen la misma cardinalidad.
iii) La dimensión de un espacio vectorial se define como la cardinalidad
de una de sus bases.
Definición 1.1.4 (Producto interior). Un producto interior sobre el
espacio vectorial X, es una función h·, ·i : X × X → F, con las siguientes
propiedades.
i) Linealidad: hax + by, zi = ahx, yi + bhx, yi, para todo a, b ∈ F y
x, y, z ∈ X.
ii) Antisimetrı́a: hx, yi = hy, xi para todo x, y ∈ X.
iii) hx, xi ≥ 0 para todo x ∈ X y hx, xi = 0, si y sólo si x = 0. (Por la
segunda propiedad, hx, xi es siempre un número real no negativo).
2
A veces un espacio vectorial X sobre el campo real o complejo con un
producto interior definido, es llamado espacio pre-Hilbert.
Proposición 1.1.1. Consideremos un espacio vectorial X con producto interior definido. Entonces,
1) hx, ay + bzi = ahx, yi + bhx, zi para todo par a, b ∈ F(= C o R) y para
todo x, y, z ∈ X.
2) hx, yi = 0 para toda x ∈ X, si y sólo si y = 0.
Demostración. 1). De la definición de producto interior,
hx, ay + bzi = hay + bz, xi = ahy, xi + bhz, xi = ahy, xi + bhz, xi
= ahy, xi + bhz, xi = ahx, yi + bhx, yi.
2). Para toda x ∈ X se tiene que hx, yi = 0, en particular, hy, yi = 0,
entonces y = 0. De manera inversa, si y = 0 tenemos entonces que
hx, yi = hx, 0i = hx, 0 ∗ 0i = 0hx, 0i = 0,
para todo elemento x de X.
En algunos casos, según las caracterı́sticas de ciertos espacios, no es difı́cil
definir un producto interior, aquı́ presentamos solo algunos ejemplos.
Ejemplo 1.1.1. Consideremos X = Cn (el n-espacio euclidiano complejo) y
F = C. Para un par de vectores x = (α1 , ..., αn ) y y = (β1 , ..., βn ), definimos
el siguiente producto
n
X
(1.1)
hx, yi =
αi βi .
i=1
n
Sean x, y y z elementos de C , y a, b en C. Es claro que ax + by =
(aα1 + bβ1 , ..., aαn + bβn ), y si z = (ξ1 , ..., ξn ), entonces,
hax + by, zi =
n
X
(aαi + bβi )ξi
i=1
n
X
= a
i=1
αi ξi + b
n
X
βi ξi
i=1
= ahx, zi + bhy, zi.
Pn
Pn
Ahora
bien,
hx,
yi
=
α
β
=
i
i
i=1
i=1 αi βi = hy, xi. Por último, hx, xi =
Pn
Pn
2
i=1 αi αi =
i=1 |αi | ≥ 0. De este modo, el producto (1.1) es un producto
interior sobre X = Cn .
Proponemos ahora una generalización de este primer ejemplo.
3
Ejemplo 1.1.2. Consideremos el espacio
(
X=
(a1 , ..., an , ...) : an ∈ C, n ∈ N, y
∞
X
)
|an |2 < ∞ .
n=1
Para x = (α1 , ...), y = (β1 , ...) ∈ X, definimos el producto
hx, yi =
∞
X
αn βn .
n=1
Esta suma converge (según la desigualdad de Hölder, referida en la Proposición 1.2.3, páginas más adelante). Podemos probar que este producto define
un producto interior de forma análoga a lo realizado en el ejemplo anterior.
Ejemplo 1.1.3. Sea X=C([a, b], C) el campo de las funciones complejas
continuas sobre el intervalo cerrado [a, b]. Definimos la suma puntual de
funciones y el producto puntual por escalares como sigue,(f +g)(x) := f (x)+
g(x) y (αf )(x) := αf (x). Entonces el producto
Z b
f (x)g(x)dx,
hf, gi =
a
define un producto interior sobre el espacio X. En efecto, la linealidad y
la antisimetrı́a se siguen de forma inmediata. Ahora, basta notar que si
hf, f i = 0, entonces f = 0, pues f es continua; mientras que el resultado
recı́proco es inmediato.
Ejemplo 1.1.4. Sean E y F dos intervalos en R. Definimos L2 (E) como
el espacio de las funciones complejas definidas en E cuadrado integrables,
análogamente consideramos L2 (F ) y L2 (E × F ). Sea entonces X el espacio
de las funciones T : L2 (E) → L2 (F ), tal que u 7→ T u, y para toda y ∈ F ,
Z
(T u)y =
t(x, y)u(x)dx,
E
donde t ∈ L2 (E × F ). La función T u pertenece a L2 (F ). En efecto,
Z
21 Z
21
Z
2
2
|t(x, y)| dx
|u(x)| dx ,
|(T u)y| ≤
|t(x, y)u(x)|dx ≤
E
E
E
(ver Teorema 1.5.1, páginas más adelante) entonces,
Z Z
Z
Z
2
2
2
|(T u)y| dy ≤
|t(x, y)| dxdy
|u(x)| dx < ∞.
F
E
F
E
Es ahora sencillo probar que el producto
Z Z
hS, T i =
s(x, y)t(x, y)dxdy,
E
F
es un producto interior para X.
4
S, T ∈ X
Ahora introduciremos ciertos tipos de funciones reales sobre un espacio
con producto interior definido, las cuales pueden tener una interpretación
geométrica en ciertos casos. Además estudiaremos algunas propiedades de
dichos espacios.
Definición 1.1.5 (Seminorma). Sea X un espacio vectorial sobre un campo escalar F. Una seminorma sobre X es una función k · k : X → R+ tal
que
i) kaxk = |a|kxk
para toda a ∈ F y para toda x ∈ V.
ii) Propiedad Triangular: kx + yk ≤ kxk + kyk para todo par x, y ∈ V.
Podemos restringir el concepto de seminorma a otro concepto menos general, el cual exponemos a continuación.
Definición 1.1.6 (Norma). Sea X un espacio vectorial sobre un campo
escalar F. Una norma sobre X es una función k · k : X → R+ tal que
i) k · k es seminorma, y
ii) kxk = 0 si y sólo si x = 0.
En tal caso decimos que X es un espacio vectorial normado.
Definición 1.1.7. Decimos que la sucesión {xn }n≥1 de elementos de un espacio vectorial normado X es una sucesión de Cauchy, si para cada > 0
existe N ≥ 1 tal que kxm − xn k < , siempre que n, m > N . Decimos que la
sucesión {xn }n≥1 converge a x (xn → x), cuando kxn −xk → 0, siempre que
n → ∞; y si además x ∈ X, entonces decimos que {xn }n≥1 es convergente
en X.
Es fácil verificar que toda sucesión convergente en X es una sucesión de
Cauchy. Sin embargo el recı́proco no es cierto en todos los casos, pero cuando
ası́ sucede X recibe un nombre especial.
Definición 1.1.8. Decimos que un espacio vectorial normado X es completo si toda sucesión de Cauchy en X converge en X.
Supongamos que X posee un producto interior y consideremos la función
kxk = (hx, xi)1/2 , x ∈ X.
Proposición 1.1.2 (Desigualdad de Cauchy-Schwartz). Sea X un espacio vectorial con producto interior. Entonces,
|hx, yi| ≤ kxkkyk.
5
Demostración. Para toda a ∈ F, y para todo par x, y ∈ X,
0 ≤ hx + ay, x + ayi = kxk2 + ahx, yi + ahy, xi + |a|2 kyk2 .
(1.2)
Supongamos que hy, yi = 0, entonces, y = 0 y kyk = 0. Además hx, yi =
0, lo cual implica que |hx, yi| = 0. De esta manera,
0 = |hx, yi| ≤ kxkkyk = 0
Ahora supongamos que hy, yi > 0. Entonces kyk > 0 y si en la expresión
(1.2) sustituimos a = −(hx, yi/hy, yi), tenemos que
|hx, yi|2 khx, yik2
+
kyk2
kyk2
|hx, yi|2
= kxk2 −
,
kyk2
0 ≤ kxk2 − 2
de donde se sigue la desigualdad deseada.
El resultado anterior es bastante conocido, y de él se derivan otros resultados igualmente conocidos e importantes enunciados a continuación.
Corolario 1.1.1. Sea X un espacio vectorial con un producto interior. Entonces kxk = (hx, xi)1/2 , define una norma y d(x, y) = kx − yk define una
métrica sobre X. De tal manera que X es un espacio lineal normado.
La demostración se reduce a algunos cálculos sencillos. Tan sólo mencionaremos que esta norma es conocida como la norma inducida por el
producto interior.
Definición 1.1.9 (Espacio de Hilbert). Si un espacio vectorial con producto interior es completo bajo la norma inducida por el producto interior,
decimos entonces que es un espacio de Hilbert.
De aquı́ en adelante, la notación usada para un espacio de Hilbert será
la letra H en mayúscula y en ”negritas”. No obstante, en algunos casos será
más útil usar como notación la dupla (H, h·, ·i).
Corolario 1.1.2. El producto interior es conjuntamente continuo sobre el
espacio de Hilbert H. Esto es, si {xn }n≥1 y {yn }n≥1 , son sucesiones en H,
tal que xn → x y yn → y, con x, y en H (es decir, sucesiones convergentes
en H), entonces hxn , yn i → hx, yi.
Demostración. Según la desigualdad del triángulo y la desigualdad de
Cauchy-Schwartz, tenemos que
|hxn , yn i − hx, yi| = |hxn − x, yi + hxn , yn − yi|
≤ |hxn − x, yi| + |hxn , yn − yi|
≤ kxn − xkkyk + kxn kkyn − yk,
6
de donde se sigue en resultado deseado.
Observamos que el resultado anterior es válido si sólo suponemos que H
es un espacio con producto interior definido, y manteniendo la hipótesis de
convergencia en H.
Una propiedad geométrica importante y cuya demostración es sencilla, se
enuncia a continuación.
Proposición 1.1.3 (Ley del paralelogramo). Sea H un espacio de Hilbert.
Entonces,
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ),
para cualesquiera elementos x, y de H.
El teorema siguiente resalta la importancia de la igualdad anterior.
Teorema 1.1.1. Si H es un espacio vectorial normado, entonces la norma
k · k proviene de un producto interior si y sólo si dicha norma cumple la ley
del paralelogramo.
Una demostración de este hecho puede encontrarse en [5] o en [7].
Finalmente enunciamos la siguiente definición.
Definición 1.1.10 (Subespacio de Hilbert). Sea (H, h·, ·i) es espacio de
Hilbert. Decimos que H1 es un subespacio de Hilbert de H si
i) H1 ⊆ H, y
ii) (H1 , h·, ·i) es espacio de Hilbert.
Observamos que el producto interior en ambos espacios es el mismo.
7
1.2
Ortogonalidad y ortonormalidad
A continuación definimos el concepto de ortogonalidad de vectores y ortogonalidad de subconjuntos de vectores, cuya importancia será advertida páginas
más adelante.
Definición 1.2.1 (Ortogonalidad y ortonormalidad). Sea H un espacio de Hilbert. Si para dos elementos, x, y de H se tiene que hx, yi = 0,
decimos entonces que x es ortogonal a y, y usamos x⊥y como notación.
Ahora, si S⊆H es tal que hx, yi = 0 (i.e. x⊥y) para todo x, y ∈ S, decimos entonces que S es un subconjunto ortogonal. Y en el caso de que
kxk = 1 para toda x ∈ S, entonces S se llama subconjunto ortonormal.
Finalmente, si S1 ⊆ H y S2 ⊆ H son dos subconjuntos tales que x⊥y para
todo x ∈ S1 , y para todo y ∈ S2 , entonces S1 es ortogonal a S2 (notación
S1 ⊥S2 ).
Un resultado inmediato de esta definición y de la propiedad triangular de
la norma k · k es el siguiente.
Proposición 1.2.1 (Teorema de Pitágoras). Si {x1 , ..., xn } es un subconjunto ortogonal finito, entonces
k
n
X
2
xi k =
i=1
n
X
kxi k2 .
i=1
Algunos resultados sobre los espacios normados (y en particular los espacios de Hilbert), requieren la utilización de algunas propiedades referidas
únicamente al campo escalar sobre el cual están definidos; y en ocasiones,
si se trata de investigar propiedades propias a la norma o a un producto
interior determinado, se requiere de ciertos resultados sobre espacios más
particulares, como R o C. De manera más concreta, enunciamos la siguiente
propiedad.
Proposición 1.2.2. Sean p y q un par de números reales mayores que 1 y
tales que
1 1
+ = 1.
p q
Entonces para todo a, b ∈ R,
ab ≤
ap b q
+ .
p
q
La demostración es sencilla y se omite.
Ahora propondremos la siguiente desigualdad, útil para un teorema que
más adelante estudiaremos.
8
Proposición 1.2.3 (Desigualdad de Hölder). Sean p y q un par de números reales mayores que 1 y tales que
1 1
+ = 1.
p q
Entonces, para un par de familias finitas de números complejos {xi }ni=1 y
{yi }ni=1 , se tiene que
n
X
n
X
|xi yi | ≤
i=1
! p1
|xi |p
n
X
i=1
! 1q
|yi |q
.
i=1
Demostración. Para facilitar la escritura definimos
! p1
! 1q
n
n
X
X
α=
|xi |p
y
β=
.
|yi |q
i=1
i=1
Ahora, es claro que si α = 0, ó β = 0 (esto implica que xi = 0 para toda i ∈
{1, 2,P
..., n} ó yi = 0 para toda i ∈ {1, 2, ..., n}, respectivamente) se tendrá
que ni=1 |xi yi | = 0, de donde se sigue la propiedad deseada. Supongamos
entonces que α 6= 0 y β 6= 0 (es decir, existe k y existe j tales que xk 6= 0 y
yj 6= 0). Definimos un par de nuevas familias {x0i }ni=1 y {yi0 }ni=1 , dadas por
x0i =
xi
α
y
yi0 =
yi
,
β
para toda i ∈ {1, 2, ..., n}. Es posible observar que
n
X
! p1
|x0i |p
=1
y
i=1
n
X
! 1q
|yi0 |q
= 1,
i=1
de donde se sigue que
n
X
|x0i |p
=1
y
i=1
n
X
|yi0 |q = 1.
i=1
Por otra parte, si para cada j ∈ {1, 2, ..., n}, en la Proposición 1.2.2 hacemos
a = |x0j | y b = |yj0 |, entonces tenemos que
|x0j yj0 | ≤
de ahı́
n
X
|x0j |p |yj0 |q
+
,
p
q
|x0i yi0 | ≤
i=1
9
1 1
+ = 1.
p q
Pero
n
X
|x0i yi0 |
i=1
n
1 X
=
|xi yi |,
αβ i=1
entonces, finalmente,
n
X
|xi yi | ≤ αβ.
i=1
Teorema 1.2.1 (Desigualdad de Bessel). Sea H un espacio de Hilbert y
Λ un subconjunto ortonormal de vectores en H. Entonces
1) Si {xi }ni=1 es una familia arbitraria de elementos de Λ, entonces
n
X
|hy, xi i|2 ≤ kyk2
i=1
para toda y ∈ H. Y si la familia de vectores {xi }∞
i=1 ⊆ Λ es a lo sumo
numerable, entonces
∞
X
|hy, xi i|2 ≤ kyk2
i=1
para toda y ∈ H.
2) Para cada y ∈ H, el conjunto =y = {x ∈ Λ | hy, xi =
6 0}, es a lo sumo
numerable.
3) Para toda z, y ∈ H,
X
|hy, xihz, xi| ≤ kxkkzk.
x∈Λ
Demostración. 1). Sea y ∈ H, y {xi }ni=1 ⊆ Λ una familia finita. Escogemos de manera arbitraria n escalares en F (= R o C), digamos a1 , ..., an .
10
Tenemos que
0 ≤ ky −
n
X
ai x i k 2
i=1
= hy −
n
X
ai xi , y −
i=1
2
= kyk −
= kyk2 −
= kyk2 +
= kyk2 +
j=1
n
X
i=1
n
X
ai x i i
i=1
n
X
j=1
n
X
n
X
aj hy, xj i −
aj hy, xj i −
n
X
i=1
n
X
ai hxi , yi +
ai hxi , yi +
i=1
n X
n
X
ai aj hxi , xj i
i=1 j=1
n
X
X
i=1
j6=i
|ai |2 hxi , xi i +
ai aj hxi , xj i
(−ai hy, xi i − ai hxi , yi + |ai |2 ) (pues hxi , xj i = δij )
(−|hy, xi i|2 + |aj − hy, xi i|2 )
i=1
2
= kyk −
n
X
2
|hy, xi i| +
i=1
n
X
|aj − hy, xi i|2 ,
i=1
en particular, si ai = hy, xi i, entonces
0 ≤ kyk2 −
n
X
|hy, xi i|2 .
i=1
Pn
2
⊆ Λ. Si definimos tn =
Ahora supongamos que
k=1 |hy, xk i| ,
entonces {tn }∞
n=1 es una suscesión real creciente, y por lo anterior se tiene
2
que tn ≤ kyk para toda n ∈ N, i.e. la sucesión es creciente y acotada, y por
lo tanto {tn }∞
n=1 es convergente, y además
{xi }∞
i=1
lim tn =
n→∞
∞
X
|hy, xi i|2 ≤ kyk2 .
i=1
2). Sea y un elemento de H. Consideremos la familia de subconjuntos
de la forma =n = {x ∈ Λ | hy, xi ≥ 1/n}, con n ∈ N. Si existe k ∈ N tal
que =k es infinito, entonces existe al menos una familia numerable
{xj }∞
j=1
Pn
de elementos en =k ; de este modo, para la sucesión tn = j=1 |hy, xj i|2 se
tendrá que
n
X
1
n 2 ≤
|hy, xj i|2 = tn ,
k
j=1
1
≤ |hy, xj i| para toda i = 1, ..., n. Y entonces {tn }∞
n=1 es divergente.
k
Lo cual resulta contradictorio con el punto 1) de esta demostración. Luego,
se sigue que =n es finito para toda n ∈ N.
pues
11
S
Ahora, es claro que =y = n∈N =n , i.e. = es expresable como una unión
numerable de subconjuntos de cardinalidad finita, por ello = es a lo sumo
numerable.
3). Sean y y z un par de elementos cualesquiera en H, consideremos los
subconjuntos =y y =z . Tomamos x en Λ tal que hy, xi = 0 y hy, xi = 0,
entonces |hy, xihz, xi| = 0. Se sigue que
= = {x ∈ Λ : |hy, xihz, xi| 6= 0} ⊆ =y ∪ =z .
Pero, por la parte segunda, =y ∪ =z es a lo sumo numerable, por ende = es
a lo sumo numerable. Digamos que = = {x1 , x2 , ...} (obsérvese como esta
familia puede ser finita). Entonces,
X
|hy, xihz, xi| =
∞
X
|hy, xi ihz, xi i|.
i=1
x∈Λ
Ahora bien, por la desigualdad de Hölder (Proposición 1.2.3) y por la parte
primera de esta demostración,
n
X
|hy, xi ihz, xi i| ≤
i=1
n
X
! 21
|hy, xi i|2
n
X
! 21
|hz, xi i|2
≤ kykkzk,
i=1
i=1
para toda n ∈ N. De esta expresión se deduce la desigualdad deseada.
Observación 1.2.1. De la anterior demostración, la desigualdad de Bessel
puede también enunciarse de la siguiente manera. Para todo y ∈ X,
X
|hy, xi|2 ≤ kyk2 .
x∈Λ
Una colección de vectores no es necesariamente un subespacio vectorial,
pero podemos preguntarnos si es posible encontrar algún subespacio mı́nimo
que contenga dicha colección de vectores como subconjunto. La respuesta es
afirmativa.
Proposición 1.2.4. Sea U una colección de vectores en el espacio vectorial
H. Entonces existe un único subespacio B tal que
1) U ⊆ B.
2) Si existe B’ ⊆ H subespacio tal que U ⊆ B’, entonces B ⊆ B’.
Demostración.
Sea U un subconjunto del espacio vectorial H.
Existencia. Sea D = {D ⊆ H | D T
es subespacio vectorial y U ⊆ D}.
Consideremos el subconjunto B= D∈D D. Se tiene entonces que B es un
12
subespacio vectorial y claramente U ⊆ B. Luego B verifica la propiedad
1). Por otro lado, si suponemos
T que B’ es un subespacio tal que U ⊆ B’,
entonces U ⊆ D. Por tanto D∈D ⊆ B’, es decir, B ⊆ B’.
Unicidad. Supongamos que existe un subespacio C tal que verifica las
propiedades especificadas en la proposición. Entonces como B también verifica dichas propiedades, se tiene que C ⊆ B ⊆ C. Con lo cual B=C.
Definición 1.2.2 (Espacio generado). El subespacio encontrado en la proposición anterior se denomina espacio generado por U y se denota por
S[U].
Observación 1.2.2.
(
)
X
S[U] =
αi ui : αi ∈ F, ui ∈ U i ∈ I, I subconjunto de ı́ndices .
i∈I
Según la proposición anterior, podemos deducir que para un espacio de
Hilbert H (y en general para cualquier espacio vectorial), con una base B
de vectores se tendrá que S[B]=H. Ahora, también es fácil deducir que
todo subconjunto ortonormal de vectores diferentes de cero dentro de un
espacio de Hilbert, es también un subconjunto linealmente independiente.
Podemos entonces exponer un resultado que nos ayudará a encontrar una
base ortonormal para los espacios de Hilbert de dimensión finita.
Teorema 1.2.2 (Proceso de Gram-Schmidt). Sea H un espacio de
Hilbert y sea Y = {yk | k ∈ N} un subconjunto de vectores linealmente
independientes. Consideremos además las subfamilias Yn = {y1 , ..., yn } con
n ∈ N. Entonces, para toda n ∈ N existe un subconjunto finito ortonormal
de vectores Zn = {z1 , ..., zn }, tal que
S[Yn ] = S[Zn ].
Demostración. Inducción sobre n.
I) Sea n = 1. Entonces Y1 = {y1 } y dado que y1 es distinto de cero, es
y1
, y considerar Z1 = {z1 } como una
posible definir el nuevo vector z1 =
ky1 k
familia ortonormal.
Sea α ∈ F. Tenemos que
αy1 = αky1 k
y1
= αky1 kz1 = βz1 ,
ky1 k
con β = αky1 k ∈ F. Por tanto S[Y1 ] = S[Z1 ].
