El Teorema de Stone-Weierstrass

La Gaceta de la RSME, Vol. 13 (2010), Núm. 4, Págs. 705–711
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El Teorema de Stone-Weierstrass
por
Julio Bernués
Cuando entran en contacto argumentos de varias disciplinas matemáticas se suelen producir resultados de una singular potencia y elegancia. Tal es el caso del
conocido Teorema de Stone-Weierstrass.
En 1885, K. Weierstrass [3] demostró la densidad de los polinomios en el espacio
de las funciones reales continuas en un intervalo compacto, C([a, b]). Más adelante,
M. H. Stone [2] lo generalizó, observando que la razón de dicha densidad está en
las propiedades algebraicas de los polinomios, en las propiedades analíticas de las
funciones continuas, y en la propiedad topológica de la compacidad de [a, b].
El Teorema de Stone-Weierstrass es un viejo conocido de los cursos avanzados
de Análisis Matemático o de Análisis Funcional. Su enunciado es el siguiente:
Teorema de Stone-Weierstrass. Sea K un compacto en un espacio topológico
cualquiera y C(K) el espacio de las funciones reales continuas definidas sobre K. Si
A es una subálgebra1 de C(K) tal que
(i) A no se anula, lo que significa que para todo x ∈ K existe g ∈ A tal que
g(x) 6= 0,
(ii) A separa puntos, es decir que para todo x 6= y ∈ K existe g ∈ A tal que
g(x) 6= g(y),
entonces A es densa en C(K).
Para ilustrar su potencia basta recordar las demostraciones inusualmente simples de algunas de sus más conocidas aplicaciones: tan sólo hay que comprobar las
condiciones (i) y (ii). Por ejemplo:
El álgebra de los polinomios (reales) en n variables sobre un compacto K ⊂ Rn
es densa en C(K) (pues la función g ≡ 1 cumple (i) y las funciones coordenadas
g(x) = xi , i = 1, . . . , n, hacen que se cumpla (ii)).
Si (K, d) es un espacio métrico compacto, entonces C(K) es separable, es decir,
C(K) contiene un subconjunto numerable denso. (Si {xn } es denso en K, el
álgebra generada por las funciones gn (x) = d(x, xn ) ∈ C(K) es densa pues las
gn permiten comprobar (i) sin dificultad, y de la densidad de {xn } se deduce (ii)
por reducción al absurdo. Las combinaciones racionales de sumas y productos
de gn demuestran el resultado.)
1 En nuestro contexto, un álgebra (real) es un espacio vectorial (real) X con una operación
producto · : X × X → X que es asociativa, conmutativa y que encaja bien con las operaciones
existentes, es decir, que · es una aplicación bilineal. Una subálgebra es un subconjunto A ⊆ X que
tiene estructura de álgebra (con las mismas operaciones de X).
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El Teorema de Stone-Weierstrass
A la izquierda, Karl Weierstrass (1815–1897), y a la derecha, Marshall Harvey Stone
(1903–1989).
El álgebra generada por sen x y cos x es densa en C([0, π]) (g = 1 verifica (i)
y g(x) = cos x cumple (ii)). De aquí se deduce que los polinomios trigonométricos son densos en C([0, π]) con valores complejos. El hecho es clave en la
demostración de que { π1 einx ; n ∈ Z} es base ortonormal del espacio de Hilbert
L2 ([0, π]).
En este artículo presentamos una prueba completa que dividimos en Álgebra,
Análisis y Topología. Esta separación facilita la comprensión del papel de cada argumento.
Pero la principal ventaja del planteamiento está en el uso de los argumentos algebraicos. Nos permitirán ver claramente la razón de las condiciones (i) y (ii) (Proposición 1.2) así como presentar el resto de la demostración de Stone-Weierstrass,
por otra parte clásica, de forma natural.
Por otro lado, en la literatura es habitual encontrar enunciados del Teorema de
Stone-Weierstrass en los que (i) es sustituido por la condición más exigente de que
A contenga a las funciones constantes. Como veremos, la razón se encuentra en los
argumentos analíticos.
Observación. La existencia de A verificando la condición (ii) implica que K debe
ser un compacto de Hausdorff, es decir, que todo par de puntos se puede separar
por entornos disjuntos. En particular, si K está formado por un número finito de
puntos entonces está equipado con la topología discreta y cualquier función sobre K
es continua. Si K es Hausdorff, el recíproco es cierto, es decir toda subálgebra densa
verifica (i) y (ii).
C(K) con la suma y producto habituales es un álgebra. Su topología viene dada
por la convergencia uniforme. Así, A es densa en C(K) si para todo f ∈ C(K) existe
una sucesión gn ∈ A tal que supx∈K |gn (x) − f (x)| → 0 cuando n → ∞.
