Tema 4. Funciones continuas

EUAT
Problemas de Cálculo Matemático
2008-2009
Tema 4. Funciones continuas
1. Dar un ejemplo de función :
que sea continua excepto en los números enteros.
2. Dar un ejemplo de dos funciones discontinuas en 0, cuya suma sea continua en 0.
3. Dar un ejemplo de dos funciones discontinuas en 0, cuyo producto sea continuo en 0.
4. Dar una función que sea continua en
5 , y en
5 sea:
a) Continua por la derecha pero no por la izquierda.
b) Continua por la izquierda pero no por la derecha.
c) Discontinua por ambos lados.
5. Representar gráficamente las funciones del ejercicio anterior.
6. Dar una función que sea continua en
5 , y que en
5 presente:
a) Una discontinuidad evitable.
b) Una discontinuidad de salto finito.
c) Una discontinuidad de salto infinito.
7. Representar gráficamente las funciones del ejercicio anterior.
8. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones.
a)
b)
c)
d)
9. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones.
a)
b)
c)
d)
|
1|
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|
|
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10. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones.
a)
b)
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c)
d)
11. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones.
a)
ln
b)
ln
c)
ln |
d)
ln sen
2|
12. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones.
⁄
a)
⁄
b)
c)
d)
⁄
13. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones.
a)
tan ⁄2
b)
c)
⁄
⁄
d)
⁄
14. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones. Representarlas gráficamente.
3
a)
2
b)
c)
1
3
si
si
si
2
2
2
1 si
0
2
1 si 0
4
9 si 4
2
1 si
1
si
1
0
sen
si 0
15. Determinar el valor de para que las siguientes funciones sean continuas en todo su
dominio. Representarlas gráficamente.
a)
b)
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2
si
si
si
si
0
0
1
1
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c)
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1⁄
1 si
si
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0
0
16. Determinar los valores de y para que las siguientes funciones sean continuas en todo
su dominio. Representarlas gráficamente.
2
1
a)
b)
cos
√4
si
si 0
si 4
si
si 0
si 1
17. La función
y todas sus discontinuidades.
0
4
0
1
tiene una discontinuidad evitable en
2. Hállense
,
18. Demostrar que las siguientes funciones tienen algún cero en el intervalo que se indica.
a)
2
1 en el intervalo 0, 1 .
b)
2
cos en el intervalo 0, π .
c)
cos 2
en el intervalo
⁄4, ⁄2 .
⁄2 tiene alguna solución distinta de
19. Demostrar que la ecuación sen
0.
Encontrar un intervalo de longitud menor que la unidad donde se encuentre dicha raíz.
1
20. Encontrar un intervalo de longitud 1 que contenga una solución de la ecuación
sen
0.
21. Demostrar que la ecuación 3 ln
tiene alguna raíz en el intervalo 3⁄2 ,
.
22. Razonar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones.
a)
1 toma el valor 1 en algún punto del intervalo 0,1 .
b)
3 toma el valor 1 en algún punto del intervalo 0, 1 .
c)
toma el valor 1 en algún punto del intervalo 0, 1 .
420 posee al menos una raíz real.
23. Demostrar que la ecuación
24. Calcular una raíz real de la ecuación
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3
3=0 con un error menor de 10 .
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