II) Sea 1 < n. Para la subfamilia Yn−1 = {y1 , ..., yn−1 } supongamos que
existe un subconjunto ortonormal de vectores Zn−1 = {z1 , ..., zn−1 } tal que
13
S[Yn−1 ] = S[Zn−1 ]. Consideremos
Pn−1 la subfamilia Yn = {y1 , ..., yn } = Yn−1 ∪
0
{yn } y el vector zn = yn − i=1 hyn , zi izi . Entonces para cada zj ∈ Zn−1
tenemos
hzn0 , zj i = hyn , zj i −
n−1
X
hyn , zi ihzi , zj , i
i=1
= hyn , zj i − hyn , zj ikzj k2
= hyn , zj i − hyn , zj i
= 0,
a la familia Zn−1 . Y por otra parte, si kzn0 k = 0,
es decir zn0 es ortogonal
Pn−1
entonces yn = i=1 hyn , zi izi , por tanto yn ∈ S[Zn−1 ]. Ahora, por hipótesis
de inducción, yn ∈ S[Yn−1 ], luego yn puede expresarse como combinación
lineal de y1 , ..., yn , lo cual contradice nuestra hipótesis de independencia.
zn0
Se tiene, de tal suerte, que kzn0 k > 0. Sea ahora zn =
. Entonces
kzn0 k
Zn = Zn−1 ∪ {zn } es un subconjunto ortonormal de vectores. Por otra parte,
si αi ∈ F para toda i = 1, ..., n, entonces
n
X
αi yi =
i=1
=
n−1
X
i=1
n−1
X
αi yi + αn yn
αi yi +
i=1
n−1
X
!
hyn , zi izi + kzn0 kzn .
i=1
0
} ⊆ F tal que
Por hipótesis existe {βi0 , ..., βn−1
tonces
n
X
αi yi =
i=1
n−1
X
βi0 zi +
n−1
X
i=1
=
n−1
X
Pn−1
i=1
αi yi =
Pn−1
i=1
βi0 zi , en-
!
hyn , zi izi + kzn0 kzn
i=1
(βi0 + hyn , zi i)zi + kzn0 kzn
i=1
=
n
X
βi zi ,
i=1
donde βj = βj0 + hyn , zi i para toda j = 1, ..., n − 1 y βn = kzn k. De todo lo
anterior se sigue que S[Yn ] = S[Zn ].
Definición 1.2.3 (Complemento ortogonal). Sea H un espacio de Hilbert
y S una subconjunto de H. La colección de vectores
S⊥ = {y ∈ H | y ⊥ x
14
para toda x ∈ S}
es denominada complemento ortogonal del subconjunto S. Evidentemente
S⊥ S⊥ .
De esta definición es sencillo probar el siguiente enunciado.
Proposición 1.2.5. Sea H un espacio de Hilbert. Si S ⊆ H, entonces S⊥
es un subespacio vectorial cerrado de H.
Definición 1.2.4 (Descomposición interna). Sea H un espacio de Hilbert
(o un espacio vectorial arbitrario). Entonces
i) Una colección finita {Mi }ni=1 de subespacios vectoriales de H es linealmente independiente si para todo i = 1, ....n se verifica
\
Mi (M1 + · · · + Mi−1 + Mi+1 + · · · + Mn ) = {0},
donde M1 + · · · + Mi−1 + Mi+1 + · · · + Mn denota el subconjunto cuyos
elementos tienen la forma x1 + x2 + · · · + xi−1 + xi+1 + · · · + xn , con
xj ∈ Mj para toda j ∈ {1, 2, ..., i − 1, i + 1, ..., n}.
ii) Si {Mi }ni=1 es una familia de subespacios vectoriales de H linealmente
independiente, tal que H=M1 + · · · + Mn , entonces decimos que dicha
familia forma una descomposición interna en suma directa para
H. La notación usada es ahora
H = M1 ⊕ · · · ⊕ Mn .
Como una aplicación del Proceso de Gram-Schmidt (Teorema 1.2.2) presentamos el siguiente resultado
Teorema 1.2.3. Sea H un espacio de Hilbert y M un subespacio de H de
dimensión finita. Entonces {M, M⊥ } forma una descomposición interna en
suma directa para H, esto es, H = M ⊕ M⊥ .
Demostración. Primeramente, deberemos mostrar que M ∩ M⊥ = {0}.
Sea x ∈ M∩M⊥ , entonces hx, xi = 0 y por propiedades de producto interior,
x = 0. Ahora, es claro que si la dimensión de M es finita, digamos n, podemos
construir una base finita {x1 , ..., xn } de vectores ortonormales para M, con
lo cual
n
X
w=
hz, xi ixi ∈ M,
i=1
para cualquier vector z ∈ H. Entonces, si consideremos el vector
y =z−w =z−
n
X
i=1
15
hz, xi ixi ,
tendremos que para cada xj ∈ {x1 , ..., xn },
hy, xj i = hz, xj i −
n
X
hz, xi ihxi , xj i
i=1
= hz, xj i − hz, xj ihxj , xj i
= hz, xj i − hz, xj i
= 0.
Esto significa que y es ortogonal a la base de M, entonces y es ortogonal a
M mismo. De ahı́ que y ∈ M⊥ . Luego, z tiene la representación z = w + y,
con w ∈ M y y ∈ M⊥ .
Lo anterior prueba que H ⊆ M ⊕ M⊥ , pero es claro que la contensión
contraria es válida. De esta manera H = M ⊕ M⊥ .
1.3
Proyecciones
Un espacio de Hilbert es un espacio normado completo (bajo la norma inducida por el producto interior), entonces debemos tener en cuenta que aquı́
se verifican todos los conceptos y propiedades topológicas de los espacios
normados; entonces no debe caber duda alguna acerca del sentido que deba
dárseles al hacer uso de éstas nociones a lo largo de nuestra exposición.
Teorema 1.3.1 (Proyección). Sea S un subespacio cerrado de un espacio
de Hilbert H. Para cada x ∈ H existe un único elemento y0 ∈ S tal que
kx − y0 k = inf{kx − yk : y ∈ S}.
El vector y0 ∈ S se conoce como la proyección de x sobre el subespacio S.
Demostración. Sea x ∈ H.
Existencia. Sea δ = inf{kx − yk : y ∈ S}. Es posible encontrar una
sucesión {yn }n≥1 contenida precisamente en S, tal que kx − yn k → δ siempre
que n → ∞. Ahora bien, por la ley del paralelogramo (Proposición 1.1.3),
para toda u, v ∈ H,
ku + vk2 + ku − vk = 2(kuk2 + kvk2 ),
(1.3)
entonces, si u = yn − x y v = ym − x, para un par n ≥ 1 y m ≥ 1, se tendrá
kyn + ym − 2xk2 + kyn − ym k2 = 2kyn − xk2 + 2kym − xk2 ,
luego,
1
kyn − ym k2 = 2kyn − xk2 + 2kym − xk2 − 4k (yn + ym ) − xk2 .
2
16
Pero
1
1
(yn + ym ) ∈ S, entonces k (yn + ym ) − xk2 ≥ δ 2 . Por lo tanto
2
2
0 ≤ kyn − ym k2 ≤ 2kyn − xk2 + 2kym − xk2 − 4δ 2 ,
y si n, m → ∞ entonces kyn − ym k2 → 0. Con lo cual kyn − ym k → 0. De
tal manera que la sucesión {yn }n≥1 es de Cauchy. Entonces, dado que H es
completo, existe un elemento y0 en H tal que yn → y0 siempre que n → ∞, y
dado que S es cerrado (i.e. todo punto lı́mite de S está en S mismo), tenemos
que y0 ∈ S. Además, claramente δ = kx − y0 k.
Unicidad. Sea ahora y00 en S tal que δ = kx − y00 k. De nueva cuenta,
sustituyendo en (1.3), u = y00 − x y v = y0 − x, tenemos que
1
0 ≤ ky0 − y00 k = 4δ 2 − 4kx − (y0 + y00 )k2 ≤ 0,
2
entonces ky0 − y00 k = 0, con lo cual y0 = y00 .
Sobre un subespacio S podemos denotar como PS (x) la proyección de
x sobre S, para cada x en el espacio H. Definiendo entonces el operador
proyección PS : H −→ S, tal que x 7−→ PS (x) para toda x ∈ H.
Lema 1.3.1. Sea S un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H. Sea
y ∈ S y x ∈ H, entonces y = PS (x) si y solo si (x − y) ⊥ S.
Demostración. Primero supongamos que y = PS (x). Entonces kx − yk =
inf{kx − zk : z ∈ S}. Sea z ∈ S y c ∈ C entonces y + cz ∈ S. Ello implica
que
kx − yk2 ≤ kx − y + czk2 .
Pero
kx − y + czk2 ≤ kx − yk2 + |c|2 kzk2 − 2Rehx − y, czi,
luego
|c|2 kzk2 − 2Rehx − y, czi ≥ 0.
En particular, si c = bhx − y, zi, con b ∈ R, entonces |c|2 = b2 |hx − y, zi|2 , y
además
hx − y, czi =
=
=
=
hcz, x − yi = chz, x − yi
bhx − y, zihz, x − yi
bhx − y, zihx − y, zi
b|hx − y, zi|2 .
Por lo tanto 2Rehx − y, czi = 2b|hx − y, zi|2 . De tal suerte que
|hx − y, zi|2 (b2 kzk2 − 2b) ≥ 0,
17
(1.4)
para toda b ∈ R.
Tenemos ahora dos casos.
I) Supongamos que kzk > 0 (es decir z 6= 0). Sea entonces b > 0 tal que
0 < bkzk < 2, tenemos,
b2 kzk2 − 2b < 0
|hx − y, zi|2 (b2 kzk2 − 2b) ≤ 0.
Y por (1.4),
|hx − y, zi|2 (b2 kzk2 − 2b) = 0,
luego
|hx − y, zi| = 0.
Entonces hx − y, zi = 0, es decir (x − y) ⊥ z.
II) Ahora supongamos que kzk = 0 (es decir z = 0). De forma inmediata
se tiene que (x − y) ⊥ z.
Por la parte I) y la parte II), (x − y) ⊥ z para toda z ∈ S. Entonces
(x − y) ⊥ S.
Inversamente, supongamos que (x − y) ⊥ S. Sea z ∈ S. Por hipótesis
hx − y, zi = 0, por lo tanto Rehx − y, zi = 0. Luego
kx − yk2 ≤
=
=
=
kx − yk2 + kz − yk2
kx − yk2 + kz − yk2 − 2Rehx − y, zi
kx − y − (z − y)k2
kx − zk2 ,
es decir,
kx − yk2 ≤ kx − zk2 ,
entonces,
kx − yk ≤ kx − zk.
Ello implica que kx − yk ≤ inf{kx − zk : z ∈ S}. Pero como y ∈ S
entonces se tiene en realidad la igualdad deseada.
De este resultado se desprende de inmediato el siguiente lema.
Lema 1.3.2. Si S es un subespacio cerrado del espacio de Hilbert H entonces
(x − PS (x)) ⊥ S para toda x ∈ H.
El hecho de que (x−PS (x)) ⊥ S para toda x ∈ H es quivalente al hecho
de que (x − PS (x)) ∈ S⊥ para toda x ∈ H.
Teorema 1.3.2. Si S es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H,
entonces para toda x ∈ H, existe una única representación x = y + z, donde
y ∈ S y z ∈ S⊥ . Esta representación única está dada por y = PS (x) y
z = x − y. En otras palabras, H = S ⊕ S⊥ .
18
La demostración se sigue inmediatamente del propio Teorema 1.2.3 y de
los lemas anteriores.
Finalmente, presentamos un resultado que nos será de gran utilidad en la
la sección próxima.
Corolario 1.3.1. Si S es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H,
entonces (S⊥ )⊥ = S⊥⊥ = S.
Demostración. Es claro que S ⊆ S⊥⊥ . Ahora, si x ∈ S⊥⊥ , entonces,
según el teorema anterior, existe y ∈ S (y = PS (z)) y existe z ∈ S⊥ tal que
z = x − y. Entonces notamos que z ∈ S⊥⊥ , pues S ⊆ S⊥⊥ y S⊥⊥ es un
subespacio de H. De modo que z = 0 (dado que z ∈ S⊥ ∩ S⊥⊥ = {0}), por
tanto x = y ∈ S. Luego S⊥⊥ ⊆ S⊥ .
1.4
Teorema de representación de Riesz
Los conceptos de ortogonalidad y ortonormalidad, son fundamentales para
introducir algunas propiedades, como el teorema de representación de Riesz,
el cual es objeto de estudio en esta sección.
Definición 1.4.1. Si H es un espacio de Hilbert sobre el campo escalar F
(el campo real o complejo), entonces el mapeo f : H → F lo denominamos
funcional del espacio de Hilbert H. Una funcional f es lineal si f (αx+y) =
αf (x) + f (y). Es continua en x∈ H si para toda > 0 existe δx () > 0
tal que si kx − x0 k < δx () entonces |f (x) − f (x0 )| < ; y decimos que f es
continua si f es continua en cada punto x de H.
Teorema 1.4.1 (Teorema de representación de Riesz). Sea H un espacio de Hilbert y f una funcional lineal continua sobre H. Entonces existe
un único vector y ∈ H tal que f (x) = hx, yi, para toda x ∈ H.
Demostración. El subconjunto
M = {x ∈ H | f (x) = 0} ⊆ H
es un subespacio cerrado de H. La verificación de este hecho es inmediata
de la continuidad de f .
Si M=H, entonces f = 0, con lo cual, si denominamos y = 0, se tendrá
f (x) = hx, 0i = 0,
para toda x ∈ H, y es claro que y es único.
Ahora bien, si M 6= H, entonces existe z ∈ M⊥ tal que z 6= 0, de lo
contrario, es decir, si M⊥ = {0}, entonces dado que M es cerrado
M = M⊥⊥ = {0}⊥ = H,
19
lo cual es imposible.
f (z)
∈ C, y consideramos y = αz ∈ M⊥ .
kf (z)k2
Entonces, para x ∈ M, tenemos
Definimos el número α =
hx, yi =
f (z)
hx, zi = 0 = f (x).
kf (z)k2
Tomemos ahora x ∈ M⊥ , tenemos que
f (x)
z = f (x) − f (x) = 0,
f x−
f (z)
por tanto x −
f (x)
z ∈ M, entonces
f (z)
f (x)
f (x)
z = hx −
z, yi = 0,
f x−
f (z)
f (z)
de donde se sigue que
f (x)
f (x)
hx, yi = hx −
z, yi + h
z, yi
f (z)
f (z)
f (x)
f (x)
f (z)
= f x−
z +
·
hz, zi
f (z)
f (z) kf (z)k2
= f (x).
Ahora, si existe y1 con la misma propiedad que y, entonces f (y) =
hy, y1 i = hy, yi; y por otro lado, f (y1 ) = hy1 , yi = hy1 , y1 i. Luego
hy1 − y, y1 − yi = hy1 , y1 i − hy1 , yi + hy, y1 i − hy, yi
= 0,
por tanto y = y1 .
Definición 1.4.2. Una funcional f sobre H se dice que es acotada si existe
M > 0 tal que |f (x)| ≤ M kxk para toda x ∈ H.
Teorema 1.4.2. Una funcional lineal f es continua sobre H, si y sólo si, es
acotada.
Una prueba a este hecho puede encontrarse en [7].
Teorema 1.4.3. Sea H un espacio de Hilbert y f : H → F una funcional
lineal. Entonces f es continua si y sólo si existe y ∈ X único tal que f (x) =
hx, yi, para toda y ∈ X
20
Demostración. La condición necesaria es precisamente el teorema de
representación de Riesz. Ahora, si para la funcional lineal f se tiene que
f (x) = hx, yi para alguna y ∈ X, entonces
|f (x)| = |hx, yi| ≤ kxkkyk,
por tanto f es acotada, y con ello continua.
Finalmente, el concepto de funcional puede llevarse a un concepto más
amplio.
Definición 1.4.3 (Operador). Sean H1 y H2 dos espacios de Hilbert (o
simplemente espacios vectoriales) sobre el mismo campo F. Una transformación T : H1 → H2 se denomina operador del espacio H1 a H2 . Además,
i) Decimos que el operador T es lineal si T (αx + y) = αT (x) + T (y).
ii) El operador T es acotado si existe M > 0 tal que kT (x)k2 ≤ M kxk1 ,
para toda x ∈ H1 , donde k · ki es la norma del espacio Hi , i = 1, 2.
iii) Si H1 = H = H2 entonces decimos que T es positivo si hT x, xi ≥ 0,
para toda x ∈ H.
iv) Y decimos que es simétrico si hT x, yi = hx, T yi, para todo x, y ∈ H.
1.5
Los espacios de funciones Lp. El espacio
de Hilbert L2
Con la finalidad de ilustrar la utilidad de los anteriores resultados, en esta
sección desarrollaremos de manera muy breve un ejemplo particular de espacio de Hilbert.
Primeramente consideremos un espacio de medida (X, S, µ) y un número
p ≥ 1 (aunque se puede elegir un número mayor que cero, nosotros restringiremos nuestro estudio a la elección de dicho número p). Definimos el espacio
Lp (X, S, µ), a veces simplemente denotado por Lp , como la familia de funciones f : X → C, S-medibles, tal que |f |p es µ-integrable. En sı́mbolos,
Z
p
Lp (X, S, µ) = f : X → C :
|f | dµ < ∞ .
X
Es muy fácil verificar que los espacios Lp son espacios lineales bajo las operaciones de suma de vectores y producto escalar habituales. Para ello basta
tener presente que para toda f, g ∈ Lp : |f + g|p ≤ (|f | + |g|)p . Y por otra
parte también tenemos que para todo α ∈ C y para toda f ∈ Lp ,
Z
Z
p
p
|αf | dµ = |α|
|f |p dµ < ∞,
X
X
21
por lo tanto αf ∈Lp .
Ahora bien, la función k · kp :Lp → R+ dada por
Z
kf kp =
p1
|f |p dµ
X
determina una seminorma para el espacio Lp , siempre que p ≥ 1. En efecto,
es claro que para todo α ∈ C y para toda f ∈ Lp
kαf kp = |α|kf kp .
Ahora bien, la desigualdad triangular, en este contexto, es conocida como
desigualdad de Minkowski, y su prueba requiere de un resultado conocido
como desigualdad de Hölder, por identificarse como una generalización del
resultado expuesto en la Proposición 1.2.3.
Teorema 1.5.1 (Desigualdad de Hölder). Sea p y q un par de números
pertenecientes al intervalo (1, ∞) tales que p1 + 1q = 1. Si f ∈Lp y g ∈Lq ,
entonces,
i) f g ∈L1 , y
ii) kf gk1 ≤ kf kp kgkq .
Demostración. La desigualdad
es inmediata
kp = 0 o kgkq = 0,
R
R si kf
p
q
pues tendrı́amos entonces que X |f | dµ = 0 o X |g| dµ = 0, de tal suerte
que f = 0 casi seguramente con respecto a la medida µ (lo cual se denota c.s.
[µ]) esto es, µ({x ∈ X | f (x) = 0}) = 1, o g = 0 c.s. [µ], ası́ entonces f g = 0
c.s. [µ] y 0 = kf gk1 ≤ kf kp kgkq = 0. Supongamos pues que kf kp 6= 0
|f |
y kgkq 6= 0, para ası́ poder definir un par de números reales, a =
y
kf kp
|g|
. Entonces, por la Proposición 1.2.2,
b=
kgkq
|f g|
|f |p
|g|q
≤
+
.
kf kp kgkq
pkf kp qkgkq
Integrando ambos lados de la desigualdad anterior
R
|f g|dµ
1 1
kf gk1
= X
≤ + =1
kf kp kgkq
kf kp kgkq
p q
de donde se sigue
kf gk1 ≤ kf kp kgkq .
Lo cual demuestra además que f g ∈L1 .
22
Teorema 1.5.2 (Desigualdad de Minkowski). Si f, g ∈ Lp con p ≥ 1,
entonces,
kf + gkp ≤ kf kp + kgkp .
Demostración. Observamos que si kf + gkp = 0 la desigualdad se sigue
de forma inmediata. Consideremos entonces el caso en que kf + gkp > 0. En
primer lugar, para p ≥ 1, tenemos que
|f + g|p = |f + g|p−1 |f + g| ≤ |f ||f + g|p−1 + |g||f + g|p−1 .
(1.5)
Supongamos que p = 1, entonces sustituyendo en (1.5) e integrando ambas
partes de la desigualdad,
Z
Z
Z
kf + gk1 =
|f + g|dµ ≤
|f |dµ +
|g|dµ = kf k1 + kgk1 .
X
X
X
Ahora sea p > 1. Entonces escogemos un número q > 1 tal que
ası́
Z
Z
p−1 q
(|f + g| ) dµ =
|f + g|p dµ < ∞,
X
1
p
+
1
q
= 1,
X
p−1
por lo tanto |f + g|
∈ Lq . Entonces, según la desigualdad de Hölder,
|f ||f + g|p−1 ∈L1 , y |g||f + g|p−1 ∈L1 . Además
Z
p−1
|f ||f + g|
Z
dµ ≤ kf kp
X
es decir
1q
) dµ = kf kp kf + gkp/q
p ,
p−1 q
(|f + g|
X
Z
|f ||f + g|p−1 dµ ≤ kf kp kf + gkp/q
p .
X
De manera análoga
Z
|g||f + g|p−1 dµ ≤ kgkp kf + gkp/q
p .
X
En la desigualdad (1.5), integramos ambos lados y utilizando estas dos últimas
expresiones, tenemos,
kf + gkpp ≤ (kf kp + kgkp )kf + gkp/q
p .
Ahora bien, p − 1 = (p/q), y como kf + gkp > 0, se sigue la desigualdad
deseada.
Es ası́ como k·kp determina una seminorma sobre el espacio Lp . Y la razón
por la cual no puede determinar una norma radica en que si para determinada
f ∈Lp se verifica que kf kp = 0, esto no implica necesariamente que f = 0 en
X. Tan sólo podemos afirmar que f = 0 c.s. [µ]. Sin embargo, a partir de este
23
espacio seminormado podemos construir un espacio donde es posible definir
un producto interior mediante la utilización de las caracterı́ticas de k · kp , y
determinar de esta manera una función norma que resulte completa, teniendo
entonces en nuestras manos un nuevo espacio de Hilbert. Consideremos un
espacio de medida (X, S, µ), y para algún número p ≥ 1 consideremos el
espacio Lp (X, S, µ) correspondiente. Para f, g ∈Lp (X, S, µ) definiremos la
relación siguiente
f ∼g
si y sólo si
f =g
c.s. [µ].