Nuestro punto de partida es muy sencillo: el caso particular K = {a, b} formado
por dos puntos (con la topología discreta). Todas las funciones sobre K son continuas
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La Gaceta ? Artículos
de forma que la aplicación f 7→ (f (a), f (b)) identifica las álgebras C(K) y R × R.
Éste es el ejemplo fundamental que ilustrará el significado de (i) y (ii).
1.
Álgebra
El espacio R × R tiene una estructura de álgebra con las operaciones
(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ),
λ(x, y) = (λx, λy),
(x, y) · (x0 , y 0 ) = (xx0 , yy 0 ),
donde x, y, x0 , y 0 , λ ∈ R.
La cuestión es, ¿cuáles son las subálgebras de R × R?
Proposición 1.1. Las únicas subálgebras de R × R son
{(0, 0)},
{0} × R,
R × {0},
{(t, t); t ∈ R},
R × R.
Demostración. Una subálgebra A de R × R es en particular un espacio vectorial.
Atendiendo a su dimensión, dos casos son triviales: si su dimensión es 0, corresponde
a A = {(0, 0)}, y si tiene dimensión 2, entonces A = R × R.
Si la dimensión de A es 1, denotemos por (x, y) un generador. Los casos x = 0 e
y = 0 corresponden a {0} × R y R × {0} respectivamente. Ahora, por ser subálgebra,
(x, y) · (x, y) = (x2 , y 2 ) ∈ A; y, por ser espacio vectorial, debe existir λ ∈ R tal que
(x2 , y 2 ) = (λx, λy). Si x, y 6= 0, igualando y simplificando se tiene x = λ = y, que
corresponde al caso {(t, t); t ∈ R}.
De igual manera, R × · · · × R = Rn con la suma y producto coordenada a
coordenada es un álgebra, y el mismo argumento nos permite saber cómo son todas
sus subálgebras. Por ejemplo, las subálgebras de R × R × R son
de dimensión 0: {(0, 0, 0)};
de dimensión 1: las generadas por los vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1),
(1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1);
de dimensión 2: R × R × {0}, R × {0} × R, {0} × R × R y las generadas por
h(1, 0, 1), (0, 1, 0)i, h(1, 0, 0), (0, 1, 1)i, h(0, 0, 1), (1, 1, 0)i;
de dimensión 3: R × R × R.
Proposición 1.2 (algebraica de Stone-Weierstrass). Sea K = {a1 , . . . , an } (con la
topología discreta). La única subálgebra de C(K) que no se anula y separa puntos
es C(K).
Demostración. La aplicación f 7→ (f (a1 ), . . . , f (an )) identifica las álgebras C(K)
y R × · · · × R = Rn , y hemos calculado todas sus subálgebras. La única que separa
puntos y no se anula es el total Rn .
Es en el paso de un número finito de puntos a un conjunto compacto cuando
la topología y el análisis harán su aparición, y no necesitaremos introducir más
hipótesis que las exigidas por el álgebra.
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2.
El Teorema de Stone-Weierstrass
Análisis
El espacio C(K) cumple que si f, g ∈ C(K) entonces máx{f, g}, mı́n{f, g} ∈
C(K), o, equivalentemente, que |f |, |g| ∈ C(K) (esta propiedad se llama de retículo
y es compartida por otros espacios de funciones, por ejemplo, las integrables).
La demostración clásica pasa por probar que toda subálgebra cerrada de C(K)
cumple también dicha propiedad. La razón analítica, base de todo el argumento, es
el hecho elemental de que la función |t| se puede aproximar por polinomios uniformemente en [−1, 1]. Una vez visto esto, la definición de álgebra hará el resto.
Existe una gran variedad formas de aproximar uniformemente la función |t|.
En [1] —un artículo que presenta una interesante visión histórica del Teorema de
Stone-Weiestrass— se pueden consultar algunas de ellas. Por su sencillez e ingenio
utilizaremos una demostración debida a Bourbaki (y que es una de las mostradas
en [1]).
Lema 2.1. Sea K compacto y A una subálgebra de C(K). Entonces su clausura A
también es subálgebra.
Demostración. Si f, g ∈ A, existen sucesiones en A tales que fn → f , gn → g
uniformemente. Es fácil demostrar que fn + gn → f + g, fn · gn → f · g y λfn → λf ,
λ ∈ R, por tanto f + g, f · g, λf ∈ A.
Proposición 2.2. Sea K compacto y A una subálgebra de C(K). En estas circunstancias,
(i) Si f ∈ A entonces |f | ∈ A.
(ii) Si f, g ∈ A entonces máx{f, g}, mı́n{f, g} ∈ A.
