Gerardo Loaiza Ecuaciones Diferenciales Taller número 2

Universidad del Cauca
Profesor: Gerardo Loaiza
Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido
aplicados es el de la Biologı́a. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas
exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde microorganismos más
elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación.
1. El radio de la Luna mide aproximadamente 1080 millas. La aceleración debida a la gravedad es
la superficie lunar es cercana a 0.165g, donde g es la aceleración d ela gravedad en la superficie
de la Tierra. Determine la velocidad de escape para la Luna.
2. Un termómetro que marca 18◦ F se lleva al interior de una habitación donde la temperatura
mide 70◦ F ; un minuto después la lectura del termómetro es de 31◦ F . Determine las lecturas
en el termómetro como una función del tiempo y, en particular, encuentre cuánto marcará 5
minutos después de que es llevado a la habitación.
3. El radio se descompone a una velocidad que es proporcional a la cantidad presente de este
elemento. Suponga que en 25 años se ha descompuesto aproximadamente el 1.1 % de cierta
cantidad de radio. Determine de manera aproximada cuánto tiempo pasará para que la mitad
de la cantidad original del radio se descomponga.
4. Un tanque contiene 80 galones (gal) de agua pura. Una solución de salmuera que contiene 2
libras por galón de sal es introducida en el tanque a razón de 2 galones por minuto y luego,
perfectamente mezclada, sale a la misma velocidad. Encuentre la cantidad de sal en el tanque
en cualquier instante t y el tiempo en que la salmuera que sale contendrá una libra por galón
de sal.
5. Para el problema anterior determine el valor lı́mite de la cantidad de sal que puede hallarse
después de mucho tiempo. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que la cantidad de sal alcance un
80 % de este valor lı́mite?.
= x(a−bx).
6. Se sabe que cierta población crece a una velocidad dad por la ecuación logı́stica dx
dt
Demuestre que la tasa máxima de crecimiento ocurrirá cuando la población sea igual a la mitad
a
de su tamaño de equilibrio, esto es, cuando la población sea 2b
.
7. Se sabe que una población de bacterias tiene una patrón de crecimiento logı́stico con población
inicial de 1000 y población de equilı́brio de 10000. Un conteo muestra que al final de una hora
hay 2000 bacterias presentes. Determine la población como una función del tiempo.
8. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta en una razón proporcional a la cantidad
de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplicó en cinco años, ¿en
cuánto tiempo se triplicará y se cuadruplicará?.
9. La población de bacterias en cierto cultivo crece a una tasa proporcional a las bacterias
existentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay
2000. ¿Cuál era la cantidad inicial?.
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10. Cierto isótopo radioactvo de plomo (PB 209), se desintegra con una razón proporcional a la
cantidad existente en cualquier momento y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al comienzo
habı́a un gramos de plomo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90 %?.
11. Suponga que se deposita una suma de dinero S0 en un banco que paga interés a una tasa
anual r, compuesto continuamente. halle el tiempo T necesario para duplicar el valor de la
suma original, como una función de la tasa r. Determine T si r = 7 %. Encuentre la tasa de
interés que debe pagarse si la inversión original tiene que duplicarse en 8 años.
12. Un tanque está lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua salada en la cual están disueltos
5lb de sal. Si el agua salada está conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal
por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. Encontrar la cantidad de sal en
el tanque en cualquier tiempo. ¿Cuanta sal está presente después de 10min?, ¿Cuanta sal
está presente después de un tiempo largo?.
13. Dos quı́micos, A y B, reaccionan para formar otro quı́mico C. Se encuentra que la tasa a la
cual C se forma varia con las cantidades instantáneas de los quı́micos A y B presentes. La
formación requiere 2lb. de A por cada libra de B. Sı́ 10lb. de A y 20lb. de B están presentes
inicialmente, y si 6lb. de C se forman en 20min. ; Encontrar la cantidad del quı́mico C en
cualquier tiempo.
14. La ley de absorción Lambert dice que la tasa de absorción de luz con respecto a una profundidad x de un material translúcido es proporcional a la intensidad de la luz a una profundidad
dI
= −kI. En agua
x; es decir, si I es la intensidad de la luz a una profundidad x, entonces dx
limpia la intensidad I a 3 pies bajo la superficie es de un 25 % de la intensidad I0 en la
superficie. ¿Cuál es la intensidad del rayo a 15 pies bajo la superficie?.
15. Si en un análisis de una botella de leche se encuentran 500 organismos (bacterias), un dı́a
después de haber sido embotelladas y al segundo dı́a se encuentran 8000 organismos. ¿Cual
es el número de organismos en el momento de embotellar la leche?.
16. Considere el PVI y 0 = y 1/3 , y(0) = 0 para y ≥ 0. Muestre que φ1 (x) = ( 23 x)3/2 , φ2 (x) =
−( 32 x)3/2 y φ3 (x) = 0 para x ≥ 0 son soluciones del PVI dado. Más aún, para un número
positivo x0 arbitrario, las funciones
(
0
si 0 ≤ x < x0
3/2
2
y = ψ(x) =
± 3 (x − x0 )
si x ≥ x0
son continuas, diferenciables (en particular en x0 ) y soluciones del PVI. EXplique porqué esto
no contradice el Teorema Fundamental de Existencia y Unicidad de soluciones.
17. Resolver el PVI: y 0 = y 2 , y(0) = 1 y determinar el intervalo en el que existe la solución.
18. En cada uno de los problemas siguientes dé la región del plano xy en la que se satisfacen las
condiciones del Teorema Fundamental; por tanto, existe una solución única que pasa por cada
punto inicial dado en esta región.
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a) y 0 =
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x−y
2x+5y
d ) y 0 = (x2 + y 2 )3/2
b) y 0 = (1 − x2 − y 2 )1/2
e) y 0 =
1+x2
3y−y 2
c) y 0 = 3(x + y)−2
f ) y0 =
(cot x)y
1+y
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