Es fácil verificar que ”∼” define una relación de equivalencia. Podemos
entonces introducir un nuevo subconjunto en el espacio Lp (X, S, µ) con sólo
tomar en cuenta para una función f determinada en Lp (X, S, µ) su clase de
equivalencia
f̂ = {g ∈ Lp | g ∼ f }.
Entonces definimos un nuevo espacio Lp el cual reúne todas las clases de
equivalencia, es decir
Lp = {f̂ | f ∈ Lp }.
Sobre este nuevo espacio, las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar pueden ser introducidas mediante las expresiones
f̂+ĝ=f[
+g
y
c,
α f̂=αf
para f̂ y ĝ en Lp , y α en C. Es fácil mostrar que bajo estas relaciones el
espacio Lp es lineal.
Es posible notar que bajo este nuevo orden de cosas la función k · kp :
Lp → R+ determinada por
kfˆkp =
Z
p1
|f | dµ
p
(1.6)
X
constituye una norma sobre el espacio lineal Lp . En efecto, por una parte
notamos que para todo α ∈ C y para toda fˆ ∈ Lp ,
kαfˆkp = |α|kfˆkp ,
mientras que la desigualdad triangular se expresa en el mismo sentido que
en el Teorema 1.5.2, esto es
kfˆ + ĝkp ≤ kfˆkp + kĝkp
para toda fˆ, ĝ ∈ Lp .
Pero además, si kfˆkp = 0, entonces f = 0 c.s. [µ], esto implica que f ∈ 0̂, y
por otra parte 0 ∈ fˆ. Por ello si h ∈ fˆ se tiene que h = f = 0 c.s. [µ], por
tanto h ∈ 0̂. Entonces fˆ ⊆ 0̂. Análogamente, 0̂ ⊆ fˆ. Ası́ pues fˆ = 0̂. Es de
esta forma como k · kp determina una norma sobre el espacio Lp .
24
Ahora parece necesario preguntarnos acerca de las propiedades de esta
norma. En particular nos interesa saber si el espacio Lp es completo bajo
ella. La realidad dice que efectivamente el espacio Lp es completo.
Teorema 1.5.3. Sea {fˆn }n≥1 una sucesión de Cauchy en el espacio F p .
Entonces existe fˆ ∈ F p tal que fˆn → fˆ cuando n → ∞.
Demostración. La demostración se sigue del hecho de que una sucesión
{fˆn }n≥1 de Cauchy en Lp define también un sucesión {fn }n≥1 de Cauchy en
Lp , y es posible probar entonces que tal sucesión es convergente en Lp a una
función f aunque no única, y por ello {fˆn }n≥1 converge en Lp a fˆ, única. Hagamos más pequeño nuestro ámbito de estudio y consideremos el caso
p = 2. Ahora bien, a partir de la definición de k · kp en la ecuación (1.6),
podemos motivar la posible definición de un producto interior dado por
Z
f gdµ
para toda fˆ, ĝ ∈ L2 .
(1.7)
hfˆ, ĝi =
X
Las dos primeras caracterı́sticas de la Definición 1.1.4 de producto interior
son fácilmente verificables. Por otra parte, si fˆ = ĝ, tenemos que hfˆ, ĝi =
hfˆ, fˆi = kfˆk22 . Entonces la parte tercera de la Definición 1.1.4 es satisfecha.
Por último, es también evidente que fˆ = 0, si y sólo si, hfˆ, fˆi = 0. Ası́ es
como (1.7) define un producto interior sobre L2 . Ahora bien, la relación k·k2 ,
dada por
12
Z
1
2
|f | dµ ,
kfˆk2 = (hfˆ, fˆi) 2 =
X
determina una norma completa sobre el espacio L2 , según el Teorema 1.5.3.
Hemos probado el resultado siguiente.
Corolario 1.5.1. El espacio L2 es un espacio de Hilbert.
25
1.6
Esperanza condicional
En la teorı́a de las probabilidades existe un concepto de vital importancia
para el estudio de algunos procesos estocásticos, en particular de los procesos conocidos como martingalas. Nos referimos al concepto de esperanza
condicional. Los espacios de Hilbert posibilitan la ubicación teórica de tal
concepto, el cual lo expondremos aquı́ de forma breve y a manera de ejemplo.
Primeramente, nuestro espacio de medida será considerado como un espacio
de probabilidad, con lo cual se introduce la notación (Ω, F, P). La medida P
es conocida como medida de probabilidad y la única salvedad que distingue
a este espacio es que P[Ω] = 1. En este contexto, las funciones F-medibles
se denotan con las letras mayúsculas X, Y , Z, etc, llevando el nombre de
variablesR aleatorias. Cuando una variable aleatoria es integrable, entonces
E[X] = Ω XdP es conocida como la esperanza de X.
Algunos problemas tı́picos referentes a las condiciones de codependencia
de ciertos fenómenos aleatorios, ası́ como a las limitaciones producidas por la
carencia de información respecto de los mismos, han sugerido la introducción
de nuevos conceptos, a partir de la idea de condicionamiento. El primero
de ellos es conocido como probabilidad condicional, el cual dio origen a un
concepto todavı́a más útil y general, conocido como esperanza condicional.
Mostraremos tan solo un problema que ilustre la necesidad de tales ideas.
Supongamos que podrı́amos interesarnos por la posibilidad de que en un
número n de lanzamientos de una moneda se obtuviera k resultados en ”sol”.
Siendo la posibilidad de obtener ”sol” en cada lanzamiento independiente
x ∈ [0, 1], la cual desconocemos. Podemos entonces considerar Ω = Ω1 ×
Ω2 ; donde Ω1 = [0, 1] es el espacio del cual puede observarse los posibles
valores de x; y Ω2 = {0, 1, ..., n} es el espacio donde se consideran todas
los posibles lanzamientos en ”sol” después de los n lanzamientos. Además
podemos considerar la σ-álgebra F = F1 ⊗ F2 , con F1 = B[0,1] y F2 = P(Ω2 ).
El problema puede ser modelado definiendo un par de variables aleatorias
(funciones F-medibles) sobre Ω, X : Ω → [0, 1] y Y : Ω → {1, ..., n}, tales
que X(x, y) = x denota la probabilidad de que en un solo lanzamiento se
obtenga ”sol”; Y (x, y) = y denota el número de ”soles” después de los n
lanzamientos.
El problema ahora consiste en saber si es posible encontrar un par de
medidas de probabilidad, P : F → [0, 1], y P̂(x, ) : F2 → [0, 1] la cual
depende de x y que pueda ser interpretada como la probabilidad condicional
de Y dado que X = x; tales que P̂(x, C) = P[(x, y) ∈ Ω | y ∈ C], para toda
C ∈ F2 , y x ∈ Ω1 = [0, 1]. De ser ası́ se seguirı́a entonces que
Z
Z 1
P(Y ∈ C) = P(Ω1 × C) =
P̂(x, C)dx =
P̂(x, C)dx.
Ω1
0
El teorema de Radon-Nikodym muestra que tal medida P̂ existe y además
26
muestra que si C = {k}, con k ∈ Ω2 , entonces P̂(x, {k}) = nk xk (1 − x)n−k .
La notación usada es, en este caso P̂(x, {k}) = P[Y = k | X = x]. De aquı́
podemos entonces derivar el concepto de esperanza condicional de la variable
Y , dado que la variable X = x, la cual denotaremos E[Y | X = x], como
sigue,
n
n
X
X
n k
E[Y | X = x] =
kP[Y = k | X = x] =
k
x (1 − x)n−k = nx.
k
k=0
k=0
Podemos definir de tal suerte una función g(x) = E[Y | X = x].
k
, para
La realización de algunos cálculos muestra que P(Y = k) = n+1
Pn
k
n
toda k ∈ Ω2 y entonces E[Y ] = k=0 n+1 = 2 . Entonces, g ◦ X = g(X), es
una nueva variable aleatoria tal que
Z
Z
Z
g(X)dP =
g(x)dPX (x) =
E[Y | X = x]dx
Ω
Ω1
Ω1
Z
Z 1
n
Y dP,
=
nx dx = = E[Y ] =
2
Ω
0
donde PX es la medida inducida por la variable X, dada por PX [A] = P[X ∈
A], para toda A ∈ F1 = B[0,1] . Y en general,
Z
Z
Y dP, para toda A ∈ F1 = B[0,1] .
g(X)dP =
A
A
Luego podemos enunciar la caracterización de la esperanza condicional
de la siguiente manera.
Definición 1.6.1 (Esperanza condicional). Sea (Ω, F, P) un espacio de
probabilidad.
Sea G una sub-σ-álgebra de F. Si X es una función F-medible
R
tal que Ω |X|dP < ∞, entonces la esperanza condicional de X dada G, es
una nueva función G-medible denotada como E[X | G] tal que
Z
Z
XdP =
E[X | G]dP,
A
A
para toda A ∈ G.
X una función F-medible. Agreguemos la hipótesis de que
R Tomemos
2
|X|
dP
<
∞,
(i.e. X ∈ L2 (Ω, F, P )). Y consideremos los espacios de
Ω
Hilbert L2 (Ω, F, P) y L2 (Ω, G, P). Evidentemente L2 (Ω, G, P) ⊆ L2 (Ω, F, P).
Entonces, existe Ŷ ∈ L2 (Ω, G, P), único tal que
kX̂ − Ŷ k22 ≤ kX̂ − Ẑk22 ,
para toda Ẑ ∈ L2 (Ω, G, P), según el teorema 1.3.1.
27
Sea > 0, y A ∈ G. Consideremos la función G-medible χA : Ω →
{0,
que χA (ω) = 0 si ω 6∈ A y χA (ω) = si ω ∈ A. Entonces
R }, tal
2
|χ
|
dP
= 2 P(A) < ∞, con lo cual χA ∈ L2 (Ω, G, P). Se sigue de ahı́
A
Ω
que d
χA ∈ L2 (Ω, G, P). Se tendrá entonces que
kX̂ − Ŷ k22 ≤ kX̂ − (Ŷ + d
χA )k22
Es decir
Z
2
y kX̂ − Ŷ k22 ≤ kX̂ − (Ŷ − d
χA )k22 .
Z
|X − (Y + χA )|2 dP
|X − Y | dP ≤
Ω
Ω
y
Z
2
Z
|X − (Y − χA )|2 dP.
|X − Y | dP ≤
Ω
Ω
Por un lado
Z
Z
2
|X − Y | dP ≤
|X − (Y + χA )|2 dP
Ω
ZΩ
Z
Z
2
2
=
|X − Y | dP − 2 (X − Y )χA dP + χA dP
Ω
Ω
Ω
Z
Z
2
|X − Y | dP − 2 (X − Y )dP + 2 P(A),
=
A
Ω
de donde
Z
(X − Y )dP ≤ P(A).
2
A
De forma análoga
− P(A) ≤
2
Z
(X − Y )dP.
A
Con lo cual
|
Z
Z
Z
Y dP| = |
XdP −
A
A
(X − Y )dP| ≤ P(A)
2
A
Y dado que es arbitraria, se sigue, finalmente
Z
Z
XdP =
Y dP
∀A ∈ G.
A
A
Hemos probado el teorema siguiente.
Teorema 1.6.1. Si X es una variable aleatoria cuadrado integrable (respecto
de F) y G es una sub-σ-álgebra de F, entonces existe la esperanza condicional
de X dada G.
28
Capı́tulo 2
Espacios de Hilbert con núcleo
reproductivo
El presente capı́tulo está basado en el artı́culo homónimo, desarrollado por
A. Aronszajn, publicado en Transactions of the AMS Vol. 68, 1950. La
investigación aquı́ sintetizada es referida a un tipo especial de núcleo (o
kernel), usado bajo diferentes nombres y direcciones en las matemáticas.
Aquı́ presentamos un breve resumen del desarrollo histórico de tal concepto.
En términos generales, en este capı́tulo presentamos las proiedades básicas
del núcleo reproductivo y algunos de los ejemplos más ilustrativos.
2.1
Introducción
Ejemplos de núcleos del tipo que nos interesa son conocidos desde hace
tiempo. En ecuaciones diferenciales e integrales, por ejemplo, encontramos
con bastante frecuencia su uso en forma de operadores, en las teorı́as desarrolladas por Green y Hilbert. Sin embargo, las propiedades caracterı́sticas
de estos núcleos, como los entendemos en la actualidad, fueron desarrolladas
y aplicadas desde principios del siglo XX.
Históricamente, el desarrollo de la teorı́a del kernel (o núcleo) reproductivo ha estado ligada a las directrices del estudio en ecuaciones diferenciales
e integrales. Hacia 1909, se introduce, bajo el tı́tulo de ”núcleos definidos
positivos” la función compleja K en dos variables sobre algún subconjunto
E, con la propiedad
n
X
(2.1)
K(yi , yj )ξ i ξj ≥ 0,
i,j=1
donde yi está en E, ξi es un escalar complejo, i = 1, ..., n.
Ya en la mitad del siglo pasado, sin embargo, muchos investigadores, como
S. Zaremba y S. Bergman, se interesaban por la utilidad de estos núcleos en
otros campos de la matemática. Entre 1943 y 1950, Aronszajn desarrolló
29
una teorı́a general de los núcleos reproductivos la cual contiene, como caso
particular, las núcleo-funciones de Bergman. Aquı́ trataremos de desarrollar
brevente las ideas expuestas por este autor. Esta teorı́a da las bases generales
para el estudio de cada caso particular. El núcleo posee una cierta propiedad
que lo caracteriza, y su cumplimiento implica también el cumplimiento de
la propiedad (2.1). Por tanto, Aronszajn logró generalizar los conceptos del
núcleo reproductivo.
2.2
El núcleo reproductivo
En este capı́tulo, a menos que se especifique lo contrario, E denota siempre
un conjunto y F un espacio de Hilbert sobre el campo F (complejo o real)
de funciones f : E → F.
Definición 2.2.1 (Núcleo reproductivo). La función K : E × E → F,
es llamada núcleo reproductivo (n.r.) de F si satisface las condiciones
siguientes.
i) Para toda y ∈ E, la función K(·, y) : E → F, pertenece a F .
ii) Propiedad reproductiva: Para todo y ∈ E y toda función f ∈ F ,
f (y) = hf (·), K(·, y)i.
Observación 2.2.1. Si el núcleo K es real (esto es, si K(x, y) ∈ R para todo
x, y ∈ E), entonces K(x, y) = K(y, x), luego K(y, ·) ∈ F , para todo x, y ∈ E.
De tal suerte que la propiedad reproductiva también puede ser enunciada, en
estos casos, con la expresión
f (y) = hf (·), K(y, ·)i,
para toda f ∈ F y toda y ∈ E.
Ejemplo 2.2.1. Sea In = {1, 2, ..., n}. Para un vector x = (x1 , ..., x2 ) ∈ Rn
podemos definir una función (manteniendo la notación) x : Tn → R tal que
x(i) = xi , para toda i ∈ In . Consideremos entonces Hn2 como el espacio de
todas estas funciones (observamos que el rango de toda función en Hn2 está
contenido en Rn ). Entonces en Hn2 introducimos el producto punto habitual
en Rn , esto es, si x(i) = xi y y(i) = yi para x, y en Rn , entonces,
hx, yi =
n
X
xi yi .
i=1
El espacio Hn2 es un espacio de Hilbert. Ahora bien, si Kn : In × In → Rn
tiene la regla Kn (i, j) = δij , entonces Kn es el núcleo reproductivo para Rn .
La verificación de este hecho es inmediata.
30
P∞ 2
2
Ahora, si l2 = {(xn )∞
n=1 |
n=1 xn < ∞} y H es la clase de funciones
x : N → R definidas
P de manera análoga2 al párrafo anterior, con producto
interior hx, yi = ∞
n=1 xn yn , entonces H es un espacio de Hilbert con núcleo
reproductivo K(i, j) = δi,j .
En general, sea H un espacio de Hilbert separable sobre el campo escalar
complejo, y {en }∞
normalizada de H, si x ∈ H, entonces existe
n=1 una base P
una única representación x = i αi ei . Definimos la función x : N → C con
la regla x(i) = αi . Sea F la clase formada por todas las funciones de la forma
anterior. Para x, y en F introducimos el producto interior
hx, yiF =
∞
X
αi β i hei , ei iH =
i=1
∞
X
αi β i .
i=1
Entonces la función K : N × N → {0, 1}, cuya regla es K(i, j) = δi,j , es el
núcleo reproductivo de F .
Ejemplo 2.2.2. Sea t un número real positivo. Definimos la clase Ht de
trayectorias continuas q : [0, t] → R, tal que q(t) = 0 y q 0 (s) existe casi
dondequiera y es cuadrado integrable (en el sentido de Riemann). Entonces
la expresión
Z
t
q10 (s)q20 (s)ds,
hq1 , q2 i =
0
para cualesquiera q1 y q2 en
R t Ht , define un producto interior. En efecto, para
q1 y q2 en Ht , la integral 0 q10 (s)q20 (s)ds es un número real, las propiedades
de linealidad y simetrı́a se siguen inmediatamente de este hecho. Ahora,
si q = 0 (es claro
R t 0que 2q = 0 ∈ Ht ), entonces0 hq, qi = 0. Por otra parte, si
hq, qi = 0, i.e. 0 [q (s)] ds = 0, se sigue que q es cero casi dondequiera, luego
q es constante en [0, t] (por continuidad), pero q(t) = 0, entonces q(s) = 0
para todo s ∈ [0, t].
Tenemos que el espacio Ht posee núcleo reproductivo. En efecto la función
K : [0, t] × [0, t] → R dada por K(s1 , s2 ) = t − max{s1 , s2 } define el núcleo
reproductivo para Ht .
En primer lugar, es claro que K(·, s2 ) pertenece a Ht , para cada s2 ∈ [0, 1].
d
d
K(s, s2 ) = 0 si s < s2 y
K(s, s2 ) = −1
Ahora, sea s2 ∈ [0, t], entonces
ds
ds
si s2 < s, de tal forma que, para q ∈ Ht , tenemos,
Z t
d
hq(·), K(·, s2 i =
q 0 (s) K(s, s2 )ds
ds
0
Z t
= −
q 0 (s)ds
s2
= q(s2 ).
Ejemplo 2.2.3. [Itratescu, [5]] Sea F el espacio de todas las funciones continuas complejas sobre [0, 1], cuya derivada existe casi dondequiera y tal que
31
i)
R1
0
|f 0 (t)|2 dt < ∞, para toda f ∈ F .
ii) Existe k 6= 1 en C tal que f (0) = kf (1), para toda f ∈ F .
Bajo la suma y el producto escalar habituales, F es una clase lineal. Mientras
que para cualesquiera funciones f y g en F , la expresión
Z 1
hf, gi =
f 0 (t)g 0 (t)ds
0
R1
define un producto interior en F . En efecto, es evidente que 0 f 0 (t)g 0 (t)dt
existe y es un número complejo. Las propiedades de linealidad y antisimetrı́a
se siguen de forma inmediata. Es claro además
si f = 0 entonces hf, f i =
R 1 que
0
0. Y por otra parte, si hf, f i = 0, i.e. 0 |f (t)|2 dt = 0, entonces (por
continuidad) f 0 (t) = 0 para todo t ∈ [0, 1], la función f es pues constante,
digamos c. Por hipótesis, c = f (0) = kf (1) = kc, entonces c = 0, pues k 6= 1.
Ahora bien para cualquier par s, t en [0, 1], la función
k 2
tk
sk
+
+
K(s, t) = min (s, t) +
1 − k 1 − k 1 − k es el núcleo reproductivo de la clase F . Efectivamente, si t ∈ [0, 1] tenemos
que,
k 2
tk
,
K(0, t) =
+
1 − k 1 − k mientras que
!
k 2
k
tk
+
+
kK(1, t) = k t +
1 − k 1 − k 1 − k k
k
|k|2
= kt 1 +
1+
+
1−k
1−k
1−k
2
k tk
,
+ =
1−k
1 − k
por tanto K(0, t) = kK(1, t). Tenemos además que
(
k
1 + 1+k
0 ≤ s < t,
d
K(s, t) =
k
ds
t < s ≤ 1.
1+k
32
Luego, para f ∈ F y t ∈ [0, 1], tenemos que
Z
hf (·), K(·, t)i =
=
=
=
=
1
d
K(s, t)ds
ds
0
Z t
Z 1
k
k
0
f (s)ds +
1+
f 0 (s)ds
1−k
1
−
k
0
t
k
1
(f (t) − f (0)) +
(f (1) − f (t))
1−k
1−k
1
(f (t) − kf (1) + kf (1) − kf (t))
1−k
f (t),
f 0 (s)
por tanto K es el núcleo reproductivo de la clase F .
2.3
Propiedades básicas del núcleo reproductivo
Consideremos un espacio de Hilbert F de funciones definidas sobre E, con
norma k · k y el producto escalar h·, ·i. En esta sección enunciaremos algunas
propiedades básicas de un núcleo reproductivo K definido sobre la clase F .
Proposición 2.3.1 (Unicidad). Si un n. r. K existe entonces es único.
Demostración. Sea K el núcleo reproductivo para la clase F . Si otro
núcleo K 0 existe, tenemos que para toda y ∈ E,
kK(·, y) − K 0 (·, y)k2 = hK(·, y) − K 0 (·, y), K(·, y) − K 0 (·, y)i
= hK(·, y) − K 0 (·, y), K(·, y)i
−hK(·, y) − K 0 (·, y), K 0 (·, y)i
= K(y, y) − K 0 (y, y) − [K(y, y) − K 0 (y, y)]
= 0
por la propiedad reproductiva de K y K 0 . Lo cual implica que K = K 0 . Para y ∈ E definimos la funcional Gy : F → F, con regla f 7→ Gy (f ) =
f (y) para toda f ∈ F . Ahora enunciamos una condición necesaria y suficiente
para la existencia del núcleo reproductivo.
Teorema 2.3.1 (Existencia). La clase F posee n. r. K, si y sólo si, para
toda y ∈ E, la funcional Gy es continua sobre todo el espacio de Hilbert F .
Demostración. Supongamos que sobre el espacio de Hilbert F existe un
núcleo reproductivo K. Sea y ∈ E y consideremos la funcional Gy (f ) = f (y),
33
se tiene entonces que para toda f ∈ F ,
|Gy (f )| = |f (y)|
= |hf (·), K(·, y)i|
≤ kf kkK(·, y)k.
Por otro lado, haciendo uso de la propiedad reproductiva,
1
1
kK(·, y)k = hK(·, y), K(·, y)i 2 = K(y, y) 2 .
De modo que
1
|Gy (f )| ≤ K(y, y) 2 kf k,
lo cual implica, en efecto, que Gy es continua.
Inversamente, sea y ∈ E, y supongamos que Gy es una funcional continua.