(iii) Si f1 , . . . , fm ∈ A entonces máx{f1 , . . . fm }, mı́n{f1 , . . . fm } ∈ A.
Demostración. Las identidades máx{f, g} = 21 (f + g + |f − g|) y mı́n{f, g} =
1
2 (f + g − |f − g|) y el ser A espacio vectorial (por el lema anterior) demuestran
«(i) ⇒ (ii)». Por otra parte, (iii) sigue de (ii) por inducción y el lema.
Para demostrar (i), probamos primero que√la función |t|, t ∈ [−1, 1], √
se aproxima
2
uniformemente por polinomios. Como |t| = t , basta con aproximar t en [0, 1].
Lo haremos
en tres pasos, escogiendo una sucesión definida por recurrencia con
√
límite t.
Paso 1. La sucesión de polinomios en [0, 1] definida recursivamente mediante
p1 (t) := 0;
pn+1 (t) := pn (t) + 21 (t − p2n (t)),
t ∈ [0, 1],
√
verifica pn (t) → t, ∀ t ∈ [0, 1], cuando n → ∞.
√
En efecto, por inducción es inmediato comprobar que pn (t) ≤ t, ∀ t ∈ [0, 1] y
n ∈ N, de donde se deduce que que (pn (t))n∈N es no
√ decreciente; en consecuencia,
pn (t) converge y lo hace precisamente a la función t, ∀ t ∈ [0, 1].
√
Paso 2. pn (t) → t uniformemente en [0, 1] cuando n → ∞.
La Gaceta ? Artículos
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Para √
demostrarlo, sea ε > 0. Para cada t ∈ [0, 1], por el Paso 1 existe nt ∈ N tal
que 0 ≤ t −√pnt (t) < ε. Ahora, por continuidad existe un entorno Ut de t en [0, 1]
tal que 0 √
≤ s − pnt (s) ≤ 2ε, ∀ s ∈ Ut . Por la monotonía de la sucesión pn (t) se
tiene 0 ≤ s − pn (s) ≤ 2ε, ∀ s ∈ Ut y n ≥ nt .
Por la compacidad de [0, 1] existen t1 , . . . , tm de forma que la unión de Uti ,
i = 1, . . . , m, cubren [0, 1].√Por tanto, tomando n0 = máx{nt1 , . . . , ntm } se tiene
que, para todo n ≥ n0 , 0 ≤ s − pn (s) ≤ 2ε, ∀ s ∈ [0, 1], lo que demuestra el Paso 2.
Obsérvese que el mismo argumento demuestra el siguiente resultado más general
debido a Dini:
Sea fn : K → R una sucesión monótona de funciones continuas sobre un
compacto K. Si (fn ) converge puntualmente a una función continua f ,
entonces lo hace uniformemente (en K).
Paso 3. Finalmente, |f | ∈ A.
Sea M := máx{|f (x)|; x ∈ K} (dicho máximo existe por ser f continua sobre un
(x)
compacto). La función g(x) := fM
∈ A y por tanto g 2 ∈ A, tomando ésta valores
en [0, 1].
Como pn (0) = 0, el Paso 2 implica que la función pn (g 2 (x)) ∈ A y pn (g 2 (x)) →
p
(x)|
g 2 (x) = |fM
uniformemente en K. Así, la función |g|, y por tanto también |f |,
están en A.
Observación. Los polinomios pn que aproximan no tienen término independiente
(pn (0) = 0) por lo que, por la definición de álgebra, pn (g 2 ) ∈ A. Muchas demostraciones en la literatura permiten el uso de polinomios con término independiente no
nulo, lo que obliga a que la hipótesis de que A contenga las constantes se incorpore
al enunciado de Stone-Weierstrass.
En realidad, ello no es necesario: si qn es una sucesión de polinomios que aproxima |t| uniformemente, entonces qn (t) − qn (0) sigue aproximando uniformemente |t|.
3.
Topología
Un popular aforismo matemático expresa la compacidad de la siguiente forma:
«Una ciudad es compacta si puede ser vigilada por un número finito de policías
arbitrariamente miopes».
No debe por tanto resultar extraño que propiedades relativas a funciones continuas se mantengan al pasar de un número finito de puntos a un compacto. Tal
es el caso por ejemplo de la afirmación «si f ∈ C(K) entonces f (K) es cerrado y
acotado en R»: lo es trivialmente en el caso de un conjunto finito de puntos, y, en
general, de la definición de compacidad se deduce que f (K) también es cerrado y
acotado cuando K es compacto. Si a continuación usamos el axioma del supremo
en R, acabamos de demostrar el Teorema de Weierstrass de existencia de máximo y
mínimo para funciones reales continuas sobre compactos.
