Funciones y continuidad La idea de función continua es la de que su gráfica puede ser construida en un sólo trazo. Decir que una función 𝑓 es continua en un punto 𝑥 = 𝑐 significa que no hay interrupción de la gráfica de 𝑓 cuando 𝑥 toma el valor 𝑐 , esto es, la gráfica no tiene en 𝑥 = 𝑐 , agujeros, saltos ni aberturas. La figura siguiente muestra tres ejemplos en los que la gráfica de una función no es continua, para 𝑥 = 𝑐; en los demás puntos de intervalo (𝑎, 𝑏), la función no sufre interrupciones y es continua Las razones por las cuales la función no es continua podrían ser expresadas así: En el primer caso la función no está definida para 𝑥 = 𝑐, en el segundo caso la función si está definida pero el límite no existe y en el tercer caso la función está definida y el límite existe pero el valor del límite no coincide con el valor de la función; si no se da ninguna de estas tres condiciones podemos afirmar que la función es continua para 𝑥 = 𝑐. Lo anterior nos lleva a la siguiente definición: Definición de continuidad Continuidad en un punto: Una función 𝑓 es continua en un punto 𝑐, si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1) 𝑓(𝑐) está definida 2) El lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) existe 3) El valor de la función para 𝑐 , coincide con el valor del límite, esto es: lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 Continuidad en un intervalo abierto: Se dice que una función es continua en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏), si es continua en todos los puntos del intervalo. Una función que es continua en toda la recta real −∞, +∞ se llama continua en todas sus partes Si una función no es continua en un punto 𝑐 , se dice que tiene una discontinuidad en 𝑐. Las discontinuidades se distribuyen en dos categorías: evitables e inevitables. Una discontinuidad en un punto 𝑐 se denomina evitable si la función se puede hacer continua definiendo apropiadamente 𝑓(𝑐). Ejemplos gráficos: A continuación se muestran varios ejemplos en los cuales se analiza la continuidad de algunas funciones 2 Ejemplo 1: Analizar la continuidad de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 A la derecha podemos observar la gráfica de la función El dominio de 𝑓 es 𝑅 − 0 (los reales exceptuando al cero) La función es continua en todos los valores de su dominio. Para 𝑥 = 0 la función no está definida y tampoco existe el límite de la función cuando 𝑥 → 0 En 𝑥 = 0, 𝑓 tiene una discontinuidad inevitable, esto es, no hay modo de definir 𝑓 0 para que la función sea continua Ejemplo 2: Analizar la continuidad de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 −1 𝑥−1 A la derecha podemos observar la gráfica de la función El dominio de 𝑔 es 𝑅 − 1 (los reales exceptuando al uno) La función es continua en todos los valores de su dominio. Para 𝑥 = 1 la función no está definida, aunque el límite de la función cuando 𝑥 → 1 si existe y es igual a 2 En 𝑥 = 1, 𝑔 tiene una discontinuidad evitable, esto es, si se define g 1 = 2, la “nueva” función es continua Ejemplo 3: Analizar la continuidad de la función 𝑓 𝑥 = A la derecha podemos observar la gráfica de la función El dominio de 𝑓 es el conjunto 𝑅 (todos los reales) Para todos los valores de 𝑥 la función está definida, el límite de la función existe y además coincide con el valor de la función, por tanto la función es continua en todos los valores 𝑥 de su dominio. 𝑓 es continua en toda la recta real (− ∞, +∞) 𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1 𝑥 2 , 𝑠𝑖 𝑥 > −1 Ejemplo 4: Analizar la continuidad de la función 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 A la derecha podemos observar la gráfica de la función El dominio de 𝑓 es el conjunto 𝑅 (todos los reales) Para todos los valores de 𝑥 la función está definida, el límite de la función existe y además coincide con el valor de la función, o sea lim𝑥→𝑐 cos 𝑥 = cos(𝑐), por tanto la función es continua en todos los valores 𝑥 de su dominio. 𝑓 es continua en toda la recta real (− ∞, +∞) Ejercicios propuestos En cada una de las siguientes funciones, hallar los valores de 𝑥 (si existe alguno) en los que la función no es continua. ¿Qué discontinuidad es evitable? Sugerencia: En algunos casos es conveniente utilizar winplot u otro graficador para el análisis de la continuidad de las funciones 𝑥 1. 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 7. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −1 2. 𝑥 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 8. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −1 9. 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 3. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −2𝑥+1 1 𝑥−1 1 4. 𝑓 𝑥 = 𝑥−1 10. 𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝑥 ≤ 1 𝑥2 , 𝑥 > 1 11. 𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 3, 𝑥 < 1 𝑥2, 𝑥 ≥ 1 𝑥 5. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +1 1 1 6. 𝑥 = 𝑥 2 +1 12 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1, 𝑥 ≤ 2 3 − 𝑥, 𝑥 > 2 2