Entonces por el teorema de representación de Riesz existe una única función
gy en F tal que f (y) = hf, gy i. Definimos K(x, y) = gy (x). Este es el núcleo
reproductivo buscado.
Ejemplo 2.3.1. Los espacios LR2 (R, F, µ) no tienen núcleo reproductivo.
En efecto, si consideramos el intervalo [0, 1] y la medida de Lebesgue en
este intervalo sobre la σ-álgebra de Borel, y la función δ0 (x) = δ0x , entonces
kδ0 k = 0, y además 1 = |δ0 (0)| ≥ 0 = M kδ0 k, para toda M > 0. Sin
embargo, si elegimos un intervalo acotado A en R, y el subespacio Lc de todas
las fuciones constantes definidas sobre A, entonces Lc tiene como núcleo la
función K(x, y) = 1/d(A), donde d(A) es la longitud del intervalo A. Más
2
aún, los ejemplos 2.3.2 y 2.3.3 introducen subespacios de LR2 que tienen
núcleo reproductivo.
Proposición 2.3.2. Sea F un espacio de funciones con producto interior
definido. Si F posee núcleo reproductivo entonces cualquier subespacio
cerrado F1 de F también posee núcleo reproductivo. Más aún, si K es el
n. r. de F y K1 es el de F1 , entonces K1 (·, y) = PF1 (K(·, y)), para toda
y ∈ E.
Demostración. Sea K el n.r. de F . Consideremos un subespacio cerrado
F1 de F . Si y ∈ E, donde E es el conjunto donde están definidas las funciones
de F , entonces la correspondencia lineal f 7→ f (y) es acotada para toda
f ∈ F , en particular para f ∈ F1 . Entonces, según el teorema de existencia,
existe K1 n.r. correspondiente a la clase F1 .
Ejemplo 2.3.2. Este ejemplo fue presentado en el trabajo de Zaremba. Sea
2
D un subconjunto abierto de C. Sea HD
la clase de todas las funciones
34
complejas sobre D armónicas y cuadrado integrables (respecto a x e y) sobre
2
D̄. El espacio HD
, con producto
Z Z
hf, gi =
f (z)g(z)dxdy,
z = x + iy,
D
2
2
.
con f, g ∈ HD
es un subespacio cerrado de LD
Sea z0 ∈ D, probaremos que la funcional f 7→ f (z0 ) es continua. Tomemos
2
pues f en HD
. Ahora, como D es abierto, existe r > 0 tal que el disco
Dz0 (r) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r} ⊂ D, y dado que f es una función armónica,
Z Z
1
f (z0 ) =
f (z)dxdy,
(πr)2
Dz0 (r)
de donde,
1
|f (z0 )| ≤
(πr)2
1
≤
(πr)2
=
Z Z
|f (z)|dxdy
Dz0 (r)
Z Z
! 21
|f (z)|2 dxdy
Dz0 (r)
! 21
Z Z
1dxdy
Dz0 (r)
1
1
2 12
kf
k(πr
)
kf k,
=
(πr)2
π 3/2 r
y la constante 1/π 3/2 r solo depende de z0 . La funcional f 7→ f (z0 ) es entonces
2
.
acotada y por ello continua, luego, existe el núcleo K para HD
Ejemplo 2.3.3. Sea D la bola abirta unitaria sobre C. Consideremos el
espacio F de todas las funciones complejas analı́ticas sobre D y cuadrado integrables. En F el producto interior queda definido con la expresión habitual
Z Z
f (z)g(z)dxdy,
hf, gi =
z = x + iy.
D
Entonces F es un subespacio cerrado de L2D . En efecto, sea {fn }∞
n=1 una
2
sucesión en F convergente a una función f ∈ LD , y z0 un elemento en D,
entonces existe un número r > 0 tal que el disco Dr (z0 ) = {z : |z0 − z| ≤
r} ⊂ D, y por hipótesis toda función en F es también armónica, luego para
toda n, m naturales,
Z Z
1
|fn (z) − fm (z)|dxdy
|fn (z0 ) − fm (z0 )| ≤
(πr)2
Dr (z0 )
Z Z
1
≤
|fn (z) − fm (z)|dxdy
(πr)2
D
aplicando la desigualdad de Cauchy, tenemos
|fn (z0 ) − fm (z0 )| ≤
35
1
kfn − fm k,
rπ 3/2
luego, {fn (z0 )}∞
n=1 converge a un número g(z0 ). La función g definida en
D por g(z) = lim fn (z) es analı́tica (por ser lı́mite de funciones analı́ticas),
entonces g = f casi seguramente, con lo cual F es cerrado.
Bergman fue quien descubrió que esta clase tiene núcleo reproductivo.
En efecto, para z ∈ D y f ∈ F puede probarse de manera análoga al ejemplo
anterior que
1
|f (z)| ≤ 3/2 kf k,
rπ
donde r solo depende de z, entonces la funcional f 7→ f (z) es continua, luego
F posee núcleo reproductivo.
Ejemplo 2.3.4. Sea D como en el ejemplo anterior. Definimos ahora la clase
F de funciones complejas f sobre D analı́ticas tales que
Z π
1
|f (reiθ )|2 dθ
lim
r→1 2π −π
existe y es finito. Entonces la expresión
Z π
1
hf, gi = lim
f (reit )g(reit )dt
r→1 2π −π
define un producto interior en F .
Sea z en D, si f ∈ F entonces, por ser analı́tica, f (z) tiene una representación en serie de potencias de la forma
∞
X
f (z) =
n
cn (z − 0) =
∞
X
cn z n ,
n=0
n=0
y si |z| ≤ r < 1, entonces
2
|f (z)| ≤
∞
X
2
2n
|cn | |z|
≤
n=0
pero
∞
X
n=0
2 2n
|cn | r
∞
X
|cn |2 r2n ,
n=0
1
=
2π
Z
π
|f (reiθ )|2 dθ,
−π
por tanto
|f (z)| ≤ kf k.
Luego la funcional f 7→ f (z) es continua para cada z ∈ D, entonces F
posee núcleo reproductivo. Este espacio es conocido como el espacio H 2 de
Hardy.
Podemos fácilmente deducir ahora algunas otras propiedades básicas del
núcleo reproductivo.
36
Proposición 2.3.3. Si K es el núcleo reproductivo para la clase F , entonces
para todo par x, y en E se tiene
i) K(x, x) ≥ 0,
ii) K(x, y) = K(y, x),
iii) |K(x, y)|2 ≤ K(x, x)K(y, y).
Demostración. Para verificar i), consideraramos que K(·, x) ∈ F y
0 ≤ kK(·, x)k2 = hK(·, x), K(·, x)i = K(x, x).
Ahora bien,
K(x, y) = hK(·, y), K(·, x)i = hK(·, x), K(·, y)i = K(y, x),
lo cual prueba ii). Por último,
|K(x, y)|2 = |hK(·, y), K(·, x)i|2
≤ kK(·, y)k2 kK(·, x)k2
= K(x, x)K(y, y).
Proposición 2.3.4. Si la clase F con n. r. K es un subespacio cerrado de
un espacio de Hilbert más grande F, y si f ∈ F es la proyección del elemento
h de F sobre F , entonces para todo y ∈ E,
f (y) = hh(·), K(·, y)i,
donde h·, ·i es el producto interior de F .
Demostración. Sea F un espacio de Hilbert y F un subespacio cerrado
con núcleo reproductivo K. Sea h un elemento de F, y consideremos la
descomposición h = f + g, donde g es ortogonal a la clase F y f ∈ F es
la proyección del elemento h sobre F . Ası́, para y ∈ E tomemos la función
K(·, y) en F , luego
hh(·), K(·, y)i =
=
=
=
h(f + g)(·), K(·, y)i
hf (·), K(·, y)i + hg(·), K(·, y)i
f (y) + 0
f (y)
por la propiedad reproductiva, y por la ortogonalidad de g con F .
37
Proposición 2.3.5. Si F posee un n. r. K y si {gn }n≥1 es un sistema
ortonormal numerable en F , entonces, para toda sucesión de números {αn }n≥1
tales que
∞
X
|αn |2 < ∞,
n=1
tenemos que
∞
X
|αn ||gn (x)| ≤ K(x, x)1/2
n=1
∞
X
!1/2
|αn |2
.
n=1
Demostración. Mediante una generalización de la desigualdad de Hölder,
tenemos,
!1/2
!1/2 ∞
∞
∞
X
X
X
|gn (x)|2
.
|αn ||gn (x)| ≤
|αn |2
n=1
n=1
n=1
Y por otra parte, usando la desigualdad de Bessel,
∞
X
|gn (x)|2 =
n=1
∞
X
|hgn (·), K(·, xi|2
n=1
≤ kK(·, x)k2
= K(x, x).
De donde,
∞
X
|αn ||gn (x)| ≤
n=1
∞
X
!1/2
|αn |2
n=1
∞
X
!1/2
|gn (x)|2
n=1
≤ K(x, x)1/2
∞
X
!1/2
|αn |2
.
n=1
Teorema 2.3.2. Sea F un espacio de Hilbert de funciones F con n. r. K,
{fn }n≥1 una sucesión de Cauchy (respecto a la norma k · k) en F y la función
lı́mite f en F de dicha sucesión. Entonces
i) La sucesión {fn }n≥1 converge puntualmente a f , es decir, si y ∈ E
entonces lim fn (y) = f (y).
n→∞
ii) Si en algún subconjunto de E1 de E, la función x 7→ K(x, x) es uniformemente acotada, entonces esta convergencia es uniforme.
38
iii) Supongamos que en E es posible definir un topologı́a. Si la transformación y 7→ K(·, y) de E en F es continua, entonces la convergencia
también es uniforme en cualquier subconjunto compacto de E.
Demostración. i) Por hipótesis, kfn − f k → 0 si n → ∞. Sea y ∈ E,
entonces,
|f (y) − fn (y)| = |hf (·) − fn (·), K(·, y)ik
≤ kf − fn kkK(·, y)k
= kf − fn k(K(y, y))1/2 .
De aquı́ se sigue la primera parte del teorema.
ii) Ahora, si existe E1 ⊆ E tal que para alguna M > 0 se tiene que
K(y, y) < M 2 , para toda y ∈ E1 , entonces
|f (y) − fn (y)| ≤ kf − fn k(K(y, y))1/2
≤ kf − fn kM,
para toda y ∈ E. Luego en E1 la convergencia es uniforme.
iii) Dado el supuesto de convergencia, existe N0 tal que para toda n > N0
se tiene que kfn − f k < 1. Sea entonces R el número
0 < R = max {kf1 k, ..., kfN0 k, 1 + kf k}.
De modo que cuando n ≤ N0 , tenemos que kfn k ≤ R. Y para n > N0 ,
kfn k = kfn − f + f k ≤ kfn − f k + kf k < 1 + kf k ≤ R.
Luego, si en E existe una topologı́a y bajo el supuesto de que la transformación y 7→ K(·, y), de E en F es continua, entonces dicha transformación
es también uniformemente continua. Sea E1 un subconjunto compacto de
E. Dada > 0 y y ∗ ∈ E, existe δ > 0 tal que para toda y ∈ E1 , con
d(y, y ∗ ) < δ , se tiene que
kK(·, y) − K(·, y ∗ )k <
4R
Definimos entonces el subconjunto abierto Vy∗ , tal que y ∈ Vy∗ si y sólo
si d(y, y ∗ ) < δ . Ası́, si consideremos la familia de subconjuntos abiertos
{Vy∗ }y∗ ∈E1 , entonces, dado que y ∗ ∈ Vy∗ para todo y ∗ ∈ E1 , dicha familia
es una cubierta abierta para E1 . Por compacidad, existe un conjunto finito
{y1 , y2 , ..., yr } en E1 , tal que {Vyi }ri=1 es una cubierta finita abierta para E1 .
De modo que para todo y en E1 existe k ∈ {1, ..., r} tal que
kK(·, y) − K(·, yk )k <
39
,
4R
debido a que y ∈ Vyk , lo cual significa que d(y, yk ) < δ .
Por otra lado, sabemos que fn (yj ) → f (yj ), cuando n → ∞, para
cualquiera yj , j = 1, ...r (ver la primera parte). Esto es, para yj , j = 1, ..., r
dada, existe Nj tal que |fn (yj ) − f (yj )| < 2 , cuando n > Nj . Luego, si
n > N ∗ , N ∗ = max {N1 , ..., Nr }, entonces
|fn (yk ) − f (yk )| < .
2
∗
Ası́, para n > N , se tiene que
|f (y) − fn (y)| = |(f (y) − f (yk )) + (f (yk ) − fn (yk )) + (fn (yk ) − fn (y))|
≤ |f (yk ) − fn (yk )| + |hf (x) − fn (x), K(x, y) − K(x, yk )i|
<
+ kf − fn kkK(·, y) − K(·, yk )k
2
≤
+ 2R
= .
2
4R
Es decir,
|f (y) − fn (y)| < ,
para toda n > N ∗ y toda y ∈ E1 (N ∗ no depende del elemento y).
2.4
Matrices positivas
y núcleos reproductivos
Supongamos que E tiene cardinalidad finita N . Una función K : E ×E → F,
determina una transformación matricial de dimensión menor o igual a N ,
definida en FN , en el sentido siguiente. Si y1 , y2 ,...,yN son elementos de E,
entonces, es posible introducir una matriz K = [K(yi , yj )]i,j . Tomemos un
vector ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξN ) ∈ FN , si la forma cuadrática
t
ξKξ =
N
X
K(yi , yj )ξ i ξj ,
i,j=1
es no negativa y es nula sólo si ξj = 0, para toda j = 1, 2, ..., N , entonces decimos que la función K es una matriz positiva. De forma más
general, para cualquier conjunto E, la función K : E × E → F se denomina
matriz positiva, si para cualquier número finito de elementos y1 , y2 ,...,yn
de E, la forma cuadrática
n
X
K(yi , yj )ξ i ξj ,
(2.2)
i,j=1
con ξj ∈ F, j = 1, 2, ..., n, es no negativa, y es nula sólo si ξj = 0, para toda
j = 1, 2, ..., n.
40
Proposición 2.4.1. Un núcleo K definido en la clase F es una matriz
positiva.
Demostración. Sea K el núcleo reproductivo del espacio Hilbert F . Si
ξ1 , ξ2 ,...,ξn , son escalares
Pn en F y y1 , y2 ,...,yn son elementos de F , entonces
para la función x 7→ j=1 K(x, yj )ξj de F se tiene que
0≤k
n
X
n
n
X
X
K(·, yj )ξj k2 = h
K(·, yj )ξj ,
K(·, yi )ξi i
j=1
j=1
=
=
n
X
i,j=1
n
X
i=1
ξ i ξj hK(·, yj ), K(·, yi )i
K(yi , yj )ξ i ξj
i,j=1
según la propiedad reproductiva.
Ejemplo 2.4.1. Sea F una σ-álgebra sobre R (por ejemplo la σ-álgebra de
Borel BR ) y sea µ una medida positiva finita sobre F (por ejemplo la medida
R
x2
gaussiana µ(A) = √12π A e− 2 dx, A ∈ BR ). Sea k : R → C la función con
regla
Z
eisr dµ(r),
k(s) =
R
para todo número real s. Entonces
i) k es continua y acotada en R,
ii) k(s) = k(−s) para toda s ∈ R.
En efecto, si s es un número real tenemos que
Z
|k(s)| ≤
|eist |dµ(t) ≤ µ(R) < +∞.
R
Ahora bien, la continuidad se sigue de lo anterior y del teorema de convergencia dominada de Lesbegue. La segunda parte es inmediata.
Por otro lado, definimos la función K : R2 → C con la regla
K(s, t) = k(s − t) = k(t − s),
para todo par de números reales s, t. De modo que si {s1 , ..., sN } ⊂ R y
41
{ξi , ..., ξN } ⊂ C entonces,
N
X
N
X
Z
K(sn , sm )ξ¯n ξm =
ξ¯n ξm ei(sm −sn )r dµ(r)
R n,m=1
n,m=1
N
X
Z
=
ξm eism r · ξ¯n e−isn r dµ(r)
R n,m=1
N
X
Z
=
ξm eism r · ξn eisn r dµ(r)
R n,m=1
Z
|
=
R
N
X
ξn eisn r |2 dµ(r) ≥ 0,
n=1
luego K es una matriz positiva sobre R.
Introducimos ahora la clase F de funciones f : R → C de la forma
Z
f (s) =
e−isr φ(r)dµ(r),
R
paraRtoda t ∈ R, donde φ : R → C es continua, acotada sobre R y tal
que R |φ(r)|2 dµ(r) < +∞. Notamos
que las funciones de
R
R F son también
continuas y acotadas. Si f (s) = R e−isr φ(r)dµ(r) y g(s) = R e−isr ψ(r)dµ(r),
s ∈ R, son funciones en F , entonces la expresión
Z
φ(r)ψ(r)dµ(r),
hf, gi =
R
define un producto interior en F , y la norma inducida es completa.
Ahora, de la definición de K, tenemos que para cualquier par de números
reales s, t,
Z
K(s, t) = k(t − s) =
ei(t−s)r dµ(r)
R
Z
e−isr φt (r)dµ(r),
=
R
donde φt (r) = eitr . Esto prueba que K(·, t) es una función en F . Además,
de esta expresión para K es inmediata la propiedad reproductiva.
Según lo motiva este último ejemplo, el sentido inverso de la última
proposición es también válido.
Teorema 2.4.1. A toda matriz positiva K : E × E → C corresponde una
única clase de funciones con una única norma determinada, formando un
espacio de Hilbert y admitiendo a K como su núcleo reproductivo. Esta clase
es denotada por H(K), y es llamada el espacio de Hilbert con n. r. K
generado por la matriz positiva K.
42
Demostración. Sea K : E × E → C una matriz positiva, consideremos
la clase F0 de funciones, f : E → C, definidas por la representación única
X
f (x) =
αj K(x, yj ), x ∈ E,
(2.3)
j∈I
con J subconjunto de ı́ndices finito, αj ∈ C, yj ∈ E, j ∈ J .
Si f ∈ F0 , sobre esta clase podemos introducir una norma
X
X
K(yi , yj )αi αj .
αj K(·, yj )k20 =
kf k20 = k
i,j∈J
j∈J
Si f ∈ F0 y g ∈ F0 , el producto interior tiene la forma
X
X
hf, gi0 = h
αj K(·, yj ),
αi∗ K(·, yi∗ )i0
j∈J
=
XX
i∈I
K(yi∗ , yj )αj αi∗ .
j∈J i∈I
Es muy sencillo verificar que las anteriores expresiones definen, respectivamente, una norma y un producto interior.
Ahora, sea f ∈ F0 , entonces, si y ∈ E, se tiene,
X
αj K(·, yj ), K(·, y)i0
hf (·), K(·, y)i0 = h
j∈J
=
X
αj hK(·, yj ), K(·, y)i0
j∈J
=
X
αj K(y, yj )
j∈J
= f (y).
Entonces K es el núcleo reproductivo para la clase F0 . Sin embargo F0 no
es todavı́a un espacio de Hilbert. Si consideramos una sucesión de Cauchy
{fn }n≥1 en F0 , y un elemento y ∈ E, se tiene,
|fn (y) − fm (y)| = |hfn (·) − fm (·), K(·, y)i0 | ≤ kfn − fm k0 kK(·, y)k0 .
de donde se sigue que la sucesión de números complejos {fn (y)}n≥1 es de
Cauchy, por ello es convergente. Podemos definir una función f : E → C
tal que fn (y) → f (y), para toda y ∈ E. Consideremos de esta manera la
clase H(K) de funciones lı́mite de sucesiones de Cauchy en F0 . Por tanto
si f, g ∈ F entonces existen {fn }n≥1 y {gn }n≥1 sucesiones de Cauchy en F0
convergentes a f y g en su respectivo caso, con lo cual, sobre esta clase F ,
definimos un producto interno y una norma mediante las expresiones
hf, gi = lim hfn , gn i0
n→∞
y
43
kf k2 = lim kfn k20 ,
n→∞
respectivamente. En la sección próxima veremos que tales expresiones no
dependen de la eleción de la sucesiones de Cauchy, y que la clase F forma en
efecto un espacio de Hilbert.
Por lo pronto, observamos que K es el núcleo reproductivo de la clase
H(K). Si f ∈ H(K), y {fn }n≥1 es una sucesión de Cauchy en F0 convergente
(puntualmente) a f , entonces,
f (y) = lim fn (y)
n→∞
= lim hfn (·), K(·, y)i0
n→∞
= hf (·), K(·, y)i,
para cada y ∈ E.
Ahora, si F es un espacio de Hilbert de funciones que admite a K como
núcleo reproductivo, entonces F0 ⊂ F , pues los elementos de F0 son combinaciones lineales de las funciones K(·, y) pertenecientes a F . Ahora, si
k · k1 y h·, ·i1 definen la norma y el producto interno en F , y f ∈ F0 con
representación (2.3), entonces
X
kf0 k21 = k
αj K(·, yj )k21
j∈J
X
X
= h
αj K(·, yj ),
αi K(·, yi )i1
j∈J
=
X
i∈J
K(yi , yj )αj αi
i,j∈J
= kf0 k20 .
Es decir, la restricción a F0 de la norma k · k de F coincide con la norma
k · k0 de F0 . Entonces la completación funcional H(K) de F0 es también un
subconjunto de F (pues las sucesiones de Cauchy en F0 lo son también en
F , y F es completo).
Consideremos entonces una función f ∈ H(K). Por definición existe una
sucesión de Cauchy {fn }n≥1 en F0 cuyo lı́mite es f . Tenemos,
0 ≤ |kf k1 − kfn k0 | = |kf k1 − kfn k1 | ≤ kf − fn k1 ,
entonces, lim |kf k1 − kfn k0 | = 0, con lo cual,
n→∞
lim kfn k0 = kf k1 = kf k.
n→∞
Ello implica que la norma k · k1 coincide con la norma k · k en H(K); y del
mismo modo, puede probarse que h·, ·i1 coincide con h·, ·i en H(K). Entonces
H(K) es una subespacio de Hilbert de F .
44
Por otra parte, si f ∈ F , entonces existe f ∗ = PH(K) (f ) ∈ H(K) y
f ⊥ H(K), tal que f = f ∗ + f 0 . Entonces
0
f (y) = hf (·), K(·, y)i1
= hf ∗ (·), K(·, y)i1 + hf 0 (·), K(·, y)i1
= hf ∗ (·), K(·, y)i
= f ∗ (y),
para toda y ∈ E. Por tanto f ∈ H(K). Luego H(K) y F son el mismo
espacio de Hilbert.