De las Proposiciones algebraicas 1.1 y 1.2 se desprende un hecho que será clave
en la última parte de la demostración del Teorema de Stone-Weierstrass:
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El Teorema de Stone-Weierstrass
Fijados x1 , . . . , xn ∈ K, el conjunto {(g(x1 ), . . . , g(xn )); g ∈ A} es una subálgebra
de R × · · · × R. Si A cumple (i) y (ii), por la Proposición 1.2 necesariamente tiene
que ser {(g(x1 ), . . . , g(xn )); g ∈ A} = R × · · · × R; así pues, dados y1 , . . . yn ∈ R,
existe g ∈ A que interpola, esto es, g(xi ) = yi , i = 1, . . . , n. En particular,
Propiedad Fundamental. En las condiciones del Teorema de Stone-Weierstrass,
para toda f ∈ C(K) y todo par de puntos x 6= y ∈ K, existe g ∈ A tal que f (x) = g(x)
y f (y) = g(y).
Demostración del Teorema de Stone-Weierstrass. La última parte de la
demostración es clásica.
Sea f ∈ C(K) y ε > 0. Sean x, y ∈ K. Por la Propiedad Fundamental existe
gxy ∈ A tal que f (x) = gxy (x) y f (y) = gxy (y).
Fijemos x ∈ K. Para cada y ∈ K, por continuidad existe un entorno de y,
Uy ⊂ K, tal que
f (z) − ε < gxy (z) < f (z) + ε,
∀ z ∈ Uy .
La unión de los Uy , y ∈ K, es, trivialmente, un recubrimiento de K, y por
compacidad existen Uy1 , . . . , Uym (un número finito de entornos) que cubren K. Por
tanto la función definida mediante hx (z) := mı́n{gxy1 (z), . . . , gxym (z)} cumple
hx ∈ A por la Proposición 2.2,
hx (x) = f (x) por definición de hx y de gxy ,
hx (z) < f (z) + ε, ∀ z ∈ K, pues cada z ∈ K pertenecerá a algún Uyj por ser
éstos un recubrimiento de K.
A continuación repetimos el argumento con hx para cada x ∈ K. Por continuidad
existe un entorno de x, Vx ⊂ K, tal que
f (z) − ε < hx (z) < f (z) + ε,
∀ z ∈ Vx .
La unión de los Vx , x ∈ K, es un recubrimiento de K, y por compacidad existen
Vx1 , . . . , Vyn (un número finito de entornos) que cubren K. Por tanto la función
definida mediante d(z) := máx{hx1 (z), . . . , hxn (z)} cumple
d ∈ A = A por la Proposición 2.2,
d(z) < f (z) + ε, ∀ z ∈ K, pues cada hxj lo cumple,
f (z) − ε < d(z), ∀ z ∈ K, pues cada z ∈ K pertenecerá a algún Uxj por ser
éstos un recubrimiento de K.
Por tanto, f (z) − ε < d(z) < f (z) + ε, ∀ z ∈ K. Como ε > 0 es arbitrario, se
tiene que f ∈ A.
Una última ventaja de la motivación algebraica es que la siguiente generalización
del Teorema de Stone-Weierstrass al cálculo de clausuras de subálgebras se presenta
de nuevo de manera natural:
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Teorema 3.1. Sea K un compacto. Sea A una subálgebra de C(K) y f ∈ C(K).
Entonces f ∈ A si y sólo si
(i) para todo x ∈ K tal que f (x) 6= 0, existe g ∈ A tal que g(x) 6= 0,
(ii) para todo x 6= y ∈ K tal que f (x) 6= f (y) existe g ∈ A tal que g(x) 6= g(y).
Demostración. La implicación «⇒» se sigue por definición de clausura. Para «⇐»,
como {(g(x), g(y)); g ∈ A} es una subálgebra de R × R y sabemos cuáles son (Proposición 1.1), se deduce inmediatamente, analizando cada una de ellas, que para todo
par de puntos x 6= y ∈ K, existe g ∈ A tal que f (x) = g(x) y f (y) = g(y). Una
vez contamos de nuevo con la Propiedad Fundamental, se repite el argumento de la
demostración clásica.
Referencias
[1] A. Pinkus, Weierstrass and approximation theory, J. Approx. Theory 107
(2000), 1–66.
[2] M. H. Stone, Applications of the theory of Boolean rings to general topology,
Trans. Amer. Math. Soc. 41 (1937), 375–481.
[3] K. Weierstrass, Uber die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkrlicher
Functionen einer reellen Vernderlichen, Sitzungsberichte der Kniglich Preuischen
Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885.
J. Bernués, Departamento de Matemáticas, Universidad de Zaragoza, 50009 Zaragoza
Correo electrónico: bernues@unizar.es