En la demostración anterior es claro que la clase F0 es un subconjunto
denso de H(K) (respecto la norma k · k). En efecto, F0 ⊆ H(K) y en F0
la norma k · k coincide con k · k, entonces toda f en H(K) es un lı́mite (en
norma k · k) de una sucesión de elementos en F0 .
Ejemplo 2.4.2. Un caso particularmente simple es cuando E = {1, ..., n},
y K : E × E → R es una matriz difinida positiva de dimensión finita n. En
este caso es H(K) es sencillamente el espacio euclı́deo de dimensión n, y el
producto interior puede expresarse de forma simple como el producto
hx, yi = xt K y,
para todo x, y ∈ H(K).
Ejemplo 2.4.3. En referencia el Ejemplo 2.2.1, se tiene que H(Kn ) = Hn2 ,
en cuanto al primer caso. Y en el caso genérico H(K) = H.
2.5
Completación de espacios con producto
interior
En muchas ocasiones encontramos clases de funciones que forman espacios de
Hilbert incompletos, esto es, clases lineales, con producto escalar, que satisfacen las propiedades de espacio de Hilbert con la excepción de la completez.
Para tales clases se presenta el problema de completar la clase de tal manera
que la clase de funciones obtenidas forme un espacio de Hilbert. Nosotros
entenderemos por completación funcional de la una clase de funciones, como
la unión de la dicha clase con un conjunto de funciones ”ideales” de tal forma
que la clase resultante es un espacio de Hilbert.
Teorema 2.5.1. Sea F una clase de funciones con producto interior definido.
Supongamos además las siguientes dos condiciones.
i) Para todo y en E, la funcional Gy : F → F dada por Gy (f ) = f (y),
para toda f en F , es acotada.
45
ii) Para toda sucesión de Cauchy {fm }m≥1 , tal que si fm (y) → 0, para
toda y en E, entonces kfm k → 0.
Entonces existe una única completación funcional para F la cual contiene a
F como subconjunto denso.
Demostración. Para y ∈ E definimos la funcional Gy (f ) = f (y), para
toda f ∈ F . Entonces, por hipótesis, existe My > 0 tal que
|f (y)| = |Gy (f )| ≤ My kf k,
para toda f ∈ F.
(2.4)
Luego, para toda sucesión de Cauchy {fn }n≥1 en F , se tiene,
|fm (y) − fn (y)| ≤ My kfm − fn k.
Se sigue que la sucesión de números {fn (y)}n≥1 es de Cauchy, por tanto existe
un número f (y) tal que f (y) = lim fn (y), para cada y ∈ E.
n→∞
Consideremos la clase F de funciones f lı́mites puntuales de sucesiones
de Cauchy en F . Evidentemente F ⊆ F , pues la sucesión fn = f , n ≥ 1,
con f ∈ F es de Cauchy y converge a f . Es inmediato verificar que F es un
espacio vectorial.
Por otro lado, si f ∈ F y {fn }n≥1 es la sucesión de Cauchy que corresponde a f como lı́mite, y dado que
|kfn k − kfm k| ≤ kfn − fm k,
para m, n ≥ 1,
donde k · k es la norma sobre F , se sigue que {kfn k}n≥1 es una sucesión de
Cauchy de números reales, por tanto es convergente.
Ahora bien, si {gn }n≥1 es también una sucesión de Cauchy en F y g es
la correspondiente función lı́mite en F , y h·, ·i es el producto interior en F ,
entonces es fácil verificar que
Rehfn , gn i =
kfn + gn k2 − kfn k2 − kgn k2
2
y además
kfn + ign k2 − kfn k2 − kgn k2
,
2
de donde se sigue que {hfn , gn i}n≥1 es una sucesión compleja convergente.
Ası́ las cosas, sobre F definimos la función k · k1 , tal que para f en F ,
Imhfn , gn i =
kf k21 = lim kfn k2 .
n→∞
(2.5)
Se reduce a cálculos sencillos la prueba de que la expresión anterior define
una norma sobre F . Esta norma no depende de la elección de la suseción de
Cauchy {fn } ⊂ F . En efecto, si otra sucesión, {fn0 }n≥1 converge a f para
46
todo punto y, entonces fn − fn0 define una sucesión de Cauchy convergente a
cero, y por la segunda condición de nuestras hipótesis kfn − fn0 k converge a
cero. Por ende,
| lim kfn0 k − lim kfn k| = lim |kfn0 k − kfn k| ≤ lim kfn0 − fn k = 0.
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Luego, si para f y g en F definimos h·, ·i1 por la expresión
hf, gi1 = lim hfn , gn i,
n→∞
entonces h·, ·i1 define un producto interior sobre F .
Resta probar que la clase F es completa y que contiene F como un subespacio denso. Sea f ∈ F , por definición, existe una sucesión de Cauchy
{fn }n≥1 en F tal que fn (y) → f (y), para cada punto y ∈ E. Entonces para
cada n ≥ 1 y todo punto y ∈ E,,
fm (y) − fn (y) → f (y) − fn (y),
cuando m → ∞,
y dado que {fm − fn }m≥1 es una sucesión de Cauchy en F , se sigue que
f − fn ∈ F . Entonces tenemos,
kf − fn k1 = lim kfm − fn k,
m→∞
luego,
lim kf − fn k1 = lim lim kfm − fn k = 0,
n→∞
n→∞ m→∞
pues {fn }n≥1 es una sucesión de Cauchy.
Se aprecia entonces que f es un punto lı́mite de F , por ende, F es un
subconjunto denso de F .
Para probar la completez de F , consideremos una sucesión de Cauchy
{fn }n≥1 cualquiera en F . Por hipótesis, para cada n ≥ 1 podemos encontrar
(n)
(n)
otra sucesión de Cauchy {gm }m≥1 en F , tal que gm (y) → fn (y), cuando
m → ∞, para todo punto y en E. Como F es denso en F , es posible definir
la sucesión {fn0 }n≥1 con fn0 = gknn , donde el número kn es tal que
kfn − fn0 k = kfn − gknn k1 <
1
,
n
para toda n ≥ 1.
Tenemos entonces que la sucesión {fn0 }n≥1 es de Cauchy sobre F . En
efecto, sea > 0 y consideremos los números n < m tales que n2 < 2 y
kfm − fn k1 < 2 , se tiene entonces,
0
0
kfn0 − fm
k1 − kfm − fn k1 ≤ kfn0 − fm
+ fm − fn k1
0
0
k1
≤ kfn − fn k1 + kfm − fm
1
1
2
<
+
<
n m
n
<
.
2
47
De donde,
0
kfn0 − fm
k1 <
+ = ,
2 2
para n y m suficientemente grandes.
Luego existe una función f en F tal que fn0 → f puntualmente sobre todo
E. Por tanto, dado que
|kfn k1 − kf k1 | ≤ kfn − f k1 ≤ kfn − fn0 k1 + kfn0 − f k1 ,
además, de la propia definición de fn0 , kfn − fn0 k1 → 0, y por convergencia
kfn0 − f k1 → 0, entonces
kfn k1 → kf k1 .
En general, la completación realizada en este sentido no es posible, como
lo ilustra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.5.1. Consideremos Z = {z ∈ C : |z| < 1}. Y sea S ⊂ Z,
S = {1 − 21n | n ≥ 0}. Ahora, si p es un polinomio en z ∈ Z entonces
p(zn ) = 0 para toda n ≥ k para alguna k ≥ 0, si y sólo si p es idénticamente
cero. De esta afirmación se sigue que para dos polinomios p y q, p(zn ) = q(zn )
para toda n ≥ k, para alguna k ≥ 0, si y sólo si p = q.
Sea pues F la clase de fuciones f : S → C tal que existe un único
polinomio p en z ∈ Z tal que f (zn ) = p(zn ) para toda zn ∈ S. Bajo las
operaciones habituales de suma y producto por escalares F es una clase
lineal.
Ahora, para cualquier par f y g en F , definimos el producto
Z Z
hf, gi =
p(z)q(z)dxdy,
z = x + iy,
(2.6)
|z|<1
donde p y q son polinomios en z ∈ Z cuyas restricciones en S están dadas
Rpor
R las funciones f y g, respectivamente. Tenemos pues que, en primer lugar,
p(z)q(z)dxdy es un número complejo, para cualesquiera polinomios p
|z|<1
y q sobre el disco complejo |z| < 1. Ahora bien, para un par de funciones f
y g en F existen dos únicos polinomios p y q sobre Z cuyas restricciones a S
son f y g respectivamente, entonces existe un único número hf, gi para cada
par f , g en F . Las propiedades de linealidad y simetrı́a se siguen de forma
inmediata, además hf, f i ≥ 0 para toda f ∈ F . Si f = 0 entonces hf, f i = 0,
por otro lado, si hf, f i = 0 y p es el polinomio cuya restricción en S es f ,
entonces p = 0 casi dondequiera, pero por continuidad, p = 0, esto es f = 0.
Concluimos que (2.6) define un producto interior. Con lo cual, la expresión
Z Z
2
kf k =
|p(z)|2 dxdy,
z = x + iy,
|z|<1
48
donde p es el polinomio cuya restricción en S está determinada por la función
f ∈ F , define una norma sobre F .
Sin embargo, el espacio F no es completo, y no es posible la completación
funcional. En efecto, sobre Z definimos las funciones
wn (z) =
zn − z
,
1 − zn z
con zn ∈ S (zn = 1 −
1
),
2n
consideremos el producto de Blaschke asociado a la sucesión S,
p(z) =
∞
Y
wn (z),
n=0
Observamos que p se anula solo en los números zn , n = 0, 1, ..., de S.
Algebraicamente, si z = x + iy y |z| < 1, entonces
(1 − zn z)2 − (zn − z)2 = 1 − zn2 − (x2 + y 2 )(1 − zn2 ) ≥ 0,
por tanto
|zn − z|
≤ 1 para toda z ∈ Z y para toda n ≥ 0,
|1 − zn z|
de donde se sigue que |p(z)| ≤ 1 para toda z ∈ Z (|z| < 1).
Ahora bien, la función p es continua, entonces existe una sucesión de
polinomios (pk ) tal que pk (z) → p(z), si k → ∞, para toda z ∈ Z. Además,
como |p(z)| ≤ 1 podemos suponer que |pk (z)| ≤ 1, para toda z y para toda
k, por tanto |p(z) − pk (z)|2 ≤ 1 para toda z y para toda k. Entonces
Z Z
|p(z) − pk (z)|2 dxdy = 0,
lim
k→∞
|z|<1
es decir, la sucesión de polinomios (pk ) converge en norma a p, pero p no es
un polinomio. F no es completo.
Por otro lado, tenemos una sucesión de funciones (fk ) en F (las restriciones al conjunto S respectivas de los polinomios pk ) tal que fk (zn ) → 0,
si k → ∞, para todo zn ∈ S, sin embargo, dado que p es una función no
negativa que se anula solo en un conjunto no denso numerable entonces
Z Z
Z Z
2
|pk (z)|2 dxdy
0<
|p(z)| dxdy = lim
k→∞
|z|<1
=
|z|<1
2
lim kfk k .
k→∞
Según el teorema de completación funcional no es posible la completación de
este espacio.
49
Si sucede que para la clase incompleta F es conocido un núcleo K(x, y)
tal que para todo y, K(x, y) como función de x pertenece a F (o más generalmente, pertenece a un espacio de Hilbert que contiene a F como subespacio),
este núcleo tiene la propiedad reproductiva
f (y) = hf (x), K(x, y)i,
para toda f ∈ F . La primera condición de nuestro teorema es inmediatamente verificable, se sigue de la propiedad reproductiva. Ası́ que es suficiente
verificar la segunda condición para aplicarlo.
De esta manera, en caso de que la clase F es
por la matriz
P generada
n
positiva K, para una sucesión {fn }n≥1 , fn (·) = j∈J αj K(·, yjn ), en F se
tiene que
X
kfn k2 =
K(yin , yjn )αi n αjn ,
i,j∈J
converge a cero cuando fn → 0 puntualmente sobre E. Luego, es posible la
completación funcional.
2.6
Restricción de un núcleo reproductivo
Si K es el núcleo reproductivo del espacio de Hilbert F , entonces K es una
matriz positiva. Es evidente que la restricción de K al producto E1 × E1 , con
E1 ⊂ E, sigue siendo una matriz positiva. Sabemos entonces que existe una
única clase F1 , con una norma k · k1 y producto interior h·, ·i1 adecuados, de
funciones definidas sobre E1 que admite dicha restricción de K como núcleo
reproductivo. Es natural pensar que la clase F1 se compone de todas las
restriciones f1 al subconjunto E1 de las funciones f en F . Y el verdadero
problema es encontrar las expresiones que definen la norma y el producto
interno. En esta sección nos daremos a la tarea de buscarlas.
Consideremos pues la clase F1 de todas las restricciones sobre E1 de funciones de F . Para comprobar la efectividad de nuestra consideración intuitiva
del párrafo anterior, anotamos este primer resultado.
Lema 2.6.1. Sea f1 un elemento de la clase F1 , entonces la expresión
kf1 k1 = min {kf k : f ∈ F cuya restricción en F1 es f1 },
(2.7)
define una norma para la clase F1 .
Demostración. Sea f1 en F1 . Lo importante es mostrar que el conjunto
A = {kf k : f ∈ F cuya restricción en F1 es f1 }
en efecto posee un elemento mı́nimo. Considere el subespacio lineal cerrado
F0 ⊂ F formado por todas las funciones que se anulan en E1 , y su espacio
50
complementario F 0 (F 0 = F0⊥ ). Si dos funciones f y g de F tienen la misma
restricción f1 en E1 , entonces f − g se anula sobre E1 , y con ello también
pertenece a F0 . Inversamente, si la diferencia pertenece a F0 , entonces f y
g tienen la misma restricción f1 en E. Ası́ las cosas, si f y g tienen igual
restricción f1 en el subconjunto E1 , entonces la proyeción de f − g sobre F0
es la función identicamente cero, y como el operador proyección es lineal, f
y g tienen también proyección común f10 sobre F 0 . Además, la restricción a
E1 de f10 es precisamente f1 , esto es f10 ∈ A. De tal manera que toda función
f ∈ A posee la descomposición ortogonal f = f0 + f10 , donde f0 es alguna
función en F0 . Se sigue, según el teorema de Pitágoras, que
kf k = kf0 + f10 k = kf0 k + kf10 k ≥ kf10 k.
Por ende la expresión en (2.7) tiene sentido, y de hecho
kf1 k1 = kf10 k.
Resulta sencillo comprobar ahora que en efecto la expresión anterior cumple
las propiedades de norma sobre F1 .
Lema 2.6.2. La norma del Lema 2.6.1 proviene de un producto interior. Es
decir, k · k1 cumple la ley del paralelogramo (Proposición 1.1.3).
Demostración. Sea f1 y g1 funciones en F1 restricciones de f y g de F ,
respectivamente. Entonces
kf1 + g1 k21 − kf1 − g1 k21 = k(f + g)1 k21 − k(f − g)1 k21
= k(f + g)01 k2 − k(f − g)01 k2
= kf10 + g10 k2 − kf10 − g10 k2
= 2(kf10 k2 + kg10 k2 )
= 2(kf1 k21 + kg1 k21 ),
luego k · k1 proviene de un producto interior h·, ·i1 .
51
Ahora hagamos algunas aclaraciones importantes. Para f1 en F1 corresponde la proyección f10 sobre F 0 de una función f cuya restricción a E1 es
f1 . Dicha correspondencia entre f1 ∈ F1 y f10 ∈ F 0 es isométrica uno-a-uno
entre el espacio F1 el espacio F 0 . Sucede que si las proyecciones f10 y g10 de
f y g, respectivamente, son iguales, entonces, en particular, sobre E1 , f10 =
f1 = g1 = g10 , donde f1 y g1 son las restricciones de f y g respectivamente.
Por otra parte, si f10 pertenece a F 0 , entonces h = f − f10 ∈ F0 , con f = f10 χE1
(aquı́ χE1 es la función caracterı́stica del subconjunto E1 ), se sigue que para
la restricción f1 a E1 de f = f10 + h corresponde f10 en F 0 .
Finalmente, el siguiente resultado nos da la respuesta final a nuestro
problema.
Teorema 2.6.1. Si K es el núcleo reproductivo de la clase F de funciones
definidas en el conjunto E con norma k · k, entonces K restringido al subconjunto E1 ⊂ E (en ambas variables) es el núcleo reproductivo de la clase
compuesta de todas las funciones de F restringidas al subconjunto E1 , cuya
norma está definida por la expresión (2.7).
Demostración. De nueva cuenta, consideremos los subespacios cerrados
F0 y F 0 . Ambos espacios poseen un núcleo reproductivo K0 y K 0 respectivamente (puesto que F posee un núcleo reproductivo). Ahora sea f ∈ F ,
y consideremos su descomposición ortogonal como en la demostración del
Lema 2.6.1 f = f0 + f10 . Tenemos, para y ∈ E,
f (y) =
=
=
=
=
f0 (y) + f10 (y)
hf0 (·), K0 (·, y)i + hf10 (·), K 0 (·, y)i
hf0 (·) + f10 (·), K0 (·, y)i + hf0 (·) + f10 (·), K 0 (·, y)i
hf0 (·) + f10 (·), K0 (·, y) + K 0 (·, y)i
hf (·), K0 (·, y) + K 0 (·, y)i
Se sigue que K = K0 + K 0 .
Ahora, dado que K0 (·, y) pertenece a F0 , para todo número y en E,
entonces se anula para todo x ∈ E1 . En consecuencia,
K(x, y) = K 0 (x, y)
(2.8)
para x ∈ E1 .
Para probar que para la clase F1 con norma k · k1 el núcleo reproductivo
está dado por K restringido a E1 (en ambas variables), tomamos una función
f1 ∈ F1 y consideremos la correspondiente función f10 ∈ F 0 . Entonces, para
y ∈ E1 , f1 (y) = f10 (y) = hf10 (·), K 0 (·, y)i.
Dado que K 0 (·, y) ∈ F 0 , puede ahora escribirse f1 (y) = hf10 (·), K 0 (·, y)i =
hf1 (·), K1 (·, y)i1 , donde K1 es la restricción de K 0 al conjunto E1 .
52
De la expresión (2.8), para x ∈ E1 ,
K(x, y) = K 0 (x, y) para toda y ∈ E1 .
Esto muestra que la restricción K1 (x, y) de K 0 (x, y) coincide con la restricción de K en el conjunto E1 .
2.7
Núcleos reproductivos de
clases de dimensión finita
Si el espacio con producto interior F de funciones definidas sobre un conjunto
E, es de dimensión finita, podemos establecer con toda claridad la forma
explı́cita de su respectivo núcleo reproductivo, suprimiendo los supuestos de
completez y cerradura. Además estableceremos unas condiciones suficientes
que permiten a una función ser un núcleo reproductivo.
Teorema 2.7.1. Sea F una clase de funciones de dimensión finita n con
producto interior h·, ·i. Entonces el núcleo reproductivo de F es la función
K : E × E → C dada por
K(x, y) =
n X
n
X
βij wi (x)wj (y),
(2.9)
j=1 i=1
donde wi , i = 1, .., n son funciones linealmente independientes en F , B =
[βi,j ]ij = W −1 (puede observarse que para una matriz no singular A, A−1 =
−1
A ) y W = [hwi , wj i]i,j es una matriz definida positiva de dimensión n.
Inversamente, si B = [βi,j ]ij es una matriz definida positiva de dimensión
n, y si la clase F es generada por la colección de funciones linealmente independientes wi , i = 1, ..., n, entonces las expresiones
kf k2 =
n
X
αij ζi ζ j y hf, gi =
X
αij ζi η i ,
i,j
i,j=1
Pn
donde
k=1 ζk wk , g =
Pn ζk , ηk , k = 1, ..., n son constantes complejas, f =
k=1 ηk wk ∈ F , y {αij } es la matriz inversa de {βij }, determinan una
norma y un producto escalar sobre F , respectivamente. De esta manera,
F es un espacio de Hilbert cuyo núcleo reproductivo K tiene la regla dada
por la ecuación (2.9).
Demostración. Sea w1 , w2 ,...,wn , una colección de tamaño n de funciones
linealmente independientes y de norma unitaria en F . Entonces, toda función
f de F tiene una única representación de la forma
f (x) =
n
X
k=1
53
ζk wk (x),
(2.10)
con ζk constantes complejas, para toda x ∈ E.
Sea hwi , wj i = αij , para i, j = 1, ..., n. Entonces en F el producto interior,
según sus propias propiedades, tiene en realidad la forma
X
X
hf, gi =
hwi , wj iζi η i =
(2.11)
αij ζi η i ,
i,j
donde g =
P
i,j
ηk wk . Por ende, la norma al cuadrado tiene la forma
2
kf k =
n
X
hwi , wj iζi ζ j =
i,j=1
n
X
αij ζi ζ j .
(2.12)
i,j=1
De tal forma, la matriz W = [αij ]i,j de dimensión n es, en primer lugar,
una matriz definida positiva. En efecto, para un vector X = (γ1 , ..., γn ) en
Cn , la forma cuadrática
X tW X
=
n
X
hwi , wj iγi γ j = khk2 ,
i,j=1
P
con h = ni=1 wi γi ∈ F , es no negativa y es nula si y sólo si h = 0, pero por
independencia de las funciones wi , i = 1, ..., n, tal situación solo sucede si
γi = 0, para todo i = 1, ..., n.
En segundo lugar, lo anterior también prueba que W es no singular, por
tanto para W existe una matriz inversa no negativa y de igual dimensión.
Sea B = W −1 = [βij ]i,j , tenemos entonces,
X
0 si j 6= k,
αki βij =
1 si j = k.
i
Definimos ahora la función K : E × E → C, determinada por la regla
K(x, y) =
n X
n
X
βij wi (x)wj (y),
(2.13)
j=1 i=1
para todo par x, y en E.
Evidentemente, la transformación x 7→ K(x, y) pertenece a F , para toda
54
y ∈ E. Ahora bien, si f =
Pn
k=1 ζk wk
entonces
n
n X
n
X
X
hf (·), K(·, y)i = h
ζk wk (·),
βij wi (·)wj (y)i
j=1 i=1
k=1
=
n X
n X
n
X
αki βij ζk wj (y)
k=1 j=1 i=1
=
n X
n
X
αki βik ζk wk (y)
k=1 i=1
=
n
X
ζk wk (y)
k=1
= f (y),
para todo y ∈ E. De modo que K es el n.r. para F .
De manera inversa, si tenemos una matriz de dimensión n definida positiva B = [βij ]i,j , y definimos para la colección de funciones l. i. w1 , w2 ,...,wn ,
el producto interno
αij = hwi , wj i,
i, j = 1, ..., n,
−1
donde αij pertenece a la matriz inversa W de B (i.e. W = B ), la cual
es también definida positiva. Entonces, para la clase de funciones F de la
forma (2.10) generada por las funciones wi , i = 1, ..., n, definimos la norma
y un producto interior con las expresiones (2.12) y (2.11) respectivamente.
Es sencillo verificar que la expresión
Pn (2.12) determina un norma, basta
observar que para una función f = k=1 ζk wk en F , la forma cuadrática no
negativa
n
X
t
X WX =
hwi , wj iζi ζ j ,
i,j=1
con X = (ζ1 , ..., ζn ), es precisamente kf k2 . Resulta más sencillo verificar que
la expresión (2.11) es efectivamente un producto escalar. Además la función
K : E × E → C dada por (2.13) para todo par x, y en E, es el núcleo
reproductivo de la clase F . La verificación de este último hecho es análoga
a la realizada en la primera parte de esta demostración.
En general podemos enunciar el siguiente resultado.
Teorema 2.7.2. Si F es un espacio de Hilbert de funciones definidas sobre
un conjunto E con núcleo K, y {ψi }i∈I (I subconjunto de ı́ndices) es una
base de F , entonces para todo x, y en E
X
K(x, y) =
ψi (x)ψ j (y).
i∈I
55
La prueba se sigue del Teorema 2.7.1.
Ejemplo 2.7.1. [Lukić y Beder [6]] Este ejemplo introduce una variante del
Ejemplo 2.2.1. Sea Hn la clase de funciones x : {1, ..., n} → R, tal que para
x(i) = xi , para algún vector (xi , ..., xn ) de Rn . Sobre esta clase,
hx, yi =
n
X
j 2 xj yj ,
j=1
define un producto interno. Entonces, las funciones ei (j) = 1i δji , i = 1, ..., n,
son una base para Hn . Luego, el núcleo es
K(i, j) =
1
δij
ij
para todo i, j ∈ {1, ..., n}.
P 2 2
En general, si H es el conjunto de sucesiones {xi }∞
i=1 tal que
i i xi < ∞,
y H es la correspondiente clase de funciones x : N → R (x = (x1 , ...) ∈ H)
con producto interior
∞
X
hx, yi =
i2 x i y i ,
i=1
entonces las funciones ei (j) =
1
δ ,
i ij
i ≥ 1, son una base de H, y el núcleo es
K(i, j) =
1
δij ,
ij
para i, j ≥ 1.
Ejemplo 2.7.2. [Lehtö,1950] Consideremos una sucesión monótona decreciente de números reales no negativos {αn }∞
n=1 tal que lim αn = 0 y αn ≤ 1/2
n→∞
para toda n ≥ 1. Sea también {βn }∞
n=1 una sucesión monótona creciente de
números reales no negativos tal que lim βn = 1 y βn ≥ 1/2 para toda n ≥ 1.
n→∞
Sobre el intervalo (0, 1) definimos la sucesión de funciones {fn }∞
n=1 con la
expresión


0,
0 < t < αn+1



t−αn+1
n+1

2 αn −αn+1 ,
αn+1 ≤ t ≤ αn +α


2


t−αn+1
αn +αn+1


≤ t ≤ αn
−2 αn −αn+1 ,
2
fn (t) =
0,
αn ≤ t ≤ βn


βn +βn+1


 2kn (t − bn ), βn ≤ t ≤
2


t−βn+1
βn+1 +βn

−2
,
≤
t
≤
βn+1

βn+1 −βn
2



0,
βn+1 ≤ t < 1,
R1
donde kn es una constante tal que 0 |fn (t)|2 dt = 1, para toda n ≥ 1.
56
R 1 Las funciones fn son continuas, además, si m 6= n, fn · fm = 0, entonces
f (t)fm (t)dt = 0 (si m 6= n).
0 n
Sea F el espacio de todas las funciones sobre (0, 1) de la forma
a(t) =
∞
X
para todo t ∈ (0, 1),
an fn (t),
n=1
P∞
2
donde {an }∞
n=1 es una sucesión de números complejos tal que
n=1 |an | < ∞.
Entonces {fn }∞
es una base para F . P
n=1
P∞
Para a(t) = n=1 an fn (t) y b(t) = ∞
n=1 bn fn (t) en F , la expresión
ha, bi =
∞
X
an b̄n ,
n=1
define un producto interior en F , y la norma inducida es completa. La
función K : (0, 1) × (0, 1) → C,
K(s, t) =
∞
X
fn (s)f n (t),
n=1
es el núcleo reproductivo de la clase F . En primer lugar fijemos un número
t ∈ (0, 1), entonces, existe n0 natural tal que αP
n < t < βn para toda n ≥ n0 ,
|f n (t)|2 < ∞, se sigue que
luego, f n (t) = 0 para toda n ≥ n0 . Por tanto
K(·, t) ∈ F .
P
Ahora, si a(t) = ∞
n=1 an fn (t) está en F , entonces,
ha, K(·, t)i =
∞
X
an f n (t) =
n=1
∞
X
an fn (t) = a(t),
n=1
lo cual prueba la propiedad reproductiva de K.
57
Capı́tulo 3
Operaciones con núcleos
reproductivos
3.1
Suma de núcleos reproductivos
Sea K1 y K2 un par de núcleos reproductivos correspondientes a las clases
F1 y F2 , de funciones definidas en el mismo conjunto E, con normas k · k1
y k · k2 , respectivamente. La nueva matriz K = K1 + K2 es claramente
una matriz positiva. En este caso, K corresponde como núcleo reproductivo,
a una clase de funciones F . En primer término, podemos apoyarnos en la
consideración intuitiva de que la clase F se compone de funciones f = f1 +f2 ,
donde fi ∈ Fi , i = 1, 2. Ası́ entonces, introducimos el espacio F de todos los
pares (f1 , f2 ). Con las operaciones de producto escalar y suma de vectores
habitualmente considerada para pares ordenados, F es un espacio lineal.
Además la ecuación
k(f1 , f2 )k2F = kf1 k21 + kf2 k22 .
para todo par (f1 , f2 ) determina una norma completa sobre F y un producto
interior. De tal manera que F es un espacio de Hilbert.
Es importante observar la forma explı́cita del producto interno. Si h·, ·i1 y
h·, ·i2 son los productos internos respectivos de F1 y F2 , entonces el producto
interno en F tiene la forma
h(f1 , f2 ), (h1 , h2 )iF = hf1 , h1 i1 + hf2 , h2 i2 ,
para (f1 , f2 ) y (h1 , h2 ) en F.
Sea F0 la clase de funciones f pertenecientes tanto a F1 como a F2 (F0
puede contener solo la función nula), y sea F0 el conjunto de todas los pares
(f, −f ) para f ∈ F .
Lema 3.1.1. F0 es un subespacio lineal cerrado de F.
58
Demostración. En efecto, si (fn , −fn ) → (f 0 , f 00 ), es decir,
k(fn − f 0 , −fn − f 00 )kF → 0,
entonces,
kfn − f 0 k1 → 0 y k − fn − f 00 k2 → 0.
Esto es fn → f 0 en F1 y −fn → f 00 en F2 , lo cual significa que f 00 = −f 0 , y
f 0 y f 00 pertenecen a F0 .
La linealidad es inmediata y se omite su verificación.
Para todo par (f1 , f2 ) de F, existe una correspondiente función f = f1 +
f2 . Esta correspondencia transforma linealmente el espacio F en una clase de
funciones en F . Ahora consideremos el subespacio cerrado complementario
F1 (tal que F = F0 ⊕ F1 ).
Lema 3.1.2. La correspondecia G : F → F definida por G(f 0 , f 00 ) = f 0 + f 00
transforma inyectivamente F1 en F .
Demostración. Si el par (f1 , f2 ) de F es tal que f1 + f2 = 0, entonces
f2 = −f1 , con lo cual (f1 , f2 ) pertenece a F0 .
Ası́ pues, si para (f1 , f2 ) y (g1 , g2 ) en F1 se tiene que f1 + f2 = g1 + g2 ,
entonces f2 − g2 = −(f1 − g1 ), con lo cual (f1 − g1 , f2 − g2 ) pertenece a F0 ,
pero en realidad (f1 , f2 ) − (g1 , g2 ) = (f1 − g1 , f2 − g2 ) es un elemento de F1
(por cerradura). Por ende (f1 , f2 ) = (g1 , g2 ).
Ahora, según lo anterior, si consideramos la correspondencia inversa, toda
función f de F es transformada en un par (g1 (f ), g2 (f )) de F1 . Podemos
introducir una norma k · k en F definida por
kf k2 = k(g1 (f ), g2 (f ))k2F = kg1 (f )k21 + kg2 (f )k22 .
(3.1)
El producto interior h·, ·i en F tiene entonces la expresión
hf, hi = h(g1 (f ), g2 (f )), (g1 (h), g2 (h))iF = hg1 (f ), g1 (h)i1 + hg2 (f ), g2 (h)i2 .
Bajo estás condiciones, F es un espacio de Hilbert. La verificación explı́cita
de este hecho no es sustanciosa y se omite.
Ahora bien, es claro que K(·, y), para y cualquiera, pertenece a F y
(K1 (·, y), K2 (·, y)) ∈ F. Para toda y ∈ E definimos dos nuevas funciones K 0
y K 00 determinadas por
K 0 (·, y) = g1 (K(·, y))
y
K 00 (·, y) = g2 (K(·, y)).
En tanto que para una función f ∈ F , definimos f 0 = g1 (f ), f 00 = g2 (f ).
Con lo cual,
f = f 0 + f 00
y
K 0 (·, y) + K 00 (·, y) = K(·, y) = K1 (·, y) + K2 (·, y),
59
de donde,
K 00 (·, y) − K2 (·, y) = −[K 0 (·, y) − K1 (·, y)],
lo cual significa que
(K1 (·, y) − K 0 (·, y), K2 (·, y) − K 00 (·, y)) ∈ F0 .
Bajo estas convenciones, enunciamos el siguiente resultado.
Teorema 3.1.1. Para la clase F con norma definida por la ecuación (3.1),
la función K = K1 + K2 es el núcleo reproductivo.
Demostración. Sea f ∈ F y y ∈ E, entonces,
f (y) =
=
=
=
f 0 (y) + f 00 (y)
hf 0 (·), K1 (·, y)i1 + hf 00 (·), K2 (·, y)i2
h(f 0 , f 00 ), (K1 (·, y), K2 (·, y))i
h(f 0 , f 00 ), (K 0 (·, y), K 00 (·, y))i
+h(f 0 , f 00 ), (K1 (·, y) − K 0 (·, y), K2 (·, y) − K 00 (·, y))i.
El último producto escalar es igual a cero, pues el elemento (f 0 , f 00 ) ∈ F1
y el elemento (K1 (·, y) − K 0 (·, y), K2 (·, y) − K 00 (·, y)) ∈ F0 . Mientras que
el primer producto escalar es, por definición, igual a hf (·), K(·, y)i, lo cual
prueba la propiedad reproductiva del núcleo K.
En la caracterización de la clase F , podemos proceder sin introducir el espacio auxiliar F. Consideremos f ∈ F y todas las posibles descomposiciones
f = f1 + f2 . Definimos
kf k2 =
min
{f1 ,f2 :f =f1 +f2 }
[kf1 k21 + kf2 k22 ]
Esta definición para la norma en F es equivalente a la anterior, pues basta
observar que f en F corresponde al elemento (f1 , f2 ) ∈ F y recı́procamente,
f corresponde a (g1 (f ), g2 (f )) ∈ F1 , con lo cual f = f1 + f2 = g1 (f ) + g2 (f ).
De ahı́ que
f2 − g2 (f ) = −[f1 − g1 (f )],
entonces (f1 − g1 (f ), f2 − g2 (f )) ∈ F0 . Luego, por ortogonalidad,
kf1 k21 + kf2 k21 = k(f1 , f2 )k2 = k(g1 (f ), g2 (f ))k2 + k(f1 − g1 (f ), f2 − g2 (f ))k2 ,
y esta expresión es mı́nima si y solo si f1 = g1 (f ), f2 = g2 (f ). De donde
min
{f1 ,f2 :f =f1 +f2 }
[kf1 k21 + kf2 k22 ] = k(g1 (f ), g2 (f ))k2 ,
y por la definión previa es igual a kf k2 .
Finalmente el último teorema puede ser también enunciado de la manera
siguiente.
60
Teorema 3.1.2. Si Ki es el núcleo reproductivo de la clase Fi con norma
k · ki , i = 1, 2, entonces K = K1 + K2 es el núcleo reproductivo de la clase F
de todas las funciones f = f1 + f2 con fi ∈ Fi , i = 1, 2, y con norma definida
por
kf k2 =
min
{kf1 k21 + kf2 k22 }
{f1 ,f2 :f =f1 +f2 }
Un caso particularmente simple se presenta cuando las clases F1 y F2 no
tienen funciones distintas de cero en común. La norma en F está dada simplemente por kf k2 = kf1 k2 +kf2 k2 , pues toda función f tendrá representación
única.
La enunciación
generalización al caso
Pn de este último teorema facilita
Pla
n
donde K =
t=1 Kt . Aquı́, las funciones f =
t=1 ft , con ft ∈ Ft , t =
1, ..., n forman una clase F cuya norma está definida por
kf k2 =
minPn
{f1 ,...,fn :f =
i=1
fi }
{
n
X
kfi k2i },
i=1
y donde K corresponde como núcleo reproductivo.
Observación 3.1.1. Sea F una clase de funciones definidas en un conjunto
E con norma k·k y producto interior h·, ·i, supongamos que F tiene por núcleo
reproductivo la matriz K. Si α es una constante real positiva, entonces la
matriz positiva K1 = αK corresponde como núcleo reproductivo a la misma
clase F pero con norma y producto interior definidos mediante las expresiones
kf k21 =
1
kf k2
α
y
hf, gi1 =
1
hf, gi
α
para f y g en F . En efecto, para f ∈ F y y ∈ E, se verifica
f (y) = hf (·), K(·, y)i =
1
hf (·), αK(·, y)i = hf (·), K1 (·, y)i1 .
α
Siendo además evidente que K1 (·, y) = αK(·, y) ∈ F .
Observación 3.1.2. Ahora bien, si denotamos por F la clase de todas las
funciones conjugadas f donde f pertenece a una clase F , entonces en F la
expresión hf , gi1 = hf, gi = hg, f i define un producto interno, mientras que
la norma k · k en F define exactamente una norma en F .
Entonces, para f ∈ F y y ∈ E,
f (y) = hf (·), K(·, y)i = hf (·), K(·, y)i1 .
Se sigue que el núcleo de F es K1 (x, y) = K(x, y) = K(y, x), para todo par
x, y en E.
Según el teorema analizado en esta sección y la primera observación, la
matriz KΦ (x, y) =ReK(x, y) = 2−1 [K(x, y) + K(y, x)], corresponde como
61
núcleo reproductivo a la clase Φ de funciones φ = f + g, cuya norma está
determinada por la expresión
kφk2Φ = 2
min
{f,g:f =f +g}
[kf k2 + kgk2 ].
Si F es una clase compleja correspondiente al campo real, esto es, si
F = F y kf k = kf k, es claro que F0 = F y kf k0 = kf k. Por ello el núcleo
K = ReK es real, y esta propiedad caracteriza el núcleo correspondiente al
campo real.
3.2
Diferencia de núcleos reproductivos
En la presente sección estableceremos una caracterización del modelo que permite que la diferencia de núcleos reproductivos sea un núcleo reproductivo.
Primeramente, para dos matrices positivas, K1 y K, definimos la relación
K1 K
si K − K1 es también una matriz positiva.
Proposición 3.2.1. La relación establece un orden parcial en la clase que
reúne todas las matrices positivas.
Demostración. En efecto, si K1 K2 K3 entonces, claramente,
K1 K3 . Por otra parte, si K1 K2 y K2 K1 entonces K1 = K2 .
Teorema 3.2.1. Si K y K1 son núcleos reproductivos de las clases F y F1
respectivamente, con las normas k · k, k · k1 , y si K1 K, entonces F1 ⊂ F ,
y kf1 k1 ≥ kf1 k para toda f1 ∈ F1 .
Demostración. Si K1 K significa que K2 = K − K1 es una matriz
positiva. Sea entonces la clase de funciones F2 , con norma k · k2 , correspondiente al núcleo K2 . Como K = K1 + K2 sabemos por el Teorema 3.1.2 que
F es la clase de todas las funciones de la forma f1 + f2 con f1 ∈ F1 y f2 ∈ F2 .
En particular, cuando f2 = 0, la clase F contiene todas las funciones f1 ∈ F1 ,
y ası́ F1 ⊂ F . Por otra parte, en F tenemos, por este mismo Teorema,
kf1 k2 = min [kf10 k21 + kf20 k22 ]
para todas las descomposiciones f1 = f10 + f20 , con f10 ∈ F1 y f20 ∈ F2 . En
particular, de la descomposición f1 = f1 + 0, obtenemos
kf1 k2 ≤ kf1 k21
lo cual completa la prueba.
62
Teorema 3.2.2. Si F y F1 son dos espacios de Hilbert de funciones tal que
F1 ⊂ F , entonces existe un único operador L : F → F1 lineal, simétrico y
positivo, tal que
hf1 , f i = hf1 , Lf i1 ,
para toda función f1 ∈ F1 y f ∈ F . Si además kf1 k1 ≥ kf1 k para f1 ∈ F1 ,
entonces el operador L es acotado con una cota no mayor a 1.
Demostración. Para f ∈ F , la transformación Gf sobre F1 definida por
la regla Gf (f1 ) = hf1 , f i, para toda f1 ∈ F1 , es lineal y continua, entonces,
según el teorema de representación de Riez, existe una única función en F1 ,
la cual llamaremos Lf (es decir, depende también de f ), tal que
Gf (f1 ) = hf1 , f i = hf1 , Lf i1 ,
para toda f1 ∈ F1 . De tal forma que el operador L : F → F1 existe y es
único. Además, si f y g pertenecen a F , entonces, para toda f1 en F1 ,
hf1 , L(f + g)i1 =
=
=
=
hf1 , f + gi
hf1 , f i + hf1 , gi
hf1 , Lf i1 + hf1 , Lgi1
hf1 , Lf + Lgi1 .
Se sigue L(f + g) = Lf + Lg, luego L es lineal. Por otra parte, para todo
par de funciones f , g de F ,
hLf, gi = hLf, Lgi1 = hLg, Lf i1 = hLg, f i = hf, Lgi.
L es entonces un operador lineal simétrico.
Es también positivo porque hLf, f i = hLf, Lf i1 ≥ 0.
Si además kf1 k1 ≥ kf1 k para f1 ∈ F1 , L es acotado, con cota no mayor a
1, porque hLf, f i = hLf, Lf i1 = kLf k21 ≥ kLf k2 . De ahı́, kLf k2 ≤ hLf, f i ≤
kLf k · kf k, y con ello kLf k ≤ kf k.
El operador L es conocido como el operador dominante.
Corolario 3.2.1. Si F y F1 son dos espacios de Hilbert de funciones tal que
F1 ⊂ F , y si K y K1 son sus respectivos núcleos reproductivos, entonces
K1 K.
Demostración. Sea L : F → F1 el operador dominante. Se tiene entonces
que L0 2 = I − L, I operador identidad (usamos L0 2 por razones que se verán
un poco más adelante), es también un operador lineal positivo y simétrico.
63
Ahora bien, L transforma K(·, z) en K1 (·, z), para toda z ∈ E. En efecto,
dado que Lf ∈ F1 , entonces, para toda y ∈ E,
Lf (y) =
=
=
=
h(Lf )(·), K1 (·, y)i1
hK1 (·, y), (Lf )(·)i1
hK1 (·, y), f (·)i
hf (·), K1 (·, y)i.
Por lo tanto, para toda z ∈ E,
LK(y, z) = hK(·, z), K1 (·, y)i,
(3.2)
luego, según la propiedad reproductiva,
LK(y, z) = K1 (z, y) = K1 (y, z).
Sea pues R = K−K1 . Sea n ∈ N y tomemos ξi , ..., ξn números complejos y
yi , ..., yn elementos en E. Según la ecuación (3.2) y la propiedad reproductiva
de K tenemos que
n
X
ξi ξj R(yi , yj ) =
i,j=1
=
=
=
n
X
i,j=1
n
X
i,j=1
n
X
i,j=1
n
X
ξi ξj [K(yi , yj ) − K1 (yi , yj )]
ξi ξj [K(yi , yj ) − LK(yi , yj )]
ξi ξj hK(·, yj ) − LK(·, yj ), K(·, yi )i
ξi ξj hL0 K(·, yj ), K(·, yi )i
i,j=1
0
= hL f, f i
≥ 0,
donde f (·) =
Pn
i=1 ξi K(·, i).
Luego, R es una matriz positiva.
Más aún, tenemos el resultado recı́proco al último teorema.
Teorema 3.2.3. Si K es el núcleo reproductivo de la clase F y L : F → F
es un operador lineal simétrico y positivo, entonces existe una clase F1 de
funciones con núcleo reproductivo tal que F1 ⊂ F .
Demostración. Definimos K1 (x, y) = LK(x, y) = hLK(·, y), K(·, x)i,
para todo x, y ∈ E. Entonces resulta sencillo probar que K1 es también
una matriz positiva (a partir de que L es un operador positivo), de forma
64
análoga a la demostración del último corolario. Ahora bien, es claro que la
clase F1 = H(K1 ) (cuyo núcleo es K1 ) es un subconjunto de F , a partir de
que K1 (·, y) = LK(·, y) ∈ F , para toda y ∈ E.
El recı́proco del Teorema 3.2.1 también es verdadero. Antes de enunciarlo
probaremos otros resultados útiles.
Lema 3.2.1. Si K es el núcleo reproductivo de la clase F con norma k·k, y si
la clase lineal F1 ⊂ F forma un espacio de Hilbert (o tan solo un subespacio
lineal cerrado) con norma k · k1 , tal que kf1 k1 ≥ kf1 k para f1 ∈ F1 , entonces
existe K1 n.r. de F1
Demostración. La existencia de un núcleo para F implica que para toda
y ∈ E existen constantes positivas My tales que |f (y)| ≤ My kf k para toda
f ∈ F . En particular, para f1 ∈ F1 ⊂ F , y y ∈ E1 ,
|f1 (y)| ≤ My kf1 k ≤ My kf1 k1
lo cual implica la existencia de un núcleo K1 de F1 .
Consideremos ahora el operador I − L, donde I el operador identidad y
L el operador dominante. Este operador hereda las propiedades de L. Por
tanto existe un operador raı́z cuadrada L0 para este operador simétrico y
acotado tal que
2
L0 = I − L
Definimos F2 como la clase de todas las funciones f2 = L0 f para f ∈ F .
Denotamos F0 el subespacio cerrado de F transformado por L0 en 0, y por F 0
el espacio complementario (esto es F = F 0 ⊕ F0 ). Tenemos que f ∈ F0 , si y
solo si f = Lf . En efecto, una función f0 ∈ F0 si y solo si L0 f = 0, o también
L0 2 f = 0, es decir f − Lf = 0, lo cual es equivalente a que Lf = f . Además,
si L0 2 f = 0, entonces se sigue que hL0 2 f, f i = hL0 f, L0 f i = kL0 f k2 = 0.
Lema 3.2.2. El operador L0 transforma F 0 uno-a-uno sobre F2 . Además
F2 ⊂ F1 .
Demostración. Si f 0 y g 0 pertenecen a F 0 y son tales que L0 f 0 = L0 g 0 ,
entonces L0 (f 0 − g 0 ) = 0, lo cual significa que f 0 − g 0 pertenece a F0 . Pero
en realidad f 0 − g 0 pertenece a F 0 , y como F 0 y F0 son complementarios,
f 0 − g 0 = 0, es decir, f 0 = g 0 .
Por otro lado, para f0 ∈ F0 , se verifica
hf0 , L0 f i = hL0 f0 , f i = h0, f i = 0,
entonces L0 f 0 pertenece a F 0 . Consecuentemente F2 ⊂ F 0 .
Ahora consideremos el operador proyección P 0 de F sobre F 0 .
65
Lema 3.2.3. Si para f y g en F , se tiene que L0 f = L0 g entonces P 0 f = P 0 g.
Demostración. Si para f, g ∈ F , L0 f = L0 g entonces f − Lf = g − Lg,
de donde f − g = Lf − Lg = L(f − g), esto significa que f − g está en F0 (o
de manera equivalente, f y g difieren por una función perteneciente a F0 ).
Por ello, tienen la misma proyección sobre F 0 .
Lema 3.2.4. La expresión kf2 k2 = kP 0 f10 k para f2 = L0 f 0 , donde k · k es la
norma de la clase F , define una norma sobre la clase F2 . Con esta norma
F2 es un espacio de Hilbert.
Lema 3.2.5. La matriz K2 = K − K1 es positiva, pues la clase F2 admite a
K2 como núcleo reproductivo.
Demostración. En primer lugar, L transforma K(·, z) en K1 (·, z), para
toda z ∈ E. En efecto, dado que Lf ∈ F1 , entonces, para toda y ∈ E,
Lf (y) =
=
=
=
h(Lf )(·), K1 (·, y)i1
hK1 (·, y), (Lf )(·)i1
hK1 (·, y), f (·)i1
hf (·), K1 (·, y)i.
Por lo tanto, para toda z ∈ E,
LK(y, z) = hK(·, z), K1 (·, y)i
= K1 (z, y)
= K1 (y, z).
Se sigue entonces que
2
L0 L0 K(y, z) = L0 K(y, z) = K(y, z) − K1 (y, z),
por tanto K2 (·, z) = K(·, z) − K1 (·, z) ∈ F2 , para toda z ∈ E.
Ahora bien, sea f2 ∈ F2 (f2 = L0 f ) y y ∈ E, se tiene,
f2 (y) =
=
=
=
=
=
hf2 (·), K(·, y)i
h(L0 f )(·), K(·, y)i
hf (·), L0 K(·, y)i
hP 0 f (·), P 0 L0 K(·, y)i
hL0 f, L0 L0 K(·, y)i2
hf2 (·), K2 (·, y)i2 .
Por tanto K2 es el núcleo reproductivo de la clase F2 . Se sigue que K2 es
una matriz positiva.
Finalmente, exponemos el resultado principal.
66
Teorema 3.2.4. Si K es el núcleo reproductivo de la clase F con norma k·k,
y si la clase lineal F1 ⊂ F es un espacio de Hilbert con norma k · k1 , tal que
kf1 k1 ≥ kf1 k para f1 ∈ F1 , entonces la clase F1 posee un núcleo reproductivo
K1 el cual satisface satisface K1 K.
Demostración. El Lema 3.2.1 demuestra que F1 posee el núcleo reproductivo K1 . Sabemos que la matriz K −K1 es positiva (según el Lema 3.2.5),
entonces K1 K.
Si f2 = L0 f , f ∈ F , entonces considerando la descomposición ortogonal
f = f 0 + f0 , tenemos que f2 = L0 f = L0 f 0 , por consiguiente las proyecciones
P 0 f 0 y P 0 f sobre F 0 son iguales, y dado que f 0 ∈ F , se sigue que f 0 = P 0 f =
P 0 f 0 , de ahı́ que la norma en F2 puede escribirse también como
kf2 k2 = kP 0 f k = kf 0 k,
para f2 ∈ F2 y f 0 ∈ F 0 tal que f2 = L0 f 0 . El teorema siguiente se sigue del
anterior resultado.
Teorema 3.2.5. Sea K el n.r. de la clase F . A toda descomposición K =
K1 + K2 en dos matrices positivas K1 y K2 , corresponde una descomposición
del operador identidad I en F en dos operadores positivos L1 y L2 , I =
L1 + L2 , dados por
L1 f (y) = hf (·), K1 (·, y)i,
1/2
L2 f (y) = hf (·), K2 (·, y)i,
1/2
tal que si L1 y L2 denota cualquier raı́z cuadrada simétrica cuadrada
1/2
1/2
de L1 y L2 , las clase F1 y F2 de todas las transformaciones L1 f y L2 f
respectivamente, f ∈ F , corresponde a los núcleos K1 y K2 . Si Fi0 , i = 1, 2
es la clase de todas las funciones f ∈ F con Li f = 0, y si Fi00 = F Fi0 ,
1/2
entonces Li establece una correspondencia uno-a-uno entre Fi00 y Fi , y la
1/2
norma k · ki en Fi está dada por kLi f ki = kf k para toda f ∈ Fi00 .
Inversamente, a cada descomposición I = L1 + L2 en dos operadores
positivos corresponde la clase Fi con normas k · ki definidas de la manera anterior. La correspondencia de n.r.’s Ki está definida por Ki (·, y) = Li K(·, y)
y satisface la ecuación K = K1 + K2 .
3.3
Producto de núcleos reproductivos
Considere dos espacios de Hilbert de funciones F1 y F2 , cuyas funciones están
definidas sobre un mismo un conjunto E, con núcleos reproductivos K1 y
K2 respectivamente. Supongamos además que existe un par de sistemas
ortonormales {gik }k≥1 completos, y a lo sumo numerables en Fi , i = 1, 2.
En esta sección probaremos que el producto K1 · K2 es también una matriz
67
positiva, utilizando lo que hasta ahora sabemos de núcleos reproductivos. En
efecto, se trata de encontrar la clase de funciones para la cual este producto
corresponde como núcleo reproductivo.
Consideremos la clase Fi y la norma k · ki correspondiente a Ki , i = 1, 2.
Ahora, sobre el conjunto E 0 = E × E definimos la clase de funciones f 0 (·, ·)
de la forma
n
X
(k)
(k)
0
f (x1 , x2 ) =
f1 (x1 )f2 (x2 ),
(3.3)
k=1
(k)
f1
(k)
para todo par (x, y) ∈ E 0 , con
∈ F1 y f2 ∈ F2 , k = 1, 2, ..., n. Evidentemente, el espacio F 0 de todas estas funciones es un espacio lineal.
Lema 3.3.1. La expresión
hf 0 , g 0 i0 =
n X
m
X
(k)
(l)
(k)
(l)
hf1 , g1 i1 hf2 , g2 i2 ,
(3.4)
k=1 l=1
para f 0 =
sobre F 0 .
Pn
k=1
(k) (k)
f1 f2
y g0 =
Pm
l=1
(l) (l)
g1 g2 en F 0 define un producto interior
Demostración. En primer lugar, notamos que (3.4) no depende de las
posibles representaciones para f 0 y g 0 . En efecto, vemos inmediatamente de
(3.4) que
m
X
(l)
(l)
0 0 0
hhf 0 , g1 i1 , g2 i2 ,
hf , g i =
l=1
0
0 0
lo cual prueba que hf , g i es independiente de la representación particular
de f 0 . De forma análoga sucede con la representación particular de g 0 .
Ahora bien, las propiedades de producto interior son inmediatamente verificables. No obstante, queda probar que hf 0 , f 0 i0 ≥ 0 y que la igualdad se da
si y sólo si f 0 = 0. Consideremos una representación para f 0 dada por (3.3).
(k)
Por un proceso de Gram-Smichdt, en el subespacio generado por {f1 }nk=1 de
F1 , podemos encontrar una sucesión finita de vectores ortonormales los cuales
(k)
generan este mismo subespacio; el caso se repite para la sucesión {f2 }m
k=1 .
1
2
Denotemos por {f1k }nk=1
y {f2l }nl=1
tales sucesiones ortonormalizadas en los
(·)
espacios F1 y F2 , respectivamente. Toda función fi es entonces una combinación lineal de dichas funciones ortonormales. Con lo cual obtenemos la
siguiente representación para f 0
f 0 (x1 , x2 ) =
n1 X
n2
X
k=1 l=1
68
αk,l f1k (x1 )f2l (x2 ).
Por ende, hf 0 , f 0 i0 posee la siguiente expresión
0
0 0
hf , f i
n2
n1 X
n2 X
n1 X
X
=
0
0
αkl αk0 l0 hf1k , f1k i1 hf2l , f2l i2
k=1 l=1 k0 =1 l0 =1
n1 X
n2
X
|αkl |2 .
=
k=1 l=1
De ahı́ entonces que hf 0 , f 0 i0 ≥ 0, y es igual a cero si y solo si αk,l = 0,
para toda k y l, es decir, cuando f 0 = 0.
Finalmente, esta expresión define una norma sobre F 0 , a saber,
!1/2
n1 X
n2
X
kf 0 k0 =
|αkl |2
.
k=1 l=1
Sin embargo, esta nueva clase puede no ser completa, procedemos entonces a encontrar su completación. Formemos funciones definidas en E 0 de
la forma
∞
∞ X
X
αk,l g1k g2l ,
(3.5)
f=
k=1 l=1
donde αkl son constantes complejas tales que
∞
∞ X
X
|αk,l |2 < ∞.
(3.6)
k=1 l=1
Llamemos F la clase que contiene estas funciones.
Lema 3.3.2. La clase F está bien definida, es decir, las funciones f del tipo
(3.5) son absolutamente convergentes.
Demostración. En efecto, como la clase F1 posee el núcleo reproductivo
K1 , en vista de (3.6) tenemos
!1/2
∞
∞
X
X
(k)
|αk,l ||g1 (x1 )| ≤ [K1 (x1 , x1 )]1/2
|αk,l |2
,
k=1
k=1
según lo visto en secciones anteriores.
Entonces,
∞ X
∞
X
k=1 l=1
(k)
(l)
|αk,l ||g1 (x1 )||g2 (x2 )| ≤
∞
X
"
(l)
|g2 (x2 )|[K1 (x1 , x1 )]
1
2
l=1
∞
X
#1
2
|αk,l |2
k=1

1
2
1
2
≤ [K1 (x1 , x1 )] [K2 (x2 , x2 )] 
∞
X
k,l=1
69
1
2
2
|αk,l |
(3.7)
pues el espacio F2 posee el núcleo reproductivo K2 .
De este resultado se desprende que F es una clase lineal. También, se
deduce que toda función f tiene representación única.
Lema 3.3.3. La expresión
kf k =
∞ X
∞
X
!1/2
|αk,l |2
,
para f ∈ F,
k=1 l=1
define una norma sobre F . Con esta norma F es completo.
Demostración. 1. Sea f en F con la expresión dada en (3.5). Defı́nase
las funciones
n X
n
X
fn =
αk,l g1k g2l ∈ F 0 ,
k=1 l=1
para n ≥ 1. Se tiene entonces
f = lim fn
n→∞
sobre E 0 , además
kf k = lim kfn k0 .
n→∞
De aquı́ se deducen todas las propiedades que definen una norma.
2. Tomemos una sucesión de Cauchy en F , {fm }m≥1 . Sea > 0. Se tiene
entonces que para n, m suficientemente grandes,
kfm − fn k < .
Con lo cual, desarrollando esta expresión, se deduce que
m
n
|αkl
− αkl
|<
m
para toda k y l. Entonces las sucesiones complejas {αkl
}m≥1 son de Cauchy,
para toda k y l. Consideremos entonces los números αkl puntos de convergencia de tales sucesiones. Sea f ∈ F la función cuya expresión está dada
por
∞ X
∞
X
f=
αk,l g1k g2l
k=1 l=1
Tenemos entonces
kfm − f k2 =
∞ X
∞
X
k=1 l=1
70
m
|αkl
− αkl |2 → 0
cuando m → ∞. La sucesión {fm }m≥1 es entonces convergente en F .
Ası́, sobre F definimos el producto interno
0
hf, gi = lim hfn , gn i =
n→∞
∞
X
αkl β kl ,
k,l=1
donde,
f = lim
n→∞
n
X
αkl g1l g2k
y g = lim
n→∞
k,l=1
71
n
X
k,l=1
βkl g1l g2k
Lema 3.3.4. La clase F es la completación funcional de la clase F 0 .
Demostración. Las sumas finitas del tipo (3.5) son densas en el espacio
de todas las funciones del tipo (3.5), entonces es suficiente probar que toda
función del tipo (3.3) también es de la forma (3.5). Para ello, probaremos
que una función del tipo (3.3) puede aproximarse tanto como se quiera (en
relación a la norma k k0 ) por sumas finitas del tipo (3.5). Sea f 0 en F 0
(k)
con representación dada por (3.3). Podemos aproximar toda fi por una
(k)
(l)
(k)
(k)
combinación lineal finita hi de funciones gi tales que khi ki ≤ kfi ki ,
(k)
(k)
kfi − hi ki ≤ , con > 0 arbitrario. Antes, probaremos que para toda
función f 0 y cualquier representación del tipo (3.3) se verifica
0 0
kf k ≤
n
X
(k)
(k)
kf1 k1 · kf2 k2 .
k=1
En efecto,
0 02
0
0 0
kf k = hf , f i
=
≤
n X
n
X
k=1 l=1
n X
m
X
(k)
(l)
(k)
(l)
hf1 , f1 i1 hf2 , f2 i2
(k)
(l)
(k)
(l)
kf1 k1 kg1 k1 · kf2 k2 kg2 k2
k=1 l=1
=
n
X
!2
(k)
(k)
kf1 k1 kf2 k2
k=1
Continuando con la prueba de la aproximación consideremos las funciones
0
h (x1 , x2 ) =
n
X
(k)
(k)
(k)
(k)
h1 (x1 )f2 (x2 ),
k=1
g 0 (x1 , x2 ) =
n
X
h1 (x1 )h2 (x2 ).
k=1
Es claro que h0 es del tipo (3.3) y que g 0 es al mismo tiempo del tipo
(k)
(3.3) y (3.5), lo cual puede verse por el desarrollo de las funciones hi como
(t)
(k)
combinaciones lineales de gi . Sea M el máximo de todos los números kfi ki ,
72
obtenemos
kf 0 − g 0 k0 ≤ kf 0 − h0 k0 + kh0 − g 0 k0 ,
n
X
(k)
(k)
(k)
0
0 0
kf − h k =
k[f1 (x1 ) − h1 (x1 )]f2 (x2 )k0
k=1
≤
≤
n
X
k=1
n
X
(k)
(k)
(k)
kf1 − h1 k1 · kf2 k2
M
k=1
= nM ,
Finalmente obtenemos
kf 0 − g 0 k0 ≤ 2nM ,
lo cual prueba nuestra aserción.
Lema 3.3.5. La clase F posee núcleo reproductivo.
La prueba de este lema ya se ha dado en el segundo resultado expuesto
en esta sección. En efecto, para (x1 , x2 ) ∈ E 0 , la desigualdad (3.7) tiene la
forma
|f (x1 , x2 )| ≤ [K1 (x1 , x1 )]1/2 kf k.
La funcional f 7→ f (x1 , x2 ) es acotada, y por tanto continua. De donde se
desprende la existencia del núcleo reproductivo.
Entonces F 0 tiene por completación el espacio de Hilbert F con núcleo
reproductivo. Finalmente exponemos el siguiente enunciado.
Teorema 3.3.1. El núcleo reproductivo K : E 0 × E 0 → C de F tiene la regla
K(x1 , x2 , y1 , y2 ) = K1 (x1 , y1 )K2 (x2 , y2 ).
Demostración. Primeramente, si (y1 , y2 ) ∈ E 0 , entonces
K1 (·, y1 ) ∈ F1
y
K2 (·, y2 ) ∈ F2 .
siendo además diferentes de cero. Con lo cual
K(·, ·, y1 , y2 ) = K1 (·, y1 )K2 (·, y2 ) ∈ F 0 ⊆ F.
P∞ P∞
k l
En segundo lugar, para unaPfunción
f
∈
F
,
f
=
k=1
l=1 αk,l g1 g2 ,
Pn
n
consideremos la sucesión fn = k=1 l=1 αk,l g1k g2l . Entonces, si (x1 , x2 ) ∈
73
E 0,
fn (x1 , x2 ) =
n X
n
X
αk,l g1k (x1 )g2l (x2 )
k=1 l=1
=
n X
n
X
hαk,l g1k (·), K1 (·, x1 )i1 hg2l (·), K2 (·, x2 )i2
k=1 l=1
=
n X
n
X
hαk,l g1k (·)g2l (·), K1 (·, x1 )K2 (·, x2 )i0
k=1 l=1
= hfn (·, ·), K(·, ·, x1 , x2 )i0 .
Tomando lı́mite,
f (x1 , x2 ) = hf (·, ·), K(·, ·, x1 , x2 )i.
Esto prueba la propiedad reproductiva de K.
Cuando consideramos las restrición al conjunto E0 de E 0 de los elementos
diagonales (x, x), entonces la matriz K1 (x, y)K2 (x, y), para (x, x) y (y, y) en
E0 , es el núcleo reproductivo de la clase de funciones en F restringidas a E1 .
De ahı́ que efectivamente el producto K1 · K2 es una matriz positiva.
Teorema 3.3.2. El núcleo K(x, y) = K1 (x, y)K2 (x, y) es el núcleo reproductivo de la clase F0 de la restricción de todas las funciones F al conjunto diagonal E0 . Para cualquier restricción f0 , kf0 k0 = min {kgk : g ∈ F y g|E0 = f0 }.
Observación 3.3.1. Sea {g1k } un sistema completo ortonormal numerable
en F1 . Entonces toda función f0 ∈ F0 es representable como una serie
f0 (x) =
∞
X
f2k (x)g1k (x),
f2k
k=1
∈ F2 ,
∞
X
kf2k k22 < ∞.
k=1
Sobre todas las representaciones
de f existe una y solo una representación
P∞
(k) 2
que minimiza la suma k=1 kf2 k2 . Este mı́nimo es igual a kf k2 .
Podemos aplicar el último teorema a la clase F y su conjugado F . El
producto de los núcleos correspondientes es |K(x, y)|2 = K(x, y)K(y, x) y la
clase correspondiente puede obtenerse de la observación anterior.
3.4
Lı́mites de núcleos reproductivos
Ahora consideremos una sucesión {Fn }n≥1 de espacios de Hilbert de funciones
definidas sobre los conjuntos {En }n≥1 , respectivamente. Sea además {Kn }n≥1
la sucesión de respectivos núcleos reproductivos. Nos interesa saber si tiene
74
sentido hablar del lı́mite de la sucesión de núcleos reproductivos; y si es ası́,
nos preguntamos si tal lı́mite es también n.r., y cobre cuál clase de funciones.
Podemos considerar dos casos.
Caso A. Sea {En } una sucesión creciente de subconjuntos, esto es En ⊆
∞
[
En+1 para toda n ≥ 1, sea E su unión (E =
En )
n=1
Ahora si fn ∈ Fn , entonces para m ≤ n denotemos por fnm , la restricción
de fn al conjunto Em ⊂ En (i.e. fnm = fn |Em ). Supongamos también que
las clases Fn forman una sucesión decreciente en el sentido de que fnm ∈ Fm
para toda función fn ∈ Fn y para todo par de números m ≤ n.
Finalmente supongamos que la sucesión de normas {k · kn }n≥1 definidas
en Fn forman una sucesión creciente en el sentido de que
kfnm km ≤ kfn kn
si m ≤ n,
(3.8)
para toda fn ∈ Fn .
No excluimos el caso en que todos los conjuntos En son iguales, E1 =
E2 = · · · = E. Claramente, en este caso fnm = fn , Fn ⊂ Fm , y, según
el Teorema 3.2.4, basta suponer la existencia de K1 (x, y) para deducir la
existencia del resto de los núcleos Kn y obtener la propiedad Kn Km para
m < n.
En el caso general introducimos las restricciones Knm de Kn al conjunto
Em (m ≤ n). Por el Teorema 2.6.1, Knm es el núcleo reproductivo de la clase
Fnm de todas las restricciones fnm para fn ∈ Fn . La norma en Fnm está dada
por
0
kfnm knm = min kfn0 kn para toda fn0 con fnm
= fnm
De la ecuación (3.8) tenemos
kfnm knm ≥ kfnm km
y , por el Teorema 3.2.4,
Knm Km ,
m < n.
(3.9)
Ahora, sea F0 la clase de funciones en E tal que si f0 ∈ F0 entonces
la restricción f0n = f0 |En pertenece a Fn , para toda n ≥ 1, y la sucesión
{kf0n kn }n≥1 es acotada. Es fácil verificar que la clase F0 es una clase lineal.
Es claro que la función nula pertenece a F0 , por tanto F0 es una clase no
vacı́a.
Lema 3.4.1. Sea f0 ∈ F0 . La expresión
kf0 k20 = lim kf0n k2n ,
n→∞
donde f0n = f0 |En para toda n ≥ 1, define una norma sobre F0 .
75
(3.10)
Demostración. Sea f0 ∈ F0 . Primero, para n ≥ m, se tiene que f0m =
f(0n)m , es decir, la restricción de f0 sobre Em es igual a la restricción de f0n
sobre Em mismo. Entonces
kf0m km ≤ kf0n kn .
Por ello {kf0n kn }n≥1 es una sucesión de números reales creciente y por
hipótesis es también acotada, luego existe su lı́mite (real no negativo). En
tal caso es posible definir
kf0 k0 = lim kf0n kn .
n→∞
Las propiedades de norma se siguen de forma inmediata.
Lema 3.4.2. Sean f0 y g0 funciones en F0 . La expresión
hf0 , g0 i0 = lim hf0n , g0n in ,
(3.11)
n→∞
donde f0n = f0 |En y g0n = g0 |En para toda n ≥ 1, define un producto interior
sobre F0 , cuya norma inducida es (3.10).
Demostración. Sea f0 y g0 funciones en F0 . Las propiedades caracterı́sticas de producto interior son satisfechas por esa expresión y es inmediato que hf0 , f0 i = kf0 k. Debemos probar que efectivamente existe este lı́mite.
Tenemos que
kf0n + g0n k2n = kf0n k2n + 2Rehf0n , g0n in + kg0n k2n y
kf0n + ig0n k2n = kf0n k2n + 2Imhf0n , g0n in + kg0n k2n ,
para toda n ≥ 1. Entonces las sucesiones {Rehf0n , g0n in }n≥1 y {Imhf0n , g0n in }n≥1
son convergentes. Es decir,
hf0 , g0 i0 = lim hf0n , g0n in ,
n→∞
existe.
Lema 3.4.3. Con el producto (3.11) y la norma (3.10), el espacio F0 es un
espacio de Hilbert.
(n)
Demostración. Sea {f0 }n≥1 una sucesión de Cauchy en F0 . Sea 1 ≤
l < k, entonces, para toda n, m ≥ 1
(m)
(n)
(m)
(n)
(m)
kf0k − f0k kk ≤ kf0l − f0l kl ≤ kf0
76
(n)
− f0 k0 ,
(n)
de ahı́ que {f0k }n≥1 es sucesión de Cauchy sobre Fk . Sea g0k ∈ Fk la función
a la cual converge ésta sucesión sobre Fk . Definimos entonces g0 sobre E
como la función tal que g0 |Ek = g0k para toda k ≥ 1.
Ahora bien, para k, m ≥ 1,
(m)
(m)
kg0k kk ≤ kf0k kk + kf0k − g0k kk ,
y por otra parte
(m)
(m)
(n)
(m)
kf0k − g0k kk = lim kf0k − f0k kk ≤ lim kf0
n→∞
n→∞
(n)
− f0 k0 ,
(3.12)
por tanto
(m)
(m)
kg0k kk ≤ kf0k kk + lim kf0
n→∞
(n)
(m)
(m)
− f0 k0 ≤ kf0 k0 + lim kf0
n→∞
(n)
− f0 k0 .
Entonces {kg0k kk }k≥1 es una sucesión de números reales no negativos
creciente y acotada. Se sigue que limn→∞ kg0n kn existe.
(m)
(m)
Por otra parte, sea m ≥ 1. Es claro que f0(k+1) |Ek = f0k para toda
(m)
(m)
k ≥ 1. Entonces, dado que kf0k − g0k kk → 0 y kf0k − g0(k+1) |Ek kk =
(m)
kf0(k+1) |Ek − g0(k+1) |Ek kk → 0 cuando m → ∞, entonces g0k = g0(k+1) |Ek
para toda k ≥ 1.
Todo lo anterior muestra que g0 ∈ F0 .
De (3.12) también se sigue que
(m)
kf0
(m)
(m)
− g0 k0 = lim kf0k − g0k kk ≤ lim kf0
n→∞
k→∞
(n)
− f0 k0 ,
de donde
(m)
lim kf0
m→∞
− g0 k0 = 0,
(m)
por tanto {f0 }m≥1 es una sucesión de Cauchy convergente en F0 . Se sigue
que F0 es un espacio de Hilbert.
Lema 3.4.4. El espacio de Hilbert F0 posee núcleo reproductivo.
Demostración. Si f0 ∈ F0 y y ∈ E, entonces existe k tal que y ∈ Ek , y
en este caso f0 (y) = f0n (y) para toda n ≥ k. Las clases Fn , n ≥ k poseen
núcleo reproductivo Kn , entonces
|f0 (y)| = |f0n (y)| ≤ My kf0n kn
para alguna My > 0,
por tanto, si n → ∞,
|f0 (y)| ≤ My kf0 k0 .
Entonces F0 posee núcleo reproductivo.
Llamemos K0 al núcleo de F0 .
77
Teorema 3.4.1. Bajo los anteriores supuestos sobre las clases Fn , los núcleos
Kn convergen, para toda x, y en E, al núcleo K0 del espacio de Hilbert F0 .
Observación 3.4.1. La convergencia de Kn a K0 se entiende de la siguiente
manera. Todo par de puntos x, y en E pertenece a todo En a partir de un
En0 . De ahı́ que Kn (x, y) está definido para n > n0 , luego debemos probar
que lim Kn (x, y) = K0 (x, y).
n→∞
Demostración. Para y ∈ Ek cualquiera y números k ≤ m ≤ n se tiene
kKmk (·, y) − Knk (·, y)k2k ≤ kKm (·, y) − Knm (·, y)k2m
= Km (y, y) − Knm (y, y) − Knm (y, y) + kKnm (·, y)k2m
≤ Km (y, y) − 2Kn (y, y) + kKnm (·, y)k2m ,
y dado que
kKnm (·, y)k2m ≤ kKn (·, y)k2n = Kn (y, y),
entonces
kKmk (·, y) − Knk (·, y)k2k ≤ Km (y, y) − Kn (y, y).
(3.13)
De (3.9) se sigue que Km − Knm es una matriz positiva. Por tanto
Km (y, y)−Knm (y, y) = Km (y, y)−Kn (y, y) ≥ 0, y la sucesión {Km (y, y)}m≥k
es una sucesión decreciente de número no negativos. Por ende es una sucesión
convergente. Ahora, (3.13) también prueba que las funciones Kmk (·, y) ∈ Fk ,
para cualquier k y siempre que m → ∞, converge fuertemente en Fk a alguna
función φk ∈ Fk . Esto es,
lim Kmk (x, y) = lim Km (x, y) = φk (x),
m→∞
m→∞
para todo x ∈ Ek .
Dado que para todo par x, y en E podemos escoger una número k tal que
x y y pertenezcan a Ek , se sigue que Km (x, y) converge y que el lı́mite φ0 (x, y)
no depende de la elección de k. El núcleo Kk es la restricción φ0k (·, y) de φ0 a
Ek . Se sigue entonces que Kmk (·, y), para cualquier y, converge fuertemente
en Fk a φ0k (·, y) perteneciente a Fk . De (3.13), haciendo n → ∞,
kKmk (·, y) − φ0k (·, y)k2k ≤ Km (y, y) − φ0 (y, y);
(3.14)
kφ0k (·, y)kk ≤ kφ0k (·, y) − Kmk (·, y)kk + kKmk (·, y)kk
≤ [Km (y, y) − φ0 (y, y)]1/2 + kKm (·, y)km
≤ [Km (y, y) − φ0 (y, y)]1/2 + [Km (y, y)]1/2 ,
y cuando m → ∞, kφ0k (x, y)k2k ≤ φ0 (y, y).
Se sigue entonces que para cada y ∈ E, φ0 (·, y), pertenece a la clase F0
de nuestro teorema.
78
Ahora probaremos la propiedad reproductiva para φ0 . Para tal efecto,
tomemos cualquier f0 ∈ F0 y y ∈ E. Para un número n suficientemente
grande tenemos
f0 (y) = f0n (y)
= hf0n (·), Kn (·, y)in
= hf0n (·), K0n (·, y)in + hf0n (·), Kn (·, y) − K0n (·, y)in .
Cuando n → ∞, el primer producto escalar en el último miembro converge, por la fórmula (3.11), a hf0 (·), φ0 (·, y)i0 . Mientras que el segundo
converge a cero; en efecto, por la fórmula (3.14) (con k = m = n), es en valor
absoluto más pequeño que
kf0n kn kKn (·, y) − K0n (·, y)kn ≤ kf0 k0 [Kn (y, y) − K0 (y, y)]1/2 .
Entonces φ0 = K0 .
Caso B. Ahora suponemos las siguientes hipótesis,
i) {En } es una sucesión decreciente de conjuntos, esto es
En+1 ⊆ En ,
Sea E =
∞
\
para toda n ≥ 1.
En no vacı́o.
n=1
ii) Para cada n ≥ 1, Fn es la clase de funciones tal que
ii.1) Para toda fn ∈ Fn se tiene que fnm ∈ Fm , con m ≥ n (fnm es la
restricción de fn al subconjunto Em de En ).
ii.2) Para toda fn ∈ Fn ,
kfnm km ≤ kfn kn ,
si m ≥ n.
iii) Si m ≥ n, entonces
Knm Km .
Si y ∈ E entonces {Kn (y, y)}∞
n=1 es una sucesión creciente de números
positivos. En efecto, si y ∈ E y m > n,
Km (y, y) − kn (y, y) = km (y, y) − Knm (y, y) ≥ 0,
pues Knm Km . Luego lim Km (y, y) existe pero puede ser infinito. Definimos entonces el conjunto
E0 = {y ∈ E | K0 (y, y) = lim Km (y, y) < ∞}.
n→∞
79
y supongamos que E0 6= ∅.
Definimos también la clase F0 que contiene las restricciones fn0 al subconjunto E0 de funciones fn ∈ Fn , para toda n ≥ 1. Ahora, si m ≥ k ≥ n,
entonces
kfnm km ≤ kfnk kk ,
por tanto {kfnk kk }k≥n es una sucesión no negativa decreciente.
Lema 3.4.5. La expresión
kfn0 k20 = lim kfnk k2k ,
k→∞
(3.15)
con fn0 ∈ F0 , define una norma sobre F0 .
Demostración. En primer término, este lı́mite existe por las observaciones hechas en el párrafo anterior. Solo probaremos que fn0 = 0 cuando
kfn0 k0 = 0, el resto de las propiedades se siguen de forma inmediata. En
efecto, supongamos que kfn0 k = 0, si y ∈ E0 , entonces
p
|fn0 (y)| = |fnk (y)| = |hfnk (·), Kk (·, y)ik | ≤ kfnk kk Kk (y, y),
para toda k. Luego, si k → ∞, kfnk kk → 0 = kfn0 k0 , de donde se sigue que
fn0 (y) = 0.
Ası́, de manera similar al primer caso, la expresión
hfn0 , gn0 i0 = lim hfnk , gnk ik ,
k→∞
define un producto interior en F0 . Agreguemos la suposición de que F0 es
completo, aunque en general esto no es verdad.
Lema 3.4.6. La clase F0 posee núcleo reproductivo.
Demostración. Sea y ∈ E0 , hemos probado renglones arriba que
|fn0 (y)| ≤ kfn0 kk K(y, y),
para toda f0n ∈ F0 , entonces, si k → ∞,
|fn0 (y)| ≤ kfn0 k0 My ,
para alguna My . Luego fn0 7→ fn0 (y) es una funcional continua. F0 posee
núcleo reproductivo.
En efecto, ahora probaremos que el núcleo de F0 es el lı́mite de las restricciones Kn0 .
80
Lema 3.4.7. Para cada y ∈ E0 , {Kn0 (·, y)}∞
n=1 es una sucesión de Cauchy
respecto a k · k0 sobre F0 .
Demostración. Sea y ∈ E0 y n, m un par de naturales. Como en el caso
A, es posible mostrar que
kKmk (·, y) − Knk (·, y)k2k ≤ Km (y, y) − Kn (y, y),
por tanto, si k → ∞,
kKm0 (·, y) − Kn0 (·, y)k20 ≤ Km (y, y) − Kn (y, y),
y dado que {Kn (y, y)}∞
n=1 es una sucesión de Cauchy de números (por ser
convergente), se sigue que {Kn (·, y)}∞
n=1 es una sucesión de Cauchy en k · k0 .
Entonces, como F0 es completo, existe una función K0 (·, y) en F0 lı́mite
(en norma) de {Kn0 (·, y)}∞
n=1 , para toda y ∈ E0 .
Teorema 3.4.2. El núcleo de la clase F0 es
K0 (x, y) = lim Kn0 (x, y),
n→∞
para todo par x, y en E0 .
Demostración. Sea y ∈ E0 , dado que Kn0 (·, y) → K0 (·, y) en norma
sobre el espacio F0 el cual posee núcleo reproductivo, entonces la convergencia
también es puntual, esto es, si x ∈ E0 , se tiene
K0 (x, y) = lim Kn0 (x, y).
n→∞
(n)
Ahora bien, tomemos cualquier f0 en F0 y una sucesión de Cauchy {f0 }
(n)
en F0 también, convergente a f0 . Cada f0 es la restricción fkn 0 de alguna
fkn ∈ Fkn . Por (3.15) existe una sucesión creciente m1 < m2 < · · · tal que
mn > k n ,
kfkn mn k2mn − kfkn 0 k20 ≤
1
.
n2
Por otra parte, por lo ya visto renglones arriba, se tiene que
hf0 (·), K0 (·, y)i0 = lim hfkn 0 (·), Kmn 0 (·, y)i0 .
n→∞
(3.16)
Y podemos escribir
hfkn (·), Kmn 0 (·, y)i0 = hfkn mn (·), Kmn (·, y)imn −
[hfkn mn (·), Kmn (·, y)imn − hfkn 0 (·), Kmn 0 (·, y)i0 ]. (3.17)
81
El término entre corchetes es de la forma [hg, himn − hg0 , h0 i0 ] para g, h ∈
Fmn (g0 y h0 son las restriciones de g y h a E0 ). Esta es una forma bilineal en g
y h y la correspondiente forma cuadrática hg, gimn −hg0 , g0 i0 = kgk2mn −kg0 k20
es positiva (según las hipótesis y (3.15). Consecuentemente la desigualdad
de Cauchy-Schwarz es válida para esta forma y entonces, continuando con la
expresión (3.17),
|[· · ·]| ≤ [kfkn mn k2mn − kfkn 0 k20 ]1/2 [kKmn (·, y)k2mn − kKmn 0 (·, y)k20 ]1/2
1
1
≤
kKmn (·, y)kmn = Kmn (y, y)1/2 .
n
n
Cuando n → ∞ esta última expresión converge a cero, pues Kmn (y, y) →
K0 (y, y) < ∞. Por lo tanto, (3.16) y (3.17) se sigue
hf0 (·), K0 (·, y)i0 =
=
lim hfkn mn (·), Kmn (·, y)imn = lim fkn mn (y)
n→∞
n→∞
lim fk0 n (y) = lim
n→∞
n→∞
la cual es la propiedad reproductiva para K0 .
82
(n)
f0 (y)
= f0 (y),
Epı́logo
Finalmente, a manera de epı́logo, pretendemos mostrar indicativamente que
una de las más ingeniosas direcciones en que los núcleos reproductivos han
tenido aplicación, es en la teorı́a de las probabilidades.
En la última parte del primer capı́tulo habı́amos ya establecido el sentido
de la terna (Ω, F, P), llamado espacio de probabilidad, ası́ como de otros
conceptos probabilı́sticos como el de esperanza. Ahora bien, si consideramos
las varibales aleatorias (funciones reales F-medibles sobre Ω) X1 ,..., Xn , es
posible que exista un vector µ de dimensión n cuyas componentes son los
números
Z
Xi dP,
µi = E[Xi ] =
Ω
con i = 1, ..., n, siempre que tales números existan. Dicho vector es conocido
como vector esperanza.
De igual modo, es posible que exista una matriz cuadrada K de dimensión
n cuyo componente genérico es el número
σij = E[(Xi − µi )(Xj − µj )]
Z
= (Xi − µi )(Xj − µj ) dP,
Ω
llamado covarianza de las varibles Xi y Xj , con i, j = 1, ..., n, siempre que
tales números existan. Dicha matriz es conocida como matriz de covarianzas.
Habitualmente, cuando i = j usamos la notación σij = σi2 y tal número es
conocido simplemente como varianza de la variable aleatoria Xi .
Una condición necesaria y suficiente para la existencia del vector µ y la
matriz K es que cada Xi , i = 1, ..., n, sea cuadrado integrable. Si tal es caso,
es fácil observar que K es una matriz simétrica, y si además σi2 > 0, para
toda i = 1, ..., n, entonces K también es una matriz definida positiva (en el
sentido estudiado en la sección 2.4).
Bajo estas condiciones, si llamamos Tn = {1, ..., n}, y abusando de la
notación, es posible definir la función K : Tn × Tn → R como K(i, j) = σij ,
i, j ∈ Tn . De modo que, según lo visto en la sección 2.7, H(K) es el espacio
vectorial euclı́deo de dimensión n con el producto punto hx, yi = xt K −1 y.
Por lo tanto
P[(X1 , ...Xn ) ∈ H(K)] = 1.
83
Ahora, si consideramos un conjunto de ı́ndices T arbitrario, entonces un
proceso estocástico sobre el espacio (Ω, F, P) es una sucesión X = {Xt }t∈T
de variables aleatorias definidas sobre dicho espacio. Además, si ω ∈ Ω
llamamos trayectoria de X en ω a la función X· (ω) : T → R.
Y en forma análoga al caso finito, si Xt es cuadrado integrable para toda
t ∈ T , entonces decimos que el proceso X es de segundo orden, y la función
K : T × T → R, dada por K(s, t) = σst es una matriz definida positiva
siempre que σt2 > 0, para toda t ∈ T . Esta función es también conocida
como la matriz de covarianzas del proceso X. Del mimo modo, el vector µ
cuyos elementos son los números µt = E[Xt ], t ∈ T , es conocido como vector
esperanza del proceso X.
La pregunta ahora es si
P[X ∈ H(K)] = 1,
o todavı́a más, si existe alguna otra matriz positiva R : T × T → R tal que
P[X ∈ H(R)] = 1,
y bajo qué condiciones es posible afirmar tales resultados.
Parzen1 muestra que
P[X ∈ H(K)] = 1,
es falso si no se verifican dos condiciones, a saber, que T es un espacio métrico
separable y K es continua sobre T × T .
Kallianpur2 muestra que si X es un proceso Gaussiano3 , y R es una matriz
simétrica continua sobre T × T entonces
P[X ∈ H(R)] = 1
ó
P[X ∈ H(R)] = 0.
Finalmente, Driscoll4 muestra que si X es un proceso Gaussiano cuyas
trayectorias son continuas sobre T (donde T es un espacio métrico separable),
y si R es una matriz simétrica definida positiva y continua sobre T × T tal
que µ ∈ H(R), entonces
P[X ∈ H(R)] = 1
ó
1
P[X ∈ H(R)] = 0,
En el trabajo que también menciona Driscoll: Parzen, E. ”Probability functionals and
reproducing kernels Hilber spaces”. En Time Series Analysis. pp 155-19, M. Rosenblatt.
New York: Wiley 1963.
2
En otro trabajo igualmente usado por Driscoll: Kallianpur, G. ”Zero-one laws for
Gaussian prosesses”. En Transactions of the AMS. Vol 149 (1970), pp 199-211.
3
Esto es, para cada número finito de vectores Xt1 , ..., Xtn , ti ∈ T , i = 1, ..., n, el vector
(Xt1 , ..., Xtn ) tiene distribución normal (o Gaussiana) n-variada
4
Driscoll, Michael F. ”The reproducing kernel Hilbert space structure of the sample
paths of a Gaussian process”. En Zeitsschrift fur Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete. Vol 26, 1973. Págs 309-3016.
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según si el número
τ = sup tr(Kn Rn ),
n∈N
es finito o infinito, donde T0 = {t1 , t1 , ...} es un subconjunto denso numerable
de T , Kn y Rn son las restriciones de K y R, respectivamente, al subconjunto
{t1 , ..., tn }2 , para toda n ∈ N.
Driscoll descubre, de esta forma, condiciones necesarias y suficientes que
determinan si P[X ∈ H(R)] = 1 ó 0. Pero llama la antención que en la
prueba de que P[X ∈ H(R)] = 1 bajo la considerqación de que τ < +∞,
Driscoll no haga uso de la hipótesis de que el proceso X es Gaussiano.
Recientemente, Lukić y Beder (en [6]), observaron este hecho, y han logrado dar una generalización de este resultado para procesos más generales.
En su extenso trabajo, las hipótesis de Driscoll son sustituidas solamente por
las hipótesis H(K) ⊆ H(R) y µ ∈ H(K), no requiriendo suposiciones adicionales para el proceso X, las matrices K y R (excepto que sean definidas
positivas, por supuesto) o el conjunto T . En caso particular de que el proceso X es Gaussiano, se tiene, en efecto que si P[X ∈ H(R)] = 1 entonces
τ < +∞.
En el caso general, estos probabilistas prueban, bajo las suposiciones
mencionadas en el párrafo anterior, que existe una versión Y del proceso
X (esto es, un proceso estocástico Y = {Yt }t∈T tal que P[Yy = Xt ] = 1,
para toda t ∈ T ) cuyas trayectorias están contenidas casi seguramente en
H(R) (es decir P[Y ∈ H(R)] = 1) siempre que τ < +∞. Y que bajo otras
restriciones, que no es posible mencionar en esta tesis, se tiene en efecto,
que P[X ∈ H(R)] = 1. La prueba está basada en las ideas que Driscoll
habı́a dado ya en el trabajo que ya mencionamos, y el soporte lo aporta un
descubrimiento fundamental: Cuando H(K) ⊆ H(R), y H(R) es separable,
entonces el operador dominante L del que hablamos en la sección 3.2 tiene
la propiedad de que
τ = tr(L).
Lukić y Beder se apoyaron en diversos trabajos previos que ya habı́an
tocado el tema de los procesos estocásticos. De este modo, son vastas
las consideraciones que hasta ahora ha tenido el núcleo reproductivo en el
desarrollo teórico de los procesos estocásticos. Por lo pronto nosotros
concluimos este trabajo, dejando para venideros tiempos la investigación en
estos ámbitos.
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Bibliografı́a
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AMS, Vol. 68 (1950), pp 337-404.
[2] Ash, Robert B. Probability and measure theory. Segunda edición. Harcourt Academic Press, San Diego, 2000.
[3] Billingsley, Patrick. Probability and measure. Tercera edición. John Wiley & Sons, Nueva York, 1995.
[4] Heuser, Harro G. [Traducción al inglés: John Horráth]. Functional analysis. John Wiley & Sons, Nueva York, 1982.
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D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, 1987.
[6] Lukić M. N., Beder J. H. ”Stochastic processes with sample paths in
reproducing kernel Hilbert spaces”. En Transactions of the AMS, Vol.
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[7] Narici, Lawrence; Bachman, George. Functional analysis. Academic
Press Inc, Nueva York, 1966.
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